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能带理论

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能带理论

能带理论

能带理论能带理论是研究固体中电子运动规律的一种近似理论。

固体由原子组成，原子又包括原子实和最外层电子，它们均处于不断的运动状态。

为使问题简化，首先假定固体中的原子实固定不动，并按一定规律作周期性排列，然后进一步认为每个电子都是在固定的原子实周期势场及其他电子的平均势场中运动，这就把整个问题简化成单电子问题。

能带理论就属这种单电子近似理论，它首先由F.布洛赫和L.-N.布里渊在解决金属的导电性问题时提出。

具体的计算方法有自由电子近似法、紧束缚近似法、正交化平面波法和原胞法等。

前两种方法以量子力学的微扰理论作为基础，只分别适用于原子实对电子的束缚很弱和很强的两种极端情形；后两种方法则适用于较一般的情形，应用较广。

能级（Enegy Level）：在孤立原子中，原子核外的电子按照一定的壳层排列，每一壳层容纳一定数量的电子。

每个壳层上的电子具有分立的能量值，也就是电子按能级分布。

为简明起见，在表示能量高低的图上，用一条条高低不同的水平线表示电子的能级，此图称为电子能级图。

能带（Enegy Band）：晶体中大量的原子集合在一起，而且原子之间距离很近，以硅为例，每立方厘米的体积内有5×1022个原子，原子之间的最短距离为0.235nm。

致使离原子核较远的壳层发生交叠，壳层交叠使电子不再局限于某个原子上，有可能转移到相邻原子的相似壳层上去，也可能从相邻原子运动到更远的原子壳层上去，这种现象称为电子的共有化。

从而使本来处于同一能量状态的电子产生微小的能量差异，与此相对应的能级扩展为能带。

禁带（Forbidden Band）：允许被电子占据的能带称为允许带，允许带之间的范围是不允许电子占据的，此范围称为禁带。

原子壳层中的内层允许带总是被电子先占满，然后再占据能量更高的外面一层的允许带。

被电子占满的允许带称为满带，每一个能级上都没有电子的能带称为空带。

价带（Valence Band）：原子中最外层的电子称为价电子，与价电子能级相对应的能带称为价带。

能带理论

能带理论

能带理论维基百科，自由的百科全书（重定向自能带）晶体硅的能带结构示意图能带结构示意图三种导电性不同的材料比较，金属的价带与传导带之间没有距离，因此电子（红色实心圆圈）可以自由移动。

绝缘体的能隙宽度最大，电子难以从价带跃迁至传导带。

半导体的能隙在两者之间，电子较容易跃迁至传导带中。

能带理论（英语：Electronic band structure）是用量子力学的方法研究固体内部电子运动的理论。

是于20世纪初期，在量子力学确立以后发展起来的一种近似理论。

它曾经定性地阐明了晶体中电子运动的普遍特点，并进而说明了导体与绝缘体、半导体的区别所在，解释了晶体中电子的平均自由程问题。

自20世纪六十年代，电子计算机得到广泛应用以后，使用电子计算机依据第一原理做复杂能带结构计算成为可能（不过仍然非常耗时，一次典型的能带结构自洽计算在普通工作站上往往需要花几个小时甚至一周多的时间才能完成）。

能带理论由定性发展为一门定量的精确科学。

∙∙∙固体材料的能带结构由多条能带组成，能带分为传导带（简称导带）、价电带（简称价带）和禁带等，导带和价带间的空隙称为能隙（即右边第二副图中所示的）。

能带结构可以解释固体中导体、半导体、绝缘体三大类区别的由来。

材料的导电性是由“传导带”中含有的电子数量决定。

当电子从“价带”获得能量而跳跃至“传导带”时，电子就可以在带间任意移动而导电。

一般常见的金属材料，因为其传导带与价带之间的“能隙”非常小，在室温下电子很容易获得能量而跳跃至传导带而导电，而绝缘材料则因为能隙很大（通常大于9电子伏特），电子很难跳跃至传导带，所以无法导电。

一般半导体材料的能隙约为1至3电子伏特，介于导体和绝缘体之间。

因此只要给予适当条件的能量激发，或是改变其能隙之间距，此材料就能导电。

对于理想晶体，其原子服从晶格排列，具有周期性，因而可以认为离子实的势场也具有周期性。

晶体中的电子在一个周期性等效势场中运动，其波动方程为：其中为周期性等效势场，为波函数，为普朗克常数，为质量，为微分算符，为能量[编辑]近自由电子模型能带理论认为，固体内部的电子，不是被束缚在单个原子周围，而是在整个固体内部运动，仅仅受到离子实势场的微扰。

固体物理_第4章_能带理论

固体物理_第4章_能带理论

ik ( r R n ) u ( r Rn ) e u (r )
u ( r ) ，代入上式有：
(2 )
则：u (r Rn ) u (r )
即布洛赫波是振幅受到具有同晶格周期相同的周期性函数调制的平面 波。
ˆ ( R ) H HT ( R ) 0 ˆ ˆˆ T n n
根据量子力学知识可知：哈密顿量和平移算符有共同的本征态，可选 择哈密顿量的本征态 (r ) 为共同本征态。
采用波恩-卡曼周期性边界条件有： N ˆ ˆ ˆ ˆ (r ) (r N1a1 ) T ( N1a1 ) (r ) T (a1 )T (a1 )T (a1 ) (r ) 1 1 (r )
，而内层电子的变化较小，可以把内层电子和原子实近似看成离子实 这样价电子的等效势场包括离子实的势场，其他价电子的平均势场以 及电子波函数反对称性而带来的交换作用。 能带理论是单电子近似理论，即把每个电子的运动看成是独立的 在一个等效势场中的运动。单电子近似理论最早用于研究多电子原子
，又称为哈特里（Hartree）-福克（o ）自洽场方法。 把多体问题简化为单电子问题需要进行多次简化。1、绝热近似： 原子核或者离子实的质量比电子大的多，离子的运动速度慢，在讨论 电子问题时可以认为离子是固定在瞬时位置上。这样多种粒子的多体 问题就简化为多电子问题；
能带理论取得相当的成功，但也有他的局限性。如过渡金属化 合物的价电子迁移率较小，相应的自由程和晶格常数相当，这时不 能把价电子看成共有化电子，周期场的描述失去意义，能带理论不 再适用。此外，从电子和晶格相互作用的强弱程度来看，在离子晶 体中的电子的运动会引起周围晶格畸变，电子是带着这种畸变一起 前进的，这些情况都不能简单看成周期场中单电子运动。

第二章 能带理论

第二章 能带理论

第二章 能带理论 *能带：在完整的晶体中运动的的电子，其能谱值是一些密集的能级组成的带，这种带称能带。

能带与能带之间被能量禁区分开。

其中，0K 时完全空着的最低能带称导带，完全被电子占满的最高能带称价带，二者间的能量禁区称禁带。

*能带理论：又称固体能带理论。

是关于晶体中电子运动状态的一种量子力学理论。

其预言晶体中电子能量总会落在某些限定范围或“能带”中。

晶体的电学、光学和磁学等性质都与电子的运动有关，在研究这些问题时，都要用到能带理论。

能带理论成功地解释了金属、半导体和绝缘体之间的差别，解释了霍耳效应现象。

半导体物理学就是建立在能带理论基础之上的。

随着实验技术的发展，人们通过回旋共振、电光、磁光、光谱等手段已成功地测定了许多晶体的电子能带结构。

特别是近年来由于计算机技术的广泛应用，在理论上已可以对电子的能带结构进行更为精确的计算。

尽管如此，由于能带理论毕竟是经过许多简化后的近似理论，所以其只适于有序晶体，并且即使对于有序晶体，当其结构较为复杂时，能带理论处理起来往往也显得有些困难。

§2-1 晶体的薛定谔方程及其近似解一．薛定谔方程。

晶体由大量原子周期性排列构成，原子由原子核和核外电子组成。

由于内层电子不参与晶体的物理过程，因此可认为晶体是由原子最外层电子和失去电子的离子组成的。

若用i r r r r ,,,321表示电子的位矢、用 j R R R R ,,,321表示失去电子的离子的位矢，则晶体定态薛定谔方程为：ψψE H =（2-1）式中ψ为波函数，E 为能量本征值，H是哈密顿算符，且：V u u u T T H eZ Z e Z e+++++= （2-2） 式中 )2(22i ii i e m T T ∇-==∑∑为全部电子的动能算符，m 为电子质量，2222222ii i iz y x ∂∂+∂∂+∂∂=∇为第i 个电子的拉普拉斯算符。

)2(22ααααα∇-==∑∑M T T Z为全部离子的动能算符，αM 为离子质量，2α∇为第α个离子的拉普拉斯算符。

第二章能带理论

第二章能带理论
而是可以在整个固体中运动，称为共有化电子。 电子在运动过程中并不像自由电子那样完全不受任
何力的作用，电子在运动过程中受到晶格中原子周 期势场的作用。
是什么原因决定了固体是导体，绝缘体，或者半导体?
固体的能带结构！
自由电子理论忽略了电子与原子和其它电子 的相互作用，有局限性。
能带理论认为电子要受到一个周期性势场的作用。
导体
104 107 m
108 m
半导体
绝缘体
它们的导电性能不同， 108 m 是因为它们的能带结构不同。
一般填充规律：
孤立原子的内层电子能级一般都是填满的， 在形成固体时，其相应的能带也填满了电子。
孤立原子的最外层电子能级可能填满了电子也可 能未填满电子。若原来填满电子的， 在形成固体时，其相应的能带也填满电子。
经典自由电子理论
正离子所形成的电场是均匀的；自由电子运动的规律遵循经典力学气体分子的运动 定律；自由电子与正离子之间的相互作用仅仅是类似于机械碰撞。
该理论认为，在没有外电场作用时，金属中的自由电子沿着各方向运动的几率相同， 故不产生电流。当施加外电场后，自由电子获得附加速度，于是便沿外电场方向发 生定向迁移，从而形成电流。自由电子在定向迁移过程中，因不断与正离子发生碰 撞，使电子的迁移受阻，因而产生了电阻。
核磁共振方法不仅在核物理研究中起着重要作用，而且在科学技术上也有 着广泛的应用。例如，核磁共振分析可以用来探测物质的微观结构和各种 相互作用；核磁共振人体成像有望成为诊断疾病的有力工具。
自由电子气 真实晶体中的电子
能带理论的基本假设
能带理论的基本出发点: 固体中的电子不是完全被束缚在某个原子周围，
绝缘体的电阻率 ~ 1014 1022 cm

(完整word版)能带理论

(完整word版)能带理论

能带理论能带理论是目前研究固体中电子运动的一个主要理论基础，它预言固体中电子能量会落在某些限定范围或“带"中，因此，这方面的理论称为能带理论。

对于晶体中的电子，由于电子和周围势场的相互作用，晶体电子并不是自由的,因而其能量与波失间的关系E （k ）较为复杂，而这个关系的描述这是能带理论的主要内容.本章采用一些近似讨论能带的形成,并通过典型的模型介绍能带理论的一些基本结论和概念。

一、三个近似绝热近似：电子质量远小于离子质量，电子运动速度远高于离子运动速度，故相对于电子的运动，可以认为离子不动，考察电子运动时,可以不考虑离子运动的影响，取系统中的离子实部分的哈密顿量为零。

平均场近似:让其余电子对一个电子的相互作用等价为一个不随时间变化的平均场。

周期场近似: 无论电子之间相互作用的形式如何，都可以假定电子所感受到的势场具有平移对称性。

原本哈密顿量是一个非常复杂的多体问题，若不简化求解是相当困难的，但 经过三个近似处理后使复杂的多体问题成为周期场下的单电子问题，从而本章的中心任务就是求解晶体周期势场中单电子的薛定谔方程，即其中二、两个模型(1）近自由电子模型1、模型概述 在周期场中，若电子的势能随位置的变化（起伏）比较小，而电子的平均动能要比其势能的绝对值大得多时，电子的运动就几乎是自由的.因此,我们可以把自由电子看成是它的零级近似，(222U m ∇+)()(r U R r U n=+而将周期场的影响看成小的微扰来求解。

（也称为弱周期场近似）2、怎样得到近自由电子模型近自由电子近似是晶体电子仅受晶体势场很弱的作用，E （K ）是连续的能级。

由于周期性势场的微扰 E （K ）在布里渊区边界产生分裂、突变形成禁带,连续的能级形成能带，这时晶体电子行为与自由电子相差不大，因而可以用自由电子波函数来描写今天电子行为。

3、近自由电子近似的主要结果1) 存在能带和禁带：在零级近似下，电子被看成自由粒子，能量本征值 E K0 作为 k 的函数具有抛物线形式.由于周期势场的微扰，E （k ）函数将在 处断开，本征能量发生突变,出现能量间隔2︱V n ︱,间隔内不存在允许的电子能级，称禁带；其余区域仍基本保持自由电子时的数值。

第六章 能带理论

2 2 (0) k (2) k
(0) k
2
k

(1) k

(0) k
H kk (0) (0) (0) k E E k k k k
2mU n exp i 2 nx / a 1 ikx e 1 2 2 2 2 L n 0 k k 2 n / a
ik r r k Ae
r Cu r
在晶体中运动电子的波函数介于自由电子与孤立原子之 间，是两者的组合。 如果晶体中电子的运动完全自由， uk r A const.
ik r e C const. 若电子完全被束缚在某个原子周围，
k 2 n k 2m 2m a
2 2 2
2
2 2 k k n k Gn a
2
2
在布里渊区边界上:
n k a
2n n k k a a
k态和k’态为简并态。必须用简并微扰来处理。

(0) k
周期性势场中能带结构特点： （1） 电子能量的允许值由若干不连续区域 （能带）组成，相邻能带之间的区域称为禁带。 能带的分界点出现在 ka =±nπ n=1,2,… 处 。 （2）E是K的偶函数 （3）能量较高的能带较宽，能量较低的能带 较窄。 （4）E(k+Kh) = E(k)；所以，在-π到π之间 可画出所有能带，因此必须指明能带序号n， 写成 En(k)。
2k 2 2k 2 U0 2m 2m
令U 0 0
一级微扰方程： H 0 k(1) H k(0) Ek(0) k(1) Ek(1) k(0) 电子的能量：
电子波函数：

能带理论

能带理论是研究固体中电子运动规律的一种近似理论。

固体由原子组成，原子又包括原子实和最外层电子，它们均处于不断的运动状态。

为使问题简化，首先假定固体中的原子实固定不动，并按一定规律作周期性排列，然后进一步认为每个电子都是在固定的原子实周期势场及其他电子的平均势场中运动，这就把整个问题简化成单电子问题。

能带理论就属这种单电子近似理论，它首先由F.布洛赫和L.-N.布里渊在解决金属的导电性问题时提出.能带和能带隙具体的计算方法有自由电子近似法、紧束缚近似法、正交化平面波法和原胞法等。

前两种方法以量子力学的微扰理论作为基础，只分别适用于原子实对电子的束缚很弱和很强的两种极端情形；后两种方法则适用于较一般的情形，应用较广。

能级（Enegy Level）：在孤立原子中，原子核外的电子按照一定的壳层排列，每一壳层容纳一定数量的电子。

每个壳层上的电子具有分立的能量值，也就是电子按能级分布。

为简明起见，在表示能量高低的图上，用一条条高低不同的水平线表示电子的能级，此图称为电子能级图。

能带（Enegy Band）：晶体中大量的原子集合在一起，而且原子之间距离很近，以硅为例，每立方厘米的体积内有5×1022个原子，原子之间的最短距离为0.235nm。

致使离原子核较远的壳层发生交叠，壳层交叠使电子不再局限于某个原子上，有可能转移到相邻原子的相似壳层上去，也可能从相邻原子运动到更远的原子壳层上去，这种现象称为电子的共有化。

从而使本来处于同一能量状态的电子产生微小的能量差异，与此相对应的能级扩展为能带。

禁带（Forbidden Band）：允许被电子占据的能带称为允许带，允许带之间的范围是不允许电子占据的，此范围称为禁带。

原子壳层中的内层允许带总是被电子先占满，然后再占据能量更高的外面一层的允许带。

被电子占满的允许带称为满带，每一个能级上都没有电子的能带称为空带。

价带（Valence Band）：原子中最外层的电子称为价电子，与价电子能级相对应的能带称为价带。

适合初学者看的能带理论


03
分子能带理论
分子能级与电子排布
分子能级
分子中的原子在相互振动时，会形成 不同的能级，这些能级决定了分子的 稳定性和化学反应能力。
电子排布
分子中的电子按照能量高低在不同轨 道上排布，形成不同的电子构型，对 分子的化学性质产生影响。
分子光谱与电子跃迁
分子光谱
通过分析分子吸收或发射的光谱，可以了解分子内部能级结 构和电子排布。
量子计算与量子通信的能带理论基础
量子计算
量子计算利用量子力学的特性进行信息处理，能带理论在理解量子比特和量子门操作等 方面发挥了重要作用。
量子通信
量子通信利用量子态的传输进行信息传递，能带理论在量子密钥分发和量子隐形传态等 方面提供了理论基础。
能带理论与其他物理理论的交叉研究
凝聚态物理
能带理论与凝聚态物理密切相关，通过研究 不同材料的能带结构和物理性质，可以深入 理解物质的微观结构和宏观性质。
光子禁带
在光子晶体的能带结构中，某些频率的光不能在其中传播，这种现象被称为光子禁带。光子禁带的存在可以用来 控制光的传播和光与物质的相互作用。
光子在介质中的传播与散射
传播
当光子在介质中传播时，会受到介质的折射和反射。折射和反射的性质取决于光子的波长和介质的性 质。
散射
当光子与介质中的原子或分子相互作用时，可能会发生散射。散射会导致光的方向改变和能量的损失 。散射的性质取决于介质的微观结构和光子的波长。
太阳能电池原理与应用
01
02
03
光吸收与能带结构
太阳能电池利用半导体材 料的能带结构，通过光吸 收产生光生载流子，从而 实现光电转换。
光电转换效率
能带理论有助于理解光电 转换效率的限制因素，为 提高太阳能电池效率提供 理论指导。

凝聚态物理：第3章 能带理论


iVm
i, m
n
m
两边左乘：i*x xn ~ i, n
E
i
ak n
ak m
i, n Vm
i, m
m
E i eikxm xn i, n Vm i, m
m
E i eikxmxn i*x xn V xVat x xm i x xm dx
m
4、微扰能量
令： x xm
2
当△→0时：
V
E
V
Tn Tn
Vn Vn
2Tn
2Tn Vn
2Tn
2Tn Vn
1 1
结论： 在布里渊边界，发生“能级的排斥”
二、能带和能隙
1. 能带和能隙 自由电子能量（空盒子模型）受到周期
性势的作用。 k 远离 nπ/a 处的态（λ= na) 受到
的影响较小； 在nπ/a 处的态影响很显著，E(k)断开
根据关系：
Rn Rm
Rn
Rm
选取线性关系：
(r
Rn
Rn
)
K Rn
eik Rn
(r
)
证毕
二、K的值及物理意义
电子波选取周期性边界（同晶格振动）
(r )
(r
N11)
(r N22 ) (r N33)
根据Bloch波： eikRn 1
k Rn k (N11 N22 N33) h2
二、K的值及物理意义
l为整数
可以取：
k
l1 N1
b1
l2 N2
b2
l3 N3
b3
( l1 N1
,
l2 N2
,
l3 ) N3
根据周期性，可以把 li 限制在第一布里渊区：
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由于
2 2 2 d 2 d 0 0 0 0 V Ek k 0， V Ek k 0 2 2 2m dx 2m dx
所以
a V ( E Ek0 ) k0 b V ( E Ek0' ) k0 0
下面从紧束缚近似的角度， 即原子轨道线性组合的角度再来看能 带的形成。 如果完全不考虑原子之间的相互影响，则在格点
R m m1a1 m2a 2 m2a3 附近的电子将以原子束缚态 i (r R m ) 的形式环
绕 R m 点运动(假定每个原胞中只有一个原子)， i 表示孤立原子的波 动方程的本征态
设 a 与 b 是相邻的两原子， 它们的取向彼此正对着的两个杂化轨 道是 a , b ，则 a , b 可以组成两个不同的键轨道：成键态 a +b 与反 键态 a -b ，前者的能级较低，而后者的能级较高；前者的电子两原子 间密度较高，而后者的电子云在 a，b 两原子之间密度较低。当硅原 子组成硅晶体时，价电子能量状态要发生变化，如下面的图所示。
按照微扰理论，本征值的一级和二级微扰分别为
1 Ek k V k k (V ( x) V ) k k V ( x) k V 0
E
2 k k
k V k Ek0 Ek0'
2
一级微扰为零，为为计算二级微扰，需要计算矩阵元 k V k ，
k V k k (V ( x) V ) k k V ( x) k 1 i ( k k ') x e V ( x)dx L0 2 Vn , k k n a 0, 其它
L
因此能量的二级微扰可以写为：
E
2 k n
Vn
2
2 2 2 2 k (k n ) 2m a
2
由此可以看出，当
2 2 k (k n ) a
就是当 k n 时，能量的二级微扰发散。这是由于当 k
a


a
n ，k 与
2 n k k n n 所代表的态(0 级近似波函数)， 所代表的态， 即 与 a a a
能量作为 k 的函数的变化情况；图的左半部分是当 k 由 点出发，测 着 线，最后到达 L 点时，各能带能量作为 k 的函数变化的情况。图 中还标出了导带能量最小(导带底)与价带能量最大(价带顶)的点在 布里渊区中的位置。
从图中可以看出，硅的导带底位于 线上，即导带低处于布里渊 区[1,0,0]、[-1,0,0]、[0,1,0]，[0,-1,0]、[0,0,1]、[0,0,-1]六 个方向上，共有六个能量最小点，也叫做六个能谷。硅的价带顶处于
代入体系的波动方程，
2 d 2 V ( x) E ( x) 0 2 2m dx
得到
2 d 2 0 2 d 2 0 V ( x) E k b V ( x) E k 0 a 2 2 2m dx 2m dx
当光照射半导体时，价带电子吸收光子跃迁到导带，也就是光吸 收。在这一过程中，能量与准动量都要守恒。准动量守恒要求跃迁后 电子的准动量等于跃迁前电子的准动量与光子动量的和。 由于光子的 动量很小，单纯吸收光子的过程中，电子的准动量或 k 基本上保持不 变，这种跃迁称为竖直跃迁，因为跃迁前后的状态基本上处于布里渊 区的同一点。对于直接带隙半导体来说，由于导带底与价带顶位于布 里渊区的同一位置，单纯吸收能量足够的光子，电子就可由价带跃迁 到导带，对于间接带隙半导体，导带底与价带顶位于布里渊区的不同 位置，单纯吸收光子时，电子不能由价带顶跃迁到导带底，必须在吸 收光子的同时，吸收或发射一个声子。在这里光子主要提出跃迁所需 的能量，而声子则主要提供跃迁所需的准动量。由于与单纯吸收光子 的过程相比， 这是一个二级过程， 所以发生的就要小得多。 这就是说， 在间接带隙半导体中，当光子能量略大于林带宽度时，光吸收系数远 比直接禁带半导体小得多。
从各轨道的空间角分布可看到， s 的角分布是球形对称的，而 px , py , pz 的分布是哑铃状的,其方向分别沿 X,Y 和 Z 轴。杂化的结果 2， 3 ,4 分别指向正四面体四个 使哑铃的一头膨胀， 另一头缩小。1， 顶角方向。 这种杂化称为 sp3 杂化， 即一个 s 轨道和 3 个 p 轨道杂化。
设 N 个硅原子组成硅晶体，如果考虑自旋的两种取向，则每个硅 原子便有 2 个 3s 状态与 6 个 3p 状态， 即每个硅原子都有八个价电子 状态。当原子轨道组成键轨道时，状态数并未改变，因而 N 个硅原子 组成的硅晶体共有 4N 个成键状态与 4N 个反键状态， 即价带与导带各 有 4N 个状态。至于价电子数，因每个硅原子有四个 价电子，故 N 个 硅原子共有 4N 个价电子。在绝对零度下，这 4N 个价电子刚好充满了 价带的 4N 个状态，因而这时硅的价带是满的，导带是空的。在绝对 零度下，导带是空带，价带是満带，因而半导体是不导电的。当温度 上升时，价带的一些电子吸收热能跃迁到导带，这样导带有了电子， 价带有了空穴，半导体便开始有导电能力。
半导体发光二极管就是利用在 p-n 结上施加正向偏压， 通过注入 电子和空穴，形成非平衡的电子和空穴，使它们在复合时发出光子， 这正是上述光吸收过程的逆过程。由于光吸收情况下的同样原因，在 直接带隙半导体中这种发光的几率远大于间接带隙半导体， 因此制作 发光二极管，一般要用直接带隙半导体。发光的颜色(即所发出光子 的能量)取决于半导体的禁带宽度，例如，若要求发出可见光，则禁 带宽度应在 1.8~3.0eV 之间。 GaAs 在室温下的禁带宽度只有 1.35eV； GaP 在室温下的禁带宽度虽为 2.24eV，可惜是间接禁带半导体。 GaAs1-xPx 的禁带宽度大于 GaAs，而且，当 x<0.49 时，它是直接禁带 半导体，因而是制作发红光的发光二极管的重要材料。
0*
分别以 k 和 k0* ' 乘此式两边则可得到：
0 * a ( E E ) bV k n 0 0 aV b ( E E k') 0 n
其解为
E
E

a
0 k
E
0 k'
E
0 k
E
0 2 k'

4 Vn
2
2
Ek0 Vn Ek0' Vn
2
n,k e un,k (r )
ik r
其中， un ,k (r ) 是周期函数，它的周期与晶体的周期相同， n ,k 即布洛 赫函数。 n, k 共同标记晶体中单电子的运动状态， n 表示属于哪一个 能带， k 表示带中的哪一个状态。
通常限制 k 的取值于第一布里渊区。k 常称为单电子的准动量。
在能量上是简并的，且此时 Vn 0 ，因此在 k a n 附近，前面所用 的非简并微扰的方法是不适当的，应改用简并微扰的方法。

此时可将 k

a
n 与 k k n
0 k
2 a 代表的态重组合成新的波函数
0 k
( x ) a ( x ) b ( x )
2 2 2m V (r R m ) i (r R m ) ii (r R m )
V (r R m ) 为 R m 格点处的原子的势场， i 为原子的能级，i 即为相应的
n
即在 k
n 处，能级的简并被消除，出现了间隔为 2V 的能隙。
在零级近似中，电子被看成是自由粒子，能量本征值 Ek 与 k 间的
0
函数关系为抛物线的形式。 在周期性势场的作用下， 当k

a
n 时， E (k )
函数在此处断开，产生能量为 2 V n 的能隙。从而将准连续的能级分裂 为一系列的带，各带间的间隔分别为 2V1 , 2V2 , 2V3 , ，周期场的变化越 剧烈，各傅立叶系数也越大，能量间隙也就越宽。各能带之间的间隙 称为“带隙” ，也称为“禁带” 。 与晶格振动情况类似，每个布里渊区中 k 的数目为 N 个，等于晶格中 原胞的数目，由于电子的自旋投影可取两个方向，因此每个能带中可 包含 2N 个量子态。
上述方程是处在恒定场 V 中自由粒子的运动方程。其解为
2 2 1 k 0 0 ikx k ( x) e , Ek V 2m L
其中 L Na 为晶格的长度， N 为原胞总数， a 为晶格常数。如果取周 期性边界条件，则 k 只能取下列值
2 2 l k l L NaБайду номын сангаас， l 取整数。
对于硅原子的价电子来说，在原子组成晶体之际，电子状态发生 z 了重大的变化。 先是原子 3s 与 3p 能级的四个波函数 s , x , y , “杂 化”成为四个新的波函数 1 , 2 , 3 , 4 ，它们与 s , x , y , z 的关系 是：
1 1 = (s +px +py +pz ) 2 1 2 = (s +px -py -pz ) 2 1 3 = (s -px +py -pz ) 2 1 4 = (s -px -py +pz ) 2
假设在晶体内，所有原子核及所有其它电子对某一给定电子的 作用，可以似地用平均“有效”势场的作用来代替，这样一种近似称 为单电子近似。在单电子近似下，晶体中电子的定态薛定谔方程为：
2 -( V (r ))n ,k En (k )n ,k 2m
这里， V (r ) 是具有晶体周期性的平均“有效势场” ，可以证明
能带形成的简单分析
以硅为为例来说明能带形成的简要物理图像， 并说明半导体能带 结构的一些基本特点。硅原子有 14 个电子，其组态是 1s2, 2s2, 2p4, 3s2, 3p2，当 N 个硅原子集聚成硅晶体时，它们内层电子的电子的能 级 1s, 2s, 与 2p 分别转化为硅晶体的不同的能带。这些能带是 N 个 简并的原子能级在原子间的相互影响下分裂的结果。 对于原子的内层 电子来说，上述相互影响相当微弱，分裂很小，所以能带就很窄。