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不等式证明的基本方法
1.数学归纳法：归纳法是数学证明中最常用的方法之一，通常用来证
明自然数的性质。
对于不等式证明来说，如果我们希望证明不等式对于所
有自然数都成立，可以使用数学归纳法。
首先证明当自然数为1时不等式
成立，然后假设当自然数为k时不等式成立，再证明当自然数为k+1时不
等式也成立。
通过这种逐步推导的方法，可以证明不等式对于所有自然数
都成立。
2.数学推理法：数学推理法是一种基于数学定理和公理的推理方法，
通过逻辑推理来证明不等式的成立。
这种方法通常需要使用一些已知的数
学定理和性质来推导出不等式。
例如，可以使用数学的四则运算定律、平
方差公式、三角不等式等来推导不等式。
3.数学变换法：数学变换法是一种将不等式进行变换的方法，通过变
换不等式的形式来证明不等式的成立。
这种方法通常需要使用一些数学中
常见的变换方法，例如平方去根、换元法、倍加倍减等。
通过适当的变换，可以将不等式转化为更简单的形式，从而更容易证明。
无论采用哪种方法，不等式的证明都需要逻辑严谨、推理正确，以及
对数学定理和性质的熟练应用。
在实际证明中，常常需要综合运用多种方
法来解决问题，使得证明更加简洁和明了。
此外，证明中的每一步变换和
推理都需要严格地说明和证明，避免出现漏洞和错误。
不等式证明的几种常用方法一、比较法（1）差值比较法要证明a ＞b ,只要证明a -b ＞0。
①作差：考察不等式左右两边构成的差式，将其看作一个整体；②变形：把不等式两边的差进行变形，或变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变 形为一个或几个平方的和等等，其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的变形手段；③判断：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求证不等式成立的结论。
应用范围：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法。
【例一】求证：233x x +>证明：()()()222233223333x x x x +-=-+-+23330244x ⎛⎫=-+≥> ⎪⎝⎭233x x ∴+>(2)商值比较法已知a ,b 都是正数，要证明a ＞b ,只要证明a/b ＞1 ①作商：将左右两端作商； ②变形：化简商式到最简形式；③判断商与1的大小关系，就是判定商大于1或小于1。
应用范围：当被证的不等式两端含有幂、指数式时，一般使用商值比较法。
【例二】已知a,b>0，求证a b b a a b a b ≥证明： =∵a,b>0+,当a ＞b 时，＞1,a-b ＞0，＞1;当a≤b 时,≤1,a -b≤0, ≥1.∴≥1, 即a b b aa b a b ≥二、综合法利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是“由因导果”，从“已知”看“需知”，逐步推出“结论”。
其逻辑关系为：A-B1- B2- B3… Bn -B ，即从已知A 逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论B 。
重点：基本不等式【例三】已知a ,b ,c 是不全等的正数，求证 a (c 2+b 2)+b (a 2+c 2)+c (a 2+b 2)＞6abc .证明： 222a b ab +≥ ，222a c ac +≥，222c b bc +≥()222a b cabc ∴+≥，()222b acabc +≥，()222c ababc +≥∴a (c 2+b 2)+b (a 2+c 2)+c (a 2+b 2)≥6abc .又因为a ,b ,c 是不全等的正数所以有a (c 2+b 2)+b (a 2+c 2)+c (a 2+b 2)＞6abc .三、分析法分析法是指从需证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，进而转化为判定那个条件是否具备，其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”。
不等式的证明方法不等式是数学中一类重要的数学不等关系，它在各个领域中都有广泛的应用。
证明不等式的方法有很多，下面介绍几种常见的方法。
1.数学归纳法数学归纳法是一种常用的证明不等式的方法。
当不等式对于一些特定的n成立时，我们可以证明当n+1时，不等式也成立。
具体步骤如下：（1）首先验证当n=1时不等式成立；（2）假设当n=k时不等式成立，即不等式表达式为Pk(k)，其中Pk(k)表示当n=k时不等式的表达式；（3）利用假设的条件，证明当n=k+1时不等式也成立，即证明Pk(k+1)；（4）由(1)(2)步骤可知，不等式对于n=1成立，又由(3)步骤可知，当n=k+1时不等式也成立，综上可得，不等式对于所有的n成立。
2.数学推理数学推理是一种常用的证明不等式的方法，它主要是通过运用已知的数学定理、性质和等式进行逻辑推理，从而得出结论。
例如，可以利用已知的三角函数性质、代数运算等进行推理，通过一系列推导和等价变形得出需要证明的不等式。
3.代入法代入法是一种常用的证明不等式的方法，它主要是利用数值替换变量，通过对不等式成立条件的特殊取值进行代入，从而证明不等式成立。
例如，对于一个两个变量的不等式，可以分别取其中一个变量为0或1，然后对不等式进行推导和比较，得出结论。
4.反证法反证法是一种常用的证明不等式的方法，它通过假设所要证明的不等式不成立，然后从假设出发推导出与已知矛盾的结论，从而证明原不等式成立。
具体步骤如下：（1）假设不等式不成立，即存在一些条件使得不等式不成立，这个条件可以是一个数、一个式子等；（2）利用假设条件进行推导，推导出与已知矛盾的结论；（3）由于假设条件导致与已知矛盾，所以假设不成立，即原不等式成立。
5.AM-GM不等式（算术平均数-几何平均数不等式）AM-GM不等式是一种常用的证明不等式的方法。
它断言，若a1，a2，...，an是n个非负实数，则有(a1+a2+...+an)/n ≥√(a1*a2*...*an)，等号成立的条件是a1=a2=...=an。
高中数学不等式的证明高中数学中，不等式是一种重要的课程内容，也是数学证明的一个重要方向。
在本文中，我将对高中数学不等式的证明进行详细讨论。
不等式证明的一般步骤如下：1.提取已知条件：将不等式中的已知条件提取出来，以得到更清晰的表达式。
2.化简和变形：根据不等式的性质，对不等式进行适当的化简和变形操作，以便于进一步的证明。
3.应用不等式性质：应用已知的不等式性质、定理和公式，将给定的不等式与这些知识相结合，引入新的变量或不等式形式。
4.利用已知条件和定理进行推导：根据已知条件和定理，进行推导，从当前推导出的结论重新应用已知条件和定理。
5.逆向思考和反证法：如果直接的推导困难，可以尝试使用逆向思考或反证法来换一种证明的角度。
下面，我将通过实际的例子，对高中数学不等式的证明进行详细解释。
例子1：证明对于任意正实数a、b，有(a+b)² ≥ 4ab。
解：要证明这个不等式，我们可以根据一般的证明步骤来进行推导。
1.提取已知条件：已知条件为a、b是正实数。
2. 化简和变形：将不等式进行展开和化简得到a² + 2ab + b² ≥4ab。
3. 应用不等式性质：根据已知条件和定理，我们可以将不等式右边的4ab化简成2ab + 2ab，即得到a² + 2ab + b² ≥ 2ab + 2ab。
4. 利用已知条件和定理进行推导：我们可以继续推导，将左边的a² + b²进行分解成(a + b)² - 2ab，得到(a + b)² - 2ab ≥ 2ab + 2ab。
5. 逆向思考和反证法：我们可以将不等式进行变形，得到(a + b)² ≥ 4ab，即相当于证明了(a + b)² - 4ab ≥ 0。
由于(a + b)² - 4ab = (a - b)² ≥ 0，这是显然成立的，因为平方数是非负的。
不等式证明方法举例不等式是数学中的重要观点，它描述了数值之间的大小干系。
在数学解题过程中，屡屡需要证明各种各样的不等式。
本文将介绍一些常见的不等式证明方法，并通过实例演示其应用。
一、直接证明法直接证明法是最基本的证明方法之一，它的思路是依据不等式中的条件以及已知数学性质，通过逻辑推理得出结论。
例1：证明对于任意实数x，都有x^2≥0。
解：依据平方的定义，可知x^2≥0，所以不等式x^2≥0成立。
例2：证明对于任意实数x和y，都有xy≥0。
解：我们可以分两种状况进行谈论。
若x≥0，那么y≥0时，明显有xy≥0；若x<0，那么y<0时，也有xy≥0。
综上所述，不等式xy≥0成立。
二、数学归纳法数学归纳法是一种常用的证明方法，它常用于证明递推干系式或者命题在整数集上的成立状况。
例3：证明对于任意正整数n，下列不等式成立：1+2+3+...+n≤(n^2)/2。
解：当n=1时，左边等于1，右边等于1/2，不等式成立。
假设当n=k时不等式成立，即1+2+3+...+k≤(k^2)/2成立。
当n=k+1时，左边等于(1+2+3+...+k)+(k+1)，依据我们的假设，左边不超过(k^2)/2+(k+1)。
我们需要证明(k^2)/2+(k+1)≤((k+1)^2)/2，即不等式(k^2)+2k+2≤(k^2)+2k+1。
经过化简，可知2≤1，明显不成立。
因此，原不等式对于任意正整数n成立。
三、反证法反证法是一种常用的证明方法，它的思路是假设命题不成立，然后通过推理得出与已知条件冲突的结论，从而得出结论的正确性。
例4：证明当x为正实数时，不等式x+1/x≥2成立。
解：假设不等式不成立，即存在一个正实数x，使得x+1/x<2成立。
那么我们可以得到如下不等式：x^2+1<x^2+2x。
经过化简，得到1<2x，也就是1/2<x。
这与假设x为正实数冲突。
因此，原不等式成立。
四、数学推导法数学推导法是一种常用的证明方法，通过运用数学性质和已知条件，将不等式转化为等价的形式，从而得出结论。
不等式证明基本方法一、数学归纳法数学归纳法是证明自然数性质的一种基本方法，对于与整数有关的不等式，我们也可以利用数学归纳法进行证明。
其基本思路是先证明当n=1时不等式成立，再假设当n=k时不等式成立，然后通过数学推理证明当n=k+1时不等式也成立。
二、反证法当我们尝试利用数学归纳法证明不等式时，有时可能会遇到困难，这时我们可以尝试使用反证法。
反证法的证明过程是：先假设不等式不成立，然后推导出与已知条件或已证明的定理矛盾的结论，从而证明原不等式的正确性。
三、插值法插值法也是一种常见的不等式证明方法。
其基本思路是在待证不等式的两边加入适当的不等式，并利用不等式的传递性和可加减性进行推导，最终得到待证不等式的真假结论。
四、绝对值法对于涉及绝对值的不等式，我们可以利用绝对值的性质进行证明。
例如，对于，a-b，>c这样的绝对值不等式，我们可以根据绝对值的定义将其拆分为两个不等式，再分别进行证明。
另外，利用绝对值不等式的性质，我们还可以进行变量替换等操作，将原不等式化简为更简单的形式进行证明。
五、特殊化方法特殊化方法是指将不等式中的一些变量或参数取特殊值，从而达到简化不等式的目的。
例如，对于含有幂函数的不等式，我们可以通过取特殊值使得幂函数变为常数或者线性函数，从而将原不等式化简为更简单的形式。
综上所述，不等式证明的基本方法包括数学归纳法、反证法、插值法、绝对值法和特殊化方法等。
在具体的证明过程中，我们需要根据待证不等式的特点选择合适的方法，并灵活运用各种数学工具和技巧，从而得到准确的证明结论。
不等式证明方法不等式在数学中占有重要的地位，它是描述数之间大小关系的一种数学工具。
不等式证明方法是数学中的重要内容之一，本文将介绍不等式证明的几种常见方法，希望能够帮助读者更好地理解和掌握不等式的证明技巧。
一、数学归纳法。
数学归纳法是一种重要的数学证明方法，它通常用于证明某个命题对于一切自然数成立。
在不等式证明中，我们可以利用数学归纳法证明不等式的成立。
具体来说，我们首先证明不等式对于n=1时成立，然后假设不等式对于n=k时成立，再证明不等式对于n=k+1时也成立。
通过数学归纳法，我们可以比较简单地证明一些不等式的成立。
二、换元法。
换元法是不等式证明中常用的一种方法。
当我们遇到复杂的不等式时，可以通过适当的换元将不等式化简为更简单的形式，从而更容易进行证明。
换元法的关键在于选择合适的变量替换原不等式中的变量，使得不等式的结构更加清晰，证明过程更加简单明了。
三、分析法。
分析法是一种直接从不等式的定义出发，通过分析不等式的性质和特点来进行证明的方法。
在不等式证明中，我们可以通过分析不等式两边的大小关系，利用数学运算性质和数学规律，推导出不等式成立的条件，从而完成不等式的证明。
四、综合利用不等式性质。
不等式有许多性质，如传递性、对称性、反对称性等，我们可以通过综合利用这些性质来进行不等式的证明。
具体来说，我们可以利用不等式的传递性将复杂的不等式化简为简单的形式，再利用对称性和反对称性来推导不等式的成立条件，从而完成不等式的证明。
五、几何法。
在不等式证明中，几何法也是一种常用的证明方法。
通过几何图形的分析，我们可以直观地理解不等式的性质和特点，从而更容易进行证明。
在利用几何法进行不等式证明时，我们可以通过构造合适的几何图形，利用几何关系和几何性质来推导不等式的成立条件，完成不等式的证明。
六、数学推理法。
数学推理法是不等式证明中常用的一种方法，通过逻辑推理和数学推理来证明不等式的成立。
在利用数学推理法进行不等式证明时，我们可以通过分析不等式的性质和特点，运用数学推理规律和数学推理方法，推导出不等式成立的条件，完成不等式的证明。
不等式证明的几种方法1.直接证明法直接证明法是最常用的证明方法之一、该方法是通过运用数学定义、公理和已知条件，直接推导出要证明的不等式。
例如，要证明a+b≥2√ab，我们可以通过平方两边的方式将不等式变形为(a-b)^2≥0的形式，再通过数学运算的方式得出结论。
2.反证法反证法是常用的证明方法之一，尤其适用于不等式证明。
该方法是先假设要证明的不等式为假，然后通过推导得出与已知条件矛盾的结论，从而证明所假设的不等式为真。
例如，要证明3√ab≥2(a+b)不成立，我们可以先假设不等式成立，然后通过运算推导出与已知条件不符的结果。
由此可知，不等式不成立。
3.数学归纳法数学归纳法适用于一类特殊的不等式，即对于其中一自然数n，当n=1时不等式成立，且当n=k时不等式成立，则当n=k+1时不等式也成立。
通过反证法证明。
例如，要证明n^2<2^n，首先当n=1时，不等式成立。
假设当n=k时，不等式也成立，即k^2<2^k成立。
我们需要证明当n=k+1时，不等式也成立，即(k+1)^2<2^(k+1)成立。
通过反证法推导出与已知条件矛盾的结果，即可证明不等式成立。
4.几何法几何法可以通过将不等式转化为几何问题来证明。
例如，要证明a^2+b^2≥2ab，可以将不等式转化为平面上两点的距离的问题。
通过建立几何模型，可以直观地看出不等式成立的原因。
例如，可以将两个正方形的面积进行比较，或者使用勾股定理来解决问题。
5.代数方法代数方法是通过将不等式转化为代数方程或函数的性质来证明。
例如，要证明3a^2+3b^2+2c^2≥4ab+4bc+4ca，可以通过将不等式整理为一个二次函数的形式，然后通过对函数进行研究来得出结论。
以上是几种常见的不等式证明方法，其中每种方法都有其独特的适用范围和优势。
在实际应用中，根据具体的题目和情况选择合适的证明方法可以更高效地解决问题。
不等式证明一、不等式证明的方法与技巧 不等式证明的基础是对于任意实数a ,0≥a .常用方法有:比较法(作差比较、作商比较) 、分析法、综合法、放缩法、反证法、换元法、数学归纳法等等,证明方法因题而异,一题可以多种方法,能够显示选手的思维能力.例1 设a ,b ,c 是正实数,求证:))()(b (bc c b a b a c a c a -+-+-+≥.分析与解 设a ,b ,c 中a 最大,若a ≤+c b ,则不等式显然成立.若a c >+b ,则可以应用二元均值不等式))((b c a c b a -+-+[]ab c a c b a =-++-+≤)()(21同理ba cbc a b ≤-+-+))((,cb ac a b c ≤-+-+))((.以上三式相乘,即证.例2已知+∈Rd c b a ,,,,且4=+++d c b a .求证:42222≤+++bc d da c da b bc a .证明bc d da c da b bc a 2222+++)()(bd ac cd bd ac ab +++=))((bd ac cd ab ++=2)2(bd ac cd ab +++≤[]4))((2c bd a ++=4)2(41d c b a +++≤4=.例3 设a ，b ，c 为正实数，且1=++c b a ，证明:cabc ab bb ca a a bc c c ab ++≥++++++++1221221221222.证明 因1=++c b a 及abb a 222≥+,所以2)(ca bc ab ++abc ca b bc a a c c b b a 222222222222+++++=)(2)(22222c b a abc b a c b a +++++=abcb a abc 22222++≥.因此22)(221ca bc ab abc c ab ++≥++,同理 22)(221ca bc ab bca a bc ++≥++,22)(221ca bc ab cab b ca ++≥++,以上三式相加即证. 例4 若,0,0>>>z y x ,且1=xyz ,求证:21111111<+++++<zy x . 证明 任取0>a ,令by c ax b ==,,由1=xyz 得,,,caz b c y a b x ===从而有 z y x +++++111111ca cc b b b a a +++++=c b a c c b a b c b a a ++++++++>1=,又 c a c c b b b a a +++++2a =+++++++++++<cb c b c b a b a c b a c a ,所以 21111111<+++++<zy x . 例5 设cb a ,,是正实数,并且1=abc ,证明:1555555≤++++++++caa c cabc c b bc ab b a ab .分析与解 注意条件不等式的证明,充分利用abc=1,观察不等式左边各式特征,找到一个放缩式,由)(2255b a b a b a +-+))((3322≥--=b a b a有)(2255b a b a b a +≥+,所以cb a b a cb a ab b a ab 22552255++=++cb a b a b a cb a 222222)(++≤cb a c++=.以下略.例6 设c b a ,,是三角形三边,求证:)()()(222222b ac a c b c b a +++++abcc b a 2333+++>.证法一 作差变形,因式分解,注意到0>-+c b a ,>-+a c b ,>-+b c a .证法二 欲证不等式等价于acbc a bc c a b 22222222-++-+12222>-++abc b a⇔1cos cos cos >++C B A .这里C B A ,,分别为题设三角形三边 c b a ,,所对应的内角,应用三角变换,则可证.证法三 由B cC b a cos cos ⋅+⋅=,A c C a b cos cos ⋅+⋅=,于是)cos (cos cos )(B A c C b a b a +⋅++=+,即有 b a B A c C +++=)cos (cos cos 1,ba BA c C ++=-cos cos cos 1,1cos 1cos cos >+=-+cba C B A ,也即1cos cos cos >++C B A ,化归为解法二的最后不等式.C B A cos cos cos ++)cos(cos cos B A B A +-+=12cos 22cos 2cos 22++--+=B A B A B A)2cos 2(cos 2cos 21BA B A B A +--++= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=)2sin(2sin 22sin 21B A C12sin 2sin 2sin 41>+=CB A .例7 △ABC 的三边c b a ,,满足条件1=++c b a ,证明:3718)(5222≥+++abc c b a .证明 因为)(2)(2222ca bc ab c b a c b a ++-++=++)(21ca bc ab ++-=,所以,欲证的不等式等价于 274)(95≤-++abc ca bc ab .构造一个辅助函数）（c x b x a x x f ---=))(()(.一方面xca bc ab x c b a x x f )()()(23+++++-= abc-,所以)(95)95()95()95(23ca bc ab f +++-=abc-；另一方面 因c b a ,,是三角形的三条边长，所以21,,0<<c b a ，cb a ---95,95,95 均为正数,利用平均不等式, 有)95)(95)(95()95(c b a f ---=7298)95()95()95(2713=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+-≤c b a ,所以23)95)(()95(c b a ++-729895)(≤-+++abc ca bc ab ,即274)(95<-++abc ca bc ab .本题我们巧妙地构造了一个辅助函数)(x f ,通过从两个方面来考察)95(f ，使问题得到了证明.构造辅助函数是数学中经常使用的方法,主要是通过构造函数,把问题转化、进而对所作函数的性质进行研究,从而达到目的. 二、平均值不等式n i a i ,,2,1,0 =>, na a a A nn +++=21,n nn a a a G 21=,nn a a a n H 11121+++=,na a a Q nn 22221+++=,则nn n n Q A G H ≤≤≤.不等式中等号成立成立的条件是na a a === 21.例8 以知,,>c b a ,且1=++c b a ,求证:34113113113=+++++c b a .证明 应用 33222cb ac b a ++≤++.略. 例9 已知0,,>c b a ,且1111=+++++cc b b a a ,求证:12111222≥++cb a .证明 由已知,得 1111111111=+++++c b a ，令cz by ax 111,111,111+=+=+=,则1=++z y x ,由111-=x a ,111-=y b ,111-=zc ,得zz y y x x abc -⋅-⋅-=1111zyx y z x x z y +⋅+⋅+=32222=⋅⋅≥zxy y xz x yz ,从而32-≤abc ,得1231113222222≥≥++cb a cb a .例10 已知0,,>c b a ,且1=++c b a ,求证:427)1(1)1(1)1(1≥+++++a c c b b a .分析与解31===c b a 时,不等式中等号成立.此时49)311(311)1(1=+=+b a ,由二元均值不等式可得2916)1(81)1(1≥+++b a b a ， 2916)1(81)1(1≥+++c b c b ,2916)1(81)1(1≥+++a c a c ，以上三式相加,整理可得)(1681227ab ca bc c b a +++++-≥左)1(1681227ab ca bc +++-=,而 31)(312=++≥++c b a ab ca bc ,所以427)311(1681227=+-≥左.例11 已知)2,0(πα∈N n ∈,求证: ααα12sin1)sin 1(sin )12(+-<-+n n n .分析与解 只须证αααnn n sin )12(sin 1sin 112+>--+.αααn22sin sin sin 1++++= 左,应用均值不等式即可证.例121>n ,Nn ∈,证明:nn n nn n n C C C 1212-⋅≥+++ .分析与解 由二项式定理知1221-=+++nn nn n C C C ,又12121222221210-=--=++++-n nn ,应用Gn A n ≥即可证.例13 若n S n 1211+++= ,证明:（1）n nS n n n +<+1)1(；（2）nn S n nn -<---11)1(.分析与解nn n n n n n S n n 1342321211++++=+++=+n n n 134232+⋅⋅⋅⋅>nnn n 111）（+=+=,以下略.三、柯西不等式 设n i R b R a i i ,,2,1,, =∈∈,则22211)(n n b a b a b a +++))((2222122221n n b b b a a a ++++++≤ ,等号当且仅当i i b a λ=，（λ为常数,n i ,,2,1 =）时成立.例14 设0,,>c b a 且 1=abc ,试证:23)(1)(1)(1333≥+++++b a c c a b c b a .证法一 应用柯西不等式推论由1=abc ,得 ac ab cb c b a +=+223)(1,从而原不等式等价于23222222≥+++++ab ca b a ba bc a c ac ab c b , ）（）（）（）（左cb ca ba bc ac ab ab ca bc +++++++≥2232)(3)(2132=⋅≥++=abc ab ca bc .证法二 （平均值不等式）由xy y x 4422≥+,有42y x y x -≥ )0(>y ,得)(13c b a +))(12ac ab a +=b c a bc a 11(41111)1(2+-≥+=. 同理)11(411)(13ca b a c b +-≥+,)11(411)(13ba cb ac +-≥+,三式相加得23123)111(213=≥++≥abc c b a 左.例15 已知N n ∈,且2≥n ,求证:22n 211-n 21413121174<-++-+-< .证明 先变形n 211-n 214131211-++-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-+++=n 2141212)n 21211( )n 1211()n 2131211(+++-+++= n 212111++++= n n ,所以不等式等价于22n 21211174<++++< n n .由柯西不等式推论有nn n n n n 2)2()1(n 2121112+++++>++++ 74132≥+=n,又由柯西不等式有2)n 212111(+++++ n n⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++++++<222222)2(1)2(1)1(1)111(n n n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅-++++++<n n n n n n n 2)12(1)2)(1(1)1(121)211(=-=n n n ，22212111<+++++∴n n n ,故原不等式成立.例16 设n 是大于1的自然数,求证:3121221nC n C C n n nn n -<⋅++⋅+⋅ .证明 当n=2时,有22<, 当n=3时,有31<,所以下面证明中可设n ≥4. 联想到柯西不等式n nnnCn C C ⋅++⋅+⋅ 2121212121222)(21n nnn C C C n ++++++≤ ）（2121)12(6)12)(1(-⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=n n n n .于是若能证得312)12(6)12)(1(nn n n n n ⋅<-⋅++- ①即可，而①式等价于nn n n n 23)12)(132(22⋅<-++ ②,因为n ≥4，故1323,13,32222++>+≥>n n n n n n n ,所以②成立,n=2,3时已检验原不等式成立. 所以对1>n 的自然数有3121221nC n C C n n nnn⋅<⋅++⋅+⋅- .例17 设n x x x ,,2 为正实数,证明:n x x x x x x x x nn <+++++++++22122212211111 .证明 由柯西不等式知∑∑==+++≤+++ni i ini iix x x n x x x 12221221221)1()1( ,而对+∈Nk ,均有22212)1(k kx x x +++)1)(1(2212121212k k k kx x x x x x +++++++≤--2212121211111kk k x x x x x ++++-+++=-- .于是∑∑=-=+++-+++≤+++n i ii ni i i x x x x n x x x 1221212121221)1111()1( 1111221<+++-=nx x . 所以,由①知nx x x ni ii∑=<+++12211 .例18 已知正实数c b a ,,满足1=++ca bc ab ,证明:2143131211222<+++++c b a .证明 设2tan ,2tan ,2tan Cc B b A a === ),,0(π<<C B A .由条件式1=++ca bc ab ,有12tan 2tan 2tan 2tan 2tan 2tan =⋅+⋅+⋅A C C B B Aπ=++C B A ,于是23cos cos cos ≤++C B A .利用柯西不等式有2cos32cos 22cos 131211222CB A c b a ++=+++++)2cos 2cos 2)(cos 321(222222C B A ++++≤)2cos cos cos 3(14CB A +++=2143)2233(14=+≤.因为第一个不等式等号成立的条件是32cos22cos 12cos C B A ==,第二个不等式等号成立的条件是3π===C B A ,所以两个等号不可能同时成立，故2143131211222<+++++c b a .例19 设+∈Rd c b a ,,,,证明:3232323232≥+++++++++++c b a d b a d c a d c b d c b a .证明∑∑∑∑++≥++=++=)32()()32(3222d c b a a d c b a ad c b a 左32424)(22=+==∑∑∑∑∑ababa aba ,所以,原不等式成立. 此题推广 设+∈R x i),,2,1(n i =,且i i n x x =+)1(i n i -≤≤),则12)(20121-≥-+++∑=-+++n x i n x x x n i n i i i i .说明:柯西不等式的灵活应用,不仅在于如何找出两组符合条件的数组,它们能符合公式中的项数、次数、系数和元素等对应的特征,更重要的是对于它的几种常见的变形的理解,以及它与其他不等式的结论的联合应用.四、综合例子例20 设+∈R z y x ,,,且1=++z y x ,证明:∑≥-81)1(24y y x .证明)1()1()1(242424x x zz z y y y x -+-+-=左 )1()1()1()(2222222x x z z y y z y x -+-+-++≥)()()3(33322z y x z y x z y x ++-++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++≥)(191333z y x ++-=.又 zzy y x x z y x 444333++=++22222222)()(z y x zy x z y x ++=++++≥ 913)(22=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++≥z y x .所以 8191191=-≥左边.原不等式得证. 例21 已知c b a ,,是正实数,求证:cb a b ac b a a c c b b a ++-+++≥++2222)(4.证明 由2222)(bab a b a +-=-,则b b a b a b a 22)(2-+-=, c c b c b c b 22)(2-+-=, aa c a c a c 22)(2-+-=, 原不等式等价于cb a b a a ac c c b b b a ++-≥-+-+-2222)(4)()()( ①.为证明不等式①，应用柯西不等式推论cb a b ac b a c cb a b ac b a c ++-+-+-≥++-+-+-≥22)()(左cb a b ac b a b a ++-=++-=22)(4)2(.例22 设0,,>c b a 且 8=abc ,证明:34)1)(1()1)(1()1)(1(332332332≥++++++++a c cc b bb a a①.证明 注意到22211)1)(1(12223+=+++-≤++-=+t t t t t t t t ，如果能证明不等式31)2)(2()2)(2()2)(2(222222222≥++++++++a c c c b b b a a ②成立，就可得到待证的不等式. 令2ax =，2by =，2cz =，且使64=xyz ，则不等式②变为31)2)(2()2)(2()2)(2(≥++++++++x z z z y y y x x ③,去分母，展开并化简，得72)()(2≥+++++zx yz xy z y x ④,应用A-G 不等式即可证④.例23 设c b a ,,为三角形的三边长,证明:cabc ab b c a c a c b a c b b c b a c b a a b c a ++≥-+-++-+-++-+-+)()()()()()(444.证明 设x b c a =-+，y c b a =-+，z a c b =-+，则2y x a +=，2z y b +=，2x z c +=，z y x c b a ++=++，于是，所求证的不等式左边等价于)(2)(2)(2444x z x z z y z y y x y x K +++++=,由柯西不等式推论得)(2)(22222222z y x z y x K ++++≥， cabc ab c b a z y x z y x K ++≥++=++≥++≥3)(3)(22222.例24 已知正实数dc b a ,,,满足1=+++d c b a ,证明:81)()(622223333++++≥+++d c b a d c b a .证法一 结论不等式等价于))((8)(4822223333d c b a d c b a d c b a ++++++≥+++3)(d c b a ++++.整理， 得)(393333d c b a +++）（dab cda bcd abc +++≥6[])()(1122222222da cd bc ab a d d c c b b a ++++++++)(2222b d a c d b c a ++++.由均值不等式,得abc c b a ≥++3333， bcddc b ≥++3333，acd d c a ≥++3333， abddb a ≥++3333.以上四式相加,得）（dab cda bcd abc d c b a +++≥+++6)(63333.于是， 只须证明)(333333d c b a +++[])()(1122222222da cd bc ab a d d c c b b a +++++++≥)(2222b d a c d b c a ++++,不妨设d c b a ≥≥≥,则由排序不等式即可证出,其中等号成立,当且仅当41====d c b a .证法二 根据幂平均不等式得6414433333=+++≥+++）（）（d c b a d c b a则81)(23333≥+++d c b a ①由均值不等式得41)(4122222=+++≥+++d c b a d c b a ②由柯西不等式 得3333dc b a +++))((3333d c b a d c b a ++++++=22222)(d c b a +++≥.结合②)(412222d c b a +++≥ ③结合①,③,即得所证不等式. 证法三 显然)1,0(,,,∈d c b a ,下面证明8156)(23-≥-=x x x x f )10(<<x .经整理，知上式等价于01584823≥+--x x x )10(<<x .精品资料 欢迎下载而 0)13()14(15848223≥+-=+--x x x x x , 所以上式成立.于是81848)(5)()()()(=-+++≥+++d c b a d f c f b f a f . 结论得证.例25 m 个互不相同的正偶数和n 个互不相同的正奇数的总和为1987,对于所有的这样的m 与n,问3m+4n 的最大值是多少?证明你的结论.分析 先根据题设条件求得3m+4n 的一个上界,然后举例说明此上界可以达到,从而得到3m+4n 的最大值.解 设m a a a ,,2,1 是m 个互不相同的正偶数,n b b b ,,2,1 是互不相同的正奇数,使得 19872121=+++++++n m b b b a a a ① 这时分别有)1(24221+=+++≥+++m m m a a a m ② 221)12(31nn b b b n =-+++≥+++ ③ 由①,②,③得198722≤++n m m , 因而有 4119875)21(434)21(32222+≤++⋅+≤++n m n m , 即 7949254233≤++n m 由于n m 43+为整数,所以 22143≤+n m .另一方面,当m=27,n=35时198122=++n m m ,且22143=+n m ,故3m+4n 的最大值为221.。
