二次函数的三种表示形式

二次函数的三个表达式
二次函数的三个表达式
二次函数是一个非常重要的函数，它有三种标准形式的表达式，分别
是一般型、完全型、标准型的表达式，它们可以应用于多学科，对于
任意二次函数都可以使用其中一种表达式来表示它。

一、一般型的表达式
一般型的表达式是指的是y=ax^2 + bx + c的形式，其中a，b，c为
实数，其中a不能等于0，这是一般型表达式的特点，这也是二次函数最基本的表达方式。

二、完全型的表达式
完全型表达式是一般型的扩展，它的表达式形式为y=ax^2 + bx + c + dx + e，其中a、d不能同时为0，其他的参数都可以为0，但是参数a不能为0.完全型的表达式是二次函数的一种重要形式，它可以很好
地表示一个函数的形状，起到了很重要的作用。

三、标准型的表达式
标准型的表达式是二次函数最常用的表达式形式，它有一个标准的表
达式形式，即 y = a(x - h)^2 + k，参数a不能等于0，其中h为x
轴上的横坐标，k为y轴上的纵坐标。

标准型表达式最大的优点就是能够很容易地根据函数的图像来确定各参数的值，这个特点使得它在实
际应用中非常有用。

总结
以上就是二次函数的三个表达式的介绍，它们各有优缺点，在具体应
用中应根据具体情况来选择适合的表达式。

正确的使用三种表达式就可以很好地表达二次函数的特性。

二次函数的表达式常见的三种形式：
1、一般式：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 为常数，且，
当已知抛物线上任意三点坐标时，通常设其函数表达式为一般式，然后列出关于c b a ,,的三元一次方程组求解；
2、顶点式：)0,,(2≠++=a k h a k h x a y 为常数，且）（，当已知抛物线的顶点坐标和抛
物线上另一点的坐标时，通常先设函数的表达式为顶点式，然后将另一点的坐标带入，解关于a 的一元一次方程；
3、交点式（拓展）：)0,,)()((2121≠--=a x x a x x x x a y 为常数，且，其中21,x x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标.当已知抛物线与x 轴的交点及抛物线上另一点坐标时，通常先设其函数表达式为))((21x x x x a y --=，然后将另一点的坐标带入求出待定系数a .。

二次函数的三种表示方式高中必备知识点1：一般式形如下面的二次函数的形式称为一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)；典型考题【典型例题】已知抛物线y ＝ax 2+bx +c 的对称轴为x ＝﹣1，且过点（﹣3，0），（0，﹣3）． （1）求抛物线的表达式．（2）已知点（m ，k ）和点（n ，k ）在此抛物线上，其中m ≠n ，请判断关于t 的方程t 2+mt +n ＝0是否有实数根，并说明理由．【答案】（1）y ＝x 2+2x ﹣3；（2）方程有两个不相等的实数根． 【解析】（1）抛物线y ＝ax 2+bx +c 的对称轴为x ＝﹣1，且过点（﹣3，0），（0，3） 9a ﹣3b +c ＝0930312a b c c b a⎧⎪-+=⎪=-⎨⎪⎪-=-⎩ 解得a ＝1，b ＝2，c ＝﹣3 ∴抛物线y ＝x 2+2x ﹣3；（2）∵点（m ，k ），（n ，k ）在此抛物线上， ∴（m ，k ），（n ，k ）是关于直线x ＝﹣1的对称点， ∴+2m n＝﹣1 即m ＝﹣n ﹣2 b 2﹣4ac ＝m 2﹣4n ＝（﹣n ﹣2）2﹣4n ＝n 2+4＞0∴此方程有两个不相等的实数根．【变式训练】抛物线的图象如下，求这条抛物线的解析式。

(结果化成一般式)【答案】【解析】由图象可知抛物线的顶点坐标为（1，4），设此二次函数的解析式为y=a（x-1）2+4把点（3，0）代入解析式，得：4a+4，即a=-1所以此函数的解析式为y=-（x-1）2+4故答案是y=-x2+2x+3．【能力提升】如图，在平面直角坐标系中，抛物线先向右平移2个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线. （1）求抛物线的解析式（化为一般式）；（2）直接写出抛物线的对称轴与两段抛物线弧围成的阴影部分的面积.【答案】(1) ;(2)4.【解析】 （1）抛物线的顶点坐标为，把点先向右平移2个单位，再向下平移2个单位后得到的点的坐标为，抛物线的解析式为；（2）顶点坐标为，且抛物线的对称轴与两段抛物线弧围成的阴影部分的面积，抛物线的对称轴与两段抛物线弧围成的阴影部分的面积.高中必备知识点2：顶点式形如下面的二次函数的形式称为顶点式：y ＝a (x -h )2＋k (a ≠0)，其中顶点坐标是(h ，k )．典型考题【典型例题】已知二次函数21322y x x =-++． ⑴用配方法将此二次函数化为顶点式； ⑵求出它的顶点坐标和对称轴方程．【答案】（1）()21122y x =--+；（2）（1，2），直线1x = 【解析】 （1）21322y x x =-++()21232y x x =--- ()2121132y x x =--+--()212142y x x ⎡⎤=--+-⎣⎦ ()21142y x ⎡⎤=---⎣⎦()21122y x =--+（2）∵()21122y x =--+∴顶点坐标为（1，2），对称轴方程为直线1x =.【变式训练】已知二次函数的图象的顶点是（﹣1，2），且经过（1，﹣6），求这个二次函数的解析式． 【答案】二次函数的解析式为y=﹣2（x+1）2+2． 【解析】∵二次函数的图象的顶点是（﹣1，2），∴设抛物线顶点式解析式y=a （x+1）2+2，将（1，﹣6）代入得，a （1+1）2+2=﹣6， 解得a=﹣2，所以，这个二次函数的解析式为y=﹣2（x+1）2+2．【能力提升】二次函数的图象经过点(03)A -，，(23)B -，，(10)C -，． （1）求此二次函数的关系式； （2）求此二次函数图象的顶点坐标；（3）填空：把二次函数的图象沿坐标轴方向最少．．平移 个单位，使得该图象的顶点在原点．【答案】（1）322--=x x y ；（2）（1，-4）；（3）5【解析】（1）设c bx ax y ++=2，把点(03)A -，，(23)B -，，(10)C -，代入得 ⎪⎩⎪⎨⎧=---=++-=03343b a c b a c ，解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-==321c b a∴322--=x x y ；（2）∵4)1(3222--=--=x x x y∴函数的顶点坐标为（1，-4）； （3）∵|1-0|+|-4-0|=5∴二次函数的图象沿坐标轴方向最少平移5个单位，使得该图象的顶点在原点．高中必备知识点3：交点式形如下面的二次函数的形式称为交点式：y ＝a (x －x 1) (x －x 2) (a ≠0)，其中x 1，x 2是二次函数图象与x 轴交点的横坐标．典型考题【典型例题】已知在平面直角坐标系中，二次函数 y =x 2+2x +2k ﹣2 的图象与 x 轴有两个交点． （1）求 k 的取值范围；（2）当 k 取正整数时，请你写出二次函数 y =x 2+2x +2k ﹣2 的表达式，并求出此二次函数图象与 x 轴的两个交点坐标．【答案】（1）k ＜；（2）（﹣2，0）和（0,0）.【解析】（1）∵图象与x轴有两个交点，∴方程有两个不相等的实数根，∴解得（2）∵k 为正整数，∴k=1．∴令y=0，得解得∴交点为（﹣2，0）和（0，0）.【变式训练】已知二次函数的图象经过点(3，－8)，对称轴是直线x＝－2，此时抛物线与x轴的两交点间距离为6.(1)求抛物线与x轴两交点坐标；(2)求抛物线的解析式．【答案】(1)(－5，0)，(1，0)；（2）y＝－x2－2x＋.【解析】(1) ∵因为抛物线对称轴为直线x=-2，且图象与x轴的两个交点的距离为6，∴点A、B到直线x=-2的距离为3，∴A为（-5，0），B为（1，0）；(2)设y＝a(x＋5)(x－1)．∵点(3，－8)在抛物线上，∴－8＝a(3＋5)(3－1)，a＝－，∴y＝－x2－2x＋.【能力提升】已知二次函数y＝x2﹣4x+3．（1）求该二次函数与x轴的交点坐标和顶点；（2）在所给坐标系中画出该二次函数的大致图象，并写出当y＜0时，x的取值范围．【答案】（1）二次函数与x轴的交点坐标为（1，0）（3，0），抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）；（2）图见详解；当y＜0时，1＜x＜3．【解析】（1）当y＝0时，x2﹣4x+3＝0，解得x1＝1，x2＝3，所以该二次函数与x轴的交点坐标为（1，0）（3，0）；因为y＝x2﹣4x+3＝x2﹣4x+4﹣1＝（x﹣2）2﹣1，所以抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）；（2）函数图象如图：由图象可知，当y＜0时，1＜x＜3．专题验收测试题1．将抛物线y＝﹣2（x+1）2﹣2向左平移2个单位，向下平移3个单位后的新抛物线解析式为（）A．y＝﹣2（x﹣1）2+1 B．y＝﹣2（x+3）2﹣5C．y＝﹣2（x﹣1）2﹣5 D．y＝﹣2（x+3）2+1【答案】B【解析】解：将抛物线y＝﹣2（x+1）2﹣2向左平移2个单位，向下平移3个单位后的新抛物线解析式为：y＝﹣2（x+3）2﹣5．故选：B．2．二次函数y＝﹣2（x﹣1）2+3的图象的顶点坐标是（）A．（1，3）B．（﹣1，3）C．（1，﹣3）D．（﹣1，﹣3）【答案】A【解析】解：二次函数y＝﹣2（x﹣1）2+3的图象的顶点坐标为（1，3）．故选：A．3．若二次函数y＝（k+1）x2﹣2x+k的最高点在x轴上，则k的值为（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2【答案】D【解析】∵二次函数y＝（k+1）x2﹣2x+k的最高点在x轴上，∴△＝b2﹣4ac＝0，即8﹣4k（k+1）＝0，解得：k1＝1，k2＝﹣2，当k＝1时，k+1＞0，此时图象有最低点，不合题意舍去，则k的值为：﹣2．故选：D．4．已知二次函数为常数，且），（）A．若，则的增大而增大；B．若，则的增大而减小；C．若，则的增大而增大；D．若，则的增大而减小；【答案】C【解析】解：∵y=ax2+（a+2）x-1对称轴直线为，x=-=-．由a＜0得，-＞0．∴-＞-1．又∵a＜0∴抛物线开口向下．故当x＜-时，y随x增大而增大．又∵x＜-1时，则一定有x＜-．∴若a＜0，则x＜-1，y随x的增大而增大．故选：C．5．二次函数y＝3（x﹣1）2+2，下列说法正确的是（）A．图象的开口向下B．图象的顶点坐标是（1，2）C．当x＞1时，y随x的增大而减小D．图象与y轴的交点坐标为（0，2）【答案】B【解析】解：A、因为a＝3＞0，所以开口向上，错误；B、顶点坐标是（1，2），正确；C、当x＞1时，y随x增大而增大，错误；D、图象与y轴的交点坐标为（0，5），错误；故选：B．6．将抛物线y＝x2﹣x+1先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则所得抛物线的表达式为（）A．y＝x2+3x+6 B．y＝x2+3x C．y＝x2﹣5x+10 D．y＝x2﹣5x+4【答案】A【解析】，当向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得.故选A．7．把抛物线y＝ax2+bx+c图象先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得的图象的解析式是y＝x2+5x+6，则a﹣b+c的值为（）A．2 B．3 C．5 D．12【答案】B【解析】y＝x2+5x+6＝（x+）2﹣．则其顶点坐标是（﹣，﹣），将其右左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到（﹣）．故原抛物线的解析式是：y＝（x+）2+＝x2+x+3．所以a＝b＝1，c＝3．所以a﹣b+c＝1﹣1+3＝3．故选B．8．已知二次函数y＝﹣（x﹣k+2）（x+k）+m，其中k，m为常数．下列说法正确的是（）A．若k≠1，m≠0，则二次函数y的最大值小于0B．若k＜1，m＞0，则二次函数y的最大值大于0C．若k＝1，m≠0，则二次函数y的最大值小于0D．若k＞1，m＜0，则二次函数y的最大值大于0【答案】B【解析】∵y＝﹣（x﹣k+2）（x+k）+m＝﹣（x+1）2+（k﹣1）2+m，∴当x＝﹣1时，函数最大值为y＝（k﹣1）2+m，则当k＜1，m＞0时，则二次函数y的最大值大于0．故选：B．9．关于抛物线，下列说法错误．．的是（）．A．开口向上B．与轴只有一个交点C．对称轴是直线D．当时，的增大而增大【答案】B【解析】解：A、，抛物线开口向上，所以A选项的说法正确；B、当时，即，此方程没有实数解，所以抛物线与x轴没有交点，所以B选项的说法错误；C、抛物线的对称轴为直线，所以C选项的说法正确；D、抛物线开口向上，抛物线的对称轴为直线，则当时，y随x的增大而增大，所以D选项的说法正确．故选：B．10．将抛物线y＝﹣3x2+1向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得到的抛物线为（）A．y＝﹣3（x﹣2）2+4 B．y＝﹣3（x﹣2）2﹣2C．y＝﹣3（x+2）2+4 D．y＝﹣3（x+2）2﹣2【答案】D【解析】将抛物线y＝﹣3x2+1向左平移2个单位长度所得直线解析式为：y＝﹣3（x+2）2+1；再向下平移3个单位为：y＝﹣3（x+2）2+1﹣3，即y＝﹣3（x+2）2﹣2．故选D．11．已知抛物线经过点，则该抛物线的解析式为__________．【答案】【解析】解：将A、O两点坐标代入解析式得：，解得：，∴该抛物线的解析式为：y=.12．二次函数y=（a-1）x2-x+a2-1 的图象经过原点，则a的值为______．【答案】-1【解析】解：∵二次函数y=（a-1）x2-x+a2-1 的图象经过原点，∴a2-1=0，∴a=±1，∵a-1≠0，∴a≠1，∴a的值为-1．故答案为：-1．13．将二次函数y=x2的图象先向上平移1个单位，然后向右平移2个单位，得到新的二次函数的顶点式为______．【答案】y=（x-2）2+1【解析】解：将抛物线y=x2的图象先向上平移1个单位，然后向右平移2个单位后，得到的抛物线的表达式为y=（x-2）2+1，故答案为：y=（x-2）2+1．14．将抛物线y＝2x2平移，使顶点移动到点P（﹣3，1）的位置，那么平移后所得新抛物线的表达式是_____．【答案】y＝2（x+3）2+1【解析】抛物线y＝2x2平移，使顶点移到点P（﹣3，1）的位置，所得新抛物线的表达式为y＝2（x+3）2+1．故答案为：y＝2（x+3）2+115．在平面直角坐标系xOy 中，函数y = x2的图象经过点M (x1 , y1 ) ，N (x2 , y2 ) 两点，若- 4< x1<-2，0< x2<2 ，则y1 ____ y2 . （用“ <”，“=”或“>”号连接）【答案】>【解析】解：抛物线y=x2的对称轴为y轴，而M（x1，y1）到y轴的距离比N（x2，y2）点到y轴的距离要远，所以y1＞y2．故答案为：＞．16．小颖从如图所示的二次函数的图象中，观察得出了下列信息：；；；；．你认为其中正确信息的个数有______．【答案】【解析】解：抛物线的对称轴位于y轴左侧，则a、b同号，即，抛物线与y轴交于正半轴，则，所以，故错误；如图所示，当时，，所以，故正确；对称轴，，则如图所示，当时，，，，故正确；如图所示，当时，，故错误；综上所述，正确的结论是：．故答案是：．17．已知二次函数y＝﹣x2+bx﹣c的图象与x轴的交点坐标为（m﹣2，0）和（2m+1，0）．（1）若x＜0时，y随x的增大而增大，求m的取值范围；（2）若y ＝1时，自变量x 有唯一的值，求二次函数的解析式． 【答案】（1）31=m （2）y ＝﹣x 2﹣4x ﹣3和y ＝﹣x 2﹣16x ﹣63． 【解析】解：（1）由题意可知，二次函数图象的对称轴为x ＝2213122m m m -++-=，∵a ＝﹣1＜0，∴二次函数的图象开口向下， ∵x ＜0时，y 随x 的增大而增大，∴312m -≥0， 解得m ≥13，（2）由题意可知，二次函数的解析式为y ＝﹣（x ﹣312m -）2+1， ∵二次函数的图象经过点（m ﹣2，0）， ∴0＝﹣（m ﹣2﹣312m -）2+1， 解得m ＝﹣1和m ＝﹣5，∴二次函数的解析式为y ＝﹣x 2﹣4x ﹣3和y ＝﹣x 2﹣16x ﹣63． 18．设二次函数y 1＝ax 2+bx +a ﹣5（a ，b 为常数，a ≠0），且2a +b ＝3． （1）若该二次函数的图象过点（﹣1，4），求该二次函数的表达式；（2）y 1的图象始终经过一个定点，若一次函数y 2＝kx +b （k 为常数，k ≠0）的图象也经过这个定点，探究实数k ，a 满足的关系式；（3）已知点P （x 0，m ）和Q （1，n ）都在函数y 1的图象上，若x 0＜1，且m ＞n ，求x 0的取值范围（用含a 的代数式表示）．【答案】（1）y ＝3x 2﹣3x ﹣2；（2）k ＝2a ﹣5；（3）x 0<．【解析】解：（1）∵函数y 1＝ax 2+bx +a ﹣5的图象经过点（﹣1，4），且2a +b ＝3 ∴，∴，∴函数y 1的表达式为y ＝3x 2﹣3x ﹣2； （2）∵2a +b ＝3∴二次函数y1＝ax2+bx+a﹣5＝ax2+（3﹣2a）x+a﹣5，整理得，y1＝[ax2+（3﹣2a）x+a﹣3]﹣2＝（ax﹣a+3）（x﹣1）﹣2∴当x＝1时，y1＝﹣2，∴y1恒过点（1，﹣2）∴代入y2＝kx+b得∴﹣2＝k+3﹣2a得k＝2a﹣5∴实数k，a满足的关系式：k＝2a﹣5（3）∵y1＝ax2+（3﹣2a）x+a﹣5∴对称轴为x＝﹣，∵x0＜1，且m＞n∴当a＞0时，对称轴x＝﹣，解得，当a＜0时，对称轴x＝﹣，解得（不符合题意，故x0不存在）故x0的取值范围为：19．已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A和点B（1）求该二次函数的解析式；（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标．【答案】(1) y＝x2﹣4x﹣6；（2）对称轴为x＝2；顶点坐标是（2，﹣10）．【解析】（1）根据题意，得，解得，∴所求的二次函数的解析式为y＝x2﹣4x﹣6．（2）又∵y＝x2﹣4x﹣6＝（x﹣2）2﹣10，∴函数图象的对称轴为x＝2；顶点坐标是（2，﹣10）．20．如图，对称轴为直线x=-1的抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于A、B两点，其中A点的坐标为（-3，0），C为抛物线与y轴的交点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P在抛物线上，且S△POC=2S△BOC，求点P的坐标．【答案】（1）y＝x2+2x﹣3；（2）点P的坐标为（2，5）或（﹣2，﹣3）【解析】（1）∵抛物线的对称轴为x＝﹣1，A点的坐标为（﹣3，0），∴点B的坐标为（1，0）．将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式得：解得：b＝2，c＝﹣3，∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3．（2）∵将x＝0代y＝x2+2x﹣3入，得y＝﹣3，∴点C的坐标为（0，﹣3）．∴OC＝3．∵点B的坐标为（1，0），∴OB＝1．设点P的坐标为（a，a2+2a﹣3），则点P到OC的距离为|a|．∵S△POC＝2S△BOC，∴12OC•|a|＝12OC•OB，即12×3×|a|＝2×12×3×1，解得a＝±2．当a＝2时，点P的坐标为（2，5）；当a＝﹣2时，点P的坐标为（﹣2，﹣3）．∴点P的坐标为（2，5）或（﹣2，﹣3）．21．已知抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4a（a≠0）．（1）直接写出该抛物线的对称轴．（2）试说明无论a为何值，该抛物线一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标．【答案】（1）；（2）抛物线一定经过点.【解析】解：（1）该抛物线的对称轴为x=-;（2）可化为，当，即时，，抛物线一定经过点.22．如图，已知点A(-1，0)，B(3，0)，C(0，)在抛物线y=ax2+bx+c 上.(1)求抛物线解析式；(2)在第一象限的抛物线上求一点P，使△PBC的面积为.【答案】(1)；(2)点P的坐标为(1，2)或(2，).【解析】(1)设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3)，将C(0，)代入，得-3a=，解得∴抛物线的解析式为(2)过点P作PD⊥x轴于D.设点，∴S四边形ACOB=S梯形PDOC+S△PBD =(=∴S△PBC=S四边形PCOB- S△BOC=整理得，解得x=1或x=2.∴点P的坐标为(1，2)或(2，)。

二次函数公式顶点式交点式两根式之欧阳与创编二次函数是一种常见的函数形式，其数学表达式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。

在本文中，将介绍三种表示二次函数的常用公式：顶点式、交点式和两根式。

这些公式在解决二次函数相关问题时非常有用。

一、顶点式：二次函数的顶点式是f(x)=a(x-h)^2+k，其中(h,k)为顶点坐标。

顶点式的形式非常简洁，可以直接得到二次函数的顶点坐标。

为了将二次函数转换为顶点式，我们需要用完全平方公式将其展开。

具体的步骤如下：1. 将一般式的二次函数f(x) = ax^2 + bx + c中的二次项系数a设为1、如果原二次函数的二次项系数不为1，可以通过提取公因式将a提取出来。

2. 将二次项系数a直接与x^2写在一起，形式为a(x^2 + bx)。

3. 利用完全平方公式将x^2 + bx部分展开。

完全平方公式为(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2，其中x和y为任意实数。

4. 根据完全平方公式，我们可以将x^2 + bx展开为(x + b/2)^2 - (b/2)^25.将展开后的表达式代入二次函数原式中，得到f(x)=a[(x+b/2)^2-(b/2)^2]+c。

6. 根据代数运算的基本原理进行展开，得到f(x) = a(x^2 + bx + b^2/4) - ab^2/4 + c。

7. 将展开后的表达式进行整理，得到f(x) = ax^2 + bx - ab^2/4 + c。

8. 将二次项系数a重新恢复到原来的值，得到顶点式f(x) = a(x -h)^2 + k，其中h = -b/2a，k = c - ab^2/4a。

顶点式可以直接得到二次函数的顶点坐标(h,k)，且通过观察可以得到该二次函数的开口方向（开口向上或开口向下）。

当a>0时，二次函数的开口向上；当a<0时，二次函数的开口向下。

二、交点式：二次函数的交点式是f(x)=a(x-x1)(x-x2)，其中(x1,0)、(x2,0)为二次函数的两个根。

二次函数的图像及其三种表达式之阿布丰王创作学生：时间：学习目标1、熟悉罕见的二次函数的图像；2、理解二次函数的三种表达式知识点分析1、.二次函数的三种表达式一般式：y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）顶点式：y=a(x-h)^2+k [抛物线的顶点P（h，k）]交点式：y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A（x1，0）和B（x2，0）的抛物线]2、一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.）则称y为x的二次函数。

二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

例题精讲例题1已知函数y=x2＋bx＋1的图象经过点（3，2）．（1）求这个函数的表达式；（2）画出它的图象，并指出图象的顶点坐标；（3）当x＞0时，求使y≥2的x的取值范围．例题2、一次函数y=2x ＋3，与二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象交于A （m ，5）和B （3，n ）两点，且当x=3时，抛物线取得最值为9．（1）求二次函数的表达式；（2）在同一坐标系中画出两个函数的图象；（3）从图象上观察，x 为何值时，一次函数与二次函数的值都随x 的增大而增大．（4）当x 为何值时，一次函数值大于二次函数值？ 随堂练习1．已知函数y=ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象，如图①所示，则下列关系式中成立的是（）A ．0＜－ab 2＜1 B ．0＜－ab 2＜2 C ．1＜－ab 2＜2D ．－a b2=1图①图②2.函数y =21x 2+2x +1写成y =a (x －h)2+k 的形式是A.y =21(x －1)2+2B.y =21(x －1)2+21C.y =21(x －1)2－3D.y =21(x +2)2－13.抛物线y =－2x 2－x +1的顶点在第_____象限A.一B.二C.三D.四4.不管m 取任何实数，抛物线y =a (x +m )2+m (a ≠0)的顶点都A.在y =x 直线上B.在直线y=－x上C.在x轴上D.在y 轴上5.任给一些分歧的实数n，得到分歧的抛物线y=2x2+n，如当n=0，±2时，关于这些抛物线有以下结论：①开口方向都相同；②对称轴都相同；③形状都相同；④都有最低点，其中判断正确的个数是A.1个B.2个C.3个D.4个6.二次函数y=x2+p x+q中，若p+q=0，则它的图象必经过下列四点中A.(－1，1)B.(1，－1)C.(－1，－1) D.(1，1)图37.下列说法错误的是A.二次函数y=－2x2中，当x=0时，y有最大值是0B.二次函数y=4x2中，当x>0时，y随x的增大而增大C.在三条抛物线y=2x2，y=－0.5x2，y=－x2中，y=2x2的图象开口最大，y=－x2的图象开口最小D.不管a是正数还是负数，抛物线y=ax2(a≠0)的顶点一定是坐标原点8.已知二次函数y=x2+(2k+1)x+k2－1的最小值是0，则k的值是A.43 B.－43C.45D.－45 9.小颖在二次函数y =2x 2+4x +5的图象上，依横坐标找到三点(－1，y 1)，(21，y 2)， (－321，y 3)，则你认为y 1，y 2，y 3的大小关系应为A.y 1>y 2>y 3B.y 2>y 3>y 1C.y 3>y 1>y 2D.y 3>y 2>y 110.抛物线y =21(x +3)2的顶点坐标是______.11.将抛物线y =3x 2向上平移3个单位后，所得抛物线的顶点坐标是______.12.函数y =34x －2－3x 2有最_____值为_____.13.已知抛物线y =ax 2+bx +c 的图象顶点为(－2，3)，且过(－1，5)，则抛物线的表达式为______.14.二次函数y =mx 2+2x +m －4m 2的图象过原点，则此抛物线的顶点坐标是______.15．抛物线y=ax 2＋bx ＋c （c ≠0）如图②所示，回答：（1）这个二次函数的表达式是； （2）当x=时，y=3；16．抛物线y=ax 2＋bx ＋c （c ≠0）如图②所示，回答：（1）这个二次函数的表达式是； （2）当x=时，y=3；（3）根据图象回答：当x 时，y ＞0．17．已知抛物线y=－x 2＋（6－2k ）x ＋2k －1与y 轴的交点位于（0，5）上方，则k 的取值范围是．18．一根长为100m 的铁丝围成一个矩形的框子，要想使铁丝框的面积最大，边长分别为．19．若两个数的差为3，若其中较大的数为x ，则它们的积y 与x的函数表达式为，它有最值，即当x=时，y=．20．边长为12cm 的正方形铁片，中间剪去一个边长为x 的小正方形铁片，剩下的四方框铁片的面积y （cm 2）与x （cm ）之间的函数表达式为．21．等边三角形的边长2x 与面积y 之间的函数表达式为．22．抛物线y=x 2＋kx －2k 通过一个定点，这个定点的坐标为． 23．已知抛物线y=x 2＋x ＋b 2经过点（a ，－41）和（－a ，y 1），则y 1的值是．24．如图，图①是棱长为a 的小正方体，②、③是由这样的小正方体摆放而成，依照这样的方法继续摆放，由上而下分别叫第一层、第二层……第n 层，第n 层的小正方体的个数记为S ，解答下列问题：（1）依照要求填表：n 1 2 3 4 … s136…（2）写出当n=10时，S=．（3）根据上表中的数据，把S 作为纵坐标，n 作为横坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点．（4）请你猜一猜上述各点会在某一函数图象上吗？如果在某一函数的图象上，求出该函数的表达式．25．某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程．图中二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润S （万元）与销售时间t （月）之间的关系（即前t 个月的利润总和S 与t 之间的关系）． 根据图象提供的信息，解答下列问题：（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润S （万元）与时间t （月）之间的函数表达式；（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？。

•二次函数的三种表白形式：①普遍式：y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶面坐标为[,]把三个面代进函数剖析式得出一个三元一次圆程组，便能解出a、b、c的值.之阳早格格创做②顶面式：y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶面坐标为对于称轴为直线x=h，顶面的位子特性战图像的启心目标与函数y=ax2的图像相共，当x=h时，y最值=k.偶尔题目会指出让您用配要发把普遍式化成顶面式.例：已知二次函数y的顶面(1,2)战另一任性面(3,10)，供y 的剖析式.解：设y=a(x-1)2+2，把(3,10)代进上式，解得y=2(x-1)2+2. 注意：与面正在仄里直角坐标系中的仄移分歧，二次函数仄移后的顶面式中，h>0时，h越大，图像的对于称轴离y 轴越近，且正在x轴正目标上，没有克没有及果h前是背号便简朴天认为是背左仄移.简直可分为底下几种情况：当h>0时，y=a(x-h)2的图象可由扔物线y=ax2背左仄止移动h个单位得到；当h<0时，y=a(x-h)2的图象可由扔物线y=ax2背左仄止移动|h|个单位得到；当h>0,k>0时，将扔物线y=ax2背左仄止移动h个单位，再进与移动k个单位，便不妨得到y=a(x-h)2+k的图象；当h>0,k<0时，将扔物线y=ax2背左仄止移动h个单位，再背下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；当h<0,k>0时，将扔物线y=ax2背左仄止移动|h|个单位，再进与移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；当h<0,k<0时，将扔物线y=ax2背左仄止移动|h|个单位，再背下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象.③接面式：y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有接面时的扔物线，即b2-4ac≥0] .已知扔物线与x轴即y=0有接面A（x1，0）战 B（x2，0）,咱们可设y=a(x-x1)(x-x2),而后把第三面代进x、y中即可供出a.由普遍式形成接面式的步调：二次函数∵x1+x2=-b/a， x1?x2=c/a(由韦达定理得),∴y=ax2+bx+c=a(x2+b/ax+c/a)=a[x2-(x1+x2)x+x1?x2]=a(x-x1)(x-x2).要害观念：a，b，c为常数，a≠0，且a决断函数的启心目标.a>0时，启心目标进与；a<0时，启心目标背下.a的千万于值不妨决断启心大小.a的千万于值越大启心便越小，a的千万于值越小启心便越大.能机动使用那三种办法供二次函数的剖析式；能流利天使用二次函数正在几许范围中的应用；能流利天使用二次函数办理本质问题.•二次函数阐明式的供法：便普遍式y=ax2＋bx＋c（其中a，b，c为常数，且a≠0）而止，其中含有三个待定的系数a ，b ，c．供二次函数的普遍式时，必须要有三个独力的定量条件，去修坐闭于a ，b ，c 的圆程，联坐供解，再把供出的a ，b ，c 的值反代回本函数剖析式，即可得到所供的二次函数剖析式.1.巧与接面式法：知识归纳：二次函数接面式：y＝a(x－x1)(x－x2) （a≠0）x1，x2分别是扔物线与x轴二个接面的横坐标.已知扔物线与x轴二个接面的横坐标供二次函数剖析式时，用接面式比较烦琐.①典型例题一：报告扔物线与x轴的二个接面的横坐标，战第三个面，可供出函数的接面式.例：已知扔物线与x轴接面的横坐标为-2战1 ，且通过面（2，8），供二次函数的剖析式.面拨：解设函数的剖析式为y＝a(x+2)(x-1)，∵过面（2，8），∴8＝a(2+2)(2-1).解得a=2，∴扔物线的剖析式为：y＝2(x+2)(x-1)，即y＝2x2+2x-4.②典型例题二：报告扔物线与x轴的二个接面之间的距离战对于称轴，可利用扔物线的对于称性供解.例：已知二次函数的顶面坐标为（3，-2），而且图象与x 轴二接面间的距离为4，供二次函数的剖析式.面拨：正在已知扔物线与x轴二接面的距离战顶面坐目标情况下，问题比较简单办理．由顶面坐标为（3，-2）的条件，易知其对于称轴为x＝3，再利用扔物线的对于称性，可知图象与x轴二接面的坐标分别为（1，0）战（5，0）.此时，可使用二次函数的接面式，得出函数剖析式.2.巧用顶面式：顶面式y=a(x－h)2+k（a≠0），其中（h，k）是扔物线的顶面.当已知扔物线顶面坐标或者对于称轴，或者不妨先供出扔物线顶面时，设顶面式解题格外简净，果为其中惟有一个已知数a.正在此类问题中，常战对于称轴，最大值或者最小值分离起去命题.正在应用题中，波及到桥拱、隧讲、弹讲直线、投篮等问题时，普遍用顶面式便当．①典型例题一：报告顶面坐标战另一个面的坐标，间接不妨解出函数顶面式.例：已知扔物线的顶面坐标为（-1，-2），且通过面（1，10），供此二次函数的剖析式.面拨：解∵顶面坐标为（-1，-2），故设二次函数剖析式为y=a(x+1)2-2 （a≠0）.把面（1，10）代进上式，得10=a·(1+1)2-2.∴a=3.∴二次函数的剖析式为y=3(x+1)2-2，即y=3x2+6x+1.②典型例题二：如果a>0，那么当时，y有最小值且y最小=；如果a<0，那么，当时，y有最大值，且y最大=. 报告最大值或者最小值，本质上也是报告了顶面坐标，共样也不妨供出顶面式.例：已知二次函数当x＝4时有最小值－3，且它的图象与x 轴二接面间的距离为6，供那个二次函数的剖析式.面拨：析解∵二次函数当x＝4时有最小值－3，∴顶面坐标为（4，-3），对于称轴为直线x＝4，扔物线启心进与.由于图象与x轴二接面间的距离为6，根据图象的对于称性便不妨得到图象与x轴二接面的坐标是（1，0）战（7，0）. ∴扔物线的顶面为（4，-3）且过面（1，0）.故可设函数剖析式为y＝a(x－4)2－3.将（1，0）代进得0＝a(1－4)2－3, 解得a＝13．∴y＝13(x－4)2-3，即y＝13x2－83x＋73.③典型例题三：报告对于称轴，相称于报告了顶面的横坐标，概括其余条件，也可解出.比圆：（1）已知二次函数的图象通过面A（3，-2）战B（1，0），且对于称轴是直线x＝3．供那个二次函数的剖析式. （2）已知闭于x的二次函数图象的对于称轴是直线x=1，图象接y轴于面（0，2），且过面（-1，0），供那个二次函数的剖析式.（3）已知扔物线的对于称轴为直线x=2，且通过面（1，4）战面（5，0），供此扔物线的剖析式.（4）二次函数的图象的对于称轴x=-4，且过本面，它的顶面到x轴的距离为4，供此函数的剖析式．④典型例题四：利用函数的顶面式，解图像的仄移等问题非常便当.例：把扔物线y=ax2+bx+c的图像背左仄移3 个单位, 再背下仄移2 个单位, 所得图像的剖析式是y=x2-3x+5, 则函数的剖析式为_______.面拨：解先将y=x2-3x+5化为y=(x-32)2+5-94, 即y=(x-32)2+114. ∵它是由扔物线的图像背左仄移3 个单位, 再背下仄移2 个单位得到的，∴本扔物线的剖析式是y=(x-32+3)2+114+2=(x+32)2+194=x2+3x+7.。

二次函数的解析式三种形式（1）一般式：（a，b，c是常数，a≠0）；（2）顶点式：（a，h，k是常数，a≠0）（3）当抛物线与x轴有交点时，即对应二次好方程有实根x1和x2存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转化为两根式。

如果没有交点，则不能这样表示。

二次函数的一般形式的结构特征：①函数的关系式是整式；②自变量的最高次数是2；③二次项系数不等于零。

定义：一般地，如果（a，b，c是常数，a≠0），那么y 叫做x 的二次函数。

①所谓二次函数就是说自变量最高次数是2;②二次函数（a≠0）中x、y是变量，a，b，c是常数，自变量x 的取值范围是全体实数，b和c可以是任意实数，a 是不等于0的实数，因为a=0时，变为y=bx+c若b≠0,则y=bx+c是一次函数，若b=0，则y=c是一个常数函数。

③二次函数（a≠0）与一元二次方程（a≠0）有密切联系，如果将变量y换成一个常数，那么这个二次函数就是一个一元二次函数。

二次函数的判定：二次函数的一般形式中等号右边是关于自变量x的二次三项式；当b=0，c=0时，y=ax2是特殊的二次函数；判断一个函数是不是二次函数，在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简整理（去括号、合并同类项）后，能写成（a≠0）的形式，那么这个函数就是二次函数，否则就不是。

考点分析1．二次函数的概念、图像和性质2.二次函数的图像与字母系数的关系3.确定二次函数的解析式4.二次函数与一元二次方程以及不等式之间的关系5.二次函数图像常见的变换思想方法基本思想：数形结合，从二次函数的图像研究其开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值及其图像的平移变化，到利用二次函数图像求解方程与方程组，再到利用图像求解析式和解决实际问题，都体现了数形结合的思想真题精选例题精讲类型一二次函数的解析式【解后感悟】解题关键是选择合适的解析式：当已知抛物线上三点求二次函数的关系式时，一般采用一般式y＝ax^2＋bx＋c(a≠0)；当已知抛物线顶点坐标(或对称轴及最大或最小值)求关系式时，一般采用顶点式y＝a(x－h)^2＋k；当已知抛物线与x轴的交点坐标求二次函数的关系式时，一般采用交点式y＝a(x－x1)(x－x2)．类型二二次函数的图像、性质【解后感悟】解题关键是正确把握解析式的特点、图像的特点、二次函数的性质，注意数形结合．类型三二次函数的图像变换【解后感悟】①平移的规律：左加右减，上加下减；②对称的规律：关于x轴对称的两点横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的两点纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的两点横、纵坐标均互为相反数；③旋转的规律：旋转后的抛物线开口相反，顶点关于旋转点对称．类型四二次函数的综合问题【分析】（1）由对称轴直线x=2，以及A点坐标确定出b与c的值，即可求出抛物线解析式；（2）由抛物线的对称轴及BC的长，确定出B与C的横坐标，代入抛物线解析式求出纵坐标，确定出B与C坐标，利用待定系数法求出直线AB解析式，作出直线CP，与AB交于点Q，过Q作QH⊥y轴，与y轴交于点H，BC与y轴交于点M，由已知面积之比求出QH的长，确定出Q横坐标，代入直线AB解析式求出纵坐标，确定出Q坐标，再利用待定系数法求出直线CQ解析式，即可确定出P的坐标．【解后感悟】抛物线与x轴的交点问题；二次函数的性质；待定系数法的应用；曲线上点的坐标与方程的关系；相似三角形的判定和性质．类型五二次函数的应用【解后感悟】此题是二次函数的应用，准确分析题意，列出y与x之间的二次函数关系式是解题关键．热点题型专题小结二次函数是中考必考题型。

•二次函数的三种表达形式：①一般式：y=a*2+b*+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。

②顶点式：y=a(*-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线*=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=a*2的图像一样，当*=h时，y最值=k。

有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。

例：二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。

解：设y=a(*-1)2+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(*-1)2+2。

注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h>0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在*轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。

具体可分为下面几种情况：当h>0时，y=a(*-h)2的图象可由抛物线y=a*2向右平行移动h个单位得到；当h<0时，y=a(*-h)2的图象可由抛物线y=a*2向左平行移动|h|个单位得到；当h>0,k>0时，将抛物线y=a*2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(*-h)2+k的图象；当h>0,k<0时，将抛物线y=a*2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(*-h)2+k的图象；当h<0,k>0时，将抛物线y=a*2向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(*-h)2+k的图象；当h<0,k<0时，将抛物线y=a*2向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(*-h)2+k的图象。

③交点式：y=a(*-*1)(*-*2) (a≠0) [仅限于与*轴即y=0有交点时的抛物线，即b2-4ac≥0] .抛物线与*轴即y=0有交点A〔*1，0〕和 B〔*2，0〕,我们可设y=a(*-*1)(*-*2),然后把第三点代入*、y中便可求出a。

二次函数的七种形式所谓二次函数，是指函数中自变量最高次指数为2的函数，其标准形式为：y=ax^2+bx+c (a,b,c为常数）.二次函数的基本表示形式为y=ax²+bx+c（a≠0）。

二次函数最高次必须为二次，二次函数的图像是一条对称轴与y 轴平行或重合于y轴的抛物线。

二次函数表达式为y=ax²+bx+c（且a≠0），它的定义是一个二次多项式（或单项式）。

如果令y值等于零，则可得一个二次方程。

该方程的解称为方程的根或函数的零点。

如果说函数的表达形式共有7种，有开放型，一般式，平移型，定义型，顶点式，两格式，翻折式（对称式）。

01开放型此类题目只给出一个条件，只需写出满足此条件的解析式，所以答案不唯一。

例2：经过点A（0，3）的抛物线的解析式可能是。

解：设该抛物线解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），∵抛物线的函数图象经过点A（0，3），∴c=3，且a≠0，∴函数解析式可能为y=x2+x+3。

（注：答案不唯一，只需满足a≠0，c=3即可）02一般式当题目给出函数图象上的三个点时，设为一般式，代入三个点的坐标，将问题转化成求三元一次方程组，以求得a，b，c的值。

例4：已知函数图象经过点（1，-4），（-1，0），（-2，5），求该二次函数的解析式。

解：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，根据题意得图片解得图片∴二次函数的解析式为y=x2-2x-3。

03 平移型将一个二次函数的图象经过上下左右的平移得到一个新的抛物线。

要解此类题目，应先将已知函数的解析式写成顶点式y=a(x–h)2+k，当图象向左（右）平移n个单位长度时，在x–h上加上（减去）n；当图象向上（下）平移m个单位长度时，在k上加上（减去）m．其平移的规律是：左加右减（对x而言）；上加下减。

由于经过平移的函数图象形状、大小和开口方向都没有改变，所以a的值不变。

例3：二次函数y=x2+6x+5的图象是由y=x2的图象先向平移个单位长度，再向平移个单位长度得到的。