福建省莆田市哲理中学2014-2015学年高一上学期期末考试数学试卷

2014—2015学年上学期期末考高一化学试卷考试范围：必修1专题1第三单元——必修1专题3第一单元考试时间：90分钟满分：100分可能用到的相对原子质量: H -1 O -16 C- 12 Mn-55 Na-23 N-14 Cl-35.5 Cu-64第Ⅰ卷（选择题，共54分）一、单项选择题（每题只有一个正确选项，每题3分，18小题共54分）1．13C—NMR(核磁共振)、15N—NMR可用于测定蛋白质、核酸等生物大分子的空间结构，KurtWü Thrich 等人为此获得2002年诺贝尔化学奖。

下面有关13C、15N叙述正确的是（）A．13C与15N有相同的质子数 B．15N与14N是同种原子C．15N的核外电子数与中子数相同 D．15N与14N互为同位素2、下列各项中表达正确的是（）A．小苏打的化学式：NaＨCO3 B. 镁离子的结构示意图：C．质量数为37的氯原子： D．NaOH的电离方程式：NaOH= Na+ +O2—+H+3、下列关于物质的分类中正确的是( )纯净物混合物强电解质弱电解质非电解质A 盐酸漂白粉硫酸醋酸干冰B 氢氧化钡蔗糖溶液氯化银溴水二氧化硫C 胆矾石灰水氧化铝水氯气D 小苏打氢氧化铁胶体胆矾次氯酸酒精4、氯气可以用来消灭田鼠，使用方法是将氯气通过软管灌入田鼠洞中，这是利用了氯气的哪些性质？（）①黄绿色②密度比空气大③有毒④较易液化⑤能溶解于水A. ①②③B. ②③C. ③④D. ③④⑤5、镁粉在焰火、闪光粉中是不可缺少的原料，工业上制造镁粉是将镁蒸气在气体中冷却．下列气体中，可用来冷却镁蒸气的是（）Ａ．空气Ｂ．二氧化碳Ｃ．氮气Ｄ．氩气6、下列物质既可以通过金属与氯气反应制得，又可以通过金属与稀盐酸反应制得的是（）A、FeCl2B、FeCl3C、CuCl2D、AlCl37．向含有KBr和NaI的混合溶液中通人过量的C12充分反应。

将溶液蒸干，并灼烧所得的最后剩余的固体物质是( )A. NaCl和KCl B．KCl与NaBrC．NaCl和KI D．NaCl、KCl与I28．下列离子方程式书写正确的是( )A．Cl2与H2O反应：Cl2+H2O==2H++Cl-+ClO-B．碳酸氢钠溶液与稀硫酸反应：CO32-+2H+==CO2↑+H2OC ．Al 2(SO 4)3溶液与氨水反应：Al 3+ +3OH -==Al(OH)3↓ D ．Na 与H 2O 反应：2Na + 2H 2O == 2Na ++ 2OH -+H 2↑ 9、能用O H OH H 2=+-+来表示的化学反应是 ( )A ．氢氧化铁和稀盐酸反应B ．氨水和稀硫酸反应C ．氢氧化钠溶液和稀硝酸反应D ．二氧化碳通入澄清石灰水10、从海带中提取碘的实验要用到过滤、萃取分液操作，这两项操作不需要．．．的仪器是（ ） A ．烧杯 B ．分液漏斗C ．玻璃棒D ．蒸馏烧瓶11、纯碱和小苏打是厨房中两种常见的用品，它们都是白色固体。

2015年莆田市高中毕业班教学质量检查试卷理科数学试题参考解答及评分标准一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．D 2．A 3．B 4．A 5．B 6．C 7．C 8．A 9．B 10．D二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11．{}11<<-x x 12．7.5 13．3414．1 15．②③④ 三、解答题（本大题共6小题，共80分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．本小题主要考查数列、不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．满分13分．解：1(2)n =≥，所以是首项为1，公差为1的等差数列，………1分－1)1=n ，……………2分从而S n =n 2．…………………3分当n=1时，a 1=S 1=1，当n>1时，a n =S n －S n －1=n 2－(n －1)2 =2n －1．因为11a =也符合上式，所以a n =2n －1．…………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知1111()(21)(21)22121n b n n n n ==--+-+，……………8分 所以1211111111(1)()()2323522121n b b b n n +++=-+-++--+L L 11(1)22121n n n =-=++，……………10分 由122125n n >+，解得n>12．………………12分 所以使不等式成立的最小正整数为13．……………13分17．本小题主要考查三角函数的图象与性质、两角和与差的三角函数、解三角形等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．满分13分．解：（Ⅰ）①处应填入6π．………1 分1cos 21()222x f x x ωω+=-+………3分12cos 2sin(2)26x x x πωωω=-=-．………4分 因为T=522()233πππ-=，所以222ππω=，12ω=，即()sin()6f x x π=-．………5分 因为,23x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以2366x πππ-≤-≤，所以11sin()62x π-≤-≤， 从而得到)(x f 的值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．………7 分 （Ⅱ）因为()sin()136f A A ππ+=+=，又0,A π<<所以7666A πππ<+<， 得62A ππ+=，3A π=．………9分 由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-2()2cos3b c bc bc π=+--2()3b c bc =+-，即2243bc =-，所以3bc =．………11分所以 ABC ∆的面积11sin 322==⨯=S bc A ．………13 分 18．本小题主要考查平均数、方差、古典概型、相互独立事件的概率、离散型随机变量分布列、数学期望等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查必然与或然思想、分类与整合思想．满分13分．解：（I ）记甲、乙两位选手近8次的训练的平均成绩分别为x 甲、x 乙，方差分别为2s 甲、2s 乙．8381937978848894858+++++++==x 甲，8998777487787988858+++++++==x 乙．……………… 2分222222222165[(8385)(8185)(9385)(7985)(7885)(8485)(8885)(9485)]82=-+-+-+-+-+-+-+-=s 甲，2222222221[(8985)(9885)(7785)(7485)(8785)(7885)(8985)(8885)]568=-+-+-+-+-+-+-+-=s 乙． ………………4分 因为x x =甲乙，22s s <甲乙，所以甲、乙两位选手的平均水平相当，但甲的发挥更稳定，故应派甲参加．………………5分（II ）记事件C 表示为“甲回答问题A 成功”，事件D 表示为“甲回答问题B 成功”，则P(C)=34, P(D)=14,且事件C 与事件D 相互独立．………………6分 记甲按AB 顺序获得奖品价值为ξ，则ξ的可能取值为0,100,400．P(ξ=0)=P(C )=14,P(ξ=100)=P(C D )=3394416⨯=,P(ξ=400)=P(CD )=3134416⨯=．即ξ的分布列为：所以甲按AB 顺序获得奖品价值的数学期望0100400416164E ξ=⨯+⨯+⨯=．………………9分记甲按BA 顺序获得奖品价值为η，则η的可能取值为0,300,400．P(η=0)=P(D )=34,P(η=300)=P(DC )=1114416⨯=,P(η=400)=P(DC )=3134416⨯=，即η的分布列为：η 0 300 400 P34 116 316 所以甲按BA 顺序获得奖品价值的数学期望0300400416164E η=⨯+⨯+⨯=．………………12分 因为E ξ>E η，所以甲应选择AB 的答题顺序，获得的奖品价值更高．………………13分19．本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．满分13分．(Ⅰ)证明：正方形ABCD 中，CD //BA ，正方形ABEF 中，EF //BA ．…………2分∴EF //CD ，∴四边形EFDC 为平行四边形，∴CE//DF ．…………3分又DF ⊂平面ADF ，CE ⊄平面ADF ，∴CE//平面ADF ． …………5分(Ⅱ)解：ΘBE=BC=2，CE=22，∴222BE BC CE +=，∴∆BCE 为直角三角形，BE ⊥BC ，……………6分又BE ⊥BA ，BC ⋂BA=B ，BC 、BA ⊂平面ABCD ，∴BE ⊥平面ABCD ． ……………7分以B 为原点，uuu r BC 、u u u r BA 、u u u r BE 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，则B （0，0，0），F （0，2，2），A （0，2，0），)0,2,2(=BD ，)2,2,0(=BF ．设K （0，0，m ），平面BDF 的一个法向量为),,(z y x n =．由0=⋅BD n ，0=⋅BF n ，得220,220,+=⎧⎨+=⎩x y y z 可取)1,1,1(-=n ，………… …9分又),2,0(m AK -=，于是sin =ϕ=2432m m+⋅+，Θ︒︒≤≤4530ϕ，∴22sin 21≤≤ϕ，即⎧⎪⎨⎪⎩…………11分结合20<<m ，解得3240-≤<m ，即BK 的取值范围为（0，324-]．………… …13分20．本小题考查点到直线的距离公式、椭圆的性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、分析解决问题能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、特殊与一般思想、化归与转化思想．满分14分．解：（Ⅰ）由题意得222222,,⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩c a b a b c 解得a=2，b=1，…………………………………3分 所以椭圆方程为2214x y +=．………………………………………………………………3分 （Ⅱ）（i ）解法一：由已知，直线MN 的斜率存在，设直线MN 方程为y=kx －12，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）． 由221,41,2⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩x y y kx 得(1+4k 2)x 2－4kx －3=0，所以12122243,1414k x x x x k k -+==++，又3||2=PD ．……5分所以S △PMN =12|PD|·|x 1－x 2……………………………………………6分==．…………………………………7分 令t22316t k -= 所以S △PMN =223661312(14)16==-+++⋅t t t t t t ，………………………………………………8分 令h(t)=1t t+，t ∈，+∞),则22211'()1t h t t t -=-=>0，所以h(t)在+∞)单调递增， 则tk=0时，h(t)的最小值，为h）， 所以△PMN面积的最大值为2．……………………9分 解法二：由已知，直线MN 的斜率存在，设直线MN 方程为y=kx －12，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）． 由221,41,2⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩x y y kx 得(1+4k 2)x 2－4kx －3=0，所以12122243,1414k x x x x k k -+==++．…………………5分 所以|MN|==点P （0，1）到直线MN 的距离=6分所以S △PMN =12|MN|·=7分 以下同解法一．（ii ）假设存在△PMN 是以O 为中心的等边三角形．（1）当P 在y 轴上时，P 的坐标为（0，1），则M ，N 关于y 轴对称，MN 的中点Q 在y 轴上．又O 为△PMN 的中心，所以2PO OQ =u u u r u u u r，可知111(0,),(),)222Q M N ---． 从而|MN|=|PM|=2，|MN|≠|PM|，与△PMN 为等边三角形矛盾． （2）当P 在x 轴上时，同理可知，|MN|≠|PM|，与△PMN 为等边三角形矛盾．……………10分（3）当P 不在坐标轴时，设P （x 0，y 0），MN 的中点为Q ，则k OP =00y x ， 又O 为∆PMN 的中心，则2PO OQ =u u u r u u u r ，可知00(,)22--x y Q ． 设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则1202+==-Q x x x x ，1202+==-Q y y y y ，又x 12+4y 12=4，x 22+4y 22=4，两式相减得k MN =01212121212120111444-++=-=-⋅=-⋅-++x y y x x x x x x y y y y y ，……11分 从而k MN =0014-⋅x y ．……12分所以k OP ·k MN =00y x ·（0014x y -⋅）=14-≠ －1， 所以OP 与MN 不垂直，与等边△PMN 矛盾．……13分综上所述，不存在△PMN 是以O 为中心的等边三角形．………………………14分21．本小题主要考查函数导数的几何意义、导数的运算及导数的应用，考查运算求解能力、抽象概括能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想．满分14分．解：（Ⅰ）由已知得1(1)1,2(1)10,f a b f a ⎧=+=-⎪⎨⎪'=+=⎩解得1,1.2a b =-⎧⎪⎨=-⎪⎩…………… 2分 此时211()ln 22f x x x =--，1(1)(1)()x x f x x x x-+'=-=-（x>0）． 令()0f x '=，得1x =，f(x)，()f x '的变化情况如下表：（Ⅱ）211()ax f x ax x x+'=+=（x>0）． （1）当a≥0时，()0f x '>恒成立，此时，函数f(x)在区间（0，+∞）上单调递增，不合题意，舍去．………5分（2）当a<0时，令()0f x '=，得x =f(x)，()f x '的变化情况如下表：所以函数f(x)的增区间为（0+∞）．……………… 7分 要使函数f(x)在区间(m ，+∞)，即210a m -<<． 所以对任意给定的正数m ，只须取满足210a m -<<的实数a ，就能使得函数f(x)在区间(m ，+∞)上不单调．…… 8分 （Ⅲ）存在实数x 0∈（x 1，x 2），使直线AB 的斜率等于0()f x '．………… 9分证明如下：令g(x)=lnx －x+1（x>0），则1()1g x x '=-， 易得g(x)在x=1处取到最大值，且最大值g(1)=0，即g(x)≤0，从而得lnx≤x －1． （*）……… 10分由21021()()()f x f x f x x x -'=-，得21210210ln ln 11()2x x a x x ax x x x -++=+-．……………… 11分 令211()()2p x a x x ax =+-，2121ln ln 1()x x q x x x x -=--，则p(x)，q(x)在区间[x 1，x 2]上单调递增． 且12112111()()()022p x a x x ax a x x =+-=-<，22121211()()()022p x a x x ax a x x =+-=->， 结合（*）式可得，2221111211211211ln1ln ln 111()0x x x x x x q x x x x x x x x x x --=-=-<-=---，1121222212212212ln(1)ln ln 111()0x x x x x x q x x x x x x x x x x ----=-=->-=---． 令h(x)=p(x)+q(x)，由以上证明可得，h(x)在区间[x 1，x 2]上单调递增，且h(x 1)<0，h(x 2)>0，…… 13分 所以函数h(x)在区间（x 1，x 2）上存在唯一的零点x 0， 即21210210ln ln 11()2x x a x x ax x x x -++=--成立，从而命题成立．…………… 14分 （注：在（Ⅰ）中，未计算b 的值不扣分．）。

莆田二十四中2014-2015学年上学期期末试卷高一数学一、选择题1. 若直线经过(0,1),AB 两点，则直线AB 的倾斜角为（ ）A.30oB.45oC.60oD.120o2. 圆04:22=-+y x C 被直线02:=+-y x l 截得的弦长为（ ）A ．B ．C ．D ． 3. 圆026222=++-+y x y x 的圆心坐标与半径分别是( )A.(-1, 3) ,22=rB. (1, -3)，4=rC.(1, -3), 24=rD. (1, -3), 22=r4. 设直线,m n 和平面,αβ,下列四个命题中，正确的是（ ）A.若//,//m n αα，则//m nB.,,//,//m n m n ααββ⊂⊂，则//αβC.若,m αβα⊥⊂，则m β⊥D.,,m m αββα⊥⊥⊄，则//m α5. 若一个正三棱柱的三视图如下图所示，则这个正三棱柱的体积为（ ） （第6题）A ．38B ．338 C ．34 D ． 8 6. 如图是水平放置的的直观图，轴，，则 是（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形7. 直线01y 3x 2=++与直线07my x 4=++平行，则它们之间的距离为（ ）A ．4B ．13132 C ．13265 D ．10207 8. 圆A:,圆B:，圆A 和圆B 的公切线有（ ）A.4条B.3条C.2条D.1条ABC ∆''//'A B y ''''A B A C =ABC ∆4)1()1(22=-+-y x 9)2()2(22=-+-y x9. 直线:40l x -=与圆22:+=4C x y 的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．无法确定10. 对于平面α，β，γ和直线a ，b ，m ，n ，下列命题中真命题是（ ）A ．若a m ⊥，a n ⊥，m α⊂，n α⊂，则a α⊥B ．若//αβ，a αγ=，b βγ=，则//a bC ．若//a b ，b α⊂，则//a αD ．若a β⊂，b β⊂，//a α，//b α，则//βα11. 直线2x －my ＋1－3m ＝0，当m 变化时，所有直线都过定点( )A ．(－12，3)B ．(12，3)C ．(12，－3)D ．(－12，－3) 12.所示，在正方体1111ABCD A BC D -中，点E 是棱1CC 上的一个动点，平面1BED 交棱1AA于点F ．则下列命题中假命题．．．是（ ） （A ）存在点E ，使得11AC //平面1BED F （B ）存在点E ，使得1B D ⊥平面1BED F（C ）对于任意的点E ，平面11AC D ⊥平面1BED F （D ）对于任意的点E ，四棱锥11B BED F -的体积均不变二、填空题13. 若点P(1，1)为圆(x －3)2＋y 2＝9的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线的方程为 ．14. 已知直线(1)10m x y -++=与直线3(1)210x m y m +++-=平行，则m=15. 在ABC ∆中，3AB =，4BC =，120ABC ∠=︒，若把ABC ∆绕直线AB 旋转一周，则所形成的几何体的体积是16．如图，E 、F 分别为正方体的面11A ADD 、面11B BCC 的中心，则四边形E BFD 1在该正方体的面上的射影可能是 （只写出序号即可）三、解答题17. 已知直线04:1=+-by ax l 和直线02)1(:2=++-y x a l ，直线1l 过点()1,3--，并且直线1l 和2l 垂直,求b a ,的值。

2014-2015学年福建省莆田市哲理中学高一（上）期末数学试卷一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内，每小题5分，共60分.）1．﹣300°化为弧度是（ ）A ．B ． ﹣C ． ﹣D ． ﹣2．圆x 2+y 2﹣2x ﹣4y ﹣4=0的圆心坐标是（ ）A ． （﹣2，4）B ． （2，﹣4）C ． （﹣1，2）D ． （1，2）3．已知两平行直线l 1：x ﹣y=0与l 2：x ﹣y+b=0的距离为，则实数b=（ ）A ．B ． 2C ．D ． ±24．直线+=1与x ，y 轴所围成的三角形的面积等于（ ）A ． 6B ． 12C ． 24D ． 605．一个正方体的八个顶点都在同一个球面上，已知这个正方体的体积是8，则这个球的表面积是（ ）A ． 4πB ． 8πC ． 12πD ． 24π6．圆（x ﹣1）2+（y ﹣1）2=2被x 轴截得的弦长等于（ ）A ． 1B ．C ． 2D ． 37．圆x 2+y 2=1和圆x 2+y 2﹣6y+5=0的位置关系是（ ）A ． 外切B ． 内切C ． 外离D ． 内含8．图是截去了一个角的正方体，则它的俯视图为（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知一个四棱锥的高为3，其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个边长为1的正方形，则此四棱锥的体积为（ ）A． B． C． D．10．设有两条直线a，b和两个平面α、β，则下列命题中错误的是（）A．若a∥α，且a∥b，则b⊂α或b∥α B．若a∥b，且a⊥α，b⊥β，则α∥β C．若α∥β，且a⊥α，b⊥β，则a∥b D．若a⊥b，且a∥α，则b⊥α11．已知点A（2，3），B（﹣3，﹣2）．若直线l过点P（1，1）且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（）A． B． C．k≥2或 D．k≤212．由直线y=x+1上的点向圆x2﹣6x+y2+8=0引切线，则切线长的最小值为（）A． 1 B． 2 C． D． 3二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上.）13．将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积为．14．已知扇形的周长等于它所在圆的周长的一半，则这个扇形的圆心角是．15．曲线y=1+（﹣2≤x≤2）与直线y﹣4=k（x﹣2）有两个交点时，实数k的取值范围是．16．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1，则下列四个命题：①P在直线BC1上运动时，三棱锥A﹣D1PC的体积不变；②P在直线BC1上运动时，直线AP与平面ACD1所成角的大小不变；③P在直线BC1上运动时，二面角P﹣AD1﹣C的大小不变；④M是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点，则M点的轨迹是过D1点的直线，其中真命题的编号是．（写出所有真命题的编号）三、解答题（本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）（2014秋•莆田校级期末）已知△ABC的三个顶点A（4，﹣6），B（﹣4，0），C （﹣1，4），求：（1）BC边的垂直平分线EF的方程；（2）AB边的中线的方程．18．（12分）（2014秋•莆田校级期末）如图：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=AA1=2，∠ACB=90°．E为BB1的中点，D点在AB上且DE=．（Ⅰ）求证：CD⊥平面A1ABB1；（Ⅱ）求三棱锥A1﹣CDE的体积．19．（12分）（2014秋•莆田校级期末）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱长为a（1）求直线BC1与AC所成的角；（2）求直线D1B与平面ABCD所成角的正切值；（3）求证：平面BDD1⊥平面ACA1．20．（12分）（2014秋•莆田校级期末）已知圆：x2+y2+x﹣6y+c=0，直线l过（1，1）且斜率为．若圆与直线交于P，Q两点，且OP⊥OQ．求（1）直线l方程；（2）求c的值．21．（12分）（2014秋•莆田校级期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AB=2，E，F，G分别是PC，PD，BC的中点．（1）求证：平面PAB∥平面EFG；（2）在线段PB上确定一点Q，使PC⊥平面ADQ，并给出证明；（3）证明平面EFG⊥平面PAD，并求点D到平面EFG的距离．22．（14分）（2015春•中山期末）已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y﹣29=0相切．求：（Ⅰ）求圆的方程；（Ⅱ）设直线ax﹣y+5=0与圆相交于A，B两点，求实数a的取值范围；（Ⅲ）在（2）的条件下，是否存在实数a，使得过点P（﹣2，4）的直线l垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．2014-2015学年福建省莆田市哲理中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内，每小题5分，共60分.）1．﹣300°化为弧度是（）A． B．﹣ C．﹣ D．﹣考点：弧度与角度的互化．专题：三角函数的求值．分析：根据角度户弧度之间的关系进行转化即可．解答：解：∵180°=πrad，∴1°=rad，∴﹣300°×=rad，故选B．点评：本题考查弧度与角度的互化，角度化为弧度用度数乘以，弧度化为角度用度数乘以，正确做对本题关键是熟练记忆转化的规则．2．圆x2+y2﹣2x﹣4y﹣4=0的圆心坐标是（）A．（﹣2，4） B．（2，﹣4） C．（﹣1，2） D．（1，2）考点：圆的一般方程．专题：直线与圆．分析：圆的方程化为标准方程，可得圆心坐标．解答：解：圆x2+y2﹣2x﹣4y﹣4=0可化为（x﹣1）2+（y﹣2）2=9，∴圆心坐标是（1，2），故选D．点评：本题考查圆的方程，将圆的方程化为标准方程是关键．3．已知两平行直线l1：x﹣y=0与l2：x﹣y+b=0的距离为，则实数b=（）A． B． 2 C． D．±2考点：两条平行直线间的距离．专题：计算题．分析：利用点到直线的距离求解平行线之间的距离，即可得到结果．解答：解：在直线x﹣y=0上取（0，0），由点到直线的距离公式有，所以b=±2．故选D．点评：本题考查两条直线的距离的求法，点到直线的距离公式的应用，基本知识的考查．4．直线+=1与x，y轴所围成的三角形的面积等于（）A． 6 B． 12 C． 24 D． 60考点：直线的截距式方程．专题：直线与圆．分析：令x=0，解得y=4；令y=0，解得x=3．即可得出三角形的面积．解答：解：令x=0，解得y=4；令y=0，解得x=3．∴直线4x+3y=12与x，y轴所围成的三角形的面积S=×3×4=6．故选：A．点评：本题考查了直线与坐标轴的交点坐标、三角形的面积计算公式，属于基础题．5．一个正方体的八个顶点都在同一个球面上，已知这个正方体的体积是8，则这个球的表面积是（）A． 4π B． 8π C． 12π D． 24π考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：正方体的体积求出正方体的棱长，可得球的半径，利用球的表面积即可得出结论．解答：解：∵正方体的体积是8，∴正方体的棱长为2，∴正方体的体对角线为2，设球的半径为R，则R=，∴4πR2=12π．故选：C．点评：本题考查球内接多面体，棱柱、棱锥、棱台的体积的求法，考查计算能力．6．圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=2被x轴截得的弦长等于（）A． 1 B． C． 2 D． 3考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：在圆的方程中，令y=0，求出x，即可得到弦长．解答：解：令y=0，可得（x﹣1）2=1，解得x﹣1=±1，∴x=2，或x=0．∴圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=2被x轴截得的弦长等于2﹣0=2，故选C．点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查圆中弦长的计算，属于基础题．7．圆x2+y2=1和圆x2+y2﹣6y+5=0的位置关系是（）A．外切 B．内切 C．外离 D．内含考点：圆与圆的位置关系及其判定．专题：计算题．分析：根据题意先求出两圆的圆心和半径，根据两圆的圆心距等于两圆的半径之和，得出两圆相外切．解答：解：圆x2+y2﹣6y+5=0 的标准方程为：x2+（y﹣3）2=4，所以其表示以（0，3）为圆心，以2为半径的圆，所以两圆的圆心距为3，正好等于两圆的半径之和，所以两圆相外切，故选A．点评：本题考查两圆的位置关系，由两圆的圆心距等于两圆的半径之和，得出两圆相外切．8．图是截去了一个角的正方体，则它的俯视图为（）A． B． C． D．考点：简单空间图形的三视图．分析：根据几何体的形状确定出俯视图即可．解答：解：根据几何体的形状得俯视图为，故选：D．点评：此题考查了简单空间图形的三视图，弄清几何体三视图的画法是解本题的关键．9．已知一个四棱锥的高为3，其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个边长为1的正方形，则此四棱锥的体积为（）A． B． C． D．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析：由题意通过其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个边长为1的正方形，求出四棱锥的底面面积，然后求出四棱锥的体积．解答：解：一个四棱锥的高为3，其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个边长为1的正方形，则四棱锥的底面面积为：2，所以四棱锥的体积为：=2；故选D．点评：本题是基础题，在斜二测画法中，平面图形的面积与斜二侧水平放置的图形的面积之比为2，是需要牢记的结论，也是解题的根据．10．设有两条直线a，b和两个平面α、β，则下列命题中错误的是（）A．若a∥α，且a∥b，则b⊂α或b∥α B．若a∥b，且a⊥α，b⊥β，则α∥β C．若α∥β，且a⊥α，b⊥β，则a∥b D．若a⊥b，且a∥α，则b⊥α考点：命题的真假判断与应用．专题：证明题．分析： A：若a∥α，且a∥b，则b⊂α或b∥α；B：由线面垂直的性质可判断；C：由线面垂直的性质定理可判断；D：b⊥α也有可能b⊆α解答：证明：A：若a∥α，且a∥b，则b⊂α或b∥α，正确B：若a∥b，且a⊥α，则b⊥α，又b⊥β，则由线面垂直的性质可知α∥β，正确C：若α∥β，且a⊥α，则a⊥β，又b⊥β，由线面垂直的性质定理可知a∥b，正确D：若a⊥b，且a∥α，则b⊥α也有可能b⊆α，错误故选D点评：本题考查的知识点是平面与平面之间的位置关系，空间中直线与直线之间的位置关系，空间中直线与平面之间的位置关系，熟练掌握空间线面之间关系的判定方法及性质定理是解答此类问题的关键．11．已知点A（2，3），B（﹣3，﹣2）．若直线l过点P（1，1）且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（）A． B． C．k≥2或 D．k≤2考点：直线的斜率．分析：首先求出直线PA、PB的斜率，然后结合图象即可写出答案．解答：解：直线PA的斜率k==2，直线PB的斜率k′==，结合图象可得直线l的斜率k的取值范围是k≥2或k≤．故选C．点评：本题考查直线斜率公式及斜率变化情况．12．由直线y=x+1上的点向圆x2﹣6x+y2+8=0引切线，则切线长的最小值为（）A． 1 B． 2 C． D． 3考点：圆的切线方程．专题：直线与圆．分析：由已知得切线最短则圆心和点的距离最小，则此时就是C到x﹣y+1=0的距离d==2，由勾股定理切线长最小值为：=．解答：解：圆x2﹣6x+y2+8=0⇒（x﹣3）2+y2=1的圆心C（3，0），半径r=1，∵半径一定，∴切线最短则圆心和点的距离最小，则此时就是C到x﹣y+1=0的距离d==2，由勾股定理切线长最小值为：=．故选：C．点评：本题考查圆的切线长的最小值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上.）13．将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积为2π．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：空间位置关系与距离．分析：边长为1的正方形，绕其一边所在直线旋转一周，得到的几何体为圆柱，从而可求圆柱的侧面积．解答：解：边长为1的正方形，绕其一边所在直线旋转一周，得到的几何体为圆柱，则所得几何体的侧面积为：1×2π×1=2π，故答案为：2π点评：本题是基础题，考查旋转体的侧面积的求法，考查计算能力．14．已知扇形的周长等于它所在圆的周长的一半，则这个扇形的圆心角是（π﹣2）rad ．考点：弧长公式．专题：计算题．分析：由题意，本题中的等量关系是扇形的周长等于弧所在的圆的半周长，可令圆心角为θ，半径为r，弧长为l，建立方程，求得弧长与半径的关系，再求扇形的圆心角．解答：解：令圆心角为θ，半径为r，弧长为l由题意得2r+l=πr∴l=（π﹣2）r∴θ==π﹣2故答案为：（π﹣2）rad．点评：本题考查弧长公式，解题的关键是熟练掌握弧长公式，且能利用公式建立方程进行运算，本题考查对公式的准确记忆能力15．曲线y=1+（﹣2≤x≤2）与直线y﹣4=k（x﹣2）有两个交点时，实数k的取值范围是（，] ．考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：将曲线方程化简，可得曲线表示以C（0，1）为圆心、半径r=2的圆的上半圆．再将直线方程化为点斜式，可得直线经过定点A（2，4）且斜率为k．作出示意图，设直线与半圆的切线为AD，半圆的左端点为B（﹣2，1），当直线的斜率k大于AD的斜率且小于或等于AB的斜率时，直线与半圆有两个相异的交点．由此利用直线的斜率公式与点到直线的距离公式加以计算，可得实数k的取值范围．解答：解：化简曲线y=1+（﹣2≤x≤2），得x2+（y﹣1）2=4（y≥1）∴曲线表示以C（0，1）为圆心，半径r=2的圆的上半圆．∵直线kx﹣y﹣2k+4=0可化为y﹣4=k（x﹣2），∴直线经过定点A（2，4）且斜率为k．又∵半圆y=1+（﹣2≤x≤2）与直线y﹣4=k（x﹣2）有两个交点，∴设直线与半圆的切线为AD，半圆的左端点为B（﹣2，1），当直线的斜率k大于AD的斜率且小于或等于AB的斜率时，直线与半圆有两个相异的交点．由点到直线的距离公式，当直线与半圆相切时满足=2，解之得k=，即k AD=．又∵直线AB的斜率k AB=，∴直线的斜率k的范围为k∈（，]．故答案为：（，]．点评：本题给出直线与半圆有两个不同的交点，求直线的斜率k的取值范围．着重考查了直线的方程、圆的方程、点到直线的距离公式和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．16．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1，则下列四个命题：①P在直线BC1上运动时，三棱锥A﹣D1PC的体积不变；②P在直线BC1上运动时，直线AP与平面ACD1所成角的大小不变；③P在直线BC1上运动时，二面角P﹣AD1﹣C的大小不变；④M是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点，则M点的轨迹是过D1点的直线，其中真命题的编号是①③④．（写出所有真命题的编号）考点：异面直线及其所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积；与二面角有关的立体几何综合题．专题：压轴题；规律型；转化思想．分析：①易知BC1∥平面AD1C，所以BC1上任意一点到平面AD1C的距离相等，底不变，所以体积不变．②通过举例说明，如直线AB与平面ACD1所成角和直线AC1与平面ACD1所成角不相等．③P在直线BC1上运动时，可知AP的轨迹是平面PAD1，即二面角P﹣AD1﹣C的大小不受影响．④空间中到点D和C1距离相等的点的轨迹是线段DC1的中垂面，又点M在面A1B1C1D1内，则点M的轨迹是面A1B1C1D1与线段DC1的中垂面的交线，即AD1，所以必过D1点．解答：解：①∵BC1∥平面ACD1，∴BC1∥上任意一点到平面AD1C的距离相等，所以体积不变，正确．②P在直线BC1上运动时，直线AB与平面ACD1所成角和直线AC1与平面ACD1所成角不相等，所以不正确．③当P在直线BC1上运动时，AP的轨迹是平面PAD1，即二面角P﹣AD1﹣C的大小不受影响，所以正确．④∵空间中到点D和C1距离相等的点的轨迹是线段DC1的中垂面，又点M在面A1B1C1D1内，则点M的轨迹是面A1B1C1D1与线段DC1的中垂面的交线，即AD1，所以正确．故答案为：①③④点评：本题主要考查三棱锥体积的转化，线面角，二面角以及点的轨迹问题，考查全面，灵活，是一道好题．三、解答题（本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）（2014秋•莆田校级期末）已知△ABC的三个顶点A（4，﹣6），B（﹣4，0），C （﹣1，4），求：（1）BC边的垂直平分线EF的方程；（2）AB边的中线的方程．考点：待定系数法求直线方程．专题：直线与圆．分析：（1）由条件求得直线BC的斜率和线段BC的中点的坐标，可得BC边的垂直平分线EF的斜率，再利用点斜式求出BC边的垂直平分线EF的方程．（2）求出AB的中点为M（0，﹣3），再根据C（﹣1，4），利用两点式求得AB边的中线CM 的方程．解答：解：（1）由题意可得直线BC的斜率为=，线段BC的中点为（﹣，2），故BC边的垂直平分线EF的斜率为﹣故BC边的垂直平分线EF的方程为 y﹣2=﹣•（x+），即 3x+4y﹣=0．（2）由于AB的中点为M（0，﹣3），C（﹣1，4），故AB边的中线CM的方程为=，即 7x+y+3=0．点评：本题主要考查直线的斜率公式，用点斜式、两点式求直线的方程，属于基础题．18．（12分）（2014秋•莆田校级期末）如图：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=AA1=2，∠ACB=90°．E为BB1的中点，D点在AB上且DE=．（Ⅰ）求证：CD⊥平面A1ABB1；（Ⅱ）求三棱锥A1﹣CDE的体积．考点：直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）根据DE=，可得D为AB的中点，然后利用线面垂直的判定定理，证明CD⊥AB，即可证明CD⊥平面A1ABB1；（Ⅱ）根据锥体的条件公式确定三棱锥的底面积和高即可以求出锥体的体积．解答：解：（Ⅰ）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=AA1=2，∠ACB=90°，∴△ACB为等腰直角三角形，∴AB=2，∵E为BB1的中点，∴BE=1，又DE=，∴BD=，即D为AB的中点，∴CD⊥AB．又AA1⊥CD，AA1∩AB=A，∴CD⊥平面A1ABB1．（Ⅱ）∵CD⊥平面A1ABB1，∴CD是三棱锥C﹣A1DE的高，且CD=．，∴=4=．又=．∴三棱锥A1﹣CDE的体积为．点评：本题主要考查线面垂直的判断，以及三棱锥的体积的计算，利用等积法将三棱锥转化为规则的三棱锥是解决本题关键．19．（12分）（2014秋•莆田校级期末）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱长为a（1）求直线BC1与AC所成的角；（2）求直线D1B与平面ABCD所成角的正切值；（3）求证：平面BDD1⊥平面ACA1．考点：平面与平面垂直的判定；异面直线及其所成的角；直线与平面所成的角．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）连接AD1，D1C，证明∠D1AC为直线BC1与AC所成的角，即可求得结论；（2）利用DD1⊥平面ABCD，可得∠D1DB为直线D1B与平面ABCD所成的角，利用正切函数可得结论；（3）利用线面垂直的判定定理证明AC⊥平面BD1D，再利用面面垂直的判定定理证明平面ACA1⊥平面BD1D．解答：（1）解：连接AD1，D1C，则∵ABCD﹣A1B1C1D1是正方体，∴四边形ABC1D1是平行四边形∴AD1∥BC1，∴∠D1AC为直线BC1与AC所成的角，∵△AD1C是等边三角形，∴直线BC1与AC所成的角为60°；（2）解：∵DD1⊥平面ABCD，∴∠D1DB为直线D1B与平面ABCD所成的角，在Rt△D1DB中，tan∠D1DB==∴直线D1B与平面ABCD所成角的正切值为；（3）证明：∵DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD∴DD1⊥AC∵BD⊥AC，BD∩DD1=D∴AC⊥平面BD1D∵AC⊂平面ACA1，∴平面ACA1⊥平面BD1D﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）点评：本题考查空间角，考查面面垂直，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是正确作出空间角．20．（12分）（2014秋•莆田校级期末）已知圆：x2+y2+x﹣6y+c=0，直线l过（1，1）且斜率为．若圆与直线交于P，Q两点，且OP⊥OQ．求（1）直线l方程；（2）求c的值．考点：直线与圆的位置关系．专题：综合题；直线与圆．分析：（1）利用直线l过（1，1）且斜率为，可得直线的方程；（20先将直线与圆的方程联立，得到5y2﹣20y+12+m=0，再由韦达定理分别求得y1•y2=．因为OP⊥OQ，转化为x1•x2+y1•y2=0求解．解答：解：（1）∵直线l过（1，1）且斜率为，所以直线的方程为y﹣1=﹣（x﹣1），即x+2y﹣3=0；（2）设P、Q的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），由OP⊥OQ可得：•=0，所以x1•x2+y1•y2=0．由x+2y﹣3=0得x=3﹣2y代入x2+y2+x﹣6y+c=0化简得：5y2﹣20y+12+c=0，所以y1+y2=4，y1•y2=．所以x1•x2+y1•y2=（3﹣2y1）•（3﹣2y2）+y1•y2=9﹣6（y1+y2）+5y1•y2=9﹣6×4+5×=c﹣3=0解得：c=3．点评：本题主要考查直线与圆的位置关系其其方程的应用，应用了韦达定理，体现了数形结合的思想，是常考题型，属中档题．21．（12分）（2014秋•莆田校级期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AB=2，E，F，G分别是PC，PD，BC的中点．（1）求证：平面PAB∥平面EFG；（2）在线段PB上确定一点Q，使PC⊥平面ADQ，并给出证明；（3）证明平面EFG⊥平面PAD，并求点D到平面EFG的距离．考点：直线与平面垂直的判定；平面与平面平行的判定；点、线、面间的距离计算．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）由已知可得EG∥PB，从而可证EG∥平面PAB，则只要再证明EF∥平面PAB，即证EF∥AB，结合已知容易证，根据平面与平面平行的判定定理可得．（2）若使得PC⊥平面ADQ，即证明PC⊥平面ADE，当Q为PB的中点时，PC⊥AE，AD⊥PC 即可．（3）欲证平面EFG⊥平面PAD，根据面面垂直的判定定理可知在平面EFG内一直线与平面PAD垂直，CD⊥AD，CD⊥PD，AD∩PD=D，满足线面垂直的判定定理，则CD⊥平面PAD，再根据EF∥CD，则EF⊥平面PAD，满足定理条件，取AD中点H，连接FH，GH，在平面PAD内，作DO⊥FH，垂足为O，则DO⊥平面EFGH，DO即为D到平面EFG的距离，在三角形PAD中，求出DO即可．解答：解：（1）证明：E，G分别是PC，BC的中点得EG∥PB，∵EG⊄平面PAB，PB∥平面PAB∴EG∥平面PAB又E，F分别是PC，PD的中点，∴EF∥CD，又AB∥CD∴EF∥AB∵EF⊈平面PAB，AB⊆平面PAB∴EF∥平面PAB，又∵EG，EF⊂平面EFG，EG∩EF=E，∴平面PAB∥平面EFG．（2）Q为PB的中点，连QE，DE，又E是PC的中点，∴QE∥BC，又BC∥AD，∴QE∥AD∴平面ADQ，即平面ADEQ，∵PD⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD∴PD⊥DC，又PD=AB=2，ABCD是正方形，∴等腰直角三角形PDC由E为PC的中点知DE⊥PC．∵PD⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD∴PD⊥AD，又AD⊥DC，PD∩CD=D，∴AD⊥面PDC．∵PC⊂面PDC∴AD⊥PC，且AD∩DE=D．∴PC⊥平面ADEQ，即PC⊥平面ADQ由于EQ∥BC∥AD，∴ADEQ为平面四边形，由PD⊥平面ABCD，得AD⊥PD，又AD⊥CD，PD∩CD=D，∴AD⊥平面PDC，∵PC⊂平面PDC，∴AD⊥PC，又三角形PDC为等腰直角三角形，E为斜边中点，∴DE⊥PC，AD∩DE=D，∴PC⊥平面ADQ．（2）∵CD⊥AD，CD⊥PD，AD∩PD=D，∴CD⊥平面PAD，又EF∥CD，∴EF⊥平面PAD，∵EF⊂平面EFG，∴平面EFG⊥平面PAD．取AD中点H，连接FH，GH，则HG∥CD∥EF，平面EFGH即为平面EFG，在平面PAD内，作DO⊥FH，垂足为O，则DO⊥平面EFGH，DO即为D到平面EFG的距离，在三角形PAD中，H，F为AD，PD中点，∴DO=FDsin45°=．即D到平面EFG的距离为．点评：本题主要考查直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系、点到平面的距离等有关知识，考查空间想象能力和思维能力，属于中档题．22．（14分）（2015春•中山期末）已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y﹣29=0相切．求：（Ⅰ）求圆的方程；（Ⅱ）设直线ax﹣y+5=0与圆相交于A，B两点，求实数a的取值范围；（Ⅲ）在（2）的条件下，是否存在实数a，使得过点P（﹣2，4）的直线l垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．考点：直线和圆的方程的应用．专题：直线与圆．分析：（Ⅰ）利用点到直线的距离求出半径，从而求圆的方程；（Ⅱ）利用圆心到直线的距离小于半径可求出实数a的取值范围；（Ⅲ）假设存在利用直线与圆的位置关系性质解决．解答：解：（Ⅰ）设圆心为M（m，0）（m∈Z）．由于圆与直线4x+3y﹣29=0相切，且半径为5，所以，，即|4m﹣29|=25．因为m为整数，故m=1．故所求的圆的方程是（x﹣1）2+y2=25．（Ⅱ）直线ax﹣y+5=0即y=ax+5．代入圆的方程，消去y整理，得（a2+1）x2+2（5a﹣1）x+1=0．由于直线ax﹣y+5=0交圆于A，B两点，故△=4（5a﹣1）2﹣4（a2+1）＞0，即12a2﹣5a＞0，解得 a＜0，或．所以实数a的取值范围是．（Ⅲ）设符合条件的实数a存在，由（2）得a≠0，则直线l的斜率为，l的方程为，即x+ay+2﹣4a=0．由于l垂直平分弦AB，故圆心M（1，0）必在l上．所以1+0+2﹣4a=0，解得．由于，故存在实数a=，使得过点P（﹣2，4）的直线l垂直平分弦AB．点评：本题主要考查了圆的标准方程，点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系等知识的综合应用，以及存在性问题的解决技巧，属于难题．。

2014-2015年度上学期高二理科数学期末测试卷命题人：高二数学组(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内,每小题5分，共50分.） 1．已知a ＝(－3,2,5)，b ＝(1，x ，－1)，且a ·b ＝2，则x 的值是 ( )A ．6B ．5C ．4D ．32. 焦点在x 轴上的椭圆2213x ym +=的离心率是12，则实数m 的值是（ ）A. 4B.94C. 1D.343. 若f(x)＝sinx ，则f′(2π)等于 ( )A ．－1B ． 1C ．0D ．cosx4．双曲线3mx 2－my 2＝3的一个焦点是(0,2)，则m 的值是 ( )A ．－1B ．1C ．－1020D ．1025．已知双曲线x 2a 2－y 2＝1(a ＞0)的右焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是 ( )A ．y ＝±5xB ．y ＝±55x C ．y ＝±3xD ．y ＝±33x6．已知(4,2)是直线l 被椭圆x 236＋y 29＝1所截得的线段的中点，则l 的方程是( ) A ．x －2y ＝0 B ．x ＋2y －4＝0 C ．2x ＋3y ＋4＝0 D ．x ＋2y －8＝07．直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点，则k 的值为 ( )A ．1B ．0C ．1或0D ．1或38．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1与平面A 1BD 所成角的余弦值为( )A.24B.23C.33D.32 9．在以下命题中，不．正确的个数为( )①|a |－|b |＝|a ＋b |是a ，b 共线的充要条件； ②对a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb ；③对空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若OP →＝2OA →－2OB →－OC →，则P ，A ，B ，C 四点共面； ④|(a·b )·c |＝|a|·|b|·|c |. A ．1B ．2C ．3D ．410．从椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP (O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是 ( ) A. 32 B. 22 C. 12D. 24二、填空题(本大题共5个小题，每小题4分，共20分，把正确答案填在题中横线上.)11.曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积为________．12．在△ABC 中，已知AB →＝(2,4,0)，BC →＝(－1,3,0)，则∠ABC ＝________. 13. 已知点1(,0)2A -，抛物线22y x =的焦点为F ，点P 在抛物线上，且|||AP PF =，则||___.OP =14．如右图，在直三棱柱111C B A ABC -中，5,4,3===AB BC AC ，点D 是 线段AB 上的一点，且︒=∠901CDB ，CD AA =1，则点1A 到平面CD B 1的距离为_____________15．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两条渐近线与抛物线)0(22>=p px y 的准线分别交于B A ,两点，O 为坐标原点，若双曲线的离心率为2，AOB ∆的面积为3，则=p ____________．三、解答题(本大题共6个小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16. (13分)已知函数f (x )＝ax 2－43ax ＋b ，f (1)＝2，f ′(1)＝1.(1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在(1，2)处的切线方程．17．(13分)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AA 1＝4，点D 是AB 的中点．求证：(1)AC ⊥BC 1；(2)AC 1∥平面CDB 1.18. （13分）已知抛物线2:4C y x =与直线24y x =-交于A ，B 两点． （1）求弦AB 的长度；（2）若点P 在抛物线C 上，且ABP ∆的面积为12，求点P 的坐标．19、(13分)已知双曲线1C 的一个焦点是(4,0)F ，0y -=，抛物线2C ：22(0)y px p =>的准线恰好经过双曲线1C 的左顶点． （1）求双曲线1C 和抛物线2C 的标准方程；（2）经过双曲线1C 焦点F 的直线l 与抛物线2C 交于A 、B 两点，若O 是坐标原点，求证：OA OB ⊥．20．(14分)如图，在五面体ABCDEF 中，F A ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ∥FE ，AB⊥AD ，M 为EC 的中点，AF ＝AB ＝BC ＝FE ＝12AD . (1)求异面直线BF 与DE 所成的角的大小； (2)证明平面AMD ⊥平面CDE ； (3)求二面角A -CD -E 的余弦值．21．(14分)已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>经过点1)2P ， 动点M （2，t ）（0t >）.（1）求椭圆的标准方程；（2）求以OM 为直径且截直线3450x y --=所得的弦长为2的圆的方程； （3）设F 是椭圆的右焦点，过点F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆交于点N ，证明线段ON 的长为定值，并求出这个定值.2014-2015年度上学期高二理科数学期末测试卷答案一、选择题：1~10：BABAD DCCDB 二、填空题：11. 12e 212. 3π4 13 14． 3 15． 2三、解答题：16、解：(1)f ′(x )＝2ax －43a .由已知得⎩⎪⎨⎪⎧f ′（1）＝2a －43a ＝1，f （1）＝a －43a ＋b ＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝52. ∴f (x )＝32x 2－2x ＋52. …………（7分）(2)函数f (x )在(1，2)处的切线方程为y －2＝x －1，即x －y ＋1＝0. …………（13分）17.证明：∵直三棱柱ABC －A 1B 1C 1底面三边长AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，且C 1C 垂直底面．∴AC 、BC 、C 1C 两两垂直．如图，以C 为坐标原点，直线CA ，CB ，CC 1分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．则C (0,0,0)，A (3,0,0)，C 1(0,0,4)，B (0,4,0)，B 1(0,4,4)， D (32，2,0)． …………（3分）(1)AC →＝(－3,0,0)， BC 1→＝(0，－4,4)， ∴AC →·BC 1→＝0，∴AC ⊥BC 1. …………（7分） (2)设CB 1与C 1B 的交点为E ，连接DE ，则E (0,2,2)， ∵DE →＝(－32，0,2)，AC 1→＝(－3,0,4)， ∴DE →＝12AC 1→.∴DE ∥AC 1. ∵DE ⊂平面CDB 1，AC 1⊄平面CDB 1，∴AC 1∥平面CDB 1. …………（13分） 18. 解(1)设A （x 1,y 1)、B(x 2,y 2),由2244y x y x =-⎧⎨=⎩得x 2-5x+4=0,Δ>0． 法一：又由韦达定理有x 1+x 2=5,x 1x 2=4,∴12||x x -= 法二：解方程得： x=1或4，∴A 、B 两点的坐标为（1,-2)、（4,4） ∴= ………（6分）(2)设点2(,)4o o y P y ,设点P 到AB 的距离为d,则d S △PAB =21·，∴2482o o y y --=． ∴2482o o y y --=±，解得6o y =或4o y =- ∴P 点为（9，6）或（4，-4）． ………（13分）19解：（I ）设1C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>，则2224ba ab ⎧=⎪⎨⎪=+⎩，解得1a b =⎧⎪⎨=⎪⎩…………（2分）∴双曲线1C 的标准方程是22115y x -=，…………（4分）∵双曲线1C 的左顶点是(1,0)-，∴12p=，2p =， ∴抛物线2C 的标准方程24y x =；…………（6分）（II ）方法1：设直线:4l x ky =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，把4x ky =+代入24y x =得24160y ky --=，∴1216y y =-，2212121644y y x x ==，∴12120x x y y +=，即0OA OB ⋅=，∴OA OB ⊥．…………（13分）方法2：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，当直线l 的斜率不存在时，直线:4l x =代入24y x =， 得(4,4)A ，(4,4)B -，∴OA OB ⊥．当直线l 的斜率存在时，设:(4)l y k x =-，24y x =代入得2404k y y k --=，∴1216y y =-，2212121644y y x x ==， ∴12120x x y y +=，即0OA OB ⋅=，∴OA OB ⊥． …………（13分）20解：如图所示，建立空间直角坐标系，点A 为坐标原点．设AB ＝1，依题意得B (1,0,0)，C (1,1,0)，D (0,2,0)，E (0,1,1)，F (0,0,1)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，12.(1)BF →＝(－1,0,1)，DE →＝(0，－1,1)， 于是cos 〈BF →，DE →〉＝BF →·DE →|BF →||DE →|＝0＋0＋12×2＝12.∴异面直线BF 与DE 所成的角的大小为60°. ……… (4分)(2)证明：由AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，12，CE →＝(－1,0,1)，AD →＝(0,2,0)，可得CE →·AM →＝0，CE →·AD →＝0. 因此，CE ⊥AM ，CE ⊥AD .又AM ∩AD ＝A ，故CE ⊥平面AMD .而CE ⊂平面CDE ，所以平面AMD ⊥平面CDE . ……… (8分)(3)设平面CDE 的法向量为u ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧u ·CE →＝0，u ·DE →＝0.于是⎩⎨⎧－x ＋z ＝0，－y ＋z ＝0.令z ＝1，可得u ＝(1,1,1)．又∵由题设，平面ACD 的一个法向量为v ＝(0,0,1)． ∴cos 〈u ，v 〉＝u·v |u |·|v |＝0＋0＋13×1＝33. ∵二面角A -CD -E 为锐角，∴其余弦值为33. ……… (14分) 21.解：（1）由题意得c a =P 221()21b =，又222a b c =+联立解得22,1a b c ===，所以椭圆的方程为2212x y +=； …………（4分）（2）以OM为直径的圆的圆心为(1,)2t，半径r =M 的方程为222(1)()124t t x y -+-=+。

一、选择题1．(0分)[ID ：12110]已知函数1()ln(1)f x x x=+-；则()y f x =的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．2．(0分)[ID ：12089]已知函数()()2,211,22x a x x f x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩, 满足对任意的实数x 1≠x 2都有()()1212f x f x x x --＜0成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，2)B ．13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．(－∞，2]D ．13,28⎡⎫⎪⎢⎣⎭3．(0分)[ID ：12125]函数y ＝a |x |(a >1)的图像是( ) A ．B ．C ．D ．4．(0分)[ID ：12121]若函数f(x)＝a |2x －4|(a>0，a≠1)满足f(1)＝19，则f(x)的单调递减区间是( ) A ．(－∞，2] B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]5．(0分)[ID ：12076]若x 0＝cosx 0，则（ ）A ．x 0∈（3π，2π） B ．x 0∈（4π，3π） C ．x 0∈（6π，4π） D ．x 0∈（0，6π） 6．(0分)[ID ：12075]已知函数()()y f x x R =∈满足(1)()0f x f x ++-=，若方程1()21f x x =-有2022个不同的实数根i x （1,2,3,2022i =），则1232022x x x x ++++=( )A ．1010B ．2020C ．1011D ．20227．(0分)[ID ：12073]下列函数中，值域是()0,+∞的是（ ） A ．2y x = B ．211y x =+ C ．2x y =-D ．()lg 1(0)y x x =+>8．(0分)[ID ：12036]已知函数()y f x =是偶函数，(2)y f x =-在[0,2]是单调减函数，则（ ）A ．(1)(2)(0)f f f -<<B ．(1)(0)(2)f f f -<<C ．(0)(1)(2)f f f <-<D ．(2)(1)(0)f f f <-<9．(0分)[ID ：12071]已知函数()0.5log f x x =，则函数()22f x x -的单调减区间为( ) A ．(],1-∞B ．[)1,+∞C ．(]0,1D ．[)1,210．(0分)[ID ：12063]将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中，min t 后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线nty ae =，假设过5min 后甲桶和乙桶的水量相等，若再过min m 甲桶中的水只有4a升，则m 的值为（ ） A ．10B ．9C ．8D ．511．(0分)[ID ：12061]若0.33a =，log 3b π=，0.3log c e =，则（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>12．(0分)[ID ：12045]点P 从点O 出发，按逆时针方向沿周长为l 的平面图形运动一周，O ，P 两点连线的距离y 与点P 走过的路程x 的函数关系如图所示，则点P 所走的图形可能是A ．B ．C ．D ．13．(0分)[ID ：12041]若函数()[)[]1,1,0{44,0,1xx x f x x ⎛⎫∈- ⎪=⎝⎭∈，则f (log 43)＝( ) A ．13B ．14C ．3D ．414．(0分)[ID ：12088]函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数且f （2）=0，则使f （x ）<0的x 的取值范围（ ） A ．（－∞，2）B ．（2，+∞）C ．（－∞，-2）∪（2，+∞）D ．（－2，2）15．(0分)[ID ：12074]对数函数y =log a x(a >0且a ≠1)与二次函数y =(a −1)x 2−x 在同一坐标系内的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．二、填空题16．(0分)[ID ：12226]已知函数()()22,03,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩，则关于x 的方程()()()()200,3f af x a x -=∈的所有实数根的和为_______.17．(0分)[ID ：12221]已知函数241,(4)()log ,(04)x f x xx x ⎧+≥⎪=⎨⎪<<⎩．若关于x 的方程，()f x k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是____________．18．(0分)[ID ：12219]若函数(),021,01x x f x x mx m ≥⎧+=⎨<+-⎩在(),∞∞-+上单调递增，则m的取值范围是__________．19．(0分)[ID ：12215]已知函数()22f x mx x m =-+的值域为[0,)+∞，则实数m 的值为__________20．(0分)[ID ：12186]若函数cos ()2||xf x x x=++，则11(lg 2)lg (lg 5)lg 25f f f f ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______.21．(0分)[ID ：12152]已知函数()211x x xf -=-的图象与直线2y kx =+恰有两个交点，则实数k 的取值范围是________.22．(0分)[ID ：12149]若存在实数(),m n m n <，使得[],x m n ∈时，函数()()2log x a f x a t =+的值域也为[],m n ，其中0a >且1a ≠，则实数t 的取值范围是______.23．(0分)[ID ：12148]已知函数(2),2()11,22xa x x f x x -≥⎧⎪=⎨⎛⎫-< ⎪⎪⎝⎭⎩，满足对任意的实数12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x -<-成立，则实数a 的取值范围为__________． 24．(0分)[ID ：12145]已知函数2,01,()1(1),13,2x x f x f x x ⎧<≤⎪=⎨-<≤⎪⎩则关于x 的方程4()0x f x k -=的所有根的和的最大值是_______.25．(0分)[ID ：12132]已知函数()f x 为R 上的增函数，且对任意x ∈R 都有()34xf f x ⎡⎤-=⎣⎦，则()4f =______.三、解答题26．(0分)[ID ：12321]已知函数()10()mf x x x x=+-≠. （1）若对任意(1)x ∈+∞，，不等式()2log 0f x >恒成立，求m 的取值范围. （2）讨论()f x 零点的个数.27．(0分)[ID ：12294]已知函数()2()log 21xf x kx =+-为偶函数. （1）求实数k 的值；（2）若不等式1()2f x a x >-恒成立，求实数a 的取值范围； （3）若函数1()2()24f x x x h x m +=+⋅，[1,2]x ∈，是否存在实数m ，使得()h x 的最小值为2，若存在，请求出m 的值；若不存在，请说明理由.28．(0分)[ID ：12277]近年来，中美贸易摩擦不断.特别是美国对我国华为的限制.尽管美国对华为极力封锁，百般刁难并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G ，然而这并没有让华为却步.华为在2019年不仅净利润创下记录，海外增长同祥强劲.今年，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2020年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投人固定成本250万，每生产x （千部）手机，需另投入成本()R x 万元，且210200,040()100008019450,40x x x R x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-⎪⎩，由市场调研知，每部手机售价0.8万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.（Ⅰ）求出2020年的利润()Q x （万元）关于年产量x （千部）的函数关系式（利润=销售额-成本）；（Ⅱ）2020年产量x 为多少（千部）时，企业所获利润最大?最大利润是多少? （说明：当0a >时，函数ay x x=+在单调递减，在)+∞单调递增） 29．(0分)[ID ：12275]设函数()()2log xxf x a b=-，且()()211,2log 12f f ==.（1）求a b ，的值； （2）求函数()f x 的零点；（3）设()xxg x a b =-，求()g x 在[]0,4上的值域.30．(0分)[ID ：12257]求下列各式的值. （1）121log 23324()(0)a a a a -÷>；（2）221g 21g4lg5lg 25+⋅+.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题1．B2．B3．B4．B5．C6．C7．D8．C9．C10．D11．A12．C13．C14．D15．A二、填空题16．【解析】【分析】由可得出和作出函数的图象由图象可得出方程的根将方程的根视为直线与函数图象交点的横坐标利用对称性可得出方程的所有根之和进而可求出原方程所有实根之和【详解】或方程的根可视为直线与函数图象17．【解析】作出函数的图象如图所示当时单调递减且当时单调递增且所以函数的图象与直线有两个交点时有18．【解析】【分析】由题意根据函数在区间上为增函数及分段函数的特征可求得的取值范围【详解】∵函数在上单调递增∴函数在区间上为增函数∴解得∴实数的取值范围是故答案为【点睛】解答此类问题时要注意两点：一是根19．1【解析】【分析】根据二次函数的值域为结合二次函数的性质列出不等式组即可求解【详解】由题意函数的值域为所以满足解得即实数的值为1故答案为：1【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质的应用其中解答中20．10【解析】【分析】由得由此即可得到本题答案【详解】由得所以则所以故答案为：1 0【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性化简求值21．【解析】【分析】根据函数解析式分类讨论即可确定解析式画出函数图像由直线所过定点结合图像即可求得的取值范围【详解】函数定义域为当时当时当时画出函数图像如下图所示:直线过定点由图像可知当时与和两部分图像22．【解析】【分析】由已知可构造有两不同实数根利用二次方程解出的范围即可【详解】为增函数且时函数的值域也为相当于方程有两不同实数根有两不同实根即有两解整理得：令有两个不同的正数根只需即可解得故答案为：【23．【解析】若对任意的实数都有成立则函数在上为减函数∵函数故计算得出：点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间上单调则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段24．5【解析】【分析】将化简为同时设可得的函数解析式可得当k等于8时与的交点的所有根的和的最大可得答案【详解】解：由可得：设由函数的性质与图像可得当k等于8时与的交点的所有根的和的最大此时根分别为：当时25．【解析】【分析】采用换元法结合函数的单调性计算出的解析式从而即可求解出的值【详解】令所以又因为所以又因为是上的增函数且所以所以所以故答案为：【点睛】本题考查用换元法求解函数的解析式并求值难度一般已知三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．B解析：B 【解析】试题分析：设()ln(1)g x x x =+-，则()1xg x x'=-+，∴()g x 在()1,0-上为增函数,在()0,∞+上为减函数，∴()()00g x g <=，1()0()f xg x =<，得0x >或10x -<<均有()0f x <排除选项A ，C ，又1()ln(1)f x x x =+-中,10ln(1)0x x x +>⎧⎨+-≠⎩，得1x >-且0x ≠，故排除D.综上，符合的只有选项B.故选B. 考点：1、函数图象；2、对数函数的性质. 2．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：由题意有,函数()f x 在R 上为减函数,所以有220{1(2)2()12a a -<-⨯≤-,解出138a ≤,选B. 考点：分段函数的单调性. 【易错点晴】本题主要考查分段函数的单调性,属于易错题. 从题目中对任意的实数12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，得出函数()f x 在R 上为减函数,减函数图象特征:从左向右看,图象逐渐下降,故在分界点2x =处,有21(2)2()12a -⨯≤-,解出138a ≤. 本题容易出错的地方是容易漏掉分界点2x =处的情况.3．B解析：B 【解析】因为||0x ≥，所以1x a ≥，且在(0,)+∞上曲线向下弯曲的单调递增函数，应选答案B ．4．B解析：B 【解析】 由f(1)=得a 2=, ∴a=或a=-(舍),即f(x)=(.由于y=|2x-4|在(-∞,2]上单调递减,在[2,+∞)上单调递增,所以f(x)在(-∞,2]上单调递增,在[2,+∞)上单调递减,故选B.5．C解析：C 【解析】 【分析】画出,cos y x y x ==的图像判断出两个函数图像只有一个交点，构造函数()cos f x x x =-，利用零点存在性定理，判断出()f x 零点0x 所在的区间【详解】画出,cos y x y x ==的图像如下图所示，由图可知，两个函数图像只有一个交点，构造函数()cos f x x x =-，30.5230.8660.3430662f ππ⎛⎫=-≈-=-<⎪⎝⎭，20.7850.7070.0780442f ππ⎛⎫=-≈-=> ⎪⎝⎭，根据零点存在性定理可知，()f x 的唯一零点0x 在区间,64ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故选：C【点睛】本小题主要考查方程的根，函数的零点问题的求解，考查零点存在性定理的运用，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.6．C解析：C 【解析】【分析】 函数()f x 和121=-y x 都关于1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称，所有1()21f x x =-的所有零点都关于1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称，根据对称性计算1232022x x x x ++++的值.【详解】()()10f x f x ++-=，()f x ∴关于1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称，而函数121=-y x 也关于1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称， ()121f x x ∴=-的所有零点关于1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称， ()121f x x ∴=-的2022个不同的实数根i x （1,2,3,2022i =），有1011组关于1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称，122022...101111011x x x ∴+++=⨯=.故选：C 【点睛】本题考查根据对称性计算零点之和，重点考查函数的对称性，属于中档题型.7．D解析：D 【解析】 【分析】利用不等式性质及函数单调性对选项依次求值域即可． 【详解】对于A ：2y x =的值域为[)0,+∞；对于B ：20x ≥，211x ∴+≥，21011x ∴<≤+， 211y x ∴=+的值域为(]0,1； 对于C ：2xy =-的值域为(),0-∞； 对于D ：0x >，11x ∴+>，()lg 10x ∴+>，()lg 1y x ∴=+的值域为()0,+∞；故选：D ．【点睛】此题主要考查函数值域的求法，考查不等式性质及函数单调性，是一道基础题．8．C解析：C 【解析】 【分析】先根据()2y f x =-在[]0,2是单调减函数，转化出()y f x =的一个单调区间，再结合偶函数关于y 轴对称得[]02，上的单调性，结合函数图像即可求得答案 【详解】()2y f x =-在[]0,2是单调减函数，令2t x =-，则[]20t ，∈-，即()f t 在[]20-，上是减函数 ()y f x ∴=在[]20-，上是减函数函数()y f x =是偶函数，()y f x ∴=在[]02，上是增函数 ()()11f f -=,则()()()012f f f <-< 故选C 【点睛】本题是函数奇偶性和单调性的综合应用，先求出函数的单调区间，然后结合奇偶性进行判定大小，较为基础．9．C解析：C 【解析】函数()0.5log f x x =为减函数，且0x >, 令2t 2x x =-，有t 0>，解得02x <<.又2t 2x x =-为开口向下的抛物线，对称轴为1x =，所以2t 2x x =-在(]0,1上单调递增，在[)1,2上单调递减，根据复合函数“同增异减”的原则函数()22f x x -的单调减区间为(]0,1.故选C.点睛：形如()()y f g x =的函数为()y g x =,() y f x =的复合函数，() y g x =为内层函数,()y f x =为外层函数. 当内层函数()y g x =单增，外层函数()y f x =单增时，函数()()y f g x =也单增；当内层函数()y g x =单增，外层函数()y f x =单减时，函数()()y f g x =也单减； 当内层函数()y g x =单减，外层函数()y f x =单增时，函数()()y f g x =也单减； 当内层函数()y g x =单减，外层函数()y f x =单减时，函数()()y f g x =也单增.简称为“同增异减”.10．D解析：D 【解析】由题设可得方程组()552{4n m n ae aa ae +==，由55122n nae a e =⇒=，代入(5)1142m n mn ae a e +=⇒=，联立两个等式可得512{12mn n e e ==，由此解得5m =，应选答案D 。

福建省莆田一中2014-2015学年高一上学期第一次段考数学试卷、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个正确答案）1. （3分）如图，可表示函数y=f（x）的图象的只能是（）2. (3分)函数y= ——7的定义域为()A. (0, e]B.(-汽e]C. (0, 10]D. (- ^, 10]3. (3分)已知函数f (匚+1) =x+1，则函数f (x)的解析式为()2 2A . f (x) =xB . f (x) =x +1 (x羽)2 2C. f (x) =x - 2x+2 (x》)D. f (x) =x - 2x (x》)4. (3 分)已知全集U={1 , 2, 3, 4, 5}，集合A={x|x - 3x+2=0} , B={x|x=2a , a3}，则集合?U (A UB)中元素的个数为()A . 1 B. 2 C. 3 D . 45. (3分)设aC - .二H,则使函数y=x a的定义域是R，且为奇函数的所有a的值是()A. 1, 3B. - 1 , 1C. - 1, 3 D . - 1, 1, 30 7 66. (3分)三个数6 , 0.7 , log o.76的大小顺序是()607 6 07A . 0.7 < 6 ' < log o.76B . 0.7 < log o.76v 6 .0.7 c r6 6 Q.7C . log0.76< 6 < 0.7D . log0.76< 0.7 < 6X x7. (3分)设f (x) =3 +3x - 8,用二分法求方程3 +3x - 8=0在x €( 1, 2 )内近似解的过程中得f (1)< 0,f (1.5)> 0, f (1.25)< 0,则方程的根落在区间()A . (1 , 1.25) B. (1.25, 1.5) C. (1.5, 2) D .不能确定f4x _ 4, xVl& （3分）函数：：■-的图象和函数g （ x ） =log 2X 的图象的交点个数[/ -x>l是（）A . 4B . 3C . 2D . 129. （3分）定义在上的偶函数 f （x ） =ax +bx - 2在区间上是（） A •增函数B •减函数C .先增后减函数D •先减后增函数 f （it ） — f （if ）10（3分）设奇函数f （x ）在（0,+^）上为增函数，且f （1）=0，则不等式.'-Ix的解集为（）B . (-g,- 1)U( 0, 1)C . (- g,-(-1, 0)U( 0, 1)二、填空题（本大题共 11小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上）x - 111. （ 5分）若a >0, a ^,则函数y=a +2的图象一定过点.1五4 12. （ 5分）已知二 一，^U 」」：：-，_=.1213. （5分）定义 f （x , y ） = （y , 2y - x ）,若 f （m , n ） = （1, 2）,则（m , n ）=.214. （ 5分）二次函数 y=ax +bx+c 中，若ac v 0,则函数的零点个数是个. 15. （ 5分）一个高中研究性学习小组对本地区2002年至2004年快餐公司发展情况进行了调查，制成了该地区快餐公司个数情况的条形图和快餐公司盒饭年销售量的平均数情况条形图， 根据图中提供的信息可以得出这三年中该地区每年平均销售盒饭万盒.快饕公司盒饭年销售莹的平均数情况图16. （ 8分）计算：A .( - 1, 0)U( 1, +s) 1)U( 1, + g) D.快餐公司个数情况图n Q ——」（"：三■'+ ：717. ( 8 分)A={x| - 2v x <5}, B={x|m+1 纟 <2m - 1}，若 B?A ，贝U m 的取值范围是.218. ( 8分)已知函数 f (x ) =x + (lga+2) x+lgb , - 1 是函数 F ( x ) =f (x ) +2 的一个零点, 且对于任意x€R ,恒有f (x ) ^2x 成立，求实数a , b 的值.19. ( 8分)某工厂生厂了一种电子元件，每月生产的数据如表：月份 1 2 3 4 产量(千件)505256.263.5为估计一年内每月该电子元件的产量，以这 4个月的产量为依据，拟选用 y=ax+b 或y=a x +b为拟合函数，来模拟电子元件的产量 y 与月份x 的关系•请问：哪个函数较好？并由此估计5月份的产量.20. ----------------------------------------------- (11 分)已知函数 f (x ) =a :—2X +1(1) 求证：不论a 为何实数f (x )总是为增函数； (2) 确定a 的值，使(x )为奇函数； (3) 当f (x )为奇函数时，求f (x 的值域.21. (12 分)已知：函数 f (x )对一切实数 x , y 都有 f (x+y ) - f (y ) =x (x+2y+1 )成立， 且 f (1) =0.(1) 求f (0)的值. (2) 求f (x )的解析式.(3) 已知a€R ,设P ：当0v x v _时，不等式f (x ) +3v 2x+a 恒成立；Q :当x €时，g(x )2=f (x ) - ax 是单调函数.如果满足P 成立的a 的集合记为A ，满足Q 成立的a 的集合记为B , 求A A ?R B ( R为全集).福建省莆田一中2014-2015学年高一上学期第一次段考数 学试卷参考答案与试题解析一、选择题(本大题共 10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个正确答案)1. (3分)如图，可表示函数 y=f (x )的图象的只能是()75(2) log 2 (47>25) +lg考点： 抽象函数及其应用. 专题： 函数的性质及应用.分析：本题利用函数的定义，对于定义域内的任意的自变量 判断出那个图形符合函数的对应法则，得到本题结论.解答： 解：根据函数的定义，对于定义域内的任意的一个自变量 应，故任作一条垂直于 x 轴的直线，与函数的图象最多有一个交点. 故应选D . 点评： 本题考查了函数的定义，本题难度不大，属于基础题.2. （3分）函数y=的定义域为（）解答：解：T 函数沪一- •： /• 1 — lnx 为， 即 lnx <1; 解得0 v x 它，•••函数y 的定义域为（0, e]. 故选：A .点评： 本题考查了求函数定义域的问题，解题时应根据函数的解析式，求出使解析式有意 义的不等式的解集，是基础题.2B . f (x ) =x +1 (x 羽)D . f (x ) =x 3 4 — 2x (x 》)考点： 函数解析式的求解及常用方法.3 （3分）已知函数f （ -+1） =x+1，则函数f （x ）的解析式为（）4 A . f (x ) =x2C . f (x ) =x — 2x+2 (x 》)考点： 函数的定义域及其求法.分析：根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式，求出解集即可.A . (0, e]B .(—汽 e]C . (0, 10]x ，有唯一的函数值与之对应， X ,有唯一的函数值与之对D . (— s, 10]专题：计算题.分析：通过换元：令.• •，将已知条件中的x都换为t,得到关于t的函数解析式，再将t换为x即可.解答：解：令「一二i则x= ( t- 1) 2( t》)2 2••• f (t) = (t- 1) +仁t - 2t+22• f (x) =x2- 2x+2 (x 羽)故选C点评：已知f (ax+b)的解析式来求f (x)的解析式，一般通过换元的方法或配凑的方法.2 、4. (3 分)已知全集U={1 , 2, 3, 4, 5}，集合A={x|x - 3x+2=0} , B={x|x=2a , a3}，则集合?U (A UB)中元素的个数为()A . 1 B. 2 C. 3 D . 4考点：交、并、补集的混合运算.分析：用列举法表示出A、B，求解即可.解答：解：A={1 , 2} , B={2 , 4}, A U B={1 , 2, 4},• C U (A U B) ={3 , 5},故选B点评：本题考查集合的混合运算，较简单，注意集合两种表达方法的互化.5. (3分)设a€,..',则使函数y=x日的定义域是R,且为奇函数的所有a的值2是()A. 1, 3B. - 1 , 1C. - 1, 3 D . - 1, 1, 3考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数奇偶性的判断.专题：计算题.分析：分别验证a= - 1, 1, —, 3知当a=1或a=3时，函数y=x a的定义域是R且为奇函数.2解答：解：当a= - 1时，y=x 1的定义域是x|x用，且为奇函数；当a=1时，函数y=x的定义域是R且为奇函数；丄当a=时，函数y=:的定义域是x|x为且为非奇非偶函数.2当a=3时，函数y=x的定义域是R且为奇函数.故选A.点评：本题考查幕函数的性质和应用，解题时要熟练掌握幕函数的概念和性质.0 7 66. （3分）三个数6 , 0.7 , log0.76的大小顺序是（）6 \ 6 .0.7A . 0.7 V 6 V log0.76B . 0.7 < 80.76V 60.7 c r6 6 _0.7C. log0.76< 6 V 0.7D. log0.76< 0.7 < 6考点：不等关系与不等式. 专题：函数的性质及应用.分析：由指数函数和对数函数的图象可以判断60.7, o.76, log o.76和0和1的大小，从而可以判断60.7, 0.76, log o.76的大小.解答：解：由指数函数和对数函数的图象可知：0.7 6 ..6 > 1, 0< 0.7 v 1, log0.76< 0,「•log0.76< 0.76< 6°7故选：D.点评：本题考查利用插值法比较大小、考查指数函数、对数函数的图象和性质，属基础知识、基本题型的考查.x x7. (3分)设f (x) =3 +3x - 8,用二分法求方程3 +3x - 8=0在x €( 1, 2)内近似解的过程中得f (1)< 0,f (1.5)> 0, f (1.25)< 0,则方程的根落在区间()A . (1 , 1.25) B. (1.25, 1.5) C. (1.5, 2) D .不能确定考点：二分法求方程的近似解.专题：计算题.分析：由已知方程3x+3x - 8=0在x €( 1, 2)内近似解”，且具体的函数值的符号也已确定，由f (1.5)> 0, f (1.25)< 0，它们异号.解答：解析：••• f (1.5) ?f (1.25)< 0,由零点存在定理，得，•••方程的根落在区间(1.25, 1.5).故选B.点评：二分法是求方程根的一种算法，其理论依据是零点存在定理：一般地，若函数y=f (x)在区间上的图象是一条不间断的曲线，且f (a) f (b)< 0,则函数y=f (x)在区间(a, b)上有零点.f4x _43x=Cl&( 3分)函数t. 的图象和函数g (x) =log2x的图象的交点个数x>l是()A . 4 B. 3 C. 2 D . 1考点：函数的图象与图象变化.专题：计算题；压轴题；数形结合.分析：根据分段函数图象分段画的原则，结合一次函数、二次函数、对数函数图象的画出，f4x _4, xVl我们在同一坐标系中画出函数的图象和函数g (x) =log2x的图[J-4工+队I>1象，数形结合即可得到答案.f _4, Ki解答：解：在同一坐标系中画出函数f (x) i c 的图象和函数g (x),- 4x+3, x>l=log 2x的图象如下图所示：由函数图象得，两个函数图象共有 3个交点故选B点评：本题考查的知识函数的图象与图象的变化，其中在同一坐标系中画出两个函数的图 象是解答的关键.29. (3分)定义在上的偶函数 f (x ) =ax+bx - 2在区间上是() A .增函数B .减函数C .先增后减函数D .先减后增函数考点： 函数奇偶性的性质；二次函数在闭区间上的最值. 专题： 函数的性质及应用. 分析：根据偶函数的性质先求出a ,b ,然后利用二次函数的性质确定函数的单调性.解答： 解：••• f (x )是定义在上的偶函数， •••区间关于原点对称，即 1+a+2=0 , 解得a= - 3, 且 f (- x ) =f (x ),2 2• ax - bx - 2=ax +bx — 2, 即-bx=bx ，解得 b=0,2 2• f (x ) =ax +bx - 2= - 3x - 2, • f (x )在区间上是减函数. 故选：B .点评： 本题主要考查函数奇偶性的应用，利用函数奇偶性的定义和性质是解决本题的关键.f (乂)—f (一 x)10.(3分)设奇函数f(x)在(0,+s)上为增函数，且f(1)=0，则不等式' ■-1X的解集为()A . ( - 1, 0)U( 1, +s)B . ( -m ,-1)U( 0, 1) C .(-8,1)U( 1, + 8) D . (-1, 0)U (0, 1)考点： 奇函数. 专题： 压轴题.分析： 首先利用奇函数定义与亠一:得出x 与f (x )异号,然后由奇函数定义求出f (- 1) = - f (1) =0,最后结合f (x)的单调性解出答案.解答：解：由奇函数f (x)可知一二 ----- L_—U ---------- L—一 '(，即卩x与f (X)异号，而f (1) =0，则f (- 1) =-f (1) =0,又f (x)在(0, + 8)上为增函数，则奇函数f (x)在(-8, 0)上也为增函数，当x > 0 时，f ( x)v 0=f (1);当x v 0 时，f ( x)> 0=f (- 1),所以0v x v 1 或-1 v x v 0.故选D.点评：本题综合考查奇函数定义与它的单调性.二、填空题(本大题共11小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上)x - 1 ..11. ( 5分)若a> 0, a^l,则函数y=a +2的图象一定过点(1, 3);.考点：指数函数的图像与性质.专题：函数的性质及应用.分析：利用指数函数过定点的性质进行判断.解答：解：方法1:平移法T y=a x过定点(0, 1),将函数y=a x向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到y=a x需2，此时函数过定点(1, 3),方法2 :解方程法由x -仁0,解得x=1 ,此时y=1+2=3 ,x - 1即函数y=a +2的图象一定过点(1, 3).故答案为：(1, 3)点评：本题主要考查指数函数过定点的性质，如果x的系数为1，则可以使用平移法，但x的系数不为1,则用解方程的方法比较简单.12 412. ( 5分)已知二一，^U—=4 .1考点：对数的运算性质.丄分析：根据-'可先求出a的值，然后代入即可得到答案.解答：解：•••—. : •••••_19 3 3••一二：一一二3故答案为：4.点评：本题主要考查指数与对数的运算.指数与对数的运算法则一定要熟练掌握.213. (5分)定义f (x, y) = (y , 2y- x),若f (m, n) = (1, 2),则(m, n) =(0, 1) 或(-4，- 1).考点：函数的值.专题：函数的性质及应用.2分析：由已知得y =1，从而2y - x=2,由此能求出（m, n）= （- 4,- 1）或（0, 1）.2解答：解：•••定义f （x, y）= （y , 2y- x）,••• f （m, n）= （1, 2）,• • 2 *-y =1,•2y- x=2 ,解得y= - 1或y=1,•x= - 4 或x=0,故（m, n）= （- 4,- 1）或（0, 1）.故答案为：（-4,- 1 ）或（0, 1）.点评：本题考查函数值的求法，是基础题，注意函数性质的合理运用.214. （5分）二次函数y=ax +bx+c中，若ac v 0,则函数的零点个数是2个.考点：二次函数的性质.专题：计算题.分析：有a?c v 0,可得对应方程ax2+bx+c=0的厶=b2-4ac>0，可得对应方程有两个不等实根，可得结论.2解答：解：ac v0,•△ =b - 4ac> 0,r、、2•••对应方程ax +bx+c=0有两个不等实根，故所求二次函数与x轴有两个交点.故答案为：2点评：本题把二次函数与二次方程有机的结合了起来，有方程的根与函数零点的关系可知，求方程的根，就是确定函数的零点，也就是求函数的图象与x轴的交点的横坐标.15. （5分）一个高中研究性学习小组对本地区2002年至2004年快餐公司发展情况进行了调查，制成了该地区快餐公司个数情况的条形图和快餐公司盒饭年销售量的平均数情况条形图，根据图中提供的信息可以得出这三年中该地区每年平均销售盒饭85万盒.考点：用样本的数字特征估计总体的数字特征.快餐公司盒饭年销售量的平均数情况图专题： 图表型.分析： 本题是求加权平均数，依据加权平均数的计算公式即可求解.解答： 解：2( 30 >1+45 >2+90 XI.5) =853即这三年中该地区每年平均销售盒饭 85万盒.故答案为：85. 点评：本题主要考查了加权平均数，正确理解以及公式是解决本题的关键.16. ( 8分)计算：n Q——」("一 ；+ : +— ；(2)82 (47>25)+lg ： r+lo 」？1。

福建省莆田市高一上学期数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）下列函数是偶函数的是（）A .B .C .D .2. （2分） (2016高一下·平罗期末) 在△ABC中，若且，则△ABC的形状是（）A . 锐角三角形B . 直角三角形C . 等腰直角三角形D . 等边三角形3. （2分）若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的距离的最小值为（）A .B .C .D .4. （2分）有下列四个命题：①函数的值域是；②平面内的动点P到点和到直线的距离相等，则P的轨迹是抛物线；③直线与平面相交于点B，且与内相交于点C的三条互不重合的直线所成的角相等，则；④若，则其中正确的命题的编号是（）A . ①③B . ②④C . ②③D . ③④5. （2分） (2017高一上·威海期末) 下列函数在区间[0，1]上单调递增的是（）A . y=|lnx|B . y=﹣lnxC . y=2﹣xD . y=2|x|6. （2分） (2017高一上·威海期末) 已知，则三个数的大小关系正确的是（）A . b＜a＜cB . c＜a＜bC . c＜b＜aD . b＜c＜a7. （2分） (2017高一上·威海期末) 设l、m两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题不正确的是（）A . 若l⊥α，m⊂α，则l⊥mB . 若l⊥α，l∥m，则m⊥αC . 若l⊥α，则m⊥α，则l∥mD . 若l∥α，m∥α，则l∥m8. （2分） (2017高一上·威海期末) 两平行直线x+2y﹣1=0与2x+4y+3=0间的距离为（）A .B .C .D .9. （2分） (2017高一上·威海期末) 已知函数g（x）=ax﹣f（x）（a＞0且a≠1），其中f（x）是定义在[a ﹣6，2a]上的奇函数，若，则g（1）=（）A . 0B . ﹣3C . 1D . ﹣110. （2分） (2017高一上·威海期末) 一笔投资的回报方案为：第一天回报0.5元，以后每天的回报翻一番，则投资第x天与当天的投资回报y之间的函数关系为（）A . y=0.5x2 ，x∈N*B . y=2x ，x∈N*C . y=2x﹣1 ，x∈N*D . y=2x﹣2 ，x∈N*11. （2分） (2017高一上·威海期末) 将棱长为2的正方体（图1）切割后得一几何体，其三视图如图2所示，则该几何体的体积为（）A .B .C . 2D . 412. （2分） (2017高一上·威海期末) 已知函数f（x）=a（x+a）（x﹣a+3），g（x）=2x+2﹣1，若对任意x∈R，f（x）＞0和g（x）＞0至少有一个成立，则实数a的取值范围是（）A . （1，2）B . （2，3）C . （﹣2，﹣1）∪（1，+∞）D . （0，2）二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，M、N分别是棱C1D1 ， C1C的中点．给出以下四个结论：①直线AM与直线C1C相交；②直线AM与直线DD1异面；③直线AM与直线BN平行；④直线BN与直线MB1异面．其中正确结论的序号为________（填入所有正确结论的序号）．14. （1分） (2016高二上·青岛期中) 对于四面体ABCD，以下命题中，真命题的序号为________（填上所有真命题的序号）①若AB=AC，BD=CD，E为BC中点，则平面AED⊥平面ABC；②若AB⊥CD，BC⊥AD，则BD⊥AC；③若所有棱长都相等，则该四面体的外接球与内切球的半径之比为2：1；④若以A为端点的三条棱所在直线两两垂直，则A在平面BCD内的射影为△BCD的垂心；⑤分别作两组相对棱中点的连线，则所得的两条直线异面．15. （1分）(2020·莆田模拟) 已知四棱锥的底面为矩形， .当四棱锥的体积最大时，其外接球球心O到平面的距离为________.16. （1分）设α，β为两个不重合的平面，m，n为两条不重合的直线，给出下列四个命题：①若m⊥n，m⊥α，n⊄α，则n∥α；②若m⊥n，m∥α，n∥β，则α⊥β；③若α⊥β，α∩β=m，n⊂α，n⊥m则n⊥β；④若n⊂α，m⊂β，α与β相交且不垂直，则n与m一定不垂直．其中，所有真命题的序号是________ ．三、解答题 (共6题；共45分)17. （5分）已知二次函数y=ax2+1的图象为抛物线C，过顶点A（0，1）的直线l与抛物线C相交于另外一点P，点Q为抛物线C上另外一点，且点M（0，m）到直线l的距离为1．（Ⅰ）若直线l的斜率为k，且|k|∈[ ， ]，求实数m的取值范围；（Ⅱ）当m= +1时，△APQ的内心恰好是点M，求此二次函数的解析式．18. （10分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线是圆心为，半径为1的圆.（1）求曲线，的直角坐标方程；（2）设为曲线上的点，为曲线上的点，求的取值范围.19. （10分） (2019高二下·湖州期末) 已知，为抛物线上的相异两点，且.（1）若直线过，求的值；（2）若直线的垂直平分线交x轴与点P，求面积的最大值.20. （10分）(2018·孝义模拟) 如图，三棱柱中，，平面 .（1）证明：；（2）若，，求二面角的余弦值.21. （5分） (2017高一上·威海期末) 函数f（x）=（k﹣2）x2+2kx﹣3．（Ⅰ）当k=4时，求f（x）在区间（﹣4，1）上的值域；（Ⅱ）若函数f（x）在（0，+∞）上至少有一个零点，求实数k的取值范围；（Ⅲ）若f（x）在区间[1，2]上单调递增，求实数k的取值范围．22. （5分） (2017高一上·威海期末) 函数f（x）的图象如图所示，曲线BCD为抛物线的一部分．（Ⅰ）求f（x）解析式；（Ⅱ）若f（x）=1，求x的值；（Ⅲ）若f（x）＞f（2﹣x），求x的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共45分)17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、22-1、。

2014-2015学年福建省莆田一中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设集合A={x|﹣2＜x＜3}，B={x|x≤1或x≥4}．若全集U=R，则A∩∁U B=（）A．{x|1＜x≤3}B．{x|1＜x＜3}C．{x|1≤x＜3}D．{x|x≤1或x≥3}2．（5分）若z=1﹣i（i为虚数单位），则z（z﹣1）等于（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．2i D．﹣2i3．（5分）下列函数f（x）中，满足“对定义域内的任意一个x都有f（﹣x）+f （x）=0，且在区间（0，+∞）上恒有f′（x）＞0”的是（）A．f（x）=B．f（x）=x2C．f（x）=x3D．f（x）=e x4．（5分）设函数f（x）=x﹣lnx（x＞0），则y=f（x）（）A．在区间（，1），（l，e）内均有零点B．在区间（，1），（l，e）内均无零点C．在区间（，1）内无零点，在区间（l，e）内有零点D．在区间（，1）内有零点，在区间（l，e）内无零点5．（5分）给出下列结论，其中错误的是（）A．若命题p：∃x0∈R，x02+x0+1＜0，则￢p：∀x∈R，x2+x+1≥0B．∀x∈R，2x＞x2C．“若am2≤bm2，则a＜b”是假命题D．“a＞1，b＞1”是“ab＞1”的充分条件6．（5分）若函数f（x）与函数g（x）=2x互为反函数，且f（a）+f（b）=4，则+的最小值为（）A．1 B．C．D．7．（5分）给出如下性质：①最小正周期为π；②图象关于直线x=对称；③在（﹣，）上是增函数．则同时具有上述性质的一个函数是（）A．y=sin（+）B．y=cos（﹣）C．y=sin（2x﹣）D．y=cos （2x+）8．（5分）已知x，y满足，且x2+y2的最小值为8，则正实数a的取值范围是（）A．（0，2]B．[2，5]C．[3，+∞）D．（0，5]9．（5分）已知a是非负实数，则函数f（x）=﹣2的图象不可能是（）A．B．C．D．10．（5分）一次研究性课堂上，老师给出了函数，三位同学甲、乙、丙在研究此函数时分别给出命题：①函数f（x）的值域为（﹣1，1）；②若x1≠x2，则一定有f（x1）≠f（x2）（x）），则对任意n∈N*③若规定f1（x）=f（x），f n（x）=f（f n﹣1恒成立．你认为上述三个命题中正确的个数是（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）11．（4分）曲线y=x3﹣x+3在点（1，3）处的切线方程为．12．（4分）计算定积分（x2+sinx）dx=．13．（4分）已知△ABC得三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为．14．（4分）设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则．类比这个结论可知：四面体A﹣BCD的四个面分别为S1、S2、S3、S4，内切球半径为R，四面体A﹣BCD的体积为V，则R=．15．（4分）已知数列{a n}的通项公式为a n=sin+ncos，其前n项的和为S n，则S3n=．三、解答题：（本大题共6个小题，共80分，解答时要求写出必要的文字说明或推演步骤.请按照题目顺序在第Ⅱ卷各个题目的答题区域内作答.）16．（13分）已知在等差数列{a n}中，a1=2，a4=11，在等比数列{b n}中，b1=，b4=a11，（Ⅰ）求等比数列{b n}的通项公式b n；（Ⅱ）求证数列{b n+1}不可能是等比数列．17．（13分）已知函数f（x）=（其中|ϕ|＜）在区间（0，]上的图象如图所示，则：（Ⅰ）求f（x）的在区间（0，]上的解析式；（Ⅱ）若f（x）=m恒有实数解，求实数m的取值范围．18．（13分）已知向量=（1+sin2x，sinx﹣cosx），=（1，sinx+cosx），函数f（x）=•．（Ⅰ）求f（x）的最大值及相应的x的值；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C所对边，若f（）=2，a=2，求△ABC面积的最大值．19．（13分）已知函数f（x）=x3﹣ax2﹣2ax，其中a∈R．（Ⅰ）若x=1是函数f（x）的极值点，求a的值；（Ⅱ）若f（x）在区间（2，+∞）上单调递增，求a的取值范围．20．（14分）已知函数f（x）=ln（x+）﹣ax，其中a∈R且a≠0（Ⅰ）讨论f（x）的单调区间；（Ⅱ）若直线y=ax的图象恒在函数f（x）图象的上方，求a的取值范围；（Ⅲ）若存在﹣＜x1＜0，x2＞0，使得f（x1）=f（x2）=0，求证：x1+x2＞0．选修4-2：矩阵与变换21．（7分）二阶矩阵M对应的变换将点（1，﹣1）与（﹣2，1）分别变换成点（﹣1，﹣1）与点（0，﹣2），（Ⅰ）求矩阵M；（Ⅱ）设直线l在变换M作用下得到了直线m：x﹣2y=4，求直线l的方程．选修4-4：坐标系与参数方程22．（7分）已知直线l的参数方程：（t为参数）和圆C的极坐标方程：．（Ⅰ）将直线l的参数方程化为普通方程，圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）判断直线l和圆C的位置关系．选修4-5：不等式选讲23．已知不等式x2﹣5ax+b＞0的解集为{x|x＞4或x＜1}（1）求实数a，b的值；（2）若0＜x＜1，f（x）=，求f（x）的最小值．2014-2015学年福建省莆田一中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设集合A={x|﹣2＜x＜3}，B={x|x≤1或x≥4}．若全集U=R，则A∩∁U B=（）A．{x|1＜x≤3}B．{x|1＜x＜3}C．{x|1≤x＜3}D．{x|x≤1或x≥3}【解答】解：∵A={x|﹣2＜x＜3}，B={x|x≤1或x≥4}，且全集U=R，∴∁U B={x|1＜x＜4}，则A∩∁U B={x|1＜x＜3}，故选：B．2．（5分）若z=1﹣i（i为虚数单位），则z（z﹣1）等于（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．2i D．﹣2i【解答】解：∵z=1﹣i，∴z（z﹣1）=（1﹣i）（﹣i）=﹣1﹣i，故选：A．3．（5分）下列函数f（x）中，满足“对定义域内的任意一个x都有f（﹣x）+f （x）=0，且在区间（0，+∞）上恒有f′（x）＞0”的是（）A．f（x）=B．f（x）=x2C．f（x）=x3D．f（x）=e x【解答】解：由题意知，f（x）为奇函数，且在单调区间上为增函数，选项A：在单调区间上单调递减，选项B：偶函数，选项D：非奇非偶函数，故选：C．4．（5分）设函数f（x）=x﹣lnx（x＞0），则y=f（x）（）A．在区间（，1），（l，e）内均有零点B．在区间（，1），（l，e）内均无零点C．在区间（，1）内无零点，在区间（l，e）内有零点D．在区间（，1）内有零点，在区间（l，e）内无零点【解答】解：由题得，令f′（x）＞0得x＞3；令f′（x）＜0得0＜x＜3；f′（x）=0得x=3，故知函数f（x）在区间（0，3）上为减函数，在区间（3，+∞）为增函数，在点x=3处有极小值1﹣ln3＜0；又，，．故选：C．5．（5分）给出下列结论，其中错误的是（）A．若命题p：∃x0∈R，x02+x0+1＜0，则￢p：∀x∈R，x2+x+1≥0B．∀x∈R，2x＞x2C．“若am2≤bm2，则a＜b”是假命题D．“a＞1，b＞1”是“ab＞1”的充分条件【解答】解：A．根据特称命题的否定是全称命题知A正确；B．x=3时，23＜32，∴B错误；C．若am2≤bm2，当m2=0时a，b取任意值，即得不到a＜b，∴该命题是假命题，即C正确；D．a＞1，b＞1时，能得到ab＞1，所以“a＞1，b＞1”是“ab＞1”的充分条件，即D正确；∴结论错误的是B．故选：B．6．（5分）若函数f（x）与函数g（x）=2x互为反函数，且f（a）+f（b）=4，则+的最小值为（）A．1 B．C．D．【解答】解：∵函数f（x）与函数g（x）=2x互为反函数，∴函数f（x）的解析式为f（x）=log2x，∵f（a）+f（b）=4，∴log2a+log2b=log2ab=4，∴ab=24=16，∴+≥2=当且仅当=即a=b=4时取等号，∴+的最小值为故选：B．7．（5分）给出如下性质：①最小正周期为π；②图象关于直线x=对称；③在（﹣，）上是增函数．则同时具有上述性质的一个函数是（）A．y=sin（+）B．y=cos（﹣）C．y=sin（2x﹣）D．y=cos （2x+）【解答】解：A，y=sin（+）的最小正周期T==4π，故不满足；B，y=cos（﹣）的最小正周期T==4π，故不满足；C，令y=f（x）=sin（2x﹣），则f（）=sin（﹣）=sin=1，为最大值，∴f（x）=sin（2x﹣）的图象关于直线x=对称，且其周期T==π，同时具有性质①、②，符号题意；由2k≤2x﹣≤2k，k∈Z解得：x∈[k]，k∈Z，从而当k=1时，有函数f（x）=sin（2x﹣）在（﹣，）上是增函数．D，y=cos（2x+），由2kπ≤2x+≤2kπ+π，k∈Z可解得其单调递减区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z，故不符合③；故选：C．8．（5分）已知x，y满足，且x2+y2的最小值为8，则正实数a的取值范围是（）A．（0，2]B．[2，5]C．[3，+∞）D．（0，5]【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：圆心（0，0）到直线x+y﹣4=0的距离d=，此时d2=8，由，解得，即O在直线x+y﹣4=0的垂足为B（2，2），则（2，2）满足不等式ax﹣y﹣2≤0即可．即2a﹣2﹣2≤0，解得a≤2，即正实数a的取值范围是0＜a≤2，故选：A．9．（5分）已知a是非负实数，则函数f（x）=﹣2的图象不可能是（）A．B．C．D．【解答】解：由1＞＞0，∴函数f（x）=﹣2＜0，函数的图象在x轴下方，∴B正确．a=0时D正确．由a是实数，函数f（x）=﹣2∴当a→0时，y→﹣1，当a≠0时，由无限的思想可知，当x→+∞时，y→﹣2，当x→﹣∞时，y→﹣1，A正确；∴满足题目要求的图象，A、B、D．故选：C．10．（5分）一次研究性课堂上，老师给出了函数，三位同学甲、乙、丙在研究此函数时分别给出命题：①函数f（x）的值域为（﹣1，1）；②若x1≠x2，则一定有f（x1）≠f（x2）③若规定f1（x）=f（x），f n（x）=f（f n（x）），则对任意n∈N*﹣1恒成立．你认为上述三个命题中正确的个数是（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【解答】解：∵f（﹣x）﹣f（x）∴f（x）为奇函数∵∵f（x）为奇函数，∴当x＜0是，f（x）∈（﹣1，0）总之，f（x）∈（﹣1，1）故甲对当为增函数，∵f（x）为奇函数∴当x＜0是，f（x）∈（﹣1，0）为增函数所以f（x）在（﹣1，1）上为增函数故当x1≠x2时，则一定有f（x1）≠f（x2）故乙对若规定f1（x）=f（x），f n（x）=f（f n（x）），﹣1则当n=1时，，满足设n=k时，满足（x）=f（f K（x））==当n=k+1时，f K+1即对任意n∈N*恒成立故丙对故选：D．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）11．（4分）曲线y=x3﹣x+3在点（1，3）处的切线方程为2x﹣y+1=0．【解答】解：y′=3x2﹣1，令x=1，得切线斜率2，所以切线方程为y﹣3=2（x﹣1），即2x﹣y+1=0．故答案为：2x﹣y+1=0．12．（4分）计算定积分（x2+sinx）dx=．【解答】解：由题意，定积分===．故答案为：．13．（4分）已知△ABC得三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为．【解答】解：根据题意设三角形的三边长分别为a，a，2a，∵2a＞a＞a，∴2a所对的角为最大角，设为θ，则根据余弦定理得：cosθ==﹣．故答案为：﹣14．（4分）设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则．类比这个结论可知：四面体A﹣BCD的四个面分别为S1、S2、S3、S4，内切球半径为R，四面体A﹣BCD的体积为V，则R=．【解答】解：设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为则R=；故答案为：．15．（4分）已知数列{a n}的通项公式为a n=sin+ncos，其前n项的和为S n，则S3n=．【解答】解：∵a n=sin+ncos，又f（n）=sin+cos，是以T==3的周期函数，∴a1+a2+a3=+0+3×1=，a4+a5+a6=+5×（﹣）+0+6×1=，…∴s3n=（a1+a2+a3）+（a4+a5+a6）+…+（a3n﹣2+a3n﹣1+a3n）=．故答案为．三、解答题：（本大题共6个小题，共80分，解答时要求写出必要的文字说明或推演步骤.请按照题目顺序在第Ⅱ卷各个题目的答题区域内作答.）16．（13分）已知在等差数列{a n}中，a1=2，a4=11，在等比数列{b n}中，b1=，b4=a11，（Ⅰ）求等比数列{b n}的通项公式b n；（Ⅱ）求证数列{b n+1}不可能是等比数列．【解答】解：（Ⅰ）设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q，则∵a1=2，a4=11，∴d==3，∴a n=a1+（n﹣1）d=3n﹣1，∴b1==4，b4=32∴q3=8即q=2∴b n=b1q n﹣1=4×2n﹣1=2n+1（6分）（Ⅱ）若{b n+1}是等比数列，则b1+1，b2+1，b3+1是等比数列，由（Ⅰ）可得b1=4，b2=8，b3=16，显然{b n+1}的前3项依次为5，9，17，由于5×17=85，92=81∴b1+1，b2+1，b3+1不是等比数列，∴数列{b n+1}不可能是等比数列．（13分）17．（13分）已知函数f（x）=（其中|ϕ|＜）在区间（0，]上的图象如图所示，则：（Ⅰ）求f（x）的在区间（0，]上的解析式；（Ⅱ）若f（x）=m恒有实数解，求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由图象知A=2，T=4（）=4π，∴ω==，∴Φ）由图象知：（，2）是五点法作图中的第二点，∴×+ϕ=即ϕ=，∴f（x）=2sin（x+），x∈（0，]．（Ⅱ）方程f（x）=m恒有实数解⇔m∈{f（x）|x∈[﹣4，]}，①当x∈（0，]时，由图象可知f（x）∈[0，2]，②当x∈[﹣4，0]时，f（x）=x2+4x+1=（x+2）2﹣3，∴f（x）min=f（﹣2）=﹣3，f（x）max=f（﹣4）=f（0）=1，∴此时f（x）∈[﹣3，1]，综上所述，函数f（x）的值域为[﹣3，2]，∴f（x）=m恒有实数解时，实数m的取值范围为[﹣3，2]．解法二：方程f（x）=m恒有实数解⇔m∈{f（x）|x∈[﹣4，]}，在同一坐标系中作出函数f（x）在x∈[﹣4，0]上的图象如下，由图象可知函数f（x）的值域为[﹣3，2]，∴f（x）=m恒有实数解时，实数m的取值范围为[﹣3，2]．18．（13分）已知向量=（1+sin2x，sinx﹣cosx），=（1，sinx+cosx），函数f（x）=•．（Ⅰ）求f（x）的最大值及相应的x的值；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C所对边，若f（）=2，a=2，求△ABC面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵=（1+sin2x，sinx﹣cosx），=（1，sinx+cosx），∴f（x）=•=1+sin2x+sin2x﹣cos2x，=1+sin2x﹣cos2x，=1+sin（2x﹣），∴当2x﹣=2kπ+即x=+kπ，k∈Z时，函数取得最大值1+．（Ⅱ）由（I）知f（）=2时，sin（A﹣）=，∴A﹣=2kπ+或A﹣=2kπ+，即A=+2kπ或A=π+2kπ，k∈Z，∵A是三角形的一个内角，∴A=，即△ABC是直角三角形．∵a=2，∴b2+c2=4，=bc≤=1（当且仅当b=c=时，取得最大值），∴S△ABC∴△ABC面积的最大值为1．19．（13分）已知函数f（x）=x3﹣ax2﹣2ax，其中a∈R．（Ⅰ）若x=1是函数f（x）的极值点，求a的值；（Ⅱ）若f（x）在区间（2，+∞）上单调递增，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由，得f′（x）=2x2﹣2ax﹣2a．因为x=1是函数f（x）的极值点，所以f′（1）=2﹣2a﹣2a=0，解得．经检验x=1为函数f（x）的极值点，所以．（Ⅱ）∵f（x）在区间（2，+∞）上单调递增，∴f'（x）=2x2﹣2ax﹣2a≥0在区间（2，+∞）上恒成立，∴a≤对区间x∈（2，+∞）恒成立，令g（x）=，则g'（x）==∴当x∈（2，+∞）时，g'（x）＞0，有g（x）=＞g（2）=，∴a的取值范围为（﹣∞，]．20．（14分）已知函数f（x）=ln（x+）﹣ax，其中a∈R且a≠0（Ⅰ）讨论f（x）的单调区间；（Ⅱ）若直线y=ax的图象恒在函数f（x）图象的上方，求a的取值范围；（Ⅲ）若存在﹣＜x1＜0，x2＞0，使得f（x1）=f（x2）=0，求证：x1+x2＞0．【解答】解：（I）f（x）的定义域为．其导数，①当a＜0时，f'（x）＞0，函数在上是增函数；②当a＞0时，在区间上，f'（x）＞0；在区间（0，+∞）上，f'（x）＜0．∴f（x）在上是增函数，在（0，+∞）是减函数．（II）当a＜0时，取，则，不合题意．当a＞0时令h（x）=ax﹣f（x），则，问题化为求h（x）＞0恒成立时a的取值范围．由于，∴在区间上，h'（x）＜0；在区间上，h'（x）＞0．∴h（x）的最小值为，所以只需即，∴，∴，（Ⅲ）由于当a＜0时，函数在上是增函数，不满足题意，所以a＞0构造函数：g（x）=f（﹣x）﹣f（x），（）∴，则g′（x）=﹣+2a=+2a，∵，∴0＜x2，0＜a2x2＜1，﹣1＜a2x2﹣1＜0，＜﹣2a，则+2a＜﹣2a+2a=0，即g′（x）＜0，∴函数g（x）在区间上为减函数．∵，∴g（x1）＞g（0）=0，于是f（﹣x1）﹣f（x1）＞0，又f（x1）=0，f（﹣x1）＞0=f（x2），由f（x）在（0，+∞）上为减函数可知x2＞﹣x1，即x1+x2＞0．选修4-2：矩阵与变换21．（7分）二阶矩阵M对应的变换将点（1，﹣1）与（﹣2，1）分别变换成点（﹣1，﹣1）与点（0，﹣2），（Ⅰ）求矩阵M；（Ⅱ）设直线l在变换M作用下得到了直线m：x﹣2y=4，求直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）设矩阵M=，则：=，=，即，解得∴M=．（Ⅱ）设（x，y）经M的变换作用后变为（x'，y'），则：又∵x'﹣2y'=4，∴（x+2y）﹣2（3x+4y）=4，∴5x+6y+4=0．即直线l的方程为：5x+6y+4=0．选修4-4：坐标系与参数方程22．（7分）已知直线l的参数方程：（t为参数）和圆C的极坐标方程：．（Ⅰ）将直线l的参数方程化为普通方程，圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）判断直线l和圆C的位置关系．【解答】解：（Ⅰ）消去参数t，得直线l的普通方程为y=2x+1，，即ρ=2（sinθ+cosθ），两边同乘以ρ得ρ2=2（ρsinθ+ρcosθ），得⊙C的直角坐标方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2；（Ⅱ）圆心C到直线l的距离，所以直线l和⊙C相交．选修4-5：不等式选讲23．已知不等式x2﹣5ax+b＞0的解集为{x|x＞4或x＜1}（1）求实数a，b的值；（2）若0＜x＜1，f（x）=，求f（x）的最小值．【解答】解：（1）由题意可得，解得，∴实数a，b的值分别为1，4；（2）由（1）知f（x）=+∵0＜x＜1，∴0＜1﹣x＜1，∴＞0，＞0，∴f（x）=+=（+）[x+（1﹣x）]=5++≥5+2=9当且仅当=即x=时，等号成立．∴f（x）的最小值为9．。