高中数学第5章5.3.4频率与概率课时22频率与概率练习含解析新人教B版必修第二册

5.3.4 频率与概率课后训练巩固提升1.下列关于随机事件的频率与概率的关系的说法正确的是( )A.频率就是概率B.频率是客观存在的,与试验次数无关C.随着试验次数的增多,频率越来越接近概率D.概率是随机的,在试验前不能确定,所以A不正确;概率是客观存在的,与试验次数无关,所以B不正确;概率不是随机的,所以D不正确;很明显,随着试验次数的增多,频率越来越接近概率,故选C.2.某人将一枚硬币连抛了10次,6次出现正面.若用A表示“出现正面”这一事件,则A的( )A.概率为35B.频率为35C.频率为6D.概率接近353.随机事件A的频率mn满足( )A.mn =0 B.mn=1C.mn >0 D.0≤mn≤14.某篮球运动员的投篮命中率为98%,估算该运动员投篮1 000次命中的次数为( )A.98B.980C.20D.998次命中的次数约为98%×1000=980.A.设有一批产品,其次品率为0.05,则从中任取200件,必有10件是次品B.做100次抛硬币的试验,结果51次出现正面,因此,出现正面的概率是51100C.随机事件发生的频率一定小于这个随机事件发生的概率D.抛掷骰子100次,得到朝上的面的点数为1的结果是18次,则朝上的面的点数为1的频率是9506.在抛一枚硬币的试验中,共抛了100次,“出现正面”的频率为0.49,则“出现反面”的次数为.49次“出现正面”,故有100-49=51(次)“出现反面”.7.某工厂为了节约用电,规定每天的用电量指标为1 000 kW·h,按照上个月的用电记录,在30天中有12天的用电量超过指标.若第二个月仍没有具体的节电措施,则该月的第一天用电量超过指标的概率约是.=0.4,频率是概率的由频率的定义可知用电量超过指标的频率为1230估计值,因此该月的第一天用电量超过指标的概率约是0.4.8.容量为200的样本的频率分布直方图如图所示,根据此图计算样本数据落在区间(6,10]上的频数为,估计数据落在区间(2,10]上的概率约为.,知样本数据落在区间(6,10]上的频数为200×0.08×4=64,数据落在区间(2,10]上的概率约为(0.02+0.08)×4=0.4.0.49.在生产过程中,测得纤维产品的纤度(表示纤维粗细的一种量,单位:mm)共有100个数据,将数据分组如下表:估计纤度的数值落在区间(1.38,1.50]上的概率及纤度的数值小于等于1.42的概率.(1.38,1.50]上的频数是30+29+10=69,则纤度的=0.69,所以估计纤度的数值落数值落在区间(1.38,1.50]上的频率是69100在区间(1.38,1.50]上的概率为0.69.纤度的数值小于等于1.42的频数是4+25+30=59,则纤度的数值小于等于1.42的频率是59=0.59,所以估计纤度的数值小于等于1.42的概率为1000.59.。

5.3.4 频率与概率知识点一频率与概率1．在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率为mn，当n很大时，P(A)与mn的关系是( )A．P(A)≈mnB．P(A)<mnC．P(A)>mnD．P(A)＝mn2．某企业生产的乒乓球被某乒乓球训练基地指定为训练专用球．日前有关部门对某批产品进行了抽样检测，检测结果如下表所示：抽取球数n 5010020050010002000 优等品数m 45921944709541902优等品频率m n(2)从这批乒乓球产品中任取一个，估计其为优等品的概率是多少？(结果保留到小数点后三位)3．某市统计近几年新生儿出生数及其中男婴数(单位：人)如下：时间2016年2017年2018年2019年出生婴儿数21840230702009419982 出生男婴数11453120311029710242(2)该市男婴出生的概率约为多少？知识点二对概率的正确理解4．下列说法正确的是( )A．甲、乙二人比赛，甲胜的概率为35，则比赛5场，甲胜3场B．某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈C．随机试验的频率与概率相等D．天气预报中，预报明天降水概率为90%，是指降水的可能性是90%5．围棋盒里放有同样大小的9枚白棋子和1枚黑棋子，每次从中随机摸出1枚棋子后再放回，一共摸10次，你认为一定有一次会摸到黑棋子吗？说明你的理由．知识点三用频率估计概率6．从某校高二年级的所有学生中，随机抽取20人，测得他们的身高(单位：cm)分别为：162,153,148,154,165,168,172,171,173,150，151,152,160,165,164,179,149,158,159,175.根据样本频率分布估计总体分布的原理，在该校高二年级的所有学生中任抽一人，估计该生的身高在155.5～170.5 cm之间的概率约为( )A．25B．12C．23D．137．在检测一批相同规格共500 kg航空用耐热垫片的品质时，随机抽取了280片，检测到有5片非优质品，则这批垫片中非优质品约为( ) A．8.834 kg B．8.929 kgC．10 kg D．9.835 kg8．随着互联网的普及，网上购物已逐渐成为消费时尚，为了解消费者对网上购物的满意情况，某公司随机对4500名网上购物消费者进行了调查(每名消费者限选一种情况回答)，统计结果如下表：“满意”的概率是( )A．715B．25C．1115D．13159．某人捡到不规则形状的五面体石块，他在每个面上用数字1～5进行了标记，投掷100次，记录下落在桌面上的数字，得到如下频数表：10．某工厂为了节约用电，规定每天的用电量指标为1000度，按照上个月的用电记录，在30天中有12天的用电量超过指标，若这个月(按30天计)仍没有具体的节电措施，则该月的第一天用电量超过指标的概率约是________．11．对某批产品进行抽样检查，数据如下：抽查________件产品．12．某教授为了测试贫困地区和发达地区的同龄儿童的智力出了10个智力题，每个题10分，然后做了统计，统计结果如表：贫困地区到0.001)；(2)求两个地区参加测试的儿童得60分以上的概率．13．某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如表：赔付金额(元)01000200030004000 车辆数500130100150120(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率．14．假设甲、乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解它们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如图所示：(1)估计甲品牌产品寿命小于200 h的概率；(2)这两种品牌产品中，某个产品已使用了200 h，试估计该产品是甲品牌的概率．15．近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，先随机抽取了该市三类垃圾箱总计1000吨生活垃圾，数据统计如下(单位：吨)：“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾400100100可回收物3024030其他垃圾202060(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率；(2)试估计生活垃圾投放错误的概率；(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a，b，c，其中a>0，a＋b＋c＝600.当数据a，b，c的方差s2最大时，写出a，b，c的值(结论不要求证明)，并求此时s2的值．：易错点一混淆概率与频率的概念把一枚质地均匀的硬币连续掷了1000次，其中有496次正面朝上，504次反面朝上，则可认为掷一次硬币正面朝上的概率为________．易错点二对用频率估计概率的方法理解不透致误已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为________．一、单项选择题1．从一批电视机中随机抽出10台进行质检，其中有一台次品，下列说法正确的是( )A．次品率小于10% B．次品率大于10%C．次品率等于10% D．次品率接近10%2．某人将一枚硬币连抛10次，正面朝上的情形出现了6次，若用A表示正面朝上这一事件，则A的( )A．概率为35B．频率为35C．频率为6 D．概率接近0.63．从存放号码分别为1,2，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如表：卡片号码12345678910 取到的次数101188610189119A．0.53 B．0.5C．0.47 D．0.374．若在同等条件下进行n次重复试验得到某个事件A发生的频率f(n)，则随着n的逐渐增大，有( )A．f(n)与某个常数相等B．f(n)与某个常数的差逐渐减小C．f(n)与某个常数的差的绝对值逐渐减小D．f(n)在某个常数的附近摆动并趋于稳定5．对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20,25)上为一等品，在区间[15,20)和[25,30)上为二等品，在区间[10,15)和[30,35]上为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率是( )A．0.09 B．0.20C．0.25 D．0.456．某厂生产的电器是家电下乡政府补贴的指定品牌，其产品是优等品的概率为90%，现从该厂生产的产品中任意地抽取10件进行检验，结果前9件产品中有8件是优等品，1件是非优等品，那么第10件产品是优等品的概率为( ) A．90% B．小于90%C．大于90% D．无法确定7．有下列说法：①抛掷硬币出现正面向上的概率为0.5，那么连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币，一定是一次正面朝上，一次反面朝上；②如果某种彩票的中奖概率为110，那么买10张这种彩票一定能中奖；③在乒乓球、排球等比赛中，裁判通过上抛均匀塑料圆板并让运动员猜着地时是正面还是反面来决定哪一方先发球，这样做不公平；④一个骰子掷一次得到点数2的概率是16，这说明一个骰子掷6次会出现一次点数2.其中不正确的说法是( )A．①②③④ B．①②④C．③④ D．③8．某市交警部门在调查一起车祸过程中，所有的目击证人都指证肇事车是一辆普通桑塔纳出租车，但由于天黑，均未看清该车的车牌号码及颜色，而该市有两家出租车公司，其中甲公司有100辆桑塔纳出租车，3000辆帕萨特出租车，乙公司有3000辆桑塔纳出租车，100辆帕萨特出租车．交警部门应先调查哪家公司的车辆较合理？( )A．甲公司B．乙公司C．甲与乙公司D．以上都对二、多项选择题9．下列说法中，正确的有( )A．频率是反映事件发生的频繁程度，概率是反映事件发生的可能性大小B．百分率是频率，但不是概率C．频率是不能脱离试验次数n的实验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值D．频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值10．下列说法正确的是( )A．事件A的概率为P(A)，必有0≤P(A)≤1B．事件A的概率P(A)＝0.999，则事件A是必然事件C．用某种药物对患有胃溃疡的500名病人进行治疗，结果有380人有明显的疗效．现有胃溃疡的病人服用此药，则估计有明显疗效的概率约为76% D．某奖券的中奖率为50%，则某人购买此奖券10张，一定有5张中奖11．李老师在某大学连续3年主讲经济学院的高等数学，下表是李老师这门课3年来学生的考试成绩(取整数)分布：法正确的是( )A．估计她得90分以上(含90分)的概率约为0.067B．估计她得60～69分的概率约为0.150C．估计她得60分以上(含60分)的概率约为0.982D．估计她得59分以下(含59分)的概率约为0.10812．某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买，则下列说法正确的是( )B．估计顾客同时购买乙和丙的概率为0.2C．估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率为0.4D．如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中的丙的可能性最大三、填空题13．一家保险公司想了解汽车的挡风玻璃破碎的概率，公司收集了20000辆汽车的数据，时间是从某年的5月1日到下一年的4月30日，共发现有600辆汽车的挡风玻璃破碎，则一辆汽车在一年内挡风玻璃破碎的概率的近似值是________．14．一个容量为20的样本，数据的分组及各组的频数如下：[10,20)2个；[20,30)3个；[30,40)x个；[40,50)5个；[50,60)4个；[60,70]2个．则x等于________；根据样本的频率估计概率，数据落在[10,50)的概率约为________．15．玲玲和倩倩是一对好朋友，她俩都想去观看某明星的演唱会，可手里只有一张票，怎么办呢？玲玲对倩倩说：“我向空中抛2枚同样的一元硬币，如果落地后一正一反，就我去；如果落地后两面一样，就你去！”你认为这个游戏公平吗？答：________.16．某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获收益12%；一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%.下表是去年200例类似项目开发的实施结果．四、解答题17．电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；(2)随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；(3)电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化，假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？(只需写出结论)18．某中学从参加高一年级上学期期末考试的学生中抽出60名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后画出如图所示的频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：(1)估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)；(2)从该校高一年级随机选取一名学生，估计这名学生该次期末考试成绩在70分以上(包括70分)的概率．19．某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40) 天数21636257 4(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)．当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．20．甲、乙两台机床同时生产一种零件，其质量按测试指标划分：指标大于或等于100为优品，大于等于90且小于100为合格品，小于90为次品，现随机抽取这两台机床生产的零件各100件进行检测，检测结果统计如下：测试指标[85,90)[90,95)[95,100)[100,105)[105,110)甲机床81240328 乙机床7184029 6(2)甲机床生产1件零件，若是优品可盈利160元，合格品可盈利100元，次品则亏损20，假设甲机床某天生产50零件，请估计甲机床该天的日利润(单位：元)；(3)从甲、乙机床生产的零件指标在[90,95)内的零件中，采用分层随机抽样的方法抽取5件，从这5件中任意抽取2件进行质量分析，求这2件都是乙机床生产的概率．5.3.4 频率与概率知识点一频率与概率1．在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率为mn，当n很大时，P(A)与mn的关系是( )A．P(A)≈mnB．P(A)<mnC．P(A)>mnD．P(A)＝mn答案 A解析根据概率的定义，当n很大时，频率是概率的近似值．2．某企业生产的乒乓球被某乒乓球训练基地指定为训练专用球．日前有关部门对某批产品进行了抽样检测，检测结果如下表所示：抽取球数n 5010020050010002000 优等品数m 45921944709541902优等品频率m n(2)从这批乒乓球产品中任取一个，估计其为优等品的概率是多少？(结果保留到小数点后三位)解(1)表中乒乓球为优等品的频率依次是0.900,0.920,0.970,0.940,0.954,0.951.(2)由(1)知，随着抽取的球数n的增加，计算得到的频率值虽然不同，但都在常数0.950的附近摆动，所以任意抽取一个乒乓球检测时，其为优等品的概率约为0.950.3．某市统计近几年新生儿出生数及其中男婴数(单位：人)如下：(2)该市男婴出生的概率约为多少？解(1)2016年男婴出生的频率为1145321840≈0.524.同理可求得2017年、2018年和2019年男婴出生的频率分别为0.521,0.512,0.513.(2)该市男婴出生的概率约为0.52.知识点二对概率的正确理解4．下列说法正确的是( )A．甲、乙二人比赛，甲胜的概率为35，则比赛5场，甲胜3场B．某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈C．随机试验的频率与概率相等D．天气预报中，预报明天降水概率为90%，是指降水的可能性是90%答案 D解析A中，此概率只说明发生的可能性大小，具有随机性，并非一定是比赛5场甲胜3场；B中，此治愈率只说明发生的可能性大小，具有随机性，并非10个病人一定有1人治愈；C中，随机试验的频率可以估计概率，并不等于概率；D中，概率为90%，即可能性是90%.故选D.5．围棋盒里放有同样大小的9枚白棋子和1枚黑棋子，每次从中随机摸出1枚棋子后再放回，一共摸10次，你认为一定有一次会摸到黑棋子吗？说明你的理由．解不一定．有放回地摸10次棋子相当于做10次重复试验，因为每次试验的结果都是随机的，所以摸10次棋子的结果也是随机的．可能有两次或两次以上摸到黑棋子，也可能没有一次摸到黑棋子．知识点三用频率估计概率6．从某校高二年级的所有学生中，随机抽取20人，测得他们的身高(单位：cm)分别为：162,153,148,154,165,168,172,171,173,150，151,152,160,165,164,179,149,158,159,175.根据样本频率分布估计总体分布的原理，在该校高二年级的所有学生中任抽一人，估计该生的身高在155.5～170.5 cm之间的概率约为( )A．25B．12C．23D．13答案 A解析从已知数据可以看出，在随机抽取的这20名学生中，身高在155.5～170.5 cm之间的学生有8人，频率为25，故可估计在该校高二年级的所有学生中任抽一人，其身高在155.5～170.5 cm之间的概率约为2 5 .7．在检测一批相同规格共500 kg航空用耐热垫片的品质时，随机抽取了280片，检测到有5片非优质品，则这批垫片中非优质品约为( ) A．8.834 kg B．8.929 kgC．10 kg D．9.835 kg答案 B解析由题意可得，该批垫片中非优质品约为5280×500≈8.929 kg.8．随着互联网的普及，网上购物已逐渐成为消费时尚，为了解消费者对网上购物的满意情况，某公司随机对4500名网上购物消费者进行了调查(每名消费者限选一种情况回答)，统计结果如下表：满意情况不满意比较满意满意非常满意人数200n 21001000 “满意”的概率是( )A．715B．25C．1115D．1315答案 C解析由题意，得n＝4500－200－2100－1000＝1200，所以随机调查的网上购物消费者中对网上购物“比较满意”或“满意”的总人数为1200＋2100＝3300，所以随机调查的网上购物消费者中对网上购物“比较满意”或“满意”的频率为33004500＝1115.由此估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率为1115.故选C．9．某人捡到不规则形状的五面体石块，他在每个面上用数字1～5进行了标记，投掷100次，记录下落在桌面上的数字，得到如下频数表：落在桌面的数字1234 5 频数3218151322答案0.35解析落在桌面的数字不小于4，即4,5的频数共13＋22＝35，所以频率为35100＝0.35，所以估计落在桌面的数字不小于4的概率约为0.35.10．某工厂为了节约用电，规定每天的用电量指标为1000度，按照上个月的用电记录，在30天中有12天的用电量超过指标，若这个月(按30天计)仍没有具体的节电措施，则该月的第一天用电量超过指标的概率约是________．答案0.4解析由频率的定义可知用电量超过指标的频率为1230＝0.4，由频率估计概率，知第一天用电量超过指标的概率约是0.4.11．对某批产品进行抽样检查，数据如下：抽查________件产品．答案1000解析根据题表中数据可知合格品出现的频率依次为0.94,0.92,0.96,0.95,0.95，故合格品出现的概率约为0.95，因此要从该批产品中抽到950件合格品大约需要抽查1000件产品．12．某教授为了测试贫困地区和发达地区的同龄儿童的智力出了10个智力题，每个题10分，然后做了统计，统计结果如表：贫困地区到0.001)；(2)求两个地区参加测试的儿童得60分以上的概率．解(1)贫困地区的频率分别逐渐趋近于0.5和0.55.故所求概率分别为0.5和0.55.13．某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如表：(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率．解(1)设A表示事件“赔付金额为3000元”，B表示事件“赔付金额为4000元”，样本车辆总数n＝500＋130＋100＋150＋120＝1000，以频率估计概率得P(A)＝1501000＝0.15，P(B)＝1201000＝0.12.由于投保金额为2800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为3000元或4000元，所以其概率为P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1000＝100辆，而赔付金额为4000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24辆．所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为24100＝0.24，由频率估计概率，得P(C)＝0.24.14．假设甲、乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解它们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如图所示：(1)估计甲品牌产品寿命小于200 h的概率；(2)这两种品牌产品中，某个产品已使用了200 h，试估计该产品是甲品牌的概率．解(1)甲品牌产品寿命小于200 h的频率为5＋20100＝14，用频率估计概率，所以甲品牌产品寿命小于200 h的概率为1 4 .(2)根据抽样结果，寿命大于200 h的产品共有75＋70＝145个，其中甲品牌产品有75个，所以在样本中，寿命大于200 h的产品是甲品牌的频率是75145＝1529，用频率估计概率，所以已使用了200 h的该产品是甲品牌的概率为15 29.15．近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，先随机抽取了该市三类垃圾箱总计1000吨生活垃圾，数据统计如下(单位：吨)：“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾400100100可回收物3024030其他垃圾202060(2)试估计生活垃圾投放错误的概率；(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a，b，c，其中a>0，a＋b＋c＝600.当数据a，b，c的方差s2最大时，写出a，b，c的值(结论不要求证明)，并求此时s2的值．求：错误!解(1)由题意可知，厨余垃圾600吨，投放到“厨余垃圾”箱400吨，故厨余垃圾投放正确的概率为400600＝23.(2)由题意可知，生活垃圾投放错误有200＋60＋20＋20＝300，故生活垃圾投放错误的概率为3001000＝3 10.(3)由题意可知，∵a＋b＋c＝600，∴a，b，c的平均数为200，∴s2＝13[(a－200)2＋(b－200)2＋(c－200)2]＝13(a2＋b2＋c2－120000)，∵(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac≥a2＋b2＋c2，因此有当a＝600，b＝0，c ＝0时，有s2＝80000.易错点一混淆概率与频率的概念把一枚质地均匀的硬币连续掷了1000次，其中有496次正面朝上，504次反面朝上，则可认为掷一次硬币正面朝上的概率为________．易错分析由于混淆了概率与频率的概念而致误，事实上频率是随机的，而概率是一个确定的常数，与每次试验无关．答案0.5正解通过做大量的试验可以发现，正面朝上的频率都在0.5附近摆动，故掷一次硬币，正面朝上的概率是0.5，故填0.5.易错点二对用频率估计概率的方法理解不透致误已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为________．易错分析(1)对随机数表认识不到位，不能准确找出恰有两次命中的组数；(2)对用频率估计概率的方法理解不到位，不能求出“运动员三次投篮恰有两次命中”的概率．答案1 4正解20组随机数中，恰有两次命中的有5组，用频率估计概率，因此，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为P＝520＝14.一、单项选择题1．从一批电视机中随机抽出10台进行质检，其中有一台次品，下列说法正确的是( )A．次品率小于10% B．次品率大于10%C．次品率等于10% D．次品率接近10%答案 D解析抽出的样本中次品率为110，即10%，所以总体中次品率大约为10%.2．某人将一枚硬币连抛10次，正面朝上的情形出现了6次，若用A表示正面朝上这一事件，则A的( )A．概率为35B．频率为35C．频率为6 D．概率接近0.6 答案 B解析因为抛了10次硬币，正面朝上的情形出现了6次，我们说频率为3 5，而不能说概率为35.3．从存放号码分别为1,2，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如表：卡片号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 取到的次数101188610189119A ．0.53B ．0.5C ．0.47D ．0.37答案 A解析 取到号码为奇数的次数为10＋8＋6＋18＋11＝53，所以f ＝53100＝0.53，所以估计取到号码为奇数的概率约为0.53.4．若在同等条件下进行n 次重复试验得到某个事件A 发生的频率f (n )，则随着n 的逐渐增大，有( )A ．f (n )与某个常数相等B ．f (n )与某个常数的差逐渐减小C ．f (n )与某个常数的差的绝对值逐渐减小D ．f (n )在某个常数的附近摆动并趋于稳定 答案 D解析 由频率和概率的关系知，在同等条件下进行n 次重复试验得到某个事件A 发生的频率f (n )，随着n 的逐渐增加，频率f (n )逐渐趋近于概率．5．对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20,25)上为一等品，在区间[15,20)和[25,30)上为二等品，在区间[10,15)和[30,35]上为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率是( )A．0.09 B．0.20C．0.25 D．0.45答案 D解析由频率分布直方图的性质可知，样本数据在区间[25,30)上的频率为1－5×(0.02＋0.04＋0.06＋0.03)＝0.25，则二等品的频率为0.25＋0.04×5＝0.45，故任取1件产品为二等品的概率为0.45.6．某厂生产的电器是家电下乡政府补贴的指定品牌，其产品是优等品的概率为90%，现从该厂生产的产品中任意地抽取10件进行检验，结果前9件产品中有8件是优等品，1件是非优等品，那么第10件产品是优等品的概率为( ) A．90% B．小于90%C．大于90% D．无法确定答案 A解析概率是一个确定的常数，在试验前已经确定，与试验次数无关．故选A．7．有下列说法：①抛掷硬币出现正面向上的概率为0.5，那么连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币，一定是一次正面朝上，一次反面朝上；②如果某种彩票的中奖概率为110，那么买10张这种彩票一定能中奖；③在乒乓球、排球等比赛中，裁判通过上抛均匀塑料圆板并让运动员猜着地时是正面还是反面来决定哪一方先发球，这样做不公平；④一个骰子掷一次得到点数2的概率是16，这说明一个骰子掷6次会出现一次点数2.其中不正确的说法是( )A．①②③④ B．①②④C．③④ D．③答案 A解析概率反映的是随机性的规律，但每次试验出现的结果具有不确定性，因此①②④错误；③中抛掷均匀塑料圆板出现正面与反面的概率相等，是公平的，因此③错误．8．某市交警部门在调查一起车祸过程中，所有的目击证人都指证肇事车是一辆普通桑塔纳出租车，但由于天黑，均未看清该车的车牌号码及颜色，而该市有。

5.3.4 频率与概率学习目标1.在具体情境中,了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,培养学生数据分析、逻辑推理的核心素养.2.理解概率的意义,利用概率知识正确理解现实生活中的实际问题,培养学生数学建模、数学运算的核心素养.3.理解频率与概率的区别,培养学生数学抽象的核心素养.自主预习,则当n很大时,可以认为事件A发生1.在n次重复进行的试验中,事件A发生的频率为mm,此时也有.的概率P(A)的估计值为mm2.概率是可以通过来“测量”的,或者说频率是概率的一个,概率从数量上反映了一个事件发生可能性的大小.课堂探究一、温故旧知1.古典概型的两个特性是什么?2.古典概型计算概率的步骤是什么?二、设置情境1.《中国青年报》社会调查中心联合问卷网,对2 000名18~35岁的青年进行的一项调查显示,在生活节奏加快的今天,70.0%的受访青年表示仍要培养古典诗词爱好,15.5%的人认为不需要,14.5%的人表示不好说.随机选取一名18~35岁的青年,这名青年认为仍要培养古典诗词爱好的概率为多少?2.随机抛一个瓶盖,观察它落地后的状态(参见上一节的图5-3-7),怎样确定瓶盖盖口朝下的概率?怎样确定这两个概率到底多大呢,今天我们就来一起学习频率与概率.三、问题探究1.情境引入中的两个问题能不能用古典概型来确定概率?为什么?2.我们应该用什么方法来估计这两个概率?请作出简要叙述.3.你觉得用频率来估计概率的方法可靠吗?怎样检验这种方法的可靠性?四、要点归纳总结频率与概率的区别和联系:五、典型例题题型一用频率估计概率例1为了确定某类种子的发芽率,从一大批这类种子中随机抽取了2 000粒试种,后来观察到有1 806粒种子发了芽,试估计这类种子的发芽率.小结:在随机事件的大量重复试验中,往往呈现几乎必然的规律,这个规律就是大数定律.通俗地说,这个定理就是,在试验条件不变的情况下,重复试验多次,随机事件的频率近似于它的概率.偶然中包含着某种必然.变式训练1某商场设立了一个可以自由转动的转盘(如图所示),并规定:顾客购物10元以上就能获得一次转动转盘的机会,当转盘停止时,指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品,下表是活动进行中的一组统计数据.转动转盘的次数n 100 150 200 500 8001000落在“铅笔”区域的次数m68 111 136 345 564 701落在“铅笔”区域的频率mn(1)计算并完成表格.(2)请估计,当n很大时,落在“铅笔”区域的频率将会接近多少?(3)假如你去转动该转盘一次,你获得铅笔的概率约是多少?题型二频率与概率的关系例2下列关于概率和频率的叙述中正确的有.(把符合条件的所有答案的序号填在横线上)①随机事件的频率就是概率;②随机事件的概率是一个确定的数值,而频率不是一个固定的数值;③频率是客观存在的,与试验次数无关;④概率是随机的,在试验前不能确定;⑤概率可以看作频率在理论上的期望值,它从数量上反映了随机事件发生的可能性大小,而频率在大量重复试验的前提下可近似地看作这个事件的概率.小结:概率可以通过频率来“测量”或者说频率是概率的一个近似值,概率从数量上反映了一个事件发生的可能性的大小.变式训练2下列说法:①频率是反映事件发生的频繁程度,概率是反映事件发生的可能性大小;②百分率能表示频率,但不能表示概率;③频率是不能脱离试验次数n的试验值,而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值;④频率是概率的近似值,概率是频率的稳定值.其中正确的是.题型三频率与概率的综合问题例3某大学艺术专业400名学生参加某次测评,根据男女学生人数比例,使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生,记录他们的分数,将数据分成7组:[20,30),[30,40),…,[80,90],并整理得到如下频率分布直方图:(1)从总体的400名学生中随机抽取一人,估计其分数小于70的概率;(2)已知样本中分数小于40的学生有5人,试估计总体中分数在区间[40,50)内的人数;(3)已知样本中有一半男生的分数不小于70,且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例.小结:根据频率与概率的关系,概率的有关计算就可以转化为频率的计算,有关事件的频率值就可以看作是概率值.六、当堂检测”意味着()1.“某彩票的中奖概率为11 000A.买1 000张彩票就一定能中奖B.买1 000张彩票中一次奖C.买1 000张彩票一次奖也不中D.购买彩票中奖的可能性是11 0002.同时向上抛掷100枚质量均匀的铜板,落地时这100枚铜板全都正面向上,则这100枚铜板更可能是下面哪种情况()A.这100枚铜板两面是一样的B.这100枚铜板两面是不一样的C.这100枚铜板中有50枚两面是一样的,另外50枚两面是不一样的D.这100枚铜板中有20枚两面是一样的,另外80枚两面是不一样的3.已知某次试验随机事件A发生的频率是0.2,事件A出现了10次,那么共进行了次试验.七、课堂小结1.知识清单:(1)用频率估计概率.(2)频率与概率的关系.2.方法归纳:极限思想.3.常见误区:频率与概率的区别与联系.核心素养专练层次一基础巩固一、课本,P113,练习A.二、课外习题1.关于随机事件的频率与概率,以下说法正确的是()A.频率是确定的,概率是随机的B.频率是随机的,概率也是随机的C.概率是确定的,概率是频率的近似值D.概率是确定的,频率是概率的近似值2.下列说法正确的是()A.某事件发生的频率为P(A)=1.1B.不可能事件的概率为0,必然事件的概率为1C.小概率事件就是不可能发生的事件,大概率事件就是必然要发生的事件D.某事件发生的概率是随着试验次数的变化而变化的3.下列说法正确的是()A.某厂一批产品的次品率为5%,则任意抽取其中20件产品一定会发现一件次品B.气象部门预报明天下雨的概率是90%,说明明天该地区90%的地方要下雨,其余10%的地方不会下雨C.某医院治疗一种疾病的治愈率为10%,那么前9个病人都没有治愈,第10个人就一定能治愈D.掷一枚均匀硬币,连续出现5次正面向上,第六次出现反面向上的概率与正面向上的概率仍然都为50%4.盒中装有4只白球和5只黑球,从中任意取出1只球.(1)“取出的球是黄球”是事件,它的概率是;(2)“取出的球是白球”是事件,它的概率是;(3)“取出的球是白球或黑球”是事件,它的概率是.5.解释下列概率的含义:(1)某厂生产产品合格的概率为0.9;(2)一次抽奖活动中,中奖的概率为0.2.层次二能力提升一、课本,P113,练习B.二、课外习题1.某人将一枚硬币连续掷了10次,正面朝上的出现了6次,若用A表示正面朝上这一事件,则A的()A.概率为35B.频率为35C.频率为6D.概率接近352.从12件同类产品(其中10件正品,2件次品),任意抽取6件产品,下列说法中正确的是()A.抽出的6件产品中必有5件正品,一件次品B.抽出的6件产品中可能有5件正品,一件次品C.抽取6件产品时逐个不放回抽取,前5件是正品,第6件必是次品D.抽取6件产品时,不可能抽得5件正品,一件次品3.从某自动包装机包装的食盐中,随机抽取20袋,测得各袋的质量分别为(单位:g): 492496494495498497501502504496 497503506508507492496500501499根据频率分布估计总体分布的原理,该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5 g~501.5 g 之间的概率约为.4.掷一枚骰子得到6点的概率是16,是否意味着把它掷6次一定能得到一次6点?参考答案自主预习课堂探究二、略三、1.不能,因为不符合古典概型等可能性和有限性的特性.2.不能用古典概型来确定概率的时候,我们可以利用有关统计数据得出事件发生的概率的估计值.3.可靠.我们可以进行大量的重复试验,观察经过试验次数的增多,频率是否趋于稳定.要点归纳,它的值是不稳定的;概率是通过很多次随机试验总结归纳出来的,是可以代替频率的稳定值.典型例题解:因为1 806÷2 000=0.903,所以估计这类种子的发芽率是0.903.变式训练1解:(1)0.680.740.680.690.7050.701(2)当n很大时,落在“铅笔”区域的频率将会接近0.7.(3)获得铅笔的概率约是0.7.例2②⑤变式训练2①③④例3解:(1)根据频率分布直方图可知,样本中分数不小于70的频率为(0.02+0.04)×10=0.6,所以样本中分数小于70的频率为1-0.6=0.4.所以从总体的400名学生中随机抽取一人,其分数小于70的概率估计为0.4.(2)根据题意,样本中分数不小于50的频率为(0.01+0.02+0.04+0.02)×10=0.9,分数在区间[40,50)内的人数为100-100×0.9-5=5.=20.所以总体中分数在区间[40,50)内的人数估计为400×5100(3)由题意可知,样本中分数不小于70的学生人数为(0.02+0.04)×10×100=60,所以样本=30.中分数不小于70的男生人数为60×12所以样本中的男生人数为30×2=60,女生人数为100-60=40,所以样本中男生和女生人数的比例为60∶40=3∶2.所以根据分层抽样原理,估计总体中男生和女生人数的比例为3∶2.当堂检测2.A3.50核心素养专练一、略二、1.D 2.B 3.D4.(1)不可能0(2)随机49(3)必然 15.(1)从某厂生产产品中抽取一件,是合格品的可能为0.9(2)抽奖一次,中奖可能为0.2层次二一、略二、1.B2.B3.0.254.不是学习目标1.在具体情境中,了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性.2.正确理解概率的意义,利用概率知识正确理解现实生活中的实际问题.3.理解概率的意义以及频率与概率的区别.核心素养1.通过频率与概率的学习,培养数学抽象的核心素养.2.借助概率知识理解现实生活中的实际问题,提升数学运算的核心素养.自主预习1.概率(1)统计定义:一般地,如果在n次重复进行的试验中,事件A发生的频率为m,则当n很大m.时,可以认为事件A发生的概率P(A)的估计值为mm(2)性质:随机事件A的概率P(A)满足0≤P(A)≤1.特别地,①当A是必然事件时,P(A)=1.②当A是不可能事件时,P(A)=0.2.概率与频率之间的联系概率是可以通过频率来“测量”的,或者说频率是概率的一个近似值.概率从数量上反映了一个事件发生可能性的大小.课堂练习1.下列说法正确的是()A.任何事件的概率总是在(0,1]之间B.频率是客观存在的,与试验次数无关C.随着试验次数的增加,事件发生的频率一般会稳定于概率D.概率是随机的,在试验前不能确定2.已知某人在投篮时投中的概率为50%,则下列说法正确的是()A.若他投100次,一定有50次投中B.若他投一次,一定投中C.他投一次投中的可能性大小为50%D.以上说法均错3.从存放号码分别为1,2,…,10的卡片的盒子中,有放回地取100次,每次取一张卡片并记下号码,统计结果如下:卡片号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10取到的次10 11 8 8 6 10 18 9 11 9数则取到号码为奇数的频率是()A.0.53B.0.5C.0.47D.0.374.在一次掷硬币试验中,掷30 000次,其中有14 984次正面朝上,则出现正面朝上的频率是,这样,掷一枚硬币,正面朝上的概率是.课堂探究类型1对概率的理解1.随机事件A的概率P(A)反映了什么?2.随机事件在一次试验中是否发生与概率的大小有关系吗?例1经统计,某篮球运动员的投篮命中率为90%,对此有人解释为其投篮100次一定有90次命中,10次不中,你认为这种解释正确吗?说说你的理由.思路探究:结合概率的意义,正确理解概率的含义.母题探究1.(变条件)某种疾病治愈的概率是30%,有10个人来就诊,如果前7个人没有治愈,那么后3个人一定能治愈吗?如何理解治愈的概率是30%?2.(变结论)经统计,某篮球运动员的投篮命中率为90%,已知他连续投篮5次均未投中,那么下次投篮的命中率一定会大于90%,这种理解对吗?类型2概率与频率的关系及求法例2下面的表中列出了10次抛掷硬币的试验结果,n为每次试验抛掷硬币的次数,m为硬币正面向上的次数.计算每次试验中正面向上的频率,并考查它的概率.试验序号抛掷次数(n)正面向上次数(m)正面向上的频率1 500 2512 500 2493 500 2564 500 2535 500 251续表试验序号抛掷次数(n)正面向上次数(m)正面向上的频率6 500 2467 500 2448 500 2589 500 26210 500 247思路探究变式训练下面是某批乒乓球质量检查结果表:抽取球数50 100 200 50010002000优等品数45 92 194 470 9541 902优等品出现的频率(1)在上表中填上优等品出现的频率;(2)估计该批乒乓球优等品的概率是多少?(3)若抽取乒乓球的数量为1 700只,则优等品的数量大约为多少?类型3概率的实际应用例3甲、乙两人做游戏,规定“同时掷两枚骰子,若出现点数之和为偶数,则甲胜,若出现点数之和为奇数,则乙胜”,乙说“点数之和为2,3,4,…,12,共11种结果,其中偶数有6个,奇数有5个,所以这个游戏是不公平的,甲获胜的可能性要大些”.你认为乙的说法对吗?试说明理由.思路探究变式训练已知使用一剂某种药物治愈某种疾病的概率为90%,则下列说法正确的是()A.如果有100个这种病人各使用一剂这样的药物,则有90人会治愈B.如果一个患有这种疾病的病人使用两剂这样的药物就一定会治愈C.说明使用一剂这种药物治愈这种疾病的可能性是90%D.以上说法都不对核心素养专练1.思考辨析(1)概率就是随机事件发生的频率.()(2)随机事件的概率不能为0.()(3)必然事件的概率为1.()(4)在大量实验中频率是概率的近似值,概率是频率的稳定值.()2.某医院治疗一种疾病的治愈率为15,前4个病人都没有治好,第5个病人的治愈率为()A.1B.15C.45D.03.在一次掷硬币试验中,掷100次,其中有48次正面朝上.设反面朝上为事件A,则事件A 出现的频数为,事件A出现的频率为.4.如果掷一枚质地均匀的硬币,连续5次正面向上,有人认为下次出现反面向上的概率大于12,这种理解正确吗?(2016全国1)某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:上年度出险次数0 1 2 3 4 ≥5保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下:一年内出险0 1 2 3 4 ≥5次数概率0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率;(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出60%的概率;(3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.参考答案课堂练习2.C3.A4.0.499 50.5课堂探究:反映了事件A发生的可能性的大小.2.提示:随机事件的概率表明了随机事件发生的可能性的大小,但并不表示概率大的事件一定发生,概率小的事件一定不发生.例1解:这种解释不正确,原因如下:因为“投篮命中”是一个随机事件,90%是指此事件发生的概率,即每次投篮有90%命中的把握,但就一次投篮而言,也可能不发生,也可能发生,并不是说投100次必中90次.母题探究1.解:不一定.如果把治疗一个病人当作一次试验,治愈的概率是30%,是指随着试验次数的增加,大约有30%的病人能治愈,对于一次试验来说,其结果是随机的.因此,前7个病人没有治愈是有可能的,而对后3个病人而言,其结果仍是随机的,即有可能治愈,也有可能不能治愈.2.解:这种理解不正确.此运动员命中率为90%,是他每次投中的可能性,但对于每一次投篮,其结果都是随机的,他连续5次未中是有可能的,但对下一次投篮而言,其命中率仍为90%,而不会大于90%.例2解:由频率公式f n(A)=mm,可分别得出这10次试验中事件正面向上出现的频率依次为0.502,0.498,0.512,0.506,0.502,0.492,0.488,0.516,0.524,0.494,这些数字在0.5附近摆动,由概率的统计定义可得,正面向上的概率约为0.5.变式训练解:(1)如下表所示:抽取球数50 100 200 50010002000优等品数45 92 194 470 9541 902优等品出现的频率0.9 0.92 0.97 0.940.9540.951(2)从表中数据可以看出,这批乒乓球优等品的概率是0.95.(3)由优等品的概率为0.95,则抽取1 700只乒乓球时,优等品数量为1 700×0.95=1 615(只).例3 解:乙的说法是不对的,该游戏是公平的,掷两枚骰子点数之和其实共有36种结果,如下表所示:1点 2点 3点 4点 5点 6点1点 2 3 4 5 6 72点 3 4 5 6 7 83点 4 5 6 7 8 94点 5 6 7 8 9 105点 6 7 8 9 10 116点 7 8 9 10 11 12不难看出点数之和为偶数的结果有18种,点数之和为奇数的结果也有18种,所以出现点数之和为偶数和点数之和为奇数的概率都是12,故游戏是公平的.变式训练C 解析:概率是指一个事件发生的可能性的大小,治愈某种疾病的概率为90%,说明使用一剂这种药物治愈这种疾病的可能性是90%,但不能说明使用一剂这种药物一定可以治愈这种疾病,只能说是治愈的可能性较大,故选C . 当堂检测× (2)× (3)√ (4)√2.B 解析:由概率的意义知,第5个病人的治愈率仍为15,与前4个病人都没治好没有关系.3.52 0.52 解析:100次试验中,48次正面朝上,则52次反面朝上,频率=频数试验次数=52100=0.52. 4.解:这种理解是不正确的.掷一枚质地均匀的硬币,作为一次试验,其结果是随机的,但通过大量的试验,其结果呈现出一定的规律,即“正面向上”“反面向上”的可能性都是12,连续5次正面向上这种结果是可能的,但对下一次试验来说,仍然是随机的,其出现正面向上和反面向上的可能性还是12,而不会大于12. 核心素养专练A 发生当且仅当一年内出险次数大于1,故P (A )=0.2+0.2+0.1+0.05=0.55.(2)设B 表示事件:“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”,则事件B 发生当且仅当一年内出险次数大于3,故P (B )=0.1+0.05=0.15.又P (AB )=P (B ),故P (B|A )=m (mm )m (m )=m (m )m (m )=0.150.55=311. 因此所求概率为311.(3)记续保人本年度的保费为X ,则X 的分布列为X 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2aP 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05EX=0.85a×0.30+a×0.15+1.25a×0.20+1.5a×0.20+1.75a×0.10+2a×0.05=1.23a.因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23.。

5．3.4 频率与概率【课程标准】结合实例，会用频率估计概率．新知初探·自主学习——突出基础性教材要点知识点频率与概率一般地，如果在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率为m，则当n很大时，可以n.不难看出，此时也有0≤P(A)≤1.认为事件A发生的概率P(A)的估计值为mn状元随笔(1)正确理解频率与概率之间的关系随机事件的频率，是指事件发生的次数与试验总次数的比值，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动的幅度越来越小．我们给这个常数取一个名字，叫做这个随机事件的概率．概率可以看成频率在理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小．频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率．(2)概率与频率的区别与联系：基础自测1．(多选)下列说法错误的是( )A．随机事件A的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值B．任意事件A发生的概率P(A)总满足0<P(A)<1C．若事件A的概率趋近于0，即P(A)→0，则事件A是不可能事件D．某事件发生的概率随着试验次数的变化而变化2．将一个容量为n的样本分成若干组，已知某组的频数和频率分别是30和0.25，则n 为( )A．120 B．160C．60 D．903．某人将一枚硬币连掷10次，正面朝上的情况出现了8次，若用A表示“正面朝上”这一事件，则A的( )A．概率为45B．频率为45C．频率为8 D．概率接近于84．某制药厂正在测试一种减肥药的疗效，有1000名志愿者服用此药，体重变化结果统计如下：A．0.1 B．0.2C．0.5 D．0.6课堂探究·素养提升——强化创新性题型1 概率概念的理解[数学抽象]例1 (1)下列说法正确的是( )A．由生物学知道生男生女的概率约为0.5，一对夫妇先后生两小孩，则一定为一男一女B.一次摸奖活动中，中奖概率为0.2，则摸5张票，一定有一张中奖C．10张票中有1张奖票，10人去摸，谁先摸则谁摸到奖票的可能性大D．10张票中有1张奖票，10人去摸，无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1(2)我们知道，每次抛掷硬币的结果出现正、反的概率都为0.5，则连续抛掷质地均匀的硬币两次，是否一定出现“一次正面向上，一次反面向上”呢？方法归纳(1)概率是随机事件发生的可能性大小的度量，是随机事件A的本质属性，随机事件A 发生的概率是大量重复试验中事件A发生的频率的近似值．(2)由概率的定义我们可以知道随机事件A在一次试验中发生与否是随机的，但随机中含有规律性，而概率就是其规律性在数量上的反映．(3)正确理解概率的意义，要清楚概率与频率的区别与联系．对具体的问题要从全局和整体上去看待，而不是局限于某一次试验或某一个具体的事件．跟踪训练1 (1)若某种彩票准备发行1000万张，其中有1万张可以中奖，则买一张这种彩票的中奖概率是多少？买1000张的话是否一定会中奖？(2)下列叙述随机事件的频率与概率的关系中哪个是正确的( )A．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率B．频率是客观存在的，与试验次数无关C．概率是随机的，在试验前不能确定D．频率就是概率题型2 用频率估计概率例2 某射手在同一条件下进行射击，结果如表所示：(1)(2)这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少？状元随笔(1)正确认识频率与概率的关系．(2)由表中数据→计算事件频率→观察频率的稳定值→估计概率．方法归纳随机事件在一次试验中是否发生虽然不能事先确定，但是在大量重复试验的情况下，它的发生呈现出一定的规律性，可以用事件发生的频率去“测量”，因此可以通过计算事件发生的频率去估算概率．跟踪训练2 李老师在某大学连续3年主讲经济学院的高等数学，下表是李老师这门课3年来的考试成绩分布：先由表中的数据算出频率，再估计出概率．经济学院一年级的学生王小慧下学期将选修李老师的高等数学课，用已有的信息估计她得以下分数的概率(结果保留到小数点后三位).(1)90分以上；(2)60分～69分；(3)60分以上．题型3 频率分布直方图的应用[经典例题]例3 (1)在某次赛车中，50名参赛选手的成绩(单位：min)全部介于13到18之间(包括13和18)，将比赛成绩分为五组：第一组[13，14)，第二组[14，15)，…，第五组[17，18].其频率分布直方图如图所示，若成绩在[13，15)内的选手可获奖，则这50名选手中获奖的人数为( )A．39 B．35C．15 D．11(2)某家电公司销售部门共有200名销售员，每年部门对每名销售员都有1400万元的年度销售任务．已知这200名销售员去年的销售额都在区间[2，22](单位：百万元)内，现将其分成5组，第1组、第2组、第3组、第4组、第5组对应的区间分别为[2，6)，[6，10)，[10，14)，[14，18)，[18，22]，并绘制出如下的频率分布直方图．①求a的值，并计算完成年度任务的人数；②用分层抽样的方法从这200名销售员中抽取容量为25的样本，求这5组分别应抽取的人数；③现从②中完成年度任务的销售员中随机选取2名，奖励海南三亚三日游，求获得此奖励的2名销售员在同一组的概率．方法归纳频率分布直方图的意义(1)频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各组内频率大小．(2)在频率分布直方图中，各小矩形的面积之和等于1.(3)频数/相应的频率＝样本容量．跟踪训练 3 某工厂对一批产品进行了抽样检测．如图是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98)，[98，100)，[100，102)，[102，104)，[104，106].已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是( )A．90 B．75C．60 D．455．3.4 频率与概率新知初探·自主学习[基础自测]1．解析：A：根据概率和频率的定义，正确．B．提示：任意事件A发生的概率P(A)总满足0≤P(A)≤1.C：概率趋近于0不表示概率为0，错误．D：事件发生的概率是固定值，是不随试验次数的变化而变化的，所以错误．解析：BCD＝0.25，所以n＝30×4＝120.2．解析：由题意知，30n答案：A.如果多次进3．解析：做n次随机试验，事件A发生了m次，则事件A发生的频率为mn行试验，事件A发生的频率总在某个常数附近摆动，那么这个常数才是事件A的概率．故810为事件A的频率．＝45答案：B4．解析：由表中数据得：＝0.6.估计这个人体重减轻的概率约为p＝6001 000答案：D课堂探究·素养提升例 1 【解析】(1)一对夫妇生两小孩可能是(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，所以A不正确；中奖概率为0.2是说中奖的可能性为0.2，当摸5张票时，可能都中奖，也可能中一张、两张、三张、四张，或者都不中奖，所以B不正确；10张票中有1张奖票，10人去摸，每人摸到的可能性是相同的，即无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1，所以C不正确，D正确．(2)不一定．这是因为统计规律不同于确定的数学规律，对于具体的一次试验而言，它带有很大的随机性(即偶然性)，通过具体试验可以知道除上述结果外，也可能出现“两次都是正面向上”“两次都是反面向上”．尽管随机事件的概率不像函数关系那样具有确定性，但是如果我们知道某事件发生的概率的大小，也能得出科学的决策．例如：做连续抛掷两枚质地均匀的硬币的试验1000次，可以预见：“两个都是正面向上”大约出现250次，“两个都是反面向上”大约出现250次，而“一个正面向上、一个反面向上”大约出现500次．【答案】 (1)D (2)见解析 跟踪训练1 解析：(1)中奖的概率为11 000；买1000张也不一定中奖，因为买彩票是随机的，每张彩票都可能中奖也可能不中奖．买彩票中奖的概率为11 000，是指试验次数相当大，即随着购买彩票的张数的增加，大约有11 000的彩票中奖.(2)事件A 的频率是指事件A 发生的频数与n 次事件中事件A 出现的次数比，一般来说，随机事件A 在每次实验中是否会发生是不能预料的，但在大量重复试验后，随着试验次数的增加，事件A 发生的频率会逐渐稳定在区间[0，1]中的某个常数上，这个常数就是事件A 的概率．∴随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率． 答案：(1)见解析 (2)A例2 【解析】 (1)根据表中数据，计算依次填入的数据为：810＝0.80，1920＝0.95，4450＝0.88，92100＝0.92，178200＝0.89，455500＝0.91；(2)16×(0.80＋0.95＋0.88＋0.92＋0.89＋0.91)≈0.89，由于频率稳定在常数0.89附近，所以这个射手射击一次，击中靶心的概率约是0.89. 跟踪训练2 解析：总人数为43＋182＋260＋90＋62＋8＝645，根据公式可计算出选修李老师的高等数学课的人的考试成绩在各个段上的频率依次为：43645≈0.067，182645≈0.282，260645≈0.403，90645≈0.140，62645≈0.096，8645≈0.012.用已有的信息，可以估计出王小慧下学期选修李老师的高等数学课得分的概率如下： (1)将“90分以上”记为事件A ，则P (A )≈0.067； (2)将“60分～69分”记为事件B ，则P (B )≈0.140；(3)将“60分以上”记为事件C ，则P (C )≈0.067＋0.282＋0.403＋0.140＝0.892. 例3 【解析】 (1)由频率分布直方图知成绩在[15，18]内的频率为(0.38＋0.32＋0.08)×1＝0.78，所以成绩在[13，15)内的频率为1－0.78＝0.22，则成绩在[13，15)内的选手有50×0.22＝11(人)，即这50名选手中获奖的人数为11，故选D.(2)①∵(0.02＋0.08＋0.09＋2a )×4＝1，∴a ＝0.03， ∴完成年度任务的人数为2×0.03×4×200＝48. ②第1组应抽取的人数为0.02×4×25＝2， 第2组应抽取的人数为0.08×4×25＝8， 第3组应抽取的人数为0.09×4×25＝9， 第4组应抽取的人数为0.03×4×25＝3， 第5组应抽取的人数为0.03×4×25＝3，③在②中完成年度任务的销售员中，第4组有3人，记这3人分别为A 1，A 2，A 3；第5组有3人，记这3人分别为B 1，B 2，B 3.从这6人中随机选取2名，所有的基本事件为A 1A 2，A 1A 3，A 1B 1，A 1B 2，A 1B 3，A 2A 3，A 2B 1，A 2B 2，A 2B 3，A 3B 1，A 3B 2，A 3B 3，B 1B 2，B 1B 3，B 2B 3，共有15个基本事件，获得此奖励的2名销售员在同一组所包含的基本事件有6个，故所求概率P ＝615＝25.【答案】 (1)D (2)见解析跟踪训练3 解析：产品净重小于100克的频率为(0.050＋0.100)×2＝0.300，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，设样本容量为n ，则36n ＝0.300，所以n ＝120，净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是120×0.75＝90.答案：A。

5.3.4 频率与概率一、选择题1．某班有男生25人，其中1人为班长，女生15人，现从该班选出1人，作为该班的代表参加座谈会，下列说法中正确的是( )(1)选出1人是班长的概率为140； (2)选出1人是男生的概率是125； (3)选出1人是女生的概率是115； (4)在女生中选出1人是班长的概率是0. A ．(1)(2) B ．(1)(3) C ．(3)(4) D ．(1)(4)解析：本班共有40人，1人为班长，故(1)对；而“选出1人是男生”的概率为2540＝58；“选出1人为女生”的概率为1540＝38，因班长是男生，所以“在女生中选班长”为不可能事件，概率为0.答案：D2．从2,4,6,8,10这5个数中任取3个，则这三个数能成为三角形三边的概率是( ) A.25 B.710 C.310 D.35解析：基本事件有10个：(2,4,6)、(2,4,8)、(2,4,10)、(4,6,8)、(4,6,10)、(4,8,10)、(2,6,8)、(2,6,10)、(2,8,10)、(6,8,10)，其中能成为三角形三边的有(4,6,8)、(4,8,10)、(6,8,10)三种，所求概率为310. 答案：C3．观察新生婴儿的体重，其频率分布直方图如图所示，则新生婴儿体重在[2 700,3 000)内的频率为( )A ．0.001B ．0.1C ．0.2D ．0.3解析：由频率分布直方图的意义可知，各小长方形的面积＝组距×频率组距＝频率，即各小长方形的面积等于相应各组的频率．在区间[2 700,3 000)内频率的取值为(3 000－2 700)×0.001＝0.3.故选D.答案：D4．已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示未命中；再以每三个随机数为一组代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为( ) A ．0.35 B ．0.25 C ．0.20 D ．0.15解析：易知20组随机数中表示恰有两次命中的数据有191,271,932,812,393，所以P ＝520＝0.25. 答案：B 二、填空题5．利用简单抽样法抽查某校150名男学生，其中身高为1.65米的有32人，若在此校随机抽查一名男学生，则他身高为1.65米的概率大约为________(保留两位小数)．解析：所求概率为32150≈0.21.答案：0.216．一个袋中装有一定数量差别较大的白球和黑球，从中任取一球，取出的是白球，估计袋中数量少的球是________．解析：判断的依据是“样本发生的可能性最大”． 答案：黑球7．下面是某中学期末考试各分数段的考生人数分布表：则分数在[700,800)解析：由于在分数段[400,500)内的频数是90，频率是0.075，则该中学共有考生90 0.075＝1 200，则在分数段[600,700)内的频数是1 200×0.425＝510，则分数在[700,800)内的频数，即人数为1 200－(5＋90＋499＋510＋8)＝88.答案：88三、解答题8．某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1 000支，该公司对这些灯管的使用寿命(单位：小时)进行了统计，统计结果如下表所示．(1)(2)根据上述统计结果，估计灯管使用寿命不足1 500小时的概率．解析：(1)频率依次是0.048,0.121,0.208,0.223,0.193，0.165，0.042.(2)样本中寿命不足1 500小时的频数是48＋121＋208＋223＝600，所以样本中灯管使用寿命不足1 500小时的频率是6001 000＝0.6，所以灯管使用寿命不足1 500小时的概率约为0.6.9．种子公司在春耕前为了支持农业建设，采购了一批稻谷种子，进行了种子发芽试验．在统计的2 000粒种子中有1 962粒发芽．(1)计算“种子发芽”这个事件发生的频率；(2)若用户需要该批稻谷种芽1 00 000粒，需采购该批稻谷种子多少千克(每千克约1 000粒)?解析：(1)“种子发芽”这个事件发生的频率为1 9622 000＝0.981.(2)若用户需要该批稻种芽100 000粒，则需要购该批稻谷种子100 000×10.981(粒)，故需要购买该批稻谷种子100 000×10.981÷1 000≈102(千克)．[尖子生题库]10．假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解它们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如下：(1)估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率；(2)这两种品牌产品中，某个产品已使用了200小时，试估计该产品是甲品牌的概率． 解析：(1)甲品牌产品寿命小于200小时的频率为5＋20100＝14，用频率估计概率，所以甲品牌产品寿命小于200小时的概率为14.(2)根据抽样结果，寿命大于200小时的产品有75＋70＝145(个)，其中甲品牌产品是75个，所在样本中，寿命大于200小时的产品是甲品牌的频率是75145＝1529，用频率估计概率，所以已使用了200小时的该产品是甲品牌的概率为1529.。

5.3.4 频率与概率学习任务核心素养(教师独具) 1．在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性．(重点)2．正确理解概率的意义，利用概率知识正确理解现实生活中的实际问题．(重点)3．理解概率的意义以与频率与概率的区别．(难点)1．通过频率与概率的学习，培养数学抽象的核心素养．2．借助概率知识理解现实生活中的实际问题，提升数学运算的核心素养.随机抛一个瓶盖，观察它落地后的状态(如图)．(1) (2) (3)问题：(1)样本空间有几个样本点？(2)这样的随机试验是古典概型吗？(3)你能求出盖口朝下的概率吗？(4)怎样估计盖口朝下的概率？[提示] (1)3.(2)不是古典概型．(3)不能．(4)可做大量重复试验，用盖口朝下的频率估计盖口朝下的概率．1．概率(1)定义：一般地，如果在n 次重复进展的试验中，事件A 发生的频率m n，如此当n 很大时，可以认为事件A 发生的概率P (A )的估计值为m n.(2)性质：随机事件A 的概率P (A )满足0≤P (A )≤1． 特别地，①当A 是必然事件时，P (A )＝1． ②当A 是不可能事件时，P (A )＝0. 2．概率与频率之间的联系概率是可以通过频率来“测量〞的，或者说频率是概率的一个近似值．概率从数量上反映了一个事件发生可能性的大小．1．如下说法正确的答案是( )A ．任何事件的概率总是在(0,1]之间B ．频率是客观存在的，与试验次数无关C ．随着试验次数的增加，事件发生的频率一般会稳定于概率D ．概率是随机的，在试验前不能确定 C [由概率与频率的有关概念可知C 正确．]2.某人在投篮时投中的概率为50%，如此如下说法正确的答案是( )A ．假如他投100次，一定有50次投中B ．假如他投一次，一定投中C ．他投一次投中的可能性大小为50%D ．以上说法均错C [概率是指一件事情发生的可能性大小．]类型1 对概率的理解1．随机事件A 的概率P (A )反映了什么？[提示]反映了事件A发生的可能性的大小．2．随机事件在一次试验中是否发生与概率的大小有关系吗？[提示]随机事件的概率明确了随机事件发生的可能性的大小，但并不表示概率大的事件一定发生，概率小的事件一定不发生．【例1】经统计，某篮球运动员的投篮命中率为90%，对此有人解释为其投篮100次一定有90次命中，10次不中，你认为这种解释正确吗？说说你的理由．[思路探究] 结合概率的意义，正确理解概率的含义．[解]这种解释不正确，原因如下：因为“投篮命中〞是一个随机事件，90%是指此事件发生的概率，即每次投篮有90%命中的把握，但就一次投篮而言，也可能不发生，也可能发生，并不是说投100次必中90次．1．(变条件)某种疾病治愈的概率是30%，有10个人来就诊，如果前7个人没有治愈，那么后3个人一定能治愈吗？如何理解治愈的概率是30%?[解]不一定．如果把治疗一个病人当作一次试验，治愈的概率是30%，是指随着试验次数的增加，大约有30%的病人能治愈，对于一次试验来说，其结果是随机的．因此，前7个病人没有治愈是有可能的，而对后3个病人而言，其结果仍是随机的，即有可能治愈，也有可能不能治愈．2．(变结论)经统计，某篮球运动员的投篮命中率为90%，他连续投篮5次均未投中，那么下次投篮的命中率一定会大于90%，这种理解对吗？[解]这种理解不正确．此运动员命中率为90%，是他每次投中的可能性，但对于每一次投篮，其结果都是随机的，他连续5次未中是有可能的，但对下一次投篮而言，其命中率仍为90%，而不会大于90%.概率是事件的本质属性，不随试验次数的变化而变化，概率反映了事件发生的可能性的大小，但概率只提供了一种“可能性〞，而不是试验总次数中某一事件一定发生的比例，即使是大概率事件，也不能肯定事件一定发生，只是认为发生的可能性大.类型2 概率与频率的关系与求法【例2】 下面的表中列出了10次抛掷硬币的试验结果，n 为每次试验抛掷硬币的次数，m 为硬币正面向上的次数．计算每次试验中正面向上的频率，并考查它的概率．试验序号抛掷次数(n )正面向上次数(m )正面向上的频率1 500 2512 500 2493 500 2564 500 2535 500 2516 500 2467 500 2448 500 2589 500 262 10500247[思路探究]由表中数据→计算事件频率→观察频率的稳定值→估计概率[解] 由频率公式f n (A )＝m n，可分别得出这10次试验中事件正面向上出现的频率依次为0.502,0.498,0.512,0.506,0.502,0.492,0.488,0.516,0.524,0.494，这些数字在0.5附近摆动，由概率的统计定义可得，正面向上的概率约为0.5.频率与概率有什么区别与联系？[提示] (1)频率与概率有本质的区别．频率随着试验次数的改变而改变，概率却是一个常数，它是频率的科学抽象：当试验次数越来越大时，频率向概率靠近．(2)随机事件的频率，指此事件发生的次数与试验总次数的比值，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小．我们给这个常数取一个名字，叫做这个随机事件的概率．概率可看成频率在理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小．频率在大量重复试验的前提下可近似地作为这个事件的概率．[跟进训练]1．下面是某批乒乓球质量检查结果表：抽取球数50100200500 1 000 2 000 优等品数4592194470954 1 902 优等品出现的频率(2)估计该批乒乓球优等品的概率是多少？(3)假如抽取乒乓球的数量为1 700只，如此优等品的数量大约为多少？[解](1)如下表所示：抽取球数50100200500 1 000 2 000 优等品数4592194470954 1 902 优等品出现的频率(3)由优等品的概率为0.95，如此抽取1 700只乒乓球时，优等品数量为1 700×0.95＝1 615(只)．类型3 概率的实际应用【例3】 甲、乙两人做游戏，规定“同时掷两枚骰子，假如出现点数之和为偶数，如此甲胜，假如出现点数之和为奇数，如此乙胜〞，乙说：“点数之和为2,3,4，…，12，共11种结果，其中偶数有6个，奇数有5个，所以这个游戏是不公平的，甲获胜的可能性要大些．〞你认为乙的说法对吗？试说明理由．[思路探究]列出所有结果→计算概率→判断[解] 乙的说法是不对的，该游戏是公平的，掷两枚骰子点数之和其实共有36种结果，如表所示：1点 2点 3点 4点 5点 6点 1点 2 3 4 5 6 7 2点 3 4 5 6 7 8 3点 4 5 6 7 8 9 4点 5 6 7 8 9 10 5点 6 7 8 9 10 11 6点789101112不难看出点数之和为偶数的结果有18种，点数之和为奇数的结果也有18种，所以出现点数之和为偶数和点数之和为奇数的概率都是12，故游戏是公平的．1．解题关键是理解概率是描述随机事件发生的可能性大小的量，因此计算概率是此题的核心问题．2．解决此类问题要注意观察分析数据总数和某事件包含的数据个数，有时需要对试验可能出现的结果进展预测．3．实际生活与生产中常常用随机事件发生的概率来估计某个生物种群中个别生物种类的数量、某批次的产品中不合格产品的数量等．[跟进训练]2．如果掷一枚质地均匀的硬币，连续5次正面向上，有人认为下次出现反面向上的概率大于12，这种理解正确吗？[解] 这种理解是不正确的．掷一枚质地均匀的硬币，作为一次试验，其结果是随机的，但通过大量的试验，其结果呈现出一定的规律，即“正面向上〞、“反面向上〞的可能性都是12，连续5次正面向上这种结果是可能的，但对下一次试验来说，仍然是随机的，其出现正面向上和反面向上的可能性还是12，而不会大于12.1．(多项选择题)如下说法正确的答案是( ) A ．概率就是随机事件发生的频率 B ．随机事件的概率不能为0 C ．必然事件的概率为1D ．在大量实验中频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值 [答案] CD2．某医院治疗一种疾病的治愈率为15，前4个病人都没有治好，第5个病人的治愈率为( )A ．1B ．15C ．45D ．0B [由概率的意义知，第5个病人的治愈率仍为15，与前4个病人都没治好没有关系．]3．从存放分别为1,2，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一X 卡片并记下，统计结果如下：卡片 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 取到的次数101188610189119如此取到为奇数的频率是( ) A ．0.53B ．0.5A [取到为奇数的频率是10＋8＋6＋18＋11100＝0.53.]4．在一次掷硬币试验中，掷30 000次，其中有14 984次正面朝上，如此出现正面朝上的频率是________，这样，掷一枚硬币，正面朝上的概率是________．0.[设“出现正面朝上〞为事件A ，如此n ＝30 000，n A ＝14 984，f n (A )＝14 98430 000≈0.4995，P (A )＝0.5.]5．在一次掷硬币试验中，掷100次，其中有48次正面朝上．设反面朝上为事件A ，如此事件A 出现的频数为________，事件A 出现的频率为________．[100次试验中，48次正面朝上，如此52次反面朝上，频率＝频数试验次数＝52100＝0.52.]回顾本节内容，自我完成以下问题：1．同一个随机事件在一样条件下，每一次试验中发生的概率都一样吗？[提示] 概率是从数量上反映随机事件在一次试验中发生可能性的大小的一个量，是一个确定的数，是客观存在的，与每次试验无关；同一个随机事件在一样条件下，每一次试验中发生的概率都是一样的．2．怎样根据频率求事件发生的概率？[提示] 在实践中，在大量的重复试验后，人们经常采用频率估计概率．。

5.3.4频率与概率必备知识基础练1.《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝,并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况,随机调查了100位学生,其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位,阅读过《红楼梦》的学生共有80位,阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位,则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为()A.0.5B.0.6C.0.7D.0.8,阅读过《西游记》的学生人数为90-80+60=70,则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为70÷100=0.7.2.设某厂产品的次品率为2%,估算该厂8 000件产品中合格品的件数大约为()A.160B.7 840C.7 998D.7 800(1-2%)=7 840(件),故选B.3.(多选题)下列说法中错误的是()A.设有一批产品,其次品率为0.05,则从中任取200件,必有10件是次品B.做100次抛硬币的试验,结果51次出现正面朝上,因此,出现正面朝上的概率是51100C.随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率D.抛掷骰子100次,得点数是1的结果有18次,则出现1点的频率是950错,次品率是指出现次品的可能性,从中任取200件,可能有10件次品,也可能没有.B,C混淆了频率与概率的区别.D正确.4.为了估计今年来昆明的红嘴鸥数量,云南大学科研人员随机对500只红嘴鸥做上记号后放回,一段时间后随机查看了500只红嘴鸥,发现有2只标有记号,今年来昆明的红嘴鸥总数最可能为.n,则500n =2500,解得n=125 000.5.对某批产品进行抽样检查,数据如下:抽查件数50 100 200 300 500合格件数47 92 192 285 475根据上表中的数据,估算出合格品出现的概率为 ,如果要从该批产品中抽到950件合格品,那么大约需要抽查 件产品..95 1 0000.94,0.92,0.96,0.95,0.95,因此合格品出现的概率约为0.95,因此要抽到950件合格品,大约需要抽查1 000件产品.6.某活动小组为了估计装有5个白球和若干个红球(每个球除颜色外都相同)的袋中红球接近多少个,在不将袋中球倒出来的情况下,分小组进行摸球试验,两人一组,共20组进行摸球试验.其中一位学生摸球,另一位学生记录所摸球的颜色,并将球放回袋中摇匀,每一组做400次试验,汇总起来后,摸到红球次数为6 000次.(1)估计从袋中任意摸出一个球,恰好是红球的概率; (2)请你估计袋中红球的个数.因为 20×400=8 000,所以摸到红球的频率为6 0008 000=0.75,因为试验次数很大,大量试验时,频率接近于理论概率,所以估计从袋中任意摸出一个球,恰好是红球的概率是0.75.(2)设袋中红球有x 个,根据题意得xx+5=0.75,解得x=15,经检验x=15是原方程的解.所以估计袋中红球接近15个.关键能力提升练7.甲、乙两人做游戏,下列游戏中不公平的是( )A.抛一枚骰子,向上的点数为奇数则甲胜,向上的点数为偶数则乙胜B.同时抛两枚相同的骰子,向上的点数之和大于7则甲胜,否则乙胜C.从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张,扑克牌是红色则甲胜,是黑色则乙胜 D .甲,乙两人各写一个数字,若是同奇或同偶则甲胜,否则乙胜A,C,D,甲胜,乙胜的概率都是12,游戏是公平的;对于B,点数之和大于7和点数之和小于7的概率相等,但点数之和等于7时乙胜,所以甲胜的概率小,游戏不公平.8.如果袋中装有数量差别很大而大小相同的白球和黄球(只是颜色不同)若干个,从中任取一球,取了10次有7次是白球,估计袋中数量最多的是 球.0.7,估计其概率是0.7,那么取出黄球的概率约是0.3,取出白球的概率大于取出黄球的概率,所以估计袋中数量最多的是白球.9.有一个转盘游戏,转盘被平均分成10等份(如图所示),转动转盘,当转盘停止后,指针指向的数字即为转出的数字.游戏规则如下:两个人参加,先确定猜数方案,甲转动转盘,乙猜,若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符,则乙获胜,否则甲获胜.猜数方案从以下三种方案中选一种:A.猜“是奇数”或“是偶数”;B.猜“是4的整数倍数”或“不是4的整数倍数”;C.猜“是大于4的数”或“不是大于4的数”. 请回答下列问题:(1)如果你是乙,为了尽可能获胜,你将选择哪种猜数方案,并且怎样猜?为什么? (2)为了保证游戏的公平性,你认为应选择哪种猜数方案?为什么? (3)请你设计一种其他的猜数方案,并保证游戏的公平性.方案A 中“是奇数”或“是偶数”的概率均为510=0.5;方案B 中“不是4的整数倍数”的概率为810=0.8,“是4的整数倍数”的概率为210=0.2; 方案C 中“是大于4的数”的概率为610=0.6,“不是大于4的数”的概率为410=0.4. 为了尽可能获胜,应选方案B ,猜“不是4的整数倍数”.(2)为了保证游戏的公平性,应当选择方案A.因为方案A 猜“是奇数”或“是偶数”的概率均为0.5,从而保证了该游戏是公平的.(3)可以设计为:猜“是大于5的数”或“不是大于5的数”,此方案也可以保证游戏的公平性(答案不唯一).学科素养创新练10.某超市随机选取1 000位顾客,记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况,整理成如下所示的统计表,其中“√”表示购买,“×”表示未购买.(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率;(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率;(3)如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大?从统计表中可以看出,在这1 000位顾客中,有200位顾客同时购买了乙和丙,所以估计顾客同时=0.2.购买乙和丙的概率为2001000(2)从统计表中可以看出,在这1 000位顾客中,有100位顾客同时购买了甲、丙、丁,另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙,其他顾客最多购买了2种商品,=0.3.所以估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率为100+2001000=0.2,(3)估计顾客同时购买甲和乙的概率为2001000=0.6,估计顾客同时购买甲和丙的概率为100+200+3001000估计顾客同时购买甲和丁的概率为100=0.1.1000所以如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买丙的可能性最大.。