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5-Galton钉板实验

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基于Matlab的Galton钉板问题

基于Matlab的Galton钉板问题

基于Matlab的Galton钉板问题黄自力高鹏黄安康摘要在概率论的发展过程中，最早出现的研究对象是一种计算概率的数学模型，称为古典概型。

一般的说，若随机试验满足下列两个条件：（1）它的样本空间只有有限多个样本点;（2）每个样本点出现的可能性相同，称这种实验为有限等可能实验或古典概型，galton钉板实验就是其中之一。

关键词galton顶板二项分布 poisson分布正文在概率论的发展过程中，最早出现的研究对象是一种计算概率的数学模型，称为古典概型。

一般的说，若随机试验满足下列两个条件：（1）它的样本空间只有有限多个样本点;（2）每个样本点出现的可能性相同，称这种实验为有限等可能实验或古典概型，galton钉板实验就是其中之一。

Galton钉板试验是英国生物统计学家Galton设计的。

在一板上钉有n排钉子，如图示，其中n=5。

右图中15个圆点表示15颗钉子，在钉子的下方有n+1个各子，分别编号为0，1，2，…，n。

从Galton钉板的上方扔进一个小球任其自由下落，在下落的过程中当小球碰到钉子时，从左边落下与从右边落下的机会相等。

碰到下一排钉子时又是如此。

最后落入底板中的某一个格子，图中用一条折线显示小球下落的一条轨迹。

向Galton钉板扔进一个小球，显然不能预测小球回落到哪一个格子，如果不断重复扔进过程，将会发生什么结果呢?关于Galton“高尔顿等人关于回归分析的先驱性的工作，以及时间序列分析方面的一些工作，…是数理统计学发展史中的重要事件.”──摘自《中国大百科全书》（数学卷）高尔顿是英国人类学家、生物统计学家.1822年2月6日生于伯明翰,1911年1月17日卒于萨里郡黑斯尔米尔.高尔顿是生物学家达尔文的表弟.他早年在剑桥学习数学，后到伦敦攻读医学.1860年当选为皇家学会会员，1909年被封为爵士.1845—1852年深入到非洲腹地探险、考察.高尔顿是生物统计学派的奠基人，他的表哥达尔文的巨著《物种起源》问世以后，触动他用统计方法研究智力遗传进化问题，第一次将概率统计原理等数学方法用于生物科学，明确提出“生物统计学”的名词.现在统计学上的“相关”和“回归”的概念也是高尔顿第一次使用的，他是怎样产生这些概念的呢？1870年，高尔顿在研究人类身长的遗传时，发现下列关系：高个子父母的子女，其身高有低于其父母身高的趋势，而矮个子父母的子女，其身高有高于其父母的趋势，即有“回归”到平均数去的趋势，这就是统计学上最初出现“回归”时的涵义.高尔顿揭示了统计方法在生物学研究中是有用的，引进了回归直线、相关系数的概念，创始了回归分析.开创了生物统计学研究的先河.他于1889年在《自然遗传》中，应用百分位数法和四分位偏差法代替离差度量.在现在的随机过程中有以他的姓氏命名的高尔顿─沃森过程（简称G─W 过程）.高尔顿发表了200篇论文和出版了十几部专著，涉及人体测量学，实验心理学等领域，其中数学始终起着重要作用.他在统计学方面也有贡献，高尔顿在1877年发表关于种子的研究结果，指出回归到平均值（regression toward the mean ）现象的存在，这个概念与现代统计学中的“回归”并不相同，但是却是回归一词的起源。

5-Galton钉板实验

5-Galton钉板实验
格子编号 奖品的价值 f i（元） 0 5 1 1 2 0.2 3 0.2 4 1 5 5
三、问题分析 问题 1、当扔小球时，关心的是小球落入格子的编号数 X。在扔小球之前虽 然可以知道，小球必会落到编号为 0，1，2，3，4，5 的某一个格子中，但是我 们无法预测小球到底会落到哪一个格子中。因此小球落入格子的编号数 X 是一 个随机变量，它的取值为 0，1，2，3，4，5。 问题 2、小球自上方落下，经过 n 个钉子。每经过一个钉子时只有两种可能 结果：向右或向左。这是一个具有两个结果（成功和失败）的随机试验 E，将向 右视为成功，成功的概率为 p ，向左为失败，失败的概率为 q 1 p 。小球碰到 一个钉子下落一格， 相当于进行了一次试验 E。 小球自顶端落下， 碰到 n 个钉子， 最终落在某个格子的过程，恰好相当于将试验 E 重复了 n 次，因此一次投球过 程就是一个 n 重贝努利试验（将仅有两个相互排斥结果的试验 E 独立重复 n 次， 构成了 n 重贝努利试验 E n ） 。
n 重贝努利试验的成功次数 X 正好是小球向右移动的次数，它是一个随机变
量。根据概率论的结果有 X ~ B( n, p ) 。对于一个随机变量，我们首先要弄清楚 它的取值范围， X 的取值范围为 0,1, 2, , n ，这是什么意思呢？在 Galton 钉板模 型中 X ＝0 表示小球向右移动的次数，也就是小球一直向左移动，所以它恰好要 落在编号为 0 的格子里；同理 X ＝1 表示小球恰好要落在编号为 1 的格子里，依 次类推，这就是说， X 是小球最终落进的格子编号数，当然它也对应为小球向 右移动的次数。 二项随机变量 X 的分布列为：
图 1-1 Galton 钉板模型（n＝5）
1
问题：1、向 Galton 钉板扔进一个小球，它将落到哪一个格子中？事先能预 测吗？ 2、如果不断地重复扔球过程，将会发现什么结果呢？落入各个格子中 的小球的堆积形状如何？反映了什么信息？ 3、如果这是一个抽奖游戏，扔一次小球需要付出 1 元代价，同时在不 同的格子中设置了不同价值的奖品， 如表 1-给出了一种奖品设置的 情况。抽奖者一般的希望是奖品回报大于所付出的代价，这一点能 够实现吗？ 表 1-1 奖品的设置

《概率论与数理统计》的课堂思政设计—以大数定律为例

《概率论与数理统计》的课堂思政设计—以大数定律为例

《概率论与数理统计》的课堂思政设计—以大数定律为例摘要：本文以大数定律教学内容为基础，以课程思政为导向，挖掘概率论与数理统计教学内容中蕴含的思政元素，把思政元素融入教学内容、教学方法和教学活动。

通过引入历史两个著名试验，追溯大数定律的发展和演变，剖析大数定律的内涵和意义三个方面阐述课程思政教学的有效运行，结合具体教学内容为课程思政的有效运行提供切实可行的方法。

关键词：大数定律、思政元素一、引言概率论与数理统计是研究与随机现象相关的数量规律的学科，也是高等学校理工科专业的通识必修课之一。

概率论与数理统计应用广泛，几乎遍及学术研究和日常生活的方方面面。

通过学习，学员可以提升运用概率论的思想观察、处理随机事件的能力。

大数定律在概率论与数理统计课程的教学内容中具有承上启下的重要意义，既是前面概率论内容的一个补充，又为数理统计提供了理论基础。

大数定律是概率论的基本理论，在理论研究和应用中起着重要的作用。

大数定律是概率论中讨论随机变量序列的算术平均值向常数收敛的定理。

从数学上严格地解释了频率稳定于概率，平均值稳定于数学期望。

本文以大数定律的教学内容为基础，深挖案例中蕴含的“思政元素”及所承载的思想政治教育功能，将思政元素有机的融入课堂教学，把“知识传授”与“价值引领”有机统一起来，做到立德树人，培养具有社会主义核心价值观的有用人才。

二、课堂思政设计（一）通过引入试验，透过实验现象看本质高尔顿钉板（Galton board）,是弗朗西斯高尔顿以验证中心极限定理的试验。

从漏斗形上口掉落的小球会遇上一系列排列成三角形的“钉子”。

每当小球从正上方下落到一个“钉子”上时，它总是会有50%的概率跑到左边，有50%的概率跑到右边。

在经过数次这样随机的“左右选择”之后，小球掉落到下方的格子中。

如图1所示。

图1 高尔顿钉板试验引入高尔顿钉板试验，可以从直观上看到无数的随机因素共同作用的结果即每一个因素或多或少都起到一点作用，但都没有起到很大的甚至决定性的作用也就是说每种因素的微小差异对总的影响作用不是很大，最终综合在一起就形成了正态分布。

基于Galton板的固定床内示踪剂浓度分布

基于Galton板的固定床内示踪剂浓度分布

基于Galton板的固定床内示踪剂浓度分布王碧玉;黄智贤;郑辉东;邱挺【摘要】从概率论角度出发,利用传统的Galton板模型,以催化剂捆扎包内的一个小布袋为研究对象,建立了固定床内示踪剂浓度分布模型,得到了固定床内示踪剂浓度分布模型的具体表达式.同时,以KCl溶液为示踪剂,建立了实验装置,将模型计算值与实验结果比较,结果吻合良好,说明所建模型是可靠的.考察不同参数对示踪剂浓度分布的影响,结果表明:在固定床内,随着催化剂粒径的增大、液体喷淋量的减小、固定床高度的增加,示踪剂浓度分布曲线逐渐变得平缓.【期刊名称】《化工学报》【年(卷),期】2013(064)012【总页数】7页(P4283-4289)【关键词】固定床;Galton板;浓度分布【作者】王碧玉;黄智贤;郑辉东;邱挺【作者单位】福州大学化学化工学院,福建福州350108;福州大学化学化工学院,福建福州350108;福州大学化学化工学院,福建福州350108;福州大学化学化工学院,福建福州350108【正文语种】中文【中图分类】N32引言在催化精馏塔内，催化剂捆扎包是一种比较成熟的催化剂装填方式，并已经在工业上得到了成功的应用[1－3]。

催化剂捆扎包如图 1 所示[4]，把催化剂颗粒装入用布缝制的小袋中，外部敷以不锈钢波纹丝网为弹性部件，卷成一层布袋一层波纹丝网的圆柱体，构成一个催化剂单元，若干个结构单元垂直交错叠置在塔内构成催化精馏段，在催化剂捆扎包内，气相沿波纹丝网上升，液相在催化剂布袋内向下流动。

因此，液体在催化剂布袋内的流动研究对催化精馏塔的设计与优化有重要的意义。

图1 催化剂捆扎包示意图Fig.1 Schematic diagram of catalyst bundle很多文献也报道了催化剂捆扎包内的传质特性[5－7]，王文华等[8]在模拟的反应器和模拟的MTBE合成反应条件下，用示踪－响应的实验原理，测量和计算了催化剂包内示踪物的传质速率，实验结果表明，催化剂包内传质的主要影响因素是包内外液体的对流速率。

Galton钉板实验

Galton钉板实验

Galton钉板实验一、实验内容某车间有200台车床互相独立的工作，由于经常需要检修、测量、调换刀具等种种原因需要停车，这使每台车床的开工率只有60％。

而每台车床在开动时需耗电1kW，显然向该车间供电200kW可以保证有足够电力供这些车床使用，但是在电力比较紧张的情况下，给这个车间供给电力太多将造成浪费，太少又影响生产。

如何解决这一矛盾？一种解决方案是保证有基本足够的电力供应该车间，比如要求在8小时的生产过程中允许有半分钟的电力不足，半分钟约占8小时的0.1％，用概率论的语言就是：应供应多少电力才能以99.9％的概率保证不会因为电力不足而影响生产？问题：（1）计算分布函数在某些点的取值F(m)，m＝0，1，2， (200)并将它绘于图上，辅助某些必要的计算，求出问题中所需要的供电功率数。

（2）将8小时按半分钟分成若干时间段，共有8*60*2＝960个时间段。

用二项分布模拟8小时车床运行的情况。

观察已算得的供电功率数是否能基本满足车间正常工作，写出你的结论。

二、实验过程问题（1）编写程序如下：function bin() %200台车床正常工作的台数满足二项分布p=0.6; %正常工作概率n=200; %200次事件x=[0:5:n];f=binocdf(x,n,p);bar(x,f);axis([-1 201 0 1]); %坐标分配end运行结果：将上述程序的取样间隔改为一时，即x=[0:5:n]; 改为x=[0:1:n];结果如下：通过观察上面两幅结果，得出大约在m=140KW时电力才能以99.9％的概率保证不会因为电力不足而影响生产。

问题（2）模拟车床运行情况的函数代码为：function bin1n=200;p=0.6;m=960;rand('seed',3);R=binornd(n,p,1,m); %模拟服从二项分布的随机数,生成1*960的矩阵for i=1:n+1 %开始计数k=[];k=find(R==(i-1)); %找出R中等于(i-1)元素下标，并存于向量k中h(i)=length(k)/m; %计算落在编号i-1的格子的小球频率endx=[0:1:n];Bar(x,h);axis([-1 201 0 1]) ; %画频率图end运行后生成的分布图为：输入以下代码，计算服从n=200,p=0.6的二项分布的随机变量的分布列的理论值：function bin2n=200;p=0.6;x=[0:1:n];f=binopdf(x,n,p);bar(x,f);axis([-1 201 0 1]);end得到理论分布图为：通过对两图的对比可以看出，当进行大量次重复投球后，小球的堆积形状和理论上的分布情况（随机变量X的分布列）非常接近。

随机变量序列的极限

随机变量序列的极限


p
P A
p
例1 设 X1, X 2 , 是独立同分布的随机变量序列, 且
E Xi , D Xi 2,i 1, 2, , 则
1
n
n i 1
X
2 i
P 2
2.
二、中心极限定理
在数理统计中经常要用到 n个独立同分布的随机变量
n
X1, X 2, , X n的和 X i 的分布, 但要给出其精确分布有 i 1
n
n i 1
Xi
1 n
n i 1
E
Xi
P 0.
特别地, 若E Xi ,i 1, 2, , 则上式表明
X
1 n
n i 1
Xi
P
.
注意 该定理的条件为方差有界.
定理 （独立同分布情形下的大数定律） 设 X1, X 2 ,
是独立同分布的随机变量序列, 且E Xi , D Xi 2,i 1, 2, , 则 X P .
间 2, 2上的均匀分布, 且每个部件的称量是独立的,
试问, 最多可以把这台机床分解成多少个部件, 才能以
不低于 99%的概率保证总重量的误差的绝对值不超过
10kg.
解 设将机床分解成 N个部件, 而 X i 表示第 i个部件的
重量, 则 Xi R2, 2,i 1, 2, , N. 所以
E
X
i
0,
D
例3 设一个车间有400台同类型的机床, 每台机床需用
电 Q瓦, 由于工艺关系, 每台机器并不连续开动, 开动的 时候只占工作总时间的3/ 4, 问应该供应多少瓦电力能
99%的概率保证该车间的车床能正常工作.（假定在工作 期内每台机器是否处于工作状态是相互独立的）.

高尔顿(Galton)


“回归”名称的由来-――高尔顿的父子身高试验 引自汪荣伟主编的《经济应用数学》高尔顿（Frramcia Galton,1882-1911）早年在剑桥大学学习医学， 但医生的职业对他并无吸引力， 后来他接受了一笔遗产， 这使他可以放弃医生的生涯， 并与 1850－1852
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Reproduction Forbidden Page 1 of 4
高尔顿钉板
如下图中每一黑点表示钉在板上的一颗钉子，它们彼此的距离均相等，上一层的每一颗的水平位 置恰好位于下一层的两颗正中间。从入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间的距离的小圆玻璃球， 当小圆球向下降落过程中，碰到钉子后皆以 1/2 的概率向左或向右滚下，于是又碰到下一层钉子。如 此继续下去，直到滚到底板的一个格子内为止。把许许多多同样大小的小球不断从入口处放下，只要 球的数目相当大，它们在底板将堆成近似于正态 的密度函数图形（即：中间高，两头低，呈左右对
1 2 1 2
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Reproduction Forbidden Page 4 of 4
1 2
1 2
1 2
= C0 ）(k+1)－0 ( )0 k 1 （ ak+1，k+1=

医学统计学正态分布及其应用


3
不知你们是否知道街头的一种赌博活 动? 用一个钉板作赌具。
4
下面我们来模拟这个游戏：
也许很多人不相信，玩这种赌 博游戏十有八九是要输掉的，不少 人总想碰碰运气，然而中大奖的概 率实在是太低了。
街头赌博
5
平时，我们很少有人会去关心小球 下落位置的规律性，人们可能不相信 它是有规律的。一旦试验次数增多并 且注意观察的话，你就会发现，最后 得出的竟是一条优美的曲线。 高尔顿钉板试验
43
单侧与双侧参考值范围
根据医学专业知识确定！
双侧：白细胞计数，血清总胆固醇， 单侧：上限: 转氨酶，尿铅，发汞 …… 下限: 肺活量，IQ，
单侧下限---过低异常
异常 正常 单侧下限
单侧上限---过高异常 双侧---过高、过低均异常
正常 异常
异常
正常
异常 双侧上限
44
单侧上限
双侧下限
31
正态分布的应用
估计频数分布 质量控制 确定临床参考值范围
32
估计频数分布
☆ 正态变量x转化为标准正态变量u，（公式
u X

）再用u值查表，得所求区间面积
占总面积的比例。
33
某项目研究婴儿的出生体重服从正态分布， 其 均 数 为 3150g ， 标 准 差 为 350g 。 若 以 2500g 作为低体重儿，试估计低体重儿的比 例。
S(-, -0)=0.5
S(-1,
)=0.3413
-3 - -2
+
+3 +2
22
正态曲线下的面积规律
95%
2.5%
2.5%
-1.96

+1.96

概率统计实验

概率统计实验
Galton钉板和二项分布 Galton钉板和二项分布 分布列的意义
Galton钉板模拟
o英国生物统计 英国生物统计 学家Galton Galton设 学家Galton设 计了Galton Galton板 计了Galton板 o右边是一个5层 右边是一个5 右边是一个 Galton钉板
应用、思考和练习（
废品问题 ）
一工厂生产某种大量耗用的零件， 一工厂生产某种大量耗用的零件，经过统计方法估计 出废品率为p=0.015。工厂将 个零件装成一盒， 出废品率为 。工厂将100个零件装成一盒， 个零件装成一盒 销售给用户。但是不久接到用户反馈意见：声称100 销售给用户。但是不久接到用户反馈意见：声称 盒产品大约只有22盒全是正品 盒全是正品， 盒产品大约只有 盒全是正品，用户希望将这个比例 提高到80盒左右 盒左右。 提高到 盒左右。 管理人员希望采取某种措施满足用户的要求。 管理人员希望采取某种措施满足用户的要求。为此他 们进行了技术分析，希望减少废品率， 们进行了技术分析，希望减少废品率，但是这样做成 本太高而不现实。 本太高而不现实。 一名管理人员提出了一个简单想法， 一名管理人员提出了一个简单想法，他认为可以在每 盒产品的100个零件之外奉送额外的若干零件，这样 个零件之外奉送额外的若干零件， 盒产品的 个零件之外奉送额外的若干零件 希望基本保证用户得到100个正品，从而满足他们提 个正品， 希望基本保证用户得到 个正品 出的要求。这一方法可行吗？ 出的要求。这一方法可行吗？请用概率论知识对此进 行分析。
Bernoulli试验和二项分布 Bernoulli试验和二项分布
不要把Galton钉板简单地当作消遣 不要把Galton钉板简单地当作消遣 Galton 它是一个有用的概率模型 当你学习了概率论， 当你学习了概率论，你将知道 Bernoulli试验模型 Bernoulli试验模型 Bernoulli试验的成功次数 试验的成功次数X n重Bernoulli试验的成功次数X 服从 二项分布B(n, 二项分布B(n, p). 上面模拟对应于n=5, p=0.5的情形 上面模拟对应于n=5, p=0.5的情形

数学建模概率统计实验讲解


Galton钉板模拟(原理)
o 在一板上钉有n排钉子 o 自顶端扔进一小球任其自
由下落
o 在下落过程中小球碰到钉
子，左右落下的机会相等
o 最后小球落入底板中的某
一个格子
o 图中用0 1 2 3 4 5表示
这6个格子
Galton钉板模拟(博彩问题)
在每一格子中放上适当价 值的奖品 如依次为 10 1 0.2 0.2 1 8 (元） 扔一次小球你要付1元给 庄主 如果小球落入某个格子 你将获得相应价值的奖品 你合算吗？庄主会赚钱吗？
观察二项分布列
运行binopdfcompare.m 固定n , 改变p值，观察二项分布列的形 状 看一看：改变向右的概率，小球的堆积 形状是怎样的？ 增加钉板层数n，作进一步观察。
模拟二项分布随机变量
用R = binornd(5,0.5,1,1)模拟了一次 投球的结果。多次运行它，看看你的运 气。 用R = binornd(5,0.5,1,m)成批模拟 了m次投球结果，看看它的堆积形状。 (运行simulatingGalton.m)
Galton钉板模拟(扔1万个小球)
o 小球落入哪一个格子
是不确定的
o 所以要计算落入每一
个格子的可能性
o 试想向Galton板中
扔10000个小球
o 这些小球将堆积起来 o 小球的堆积形状告诉
了我们什么呢？
Galton钉板模拟(程序zxy9_1.m)
(1)确定钉子的位置：将钉子的横、纵坐标存 储在两个矩阵X和Y之中。
应用、思考和练习（ 废品问题 ）
一工厂生产某种大量耗用的零件，经过统计方法估计 出废品率为p=0.015。工厂将100个零件装成一盒， 销售给用户。但是不久接到用户反馈意见：声称100 盒产品大约只有22盒全是正品，用户希望将这个比例 提高到80盒左右。
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Movie(mat,m)
播放动画矩阵 m 次
Binopdf(x,n,p)
概率密度函数。
计算二项分布列，参数 n 和 p 分别为试验次数和成功概率。
给定 x，就可以计算 x 处的概率。x 可以是向量或矩阵。
Binocdf(x,n,p)
累计概率密度函数。
binornd(n,p,s,m)
二项分布发生器，模拟二项分布的随机变量。参数 n 和 p
如果将这样的抽检一件产品看作是进行一次试验，则试验的结果可以是发生 A
（这是件不合格产品）或
A
（A
不发生，即产品质量合格）。称这种只有两个可
能结果
A（称“成功”）或
A
（称“失败”）的试验为
Bernoulli
试验。
有很多试验，其可能的结果不止两个，但由于人们常只对试验是否发生某一
3
种特定结果感兴趣，因而可将之归结为 Bernoulli 试验、例如，明天的天气可以
将取何值，这要凭机会，就是“随机”的意思。一旦试验后，取值就确定了。例
如，你在 3 月 31 日买了一张奖券，到 6 月 30 日开奖。当你买这张奖券时，可以
对你说：“你中奖的金额 是个随机的变量，其值在 6 月 30 日'抽奖试验'做过之
后才能确定。”
明白了这一点就不难举出许多随机变量的例子。例如，某出租车公司的电话
k
k
E xk pk xk P ( xk )
数学期望表征的是随机变k量 取值的“k 平均值”。
4
五、实验过程 1、Matlab 命令简介
命令
功的随机数，并将这些随机数存于
一个 m×n 矩阵中。每次调用 rand(m,n)的结果都会不同。
Getframe
图 1-1 Galton 钉板模型（n＝5）
1
问题：1、向 Galton 钉板扔进一个小球，它将落到哪一个格子中？事先能预 测吗？
2、如果不断地重复扔球过程，将会发现什么结果呢？落入各个格子中 的小球的堆积形状如何？反映了什么信息？
3、如果这是一个抽奖游戏，扔一次小球需要付出 1 元代价，同时在不 同的格子中设置了不同价值的奖品，如表 1-给出了一种奖品设置的 情况。抽奖者一般的希望是奖品回报大于所付出的代价，这一点能 够实现吗？
和 binopdf(x,n,p)中是一样，运行该指令后，得到一个 s×
m 的矩阵。 执行命令 disttool，可以进入概率分布的 demo。 执行命令 randtool，可以进入随机数生成的 demo。
2、动画模拟 Galton 钉板试验 运行观察程序 Galton_1.m，屏幕将出现一个图形窗口，动画模拟扔球过程。
工的单位估计此种疾病的发病情况时，需用 p 0.001 的 n 重 Bernoulli 试验模型，
这里 n＝5000。
3、二项分布
在“成功”概率是 p ，即 p P ( A) 的 n 重 Bernoulli 试验中，事件 A 出现的
次数 是二项分布随机变量，其可能的取值为：
0，1，……，n
有分布律
格子编号
表 1-1 奖品的设置
0
1
2
3
4
5
奖品的价值 fi（元） 5
1 0.2 0.2 1
5
三、问题分析 问题 1、当扔小球时，关心的是小球落入格子的编号数 X。在扔小球之前虽
然可以知道，小球必会落到编号为 0，1，2，3，4，5 的某一个格子中，但是我 们无法预测小球到底会落到哪一个格子中。因此小球落入格子的编号数 X 是一 个随机变量，它的取值为 0，1，2，3，4，5。
构成了 n 重贝努利试验 E n ）。
n 重贝努利试验的成功次数 X 正好是小球向右移动的次数，它是一个随机变
量。根据概率论的结果有 X ~ B(n, p) 。对于一个随机变量，我们首先要弄清楚
它的取值范围，X 的取值范围为 0,1, 2,, n ，这是什么意思呢？在 Galton 钉板模
型中 X ＝0 表示小球向右移动的次数，也就是小球一直向左移动，所以它恰好要 落在编号为 0 的格子里；同理 X ＝1 表示小球恰好要落在编号为 1 的格子里，依 次类推，这就是说， X 是小球最终落进的格子编号数，当然它也对应为小球向 右移动的次数。
型。
例如，若学校的电话总机设有 99 个分机，已知每号分机平均每小时有 3 分
钟要使用外线，在考虑该总机应设置多少条外线合适的问题时，可归结为 n 重
Bernoulli 试验的问题。在任一时刻考察一部分机是否占用外线时，其可能结果只
有 两 个 ：“ 占 用 ”（ 发 生
A ）、“ 不 占 用 ”（ 发 生
以下围绕着 Galton 钉板模型来讨论。 Galton 钉板试验是由英国生物统计学家 Galton 设计的。在一板上有 n 排钉 子，图 1-1 所示的是 n＝5 的情况。图中 15 个圆点表示 15 颗钉子，在钉子的下 方有 6 个格子，分别编号为 0，1，2，3，4，5。自 Galton 钉板的上方扔进一个 小球任其自由下落，在下落的过程中当小球碰到钉子时，从左边落下与从右边落 下的机会相等、碰到下一排钉子时又是如此。最后落入底板中的某一个格子。图 中用一条折线显示小球下落的一条轨迹。
P (
k)
C
k n
pkqnk ,
0
k
n
这个值也被记作 b(k ; n, p ) ， 服从参数为 n ，p 的二项分布，也记作 ~ B (n, p ) 。 4、离散型随机变量的数学期望
设随机变量 具有概率分布列
x1 x2 xn
p1
p2 pn
则当 | xk | pk 时，称 xk pk 为随机变量 的数学期望或均值，记作
小球堆积情况的变化；当然，你也可以增加钉子的数目，看看小球堆积分布的变 化情况（只是这是计算时间花费较长，可以修改程序，取消动画，只显示最终的 结果）。
模拟 Galton 钉板试验的步骤如下： （1）确定钉子的位置：将钉子的横、纵坐标存储在两个矩阵 X 和 Y 之中。 （2）在 Galton 钉板试验中，小球每碰到钉子下落时都具有两种可能性。向
数学期望可以理解为由于随机变量 X 以 pi 的概率取到值 i （即小球落入第 i
格的概率为 pi ），这意味着抽奖者以 pi 的概率获得价值 fi ，所以若以概率 pi 对函
数值 fi 做折扣：即计算折扣值 fi pi ，并把所有折扣值加总，就得到了理论均值
或数学期望 Ef ( X ) 。
根据上述公式可计算，抽一次奖所得回报的理论均值为
实验五 Galton 钉板实验
一、实验目的与要求 1.复习概率论中随机变量、概率分布、二项分布、均值和分布函数等概念。 2.理解 Galton 钉板实验中小球落入格子所服从的规律。 3.了解 Matlab 软件中进行动画演示的命令。 4.了解 Matlab 软件中计算二项分布概率、产生二项分布随机数的命令，了 解计算离散型随机变量数学期望的方式。 5.了解 Matlab 软件中进行随机模拟的方法。
5
（3）模拟小球堆积的形状。输入仍球次数 m（例如 m＝50、100、500 等）， 计算落在第 i 格格子的小球数在总球数 m 中所占的比例，这样当模拟结束时，就
得到了频率
fi
mi m
,i
0,, n ，用频率反映小球的堆积形状。
程序 Galton_1.m： clear,clf,m=100;n=5;y0=2; ballnum=zeros(1,n+1);
问题 2、小球自上方落下，经过 n 个钉子。每经过一个钉子时只有两种可能 结果：向右或向左。这是一个具有两个结果（成功和失败）的随机试验 E，将向
右视为成功，成功的概率为 p ，向左为失败，失败的概率为 q 1 p 。小球碰到
一个钉子下落一格，相当于进行了一次试验 E。小球自顶端落下，碰到 n 个钉子， 最终落在某个格子的过程，恰好相当于将试验 E 重复了 n 次，因此一次投球过 程就是一个 n 重贝努利试验（将仅有两个相互排斥结果的试验 E 独立重复 n 次，
如 1-1 是模拟向一个 5 层 Galton 钉板扔 100 次小球的过程的最后的结果。在模拟 过程中我们看到，每一个小球落在哪一个格子是无法预测的，但小球逐渐堆积成 一种单峰的形状，落在中间格子的小球数较多，落在两端格子的小球数很少。你
可以增加投球次数，观察小球堆积的分布有无改变；你也可以改变概率 p ，观察
2
以 m，就得到了每次抽奖的平均回报。这个平均回报也是在变化的，这个人抽奖 m 次的平均 回报可能是 0.7 元，另外一个人可能是 1.2 元。平均来说，一次抽奖 理论上的回报到底是多少呢？
我们可以计算一次抽奖所得回报的平均值（数学期望），即为：
n
Ef ( X ) fi pi i0
若此平均值大于 1，说明抽奖者总体上会赢的；若平均值小于 1，说明抽奖者总 体上要亏的。
二、问题描述 所有现象的“因”和“果”，即“条件”和“结果”之间在客观上都存在着
一定的规律，这种规律通常可以分成两类：一是确定性的规律，另一类是非确定 性规律。对于确定性的系统，当已知条件是充分时，那么实验的结果也是确定的， 即在每一次试验进行以前，可以预见试验产生的结果。但若条件不充分时，就无 法预测试验的结果，这就产生了“因果律的缺失”的随机现象。随机现象在实践 中是大量遇到的，如掷骰子。虽然无法由“因”预测“果”，但是当进行大量重 复试验时，因果之间仍会呈现一种统计规律。概率方法建立在“重复试验”的基 础上，统计规律只有在大量重复后才会呈现出来，诸如随机变量。分布、均值、 方差等概念无一不体现了重复的思想。
右的概率为 p ，向左的概率为 q 1 p ，这里 p 0.5 ，表示向右和向左的机会是
相同的。
将[0，1]区间分成两段，区间[0, q) 和[ p, q q]。如果随机数 u [0, p) ，让小