2020-2021学年第二学期广东省湛江市湛江一中高三3月模拟考试数学试题一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合A={0,1，2，3}，B={x|2x2−9x+9≤0}，则A∩B=()A. {0,1}B. {1,2}C. {2,3}D. {0,1，2}2.如果复数m2+i1+mi是纯虚数，那么实数m等于()A. 1B. 0C. 0 或 1D. 0 或−13.如图，长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=3，BC=CC1=2，三棱锥B−DCD1的体积为()A. 1B. 2C. 3D. 64.某种商品的广告费支出x与销售额y(单位：万元)之间有如下对应数据，根据表中提供的数据，得出y与x的线性回归方程为ŷ=6.5x+17.5 ，则表中的m的值为() x24568y3040m5070A. 45B. 50C. 55D. 605.抛物线C1：y2=8x，双曲线C2：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，设F是C1的焦点，点A是抛物线与双曲线的一条渐近线的公共点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为()A. √3B. 2C. √5D. √526.已知函数f(x)=|x|x+2，如果关于x的方程f(x)=kx2有四个不同的实数解，则k的取值范围是()A. k>1B. k≥1C. 0<k<1D. 0<k≤17.已知直线l的倾斜角α满足方程，则直线l的斜率为()A. −43B. 43C. 34D. −348.四棱锥A−BCDE的各顶点都在同一球面上，AB⊥底面BCDE，底面BCDE为梯形，∠BCD=60∘且AB=CB=BE=ED=2,则此球的表面积等于()A. 25πB. 24πC. 20πD. 16π二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.已知a，b，c为直线，α，β，γ为平面，则下列说法正确的是()A. a⊥α，b⊥α，则a//bB. α⊥γ，β⊥γ，则α⊥βC. a//α，b//α，则a//bD. α//γ，β//γ，则α//β10.给出下列命题，其中正确命题为()A. 投掷一枚均匀的硬币和均匀的骰子(形状为正方体，六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6)各一次，记硬币正面向上为事件A，骰子向上的点数是2为事件B，则事件A和事件B同时发生的概率为112B. 以模型y=ce kx去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z=lny，将其变换后得到线性方程z=0.3x+4，则c，k的值分别是e4和0.3C. 随机变量X服从正态分布N(1,σ2)，P(X>1.5)=0.34，则P(X<0.5)=0.16D. 某选手射击三次，每次击中目标的概率均为12，且每次射击都是相互独立的，则该选手至少击中2次的概率为1211.将函数f(x)=Asin(2x−π3)(A≠0)的图象向左平移π3个单位得到g(x)的图象，以下结论中正确的是()A. g(x)最大值为AB. g(x)有一条对称轴是x =π12 C. g(x)有一个对称中心是(π3,0)D. g(x)是奇函数12. 定义在(0,+∞)上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且(x +1)f′(x)−f(x)<x 2+2x 对x ∈(0,+∞)恒成立．下列结论正确的是( )A. 2f(2)−3f(1)>5B. 若f(1)=2，x >1，则f(x)>x 2+12x +12 C. f(3)−2f(1)<7D. 若f(1)=2，0<x <1，则f(x)>x 2+12x +12三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. (x −13x )4的展开式中常数项为______.(用数字表示)14. 2020年初，湖北成为全国新冠疫情最严重的省份，面临医务人员不足，医疗物资紧缺等诸多困难，全国人民心系湖北，志愿者纷纷驰援．若某医疗团队从甲，乙，丙，丁4名医生志愿者中，随机选取2名医生赴湖北支援，则甲被选中的概率为________．15. 二十四节气作为我国古代订立的一种补充历法，在我国传统农耕文化中占有极其重要的位置，是古代劳动人民对天文、气象进行长期观察、研究的产物，凝聚了古代劳动人民的智慧．古代数学著作《周髀算经》中记载有这样一个问题：从夏至之日起，小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若大暑、立秋、处暑的日影子长的和为18尺，立冬的日影子长为10.8尺，则夏至的日影子长为________尺．16. 已知函数y =f(x)是定义在[−4,4]上的偶函数，且f(x)={3x −9,0≤x ≤4g(x),−4≤x <0，则不等式(1−2x)g(log 2x)<0的解集用区间表示为______ ． 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知cosA−3cosCcosB=3c−a b．(Ⅰ)求sinCsinA 的值；(Ⅱ)若B为钝角，b=10，求a的取值范围．18.已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且6S n=3n+1+a(n∈N+)(1)求a的值及数列{a n}的通项公式；}的前n项和为T n．(2)设b n=(1−an)log3(a n2⋅a n+1)，求{1b n19.在三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=2，BC=BB1=4，AC=AB1=2√5，且∠BCC1=60°．(1)求证：平面ABC1⊥平面BCC1B1；(2)设二面角C−AC1−B的大小为θ，求sinθ的值．20. 某市为“市中学生知识竞赛”进行选拔性测试，且规定：成绩大于或等于90分的有参赛资格，90分以下(不包括90分)的则被淘汰．若现有500人参加测试，学生成绩的频率分布直方图如图： (Ⅰ)求获得参赛资格的人数；(Ⅱ)根据频率直方图，估算这500名学生测试的平均成绩；(Ⅲ)若知识竞赛分初赛和复赛，在初赛中每人最多有5次选题答题的机会，累计答对3题或答错3题即终止，答对3题者方可参加复赛，已知参赛者甲答对每一个问题的概率都相同，并且相互之间没有影响，已知他连续两次答错的概率为19，求甲在初赛中答题个数的分布列及数学期望．21. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，过C 上一点(2√2,√2)的切线l 的方程为x +2y −4√2=0． (1)求椭圆C 的方程．(2)设过点M(0,1)且斜率不为0的直线交椭圆于A ，B 两点，试问y 轴上是否存在点P ，使得PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(PA ⃗⃗⃗⃗⃗|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ |+PB⃗⃗⃗⃗⃗⃗|PB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |)？若存在，求出点P 的坐标；若不存在说明理由．22.已知函数f(x)=mlnx−e xx +mx(m∈R)．(1)当m≥e时，讨论函数f(x)的单调性；(2)当x>12时，恒有f(x)<0，求实数m的取值范围．附：√e≈1.65，ln2≈0.69．2020-2021学年第二学期广东省湛江市湛江一中高三3月模拟考试数学试题答案和解析1.【答案】C【解析】解：B={x|32≤x≤3}；∴A∩B={2,3}．2.【答案】D【解析】解：∵m2+i1+mi =(m2+i)(1−mi)(1+mi)(1−mi)=m2+m1+m2+1−m31+m2i是纯虚数，∴{m2+m=01−m3≠0，解得m=0或m=−1．3.【答案】B【解析】解：∵长方体ABCD−A1B1C1D1中，DD1⊥平面ABCD∴V B−DCD1=V D1−BCD=13DD1·SΔBCD=13×2×12×3×2=2．4.【答案】D【解答】解：由题意，x=15×(2+4+5+6+8)=5，y=15×(30+40+m+50+70)=38+m5，∵y关于x的线性回归方程为ŷ=6.5x+17.5 ，∴38+m5=6.5×5+17.5，∴38+m5=50，∴m5=12，∴m=605.【答案】C【解析】解：由题意得F(2,0)，准线为x=−2，设双曲线的一条渐近线为y=ba x，则点A(2,2ba)，由抛物线的定义得|PF|等于点A到准线的距离，即2ba=2+2，∴b2=4a2，可得c2=5a2，e=ca=√5，则双曲线的离心率为√5．6.【答案】A【解析】解：f(x)=kx2有四个不同的实数解，∴显然当x=0时，无论k为何值，都成立，当只需有三个不等于零的不同实数根，∴方程可化为1k=|x|(x+2)，只需y=1k和y=|x|(x+2)有三个不等于零的交点即可，画出函数y=|x|(x+2)的图象如图：有图象可知只需0<1k<1，∴k>1，7.【答案】A【解析】解：，，，即直线l 的斜率为−43．8.【答案】C 解：如图，由已知可得，底面四边形BCDE 为等腰梯形，设底面外接圆的圆心为G ，连接BG ，则2BG =2sin30∘=4， ∴BG =2，又AB =2，设四棱锥外接球的球心为O ， 则OA =√5，即四棱锥外接球的半径为√5． ∴此球的表面积等于4π×(√5)2=20π．9.【答案】AD 解：a ⊥α，b ⊥α，则a//b ，A 正确；若α⊥γ，β⊥γ，则α也可以和β平行，故B 错；若a//α，b//α，则a 与b 相交、平行或异面，故C 错误； α//γ，β//γ，则α//β，D 正确，10.【答案】ABD 解：对于A ，事件A 的概率为12，事件B 的概率为16，则事件A 和事件B 同时发生的概率为12×16=112，故A 正确；对于B ，因为，所以两边取对数得，令z =lny ，可得z =lnc +kx ，因为z =0.3x +4，所以lnc =4,k =0.3，所以c =e 4，故B 正确； 对于C ，随机变量X 服从正态分布N (1,σ2)，所以正态曲线关于x =1对称，则P (X <0.5)=P (X >1.5)=0.34，故C 错误；对于D ，由题意得，该选手1次未击中，2次击中的概率为3×12×12×12=38，3次都击中的概率12×12×12=18，则至少击中2次的概率为38+18=12，故D 正确．11.【答案】BC 【解析】当A <0时，g(x)最大值为−A;将函数f(x)=Asin(2x −π3)(A ≠0)的图象向左平移π3个单位，得到函数g(x)=Asin[2(x +π3)−π3]=Asin(2x +π3)，则g(x)是非奇非偶函数;因为g(π12)=Asin(2×π12+π3)=Asin π2=A ，所以x =π12是g(x)的一条对称轴;因为g(π3)=Asin(2×π3+π3)=Asinπ=0，所以(π3,0)是g(x)的一个对称中心．12.【答案】CD 解：根据题意，构造函数g (x )=f (x )−x2x+1，x >0， 则g′(x )=(x+1)f′(x )−f (x )−(x 2+2x )x+1， 因为(x +1)f′(x)−f(x)<x 2+2x 对x ∈(0,+∞)恒成立， 所以g′(x )<0，所以g (x )在(0,+∞)上单调递减，故g (1)>g (2)>g (3)，整理得2f(2)−3f(1)<5，f(3)−2f(1)<7，故A 错误，C 正确； 当0<x <1，若f(1)=2，因为g (x )在(0,+∞)上单调递减， 所以g (x )>g (1)=12，即f (x )−x 2x+1>12,即f(x)>x 2+12x +12，故D 正确，B 错误;13.【答案】23【解析】解：设(x −13x )4展开式的通项为T r+1，则T r+1=(−13x)r ⋅C 4r ⋅x 4−2r， 令4−2r =0得r =2．∴展开式中常数项为：(−13)2⋅C 42=23． 14.【答案】12某医疗团队从甲，乙，丙，丁4名医生志愿者中， 随机选取2名医生赴湖北支援，选法有甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁，共6种， 其中甲被选中的情况有甲乙、甲丙、甲丁，共3种， 所以甲被选中的概率为P =1215.【答案】3.6解：由题意可得大暑、立秋、处暑的日影子长的和为18尺，立冬的日影子长为10.8尺， 即a 3+a 4+a 5=18，a 10=10.8，可得{3a 4=3(a 1+3d )=18a 10=a 1+9d =10.8，解得{a 1=3.6d =0.8,故夏至的日影子长为3.6尺，故答案为3.6．16.【答案】(14,12)【解析】解：函数y =f(x)是定义在[−4,4]上的偶函数，且f(x)={3x −9,0≤x ≤4g(x),−4≤x <0，则g(x)=3−x −9，故g(x)的零点为−2．由不等式(1−2x)g(log 2x)<0，可得{1−2x <0g(log2x)>0①，或{1−2x >0g(log 2x)<0②.由①可得{x >12−4≤log 2x <−2，∴x ∈⌀． 由②可得{x <12−2<log 2x ≤0，∴14<x <12， 17.【答案】解：(I)由正弦定理，设，则，所以．即(cosA −3cosC)sinB =(3sinC −sinA)cosB ， 化简可得sin(A +B)=3sin(B +C)． 又A +B +C =π， 所以sinC =3sinA 因此．(II)由得c =3a ，由题意，∴18.【答案】解：(1)∵等比数列{a n }满足6S n =3n+1+a(n ∈N +)，n =1时，6a 1=9+a ；n ≥2时，6a n =6(S n −S n−1)=3n+1+a −(3n +a)=2×3n ． ∴a n =3n−1，n =1时也成立，∴1×6=9+a ，解得a =−3． ∴a n =3n−1．(2)b n =(1−an)log 3(a n 2⋅a n+1)=(1+3n)log 3(32n−2⋅3n )=(3n +1)(3n −2)，∴1b n=13(13n−2−13n+1)．{1b n}的前n 项和为T n =13[(1−14)+(14−17)+⋯+(13n−2−13n+1)] =13(1−13n+1)=n3n+1．19.【答案】解：(1)证明：在△ABC 中，AB 2+BC 2=20=AC 2，所以∠ABC =90°，即AB ⊥BC ． 因为BC =BB 1，AC =AB 1，AB =AB ， 所以△ABC≌△ABB 1．所以∠ABB 1=∠ABC =90°，即AB ⊥BB 1．又BC ∩BB 1=B ，BC ，BB 1⊂平面BCC 1B 1．所以AB ⊥平面BCC 1B 1．又AB ⊂平面ABC 1，所以平面ABC 1⊥平面BCC 1B 1．(2)解：由题意知，四边形BCC 1B 1为菱形，且∠BCC 1=60°，则△BCC 1为正三角形，取CC 1的中点D ，连接BD ，则BD ⊥CC 1．以B 为原点，以BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系B −xyz ，则B(0,0，0)，B 1(0,4，0)，A(0,0，2)，C(2√3,−2,0)，C 1(2√3,2,0)． 设平面ACC 1A 1的法向量为n⃗ =(x,y ，z)， AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√3,−2,−2)，CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4,0)．由{AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n⃗ =0，得{2√3x −2y −2z =0,4y =0, 取x =1，得n⃗ =(1,0，√3). 由四边形BCC 1B 1为菱形，得BC 1⊥B 1C ；又AB ⊥平面BCC 1B 1，B 1C ⊂平面BCC 1B 1，所以AB ⊥B 1C ；又AB ∩BC 1=B ，BC 1，AB ⊂平面ABC 1，所以B 1C ⊥平面ABC 1，所以平面ABC 1的法向量为B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√3,−6,0)．所以cos <n ⃗ ,B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=n ⃗⃗ ⋅B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |n ⃗⃗ |⋅|B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | =√34√3×2=14． 设二面角C −AC 1−B 的大小为θ，则sinθ=√1−(14)2=√154． 20.【答案】解：(I)获得参赛资格的人数m =(0.005+0.0043+0.0032)×20×500=125(II)平均成绩：X =(40×0.0065+60×0.0140+80×0.0170+100×0.0050+120×0.0043+140×0.0032)×20=(0.26+0.84+1.36+0.5+0.516+0.448)×20=78.48(III)设甲答对每一道题的概率为P则(1−p)2=19，∴p =23，∴ξ可能取得值为3，4，5，P(ξ=3)=P 3+(1−P)3=13， P(ξ=4)=C 32P 2(1−p)P +C 32(1−p)p(1−p)=1027，P(ξ=5)=1−13−1027=827，∴ξ的分布列为Eξ=3×13+4×1027+5×827=10727． 21.【答案】解：(1)由{x +2y −4√2=0x 2a 2+y 2b 2=1，消去x 并整理得(4b 2+a 2)y 2−16√2b 2y +32b 2−a 2b 2=0， ∵椭圆C 与直线l 相切，∴△=(16√2b 2)2−4(4b 2+a 2)(32b 2−a 2b 2)=0， 化简得4b 2+a 2−32=0，①，又点(2√2,√2)在椭圆C 上，∴8a 2+2b 2=1，②，由①②得a 2=1，b 2=4，∴椭圆C 的方程为x 216+y 24=1．(2)y 轴上存在点P ，使得PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ |PA ⃗⃗⃗⃗⃗ |+PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |PB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |)． 理由如下：设直线的方程为y =kx +1(k ≠0)，联立{y =kx +1x 216+y 24=1消去y 并整理得(4k 2+1)x 2+8kx −12=0．△=(8k)2+4(4k 2+1)×12=256k 2+48>0．设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1+x 2=−8k 4k 2+1,x 1x 2=−124k 2+1．假设存在点P(0,t)满足条件，由于PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ |PA ⃗⃗⃗⃗⃗ |+PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |)， ∴PM 平分∠APB ．由题意知直线PA 与直线PB 的倾斜角互补，∴k PA +k PB =0，即y 1−tx 1+y 2−t x 2=0,即x 2(y 1−t)+x 1(y 2−t)=0(∗)，y 1=kx 1+1，y 2=kx 2+1代入(∗)并整理得2kx 1x 2+(1−t)(x 1+x 2)=0，∴−2k ⋅124k 2+1+(1−t)(−8k)4k 2+1=0，整理得3k +k(1−t)=0，即k(4−t)=0，∴当t =4时，无论k 取何值均成立．∴存在点P(0,4)使得PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ |PA ⃗⃗⃗⃗⃗ |+PB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |)．22.【答案】解：(1)∵f(x)=mlnx −e x x +m x (m ∈R)，∴f′(x)=m x −xe x −e x x 2−m x 2 =−(x−1)(e x −m)x 2(x >0)，①若m =e ，f′(x)=−(x−1)(e x −e)x ≤0在区间(0,+∞)上恒成立，∴函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递减；②若m >e ，由f′(x)<0，解得0<x <1或x >lnm ；由f′(x)>0，解得1<x <lnm ． ∴函数f(x)在区间(0,1)，(lnm,+∞)上单调递减；在区间(1,lnm)上单调递增． 综上所述，当m =e 时，函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递减；当m >e 时，函数f(x)在区间(0,1)，(lnm,+∞)(lnm,+∞)上单调递减；在区间(1,lnm)上单调递增．(2)由(1)知，f′(x)=−(x−1)(e x −m)x 2.∵x >12，∴e x >√e ．①若m ≤√e ，则e x −m >0，由f′(x)>0，解得12<x <1；由f′(x)<0，解得x >1．∴函数f(x)在区间(1,+∞)上单调递减；在区间(12,1)上单调递增．∴当x=1时，f(x)取得最大值为f(1)=m−e<0，∴当m≤√e时，f(x)<0恒成立．②若√e<m<e，由f′(x)>0，解得lnm<x<1；由f′(x)<0，解得12<x<lnm或x>1，∴函数f(x)在区间(lnm,1)上单调递增；在区间(12,lnm)，(1,+∞)上单调递减．∴当x=lnm时，f(x)取得极小值，极小值为f(lnm)，当x=1时，f(x)取得极大值，极大值为f(1)=m−e．要使当x>12时，f(x)<0，则需{f(12)=−mln2−2√e+2m≤0f(1)m−e<0，解得{m≤2√e2−ln2m<e．∵e−2√e2−ln2=√e(√e−22−ln2)≈√e(1.65−1.53)>0，∴m≤2√e2−ln2．又√e<m<e，∴√e<m≤2√e2−ln2时，f(x)<0恒成立．③若m=e，由(1)知，函数f(x)在区间(12,+∞)上单调递减，又f(1)=0，∴当12<x<1时，f(x)>0，不满足题意．④若m>e，由(1)知，函数f(x)在区间(12,1)，(lnm,+∞)上单调递减；在区间(1,lnm)上单调递增．故当x=1时，函数f(x)取得极小值，极小值为f(1)=m−e>0，不满足题意．综上可知，实数m的取值范围为(−∞,2√22−ln2]．。
