例说常用三角恒等变换技巧

三角恒等式证明9种基本技巧三角恒等式的证明是三角函数中一类重要问题，这类问题主要以无条件和有条件恒等式出现。

根据恒等式的特点，可采用各种不同的方法技巧，技巧常从以下各个方面表示出来。

1．化角观察条件及目标式中角度间联系，立足于消除角间存在的差异，或改变角的表达形式以便更好地沟通条件与结论使之统一，或有利于公式的运用，化角是证明三角恒等式时一种常用技巧。

例1求证：tan23x - tan 21x =xx x 2cos cos sin 2+ 思路分析：本题的关键是角度关系：x=23x -21x ，可作以下证明：2．化函数三角函数中有几组重要公式，它们不仅揭示了角间的关系，同时揭示了函数间的相互关系，三角变换中，以观察函数名称的差异为主观点，以化异为为同（如化切为弦等）的思路，恰当选用公式，这也是证明三角恒等式的一种基本技巧。

例2 设AB A tan )tan(-+A C22sin sin =1，求证：tanA 、tanC 、tanB 顺次成等比数列。

思路分析：欲证tan 2C = tanA ·tanB ，将条件中的弦化切是关键。

3．化幂应用升、降幂公式作幂的转化，以便更好地选用公式对面临的问题实行变换，这也是三角恒等式证明的一种技巧。

例3求证 cos4α-4cos2α+3=8sin 4α 思路分析：应用降幂公式，从右证到左：将已知或目标中的常数化为特殊角的函数值以适应求征需要，这方面的例子效多。

如1=sin 2α+cos 2α=sec 2α-tan 2α=csc 2α-cot 2α=tan αcot α=sin αcsc α=cos αsec α，1=tan450=sin900=cos00等等。

如何对常数实行变换，这需要对具体问题作具体分析。

例4 求证αααα22sin cos cos sin 21--=ααtan 1tan 1+-思路分析：将左式分子中“1”用“sin 2α+cos 2α”代替，问题便迎刃而解。

三角恒等变换的常见技巧一、核心技巧方法1、三角恒等变换中的“统一”思想：三角恒等变换的主要目的是异名化同名、异次化同次、异角化同角、异构化同构，即化异为同，也就是将待证式左右两边统一为一个形式，或将条件中的角、函数式表达为问题中的角或函数式，达到以已知表达未知的目的。

基本切入点是统一角，往往从统一角入手便能全面达到化异为同的目的。

2、统一思想的应用——引入辅助角：对x b x a y cos sin +=型函数式的性质的研究，我们常常引入辅助角ϕ。

即化ab x b a x b x a y =++=+=ϕϕtan ),sin(cos sin 22，然后将该式与基本三角函数x A sin y =进行比照研究。

“位置相同，地位平等”是处理原则。

3、统一思想的应用——拆、拼角，如()()()()22β-α+β+α=αβ-β+α=αβ+β+α=β+α，，等等；4、统一思想的应用——弦切互化，如利用万能公式，把正余弦化为正切等等；对关于正余弦函数的齐次式的处理也属于“弦化切”技巧；5、统一思想的应用——公式变、逆用，主要做法是将三角函数式或其一部分整理成公式的一部分，然后利用公式的这一部分与另一部分的等量关系代入6、代换思想的应用——关于正余弦对等式的处理，常以21t x cos x sin ,t x cos x sin 2-==+代入，把函数式化为关于t 的函数式进行研究；另外，三角代换也是处理函数最值、值域等问题的重要技巧。

二、考点解析与典型例题考点一 引入辅助角研究三角函数的性质例. 设f （x ）=asin x ω+bcos x ω（0,,>ωb a ）的周期为π且最大值f （12π）=4； 1）求ω、a 、b 的值；2）若α、β为f （x ）=0的两个根（α、β终边不共线）， 求tan （α+β）的值。

考点二 拆、拼角 例. 已知cos （91)2-=-βα，sin （2α－β）=32，且,20,2πβπαπ<<<<求.2cos βα+考点三 化弦为切例. 当π04x <<时，函数22c o s ()c o s s i n s i n x f x x x x=-的最小值是（ ）． （A ）4 （B ） （C ）2 （D ） 考点四 巧用公式例. 求︒︒+︒+︒28tan 17tan 28tan 17tan 的值。

高一数学三角恒等变换的技巧三角恒等变换以三角函数基本关系、诱导公式、两角和与差的三角函数公式，倍角公式、半角公式等三角公式为基础，常见策略是：(1)发现差异；(2)寻找联系；(3)合理转换．基础思想是根据试题特点，灵活运用三角公式，使用配凑角、切化弦、降次或升幂等技巧，达到解决问题的目的．三角函数公式众多，方法灵活多变，同学们若能熟练掌握三角函数变换的技巧和化简的方法，可达到事半功倍的效果．下面就三角函数恒等变换的部分方法予以简单介绍，供大家参考．一、直接利用公式【方法点拨】根据式子特征，直接用公式展开是三角函数化简常用的方法，基本思路是异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化．化简的标准是三角函数名称尽量少，次数尽量低，最好不含分母，能求值的尽量求值．在化简时要注意角的取值范围．二、公式的逆用【方法点拨】直接运用两角和与差的正弦或余弦公式常能将某些三角函数式化简，但深入观察三角函数式的结构特征，有时能巧妙地逆用公式，不仅丰富了解题技巧，而且过程简捷，不易出错．逆用公式的一些常见变形：三、切化弦【方法点拨】切化弦一般适用于不知切值或式子不能构成有关正、余弦函数的齐次分式．不能整体化切时，一般考虑切化弦，其目的是将正切、余切函数用正弦、余弦函数表示，这是一种常用的解题方法．当涉及多种三角函数时，常用此法减少函数的种类．这里除用化切为弦外，也常用到化异角函数为同角函数的技巧．四、弦化切五、用已知角表未知角【方法点拨】本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和与差的正弦公式的应用，转化过程中要特别注意符号的选取．观察式子特征，若已知角与所求角之间存在和、差、倍角、互余、互补等关系，即可用已知角表未知角的方法来求解．六、拆分角七、配凑【方法点拨】配凑法与方法五的基本思路一致，也是三角恒等变换中十分经典的一种方法．在解答时通过对目标式子中的角进行配凑，再利用三角公式和已知条件求得目标函数的值．在转换过程中同样要注意角的取值范围．常见的凑角技巧：总结三角函数式的化简要遵循“三看”原则(1)一看“角”．这是最重要的一环，通过看角之间的区别和联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称”．看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式；(3)三看“结构特征”．观察和分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向．三角函数式的化简与求值是三角函数中的基础考点之一，也是高考中的常见题型，打好三角函数的基础对同学们高考也大有裨益．本文主要介绍了几种常用的方法，希望对同学们解决三角函数化简求值问题能有所帮助．。

解题宝典在解答三角函数问题时，经常需对三角函数式进行三角恒等变换，这就要求同学们熟练掌握一些进行三角恒等变换的技巧，以便能顺利化简三角函数式、求出三角函数式的值.那么怎样合理进行三角恒等变换呢？可以从以下三个方面进行.一、变换角当进行三角恒等变换时，首先要仔细观察已知角和所求角之间的差别，并建立两角之间的联系,如互余、互补、半角、倍角等，然后利用诱导公式、二倍角公式、两角的和差公式等求解.在进行角的变换时，还可将已知角、所求角与特殊角，如π6、π4、π3等建立联系，然后利用这些特殊角的函数值进行求解.例1.已知cos æèöøα+π4=35，π2≤α<3π2，求cos(2α+π4)的值.分析：先观察题目中的角可发现，已知角α+π4与所要求的角2α+π4之间相差一个α，可以找到一个关系：2æèöøα+π4−π4=2α+π4，用二倍角公式和诱导公式求出sin 2æèöøα+π4和cos 2æèöøα+π4的值，最后根据余弦的两角和公式cos ()α−β=cos α∙cos β+sin α∙sin β求出cos æèöø2α+π4的值.解：由于π2≤α<3π2，所以3π4≤α+π4<7π4，又因为cos æèöøα+π4=35>0，可知3π2≤α+π4<7π4，因此sin æèöøα+π4=−45，所以sin 2æèöøα+π4=2sin æèöøα+π4cos æèöøα+π4=−2425，cos 2æèöøα+π4=2cos 2æèöøα+π4−1=−725，因此cos æèöø2α+π4=cos éëêùûú2æèöøα+π4−π4=cos 2æèöøα+π4cos π4+sin 2æèöøα+π4sin π4=.二、变换函数名称有些三角函数式中的函数名称并不相同，此时，我们需变换函数的名称，如将正切、余切转化为正弦、余弦，将正弦化为余弦，将余弦化为正弦，等等，以达到统一函数名称的目的.在变换函数名称的过程中，常用到的公式有诱导公式sin ()2k π+α=sin α()k ∈Z 、cos ()2k π+α=cos α()k ∈Z 、tan ()2k π+α=tan α(k ∈Z)，重要关系式tan α=sin αcos α、sin 2α+cos 2α=1、辅助角公式a sin α+b cos α=a 2+b 2sin （α+φ）等.例2.化简2cos 2α−12tan æèöøπ4−αsin 2æèöøπ4+α.分析：这个式子中既含有正切函数也有正弦、余弦函数，我们第一步就是要想办法将正切函数转变为正弦函数.观察式子中角的特点，可发现æèöøπ4−α+æèöøπ4+α=π2，根据角的特征，可以利用诱导公式将函数式转化成函数名称一致的式子.解：原式=cos 2α2sin æèöøπ4−αcos æèöøπ4−αsin 2éëêùûúπ2−æèöøπ4−α=cos 2α2sin æèöøπ4−αcos æèöøπ4−α=cos 2αsin æèöøπ2−2α=1.三、变换幂的次数有些三角函数式中幂的次数不相同，此时，我们要对其作升幂或者降幂处理，以便使函数式中的次数相同.“升幂”可以通过二倍角公式cos 2α=cos 2α−sin 2α=2cos 2α−1=1−2sin 2α、tan 2α=2tan α1−tan 2α来实现，“降幂”可以通过二倍角公式sin 2α=2sin αcos α及变形式sin 2α=1−cos 2α2，cos 2α=1+cos 2α2.sin 2α=1−cos 2α2，cos 2α=1+cos 2α2来达到目的.例3.已知tan α=−13，求sin α−cos 2α1+cos 2α的值.分析：由于已知tan α=−13，目标式中含有正弦函数和余弦函数，且含有二次式，可以先利用二倍角公式把2α转变为α，使幂的次数统一，即将所求的式子转化为关于sin α、cos α的齐次式，然后依据tan α=sin αcos α，将目标式中的分子、分母同时除以cos 2α，得到只含有tan α的分式，将tan α=−13代入求解即可得到答案.解：原式=2sin αcos α−cos 2α2cos 2α=2sin α−cos α2cos α=tan α−12=−56.总而言之，在进行三角恒等变换时最重要的就是要做到“变异为同”，灵活使用各种三角函数公式，将角、函数名称、幂的次数不同的式子转化为角、函数名称、次数相同的式子.在解题的过程中，同学们要熟记各种三角函数公式，并灵活使用，根据角、函数名称、幂的特点合理进行变换，以实现“变异为同”.（作者单位：山东省聊城第一中学）41Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。

三角恒等变换的方法与技巧三角恒等变换是三角函数中的主要部分，是培养学生等价转化与化归思想、逻辑思维能力、知识的联系性与灵活性的重要内容。

下面举例说明三角恒等变换的方法与技巧。

一、变角角是研究三角函数问题的切入点.若表达式中出现了较多相异的角，必须对比分析变换对象与变换目标，其余的角都朝目标角转化.这是三角变换最基本的策略。

例1.已知cos（α-■）=-■，sin（■-β）=■（■<α<π，0<β<■）求cos（α+β）的值解析：由已知得■ <α-■<π，-■<■-β<■∴sin（α-■）=■，cos（■-β）=■∴cos■=cos[（α-■）-（■-β）]=cos（α-■）cos（■-β）+sin（α-■）sin（■-β）=-■∴cos（α+β）=2cos2■-1=-■点评：（α-■）-（■-β）=■ α+β=2·■注意角的拼凑、拆分，倍、半的相对性。

二、变函数名称若表达式中函数种类较多，变形困难，应尽量减少函数种类.这是恒等变换的又一策略。

例2.已知锐角α，β满足tan（α-β）=sin2β，求证：2tan2β=tanα+tanβ解析：∵sin2β=■∴■= ■t anα=■∴tanα+tanβ=■=2tan2β点评：弦化切，同一为切，正用、逆用公式.三、变结构对较复杂的表达式，一般先变形结论，再寻找由条件得到的有用结论，合理选择公式，建立差异间联系，解决问题。

例3.已知cos（■+x）=■，■<x<■，求■的值解析：■=■=■= 2sinxcosx·■=2sinxcosx·tan（■+x）由■<x<■得■<x+■<2π，又cos（■+x）=■∴sin（■+x）=-■，tan（■+x）=-■cosx=cos[（■+x）-■]=-■，sinx=-■∴■=-■点评：在综合变角、变名的基础上，首先对所求复杂式子结构恒等变形，再结合已知条件，寻找目标。

高中数学三角恒等式解题技巧在高中数学中，三角恒等式是一个重要的概念，经常出现在各种数学考试中。

掌握解题技巧对于学生来说是至关重要的。

本文将介绍一些常见的三角恒等式解题技巧，并通过具体的题目来说明这些技巧的应用。

一、基本的三角恒等式首先，我们需要掌握一些基本的三角恒等式。

这些恒等式是通过三角函数的定义和性质推导出来的，是解题的基础。

1. 余弦的平方加正弦的平方等于1：cos²θ + sin²θ = 1这个恒等式是最基本的三角恒等式，也是其他恒等式的基础。

2. 余弦的倒数等于正弦：cosθ =1/sinθ正弦的倒数等于余弦：sinθ = 1/cosθ这两个恒等式可以互相转化，并在解题过程中起到简化计算的作用。

二、应用题解析下面我们通过具体的题目来说明三角恒等式的解题技巧。

例题1：已知sinθ = 3/5，求cosθ。

解析：根据基本三角恒等式cos²θ + sin²θ = 1，我们可以得到cos²θ = 1 - sin²θ。

将已知的sinθ代入，得到cos²θ = 1 - (3/5)² = 1 - 9/25 = 16/25。

因此，cosθ =±√(16/25) = ±4/5。

例题2：已知sinθ = 2/3，求tanθ。

解析：根据tanθ = sinθ/cosθ，我们需要先求出cosθ。

根据基本三角恒等式cos²θ + sin²θ = 1，我们可以得到cos²θ = 1 - sin²θ。

将已知的sinθ代入，得到cos²θ = 1 -(2/3)² = 1 - 4/9 = 5/9。

因此，cosθ = ±√(5/9) = ±√5/3。

将sinθ和cosθ代入tanθ =sinθ/cosθ，得到tanθ = (2/3) / (√5/3) = 2/√5 = 2√5/5。

高中数学三角恒等变换的应用举例及解题思路引言：三角恒等变换是高中数学中的重要内容之一，它在解决各种三角函数相关问题时具有广泛的应用。

本文将通过具体的例题，结合解题思路，向高中学生和他们的父母介绍三角恒等变换的应用，帮助他们更好地理解和掌握这一知识点。

一、简化三角表达式在解决三角函数的化简问题时，三角恒等变换是一种非常有效的方法。

例如，我们考虑以下例题：例题1：化简表达式：sin^2x + cos^2x - 2sin^2x解题思路：根据三角恒等变换中的“平方和恒等式”，我们知道sin^2x + cos^2x = 1。

将这个恒等式代入原表达式中，得到：sin^2x + cos^2x - 2sin^2x = 1 - 2sin^2x这样，我们就成功地将原表达式化简为1 - 2sin^2x。

通过这个例题，我们可以看到，三角恒等变换可以帮助我们简化复杂的三角表达式，使问题更加清晰明了。

二、证明三角恒等式三角恒等变换还可以用于证明各种三角恒等式，这对于理解三角函数的性质和关系非常有帮助。

下面我们来看一个例题：例题2：证明恒等式：tan^2x + 1 = sec^2x解题思路：我们可以利用三角恒等变换中的“平方和恒等式”和“余切定义恒等式”来证明这个恒等式。

首先，根据平方和恒等式，我们有tan^2x + 1 = sin^2x/cos^2x +cos^2x/cos^2x。

将这个式子进行通分，得到：tan^2x + 1 = (sin^2x + cos^2x)/cos^2x = 1/cos^2x接下来，我们利用余切定义恒等式tanx = sinx/cosx，将1/cos^2x进行变形，得到：1/cos^2x = sec^2x通过这个例题，我们可以看到，三角恒等变换可以帮助我们证明各种三角恒等式，深入理解三角函数之间的关系。

三、解决三角方程三角恒等变换在解决三角方程时也有重要的应用。

下面我们来看一个例题：例题3：解方程sin2x = cosx解题思路：我们可以利用三角恒等变换中的“二倍角恒等式”来解决这个方程。

三角恒等变换技巧1.三角函数平方表示三角函数的平方表示可以将复杂的三角函数化简为简单的平方形式。

例如，可以利用以下恒等式：sin^2(x) + cos^2(x) = 1这个三角恒等式表明，一个角的正弦平方与余弦平方之和等于1、利用这个恒等式，我们可以将复杂的三角函数式子简化为更简单的形式，从而更好地进行计算。

2.和差化积和差化积是指将三角函数的和差形式转化为积的形式。

例如，可以利用以下恒等式：sin(x) + sin(y) = 2sin((x+y)/2)cos((x-y)/2)这个三角恒等式表明，两个角的正弦之和可以表示为正弦和余弦的乘积形式。

同样地，我们也可以通过差化积将两个角的正弦之差转化为正弦和余弦的乘积形式。

3.积化和差积化和差是指将三角函数的积的形式转化为和差的形式。

例如，可以利用以下恒等式：cos(x)cos(y) = 1/2[cos(x+y) + cos(x-y)]这个三角恒等式表明，两个角的余弦之积可以表示为两个角的和与差的余弦之和的一半。

同样地，我们也可以通过积化和差将两个角的正弦之积转化为正弦和余弦的和差形式。

这些三角恒等变换技巧在解决问题时经常被使用。

通过灵活地运用这些恒等变换技巧，可以将复杂的三角函数式子简化为更简单的形式，从而更方便地进行计算和分析。

此外，在解析几何中，三角恒等变换技巧也有助于直观地理解和推导三角函数的性质和关系。

总结起来，三角恒等变换技巧是一种重要的数学工具，它通过对三角函数之间相互转化，将复杂的三角函数式子简化为更简单的形式。

掌握这些变换技巧不仅有助于解决数学问题，还可以提高数学理解和推导的能力。

因此，我们应该加强对这些三角恒等变换技巧的学习和掌握，使其成为解决各种问题的利器。

高二数学解三角恒等式的方法与技巧解三角恒等式是高中数学中的重要内容，也是考试中常见的题型之一。

掌握解三角恒等式的方法与技巧，不仅有助于理解三角函数的性质，还能提高解题效率。

下面将介绍几种常用的解三角恒等式的方法与技巧。

一、代入法代入法是解三角恒等式中常用且简便的一种方法。

具体操作如下：1. 将待证的恒等式两边分别用三角函数表示。

2. 根据已知的三角恒等式或性质，将原恒等式中的某些项替换成等价形式。

3. 将等式两边进行化简和变形，最终使等式两边完全一致。

示例1：证明恒等式sinθ / cosθ = tanθ。

解：根据代入法，将等式左边用三角函数表示得sinθ / cosθ，而右边用三角函数表示得tanθ。

根据三角函数的定义和性质，可以将等式左边进行变形，得到sinθ / cosθ = sinθ / cosθ * cosθ / cosθ = (sinθ cosθ) / (cosθ^2) = sinθ / (1 - sin^2θ)。

然后再通过三角函数的定义，将等式右边变形为sinθ / (1 - sin^2θ)，经过化简后，等式左边和右边完全一致，从而证明了原恒等式。

二、化简法化简法是解三角恒等式的另一种常用方法，它通过一系列的化简和变形，将复杂的恒等式转化为简单的形式。

1. 利用三角函数的和差化积公式，将较复杂的三角函数表达式化简为简单的形式。

2. 运用三角函数的平方和差公式，将含有平方项的三角恒等式化简为不含平方项的形式。

3. 利用三角函数的倒数公式，将含有倒数的三角恒等式转化为不含倒数的形式。

示例2：证明恒等式sin^2θ - cos^2θ = -cos2θ。

解：根据化简法，利用平方差公式sin^2θ - cos^2θ = sin^2θ - (1 -sin^2θ) = 2sin^2θ - 1 = -cos(2θ)。

通过对等式两边进行化简和变形，可以得到等式左边和右边完全一致，从而证明了原恒等式。

9种常用三角恒等变换技巧总结三角恒等变换是数学中常用的一种技巧，在解决三角函数相关问题时非常有用。

下面总结了九种常见的三角恒等变换技巧。

1.倍角公式：sin2θ = 2sinθcosθcos2θ = cos²θ - sin²θtan2θ = 2tanθ / (1 - tan²θ)这些公式可以用于将一个三角函数中的角度变为它的倍角，从而简化计算。

2.半角公式：sin(θ/2) = ±√((1 - cosθ) / 2)cos(θ/2) = ±√((1 + cosθ) / 2)tan(θ/2) = ±√((1 - cosθ) / (1 + cosθ))这些公式可以用于将一个三角函数中的角度变为它的半角，从而简化计算。

3.和差公式：sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinBcos(A ± B) = cosAcosB ∓ sinAsinBtan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanAtanB)这些公式可以用于将两个角度的三角函数变成一个角度的三角函数，从而简化计算。

4.和差化积公式：sinA + sinB = 2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2)sinA - sinB = 2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)cosA + cosB = 2cos((A+B)/2)cos((A-B)/2)cosA - cosB = -2sin((A+B)/2)sin((A-B)/2)这些公式可以用于将和或差的三角函数转化为乘积的三角函数，从而简化计算。

5.积化和差公式：sinAcosB = 1/2(sin(A+B) + sin(A-B))cosAsinB = 1/2(sin(A+B) - sin(A-B))cosAcosB = 1/2(cos(A+B) + cos(A-B))sinAsinB = -1/2(cos(A+B) - cos(A-B))这些公式可以用于将乘积的三角函数转化为和或差的三角函数，从而简化计算。