最全面高中数学三角恒等式变形解题常用方法2021(完整版)

高中数学小专题：9种常用三角恒等变换技巧总结
“切割化弦”就是把三角函数中的正切、余切、正割、余割都化为正弦和余弦，以有利于问题的解决或发现解题途径．其实质是”‘归一”思想．
在三角恒等变换中经常需要转化角的关系，在解题过程中必须认真观察和分析结论中是哪个角，条件中有没有这些角，哪些角发生了变化等等．因此角的拆变技巧，倍角与半角相对性等都十分重要，应用也相当广泛且非常灵活．常见的拆变方法有：α可变为（α+β）-β；2α可变为（α+β）+（α-β）；2α-β可变为（α-β）+α；α可视为α/2的倍角等等．
遇平方可用“降次”公式，这是常用的解题策略．本题中首先化异角为同角，消除角的差异，然后化简求值．关于积化和差、和差化积公式，教材中是以习题形式给出的，望引起重视．。

高中数学：9种常用三角恒等变换技巧总结三角恒等变换不但在三角函数式的化简、求值和证明三角恒等式中经常用到，而且．由于通过三角换元可将某些代数问题化归为三角问题；立体几何中的诸多位置关系以其交角来刻画，最后又以三角问题反映出来；由于参数方程的建立，又可将解析几何中的曲线问题归结为三角问题．因此，三角恒等变换在整个高中数学中涉及面广．是常见的解题“工具”．而且由于三角公式众多．方法灵活多变，若能熟练地掌握三角恒等变换，不但能增强对三角公式的记忆，加深对诸多公式内在联系的理解，而且对发展学生的逻辑思维能力，提高数学知识的综合运用能力都大有裨益。

“切割化弦”就是把三角函数中的正切、余切、正割、余割都化为正弦和余弦，以有利于问题的解决或发现解题途径．其实质是”‘归一”思想．在三角恒等变换中经常需要转化角的关系，在解题过程中必须认真观察和分析结论中是哪个角，条件中有没有这些角，哪些角发生了变化等等．因此角的拆变技巧，倍角与半角相对性等都十分重要，应用也相当广泛且非常灵活．常见的拆变方法有：α可变为（α+β）-β；2α可变为（α+β）+（α-β）；2α-β可变为（α-β）+α；α可视为α/2的倍角等等．遇平方可用“降次”公式，这是常用的解题策略．本题中首先化异角为同角，消除角的差异，然后化简求值．关于积化和差、和差化积公式，教材中是以习题形式给出的，望引起重视．跟代数恒等变换一样．在三角变换时，有时适当地应用”‘加一项再减去这一项” . “乘一项再除以同一项”的方法常能使某些问题巧妙简捷地得以解决．根据题目的特点，总体设元，然后构造与其相应的对偶式，运用方程的思想来解决三角恒等变换，也是常用的方法，本题也可以采用降次、和积互化等方法。

．目前高考中，纯三角函数式的化简与证明已不多见，取而代之的题目经常是化简某一三角函数，并综合考查这一函数的其他性质．但。

凡是与三角函数有关的问题，都以恒等变形、条件变形为解题的基石，因此本专题内容的重要性不言而喻．至于在三角条件恒等证明中如何用三内角和的性质、正余弦定理进行边角关系转换等，我们就不另加赘述了．。

专题二十 简洁的三角恒等变换【高频考点解读】1.把握二倍角的正弦、余弦、正切公式．2.能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简洁的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).【热点题型】题型一 已知三角函数值求值例1、已知角A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，OM →＝(sin B ＋cos B ，cos C )，ON →＝(sin C ，sin B －cos B )，OM →·ON →＝－15.(1)求tan2A 的值；(2)求2cos 2A2－3sin A －12sin A ＋π4的值．(2)∵tan A ＝－34，∴2cos 2A2－3sin A －12sin A ＋π4＝cos A －3sin A cos A ＋sin A ＝1－3tan A1＋tan A＝1－3×－341＋－34＝13.【提分秘籍】对于条件求值问题，即由给出的某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变角”即使“目标角”变换成“已知角”．若角所在象限没有确定，则应分状况争辩，应留意公式的正用、逆用、变形运用，把握其结构特征，还要留意拆角、拼角等技巧的运用．【举一反三】已知α∈(π2，π)，且sin α2＋cos α2＝62.(1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈(π2，π)，求cos β的值．【热点题型】题型二 已知三角函数值求角例2、如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边做两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆相交于A 、B 两点，已知A 、B 两点的横坐标分别为210，255.(1)求tan(α＋β)的值； (2)求α＋2β的值．又∵α、β为锐角， ∴0＜α＋2β＜3π2，∴α＋2β＝3π4.【提分秘籍】(1)已知某些相关条件，求角的解题步骤： ①求出该角的范围；②结合该角的范围求出该角的三角函数值．(2)依据角的函数值求角时，选取的函数在这个范围内应是单调的． 【举一反三】已知向量a ＝(sin θ，－2)与b ＝(1，cos θ)相互垂直，其中θ∈(0，π2)．(1)求sin θ和cos θ的值；(2)若sin(θ－φ)＝1010，0<φ<π2，求φ的值．【热点题型】题型三 正、余弦定理的应用例3、在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －2cos C cos B ＝2c －ab .(1)求sin Csin A的值；(2)若cos B ＝14，b ＝2，求△ABC 的面积S .【解析】 (1)由正弦定理，设a sin A ＝b sin B ＝csin C＝k ，【提分秘籍】(1)利用正弦定理，实施角的正弦化为边时只能是用a 替换sin A ，用b 替换sin B ，用c 替换sin C . sin A ，sin B ，sin C 的次数要相等，各项要同时替换，反之，用角的正弦替换边时也要这样，不能只替换一部分；(2)以三角形为背景的题目，要留意三角形的内角和定理的使用．像本例中B ＋C ＝60°；(3)在求角的大小肯定要有两个条件才能完成：①角的范围；②角的某一三角函数值．在由三角函数值来推断角的大小时，肯定要留意角的范围及三角函数的单调性．【举一反三】在锐角△ABC 中，a 、b 、c 分别为A 、B 、C 所对的边，且3a ＝2c sin A . (1)确定角C 的大小；(2)若c ＝7，且△ABC 的面积为332，求a ＋b 的值．解：(1)由3a ＝2c sin A ，依据正弦定理，sin C ＝c sin A a ＝32，又0<C <π2，则C ＝π3.【热点题型】题型四 解三角形与实际问题例4、如图，A ，B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点．现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203海里的C 点的救援船马上前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达D 点需要多长时间？又∠DBC ＝∠DBA ＋∠ABC ＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC ＝203(海里)，在△DBC 中，由余弦定理得 CD 2＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC ·cos ∠DBC ＝300＋1200－2×103×203×12＝900，∴CD ＝30(海里)，则需要的时间t ＝3030＝1(小时)．即该救援船到达D 点需要1小时.【提分秘籍】应用解三角形学问解决实际问题需要下列四步：(1)分析题意，精确 理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、视角、方位角等；(2)依据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)将所求问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正、余弦定理等有关学问正确求解； (4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案． 【举一反三】如图所示，上午11时在某海岛上一观看点A 测得一轮船在海岛北偏东60°的C 处，12时20分测得船在海岛北偏西60°的B 处，12时40分轮船到达位于海岛正西方且距海岛5 km 的E 港口，假如轮船始终匀速直线前进，问船速为多少？在△ABE 中，由余弦定理，得BE 2＝AB 2＋AE 2－2AB ·AE ·cos30°＝163＋25－2×433×5×32＝313，故BE ＝313. ∴船速v ＝BEt ＝31313＝93 (km/h)．故该船的速度为93 km/h. 【高考风向标】1．（2022·全国卷）直线l 1和l 2是圆x 2＋y 2＝2的两条切线．若l 1与l 2的交点为(1，3)，则l 1与l 2的夹角的正切值等于________．2．（2022·全国卷）若函数f (x )＝cos 2x ＋a sin x 在区间⎝⎛⎭⎫π6，π2是减函数，则a 的取值范围是________．3．（2022·福建卷）已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12.(1)若0<α<π2，且sin α＝22，求f (α)的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．【解析】方法一：(1)由于0<α<π2，sin α＝22，所以cos α＝22.所以f (α)＝22×⎝⎛⎭⎫22＋22－12＝12.4．（2022·四川卷）已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是其次象限角，f ⎝⎛⎭⎫α3＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值． 【解析】(1)由于函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z ， 由－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π4＋2k π3≤x ≤π12＋2k π3，k ∈Z.所以，函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π4＋2k π3，π12＋2k π3，k ∈Z.5．（2022·天津卷）已知函数f (x )＝cos x ·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－3cos 2x ＋34，x ∈R. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在闭区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的最大值和最小值．(2)由于f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，－π12上是减函数，在区间⎣⎡⎦⎤－π12，π4上是增函数，f ⎝⎛⎭⎫－π4＝－14，f ⎝⎛⎭⎫－π12＝－12，f ⎝⎛⎭⎫π4＝14，所以函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的最大值为14，最小值为－12. 6．（2022·北京卷）如图1-2，在△ABC 中，∠B ＝π3，AB ＝8，点D 在BC 边上，且CD ＝2，cos ∠ADC ＝17.(1)求sin ∠BAD ； (2)求BD ，AC 的长．图1-27．（2022·福建卷）在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝4，BC ＝23，则△ABC 的面积等于________．【答案】23 【解析】 由BC sin A ＝AC sin B ，得sin B ＝4sin 60°23＝1，∴B ＝90°，C ＝180°－(A ＋B )＝30°，则S △ABC ＝12·AC ·BC sin C ＝12×4×23sin 30°＝23，即△ABC 的面积等于2 3.8．（2022·湖南卷）如图1-5所示，在平面四边形ABCD 中，AD ＝1，CD ＝2，AC ＝7.图1-5(1)求cos∠CAD的值；(2)若cos∠BAD ＝－714，sin∠CBA＝216，求BC的长．9．（2022·四川卷）如图1-3所示，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高度是46 m，则河流的宽度BC约等于________m．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin 67°≈0.92，cos 67°≈0.39，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，3≈1.73)10．（2021·四川卷）设sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan 2α的值是________．11．（2021·重庆卷）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2＋b2＋2ab＝c2.(1)求C；(2)设cos Acos B＝3 25，cos（α＋A）cos（α＋B）cos2α＝25，求tan α的值．【解析】(1)由于a2＋b2＋2ab＝c2，所以由余弦定理有cos C＝a2＋b2－c22ab＝－2ab2ab＝－22.故C＝3π4.(2)由题意得（sin αsin A－cos αcos A）（sin αsin B－cos αcos B）cos2α＝25，12．（2021·重庆卷）4cos 50°－tan 40°＝( ) A. 2 B.2＋32C. 3 D ．2 2－1【随堂巩固】1．已知sin θ2＝45，cos θ2＝－35，则角θ所在的象限是( )A ．第一象限B ．其次象限C ．第三象限D ．第四象限解析：sin θ＝2sin θ2cos θ2＝2×45×(－35)<0.cos θ＝cos 2θ2－sin 2θ2＝925－1625＝－725<0，∴θ是第三象限角．答案：C2．已知sin α＝55，则cos4α的值是( ) A.425 B ．－725C.1225D ．－18253．若－2π<α<－3π2，则1－cos α－π2的值是( )A ．sin α2B ．cos α2C ．－sin α2D ．－cos α24．已知θ为其次象限角，sin(π－θ)＝2425，则cos θ2的值为( )A.35B.45 C ．±35D ．±455．已知x ∈(π2，π)，cos 2x ＝a ，则cos x ＝( )A.1－a2B ．－1－a2C.1＋a2D ．－1＋a2解析：依题意得cos 2x ＝1＋cos 2x 2＝1＋a 2；又x ∈(π2，π)，因此cos x ＝－1＋a2. 答案：D6．若cos α＝－45，α是第三象限角，则1＋tanα21－tanα2＝( )A ．－12B.12 C ．2D ．－27．已知cos 2α＝14，则sin 2α＝________.解析：sin 2α＝1－cos 2α2＝38.答案：388．sin 2B1＋cos 2B －sin 2B ＝－3，则tan 2B ＝________. 解析：sin 2B 1＋cos 2B －sin 2B＝2sin B cos B2cos 2B ＝tan B ＝－3.∴tan2B ＝2tan B 1－tan 2B ＝34.答案：349．设α是其次象限角，tan α＝－43，且sin α2<cos α2，则cos α2＝________.10．化简：2sin(π4－x )＋6cos(π4－x )11．求3tan 10°＋14cos 210°－2sin 10°的值．解：原式＝3sin 10°＋cos 10°cos 10°2cos 20°sin 10°＝2sin 10°＋30°2cos 20°sin 10°cos 10°＝2sin 40°sin 20°cos 20°＝2sin 40°12sin 40°＝4.12．已知函数f (x )＝3sin2x －2sin 2x . (1)求函数f (x )的最大值； (2)求函数f (x )的零点的集合．解：(1)由于f (x )＝3sin 2x －(1－cos 2x ) ＝2sin(2x ＋π6)－1，所以，当2x ＋π6＝2k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝k π＋π6，k ∈Z时，函数f (x )取得最大值1.。

高一数学三角恒等变换的技巧三角恒等变换以三角函数基本关系、诱导公式、两角和与差的三角函数公式，倍角公式、半角公式等三角公式为基础，常见策略是：(1)发现差异；(2)寻找联系；(3)合理转换．基础思想是根据试题特点，灵活运用三角公式，使用配凑角、切化弦、降次或升幂等技巧，达到解决问题的目的．三角函数公式众多，方法灵活多变，同学们若能熟练掌握三角函数变换的技巧和化简的方法，可达到事半功倍的效果．下面就三角函数恒等变换的部分方法予以简单介绍，供大家参考．一、直接利用公式【方法点拨】根据式子特征，直接用公式展开是三角函数化简常用的方法，基本思路是异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化．化简的标准是三角函数名称尽量少，次数尽量低，最好不含分母，能求值的尽量求值．在化简时要注意角的取值范围．二、公式的逆用【方法点拨】直接运用两角和与差的正弦或余弦公式常能将某些三角函数式化简，但深入观察三角函数式的结构特征，有时能巧妙地逆用公式，不仅丰富了解题技巧，而且过程简捷，不易出错．逆用公式的一些常见变形：三、切化弦【方法点拨】切化弦一般适用于不知切值或式子不能构成有关正、余弦函数的齐次分式．不能整体化切时，一般考虑切化弦，其目的是将正切、余切函数用正弦、余弦函数表示，这是一种常用的解题方法．当涉及多种三角函数时，常用此法减少函数的种类．这里除用化切为弦外，也常用到化异角函数为同角函数的技巧．四、弦化切五、用已知角表未知角【方法点拨】本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和与差的正弦公式的应用，转化过程中要特别注意符号的选取．观察式子特征，若已知角与所求角之间存在和、差、倍角、互余、互补等关系，即可用已知角表未知角的方法来求解．六、拆分角七、配凑【方法点拨】配凑法与方法五的基本思路一致，也是三角恒等变换中十分经典的一种方法．在解答时通过对目标式子中的角进行配凑，再利用三角公式和已知条件求得目标函数的值．在转换过程中同样要注意角的取值范围．常见的凑角技巧：总结三角函数式的化简要遵循“三看”原则(1)一看“角”．这是最重要的一环，通过看角之间的区别和联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称”．看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式；(3)三看“结构特征”．观察和分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向．三角函数式的化简与求值是三角函数中的基础考点之一，也是高考中的常见题型，打好三角函数的基础对同学们高考也大有裨益．本文主要介绍了几种常用的方法，希望对同学们解决三角函数化简求值问题能有所帮助．。

解题宝典在解答三角函数问题时，经常需对三角函数式进行三角恒等变换，这就要求同学们熟练掌握一些进行三角恒等变换的技巧，以便能顺利化简三角函数式、求出三角函数式的值.那么怎样合理进行三角恒等变换呢？可以从以下三个方面进行.一、变换角当进行三角恒等变换时，首先要仔细观察已知角和所求角之间的差别，并建立两角之间的联系,如互余、互补、半角、倍角等，然后利用诱导公式、二倍角公式、两角的和差公式等求解.在进行角的变换时，还可将已知角、所求角与特殊角，如π6、π4、π3等建立联系，然后利用这些特殊角的函数值进行求解.例1.已知cos æèöøα+π4=35，π2≤α<3π2，求cos(2α+π4)的值.分析：先观察题目中的角可发现，已知角α+π4与所要求的角2α+π4之间相差一个α，可以找到一个关系：2æèöøα+π4−π4=2α+π4，用二倍角公式和诱导公式求出sin 2æèöøα+π4和cos 2æèöøα+π4的值，最后根据余弦的两角和公式cos ()α−β=cos α∙cos β+sin α∙sin β求出cos æèöø2α+π4的值.解：由于π2≤α<3π2，所以3π4≤α+π4<7π4，又因为cos æèöøα+π4=35>0，可知3π2≤α+π4<7π4，因此sin æèöøα+π4=−45，所以sin 2æèöøα+π4=2sin æèöøα+π4cos æèöøα+π4=−2425，cos 2æèöøα+π4=2cos 2æèöøα+π4−1=−725，因此cos æèöø2α+π4=cos éëêùûú2æèöøα+π4−π4=cos 2æèöøα+π4cos π4+sin 2æèöøα+π4sin π4=.二、变换函数名称有些三角函数式中的函数名称并不相同，此时，我们需变换函数的名称，如将正切、余切转化为正弦、余弦，将正弦化为余弦，将余弦化为正弦，等等，以达到统一函数名称的目的.在变换函数名称的过程中，常用到的公式有诱导公式sin ()2k π+α=sin α()k ∈Z 、cos ()2k π+α=cos α()k ∈Z 、tan ()2k π+α=tan α(k ∈Z)，重要关系式tan α=sin αcos α、sin 2α+cos 2α=1、辅助角公式a sin α+b cos α=a 2+b 2sin （α+φ）等.例2.化简2cos 2α−12tan æèöøπ4−αsin 2æèöøπ4+α.分析：这个式子中既含有正切函数也有正弦、余弦函数，我们第一步就是要想办法将正切函数转变为正弦函数.观察式子中角的特点，可发现æèöøπ4−α+æèöøπ4+α=π2，根据角的特征，可以利用诱导公式将函数式转化成函数名称一致的式子.解：原式=cos 2α2sin æèöøπ4−αcos æèöøπ4−αsin 2éëêùûúπ2−æèöøπ4−α=cos 2α2sin æèöøπ4−αcos æèöøπ4−α=cos 2αsin æèöøπ2−2α=1.三、变换幂的次数有些三角函数式中幂的次数不相同，此时，我们要对其作升幂或者降幂处理，以便使函数式中的次数相同.“升幂”可以通过二倍角公式cos 2α=cos 2α−sin 2α=2cos 2α−1=1−2sin 2α、tan 2α=2tan α1−tan 2α来实现，“降幂”可以通过二倍角公式sin 2α=2sin αcos α及变形式sin 2α=1−cos 2α2，cos 2α=1+cos 2α2.sin 2α=1−cos 2α2，cos 2α=1+cos 2α2来达到目的.例3.已知tan α=−13，求sin α−cos 2α1+cos 2α的值.分析：由于已知tan α=−13，目标式中含有正弦函数和余弦函数，且含有二次式，可以先利用二倍角公式把2α转变为α，使幂的次数统一，即将所求的式子转化为关于sin α、cos α的齐次式，然后依据tan α=sin αcos α，将目标式中的分子、分母同时除以cos 2α，得到只含有tan α的分式，将tan α=−13代入求解即可得到答案.解：原式=2sin αcos α−cos 2α2cos 2α=2sin α−cos α2cos α=tan α−12=−56.总而言之，在进行三角恒等变换时最重要的就是要做到“变异为同”，灵活使用各种三角函数公式，将角、函数名称、幂的次数不同的式子转化为角、函数名称、次数相同的式子.在解题的过程中，同学们要熟记各种三角函数公式，并灵活使用，根据角、函数名称、幂的特点合理进行变换，以实现“变异为同”.（作者单位：山东省聊城第一中学）41Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。

2021届高三高考数学理科一轮复习知识点专题4.5 三角恒等变换【考情分析】1．会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式。

2．会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。

3．能运用上述公式进行简单的恒等变换。

【重点知识梳理】知识点一 两角和与差的正弦、余弦、正切公式C (α－β) cos(α－β)＝cos α cos β＋sin α sin β C (α＋β) cos(α＋β)＝cos α cos β－sin α sin β S (α－β) sin(α－β)＝sin α cos β－cos α sin β S (α＋β)sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos α sin β T (α－β)tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β；变形：tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β) T (α＋β)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β；变形：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)知识点二 二倍角公式S 2αsin 2α＝2sin_αcos_α；变形：1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2， 1－sin 2α＝(sin α－cos α)2C 2αcos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；变形：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2T 2αtan 2α＝2tan α1－tan 2α【典型题分析】高频考点一 公式的直接应用【例1】 (2019·全国卷Ⅱ)已知α∈(0，π2)，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝( ) A.15 B.55C.33D.255【答案】B【解析】由二倍角公式可知4sin αcos α＝2cos 2α. ∵α∈(0，π2)，∴cos α≠0，∴2sin α＝cos α，∴tan α＝12，∴sin α＝55，故选B 。

高中数学三角恒等式证明技巧总结在高中数学中，三角恒等式证明是一个重要的考点，也是学生们经常遇到的难题之一。

掌握一些证明技巧，能够帮助我们更好地理解三角函数的性质和运算规律。

本文将总结一些常见的三角恒等式证明技巧，并通过具体题目进行举例，帮助读者更好地掌握这些技巧。

一、利用基本恒等式在三角恒等式的证明中，我们可以利用一些基本的恒等式来推导其他的恒等式。

例如，我们知道sin²θ + cos²θ = 1，这是一个非常基本的三角恒等式。

通过这个恒等式，我们可以推导出其他的恒等式，比如tan²θ + 1 = sec²θ，cot²θ + 1 = csc²θ等等。

下面我们通过一个具体的例子来说明这个技巧。

例题：证明恒等式tan²θ + 1 = sec²θ解析：我们可以利用基本恒等式sin²θ + cos²θ = 1来推导这个恒等式。

首先，我们将sec²θ用sin和cos表示：sec²θ = 1/cos²θ。

然后，我们将1/cos²θ用tan表示：1/cos²θ = 1/(1 - tan²θ)。

接下来，我们将1/(1 - tan²θ)用sin表示：1/(1 - tan²θ) =sin²θ/(1 - sin²θ)。

最后，我们将sin²θ/(1 - sin²θ)用tan表示：sin²θ/(1 - sin²θ) = tan²θ。

因此，tan²θ + 1 = sec²θ成立。

通过这个例题，我们可以看到，利用基本恒等式可以帮助我们推导其他的恒等式，从而简化证明过程。

二、利用对称性质在三角恒等式的证明中，有时候我们可以利用三角函数的对称性质来推导恒等式。

例如，我们知道sin(π/2 - θ) = cosθ，cos(π/2 - θ) = sinθ。

三角恒等式的所有变形公式三角恒等式，听起来是不是有点高大上？别担心，咱们今天就像聊家常一样，把这玩意儿拆开来，聊聊它的变形公式，顺便用点幽默的方式来轻松一下。

谁说数学就得一本正经？就像一顿美味的火锅，得有各种材料才能好吃，三角恒等式也是一样，变形的多样性让它更有趣。

1. 基础知识，打好地基1.1 什么是三角恒等式？三角恒等式其实就是一些跟三角函数有关的公式，它们之间有着密切的联系。

就好比一群好朋友，互相帮衬。

比如说，大家耳熟能详的正弦、余弦和正切，都是这个大家庭里的成员。

简单来说，三角恒等式就是把这些关系用公式写出来，让我们在解题的时候，能更方便。

1.2 常见的三角恒等式我们最常用的恒等式就是：(sin^2theta + cos^2theta = 1)。

这就像数学界的小秘密，谁知道了就能少走很多弯路。

还有余弦的加法公式，(cos(a + b) = cos a cos b sin a sinb)，一听名字就有点复杂，但其实它的意思就是把两个角的余弦“合并”起来，真是神奇。

2. 变形大法，灵活运用2.1 如何变形？说到变形，就像变魔术一样，有时候把一条公式稍微改改，就能变出意想不到的效果。

比如说，如果你要找(sin(a + b))，那可以用(sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b))。

这招一出，简直让人拍手称绝，想不到的地方也能找出新奇的关系。

2.2 变形的实用性变形不仅仅是好玩，更是很实用。

比如在解题的时候，常常会遇到需要化简的情况。

这时候，你就得拿出变形的绝招，像变脸一样，把复杂的公式变得简单。

说实话，做题的时候，看到一堆复杂的符号，心里难免会咯噔一下，但只要用上这些变形公式，问题立马就能迎刃而解，真的是“难者不会，会者不难”！3. 小技巧，轻松掌握3.1 记住变形的窍门记住一些简单的变形窍门，可以让你在考试的时候游刃有余。

比如，你可以把每个公式写在小卡片上，随身带着，随时翻翻。

这样就像随身携带的法宝，无论什么时候，想用就用，感觉自己就像个小巫师，变出无数的解题法门。

三角恒等变换技巧三角恒等变换不但在三角函数式的化简、求值和证明三角恒等式中经常用到，而且．由于通过三角换元可将某些代数问题化归为三角问题；立体几何中的诸多位置关系以其交角来刻画，最后又以三角问题反映出来；由于参数方程的建立，又可将解析几何中的曲线问题归结为三角问题．因此，三角恒等变换在整个高中数学中涉及面广．是常见的解题“工具〞．而且由于三角公式众多．方法灵活多变，假设能熟练地掌握三角恒等变换，不但能增强对三角公式的记忆，加深对诸多公式内在联系的理解，而且对开展学生的逻辑思维能力，提高数学知识的综合运用能力都大有裨益 · 一、 切割化弦“切割化弦〞就是把三角函数中的正切、余切、正割、余割都化为正弦和余弦，以有利于问题的解决或发现解题途径．其实质是〞‘归一〞思想． 【例1】证明：ααααααααcot tan cos sin 2cot cos tan sin 22+=++证明：左边ααααααααcos sin 2sin cos cos cos sin sin22+⋅+⋅= ααααααααααααcos sin 1cos sin )cos (sin cos sin cos cos sin 2sin 2224224=+=++=右边ααααααααααcos sin 1cos sin cos sin sin cos cos sin 22=+=+= ∴左边～右边．原等式得证．点评“切割化弦〞是将正切、余切、正割、余割函数均用正弦、余弦函数表示，这是一种常用的、有效的解题方法．当涉及多种名称的函数时，常用此法减少函数的种类． 【例2】θ同时满足b a b a b a 2sec cos 2cos sec 22=-=-θθθθ和，且b a ,均不为零，试求“b a ,〞b 的关系．解：⎪⎩⎪⎨⎧=-=-②① b a b a b a 2sec cos 2cos sec 22θθθθ显然0cos ≠θ，由①×θ2cos +②×θcos 得： 0cos 2cos 22=+θθb a ，即0cos =+b a θ又0≠a ，∴ab-=θcos 代入①得a a b b a 2223=+0)(222=-⇔b a ∴22b a =点评 本例是化弦在解有关问题时的具体运用，其中正割与余弦、余割与正弦之间的倒数关系是化弦的通径． 【例3】化简)10tan 31(50sin 00+解：原式=000000010cos )10sin 2310cos 21(250sin )10cos 10sin 31(50sin +⋅=+ 110cos 80sin 10cos 10cos 40sin 210cos )1030sin(250sin 000000000===+⋅=点评 这里除用到化切为弦外，其他化异角函数为同角函数等也是常用技巧． 二、 角的拆变在三角恒等变换中经常需要转化角的关系，在解题过程中必须认真观察和分析结论中是哪个角，条件中有没有这些角，哪些角发生了变化等等．因此角的拆变技巧，倍角与半角的相对性等都十分重要，应用也相当广泛且非常灵活．常见的拆变方法有：α可变为ββα-+)(；α2可变为)()(βαβα-++；βα-2可变为αβα+-)(；α可视为2α的倍角；)45(0α±可视为)290(0α+的半角等等．【例4】〔2005年全国卷〕设α为第四象限角，假设513sin 3sin =αα，那么=α2tan _______. 解： 513tan 1tan 3tan 2tan tan 2tan sin 2cos cos 2sin sin 2cos cos 2sin sin 3sin 22=+-=-+=-+=αααααααααααααααα ∴91tan 2=α 又∵α为第四象限角 ∴31tan -=α∴43tan 1tan 22tan 2-=-=ααα 点评这里将α3写成αα+2，将α写成αα-2是解题的切人点．根据三角表达式的结构特征，寻求它与三角公式间的相互关系是解题的关键．【例5】锐角α、β满足)cos(2csc sin βααβ+=，2πβα≠+，求βtan 的最大值及β的值。

如何利用三角恒等式解决复杂的三角函数问题三角恒等式是解决复杂三角函数问题的重要工具。

它们是一组基本等式，通过在三角函数之间建立等式关系，可以简化和转换三角函数的表达式，从而使问题求解更加简洁和方便。

在本文中，我们将介绍三角恒等式的基本概念、主要类型以及它们在解决复杂三角函数问题中的应用。

一、三角恒等式的基本概念三角恒等式是指在三角函数中，一些等式成立对于所有的角度。

这些等式可以通过三角函数的定义和性质推导出来，属于数学定理的范畴。

三角恒等式的应用可以简化复杂的三角函数表达式，让问题的求解更加高效。

二、常见的三角恒等式类型1. 基本恒等式：基本恒等式是三角恒等式的基础，包括正弦、余弦和正切的基本关系。

它们是：sin^2θ + cos^2θ = 11 + tan^2θ = sec^2θ1 + cot^2θ = cosec^2θ2. 和差恒等式：和差恒等式是指将两个角的三角函数的和（差）转化为一个角的三角函数表达式。

它们包括：sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinBcos(A ± B) = cosAcosB ∓ sinAsinBtan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanAtanB)3. 二倍角恒等式：二倍角恒等式是将一个角的三角函数值转化为另一个角的三角函数值。

它们包括：sin2θ = 2sinθcosθcos2θ = cos^2θ - sin^2θtan2θ = 2tanθ / (1 - tan^2θ)4. 半角恒等式：半角恒等式是将一个角的三角函数值转化为另一个角的三角函数值。

它们包括：sin(θ/2) = ±√[(1 - cosθ) / 2]cos(θ/2) = ±√[(1 + cosθ) / 2]tan(θ/2) = ±√[(1 - cosθ) / (1 + cosθ)]三、利用三角恒等式解决问题的步骤在解决复杂的三角函数问题时，可以通过以下步骤利用三角恒等式简化和转化表达式：1. 根据问题中给出的三角函数表达式，将其转化为基本恒等式的形式。

如何利用三角函数解决复杂的三角恒等式问题三角恒等式是解决与三角函数相关的数学问题的重要工具。

学会利用三角恒等式解决复杂的三角恒等式问题，不仅可以提高数学能力，还可以应用到实际生活中的各个领域。

本文将介绍如何有效地利用三角函数解决复杂的三角恒等式问题，帮助读者提升解题技巧和思维能力。

一、了解三角恒等式的基本性质在开始解决复杂的三角恒等式问题之前，我们首先需要了解三角恒等式的基本性质。

三角恒等式是指包含三角函数的等式，这些等式在特定条件下始终成立。

例如，$\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$就是一个三角恒等式，它在任何实数x的取值范围内都成立。

除了最基本的三角恒等式，还有许多相关的性质需要注意。

例如，三角函数的周期性、偶奇性、反函数关系等都是解决复杂三角恒等式问题的重要性质。

熟练地掌握这些性质将有助于我们更好地理解和解决问题。

二、运用基本等式和恒等式推导解决复杂三角恒等式问题的关键是通过运用基本等式和已知恒等式来推导等式的变换。

在推导过程中，我们需要合理地运用三角函数的定义、性质和恒等式，搭建一个框架，从而逐步简化等式的形式，使其变得更容易解决。

举个例子，假设我们需要解决以下的三角恒等式问题：$\frac{1}{\sin(x) \cos(x)} + \frac{1}{\cos(x) \sin(x)} =\frac{1}{\sin^2(x)} + \frac{1}{\cos^2(x)}$我们可以利用基本等式$\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$来简化等式。

首先，我们可以把等式右边的分数进行通分：$\frac{1}{\sin(x) \cos(x)} + \frac{1}{\cos(x) \sin(x)} = \frac{\sin^2(x) + \cos^2(x)}{\sin^2(x) \cos^2(x)}$根据基本等式，我们可以将分子的$\sin^2(x) + \cos^2(x)$简化为1，得到：$\frac{1}{\sin(x) \cos(x)} + \frac{1}{\cos(x) \sin(x)} =\frac{1}{\sin^2(x) \cos^2(x)}$接下来，我们可以继续运用已知的三角恒等式$\sin^2(x) = 1 -\cos^2(x)$和$\cos^2(x) = 1 - \sin^2(x)$来进一步简化等式。

如何解决数学中的三角恒等式问题数学中的三角恒等式问题一直是许多学生头痛的难题。

在解决这类问题时，我们需要掌握一定的基础知识和方法，同时也需要灵活运用数学推导和逻辑思维。

本文将从几个方面详细介绍如何解决数学中的三角恒等式问题。

一、理解三角恒等式的定义与性质首先，我们需要清楚什么是三角恒等式。

三角恒等式就是关于三角函数的等式，对于所有合适的角度都成立。

例如，常见的三角恒等式包括正弦定理、余弦定理、二倍角公式等。

在解决三角恒等式问题之前，我们必须熟悉这些公式的定义和性质。

通过熟练运用这些公式，可以简化恒等式的推导过程，提高解题效率。

二、利用基本恒等式简化问题解决三角恒等式问题的关键是将复杂的恒等式化简为简单的形式。

而基本恒等式是化简恒等式的基础。

基本恒等式包括：1. 正弦恒等式：sin²α + cos²α = 12. 余弦恒等式：1 + tan²α = sec²α3. 正切恒等式：1 + cot²α = csc²α通过充分利用这些基本恒等式，我们可以将复杂的三角恒等式转化为更简单的形式，从而更容易解决问题。

三、运用三角函数的周期性质三角函数的周期性质是解决三角恒等式问题的另一个关键。

例如，正弦函数和余弦函数的周期为2π，而正切函数和余切函数的周期为π。

这些周期性质可以帮助我们将角度转化为等价的角度，从而得到更简单的恒等式。

在解决三角恒等式问题时，我们可以利用这些周期性质将角度范围控制在一个适当的区间内，从而简化恒等式的推导和计算。

四、性质互换和等价变换在解决三角恒等式问题时，我们经常会用到性质互换和等价变换的方法。

性质互换指的是根据三角函数的性质，将等式中的一个三角函数用其他三角函数表示出来，从而得到新的恒等式。

例如，我们可以利用正余弦函数的关系将一个恒等式中的正弦函数换成余弦函数，或者反过来。

通过这种方式，可以在一定程度上简化恒等式的形式。

很多三角函数题目侧重于考查三角恒等变换的技巧.进行三角恒等变换的关键是选择合适的公式或变形式，将三角函数式中的角、函数名称、幂等进行灵活的转化，从而顺利化简三角函数式，求出三角函数式的值.下面，笔者介绍几个进行三角恒等变换的技巧，以供大家参考.一、拆角与补角有些三角函数式中的角不相同，就需要运用拆角与补角的技巧，将题目中的角进行转化.在转化角时，要先联系已知条件和所求目标，将角进行拆分、拼凑，再灵活运用诱导公式、二倍角公式、两角的和差公式等进行变换.例1.已知cos (α+π4)=35，π2≤α≤3π2，求cos (2α+π4)的值.解：由于π2≤α≤3π2，所以3π4≤α+π4≤7π4，因为cos (α+π4)=35＞0，可知3π2≤α+π4≤7π4，因此sin (α+π4)=-45，所以sin 2(α+π4)=2sin (α+π4)cos (α+π4)=-2425，cos 2(α+π4)=2cos 2(α+π4)-1=-725，因此cos (2α+π4)=cos[2(α+π4)-π4]=cos 2(α+π4)cos π4+sin 2(α+π4)sin π4=.观察题目中的各个角，可以发现：已知角α+π4与所要求的角2α+π4之间相差一个α，可得2(α+π4)-π4=2α+π4，用二倍角公式和诱导公式求出sin 2(α+π4)和cos 2(α+π4)的值，最后根据余弦的两角和公式，即可求出cos(2α+π4)的值.二、降幂与升幂当三角函数式中出现高次或者次数不一的式子时，就要运用降幂与升幂的技巧来解题.常用到的公式有cos 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α、tan 2α=2tan α1-tan 2α、sin 2α+cos 2α=1.例2.证明cos 2α+cos 2(x +π3)+cos 2(x -π3)的值与x 的取值无关.证明：cos 2α+cos 2(x +π3)+cos 2(x -π3)=1+cos 2x 2+1+cos(2x +23π)2+1+cos(2x -23π)2=32+12[cos 2x +cos(2x +23π)cos(2x -2π3)]=32+12(cos 2x -12cos 2x -2x -12cos 2x +2x )=32.该式与x 无关，命题得证.该三角函数式较为复杂，cos 2α、cos 2(x +π3)、cos 2(x -π3)均为二次式，且各个角不相等，需先利用余弦函数的二倍角公式降幂，将其转化为一次式，然后再进行化简，这样运算起来就会容易很多.三、弦切互化当函数式中出现多种不同的三角函数名称时，就需要通过弦切互化，将不同名函数化为同名函数.常用的办法是利用tan α=sin αcos α或sin 2α+cos 2α=1将切化弦或将弦化切.例3.已知tan α=2，求4sin α-2cos α5cos α+3sin α的值.解：因为tan α=2，所以cos α≠0，所以4sin α-2cos α5cos α+3sin α=4sin α-2cos αcos α5cos α+3sin αcos α=4tan α-25+2tan α=611.解答本题，需挖掘题目中的隐含信息cos α≠0，将所求目标式的分子、分母同时除以cos α，利用tan α=sin αcos α，使所求目标式中的函数名称统一为正切函数，最后将已知值代入，求得目标函数式的值.无论是对函数名称、角，还是对幂进行转化，都需要灵活运用三角函数中的基本公式及其变形式，有时也要学会逆用公式.在进行三角恒等变换时，要注意仔细观察三角函数式，选择恰当的三角恒等变换技巧.（作者单位：江苏省射阳县高级中学）解题宝典40。

三角方程与恒等式解题技巧总结三角方程和恒等式的解题是数学中的重要内容，也是解决实际问题和理论研究中的关键步骤。

本文将总结一些常见的三角方程和恒等式解题技巧，并提供具体的求解思路和步骤。

一、三角方程的解题技巧三角方程是指带有三角函数（如正弦函数、余弦函数、正切函数等）的方程。

解三角方程的关键是利用三角函数的性质和常见的三角恒等式来进行化简和变形。

1. 单一三角函数的方程:当方程仅包含一个三角函数时，可以尝试利用函数的周期性质来化简。

例如，对于sin x = a，可利用正弦函数的周期性将其变形为sin (x± 2πn) = a，其中n为整数。

2. 两个三角函数的方程：当方程中存在两个三角函数的乘积或两个三角函数的和或差时，可以尝试使用三角函数的恒等式来将其转化为单一三角函数的方程。

例如，sin x cos x = a，可利用双角公式sin 2x = 2sin x cos x将其变形为sin 2x = 2a。

3. 三角函数的平方方程：对于sin^2 x = a^2，可利用平方根的性质得到sin x = ±a，然后再利用单一三角函数的方程求解。

同样地，对于cos^2 x = a^2或tan^2 x =a^2，也可以采用类似的方法。

4. 三角函数的倒数方程：例如，sin x = 1/cos x，可以变形为sin x cos x = 1，进而利用三角函数的乘积公式sin 2x = 2sin x cos x进行求解。

二、恒等式的解题技巧恒等式是指对于任意给定的变量范围，恒等式始终成立的等式关系。

解恒等式的关键是运用三角函数的特性和恒等式的基本性质进行变形和推导。

1. 基本恒等式：sin^2 x + cos^2 x = 1，tan x = sin x / cos x，cot x = cos x / sin x等是三角函数的基本恒等式，常用于恒等式的化简和变形过程。

2. 双角恒等式：双角恒等式可以将一个三角函数的求解问题转化为一个或多个三角函数的求解问题。