第十一章 三角形章节复习知识点

第十一章 三角形知识归纳基础知识归纳一、三角形的定义由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．要点诠释：（1）三角形的基本元素：①三角形的边：即组成三角形的线段；②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角； ③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点.（2）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A 、B 、C 的三角形记作“△ABC ”，读作“三角形ABC ”，注意单独的△没有意义；△ABC 的三边可以用大写字母AB 、BC 、AC 来表示，也可以用小写字母a 、b 、c 来表示，边BC 用a 表示，边AC 、AB 分别用b 、c 表示． 二、三角形的三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边. 推论：三角形任意两边的之差小于第三边. 要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围． （3）证明线段之间的不等关系． 三、三角形的分类 1.按角分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形三角形　锐角三角形斜三角形　钝角三角形 2.按边分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形　底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形　等边三角形四、三角形的三条重要线段线段名称三角形的高三角形的中线三角形的角平分线文字语言 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段．三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段． 图形语言作图语言过点A 作AD ⊥BC 于点D ．取BC 边的中点D ，连接AD ．作∠BAC 的平分线AD ，交BC于点D ． 标示图形符号语言 1．AD 是△ABC 的高． 2．AD 是△ABC 中BC 边上的高．3．AD ⊥BC 于点D ．4．∠ADC ＝90°，∠ADB ＝90°．(或∠ADC ＝∠ADB ＝90°) 1．AD 是△ABC 的中线． 2．AD 是△ABC 中BC 边上的中线． 3．BD ＝DC ＝12BC 4．点D 是BC 边的中点． 1．AD 是△ABC 的角平分线． 2．AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ．3．∠1＝∠2＝12∠BAC ．推理语言 因为AD 是△ABC 的高，所以AD ⊥BC ．(或∠ADB ＝∠ADC ＝90°) 因为AD 是△ABC 的中线，所以BD ＝DC ＝12BC ．因为AD 平分∠BAC ，所以∠1＝∠2＝12∠BAC ． 用途举例1．线段垂直．2．角度相等． 1．线段相等．2．面积相等． 角度相等．注意事项1．与边的垂线不同．2．不一定在三角形内． —与角的平分线不同．重要特征三角形的三条高(或它们的延长线)交于一点．一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点． 一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点． 五、三角形的稳定性三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性.六、三角形的内角和三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．七、三角形的外角1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角.要点诠释：(1)外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上；②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条边的延长线．（2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角．2．性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．要点诠释：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理论证明经常使用的理论依据．另外，在证角的不等关系时也常想到外角的性质．3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.要点诠释：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三个外角和是360°．八、多边形的概念1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形．2．相关概念：边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角.外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．3. 多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形．如图：要点诠释：(1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可； (2)过n 边形的一个顶点可以引(n -3)条对角线，n 边形对角线的条数为； (3)过n 边形的一个顶点的对角线可以把n 边形分成(n -2)个三角形． 九、多边形内角和n 边形的内角和为(n -2)·180°(n ≥3)． 要点诠释：(1)内角和公式的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；(2)正多边形的每个内角都相等，都等于；十、多边形的外角和多边形的外角和为360°． 要点诠释：(1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n 边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关；(2)正n 边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于； (3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相等外角的度数．(3)2n n -(2)180n n-°360n°凸多边形凹多边形。

【高效培优】2022—2023学年八年级数学上册必考重难点突破必刷卷（人教版）【单元复习】第十一章三角形（知识精讲+考点例析+举一反三+实战演练）温馨提示：一分努力勤奋一份收获，必考重难点突破是培优最佳途径！知识精讲第十一章三角形一、三角形的概念1．三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形要点：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾顺次相接．2．三角形的表示：△ABC中，边：AB，BC，AC 或c，a，b；顶点：A，B，C ；内角：∠A ，∠B ，∠C．二、三角形的边1.三角形的三边关系:（证明所有几何不等式的唯一方法）(1) 三角形任意两边之和大于第三边:b+c>a(2) 三角形任意两边之差小于第三边:b-c<a1.1判断三条已知线段a、b、c能否组成三角形.当a最长，且有b+c>a时,就可构成三角形.1.2 确定三角形第三边的取值范围:两边之差<第三边<两边之和.2.三角形的主要线段2.1三角形的高线从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线.①锐角三角形三条高线交于三角形内部一点；②直角三角形三条高线交于直角顶点；③钝角三角形三条高线所在直线交于三角形外部一点2.2三角形的角平分线三角形一个角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

三条角平分线交于三角形内部一点.2.3三角形的中线连结三角形一个顶点与它对边中点 的线段叫做三角形的中线。

三角形的三条中线交于三角形内部一点.三、三角形的角1 三角形内角和定理结论1：△ABC 中：∠A+∠B+∠C=180° ※三角形中至少有2个锐角结论2：在直角三角形中，两个锐角互余． ※三角形中至多有1个钝角注意：①在三角形中，已知两个内角可以求出第三个内角如：在△ABC 中，∠C=180°－（∠A+∠B ）②在三角形中，已知三个内角和的比或它们之间的关系，求各内角．如：△ABC 中，已知∠A ：∠B ：∠C=2：3：4，求∠A 、∠B 、∠C 的度数2三角形外角和定理2.1外角：三角形一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的角．2.2性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.②三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.③三角形的一个外角与与之相邻的内角互补2.3外角个数：过三角形的一个顶点有两个外角，这两个角为对顶角（相等），可见一个三角形共有6个外角四、三角形的分类A D B CC B AD(1) 按角分：①锐角三角形 ②直角三角形 ③钝角三角形(2) 按边分：①不等边三角形 ②底与腰不等的等腰三角形 ③等边三角形五、多边形及其内角1、 多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.2、正多边形:各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形。

第十一章《三角形》单元复习教学目标：1、了解三角形的边、高、中线、角平分线的定义及性质；2、掌握三角形的内角和及多边形的内角和公式；3、通过三角形的内角和来确定三角形的外角和以及多边形的外角和；4、会利用多边形的内角和公式求多边形的边数、角度数、外角度数等；5、掌握多边形内角和性质的应用.教学重点：三角形的三边关系,以及三角形内角和定理的综合应用.教学难点：在充分理解三角形及多边形的边及角的相关概念和性质的基础上，体会其中蕴含的转化的数学思想，并能灵活运用所学知识解决实际生活中的问题。

教学设计 一、知识整理：二、题型举例（一）三角形有关的线段例1 若三角形的两边长分别是2和7,则第三边长c 的取值范围是 ；当周长为奇数时,第三边长为 ．分析：三角形的一边小于其他两边的和.大于其他两边的差。

已知的两边是一奇一偶，当周长为奇数时，第三边长为应为偶数。

变式一：若等腰三角形中，一腰上的中线把它的周长分为15cm 和6cm 的两部分，求该三角形各边的长。

变式二、如图，已知：D , E 分别是△ABC 的边BC 和边AC 的中点， 连接DE,AD 若S ABC △=24,求△DEC 的面积。

变式三、在△ABC 中，∠A=21∠C=21∠ABC ， BD 是角平分线， 求∠A 及∠BDC 的度数A DCBEDCBA（二）三角形的内和定理例2 如图，若∠A ＝70°，∠ACD ＝40°，∠ABE ＝30°，求∠BDC 、∠BFC 的度数。

分析：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。

∠BDC 是△ADC 的一个外角，和它不相邻的两个内角是∠A 和 ∠ACD ，它们度数分别是70°和40°。

所以∠BDC ＝70°+40°＝110°。

解：因为∠BDC ＝∠A+∠ACD ∠1＝∠2又因为∠A ＝70°，∠ACD ＝40°（已知） 所以∠BDC ＝70°+40°＝110°（等量代换）因为∠BFC ∠BDC +∠ABE （三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和） ∠ABE ＝30°（已知）所以∠BFC ＝110°+30°＝140°（等量代换）例3 如图所示,在△ABC 中,D 是BC 边上一点,∠1＝∠2, ∠3＝∠4,∠BAC ＝63°, 求∠DAC 的度数。

第十一章 三角形知识点总结许 磊1、三角形{ 定义：由不在同一条直线上的三条线段顺次相接 分类：{ 三边都不相等的三角形 等腰△{ 定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形 腰：在等腰三角形中，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边。

顶角：两腰的夹角叫做顶角 底角：腰和底边的夹角叫做底角 等边△：三边都相等的三角形叫做等边三角形2、△的三边关系{三角形两边的和大于第三边三角形两边的差小于第三边 锐 角 ∆ 直 角 ∆ 钝 角 ∆AD 、CF 、BE 都在△的一条CF 在△的内部，另外两条AC 、一条BE 在内部，另外两条画∠A 的平分线AD,交∠A 所对的边BC 于点D ，所得线段AD 叫做△ABC 的角平分线内 部4、三角形具有稳定性，而四边形不具有稳定性。

5、△的角{三角形的内角{△内角和定理：三角形三个内角的和等于180°推论1：Rt△的两个锐角互余Rt△判定定理：有两个角互余的三角形是直角三角形三角形的外角{定义：△的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角推论2：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和6、多边形{定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形内角{定义:多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角内角和公式：n边形内角和等于(n−2)×180°外角{定义：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角外角和：多边形的外角和等于360°对角线{定义：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线1、从n边形的一个顶点出发可以引(n−3)条对角线(n≥3)；它将n边形分成(n−2)个△2、n边形(n≥3)共有n(n−3)2条对角线多边形分类{凸多边形：画出多边形的任何一条边所在直线，整个多边形都在这条直线的同一侧，这样的多边形叫做凸多边形凹多边形：画出多边形的任何一条边所在直线，整个多边形不都在这条直线的同一侧，这样的多边形叫做凹多边形正多边形：各个角都相等，各条边也都相等的多边形叫做正多边形。

花城中学期末复习知识点(一)十一章三角形的多边形叫正多边形;10、n 边形内角和等于= ，多边形的外角和等于=1、 、知识点三角形三边关系：三角形两边的和 第三边，三角形两边的差 第三边; 2、 三角形的高、中线与角平分线; 4、 三角形具有 性; 5、 三角形内角和定理：三角形内角和等于 6、 直角三角形的两个锐角互 ;有两个角互余的三角形是 三角形;9、n 边形从一个顶点出发，可以作条对角线，它们将n 边形分为—个三角形 二、典型例题1、长为10, 7, 5, 3的四根木条，选其中三根组成三角形，有几种选法？为什么?2、用一条长为18cm 的细绳围成一个等腰三角形 .(1) 如果腰长是底边长的 2倍，那么这个三角形腰的长是多少? (2) 能围成一边是4cm 的等腰三角形吗？为什么？ 3、如图，已知△ ABC 中，BC=5, AC=8.(1)画出△ ABC 的BC 边上的高 AD(2)若AD=4则^ ABC 的面积为 (3)若BE 是AC 边上的高，贝y BE 的长为 4、在^ ABC 中，已知①/ A ：/ B :/ C = 1 : 1 : 2,则此三角形是三角形; ② / A -/ B =/ C,则此三角形是_③ / A = 2 / B = 3/ C,则此三角形是.三角形；—三角形; 正多边形的概念:5、一个多边形的内角和与外角和的比为 9:2，求这个多边形的边数。

三、巩固练习：填空题5、如图，点 D B 、C 、E 在同一直线上,/ A=68°,/ ABD=120° ,则/ ACE 的度数为7、已知等腰三角形 ABC 中,AB=AC=10cm,D 为AC 边上一点,且BD=AD ^BCD 的 周长为15cm,则底边BC 的长为 _____________ .8、若三角形的两边长分别是 2和7,则第三边长c 的取值范围是第三边长为 ________ ；当周长是5的倍数时，第三边长为 9、 如图，AD 是/ CAE 的平分线，/ B=40°,/ DAE=80则/ ACD 的度数为 ■10、 已知△ ABC 的三个内角/ A 、/ B 、/ C 满足关系式/ B=/ C^ / A ,则/ A 的度数1、若等腰三角形的两边长分别为7和9, 则它的周长是 2、如图，/ A=32° , / B=45° , / C=38° ,则/ DFE 等于（）110°D 、105° 3、如图，若/ B :/ 1 :/ 2 = 1 :2 : 3,则/ 1的度数 4、已知△ ABC 的三个内角/ A 、/ B 、/ C 满足关系式/ B+/ C=3/ A,则/ A 的度数为 6、多边形每个内角都相等，且内角和为 720°,则这个图形是 边形. ;当周长为偶数时，11、若等腰三角形的腰长为4,则它的底边长a的取值范围是;若等腰三角形的底4边长为4,则它的腰长b的取值范围是解答题:2 . .12.已知a,b,c 为^ ABC的三边长，且满足（b-2） + I c-3 I =0 , I a-4 I =2求^ ABC的周13、如图，△ ABC中，/ B=/ C=/ BAD / CAD=/ CDA.求^ ABC各内角的度数.14、如图，/ A+/ B+/ C+/ D+/ E+/ F 度数.11、若等腰三角形的腰长为4,则它的底边长a的取值范围是;若等腰三角形的底15、如图，在四边形ABCD中,/ A=/ C=90° BE平分/ ABC DF平分/ ADC贝U BE与DF有何位置关系？试说明理由。

第十一章三角形知识点整理
第十一章三角形知识点整理：
1、三角形的定义：三角形是由三条相交的直线所组成的多边形，它有两个内角加上一个外角，两边加起来等于另外一边。

2、直角三角形：直角三角形是指其中的一个内角是90度的三角形，它的三边长等于斜边的平方，斜边的计算公式是
“a^2=b^2+c^2”。

3、等腰三角形：等腰三角形是指其中两条边等长，其它一边为斜边的三角形，其它两边等于斜边的一半，斜边等于其它两边的平方和。

4、等边三角形：等边三角形是指三边都是等长的三角形，其三个内角都是60度，正三角形就是这种类型的三角形，边长可以通过“a=√3s/2”公式求出。

5、旋转三角形：旋转三角形是指三角形中某一边可以旋转形成另一种新的三角形，其计算公式是“a^2+b^2=2abcos(α)”。

6、三角形的周长和面积：三角形的周长是指三角形三条边之和，其计算公式是“P=a+b+c”，三角形的面积则可以通过海伦公式求出，其计算公式是“S=√p(p-a)(p-b)(p-c)”。