5-3-4 分解质因数(一).教师版

第3讲因数与倍数一、教学目标1.掌握因数与倍数的概念．2.掌握求一个数因数与倍数的方法．3.学会用因数与倍数解决实际应用题．二、知识要点1.因数与倍数：在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数（约数）．例如：12÷2=6，我们说12是2的倍数，2是12的因数；同时12÷6=2，所以12也是6的倍数，同样的，6也是12的因数．综上所述，12是6和2的倍数，6和2是12的因数．注意：①倍数、因数存在的前提是“整除”，整除必须符合三个必备条件，整除不同于除尽．②倍数和因数相互依存，不可能独立存在和出现．2.求任一整数的因数：方法一：找一个数的因数，就用1开始去除这个数，一直除到除数和商交换位置或除数和商相同．然后找出等号左右两边的数，这些数就是要找的这个数的因数，因数重复时，只写一次．例如：我们来找64的因数，直接用64去除以1、2、3、4、5……，因为64不是3、5、6、7的倍数，3、5、6、7就不需要计算．现在看，64÷1=64、64÷2=32、64÷4=16，接着，64÷8=8，在这些算式中就可以找出64的所有因数，64的因数有1，64，2，32，4，16，8．（也就是等号左右两边的数）方法二：先将所给的数分解质因数，将质因数进行组合求积，所得到的不重复的数再加上1和它本身，就是该数的因数．例如：90=2×5×3×3，有：1、2、3、5、2×3=6、3×3=9、2×5=10、5×3=15、2×3×3=18、2×5×3=30、5×3×3=45、2×5×3×3=90．所以90的因数有：1、2、3、5、6、9、10、15、18、30、45、90.3.求任一整数因数的个数：一个整数因数的个数是先对其严格分解质因数，再将每个质因数的指数(次数)加1后，相乘所得的积．如：1400严格分解质因数之后为32⨯⨯，所以它的因数有(3+1)×(2+1)257×(1+1)=4×3×2=24个．(包括1和1400本身)4.求任一整数的所有因数的和：一个整数的所有因数的和是在对其严格分解质因数后，将它的每个质因数依次从1加至这个质因数的最高次幂求和，然后再将这些得到的和相乘，乘积便是这个合数的所有因数的和．如：33=⨯⨯⨯，所以21000所有因数的和为2100023572323++++++++=(1222)(13)(1555)(17)74880三、例题精选【例1】120的因数有多少个？这些因数分别是多少？【★★★★★】【解析】16个．将120分解质因数：360=2×2×2×3×5=3235⨯⨯．因数个数应为：（3+1）×（1+1）×（1+1）=16（个）因数分别是：1、120、2、60、3、40、4、30、5、24、6、20、8、15、10、12．【巩固1】60的因数有多少个？它们分别是多少？【★★★★★】【解析】12个．将60分解质因数：60=2×2×3×5=2235⨯⨯．因数个数应为：（2+1）×（1+1）×（1+1）=12（个）因数分别是：1、60、2、30、3、20、4、15、5、12、6、10．【例2】12345678987654321第二大的因数是多少？【★★★★★】【解析】4115226329218107．因为这是奇数，不能被2整除；一个数的各位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除．这个数各位上的数全部相加等于81，这个数能被3整除，所以3是这个数除了1以外的最小因数，那么除了这个数本身的最大因数就是这个数除以3的商．即这个数是：12345678987654321÷3=4115226329218107．【巩固2】20182018第二大的因数是多少？【★★★★★】【解析】10091009．20182018=2×73×137×100920182018第一大的因数是：20182018．20182018第二大的因数是：10091009．【例3】把一个自然数的所有因数都写出来，然后将这些因数两两相加，就可以得到若干个不同的和．其中最小的和是4，最大的和是140．那么，这个自然数是多少？【★★★★★】【解析】105．自然数的最小因数都是1，最大因数是它本身，故可知第二小的因数为：4-1=3．相应地，A的第二大因数应为A÷3，再由两个因数最大的和是140得：140÷（1+3）×3=105．【巩固3】一个两位数有6个因数，且这个数最小的3个因数之和为11．那么此数是多少？【★★★★★】【解析】63．自然数的最小因数都是1，则另两个因数和应为：11-1=10，又10=2+8=3+7=4+6=5+5，因为因数个数为偶数，排除5+5；如果是2和8的倍数，则一定还有因数4，排除；如果是4、6的倍数一定也是2的倍数，排除；故只剩1、3、7作为最小的三个因数．6=2×3=（1+1）×（2+1），则可知有质因数3和7，其中一个次数为1，另一个次数为2，得：3×72=147（舍去），32×7=63．故此数为63．【例4】如图，A、B、C是三个顺次咬合的齿轮，当A转4圈时，B恰好转3圈：当B转4圈时，C恰好转5圈，则A、B、C的齿数的最小数分别是多少？【★★★★★】【解析】15、20、16．当A转4圈时B转3圈，可知A的齿轮数乘4等于B的齿轮数乘3，假设A有的齿轮数为3份，则B的齿轮数为4份．同理，假设B的齿轮数5份时，C的齿轮数为4份，因为B的齿轮数可以分成4份也可以分成5份，所以B的齿轮数一定是4和5的公倍数，可想到4×5=20，并且验证得20是4和5最小的公倍数．而当B的齿轮数为20时，A的齿轮数为15，C的齿轮数为16．故A、B、C齿轮数最小分别是：15、20、16．【巩固4】如例4图，A、B、C是三个顺次咬合的齿轮，当A转3圈时，B恰好转2圈；当B转3圈时，C恰好转4圈．则A、B、C的齿数的最小数分别是多少？【★★★★★】【解析】8、12、9．当A转3圈时B转2圈，可知A的齿轮数乘3等于B的齿轮数乘2，假设A有的齿轮数为2份，则B的齿轮数为3份．同理，假设B的齿轮数4份时，C的齿轮数为3份，因为B的齿轮数可以分成3份也可以分成4份，所以B的齿轮数一定是3和4的公倍数，可想到3×4=12，并且验证得12是3和4最小的公倍数．而当B的齿轮数为12时，A的齿轮数为8，C的齿轮数为9．故A、B、C齿轮数最小分别是：8、12、9．【例5】已知偶数A不是4的整数倍，它的因数的个数为12，4A的因数有几个？【★★★★★】【解析】24个．由于A是偶数但不是4的倍数，所以A只含有一个因子2，可将A分解成1=⨯，其中B是奇数，根据因数个数公式，它的因数个数为：（1+1）A B2×N=12，解得N=6。

因数、倍数、质数、合数一、因数倍数的特征1、重点归纳（1）一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身：一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的因数是它本身，没有最大的因数：一个数，既是它本身的因数，也是它本身的倍数。

（2）2、3、5、9倍数的特征：2的倍数的特征：个位数字是0，2，4，6，8；5的倍数的特征：个位数字是0或5；同时是2、5倍数的特征：个位数字是0；3的倍数的特征：各个数位的数字之和是3的倍数；9的倍数的特征：各个数位的数字之和是9的倍数。

同时是2、3和5倍数的特征：个位数字是0，并且各个数位的数字之和是3的倍数（3）质数（素数）、合数最小的质数是2,2是唯一的偶质数，没有最大的质数。

最小的合数是4，没有最大的合数。

1既不是质数，也不是合数。

（4）分解质因数的方法用短除法，先用这个合数的质因数（通常从最小的开始）去除，一般先试2、3、5这几个数，除到得出的商是质数为止，把出书和商写成相乘的形式。

（5）奇数、偶数的运算性质：奇数±奇数=偶数偶数±偶数=偶数奇数±偶数=奇数奇数×奇数=奇数奇数×偶数=偶数偶数×偶数=偶数2、典型练习（1）判断：因为48÷8=6，所以说48是倍数，8是因数。

（）因数和倍数的关系式相互依存的，不能说某一个数是因数或倍数，可以说“谁是谁的倍数，谁是谁的因数”。

（2）用a表示一个大于1的自然数，则a2 一定是（）。

A、奇数B、偶数C、质数D、合数二、两数互质的几种特殊情况：（1）两个不相同的质数一定是互质数。

如：7和13、17和19是互质数。

（2）两个连续的自然数一定是互质数。

如：4和5、13和14是互质数。

（3）相邻的两个奇数一定是互质数。

如：5和7、75和77是互质数。

（4）1和其他所有的自然数一定是互质数。

如：1和4、1和13是互质数。

（5）2和任意一个奇数都是互质数。

第十三讲质数和合数1、自然数按因数的个数来分：质数、合数、1、0四类.（1）质数（或素数）：只有1和它本身两个因数。

（2）合数：除了1和它本身还有别的因数（至少有三个因数：1、它本身、别的因数）。

（3）1：只有1个因数。

“1”既不是质数，也不是合数。

注：①最小的质数是2，最小的合数是4，连续的两个质数是2、3。

②每个合数都可以由几个质数相乘得到，质数相乘一定得合数。

③ 20以内的质数：有8个（2、3、5、7、11、13、17、19）④ 100以内的质数有25个：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、972、100以内找质数、合数的技巧：看是否是2、3、5、7、11、13…的倍数，是的就是合数，不是的就是质数。

关系：奇数×奇数=奇数质数×质数=合数3、常见最大、最小A的最小因数是：1；最小的奇数是：1；A的最大因数是：本身；最小的偶数是：0；A的最小倍数是：本身；最小的质数是：2；最小的自然数是：0；最小的合数是：4；4、分解质因数：把一个合数分解成多个质数相乘的形式。

树状图例：分析：先把36写成两个因数相乘的形式，如果两个因数都是质数就不再进行分解了；如果两个因数中海油合数，那我们继续分解，一直分解到全部因数都是质数为止。

把36分解质因数是：36=2×2×3×35、用短除法分解质因数（一个合数写成几个质数相乘的形式）。

例：分析：看上面两个例子，分别是用短除法对18,30分解质因数，左边的数字表示“商”，竖折下面的表示余数，要注意步骤。

具体步骤是：6、互质数：公因数只有1的两个数，叫做互质数。

两个质数的互质数：5和7两个合数的互质数：8和9一质一合的互质数：7和87、两数互质的特殊情况：⑴1和任何自然数互质；⑵相邻两个自然数互质；⑶两个质数一定互质；⑷2和所有奇数互质；⑸质数与比它小的合数互质；教学重点：质数和合数的概念。

分解质因数找范围应用题嘿，同学们！咱们一起来做做关于分解质因数找范围的应用题吧。

这可是数学里挺有趣的一个知识点呢。

满分为100分，看看你能拿到多少分哟！一、选择题（每题5分，共30分）1. 把30分解质因数，正确的是（）A. 30 = 1×2×3×5B. 30 = 2×3×5C. 30 = 5×62. 一个数分解质因数后为2×3×5，这个数是（）A. 15B. 30C. 603. 两个质数的积一定是（）A. 质数B. 合数C. 奇数4. 下面分解质因数正确的是（）A. 18 = 3×6B. 28 = 2×2×7C. 20 = 2×105. 把42分解质因数，写成（）A. 42 = 6×7B. 42 = 2×3×7C. 42 = 1×2×3×76. 已知a、b、c是三个不同的质数，且a×b×c = 30，那么a、b、c分别是（）A. 2、3、5B. 1、3、10C. 3、5、6二、填空题（每题6分，共30分）1. 24分解质因数是______。

2. 36的质因数有______。

3. 最小的质数是______，最小的合数是______。

4. 一个数既是12的因数，又是质数，这个数是______。

5. 在1 - 20的自然数中，既是奇数又是合数的数是______。

三、应用题（每题20分，共40分）1. 有一些苹果，数量在20 - 30之间，把这些苹果平均分给若干个小朋友，每人分得的个数和小朋友的人数同样多，问有多少个苹果？2. 学校组织学生参加植树活动，人数在40 - 50之间，如果分成6人一组或8人一组，都正好分完，参加植树活动的学生有多少人？答案及解析：一、选择题1. 答案：B。

解析：分解质因数是把一个合数写成几个质数相乘的形式，1不是质数，6是合数，所以A、C错误，B正确。

1. 学习余数的三大定理及综合运用2. 理解弃9法，并运用其解题一、三大余数定理：1.余数的加法定理 a 与b 的和除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之和，或这个和除以c 的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为22.余数的加法定理a 与b 的差除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之差。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3－1＝2.当余数的差不够减时时，补上除数再减。

例如：23，14除以5的余数分别是3和4，23－14＝9除以5的余数等于4，两个余数差为3＋5－4＝43.余数的乘法定理a 与b 的乘积除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数的积，或者这个积除以c 所得的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1＝3。

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c 的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2. 乘方：如果a 与b 除以m 的余数相同，那么n a 与n b 除以m 的余数也相同．二、弃九法原理在公元前9世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本《花拉子米算术》，他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的：例如：检验算式1234189818922678967178902889923++++=1234除以9的余数为11898除以9的余数为818922除以9的余数为4678967除以9的余数为7178902除以9的余数为0知识点拨教学目标5-5-4.余数性质（二）这些余数的和除以9的余数为2而等式右边和除以9的余数为3，那么上面这个算式一定是错的。

数字谜是杯赛中非常重要的一块，特别是迎春杯，数字谜是必考的，一般学生在做数字谜的时候都采用尝试的方式，但是这样会在考试中浪费很多时间．本模块主要讲乘除竖式数字谜的解题方法，学会通过找突破口来解决问题．最后通过例题的学习，总结解数字谜问题的关键是找到合适的解题突破口．在确定各数位上的数字时，首先要对填写的数字进行估算，这样可以缩小取值范围，然后再逐一检验，去掉不符合题意的取值，直到取得正确的解答．1. 数字谜定义:一般是指那些含有未知数字或未知运算符号的算式．2. 数字谜突破口：这种不完整的算式，就像“谜”一样，要解开这样的谜，就得根据有关的运算法则，数的性质（和差积商的位数，数的整除性，奇偶性，尾数规律等）来进行正确的推理，判断．3. 解数字谜：一般是从某个数的首位或末位数字上寻找突破口．推理时应注意： ⑴ 数字谜中的文字，字母或其它符号，只取0~9中的某个数字； ⑵ 要认真分析算式中所包含的数量关系，找出尽可能多的隐蔽条件；⑶ 必要时应采用枚举和筛选相结合的方法（试验法），逐步淘汰掉那些不符合题意的数字； ⑷ 数字谜解出之后，最好验算一遍．模块一、与数论结合的数字谜 （1）、特殊数字【例 1】 如图，不同的汉字代表不同的数字，其中“变”为1，3，5，7，9，11，13这七个数的平均数，那么“学习改变命运”代表的多位数是 ．1999998⨯学习改变命运变 【考点】与数论结合的数字谜之特殊数字 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】学而思杯，4年级，第9题 【解析】 “变”就是7，19999987285714÷= 【答案】285714【例 2】 右边是一个六位乘以一个一位数的算式，不同的汉字表示不同的数，相同的汉字表示相同的数，其中的六位数是______ 。

例题精讲知识点拨教学目标5-1-2-3.乘除法数字谜（二）杯小9望99999×赛赛希学【考点】与数论结合的数字谜之特殊数字 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】希望杯，4年级，初赛，20题 【解析】 赛×赛的个位是9，赛=3或7，赛=3，小学希望杯赛=333333，不合题意，舍去；故赛=7，小学希望杯赛=999999÷7=142857【答案】142857【例 3】 右面算式中相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，问A 和E 各代表什么数字？E AEDEEEEE×3CB【考点】与数论结合的数字谜之特殊数字 【难度】3星 【题型】填空【解析】 由于被乘数的最高位数字与乘数相同，且乘积为EEEEEE ,是重复数字根据重复数字的特点拆分，将其分解质因数后为：=37111337EEEEEE E ⨯⨯⨯⨯⨯，所以3A =或者是7A =①若A ＝3，因为3×3＝9，则E ＝1，而个位上1×3＝3≠1，因此，A≠3。

+因数与倍数初步1知识GPS 课前加油站本讲内容本讲主要学习因数倍数的意义和原理，以及如何用原理去解决实际问题前铺知识质数与合数初步------四年级寒假第5讲（第8级上） 质数与合数进阶------五年级暑假第6讲（第9级上）后续知识因数与倍数进阶-----五年级寒假第6讲（第10级上） 带余除数进阶-----五年级春季第3讲（第10 级下）1.请将72分解质因数.2.现在桌子上有5张卡片，其中有3张卡片上写着“2”，另外两张卡片上写着“3”. 盛盛随手一抓，抓起了几张卡片（可能是1张，也可能是多张），并且把抓起的卡片上的数字相乘得到了一个乘积. 那么盛盛得到的乘积有 种不同的可能.3.72有 个因数.（1）请你将12、144、360这三个数分解质因数.（2）你能不能利用（1）中的结果，直接计算12360÷？“除”法的“除”字在这里是什么意思？ （3）144是不是12的倍数？为什么？360是不是144的倍数？为什么？ （4）请用两种方式枚举所有12的因数.请问60有哪些因数？枚举之.（1）一个数是360的因数，那么最多有____个质因数2，最多有____个质因数3，最多有____个质因数5，最多有____个质因数7；（2）一个数是144的倍数，那么最少有_____个质因数2，最少有_____个质因数3，最少有_____个质因数5；（3）360一共有多少个因数，为什么？（4）一个数可以写成345p q r ⨯⨯，其中p 、q 、r 是不同的质数，那么它应该有多少个因数，为什么？（1）12有多少个不大于100的倍数？（2）一个数是12的倍数，但不是24的倍数，请问这个数里面有几个质因数2？ （3）一个数是5!的倍数，却是7!的因数，满足要求的数有多少个？ （4）请尝试枚举10个有6个因数的数.因数倍数定义：两个正整数相乘，则乘数都是积的因数；积是乘数的倍数. 根据定义，有如下关于因数倍数的结论：（1）一个数因数经常是成对出现的，两个因数的积是这个数的话，这两个因数就成对； （2）一个数的质因数指数一定不小于其因数相对应的质因数指数；（3）若a 所含有的质因数，b 都含有，且a 的质因数指数都不大于b 中相对应的质因数指数，那么a 是b 的因数；（4）进一步地，有因数个数定理如下：若a 的质因数分解式是312123n a a a a na p p p p =⨯⨯⨯⨯其中1p 、2p 、3p 、……n p 是互不相同的质数. 那么根据乘法原理，a 的因数个数是： 123(1)(1)(1)(1)n a a a a ++++可简记为“指数加1再连乘”.因数倍数定义公因数与公倍数（1）360有 个质因数2，所以360的约数最多有 个质因数2；同理，144的约数最多有 个质因数2，所以它们的公约数最多有 个2；公倍数至少有 个2； 360有 个质因数3，所以360的约数最多有 个质因数3；同理，144的约数最多 有 个质因数3，所以它们的公约数最多有 个3；公倍数至少有 个3； 360有 个质因数5，所以360的约数最多有 个质因数5；同理，144的约数最多 有 个质因数5，所以它们的公约数最多有 个5；公倍数至少有 个5. 所以144和360的最大公约数可写为(144,360)，是 ； 144和360的最小公倍数可写为[144,360]，是 . （2）求以下几组数的最大公约数和最小公倍数(72,90)= (240,100)= (48,36,84)= (175,325,375)= [72,90]= [240,100]= [48,36,84]= [175,325,375]=求下面每组数的最大公因数和最小公倍数：最大公因数的定义：如果一个自然数同时是若干个自然数的因数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公因数．在所有公因数中最大的一个公因数，称为这若干个自然数的最大公因数．例如：(8,12)4=，(6,9,15)3=．最小公倍数的定义：如果一个自然数同时是若干个自然数的倍数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公倍数．在所有公倍数中最小的一个公倍数，称为这若干个自然数的最小公倍数．例如：[]8,1224=，[]6,9,1590=．短除法：其实是同时给两个数分解质因数，直到商互质．．为止. 如： 2121836923，所以(12,18)236=⨯=；[12,18]232336=⨯⨯⨯= “最大公因乘一边，最小公倍乘半圈”；“多个数的最大公因数除到互质，最小公倍数除到两两互质”.分数的最大公因数与最小公倍数：子同母反：(,)(,)[,]a c a c b d b d =；[,][,](,)a c a cb d b d = 求分数最大公因数：先通分，再取分子的最大公因数. 通分过程即求分母最小公倍的过程，通分前后分子的最大公因数是不变的，因为通分时两个分母所乘的数是互质的.求分数最小公倍数：分子的最小公倍数一定是两个分数的公倍数，是不是最小的取决于分母是否互质. 即应除以分母的最大公因数，以保证所得为最小．．公倍数.辗转相除法：依据因数与倍数的性质，两个数的因数也是这两个数差的因数，因此每次都用除数与余数相除，直到可以整除为止，此时的除数即两个数的最大公因数. 辗转相除法适用于两个数较大的情况，该法也可以判断两个数是否互质.用辗转相除法求多个数的最大公因数，可以先求两个数的最大公因数，再求这个最大公因数与第三个数的最大公因数. 这样依次下去，直到最后一个数为止. 最后所得的一个最大公因数，就是所求得到几个数的最大公因数.（1）18、24、30； （2）24、36、90； （3）30、60、75求下面每组数的最大公因数或最小公倍数： （1）(600,1515)= (3553,1411)= （2）(1547,1573,1859)=（1）两个不同的自然数和为138，它们的最大公因数最大可能是多少？（2）三个不同的自然数和为3030，它们的最大公因数最大可能是多少？用2、3、4、5、6、7这六个数码组成两个三位数A 和B ，那么A 、B 、540这三个数的最大公因数最大可能是___________．（1）两个自然数的差为21，它们的最大公因数有几种可能？最大可能是多少？（2）两个自然数的差为186，它们的最大公因数有几种可能？最大可能是多少？（3）由1、3、5这3个数码可以组成6个不同的三位数，求这6个数的最大公因数.用1～6这六个数码可以组成720个没有重复数字的六位数，求这些数的最大公因数．N 为自然数，且1+N ，2+N 、……、9+N 与690都有大于1的公因数．N 的最小值为_______．若正整数a 、b 满足：a b >，(,)a b d =，那么可以证明有结论：(,)(,)a b a b b d =-=即“两数的最大公因数，也是两数之差的因数，且是两数之差与较小数的最大公因数” 这是辗转相除法的理论基础，适用于求较大数的最大公因数. 例：求(100003,99999).解：因为100003999994-=，故答案一定是4的因数（4或2或1）. 但由于(4,99999)1=，故知答案是1.因倍性质1. 请枚举72的所有因数2. 一个数是6!的倍数，又是8!的因数，满足这个要求的数有多少个？3. 720有多少个因数？4.求下列每组数的最大公因数和最小公倍数： (1)130,156; (2)450,375 (3)96,2835 (4)551,5965. 求下列每组数的最大公因数：(1)325,375,525 (2)171,243,297 (3)38665，12432 (4)4526,4964,51106.用19-这九个数码可以组成362880个没有重复数字的九位数，求这些数的最大公因数．7.甲、乙两数的最小公倍数是330，乙、丙两数的最小公倍数是180，甲、丙两数的最小公倍数是396，那么丙数是多少？1.从1～30这30个数中，至少取出 个数，就一定在取出的数中存在某两数有倍数关系.2.森林里住着一群小白兔，每只小白兔都爱吃萝卜、白菜和青草中的一种或者几种. 爱吃萝卜的小白兔中有12只不爱吃白菜；爱吃白菜的小白兔中有23只不爱吃青草；爱吃青草的小白兔中有34只不爱吃萝卜. 如果三种食物都爱吃的小白兔有5只，那么这群小白兔一共有多少只？3.有两堆石子，分别是6个和7个，甲和乙轮流取，可以从某堆取任意个（不能为0），或者从每堆里取出同样多个. 谁取走最后一个就算谁赢，现在甲先取，谁会赢？并指出获胜策略.因数个数定理：若a 的质因数分解式是312123na a a a na p p p p =⨯⨯⨯⨯其中1p 、2p 、3p 、……n p 是互不相同的质数. 那么根据乘法原理，a 的因数个数是：123(1)(1)(1)(1)n a a a a ++++可简记为“指数加1再连乘”.短除法：其实是同时给两个数分解质因数，直到商互质．．为止. “最大公因乘一边，最小公倍乘半圈”；“多个数的最大公因数除到互质，最小公倍数除到两两互质”.分数的最大公因数与最小公倍数：子同母反：(,)(,)[,]a c a c b d b d =；[,][,](,)a c a c b d b d =差与公因数的关系：若正整数a 、b 满足：a b >，(,)a b d =，那么可以证明有结论：(,)(,)a b a b b d =-=即“两数的最大公因数，也是两数之差的因数，且是两数之差与较小数的最大公因数”6的所有因数之和是123612+++=，刚好是这个数本身的2倍. 你还能发现这样的数吗？。

第03讲 分数的简便运算 ①换元：让学生能够掌握等量代换的概念，通过等量代换讲复杂算式变成简单算式； ②循环小数与分数拆分：掌握循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数与分数的主要利用运算定律进行简算的问题。

一、换元 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简．

二、循环小数化分数 1、循环小数化分数结论： 纯循环小数 混循环小数 分子 循环节中的数字所组成的数 循环小数去掉小数点后的数字所组成的数与不循环部分数字所组成的数的差

分母 n个9，其中n等于循环节所含的数字个数 按循环位数添9，不循环位数添0，组成分母，其中9在0的左侧

·0.9aa； ··0.99abab； ··10.09910990ababab； ··0.990abcaabc，……

2、单位分数的拆分： 例：110=112020=11=11=11=11 分析：分数单位的拆分，主要方法是： 从分母N的约数中任意找出两个m和n,有：

知识梳理 教学目标 11()()()()mnmnNNmnNmnNmn

=11AB

本题10的约数有:1,10,2,5.。 例如：选1和2，有： 11(12)12111010(12)10(12)10(12)3015



本题具体的解有： 1111111111011110126014351530

考点一：换元

例1、计算：3333333313579111315 【解析】原式333333333123414152414LL 2

2

3331515181274

L

22576002784

8128 例2、计算：234561111111333333 【解析】法一：利用等比数列求和公式。

本讲中的知识点在小学课本内已经有所涉及，并且多以判断题考察。

质数合数的出现是对自然数的另一种分类方式，但是相对于奇数偶数的划分要复杂许多。

质数本身的无规律性也是一个研究质数结构的难点。

在奥数数论知识体系中我们要帮助孩子树立对质数和合数的基本认识，在这个基础之上能够会与之前的一些知识点结合运用。

分解质因数法是一个数论重点方法，本讲另一个授课重点在于让孩子对这个方法能够熟练并且灵活运用。

1． 质数与合数 一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数(也叫做素数).一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数.要特别记住：0和1不是质数，也不是合数.常用的100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个；除了2其余的质数都是奇数；除了2和5，其余的质数个位数字只能是1，3，7或9.考点：⑴ 值得注意的是很多题都会以质数2的特殊性为考点.⑵ 除了2和5，其余质数个位数字只能是1，3，7或9.这也是很多题解题思路，需要大家注意.2． 质因数与分解质因数质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数.互质数：公约数只有1的两个自然数，叫做互质数.分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数.例如：30235=⨯⨯.其中2、3、5叫做30的质因数.又如21222323=⨯⨯=⨯，2、3都叫做12的质因数，其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式.分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征.知识点拨教学目标第九讲：数论之质数合数3． 唯一分解定理任何一个大于1的自然数n 都可以写成质数的连乘积，即：312123k a a a a kn p p p p =⨯⨯⨯⨯ 其中为质数，12k a a a <<<为自然数，并且这种表示是唯一的.该式称为n 的质因子分解式.例如：三个连续自然数的乘积是210，求这三个数.分析：∵210=2×3×5×7，∴可知这三个数是5、6和7.4. 部分特殊数的分解111337=⨯；100171113=⨯⨯；1111141271=⨯；1000173137=⨯；199535719=⨯⨯⨯；1998233337=⨯⨯⨯⨯；200733223=⨯⨯；2008222251=⨯⨯⨯；10101371337=⨯⨯⨯.5. 判断一个数是否为质数的方法根据定义如果能够找到一个小于p 的质数q(均为整数)，使得q 能够整除p ，那么p 就不是质数，所以我们只要拿所有小于p 的质数去除p 就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的p ，我们可以先找一个大于且接近p 的平方数2K ，再列出所有不大于K 的质数，用这些质数去除p ，如没有能够除尽的那么p 就为质数.例如：149很接近1441212=⨯，根据整除的性质149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是质数.【系列一：质数合数的基本概念的应用】【例 1】 下面是主试委员会为第六届“华杯赛”写的一首诗：美少年华朋会友，幼长相亲同切磋；杯赛联谊欢声响，念一笑慰来者多；九天九霄志凌云，九七共庆手相握；聚起华夏中兴力，同唱移山壮丽歌．请你将诗中56个字第1行左边第一字起逐行逐字编为1—56号，再将号码中的质数由小到大找出来，将它们对应的字依次排成一行，组成一句话，请写出这句话．【解析】 按要求编号排序，并画出质数号码：美 少 年 华 朋 会 友，幼 长 相 亲 同 切 磋；1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14杯 赛 联 谊 欢 声 响，念 一 笑 慰 来 者 多；例题精讲15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28九天九霄志凌云，九七共庆手相握；29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42聚起华夏中兴力，同唱移山壮丽歌．43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56将质数对应的汉字依次写出就是：少年朋友亲切联欢；一九九七相聚中山．【巩固】(2008年南京市青少年“科学小博士”思维训练)炎黄骄子菲尔兹奖被誉为“数学界的诺贝尔奖”，只奖励40岁以下的数学家．华人数学家丘成桐、陶哲轩分别于1982年、2006年荣获此奖．我们知道正整数中有无穷多个质数(素数)，陶哲轩等证明了这样一个关于质数分布的奇妙定理：对任何正整数k，存在无穷多组含有k个等间隔质数(素数)的数组．例如，3k=时，3，5，7是间隔为2的3个质数；5，11，17是间隔为6的3个质数：而，，是间隔为12的3个质数(由小到大排列，只写一组3个质数即可)．【解析】最小的质数从2开始，现要求每两个质数间隔12，所以2不能在所要求的数组中．而且由于个位是5的质数只有一个5，所以个位是3的质数不能作为第一个质数和第二个质数，可参照下表：【例 2】两个质数之和为39，求这两个质数的乘积是多少.【解析】因为和为奇数，所以这两个数必为一奇一偶，所以其中一个是2，另一个是37，乘积为74.我们要善于抓住此类题的突破口。