大学物理规范作业(本一)33单元测试五(量子理论)解答

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量子力学习题及解答

量子力学习题及解答第一章量子理论基础1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即m λ T=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。

解根据普朗克的黑体辐射公式dv e chv d kThv v v 11833-⋅=πρ，（1）以及 c v =λ，（2）λρρd dv v v -=，（3）(有,118)()(5-⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=kThc v v ehc cd c d d dv λλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。

本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。

但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：01151186'=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+--⋅=-kThc kT hc e kT hc e hcλλλλλπρ ⇒ 0115=-⋅+--kT hce kThc λλ ⇒ kThce kT hc λλ=--)1(5 如果令x=kThcλ ，则上述方程为x e x =--)1(5:这是一个超越方程。

首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知K m T m ⋅⨯=-3109.2λ这便是维恩位移定律。

据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。

1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。

解根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv ，λhP =】如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么ep E μ22= 如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0⨯，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有ph =λ nmm m E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.1229662=⨯=⨯⨯⨯⨯===--μμ在这里，利用了m eV hc ⋅⨯=-61024.1以及,eVc e 621051.0⨯=μ最后，对Ec hc e 22μλ=作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。

大学物理规范作业(本一)32单元测试四(电磁感应)解答

ID j= 2 l
ID 2 ∫ H dl = js = l 2 l1 ≈ 0.46( A)
16
比较两个结果得： M 12 = M 21
12
4.一同轴电缆由中心导体圆柱和外层导体圆筒组成，二 4.一同轴电缆由中心导体圆柱和外层导体圆筒组成，一同轴电缆由中心导体圆柱和外层导体圆筒组成者半径分别为R 筒和圆柱之间充以电介质，者半径分别为R1和R2，筒和圆柱之间充以电介质，电介质 I(由中心圆柱和金属的均可取作1 求此电缆通过电流I( 和金属的r均可取作1，求此电缆通过电流I(由中心圆柱流出，由圆筒流回) 单位长度内储存的磁能，流出，由圆筒流回)时，单位长度内储存的磁能，并通过和自感磁能的公式比较求出单位长度电缆的自感系数。和自感磁能的公式比较求出单位长度电缆的自感系数。
ε max = NBS ω = 2 πNBSn
ε max ∴n = 2 π NBS
12.0 = 2 2π × 120 × 2.0 × 10 × 0.1× 0.2
= 40(S )
1
8
2.一圆环形线圈a 50匝细线绕成，截面积为4.0 2.一圆环形线圈a由50匝细线绕成，截面积为4.0 cm2，一圆环形线圈匝细线绕成放在另一个匝数等于100 100匝半径为20.0cm 20.0cm的圆环形线放在另一个匝数等于100匝，半径为20.0cm的圆环形线的中心，两线圈同轴。：（1 两线圈的互感系数；圈b的中心，两线圈同轴。求：（1）两线圈的互感系数；当线圈a中的电流以50A/s的变化率减少时，线圈b 50A/s的变化率减少时（2）当线圈a中的电流以50A/s的变化率减少时，线圈b 内磁通量的变化率；（；（3 线圈b的感生电动势。内磁通量的变化率；（3）线圈b的感生电动势。解：(1)线圈b通电流时, 由于线圈a的半径较线圈b的半径甚小, 所以可近似求得线圈a通过的磁链为：

大学物理规范作业上册答案全-

13
3.质量为0.05kg的小球，置于一光滑水平桌面上。细绳一端连接此小球，另一端穿过桌面中心的小孔。设小球原来以3rad·s-1 的角速度在距孔为0.2m的圆周上运动，今将绳沿小孔缓慢往下拉，使该小球的转动半径减少到0.1m，则此时小球的角速度=______1_2_r_a_d_·s_-。1
GMmR1 R2
R1R2
20
二、填空题 1.己知地球半径为R，质量为M。现有一质量为m的物
体处在离地面高度2R处，以地球和物体为系统，如取地面的引力势能为零，则系统的引力势能为 2GMm；如
3R
取无穷远处的引力势能为零，则系统的引力势能
为 GMm
。
3R
解:
势0 的能点为 M m R Mm
当t=1秒时，其切向加速度的大小a t = 4
；法
向解加：a r 速度d2 的v t2 大 i 4 小 ic an=o 2tc js 2 ot jsv 。d dr t4tisint j
dt
根据曲线运动的加速度为
at d dvtd(
位移为矢量根据
r
t3 0
v(t)dt
得到B是正确的
在t1时刻，斜率为零，加速度为0。在0-t3过程
中，加速度是变化的。
3
2.物体通过两个连续相等位移的平均速度分别为
v 1 =10m/s, v 2 =15m/s，若物体作直线运动，则在整
个过程中物体的平均速度为【 A 】
(A) 12 m/s
解（：A ）E Gk MRm 2 A （ B）R R 1 2G MRmG 22 M （r3C）r Gd m Mr m RR1 1R R R1 2 R2( 2 （G DM ）r2G)Md mm R1Rr 12R2

B31 量子力学基础(一)

3.33 10 (kg). ______________ 。
36
解 : 设光源每秒钟发射的光子数为n, 每个光子的能量为h c P 由 P = nh = nh 得：n = hc
每分钟落在垂直于光线的单位面积的光子数为： 60´ n 15 P N= = 2 4 d d 2 hc E h h - 36 m = = = = 3.33 ? 10 (kg) 光子的质量： 2 2 c c c
解：电子获得的能量为 E = mc2 - m0c 2
m0c 2 E 1 2 = ( m c ) 0 2 2 m0c m0c v2 1- 2 c 1 = - 1 = 0.25 1- 0.62
4
二、填空题
1. 功率为P 的点光源, 发出波长为的单色光, 在距光源为d处, 每分钟落在垂直于光线的单位面积上的光子数 2 是 ______________ 15 P / d hc ；若 = 663.0(nm), 则光子的质量为
7
三、计算题
1. 已知铂的红限频率 0 = 1.52? 10 Hz,用波长为
15
120nm
的紫外光照射铂,求从铂放出的光电子的速度.
解：由
1 h = mv 2 + h 0 2
2h( - 0 ) c
c
v=

m
= 1.19? 106 (m / s)
8
2. 康普顿散射实验中，以波长为0.1nm的X射线光子被自由电子散射，当散射角为90 时，求： (1)光波长改量 ; (2)反冲电子动能.
h c

= Ek + h
c
0
得到
hc = = 3.55? 10- 7 (m) Ek + hc / 0

大学物理规范作业(本一)32解答

B2 解: Wm1 20 dV R 0 I 2 1 R 0 Ir 2 ) 2rdr 1 ( ) 2rdr 1 0 ( 2 R 2 0 2R1 2r 0 I 2 1 R2 ( ln ) 4 4 R1
1 2 1
0 1 R2 单位长度电缆的自感系数为：L ( ln ) 2 4 R1
2 R1 N 0 N 2 h R2 因此自感系数为 L ln I I 2 R1

0
ln
2
(2)直导线可以认为在无限远处闭合,匝数为1.螺绕环通过电流I1时,通过螺绕环截面的磁通量也就是通过直导线回路的磁链. 因此
0 Nh R2 21 1 0 NI1h R2 M 21 ln / I1 ln I1 I1 2 R1 2 R1
(3)
ba
dia M dt
6.310 (5Hale Waihona Puke ) 3.110 (V )10
6
4
3.如图所示的截面为矩形的螺绕环，总匝数为N。（1）求此螺绕环的自感系数；（2）沿环的轴线拉一根直导线。求直导线与螺绕环的互感系数M12和M21，二者是否相等？解：(1)可求得电流为I时环截面积的磁通量为: NIh R
m1 L1I1 M12 I 2 L1I1 M I 2 L1I1
4
4.在半径为R的圆柱形区域内，磁感应强度保持均匀，
dB 并以的速率增加，则在离轴线a(a<R)的a处的感生电 dt a dB
场的大小Ea= 感应电势1=
l
2 dt 电场的大小Eb =
解: E dl
比较两个结果得： M 12 M 21
12
4.一同轴电缆由中心导体圆柱和外层导体圆筒组成，二者半径分别为R1和R2，筒和圆柱之间充以电介质，电介质和金属的r均可取作1，求此电缆通过电流I(由中心圆柱流出，由圆筒流回)时，单位长度内储存的磁能，并通过和自感磁能的公式比较求出单位长度电缆的自感系数。

福州大学大学物理规范作业33PPT课件

福做的那样按经典力学处理吗？
解：粒子的静能为：
E0 mc 2 6.7 1027 91016 3.810 4 (MeV )
由于E<<E0，所以可按经典力学求其动量。而
其波长为：
h
6.631034
2mE 2 6.7 1027 7.7 106 1.61019
5.2 1015 m
由于<<10-10m，所以可以把粒子当做经典粒子处理。
13
大学物理规范作业
总（38）
单元测试五（量子力学）
1
一、填空题
1.已知真空中光子波长为，则其频率= c/ ，光
子的能量E= hc/ ，动量的大小 h/
P=
h，/ c光子质量m =
。
解： c ,
E
h
hc
,
p h
E hc mc2, m h c
2
2.由粒子的位置与动量的不确定关系式△x·△Px≥ h 可
明：行星表面的温度T由下式给出：T4=PS /(16r2)。其中为斯特藩—玻尔兹曼常量。（行星辐射按黑体
计。）（2）用上式计算地球和冥王星的表面温度，已
知地球rE=1.51011 m ，冥王星rP=1.51011 m 。
解：以R表示行星半径，
吸热功率为：Pab
PS
4r 2
R2
放热功率为：Pej T 4 4R2
以求得粒子的波长与位置的不确定关系是___λ_2____。 2πΔλ
解： p h
p
h
2
又 p x
x h 2 p 2
3
3.宇宙大爆炸遗留在宇宙空间的均匀背景辐射相当于温
度为T的黑体辐射。设b、分别为维恩和斯特藩常量，

大学物理规范作业上册答案全

R1
r3
R 3R
(G
Mm r2
)dr
3R
Em A
R2 R1
G
Mm r3
r
dr
(G Mm )dr
3R
r2
GMm
3R
21
2.一链条长度为L,质量为m , 链条的一端放在桌面上，并桌用面手上拉要住做，功另A=一端有1/14悬m。在gL桌边，将链条全部拉到
32 解法1：将链条全部拉到桌面上做功的效果就是使悬在桌边链条的重力势能增加，
比， dv kv 2 ，式中k为正常数，求快艇在关闭发动机
dt
后行驶速度与行驶距离的关系。
解：作一个变量代换
a kv 2 dv dv dx v dv dt dx dt dx
得到： kv dv kdx dv
dx
v
积分得到： k x ln v v0
v0为初始速度
8
大学物理规范作业上册
02
17
24
2.质量为m的物体放在光滑的水平面上，物体的两边分别与劲度系数k1和k2的弹簧相连。若在右边弹簧的
末端施以拉力F,问(1)该拉力F非常缓慢地拉过距离l，F
做功多少？（2）瞬间拉到l便停止不动,F做的功又为多少？
解：（1）拉力作功只增加二弹簧的弹性势能。
k2l2 l1
k1l1 l2 l
当t=1秒时，其切向加速度的大小at = 4
；法
向解加：ar速度d2的vt 2大i4小i
an= 2
costj
2 cos tj
v
。 dr
dt
4ti sin tj
dt
根据曲线运动的加速度为
at
dv dt

大学物理规范作业上册答案全ppt课件

位移为矢量根据
r
t3 0
v(t
)
dt
得到B是正确的
在t1时刻，斜率为零，加速度为0。在0-t3过程
中，加速度是变化的。
3
2.物体通过两个连续相等位移的平均速度分别为
v1 =10m/s, v2 =15m/s，若物体作直线运动，则在整
个过程中物体的平均速度为【 A 】
(A) 12 m/s
(B) 11.75 m/s
向相同，则在t =2s时物体速度的大小等于_2_4_m_/_s___。
解：
I
t Fdt
0
2 0
(30
4 0 t )dt
(30t
20t
2
)
|02
140kg
m
/
s
I P m(v2 v1)
v2 24m / s
12
2.如图所示的圆锥摆，质量为m的小球，在水平面内以
角速度匀速转动，在小球转动一周的过程中，小球
1.质量m＝0.5kg的质点，在Oxy平面内运动，其运动
方程为x＝5t，y =0.5t2(SI)，从t=2s到t=4s这段时间
内，外力对质点作的功为【 B】
（解：A）1r.5J
（B）3 J （C）4.5J （D） -1.5J 5ti 0.5t2j, v 5i tj, a j
F ma 0.5 j
解：作一个变量代换
a kv 2 dv dv dx v dv dt dx dt dx
得到： kv dv kdx dv
dx
v
积分得到： k x ln v v0
v0为初始速度
8
大学物理规范作业上册
总（02）牛顿运动定律动量守恒

大学物理规范作业(本一)15解答

易见相当于弹性系数为k=k1 +k2 ，频率为
1 f 2 2
k1 k2 m
14
3.据报道，1976年唐山大地震时，当地某居民曾被猛地向上抛起 2m 高。设地震横波为简谐波，且频率为 lHz，波速为3km／s，它的波长多大?振幅多大? 。
解：人离地的速度即是地壳上下振动的最大速度，为
18
所以反射波方程为： 2 7 2x y1 A cos[ t ( x)] A cos(t ) 4 2
⑵合成波方程为：
y y1 y1 2 A cos
7 3 ⑶ xp 4 4 2

2x

cos( t

2
)
所以P点的合振动方程为：
y/m
0.05 u 2m / s
A 0.05m, 2m
t =0时坐标原点v<0,由旋转矢量法知初位相为0，波函数为：2 x

7
5.如图所示,地面上波源S所发出的波的波长为 λ ，它与高频率波探测器 D 之间的距离是 d ，从 S 直接发出的波与从 S 发出的经高度为H的水平层反射后的波，在D处加强，反射线及入射线与水平层所成的角相同。当水平层升高h距离时，在D处再一次接收到波的加强讯号。若H>>d，则。 h=λ /2 分析：当水平层和地面相距为H时，D处波程差为：
x x1 x2
k1
k2
m
1
两弹簧受力相同有
F k1 x1 k2 x2 ma
k1 x 得到： x2 k1 k 2
质点m受力为：
d x k1k2 m k2 x2 x dt k1 k2
k1k2 k k1 k2

大学物理规范作业解答(全)

T2 T1
（D） > , Q>Q 。
知
'
A Q吸
又依题意：A A 知 Q Q'
20
A、B、C 2.下列所述，不可逆过程是（）。（A）不能反向进行的过程；（B）系统不能回复到初态的过程；（C）有摩擦存在的过程或非准静态过程；（D）外界有变化的过程。一个系统，由一个状态出发经过某一过程达到另分析：一状态，如果存在另一个过程，它能使系统和外界完全复原（即系统回到原来状态，同时消除了原过程对外界引起的一切影响）则原来的过程称为可逆过程；反之，如果物体不能回复到原来状态或当物体回复到原来状态却无法消除原过程对外界的影响，则原来的过程称为不可逆过程。在热现象中，可逆过程只有在准静态和无摩擦的条件下才有可能。无摩擦准静态过程是可逆的。 21

v0 2
9
Байду номын сангаас 大学物理规范作业
总（18）热力学第一定律
10
一、选择题 1. 1mol的单原子分子理想气体从状态A变为状态B，如果变化过程不知道,但A、B两态的压强、体积和温度都知道，则可求出（） B （A）气体所作的功（C）气体传给外界的热量（B）气体内能的变化（D）气体的质量
解：根据热力学第一定律：Q E 2 E 1 A
2
v pN v pH
2

M M
molH molN
2
2
2
得 v pH 3741 ( m / s )
2
6
3.设容器内盛有质量为M1和质量为M2的二种不同的单原子理想气体处于平衡态，其内能均为E，则此二种 M 2 M! 。气体分子平均速率之比为解：单原子分子:

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c
2 E , E 2c

p h
E (h
c
)
hc
2
2 P x , x P 2
2

p ( )
h
h

5
5.一维无限深势中质量为m的粒子所处的状态波函数如图所示。则粒子的德布罗意波波长= 2L / 3 ； 2/ (8mL2) 9h 粒子的能量E= ；粒子出现概率最大的位置x= L/ 6, L/ 2, 5L/ 6, 。解：由图知， L 3

2
2 粒子的德布罗意波长为： L 3 P2 h2 9h 2 h E P 2 2 2m 2m 8m L
L L 5L 易判断粒子出现概率最大的位置为：x , , 6 2 6
| |2
6
二、计算题 1.太阳的总辐射功率为PS=3.91026 W。（1）以r表示行星绕太阳运行的轨道半径。试根据热平衡的要求证明：行星表面的温度 T 由下式给出： T4=PS /(16r2) 。其中为斯特藩—玻尔兹曼常量。（行星辐射按黑体计。）（2）用上式计算地球和冥王星的表面温度，已知地球 rE=1.51011 m ，冥王星rP=5.91012 m 。解：以R表示行星半径，
mh
c
2
2.由粒子的位置与动量的不确定关系式△x· △Px≥ ,可 2 以求得粒子的波长与位置的不确定关系是 x 。
解：
p
h
2

p ( )
h
h

2

又 p x
x 的均匀背景辐射相当于温度为T的黑体辐射。设b、分别为维恩和斯特藩常量， b/ T 则此辐射的峰值波长m= ；若地球半径为R，则地球接收到的辐射功率P= 4R2 T4 。解：根据维恩位移公式
279 K
3.9 10 1/ 4 TP [ ] 8 12 2 16 5.67 10 (5.9 10 )
26
45 K
8
2.一个静止电子与一能量为4.0103 eV的光子碰撞后，它能获得的最大动能是多少？解：当光子与电子发生正碰而折回时，能量损失最大。
2h 这时光子的波长为： 0 me c
2
此式将给出v=0或v=c，这都是不可能的。因而上列能量守恒和动量守恒式不能同时满足。这也就说明自由电子不能一次完全吸收一个光子。
10
4.德布罗意关于玻尔角动量量子化的解释。以r表示氢原子中电子绕核运行的轨道半径，以表示电子波的波长。氢原子的稳定性要求电子在轨道上运行时电子波应沿整个轨道形成整数波长，如图所示。试由此并结合德布罗意公式（1.24）式导出电子轨道运动的角动量应为。 , L m rv n n 1,2
证明：在自由电子原来静止的参考系内考虑，如果此电子一次完全吸收一个光子，则能量守恒与动量守恒将分别给出为：
v m0 (1 ) v c m0 m(1 ) 2 c v 1 2 c
消去h，可得：
h m0c h mc , mv c
2 2
v v 1 2 1 c c
这时光子的能量为：
2 hc hc E0 me c E 2 2 h hc 2h m c 2 E0 0 e me c E0 me c
hc
碰撞后，电子获得的能量最大，为：
me c Ee E0 E E0 (1 ) 62eV 2 me c 2 E0
2
9
3.用动量守恒定律和能量守恒定律证明：一个自由电子不能一次完全吸收一个光子。
e
解：依题意，驻波条件要求：
2r n , n 1,2,3,
将=h/(mev)代入，即可得：
nh L me rv n (n 1,2,3,) 2
11
5.卢瑟福的散射实验所用粒子的能量为7.7MeV 。粒子的质量为6.710-27 kg ，所用粒子的波长是多少？对原子的线度10-10m来说，这种粒子能像卢瑟福做的那样按经典力学处理吗？解：粒子的静能为： 27 16 2 E0 m0c 6.7 10 9 10 3.8 104 (MeV ) 由于E<<E0，所以可按经典力学求其动量。而其波长为：

h 2m E
6.6310
34
2 6.7 1027 7.7 106 1.6 1019
5.2 1015 m
由于<<10-10m，所以可以把粒子当做经典粒子处理。
12
mT b
b 有： m T
根据斯特潘—玻尔兹曼公式 E T
地球接收到的辐射功率：
4
P ES 4R 2T 4
4
4.原子从某一激发态跃迁到基态，发射的光子中心波长为，谱线宽度为，则原子在激发态上的寿命 2 / (2 c) 约为。所发射光子动量的不确定 2 / (2) 。 h / 2 ，位置不确定量x= 量P= 解： E h h
大学物理规范作业
总（33）
单元测试五（量子力学）
1
一、填空题 1.已知真空中光子波长为，则其频率= c/ ，光子的 hc/ ，动量的大小P= h/ ，光子质能量E= h/ c 量m = 。解： c
, E h hc ,

ph

2 hc E mc ,
P 2 S 吸热功率为：Pab R 2 4r
4 2 放热功率为：P T 4 R ej
热平衡时，有Pab=Pej，易解得：T
4

16r 2
PS
7
T
4
16r 2
26
PS
3.9 10 1/ 4 TE [ ] 8 11 2 16 5.67 10 (1.5 10 )