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趣味数学七桥问题 ppt课件

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七桥问题[PPT课件]

七桥问题[PPT课件]
• ②凡是只有两个奇点（其余均为偶点）的连通 图，一定可以一笔画完；画时必须以一个奇点 为起点，另一个奇点为终点。
• ③其他情况的图，都不能一笔画出。 • 下面我们就来研究一笔画问题的具体应用：
• 例1 观察下面的图形，说明哪些图可以 一笔画完，哪些不能，为什么？对于可 以一笔画的图形，指明画法.
且两人的速度相同.因此，谁走的路程少，谁便可以先 到达C。容易知道，在题目的要求下，每个人所走路 程都至少是所有街道路程的总和。仔细观察上图，可 以发现图中有两个奇点：A和C.这就是说，此图可以 以A、C两点分别作为起点和终点而一笔画成.也就是 说，甲可以从A出发，不重复地走遍所有的街道，最 后到达C；而从B出发的乙则不行.因此，甲所走的路程 正好等于所有街道路程的总和，而乙所走的路程则必 定大于这个总和，这样甲先到达C。
• 容易知道，上图（b）可以一笔画出，即从奇点E出发， 沿箭头 所指方向，经过F、G、E，最后到达奇点F；同理，从奇点F出发 也可以一笔画出，最后到达奇点E.而从偶点G出发，却不能一笔 画出.
• 事实上，这并不是偶然现象.假定某个图可以一笔画成，且它的 结点X既不是起点，也不是终点，而是中间点，那么X一定是一 个偶点.这是因为无论何时通过一条边到达X，由于不能重复，必 须从另一条边离开X.这样与X连结的边一定成对出现，所以X必 为偶点，也就是说：奇点在一笔画中只能作为起或终点.由此可 以看出，在一个可以一笔画出的图中，奇点的个数最多只有两个。
(a)图：可以一笔画，因为只有两个奇点A、B；画法为A→头部 → 翅膀→尾部→翅膀→嘴。
(b)图：不能一笔画，因为此图不是连通图。 (c)图：不能一笔画，因图中有四个奇点：A、B、C、D。 (d)图：可以一笔画，因为只有两个奇点；画法为：

《格尼斯堡七桥问题》PPT课件

《格尼斯堡七桥问题》PPT课件
在“一笔画”问题里，长度、角度、面积、体积都没有了， 四大块陆地变成了四个点；连线的长短曲直、交点的方位都无 关紧要，要紧的只是点线之间的相关位置或相互连接的情况， 如下两图都没有改变七桥问题“一笔画”的性质。
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精选PPT
后来布勒格尔河上又架起第八座桥来——铁路桥，这又使人们 想起了那有趣的问题。虽然一次不重复走遍七座桥不可能，那 八座桥呢？从图中可以已看出，“奇点”只有两个（D、C）， 所以可以一次不重复走遍八座桥。
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精选PPT
如果一张图中奇点数大于2，并且是2 的n倍，则该图至少需要n 笔才能画成。如下图所示。
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精选PPT
回头来看邮路图，其中有6个奇点，故至少要3笔才能画成， 重复部分应该选择最短的邮路区间，故以下三种方案中，第 三个方案最好。
最短邮路问题是1960年由我国山东师范大学管梅谷教授提出并 解决的，因此国际上称为“中国邮路问题”。
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精选PPT
于是七桥问题就变成了用笔不重复的（笔不离开纸面）画出这 个几何图形的问题，即“一笔画”问题。如果可以画出来，则 必有一个起点和一个终点，如果这两点不重合，则与起点或终 点相交的线必为奇数条（称为奇点），如果起点与终点重合， 则与之相交的线必为偶数条（称为偶点），而除了起点与终点 外，其他点也必为偶点。据以上分析，如果一个图形可以一笔 画出来，则必须满足两个条件：
图论就是运用直观的图形和数学方法来研究组和关系的一 门新兴学科，原是组和数学的一个重要课题，由于发展迅速， 现已成为一个独立的数学分支。它把被研究系统中的各个元素 作为点，元素之间的关系作为线，然后画成图，通过对图形的 研究，找出解决问题的办法。
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精选PPT
图论为研究任何一类离散事物的关系结构提供了一种本质 的框架，在经济、心理、社会、遗传、运筹、计算机、网络、 信息论、控制论、逻辑学、语言学、物理学、化学、微电子技 术、通讯科学、系统科学等方面都有广泛的应用。

哥尼斯堡七桥问题(高级课件)

哥尼斯堡七桥问题(高级课件)

学习培训
8
欧拉在数学、物理、天文、建筑以至音乐、哲 学方面都取得了辉煌的成就。在数学的各个领 域，常常见到以欧来命名的公式、定理、和重 要常数。课本上常见的如π、i、e、sin、cos、 tg、△x、Σ、f(x)等，都是他创立并推广的。 欧拉还首先完成了月球绕地球运动的精确理论， 创立了分析力学、刚体力学等力学学科，深化 了望远镜、显微镜的设计计算理论。
居民便热衷于
以下有趣的问题：能不能设计一次散步，使得七
座桥中的每一座都走过一次，而且只走过一次?
这便是著名的哥尼斯堡七桥问题。
学习培训
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这个问题后来变得有点惊心动魄：说是有
一队工兵，因战略上的需要，奉命要炸掉这七座
桥。命令要求当载着炸药的卡车驶过某座桥时，
就得炸毁这座桥，不许遗漏一座！
理论上需要解决的问题是：找到“一个图形可以 一笔画”的充要条件。
欧拉注意到每个点都是若干条线的端点，他把图
形上的点分为两类：奇点和偶点。要想不重复地一笔 画出某个图形，除去起始点和终止点外，其余点，如 果画进去一条线，就一定要画出一条线，从而必须是 偶点。
学习培训
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一笔画原理：
一个图如果可以一笔画成，那么这个图中 奇数顶点的个数不是0就是2。反之亦然。
当图形中有两个顶点时，以其中一个为起始点， 另一个为终止点，就能一笔画；当图形中没有奇点时， 从任何一个起始点都可以完成一笔画。
学习培训
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学习培训
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学习培训
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学习培训
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想不到轰动一时的哥尼斯堡七桥问题， 竟然与孩子们的游戏，想用一笔画画出“串 "字和“田”字这类问题一样，而后者并不 比前者更为简单!

趣味数学七桥问题共39页

趣味数学七桥问题共39页
趣味数学七桥问题
1、纪律是管理关系的形式。——阿法 纳西耶 夫 2、改革如果不讲纪律，就难以成功。
3、道德行为训练，不是通过语言影响 ，而是 让儿童 练习良 好道德 行为， 克服懒 惰、轻 率、不 守纪律 、颓废 等不良 行为。 4、学校没有纪律便如磨房里没有水。 ——夸 美纽斯
5、教导儿童服从真理、服从集体，养 成儿童 自觉的 纪律性 ，这是 儿童道 德教育 最重要 的部分 。—— 陈鹤琴
▪29、勇猛、大胆和坚定的来自心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
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▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子

趣味数学七桥问题ppt课件

趣味数学七桥问题ppt课件

18世纪，在（现俄罗斯）哥尼斯堡 城风景秀美的普莱格尔河上有7座 别致的拱桥，将河中的两个岛和河 岸连结（如左图）。 城中的居民经常沿河过桥散步。城 中有位青年很聪明，爱思考，有一 天，这位青年给大家提出了这样一 个问题：能否一次走遍7座桥，而 每座桥只许通过一次，最后仍回到 起始地点。 这就是数学史上著名的七桥问题。
小热身 七桥问题
9
能一笔画的图形必须是连通图。从图的一点出发，笔不离纸，经过每条边恰好一次， 不能重复。 但是，并不是所有的连通图都可以一笔画出。它是由图的奇、偶点的数目来决定的。 ① 有奇数条边相连的点叫奇点。如：
② 有偶数条边相连的点叫偶点。如：
小热身 七桥问题 一笔画
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欧拉定理：
①凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。画时可以任一偶点 为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。 ②只有两个奇点的连通图，一定可以一笔画完。画时必须以一个奇点 为起点，另一个奇点为终点。 ③其他情况的图，都不能一笔画出。
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拓扑学-神奇的莫比乌斯带
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拓扑学-神奇的莫比乌斯带
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拓扑学-神奇的莫比乌斯带
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拓扑学-神奇的莫比乌斯带
• 一、1979年，美国著名的“百路驰”轮胎公司创 造性地把传送带制成莫比乌斯带形状，这样一来， 整条传送带环面各处均匀地承受磨损，避免了原 来单面传送带单面受损的情况，使得其寿命延长 了整整一倍。
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
透过现象看本质
• 在把36道简单数学题（加减乘除）做 完后并加以分类的一组学生，比单独 做完这些题目的学生最终在类似数学 题的测验中成绩要好。
及时复习，善于归纳和总结。
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五年级《信息科技》了解更多的算法《有趣的七桥问题》课件

五年级《信息科技》了解更多的算法《有趣的七桥问题》课件

第25课 课堂导入
故事情境
18世纪初普鲁士的哥尼斯堡，有一条河 穿过，河上有两个小岛，一共有七座桥连接 这两座小岛和河两岸。当地居民和游客都想 尝试做到这样一件事：从一个地点出发，走 过这七座桥，再返回起点，而且每座桥只经 过一次。
这就是经典的“哥尼斯堡七桥问题”。
义务教育信息科技课程资源
第25课 学习活动
义务教育信息科技课程资源
二、图形的一笔画分析
认识一笔画
七桥问题实际上可以转化为一个几何图形 能否一笔画出的问题，即图形的一笔画问题。
一笔画主要指从图形的一个点出发，笔不 离开图形的线条，连续画出整个图形，而且每 条线条只能画一次，不能重复。
首先，能够实现一笔画的图形应该是连通 图形。
不是连通图形
连通图形
义义务务教教育育信信息息科科技技课课程程资资源源 五年级
五年级《信息科技》了解更多的算法《有趣的七桥问题》课件 第七单元 了解更多的算法
第25课 有趣的七桥问题
第25课 学习目标
义务教育信息科技课程资源
学
认识哥尼斯堡七桥问题，能够通过分析问题抽取关键要 1 素进行判断处理。
习
目 标
2
知道哥尼斯堡七桥问题本质上是能否实现一笔画的问题， 认识实现一笔画的判断方法。
图形
●B
A●
●
A
B●
●C
E●
●D
A
B
D
C
奇点个数 2
偶点个数 0
能否一笔画出 能
2
3
能
2
2
能
第25课 学习活动
义务教育信息科技课程资源
二、图形的一笔画分析
探究一笔画 用欧拉的方法，判断下面的图形能否实现一笔画出。

《哥尼斯堡七桥问题》微课课件

《哥尼斯堡七桥问题》微课课件

哥城景致迷人，碧波荡漾的普累格河，横贯其境。在
河的中心有一座美丽的小岛。普河的两条支流，环绕其旁 汇成大河，把全城分为下图所示的四个区域：岛区(A)， 东区(B)，南区(C)和北区(D)。
早在十八世纪以前，当地的居民便热衷于
以下有趣的问题：能不能设计一次散步，使得七
座桥中的每一座都走过一次，而且只走过一次?
哥尼斯堡七桥问题
《数学文化》课程组
一笔画游戏
田 串
哥尼斯堡七桥
现今的加里宁格勒，旧称哥尼斯堡，是一座历史名城。 在十八、十九世纪，那里是东普鲁士的首府，曾经诞生和培 育过许多伟大的人物。著名的哲学家，古典唯心主义的创始 人康德，终生没有离开过哥尼斯堡一步!二十世纪最伟大的 数学家之一，德国的希尔伯特也出生于此地。
关键词：惊人的记忆力 杰出的智慧 顽强的 毅力 孜孜不倦的奋斗精神 高尚的科学道德
公元1736年，29岁的欧拉向圣彼得堡科学院递 交了一份题为《哥尼斯堡的七座桥》的论文。论文 的开头是这样写的：
“讨论长短大小的几何学分支，一直被人们热 心地研究着。但是还有一个至今几乎完全没有探索 过的分支。莱布尼兹最先提起过它，称之：“位置 的几何学”。这个几何学分支讨论只与位置有关的 关系，研究位置的性质；它不去考虑长短大小，也 不牵涉到量的计算。但是至今未有过令人满意的定 义，来刻划这门位置几何学的课题和方法……”
欧拉在数学、物理、天文、建筑以至音乐、哲 学方面都取得了辉煌的成就。在数学的各个领 域，常常见到以欧来命名的公式、定理、和重 要常数。课本上常见的如π、i、e、sin、cos、 tg、△x、Σ、f(x)等，都是他创立并推广的。 欧拉还首先完成了月球绕地球运动的精确理论， 创立了分析力学、刚体力学等力学学科，深化 了望远镜、显微镜的设计计算理论。

一笔画和七桥问题ppt课件

一笔画和七桥问题ppt课件
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就转化成了 “一笔画问题”
• 所谓图的一笔画，指的就是：从图的一
点出发，笔不离纸，遍历每条边恰好一 次，即每条边都只画一次，不准重复.
B
BA
A
C
A→B→C→A
A→头部→翅膀→
尾部→翅膀→嘴B
5
1.起点；2、终点 ；3、过路点；
4.奇点：和某个点连接的线的条数是奇数；
5.偶点：B和某个点连接的线的条数是偶数；
其中的一个奇点，终点一定是另一 个奇点。
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D
C
A→B→C→D→A→C
A
B
起点→过路点→…→过路点→终点
过路点都是偶点
1、起点和终点重合时，这一点 也为偶点，故奇点个数为0；
2、起点和终点不重合时，这两 点都为奇点，故奇点个数为2。
9
A
1.“七桥问题”如图所示，此图
D
能一笔画出来吗？为什么？
C
答：因为此图奇点的个数是4，
实验与探究
七桥问题与一笔画
1
能不能既不 重复又不遗 漏地一次相 继走遍这七 七 哥 座桥？ 桥尼 问斯 题堡
2
能不能既不 重复又不遗 漏地一次相 继走遍这七
座桥？
①
⑥
②
⑤
⑦
③ ④
3
• 把河的两岸、两个小岛看成四个点 • 把七座桥看成是七条线 • 转化成数学模型后如图所示 A
D C
B 4
• 数学模型建立好之后，那么“七桥问题” 也
所以不能一笔画出来。
2.下列图形能不能用一笔画出来？ B
为什么？
E
A
A
D
F
D B FC
ABC C D E
B
因奇点的个数是0 因奇点的个数是0 因奇点的个数是2

小学趣味数学——七座桥

小学趣味数学——七座桥
①奇点
●
②偶点
●
●
●
●
●
③一笔画：1、下笔后笔尖不能离开纸。 2、每条线只能画一次，不能重复。
活动探究
奇点个数 偶点个数 能否一笔画
图⑴
●B
2
0
能
A●
图⑵பைடு நூலகம்
●A
B●
●C
2
3
能
E●
●D
A
图⑶
●●
1
0
能
图⑷
0
10
能
奇点个数 偶点个数 能否一笔画
图(5)
4
1
否
图(6)
4
2
否
图(7)
4
1
否
图(8)
4
4
否
①一笔画成的图形，与偶点个数无关， 与奇点个数有关。
康尼斯堡
的 七桥
康尼斯堡 俄国有一座古城，
。这是一个美丽的地方，
它由两个岛组成的，七座桥把两个小岛与河岸连接起来。
康尼斯堡
一个人，不重复，一次走遍七座桥，最后又回到出 发点呢？
欧拉 瑞士著名的数学家
，
岛、岸看作一个点，桥看作一条线，
这样我们只需要研究能否一笔画出这个图形就OK了！
A
B
问题分析
②奇点=0，可一笔画，终点、起点相同。 奇点=2，可一笔画，一个奇点做起点，另
一个奇点做终点。
③奇点>2，不能一笔画。
康尼斯堡的七桥 基点个数=4，不能一笔画。
欧拉特别热爱数学，甚至在他双眼失明后，仍 然用口述的方法坚持研究。他的一生创造了将 近900本杰出的著作，是数学史上最多产的数 学家。
谢谢

4.1(3)流程图--七桥问题名师课件

4.1(3)流程图--七桥问题名师课件
线：事物之间的某种关系用线来表示 奇点：和某个点连接的线的条数是奇数 偶点：和某个点连接的线的条数是偶数
连通图：整个图必须是通路，也就是每个点至 少有两条线连接
把河的两岸、两个小岛看成四个点 把七座桥看成是七条线 转化成数学模型后如图所示
数学模型建立好之后，那么“七桥问题” 也就 转化成了 “一笔画问题”
形能不能用一笔画出来？
能够用一笔画的图形的特征是：
1.必须是连通的 2.奇点的个数是0或2
3.当奇点个数是0的时候，任何一个点都可作始点， 终点也是这个点
4.当奇点个数是2的时候，始点一定是其中的一个 奇点，终点一定是另一个奇点
“七桥问题”如图所示： 奇点的个数是4，因此不能一笔画出来
故事发生在十八世纪的东普鲁士柯尼斯堡城（二战以后该城 改名为加里宁格勒，现属俄罗斯）。普雷盖尔河穿城而过，河 中有两个小岛，有七座桥将小岛与两岸连接，如图，
当时那里的居民都热衷于一种游戏：看谁能从某点出发一次 走遍这七座桥，每座桥只走一次，最后回到原出发点。在众多 尝试者中竟无一人成功。
点：某个地方、某个人、某样东西或某件事用 一个点来表示
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• 剩下区域中排除开发晚、多为新建高层小区的南城区域。 分析排除至此，只剩下一个区域被锁定。
第三步，网络筛选
• 网友在电子地图上截取锁定区域俯视图，放大局部 寻找王珞丹照片中有标志性花坛的小区，很快就找 到目标。
第四步，实地核对
• 该网友亲身前往这个小区，现场拍摄照片，与王珞 丹所发的照片进行比较，确认推理正确。
• 二、针式打印机靠打印针击打色带在纸上留下一 个一个的墨点，为充分利用色带的全部表面，色 带也常被设计成莫比乌斯带的形状。
拓扑学中的有趣例子
拓扑学中的有趣例子
我们假设所有物体都是用橡胶做成的，可以随意地拉伸 、挤压、弯曲，但不允许切断、粘连等任何改变图形本 质结构的操作。
能否把左图连续地变为右图？
透过现象看本质
• 聪明的人在他们的脑海中有一个更科学、 精密、高效的“抽象地图”，这个地图里 面存储的不是地标、边界、线路，而是概 念、知识、事实和程序。他们跟普通人的 最大区别就是——既拿着一张信息又多又 全的好地图，又特别会从这些地图中高效 提取与组合信息
透过现象看本质
• 在世界地图里面找“北京”，你需要先找到“中国”的大 概位置。在心理地图里面，找“产前抑郁症”相关的问题 ，聪明人不会第一反应就把知识体系和上面提到的整体表 征直接定位到“气象学”去，相应的，他们会直接定位到 “心理学”，甚至能直接精确定位到“临床心理学”，进 而增加解决问题的效率。这就是考验你头脑里心理地图的 信息量、精度、自己对自己的心理地图理解程度的时候了 。在实验过程中，有的学生看了题目的前几个字就能意识 到这道题是要考“重力加速度”这一概念，进而在读题解 题的过程中刻意地关注与重力加速度有关的信息，甚至主 动地间接寻找缺失信息。同时，还有一些学生直到读完了 全题，才激活了相关的心理地图。
B
A
B
A
C
I
J
C
K
L
D
HGF E
D
有N个奇点的图形，要N÷2笔才能画成。
小热身 七桥问题 一笔画 欧拉定理 小练习 画一画 拓展
透过现象看本质
• 一列火车在穿过一座横跨山谷的大桥时， 火车上的一个旅客从窗口丢下一块石头， 请问，这块石头的落点会在哪里？
正确答案是——呈抛物线坠落，除了重 力外，石头同时还有与火车同向的初始速 度需要考虑。
思路清晰，善抓关键点！
根据王珞丹的微博，推测其住址
第一步，信息获取
• 第一，楼体外观和窗框难擦干净的痕迹，说明这是 已经建成一段时间的西式小区。
• 第二，王珞丹家在顶层。 • 第三，小区内有三个在一条直线上大小一样的正方
形花坛。
第二步，区域筛选
• 王珞丹微博1：“四环堵死了，联排迟到了。”——— 她家 在四环外。
拓扑学-神奇的莫比乌斯带
拓扑学-神奇的莫比乌斯带
拓扑学-神奇的莫比乌斯带
拓扑学-神奇的莫比乌斯带
• 一、1979年，美国著名的“百路驰”轮胎公司创 造性地把传送带制成莫比乌斯带形状，这样一来 ，整条传送带环面各处均匀地承受磨损，避免了 原来单面传送带单面受损的情况，使得其寿命延 长了整整一倍。
18世纪，在（现俄罗斯）哥尼斯堡 城风景秀美的普莱格尔河上有7座 别致的拱桥，将河中的两个岛和河 岸连结（如左图）。 城中的居民经常沿河过桥散步。城 中有位青年很聪明，爱思考，有一 天，这位青年给大家提出了这样一 个问题：能否一次走遍7座桥，而 每座桥只许通过一次，最后仍回到 起始地点。 这就是数学史上著名的七桥问题。
哥尼斯堡七桥问题
让微积分成长成人 全才数学家 多产数学家
莱昂哈德·欧拉（1707年4月 15日～1783年9月18日）， 瑞士数学家、自然科学家。。
数学家：欧拉 他欧是拉数喜学欢史音上乐最、多生产活的丰数富学多家彩，，平结均过每两年次
写婚出，八生百了多13页个的孩论子文，，存还活写5个了，大据量说的工力作学
、时分往析往学儿、孙几绕何膝学。、他变去分世法的等那的天课下本午，，《还
小热身
无给穷孙小女分上析数引学论课》，、跟《朋微友分讨学论原天理王》星、轨《道 积的分计学算原。理突》然等说都了成一为句数“学我界要中死的了经”典，著说
作完。就倒下，停止了生命和计算。
单击添加大标题
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小热身 七桥问题
单击添加大标题
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1836年，瑞士著名的数学家——欧拉，欧拉发现了这个问题 的本质：这个问题与岛的形状和大小无关，与河岸的形状长短 无关、与桥的形状、长短无关，重要的是桥、河岸、岛之间的 位置关系。把两岸和小岛缩成一个点，桥当作连接这些点的一 条线。
小热身 七桥问题
问题转化为：笔尖不离开纸面，一笔画出给定的图形，不允许 重复任何一条线，这样的图形简称为“一笔画”
小热身 七桥问题 一笔画 欧拉定理
下列图形中，你能一笔画成吗？若能，请画出路径。
小热身 七桥问题 一笔画 欧拉定理 小练习
下图是国际奥委会的会标，你能把它一笔画出来吗？
小热身 七桥问题 一笔画 欧拉定理 小练习 画一画
案例：西北大学的洒水车要给主要路 面洒水，该如何确定行车路线？
下列图形最少能几笔画成？有什么规律？
• 王珞丹微博2：“演出这么多年，还没有在北京中心地带买 一套房子。”——— 说明她家不在市中心。
• 王珞丹微博3：“爸爸送我和小6去给《无人驾驶》(影评)配 音，光顾着看微博留言，忘记给老爸指路，车都开到中关 村了！(爸爸开始唠叨我说开导航吧)”——— 她家不在中关 村及进城路过中关村的地方。
• 王珞丹微博4：“患了严重的痢疾，20分钟后赶到了附近的 一所小医院。”——— 她家周边无大医院。
拓扑学中的有趣例子
我们假设所有物体都是用橡胶做成的，可以随意地拉伸 、挤压、弯曲，但不允许切断、粘连等任何改变图形本 质结构的操作。
能否把左图连续地变为右图？
小热身 七桥问题
能一笔画的图形必须是连通图。从图的一点出发，笔不离纸，经过每条边恰好一次， 不能重复。 但是，并不是所有的连通图都可以一笔画出。它是由图的奇、偶点的数目来决定的。 ① 有奇数条边相连的点叫奇点。如：
② 有偶数条边相连的点叫偶点。如：
小热身 七桥问题 一笔画
欧拉定理：
①凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。画时可以任一偶点 为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。 ②只有两个奇点的连通图，一定可以一笔画完。画时必须以一个奇点 为起点，另一个奇点为终点。 ③其他情况的图，都不能一笔画出。
透过现象看本质
• 在把36道简单数学题（加减乘除）做 完后并加以分类的一组学生，比单独 做完这些题目的学生最终在类似数学 题的测验中成绩要好。
及时复习，善于归纳和总结。
拓扑学
• 当我们不考虑图形的大小和角度时，只研 究图形各部分相对的位置关系，这样的研 究分支在数学上叫拓扑学。
• 拓扑学最早就是由欧拉奠基的。