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哥尼斯堡七桥问题(高级课件)

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高中数学第六章名题赏析6.2哥尼斯堡七桥问题课件北师大版选修3_

高中数学第六章名题赏析6.2哥尼斯堡七桥问题课件北师大版选修3_

重难点拨
思悟升华
一
二
三
将昆虫爬行的路线抽象成一笔画问题是解决本题的 关键.
重难点拨
思悟升华
一
二
三
你能否将下图中的图形一笔画成,为什么?
答案:可以一笔画成.因为图中奇数顶点的个数是 2. 欧拉提交给圣彼得堡科学院的论文 关图论的第一篇论文. 答案:《哥尼斯堡的七座桥》 成为了有
重难点拨
思悟升华
一
二
三
三、关于欧拉
【例 4】 18 世纪,继牛顿之后最伟大的数学家之一,欧洲数学界 的灵魂人物是( ). A.高斯 B.欧拉 C.柯西 D.牛顿 答案:B 【例 5】 以下符号不是欧拉首先引进或创立的是( ). A.用 e 表示自然对数的底 B.用 f(x)表示函数 C.用 i 表示虚数 D.用 dx 表示微分 答案:D
§2 哥尼斯堡七桥问题
激趣诱思
新知预习
欧拉是数学史上著名的数学家,他在数论、几何、天文数学、微 积分等好几个数学的分支领域中都取得了出色的成就,他小时候一 面读书一面帮助爸爸放羊,他读的书中,有不少数学书. 爸爸的羊渐渐增多了,达到了 100 只,原来的羊圈有点小了,爸爸决定 建造一个新的羊圈.他用尺量出一块长方形的土地,长 40 米,宽 15 米, 他算了一下,面积正好是 600 平方米,平均每一头羊占地 6 平方米,正 打算动工的时候,他发现他的材料只够围 100 米,篱笆不够用,若要围 成长 40 米,宽 15 米的羊圈,其周长将是 110 米,父亲感到很为难,若要 按原计划建造,就要再添 10 米长的材料;要是缩小面积,每头羊的面 积会小于 6 平方米.小欧拉却向父亲说,不用缩小羊圈,也不用担心每 头羊的领地会小于原来的计划,他有办法,父亲不相信小欧拉会有办 法,听了没有理他,小欧拉急了,大声说,只要稍稍移动一下羊圈的桩 子就行了.父亲听了直摇头,心想:“世界上哪有这样便宜的事情?”但 是,小欧拉却坚持说,

哥尼斯堡的七座桥课件

哥尼斯堡的七座桥课件

哪些图形可以一笔画？
几笔画可以完成？
1.只有偶点，可以一笔画，并且可以以任 意一点作为起点。 2.只有两个奇点，可以一笔画，但必须以 这两个奇点分别作为起点和终点。 3.奇点超过两个，则不能一笔画。对于一 些比较复杂的路线问题，可以先转化为简 单的几何图形，然后根据判定是否能一笔 画的方法进行解答。
下面是一个公园的平面路线图，要使游客进 入公园后，走遍每条路而且不重复，请问出 入口分别应设在哪里？
在一个公园的湖里，有4个小岛，它们互 相之间共有6座桥连接，公园想用游船连 接岛和岸，使游客到上岛以后能游览全部 4个岛并不重复的走过6座桥，然后离开， 请问应该在哪里设置码头？
D A
C B
因为有四个点都是奇点，所以是 不可能不重复地走遍7座桥的。
精品课件！
精品课件！
在十八世纪的东普鲁士的哥尼斯堡有一条普 莱格尔河流过，河中有两座小岛，河上有7座 桥，爱动脑筋的人们提出了一个问题：一个散 步者能否一次走遍7座桥，而且每座桥只通过 一次，最后仍回到起始地点。许多人作过尝试 始终没有能找到答案，最后瑞士大数学一笔画？
哪些图形可以一笔画？

七桥问题[PPT课件]

七桥问题[PPT课件]
• ②凡是只有两个奇点（其余均为偶点）的连通 图，一定可以一笔画完；画时必须以一个奇点 为起点，另一个奇点为终点。
• ③其他情况的图，都不能一笔画出。 • 下面我们就来研究一笔画问题的具体应用：
• 例1 观察下面的图形，说明哪些图可以 一笔画完，哪些不能，为什么？对于可 以一笔画的图形，指明画法.
且两人的速度相同.因此，谁走的路程少，谁便可以先 到达C。容易知道，在题目的要求下，每个人所走路 程都至少是所有街道路程的总和。仔细观察上图，可 以发现图中有两个奇点：A和C.这就是说，此图可以 以A、C两点分别作为起点和终点而一笔画成.也就是 说，甲可以从A出发，不重复地走遍所有的街道，最 后到达C；而从B出发的乙则不行.因此，甲所走的路程 正好等于所有街道路程的总和，而乙所走的路程则必 定大于这个总和，这样甲先到达C。
• 容易知道，上图（b）可以一笔画出，即从奇点E出发， 沿箭头 所指方向，经过F、G、E，最后到达奇点F；同理，从奇点F出发 也可以一笔画出，最后到达奇点E.而从偶点G出发，却不能一笔 画出.
• 事实上，这并不是偶然现象.假定某个图可以一笔画成，且它的 结点X既不是起点，也不是终点，而是中间点，那么X一定是一 个偶点.这是因为无论何时通过一条边到达X，由于不能重复，必 须从另一条边离开X.这样与X连结的边一定成对出现，所以X必 为偶点，也就是说：奇点在一笔画中只能作为起或终点.由此可 以看出，在一个可以一笔画出的图中，奇点的个数最多只有两个。
(a)图：可以一笔画，因为只有两个奇点A、B；画法为A→头部 → 翅膀→尾部→翅膀→嘴。
(b)图：不能一笔画，因为此图不是连通图。 (c)图：不能一笔画，因图中有四个奇点：A、B、C、D。 (d)图：可以一笔画，因为只有两个奇点；画法为：

《格尼斯堡七桥问题》PPT课件

《格尼斯堡七桥问题》PPT课件
在“一笔画”问题里，长度、角度、面积、体积都没有了， 四大块陆地变成了四个点；连线的长短曲直、交点的方位都无 关紧要，要紧的只是点线之间的相关位置或相互连接的情况， 如下两图都没有改变七桥问题“一笔画”的性质。
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精选PPT
后来布勒格尔河上又架起第八座桥来——铁路桥，这又使人们 想起了那有趣的问题。虽然一次不重复走遍七座桥不可能，那 八座桥呢？从图中可以已看出，“奇点”只有两个（D、C）， 所以可以一次不重复走遍八座桥。
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精选PPT
如果一张图中奇点数大于2，并且是2 的n倍，则该图至少需要n 笔才能画成。如下图所示。
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精选PPT
回头来看邮路图，其中有6个奇点，故至少要3笔才能画成， 重复部分应该选择最短的邮路区间，故以下三种方案中，第 三个方案最好。
最短邮路问题是1960年由我国山东师范大学管梅谷教授提出并 解决的，因此国际上称为“中国邮路问题”。
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精选PPT
于是七桥问题就变成了用笔不重复的（笔不离开纸面）画出这 个几何图形的问题，即“一笔画”问题。如果可以画出来，则 必有一个起点和一个终点，如果这两点不重合，则与起点或终 点相交的线必为奇数条（称为奇点），如果起点与终点重合， 则与之相交的线必为偶数条（称为偶点），而除了起点与终点 外，其他点也必为偶点。据以上分析，如果一个图形可以一笔 画出来，则必须满足两个条件：
图论就是运用直观的图形和数学方法来研究组和关系的一 门新兴学科，原是组和数学的一个重要课题，由于发展迅速， 现已成为一个独立的数学分支。它把被研究系统中的各个元素 作为点，元素之间的关系作为线，然后画成图，通过对图形的 研究，找出解决问题的办法。
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精选PPT
图论为研究任何一类离散事物的关系结构提供了一种本质 的框架，在经济、心理、社会、遗传、运筹、计算机、网络、 信息论、控制论、逻辑学、语言学、物理学、化学、微电子技 术、通讯科学、系统科学等方面都有广泛的应用。

哥尼斯堡七桥问题PPT课件

哥尼斯堡七桥问题PPT课件

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第2页/共20页
第3页/共20页
欧拉的解法
哥尼斯堡七桥问题引起了大数学家欧拉的兴趣。 他知道，如果沿着所有可能的路线都走一次的话，一共 要走5040次。就算是一天走一次，也需要13年多的时 间。实际上，欧拉只用了几天的时间就解决了七桥问题。
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第4页/共20页
欧拉的想法是：两岸的陆地与河中的 小岛，都是桥梁的连接点，它们的大小、形 状均与问题本身无关。因此，不妨把它们看 作是4个点。7座桥是7条必须经过的路线， 它们的长短、曲直，也与问题本身无关。因 此，不妨任意画7条线来表示它们。就这样， 欧拉将七桥问题抽象成了一个“一笔画”问 题，从而否定了问题的答案。
图1
图3
图5
图2
图4
图6
第13页/共20页
下图是一个公园的平面图，要使游人 走遍每一条路不重复，出口和入口应 设在哪儿？
第14页/共20页
中国邮递员问题
• 中国邮递员问题(Chinese Postman Problem, CPP)是由我国管梅谷教授于1962
年首先提出并发表的计表
可以一笔画的图形
不能一笔画的图形
图形序号 奇点个数 偶点个数
图形序号 奇点个数 偶点个数
图1
图2
图3
图4
图5
图6
图7
图8
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不连通的图形不能一笔画
连通的图 形有可能 一笔画
奇点个数超过两个的连通图 形不能一笔画
全都是偶点的连 通图可以一笔画
有两个奇点的连 通图可以一笔画
• 最短的一组添弧称为最优解。
第17页/共20页
案例：西北大学的洒水车要给主要 路面洒水，该如何确定行车路线？

趣味数学七桥问题ppt课件

趣味数学七桥问题ppt课件

18世纪，在（现俄罗斯）哥尼斯堡 城风景秀美的普莱格尔河上有7座 别致的拱桥，将河中的两个岛和河 岸连结（如左图）。 城中的居民经常沿河过桥散步。城 中有位青年很聪明，爱思考，有一 天，这位青年给大家提出了这样一 个问题：能否一次走遍7座桥，而 每座桥只许通过一次，最后仍回到 起始地点。 这就是数学史上著名的七桥问题。
小热身 七桥问题
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能一笔画的图形必须是连通图。从图的一点出发，笔不离纸，经过每条边恰好一次， 不能重复。 但是，并不是所有的连通图都可以一笔画出。它是由图的奇、偶点的数目来决定的。 ① 有奇数条边相连的点叫奇点。如：
② 有偶数条边相连的点叫偶点。如：
小热身 七桥问题 一笔画
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欧拉定理：
①凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。画时可以任一偶点 为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。 ②只有两个奇点的连通图，一定可以一笔画完。画时必须以一个奇点 为起点，另一个奇点为终点。 ③其他情况的图，都不能一笔画出。
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拓扑学-神奇的莫比乌斯带
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拓扑学-神奇的莫比乌斯带
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拓扑学-神奇的莫比乌斯带
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拓扑学-神奇的莫比乌斯带
• 一、1979年，美国著名的“百路驰”轮胎公司创 造性地把传送带制成莫比乌斯带形状，这样一来， 整条传送带环面各处均匀地承受磨损，避免了原 来单面传送带单面受损的情况，使得其寿命延长 了整整一倍。
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
透过现象看本质
• 在把36道简单数学题（加减乘除）做 完后并加以分类的一组学生，比单独 做完这些题目的学生最终在类似数学 题的测验中成绩要好。
及时复习，善于归纳和总结。
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校本教材配套课件—有趣的七桥问题(托起美的数学)

校本教材配套课件—有趣的七桥问题(托起美的数学)

A
B
D
C
A
B
D怎Leabharlann 散步才能一次 不重复的走过每座 桥，并且最后回到 出发点呢？
哥尼斯堡七桥问题
• 故事发生在18 世纪欧洲东普鲁士（现为俄罗斯的加里宁格
勒）有个名叫哥尼斯堡的城市近郊。这里的普雷盖尔河穿城 而过，河中有两个岛，两岸与两岛之间架有七座桥（如图） • • • • 当时城中居民热烈地讨论着这样 一个问题：一个散步者怎样走才 能不重复地走遍所有的七座桥而 回到原出发点？
这个问题初看起来似乎不太难，所以很多人都想试一 试，寻找这种走法，但谁出找不出问题的答案，均以失败
告终。
当时大数学家殴拉从众多人的失败中想到，这样的走
法可能就根本不存在，随后他用数学的方法证实了自己的
猜想是正确的，并于1736 年发表了图论（组合数学的一个
分支）的第一篇论文“哥尼斯堡的七座桥”。
C

哥尼斯堡七桥问题与一笔画通用课件

哥尼斯堡七桥问题与一笔画通用课件

问题的意义
01
哥尼斯堡七桥问题推动了图论的 发展，成为图论和几何图形研究 的重要基础。
02
问题揭示了图论中节点和边的概 念，以及它们之间的关系和限制 条件，为后续的图论研究提供了 重要的启示。
02
一笔画问题概述
一笔画的基本概念
一笔画
一笔画是指从一个给定的点开始 ，沿着某些路径（通常是线段） 前进，最后回到起始点，路径在 任何地方都不交叉或重复。
际应用价值。
THANKS。
05
哥尼斯堡七桥问题的解决方案
欧拉解决哥尼斯堡七桥问题的方法
欧拉通过数学分析，证明了哥尼斯堡七桥问题没有一笔画的 可能性，即不存在一条路径能够遍历七座桥而不重复经过任 何一座桥。
欧拉的方法基于图论的基本原理，通过分析图中的奇点（起 点和终点）和偶点（中间的交点），证明了七桥问题没有一 笔画的可能性。
地图染色
地图染色问题是一笔画问题的一个变种，它要求将地图上 的国家或地区按照一定的规则进行染色，使得相邻的国家 或地区颜色不同。
物流配送
在物流配送中，一笔画问题可以用于解决最优配送路线问 题，即如何规划一条或多条路线，使得所有客户都被访问 且只被访问一次，同时总距离最短。
一笔画问题的未来发展
算法优化
现代技术的应用
随着计算机技术的发展，现代数学软件和算法可以模拟和验证图论中的问题，为 解决复杂问题提供了更高效的方法。
现代技术可以用于分析和处理大规模的图数据，例如社交网络、交通网络等，这 些网络结构与哥尼斯堡七桥问题类似，可以通过计算机模拟和算法找到最优解或 近似解。
对其他类似问题的启示
哥尼斯堡七桥问题的解决为图论和其他相关领域的研究提 供了基础和启示，推动了数学和科学的发展。

《哥尼斯堡七桥问题》微课课件

《哥尼斯堡七桥问题》微课课件

哥城景致迷人，碧波荡漾的普累格河，横贯其境。在
河的中心有一座美丽的小岛。普河的两条支流，环绕其旁 汇成大河，把全城分为下图所示的四个区域：岛区(A)， 东区(B)，南区(C)和北区(D)。
早在十八世纪以前，当地的居民便热衷于
以下有趣的问题：能不能设计一次散步，使得七
座桥中的每一座都走过一次，而且只走过一次?
哥尼斯堡七桥问题
《数学文化》课程组
一笔画游戏
田 串
哥尼斯堡七桥
现今的加里宁格勒，旧称哥尼斯堡，是一座历史名城。 在十八、十九世纪，那里是东普鲁士的首府，曾经诞生和培 育过许多伟大的人物。著名的哲学家，古典唯心主义的创始 人康德，终生没有离开过哥尼斯堡一步!二十世纪最伟大的 数学家之一，德国的希尔伯特也出生于此地。
关键词：惊人的记忆力 杰出的智慧 顽强的 毅力 孜孜不倦的奋斗精神 高尚的科学道德
公元1736年，29岁的欧拉向圣彼得堡科学院递 交了一份题为《哥尼斯堡的七座桥》的论文。论文 的开头是这样写的：
“讨论长短大小的几何学分支，一直被人们热 心地研究着。但是还有一个至今几乎完全没有探索 过的分支。莱布尼兹最先提起过它，称之：“位置 的几何学”。这个几何学分支讨论只与位置有关的 关系，研究位置的性质；它不去考虑长短大小，也 不牵涉到量的计算。但是至今未有过令人满意的定 义，来刻划这门位置几何学的课题和方法……”
欧拉在数学、物理、天文、建筑以至音乐、哲 学方面都取得了辉煌的成就。在数学的各个领 域，常常见到以欧来命名的公式、定理、和重 要常数。课本上常见的如π、i、e、sin、cos、 tg、△x、Σ、f(x)等，都是他创立并推广的。 欧拉还首先完成了月球绕地球运动的精确理论， 创立了分析力学、刚体力学等力学学科，深化 了望远镜、显微镜的设计计算理论。

哥尼斯堡七桥问题(高级课件)

哥尼斯堡七桥问题(高级课件)
一般地，我们有： 含有2n(n>0)个奇点的图形，需要n
笔划画成。
学习培训
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姜伯驹《一笔画和邮递员路线问题》
学习培训
19
橡皮膜上的几何学
在《哥尼斯堡七桥》问题中，读者已经看到
了一种只研究图形各部分位置的相对次序，而不 考虑它们尺寸大小的新几何学。莱布尼兹 (Leibniz，1646～1716)和欧拉为这种“位置几 何学”的发展奠定了基础。如今这一新的几何学， 已经发展成一门重要的数学分支
纸片上有一个两分硬币大小的孔，问伍分硬币能通过这 个圆孔吗？当然，纸片是不允许撕破的。
只要硬币的直径不超过 圆孔直径的一倍半，上 面的要求是可以做到的。
学习培训
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巧解剪刀
用一根细绳像右图那样拴 结在剪刀上。剪刀的手柄是闭 合的，绳子的另一头连着一个 健身圈，其含意是不允许绳头 从剪刀的手柄中穿回去。请问。 在不允许把绳子剪断的前提下， 你能把绳子从剪刀上脱下来吗？
当图形中有两个顶点时，以其中一个为起始点， 另一个为终止点，就能一笔画；当图形中没有奇点时， 从任何一个起始点都可以完成一笔画。
学习培训
13
学习培训
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学习培训
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学习培训
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想不到轰动一时的哥尼斯堡七桥问题， 竟然与孩子们的游戏，想用一笔画画出“串 "字和“田”字这类问题一样，而后者并不 比前者更为简单!
自然无从查考。
学习培训
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学习培训
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哈里发的失算，却是可以用拓扑学的知识加以 证明的。其所需之概念，只有“内部”与“外部” 两个。事实上，我们很容易用线把①一①、②一② 连起来。明眼的读者可能已经发现：我们得到了一 条简单的闭曲线，这条曲线把整个平面分为内部(阴 影部分)和外部两个区域。其中一个③在内部区域， 而另一个③却在外部区域，要想从闭曲线内部的③， 画一条弧线与外部的③相连，而与已画的闭曲线不
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学习培训
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欧拉在数学、物理、天文、建筑以至音乐、哲 学方面都取得了辉煌的成就。在数学的各个领 域，常常见到以欧来命名的公式、定理、和重 要常数。课本上常见的如π、i、e、sin、cos、 tg、△x、Σ、f(x)等，都是他创立并推广的。 欧拉还首先完成了月球绕地球运动的精确理论， 创立了分析力学、刚体力学等力学学科，深化 了望远镜、显微镜的设计计算理论。
居民便热衷于
以下有趣的问题：能不能设计一次散步，使得七
座桥中的每一座都走过一次，而且只走过一次?
这便是著名的哥尼斯堡七桥问题。
学习培训
5

这个问题后来变得有点惊心动魄：说是有
一队工兵，因战略上的需要，奉命要炸掉这七座
桥。命令要求当载着炸药的卡车驶过某座桥时，
就得炸毁这座桥，不许遗漏一座！
理论上需要解决的问题是：找到“一个图形可以 一笔画”的充要条件。
欧拉注意到每个点都是若干条线的端点，他把图
形上的点分为两类：奇点和偶点。要想不重复地一笔 画出某个图形，除去起始点和终止点外，其余点，如 果画进去一条线，就一定要画出一条线，从而必须是 偶点。
学习培训
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一笔画原理：
一个图如果可以一笔画成，那么这个图中 奇数顶点的个数不是0就是2。反之亦然。
当图形中有两个顶点时，以其中一个为起始点， 另一个为终止点，就能一笔画；当图形中没有奇点时， 从任何一个起始点都可以完成一笔画。
学习培训
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学习培训
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学习培训
16
想不到轰动一时的哥尼斯堡七桥问题， 竟然与孩子们的游戏，想用一笔画画出“串 "字和“田”字这类问题一样，而后者并不 比前者更为简单!
事实上，中国民间很早就流传着这种一 笔画的游戏，只是很可惜，长期以来，人们 只把它作为一类有趣的游戏，没有对它引起 重视，也没有数学家对它进行经验总结和研 究，这不能不说是一种遗憾。
学习培训
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需要顺便提到的是：既然可由一笔 画画成的图形，其奇点个数应不多于两 个，那么，两笔画或多笔画能够画成的 图形，其奇点个数应有怎样的限制呢？
学习培训
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欧拉解决这个问题的方法非常巧妙.他认为： 人们关心的只是一次不重复地走遍这七座桥，而 并不关心桥的长短和岛的大小，因此，岛和岸都 可以看作一个点，而桥则可以看成是连接这些点 的一条线.
学习培训
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这样，哥尼斯堡七桥问题就被抽象成为“一笔画问
题”：笔尖不离开纸面，一笔画出给定图形，不允许 重复任何一条线。
一般地，我们有： 含有2n(n>0)个奇点的图形，需要n
笔划画成。
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18
姜伯驹《一笔画和邮递员路线问题》
学习培训
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橡皮膜上的几何学
在《哥尼斯堡七桥》问题中，读者已经看到
了一种只研究图形各部分位置的相对次序，而不 考虑它们尺寸大小的新几何学。莱布尼兹 (Leibniz，1646～1716)和欧拉为这种“位置几 何学”的发展奠定了基础。如今这一新的几何学， 已经发展成一门重要的数学分支
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哥城景致迷人，碧波荡漾的普累格河，横贯其境。在
河的中心有一座美丽的小岛。普河的两条支流，环绕其旁 汇成大河，把全城分为下图所示的四个区域：岛区(A)， 东区(B)，南区(C)和北区(D)。
学习培训
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著名的哥尼斯堡大学，傍倚于两条支流的河旁，
使这一秀色怡人的区域，又增添了几分庄重的韵 味!有七座桥横跨普累格河及其支流，其中五座把 河岸和河心岛连接起来。这一别致的桥群，古往 今来，吸引了众多的游人来此散步。
——拓扑学
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拓扑学研究的课题是极为有趣的。 在拓扑学中人们感兴趣的只是图形的位置而不是 它的大小。有人把拓扑学说成是橡皮膜上的几何学是 很恰当的。因为橡皮膜上的图形，随着橡皮膜的拉动， 其长度、曲直、面积等等都将发生变化。此时谈论 “有多长？”、“有多大？”之类的问题，是毫无意 义的!
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哥尼斯堡七桥问题
《数学文化》课程组
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现今俄罗斯的加里宁格勒，旧称哥尼斯堡，是一座历 史名城。在十八、十九世纪，那里是东普鲁士的首府，曾经 诞生和培育过许多伟大的人物。著名的哲学家，古典唯心主 义的创始人康德，终生没有离开过哥尼斯堡一步!二十世纪 最伟大的数学家之一，德国的希尔伯特也出生于此地。
的事！
学习培训
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问题的魔力，竟然吸引了天才的欧拉。这位年轻的瑞士 数学家，以其独具的慧眼，看出了这个似乎是趣味几何问题 的潜在意义。
欧拉（L.Euler,1707.4.151783.9.18）著名的数学家。生于 瑞士的巴塞尔，卒于彼得堡。大 部分时间在俄国和德国度过。他 早年在数学天才贝努里赏识下开 始学习数学, 17岁获得硕士学位， 毕业后研究数学,是数学史上最高 产的作家。在世发表论文700多篇, 去世后还留下100多篇待发表。其 论著几乎涉及所有数学分支。
学习培训
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如果有兴趣，完全可以照样子画一张地图，
亲自尝试尝试。不过，要告诉大家的是,想把所 有的可能线路都试过一遍是极为困难的！因为
各种可能的线路有 =5P0740种。要想一一试 7
过，真是谈何容易。正因为如此，七桥问题的 解答便众说纷纭：有人在屡遭失败之后，倾向 于否定满足条件的解答的存在；另一些人则认 为，巧妙的答案是存在的，只是人们尚未发现 而已，这在人类智慧所未及的领域，是很常见
关键词：惊人的记忆力 杰出的智慧 顽强的 毅力 孜孜不倦的奋斗精神 高尚的科学道德
学习培训
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公元1736年，29岁的欧拉向圣彼得堡科学院递 交了一份题为《哥尼斯堡的七座桥》的论文。论文 的开头是这样写的：
“讨论长短大小的几何学分支，一直被人们热 心地研究着。但是还有一个至今几乎完全没有探索 过的分支。莱布尼兹最先提起过它，称之：“位置 的几何学”。这个几何学分支讨论只与位置有关的 关系，研究位置的性质；它不去考虑长短大小，也 不牵涉到量的计算。但是至今未有过令人满意的定 义，来刻划这门位置几何学的课题和方法……”
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不过，在橡皮膜几何里也有一些图形的性质保持不
变。例如点变化后仍然是点；线变化后依旧为线；相交的 图形绝不因橡皮的拉伸和弯曲而变得不相交!
拓扑学正是研究诸如此类，使图形在橡皮膜上保持不 变性质的几何学。