哥尼斯堡七桥问题讲解

世界数学难题——哥尼斯堡七桥问题18世纪时，欧洲有一个风景秀丽的小城哥尼斯堡(今俄罗斯加里宁格勒)，那里的普莱格尔河上有七座桥。

将河中的两个岛和河岸连结，城中的居民经常沿河过桥散步，于是提出了一个问题：一个人怎样才能一次走遍七座桥，每座桥只走过一次，最后回到出发点？大家都试图找出问题的答案，但是谁也解决不了这个问题。

这就是哥尼斯堡七桥问题，一个著名的图论问题。

1727年在欧拉20岁的时候，被俄国请去在圣彼得堡（原列宁格勒）的科学院做研究。

他的德国朋友告诉了他这个曾经令许多人困惑的问题。

欧拉并没有跑到哥尼斯堡去走走。

他把这个难题化成了这样的问题来看：把二岸和小岛缩成一点，桥化为边，于是“七桥问题”就等价于下图中所画图形的一笔画问题了，这个图如果能够一笔画成的话，对应的“七桥问题”也就解决了。

经过研究，欧拉发现了一笔画的规律。

他认为，能一笔画的图形必须是连通图。

连通图就是指一个图形各部分总是有边相连的，这道题中的图就是连通图。

但是，不是所有的连通图都可以一笔画的。

能否一笔画是由图的奇、偶点的数目来决定的。

那么什么叫奇、偶点呢？与奇数（单数）条边相连的点叫做奇点；与偶数（双数）条边相连的点叫做偶点。

如下图中的①、④为奇点，②、③为偶点。

1．凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。

画时可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。

例如下图都是偶点，画的线路可以是：①→③→⑤→⑦→②→④→⑥→⑦→①2．凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成。

画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点终点。

例如下图的线路是：①→②→③→①→④3．其他情况的图都不能一笔画出。

格尼斯堡七桥问题解法一、问题背景格尼斯堡七桥问题，是欧拉在1735年提出的一个著名的数学难题。

该问题描述为：有一座连通的城市，其中包含七座桥，如何从任意一个地方出发，经过每座桥恰好一次，最终回到原地。

二、传统解法1.暴力搜索最简单直观的方法是暴力搜索。

遍历所有可能情况，判断是否符合条件。

但是由于状态空间巨大（7个节点有51840种排列方式），这种方法不可行。

2.欧拉回路算法欧拉回路算法是解决格尼斯堡七桥问题最常用的方法之一。

它基于欧拉定理：如果一个图中所有顶点度数均为偶数，则该图存在欧拉回路。

通过构建图模型，并计算每个节点的度数，可以判断是否存在欧拉回路。

如果存在，则可以通过遍历欧拉回路来解决问题。

但是，在实际应用中，并不是所有图都存在欧拉回路。

因此，这种方法并不能完全解决格尼斯堡七桥问题。

三、新解法1.图论与拓扑学结合将图论和拓扑学结合使用，可以更好地解决格尼斯堡七桥问题。

首先，将城市中的桥和岛屿抽象成节点，将桥连接岛屿的关系抽象成边。

然后，通过计算每个节点的度数，可以判断是否存在欧拉通路。

如果存在欧拉通路，则可以通过遍历欧拉通路来解决问题。

但是，在实际应用中，并不是所有图都存在欧拉通路。

因此，这种方法并不能完全解决格尼斯堡七桥问题。

2.基于网络流的解法基于网络流的解法是一种更高效、更准确的方法。

它基于最大流最小割定理：如果一个网络中所有源点到汇点的路径都满流，则该网络存在一组最大流，并且这组最大流等于所有源点到汇点路径上边权之和。

通过构建网络模型，并计算每个节点之间的容量和费用，可以求出从任意一个节点出发经过每座桥恰好一次回到原地所需的最小费用和路径。

具体步骤如下：（1）将城市中的桥和岛屿抽象成节点，将桥连接岛屿的关系抽象成边。

（2）对于每个节点i，设其入度为diin，出度为diout，则其容量为min(diin,diout)。

容量表示从该节点出发经过该边的最大流量。

（3）对于每条边(i,j)，其费用为1。

1736年29《哥尼斯堡的七座桥》的论文，创了数学的一个新的分支—一、哥尼斯堡七桥问题哥尼斯堡在俄罗斯境内，现称为加里宁格勒.生和培养过许多伟大人物.格尔河，横贯城中，如图1所示.流，一条称为新河，一条主流，的商业中心.区、北区、东区和南区.桥，两支流上.这一别致的桥群，图1早在18世纪，散步中走过每座桥，发点？”走遍这七座桥共有A77=7!=验，谈何容易.那么在这5040而形成了著名的图2欧拉请他帮助解决这个他似乎看到其中.经过一年的研究，29岁的并于1736年向彼得堡科哥尼斯堡的七座桥》的论文.C（岛区）、A（南区）；七座桥看成这四个点、6、7七个数字表示，如图3所示.“一笔画”问题：否能一笔不.布勒格尔河模型蔡思明58遍历的路径称作欧拉路径（一个环或者一条链），如果路径闭合（一个圈），则称为欧拉回路.图论中的欧拉定理（一笔画定理）要分有向图（边有特定方向的图）与无向图（边没有特定方向的图）两种情况进行讨论.1.无向图的情况定理：连通无向图G有欧拉路径的充要条件为：G中奇度顶点（即与其相连的边数目为奇数的顶点）有0个或者2个.证明：必要性.如果图能够被一笔画成，那么对每个顶点，考虑路径中“进入”它的边数与“离开”它的边数（注意前提是无向图，所以我们不能称其为“入边”和“出边”）.很显然这两个值要么相同（说明该顶点度数为偶），要么相差1（说明该顶点度数为奇）.也就是说，如果欧拉路径不是回路，奇度顶点就有2个，即路径的起点和终点；如果是欧拉回路，起点与终点重合，则不存在奇度顶点.必要性得证.证明：充分性.如果图中没有奇度顶点，那么在G中随机取一个顶点v0出发，尝试构造一条回路c0.如果c0就是原路，则结束；如果不是，那么由于图是连通的，c0和图的剩余部分必然存在某公共顶点v1，从v2出发重复尝试构造回路，最终可将整张图分割为多个回路.由于两条相连的回路可以视为一条回路，所以该图必存在欧拉回路.如果图中有2个奇度顶点u和v，那么若是加一条边将u和v连接起来的话，就得到一个没有奇度顶点的连通图，由上文可知该图必存在欧拉回路，去掉这条新加的边，就是一条以u和v为起终点的欧拉路径.充分性得证.可知，哥尼斯堡七桥问题中的图有4个奇度顶点（1个度数为5，3个度数为3），所以不存在欧拉路径.2.有向图的情况定理：底图连通的有向图G有欧拉路径的充要条件为：G的所有顶点入度和出度都相等；或者只有两个顶点的入度和出度不相等，且其中一个顶点的出度与入度之差为1，另一个顶点的入度与出度之差为1.显然，可以通过与无向图情况相似的思路来证明，过程略.当时的数学界起初并未对欧拉解决七桥问题的意义有足够的认识，甚至有些人仅仅当其为一个数学游戏.图论这一数学分支诞生后并未得到很好的发展，直到200年后的1936年，匈牙利数学家科尼希出版了《有限图与无限图理论》，此为图论的第一部专著，其总结了进200年来有关图论的成果，这是图论发展的第一座里程碑.此后，图论进入发展与突破的阶段，又经过了半个多世纪的发展，现已成为数学科学的一个独立的重要分支.图论原是组合数学中的一个重要课题.我们用点表示事物，用连接点的边表示事物间的联系，便可得到图论中的图.图论为研究任何一类离散事物的关系结构提供了一种框架.图论中的理论已应用于经济学、心理学、社会学、遗传学、运筹学、逻辑学、语言学计算机科学等诸多领域.由于现代科学尤其是大型计算机的迅猛发展，使得图论大有用武之地，无论是数学、物理、化学、地理、生物等基础科学，还是信息、交通、战争、经济乃至社会科学的众多问题，都可以运用图论方法予以解决.当然，图论也是计算机科学的基础学科之一.值得一提的是，欧拉对七桥问题的研究，后演变成多面体理论，得到了著名的欧拉公式V+F=E+2，欧拉公式是拓扑学的第一个定理.哥尼斯堡的七座桥如今只剩下三座，一条新的跨河大桥已经建成，它完全跨过河心岛——内福夫岛，导游们仍向游客讲述哥尼斯堡桥的故事，有的导游甚至仍称“七桥问题”没有被解决，留给游客以遐想.虽然七座哥尼斯堡桥成了历史，但是“七桥问题”留下的“遗产”不像这些桥那样容易破坏，欧拉卓越的解答方式被永载史册.60。

哥尼斯堡七桥问题[欧拉图]⼀、历史背景1736年，年仅29岁的数学家欧拉来到普鲁⼠的古城哥尼斯堡（哲学家康德的故乡，今俄罗斯加⾥宁格勒）。

普瑞格尔河正好从市中⼼流过，河中⼼有两座⼩岛，岛和两岸之间建筑有七座古桥。

欧拉发现当地居民有⼀项消遣活动，就是试图每座桥恰好⾛过⼀遍并回到原出发点，但从来没⼈成功过。

欧拉证明了这种⾛法是不可能的。

现在看来，欧拉的证明过程⾮常简单，但他对七桥问题的抽象和论证思想，开创了⼀个新的学科：图论(Graph)。

如今，⽆论是数学、物理、化学、天⽂、地理、⽣物等基础科学，还是信息、交通、经济乃⾄社会科学的众多问题，都可以应⽤图论⽅法予以解决。

图论还是计算机科学的数据结构和算法中最重要的框架（没有之⼀）。

⾸先能想到的证明⽅法是把⾛七座桥的⾛法都列出来，⼀个⼀个的试验，但七座桥的所有⾛法共⽤7\！=5040种，逐⼀试验将是很⼤的⼯作量。

欧拉作为数学家，当然没那样想。

欧拉把两座岛和河两岸抽象成顶点，每⼀座桥抽象成连接顶点的⼀条边，那么哥尼斯堡的七座桥就抽象成下⾯的图：Processing math: 100%假设每座桥都恰好⾛过⼀次，那么对于A、B、C、D四个顶点中的每⼀个顶点，需要从某条边进⼊，同时从另⼀条边离开。

进⼊和离开顶点的次数是相同的，即每个顶点有多少条进⼊的边，就有多少条出去的边，也就是说，每个顶点相连的边是成对出现的，即每个顶点的相连边的数量必须是偶数。

⽽上图中A、C、D四个顶点的相连边都是3，顶点B的相连边为5，都为奇数。

因此，这个图⽆法从⼀个顶点出发，遍历每条边各⼀次。

欧拉的证明与其说是数学证明，还不如看作是⼀个逻辑证明。

⼀个曾难住那么多⼈的问题，竟然是这样⼀个简单的出⼈意料的推理，还开创了⼀个新的学科。

欧拉⾮常巧妙的把⼀个实际问题抽象成⼀个合适的数学模型，这种研究⽅法就是我们应该掌握的数学模型⽅法。

这并不需要运⽤多么深奥的理论，但能想到这⼀点，却是解决问题的关键。

第二节哥尼斯堡七桥问题教学目标1.了解哥尼斯堡七桥问题的由来2.理解欧拉解决哥尼斯堡七桥问题的方法3.掌握一笔画问题的步骤教学重点掌握一笔画问题的技巧教学过程一、导入哥尼斯堡七桥问题的由来哥尼斯堡曾是东普鲁士的首府，现称加里宁格勒，在俄罗斯境内。

在第二次是世界大战时，的军警哲理入侵波兰。

后来，苏军也是从此地打进德国的。

所以哥尼斯堡是一座历史名城。

同时，在这里诞生和培养过许多伟大人物。

如著名唯心主义哲学家康德，终生没有离开此城。

在哥尼斯堡城中有一条布勒格尔河，横贯城中。

河有两条支流，一条称新河，一条叫旧河，在城中心汇合成一条主流，在合流的地方中间有一座河心岛，这是城中繁华的商业中心。

由于布勒格尔河的流过，使全城分成为四个地区：岛区、北区、东区和南区。

在布勒格尔河上，架了七座桥，其中五座将河岛与河岸连接起来，另有两座架在二支流上。

这一别致的桥群，吸引了众多的哥尼斯堡居民和游人来此河边散步或去岛上买东西。

早在18世纪，就有人提出这样的问题：“能否在一次散步中每座桥都走一次，而且只能走一次，最后又回到原来的出发点？”这个问题吸引了不少人去思考实验。

事实上，要走遍这七座桥的所有走法共有7！=5040种，要想一一验过，谈何容易。

是否在这5040中走法中存在着一条走遍七座桥而又不重复的路线呢？谁也回答不了。

因而形成了著名的“哥尼斯堡七桥问题”。

二、新授哥尼斯堡七桥问题的解决1735年，有几名大学生写信给当时正在俄国彼得堡科学院任职的天才数学家欧拉，请他帮忙解决。

欧拉并未轻视生活小题，他似乎看到其中隐藏着某种新的数学方法。

经过一年的研究，29岁的欧拉于1736年向彼得堡科学院递交了一份题为《哥尼斯堡的七座桥》的论文，圆满地解决了这一问题，同时开创了数学的一个新分支——图论。

问题的抽象——数学化欧拉是如何将这生活的趣味问题转化为数学问题的呢？又是如何证明要想一次走过这七座桥是不可能的呢？欧拉的方法十分巧妙：他用点A、B、C、D表示哥尼斯堡城的四个地区B（岛区）、C（北区）、A（东区）、D（南区）；七座桥看成这四个点的连线，用f，d，a，c，b，e，g七个数字表示,如图3-1。

2 哥尼斯堡七桥问题十八世纪东普鲁士哥尼斯堡城（今俄罗斯加里宁格勒）的普莱格尔河，它有两个支流，在城市中心汇成大河，中间是岛区，河上有7座桥，将河中的两个岛和河岸连结，如图1所示。

由于岛上有古老的哥尼斯堡大学，有教堂，还有哲学家康德的墓地和塑像，因此城中的居民，尤其是大学生们经常沿河过桥散步。

渐渐地，爱动脑筋的人们提出了一个问题：一个散步者能否一次走遍7座桥，而且每座桥只许通过一次，最后仍回到起始地点。

这就是七桥问题，一个著名的图论问题。

图1这个问题看起来似乎很简单，然而许多人作过尝试始终没有能找到答案。

因此，一群大学生就写信给当时年仅20岁的大数学家欧拉。

欧拉从千百人次的失败，以深邃的洞察力猜想，也许根本不可能不重复地一次走遍这七座桥，并很快证明了这样的猜想是正确的。

欧拉是这样解决问题的：既然陆地是桥梁的连接地点，不妨把图中被河隔开的陆地看成4个点，7座桥表示成7条连接这4个点的线，如图2所示。

图2 图3于是“七桥问题”就等价于图3中所画图形的一笔画问题了。

欧拉注意到，如果一个图能一笔画成，那么一定有一个起点开始画，也有一个终点。

图上其它的点是“过路点”——画的时候要经过它。

现在看“过路点”具有什么性质。

它应该是“有进有出”的点，有一条边进这点，那么就要有一条边出这点，不可能是有进无出，如果有进无出，它就是终点，也不可能有出无进，如果有出无进，它就是起点。

因此，在“过路点”进出的边总数应该是偶数，即“过路点”是偶点。

如果起点和终点是同一点，那么它也是属于“有进有出”的点，因此必须是偶点，这样图上全体点都是偶点。

如果起点和终点不是同一点，那么它们必须是奇点，因此这个图最多只能有二个奇点。

现在对照七桥问题的图，所有的顶点都是奇点，共有四个，所以这个图肯定不能一笔画成。

欧拉对“七桥问题”的研究是图论研究的开始，同时也为拓扑学的研究提供了一个初等的例子。

事实上，中国民间很早就流传着这种一笔画的游戏，从长期实践的经验，人们知道如果图的点全部是偶点，可以任意选择一个点做起点，一笔画成。