2哥尼斯堡七桥问题

哥尼斯堡七桥问题简介在遥远的过去，有个地方叫哥尼斯堡，别看它名字拗口，实际上是个热闹的小镇，嘿，你知道吗？这地方有七座桥，听起来没啥了不起，但故事可精彩了。

想象一下，小镇上那些忙忙碌碌的居民，跨过桥，走过河，日子过得挺滋润。

然而，他们心里总有一个疑问，那就是：有没有办法一次性走遍所有的桥，且不重复走同一座？真是个令人抓狂的谜题！小镇上有个聪明的家伙，名字叫欧拉，他可不是一般人，脑袋瓜子灵活得很。

他就像个侦探，准备深入探讨这个问题。

你说，他是不是特别酷？于是，欧拉开始了他的调查，拿起纸笔，开始在地图上画出这些桥。

他认真得像个孩子在画涂鸦，哈哈。

每当他连接起一座桥，就像在编织一张无形的网。

他发现，哥尼斯堡的桥不只是一座座，它们背后隐藏着复杂的关系。

这就像我们生活中的人际网络，交错着，交织着。

有些桥连接了几个地方，有些则在偏僻的角落，几乎没人去。

这时候，欧拉意识到，桥的数量和走的路线之间的关系，真是错综复杂，就像家庭聚会时，大家都是那么亲近，却又总有那么一点小摩擦，哈哈！欧拉发现了一个神奇的规律，只有在某些情况下，人们才能顺利走完所有的桥而不重复。

简单来说，桥的连接方式就像一个拼图，得拼对了，才能完成这个挑战。

如果有超过两个地方是“单身”状态，意思就是有奇数条桥连着，那你就没办法实现这个目标了。

哇，这真是个有趣的发现，像是在揭开生活中的秘密，神秘又让人兴奋！人们常说“万事开头难”，可这个桥的问题更像是一场脑力游戏，越想越觉得有趣。

可想而知，欧拉的想法引起了小镇的轰动，大家都围着他，期待他的答案。

像是在看一场大型秀，所有人都坐得笔直，屏住呼吸。

欧拉当然不是一个只会摆弄数字的学者，他热爱生活，热爱与人分享知识。

于是，他用简单明了的语言，给大家解释这个复杂的问题。

很多人都瞪大了眼睛，仿佛刚刚发现新大陆，心里那种兴奋劲儿，简直像是在期待一场盛大的节日。

最终，欧拉告诉大家，哥尼斯堡的七桥问题其实是一个数学问题，后来还发展成了图论的基础，这可真是个大新闻！小镇上的人们似乎都明白了些什么，虽然数学对于他们来说，有时候像是一道难以逾越的高墙，但这一次，他们看到了希望。

哥尼斯堡七桥问题问题提出18世纪初普鲁士的哥尼斯堡，有一条河穿过，河上有两个小岛，有七座桥把两个岛与河岸联系起来。

有个人提出一个问题:一个步行者怎样才能不重复、不遗漏地一次走完七座桥，最后回到出发点。

这就是历史上有名的哥尼斯堡七桥问题。

问题进展1735年，有几名大学生写信给当时正在俄罗斯的彼得斯堡科学院任职的天才数学家欧拉，请他帮忙解决这一问题。

欧拉在亲自观察了哥尼斯堡七桥后，认真思考走法，但始终没能成功，于是他怀疑七桥问题是不是原本就无解呢?1736年，在经过一年的研究之后，29岁的欧拉提交了《哥尼斯堡七桥》的论文，圆满解决了这一问题，同时开创了数学新一分支---图论。

欧拉将七桥问题抽象出来，把每一块陆地考虑成一个点，连接两块陆地的桥用线表示。

并由此得到了如图一样的几何图形。

若我们分别用A、B、C、D四个点表示为哥尼斯堡的四个区域。

这样著名的“七桥问题”便转化为是否能够用一笔不重复的画出过此七条线的问题了。

DB知识准备连通图：任意两个点都有路径可以连通 奇点：通过此点的线有奇数条 偶点：通过此点的线有偶数条探究一个图形可一笔画的条件及一笔画图形画图方法 1、文字刘 口 中 日 田 目 （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） 2、图形（ ） （ ） （ ） （ ）一个图形可以一笔画，必须满足如下两个条件： 1. 图形必须是连通的。

2. 图中的“奇点”个数是0或2。

画图方法：全偶点：任一个偶点为起点，最后一定能以这个点为终点两奇点：一个奇点为起点，另一个奇点为终点哥尼斯堡七桥问题结论可以由此来判断“哥尼斯堡七桥问题”，4个点全是奇点，可知图不能“一笔画出”，也就是不存在不重复地通过七桥。

优秀小达人1、这是一个奥运五环标志，你能一笔画成？2、下图不能一笔画成，请你想办法使它变成一笔画。

1736年29《哥尼斯堡的七座桥》的论文，创了数学的一个新的分支—一、哥尼斯堡七桥问题哥尼斯堡在俄罗斯境内，现称为加里宁格勒.生和培养过许多伟大人物.格尔河，横贯城中，如图1所示.流，一条称为新河，一条主流，的商业中心.区、北区、东区和南区.桥，两支流上.这一别致的桥群，图1早在18世纪，散步中走过每座桥，发点？”走遍这七座桥共有A77=7!=验，谈何容易.那么在这5040而形成了著名的图2欧拉请他帮助解决这个他似乎看到其中.经过一年的研究，29岁的并于1736年向彼得堡科哥尼斯堡的七座桥》的论文.C（岛区）、A（南区）；七座桥看成这四个点、6、7七个数字表示，如图3所示.“一笔画”问题：否能一笔不.布勒格尔河模型蔡思明58遍历的路径称作欧拉路径（一个环或者一条链），如果路径闭合（一个圈），则称为欧拉回路.图论中的欧拉定理（一笔画定理）要分有向图（边有特定方向的图）与无向图（边没有特定方向的图）两种情况进行讨论.1.无向图的情况定理：连通无向图G有欧拉路径的充要条件为：G中奇度顶点（即与其相连的边数目为奇数的顶点）有0个或者2个.证明：必要性.如果图能够被一笔画成，那么对每个顶点，考虑路径中“进入”它的边数与“离开”它的边数（注意前提是无向图，所以我们不能称其为“入边”和“出边”）.很显然这两个值要么相同（说明该顶点度数为偶），要么相差1（说明该顶点度数为奇）.也就是说，如果欧拉路径不是回路，奇度顶点就有2个，即路径的起点和终点；如果是欧拉回路，起点与终点重合，则不存在奇度顶点.必要性得证.证明：充分性.如果图中没有奇度顶点，那么在G中随机取一个顶点v0出发，尝试构造一条回路c0.如果c0就是原路，则结束；如果不是，那么由于图是连通的，c0和图的剩余部分必然存在某公共顶点v1，从v2出发重复尝试构造回路，最终可将整张图分割为多个回路.由于两条相连的回路可以视为一条回路，所以该图必存在欧拉回路.如果图中有2个奇度顶点u和v，那么若是加一条边将u和v连接起来的话，就得到一个没有奇度顶点的连通图，由上文可知该图必存在欧拉回路，去掉这条新加的边，就是一条以u和v为起终点的欧拉路径.充分性得证.可知，哥尼斯堡七桥问题中的图有4个奇度顶点（1个度数为5，3个度数为3），所以不存在欧拉路径.2.有向图的情况定理：底图连通的有向图G有欧拉路径的充要条件为：G的所有顶点入度和出度都相等；或者只有两个顶点的入度和出度不相等，且其中一个顶点的出度与入度之差为1，另一个顶点的入度与出度之差为1.显然，可以通过与无向图情况相似的思路来证明，过程略.当时的数学界起初并未对欧拉解决七桥问题的意义有足够的认识，甚至有些人仅仅当其为一个数学游戏.图论这一数学分支诞生后并未得到很好的发展，直到200年后的1936年，匈牙利数学家科尼希出版了《有限图与无限图理论》，此为图论的第一部专著，其总结了进200年来有关图论的成果，这是图论发展的第一座里程碑.此后，图论进入发展与突破的阶段，又经过了半个多世纪的发展，现已成为数学科学的一个独立的重要分支.图论原是组合数学中的一个重要课题.我们用点表示事物，用连接点的边表示事物间的联系，便可得到图论中的图.图论为研究任何一类离散事物的关系结构提供了一种框架.图论中的理论已应用于经济学、心理学、社会学、遗传学、运筹学、逻辑学、语言学计算机科学等诸多领域.由于现代科学尤其是大型计算机的迅猛发展，使得图论大有用武之地，无论是数学、物理、化学、地理、生物等基础科学，还是信息、交通、战争、经济乃至社会科学的众多问题，都可以运用图论方法予以解决.当然，图论也是计算机科学的基础学科之一.值得一提的是，欧拉对七桥问题的研究，后演变成多面体理论，得到了著名的欧拉公式V+F=E+2，欧拉公式是拓扑学的第一个定理.哥尼斯堡的七座桥如今只剩下三座，一条新的跨河大桥已经建成，它完全跨过河心岛——内福夫岛，导游们仍向游客讲述哥尼斯堡桥的故事，有的导游甚至仍称“七桥问题”没有被解决，留给游客以遐想.虽然七座哥尼斯堡桥成了历史，但是“七桥问题”留下的“遗产”不像这些桥那样容易破坏，欧拉卓越的解答方式被永载史册.60。

哥尼斯堡七桥问题[欧拉图]⼀、历史背景1736年，年仅29岁的数学家欧拉来到普鲁⼠的古城哥尼斯堡（哲学家康德的故乡，今俄罗斯加⾥宁格勒）。

普瑞格尔河正好从市中⼼流过，河中⼼有两座⼩岛，岛和两岸之间建筑有七座古桥。

欧拉发现当地居民有⼀项消遣活动，就是试图每座桥恰好⾛过⼀遍并回到原出发点，但从来没⼈成功过。

欧拉证明了这种⾛法是不可能的。

现在看来，欧拉的证明过程⾮常简单，但他对七桥问题的抽象和论证思想，开创了⼀个新的学科：图论(Graph)。

如今，⽆论是数学、物理、化学、天⽂、地理、⽣物等基础科学，还是信息、交通、经济乃⾄社会科学的众多问题，都可以应⽤图论⽅法予以解决。

图论还是计算机科学的数据结构和算法中最重要的框架（没有之⼀）。

⾸先能想到的证明⽅法是把⾛七座桥的⾛法都列出来，⼀个⼀个的试验，但七座桥的所有⾛法共⽤7\！=5040种，逐⼀试验将是很⼤的⼯作量。

欧拉作为数学家，当然没那样想。

欧拉把两座岛和河两岸抽象成顶点，每⼀座桥抽象成连接顶点的⼀条边，那么哥尼斯堡的七座桥就抽象成下⾯的图：Processing math: 100%假设每座桥都恰好⾛过⼀次，那么对于A、B、C、D四个顶点中的每⼀个顶点，需要从某条边进⼊，同时从另⼀条边离开。

进⼊和离开顶点的次数是相同的，即每个顶点有多少条进⼊的边，就有多少条出去的边，也就是说，每个顶点相连的边是成对出现的，即每个顶点的相连边的数量必须是偶数。

⽽上图中A、C、D四个顶点的相连边都是3，顶点B的相连边为5，都为奇数。

因此，这个图⽆法从⼀个顶点出发，遍历每条边各⼀次。

欧拉的证明与其说是数学证明，还不如看作是⼀个逻辑证明。

⼀个曾难住那么多⼈的问题，竟然是这样⼀个简单的出⼈意料的推理，还开创了⼀个新的学科。

欧拉⾮常巧妙的把⼀个实际问题抽象成⼀个合适的数学模型，这种研究⽅法就是我们应该掌握的数学模型⽅法。

这并不需要运⽤多么深奥的理论，但能想到这⼀点，却是解决问题的关键。

哥尼斯堡七桥问题一、七桥漫步格尼斯堡城是由条顿骑士团在1308年建立，曾作为东普鲁士的首府。

第二次世界大战后，成为前苏联最大的海军基地。

现在的格尼斯堡位于立陶宛和波兰之间。

在第二次世界大战时，法军经这里入侵波兰。

后来苏军也从这里打进德国，所以格尼斯堡是一座名城。

同时这里也诞生过许多伟大人物，其中包括18世纪著名的唯心主义哲学家康德和19世纪的大数学家希尔伯特。

但是，最早给这座城市带来声誉的横跨布列格尔河，把格尼斯堡连成一体的七座桥梁。

这一别致的桥群，引来了众多的游人，同时还引发了数学史上一项重要的研究。

一天又一天，这七座桥上走过了无数的行人，脚下的七桥触发了人们的灵感，一个有趣的问题在民间传开“能否在一次散步中每座桥都走一次，而且只能走一次，最后又回到原来的出发点？”这个问题看似简单，人人都乐意去测试一下自己的智力，可是把全城人的智力加在一起，也没有找到一条合适的路线。

这个问题传开以后，许多欧洲有学问的人也参与思考，同样是一筹莫展。

就这样，格尼斯堡这个“七桥问题”给人们提供了丰富的乐趣和数学兴味，因而使得这座波罗的海的海滨古城闻名遐迩。

二、欧拉与格尼斯堡七桥问题1735年有几名大学生写信给当时正在俄国彼得堡科学院任职的天才数学家欧拉，请他帮助解决。

欧拉并未轻视生活中的小问题，他似乎看到了其中隐藏某种新的数学方法。

事实上，要走遍七座桥的所有走法有7！=5040种，要想一一试验是不可能的，只能另找一种新方法。

欧拉依靠他深厚的数学功底，运用娴熟的变换技巧，经过一年的研究，于1936年，29岁的欧拉向彼得堡科学院提交了一份为《格尼斯堡七桥》的论文，圆满的解决了这一问题。

欧拉不仅解决了七桥问题，而且他提出飞思想导致了一门新的数学分支――“图论”的诞生。

欧拉是如何解决七桥问题的？又是如何证明要想一次走过七座桥是不可能的呢？欧拉的方法十分巧妙：（1）不考虑4个地区的大小、形状，不妨将它们看成是链接桥梁的4个点；（2）不考虑桥梁的曲直、长短，不妨将它们看成连接4个点的7条线。

数据结构课程设计题目：哥尼斯堡的“七桥问题”院系：班级：学号：姓名：2014-2015年度第1学期哥尼斯堡的“七桥问题”一．题目：哥尼斯堡的“七桥问题”二．设计目标帮助学生熟练掌握图和邻接表的使用，了解利用图能够解决生活中的那些实际问题。

三．问题描述在哥尼斯堡的一个公园里，有七座桥将普雷格尔河中两个岛及岛与河岸连接起来(如图)。

问是否可能从这四块陆地中任一块出发，恰好通过每座桥一次，再回到起点?四．概要设计1>构建用邻接表存储的图结构体：2> 图的初始化3> 读入并存储一个图G4>图G的深度优先搜索5>检查边的度是否全为偶数五．详细设计（给出算法的伪码描述和流程图）总体操作步骤：流程图设计：主流程图：1>构建用邻接表存储的图结构体：typedef struct {int Visited[MAXV]; /* 顶点标记*/int Edges[MAXV][MAXV]; /* 邻接表*/int VertexN, EdgeN; /* 顶点和边数*/} Graph;2>图的初始化：3>读入并存储一个图G4>图G的深度优先搜索:5>检查边的度是否全为偶数:6>主函数：代码分析：1>图的初始化：void InitializeG ( Graph *G ){int i, j;for (i=0; i<MAXV; i++){for (j=0; j<MAXV; j++)G->Edges[i][j] = 0;G->Visited[i] = 0;}G->VertexN = G->EdgeN = 0;}2>读入并存储一个图G:void ReadG ( Graph *G ){ /* 读入并存储一个图G */int i, V1, V2;scanf("%d %d", &G->VertexN, &G->EdgeN);for (i=0; i<G->EdgeN; i++){scanf("%d %d", &V1, &V2);G->Edges[V1-1][V2-1] = G->Edges[V2-1][V1-1] = 1;}}3>图G的深度优先搜索:void DFS ( Graph *G, int V ){ /* 图G的深度优先搜索*/int W;G->Visited[V] = 1; /* 将访问到的结点进行标记*/for (W=0; W<G->VertexN; W++)if (G->Edges[V][W] && !G->Visited[W])DFS(G, W);}4>检查边的度是否全为偶数:int CheckG ( Graph *G ){ /* 检查边的度是否全为偶数*/int r, i, j;for (i=0; i<G->VertexN; i++){r = 0;for (j=0; j<G->VertexN; j++)r += G->Edges[i][j];if (r%2) return 0; /* 发现奇数度的边则返回0 */}return 1; /* 全是偶数度的边则返回1 */}5>主函数：int main(){int i;Graph *G = malloc( sizeof(Graph) );InitializeG( G );ReadG( G );DFS( G, 0 ); /* 检查连通性*/for (i=0; i<G->VertexN; i++)if (!G->Visited[i])break;if (i<G->VertexN) /* 若有结点没被DFS访问到*/printf("0\n"); /* 则图不连通*/else /* 若图连通*/printf("%d\n", CheckG(G));return 0;}六．测试分析白盒：查看代码完整性黑盒：测试是否可以正确的创建，删除，插入，打印，查找等操作七．使用说明插入删除语句：删除1条内容插入语句：插入一条信息自动打印：打印内容八．测试数据注：学生在测试数据时，需要写出测试用例和截图十．课程设计总结通过“哥尼斯堡的“七桥问题””这个题目，我认识到了图的使用，以及邻接表存储。

第二节哥尼斯堡七桥问题教学目标1.了解哥尼斯堡七桥问题的由来2.理解欧拉解决哥尼斯堡七桥问题的方法3.掌握一笔画问题的步骤教学重点掌握一笔画问题的技巧教学过程一、导入哥尼斯堡七桥问题的由来哥尼斯堡曾是东普鲁士的首府，现称加里宁格勒，在俄罗斯境内。

在第二次是世界大战时，的军警哲理入侵波兰。

后来，苏军也是从此地打进德国的。

所以哥尼斯堡是一座历史名城。

同时，在这里诞生和培养过许多伟大人物。

如著名唯心主义哲学家康德，终生没有离开此城。

在哥尼斯堡城中有一条布勒格尔河，横贯城中。

河有两条支流，一条称新河，一条叫旧河，在城中心汇合成一条主流，在合流的地方中间有一座河心岛，这是城中繁华的商业中心。

由于布勒格尔河的流过，使全城分成为四个地区：岛区、北区、东区和南区。

在布勒格尔河上，架了七座桥，其中五座将河岛与河岸连接起来，另有两座架在二支流上。

这一别致的桥群，吸引了众多的哥尼斯堡居民和游人来此河边散步或去岛上买东西。

早在18世纪，就有人提出这样的问题：“能否在一次散步中每座桥都走一次，而且只能走一次，最后又回到原来的出发点？”这个问题吸引了不少人去思考实验。

事实上，要走遍这七座桥的所有走法共有7！=5040种，要想一一验过，谈何容易。

是否在这5040中走法中存在着一条走遍七座桥而又不重复的路线呢？谁也回答不了。

因而形成了著名的“哥尼斯堡七桥问题”。

二、新授哥尼斯堡七桥问题的解决1735年，有几名大学生写信给当时正在俄国彼得堡科学院任职的天才数学家欧拉，请他帮忙解决。

欧拉并未轻视生活小题，他似乎看到其中隐藏着某种新的数学方法。

经过一年的研究，29岁的欧拉于1736年向彼得堡科学院递交了一份题为《哥尼斯堡的七座桥》的论文，圆满地解决了这一问题，同时开创了数学的一个新分支——图论。

问题的抽象——数学化欧拉是如何将这生活的趣味问题转化为数学问题的呢？又是如何证明要想一次走过这七座桥是不可能的呢？欧拉的方法十分巧妙：他用点A、B、C、D表示哥尼斯堡城的四个地区B（岛区）、C（北区）、A（东区）、D（南区）；七座桥看成这四个点的连线，用f，d，a，c，b，e，g七个数字表示,如图3-1。

2 哥尼斯堡七桥问题十八世纪东普鲁士哥尼斯堡城（今俄罗斯加里宁格勒）的普莱格尔河，它有两个支流，在城市中心汇成大河，中间是岛区，河上有7座桥，将河中的两个岛和河岸连结，如图1所示。

由于岛上有古老的哥尼斯堡大学，有教堂，还有哲学家康德的墓地和塑像，因此城中的居民，尤其是大学生们经常沿河过桥散步。

渐渐地，爱动脑筋的人们提出了一个问题：一个散步者能否一次走遍7座桥，而且每座桥只许通过一次，最后仍回到起始地点。

这就是七桥问题，一个著名的图论问题。

图1这个问题看起来似乎很简单，然而许多人作过尝试始终没有能找到答案。

因此，一群大学生就写信给当时年仅20岁的大数学家欧拉。

欧拉从千百人次的失败，以深邃的洞察力猜想，也许根本不可能不重复地一次走遍这七座桥，并很快证明了这样的猜想是正确的。

欧拉是这样解决问题的：既然陆地是桥梁的连接地点，不妨把图中被河隔开的陆地看成4个点，7座桥表示成7条连接这4个点的线，如图2所示。

图2 图3于是“七桥问题”就等价于图3中所画图形的一笔画问题了。

欧拉注意到，如果一个图能一笔画成，那么一定有一个起点开始画，也有一个终点。

图上其它的点是“过路点”——画的时候要经过它。

现在看“过路点”具有什么性质。

它应该是“有进有出”的点，有一条边进这点，那么就要有一条边出这点，不可能是有进无出，如果有进无出，它就是终点，也不可能有出无进，如果有出无进，它就是起点。

因此，在“过路点”进出的边总数应该是偶数，即“过路点”是偶点。

如果起点和终点是同一点，那么它也是属于“有进有出”的点，因此必须是偶点，这样图上全体点都是偶点。

如果起点和终点不是同一点，那么它们必须是奇点，因此这个图最多只能有二个奇点。

现在对照七桥问题的图，所有的顶点都是奇点，共有四个，所以这个图肯定不能一笔画成。

欧拉对“七桥问题”的研究是图论研究的开始，同时也为拓扑学的研究提供了一个初等的例子。

事实上，中国民间很早就流传着这种一笔画的游戏，从长期实践的经验，人们知道如果图的点全部是偶点，可以任意选择一个点做起点，一笔画成。

第二讲从哥尼斯堡七桥问题谈起故事发生在18世纪的哥尼斯堡城.流经那里的一条河中有两个小岛，还有七座桥把这两个小岛与河岸联系起来，那里风景优美，游人众多.在这美丽的地方，人们议论着一个有趣的问题：一个游人怎样才能不重复地一次走遍七座桥，最后又回到出发点呢？对于这个貌似简单的问题，许多人跃跃欲试，但都没有获得成功.直到1836年，瑞士著名的数学家欧拉才证明了这个问题的不可能性。

欧拉解决这个问题的方法非常巧妙.他认为：人们关心的只是一次不重复地走遍这七座桥，而并不关心桥的长短和岛的大小，因此，岛和岸都可以看作一个点，而桥则可以看成是连接这些点的一条线.这样，一个实际问题就转化为一个几何图形（如下图）能否一笔画出的问题了.那么，什么叫一笔画？什么样的图可以一笔画出？欧拉又是如何彻底证明七桥问题的不可能性呢？下面，我们就来介绍这一方面的简单知识。

数学中，我们把由有限个点和连接这些点的线（线段或弧）所组成的图形叫做图（如图（a））；图中的点叫做图的结点；连接两结点的线叫做图的边.如图（b）中，有三个结点：E、F、G，四条边：线段EG、FG以及连接E、F的两段弧.从图（a）、（b）中可以看出，任意两点之间都有一条通路（即可以从其中一点出发，沿着图的边走到另一点，如A到I的通路为A→H→I或A→D→I…），这样的图，我们称为连通图；而下图中（c）的一些结点之间却不存在通路（如M与N），像这样的图就不是连通图。

所谓图的一笔画，指的就是：从图的一点出发，笔不离纸，遍历每条边恰好一次，即每条边都只画一次，不准重复.从上图中容易看出：能一笔画出的图首先必须是连通图.但是否所有的连通图都可以一笔画出呢？下面，我们就来探求解决这个问题的方法。

为了叙述的方便，我们把与奇数条边相连的结点叫做奇点，把与偶数条边相连的点称为偶点.如上图（a）中的八个结点全是奇点，上图（b）中E、F为奇点，G为偶点。

容易知道，上图（b）可以一笔画出，即从奇点E出发，沿箭头所指方向，经过F、G、E，最后到达奇点F；同理，从奇点F出发也可以一笔画出，最后到达奇点E.而从偶点G出发，却不能一笔画出.这是为什么呢？事实上，这并不是偶然现象.假定某个图可以一笔画成，且它的结点X既不是起点，也不是终点，而是中间点，那么X一定是一个偶点.这是因为无论何时通过一条边到达X，由于不能重复，必须从另一条边离开X.这样与X连结的边一定成对出现，所以X必为偶点，也就是说：奇点在一笔画中只能作为起或终点.由此可以看出，在一个可以一笔画出的图中，奇点的个数最多只有两个。

一、哥尼斯堡七桥问题18世纪在哥尼斯堡城(今俄罗斯加里宁格勒)的普莱格尔河上有7座桥，将河中的两个岛和河岸连结，如图1所示。

城中的居民经常沿河过桥散步，于是提出了一个问题：能否一次走遍7座桥，而每座桥只许通过一次，最后仍回到起始地点。

这就是七桥问题，一个著名的图论问题。

图1这个问题看起来似乎不难，但人们始终没有能找到答案，最后问题提到了大数学家欧拉那里。

欧拉以深邃的洞察力很快证明了这样的走法不存在。

欧拉是这样解决问题的：既然陆地是桥梁的连接地点，不妨把图中被河隔开的陆地看成A、B、C、D4个点，7座桥表示成7条连接这4个点的线，如图2所示。

图2 图3于是“七桥问题”就等价于图3中所画图形的一笔画问题了。

欧拉注意到，每个点如果有进去的边就必须有出来的边，从而每个点连接的边数必须有偶数个才能完成一笔画。

图3的每个点都连接着奇数条边，因此不可能一笔画出，这就说明不存在一次走遍7座桥，而每座桥只许通过一次的走法。

欧拉对“七桥问题”的研究是图论研究的开始，同时也为拓扑学的研究提供了一个初等的例子.二、四色猜想近代三大数学难题之一。

四色猜想的提出来自英国。

1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色。

”这个结论能不能从数学上加以严格证明呢？他和在大学读书的弟弟格里斯决心试一试。

兄弟二人为证明这一问题而使用的稿纸已经堆了一大叠，可是研究工作没有进展。

1852年10月23日，他的弟弟就这个问题的证明请教他的老师、著名数学家德.摩尔根，摩尔根也没有能找到解决这个问题的途径，于是写信向自己的好友、著名数学家哈密尔顿爵士请教。

哈密尔顿接到摩尔根的信后，对四色问题进行论证。

但直到1865年哈密尔顿逝世为止，问题也没有能够解决。

1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。

简述欧拉的哥尼斯城堡七桥问题及其解答。

（原创实用版）目录1.欧拉的哥尼斯城堡七桥问题2.欧拉的解答方法3.欧拉回路的概念及应用4.欧拉图的定义及性质5.结论正文欧拉的哥尼斯城堡七桥问题是指在 18 世纪的哥尼斯堡城（现属于俄罗斯加里宁格勒），有一条河流穿城而过，形成了两个岛屿。

城市中有七座桥，每个岛屿各有三座桥与其他岛屿相连。

问题在于，如何才能一次走遍所有桥，每座桥只走一次，并最终回到起点。

欧拉在研究这个问题时，提出了一种全新的思维方式。

他将问题抽象为一个图论问题，其中桥梁视为图的边，岛屿视为图的节点。

欧拉通过研究图的性质，发现了一个重要的结论：如果一个图是连通的，且所有顶点的度数都是偶数（除了可能有两个顶点的度数为奇数），那么这个图就可以有一条欧拉回路。

欧拉回路的概念在图论中具有重要意义。

欧拉回路是指在一个图中，通过每条边恰好一次且回到起点的一条回路。

欧拉回路的存在性与图的连通性、顶点的度数等性质密切相关。

根据欧拉的结论，我们可以判断哥尼斯堡城的七桥问题无解。

因为在这个图中，有一个顶点的度数为奇数（即终点），不满足欧拉回路的条件。

欧拉的解答为后来的图论研究奠定了基础，并启发了人们研究更多关于图论的问题。

欧拉图是另一种与欧拉回路相关的概念。

欧拉图是指一个无向图，其中每条边都连接着两个顶点的度数之和为偶数。

欧拉图具有一些有趣的性质，如所有顶点的度数都是偶数，图中不存在奇数长度的环等。

欧拉图的概念对图论的研究和发展起到了重要作用。

总之，欧拉的哥尼斯城堡七桥问题是图论领域的一个经典问题，欧拉通过抽象思维，将问题转化为图论问题，并由此发现了欧拉回路和欧拉图等重要概念。

哥尼斯堡七桥问题-湘教版选修4-8统筹法与图论初步教案什么是哥尼斯堡七桥问题？哥尼斯堡七桥问题，又称为哥尼斯堡桥问题，是欧拉于1736年提出的一道经典问题。

该问题的问题陈述是：有一座河流将一个岛分为了两个部分，部分之间由七座桥连接。

那么，能否从该岛的一个点出发，经过每座桥恰好一次，回到出发点？这道问题是图论的一个经典问题，具有重要的理论意义和实际应用价值。

哥尼斯堡七桥问题的解法为了解决哥尼斯堡七桥问题，我们首先需要用图论的语言来描述这个问题。

在图论中，我们可以将河流和岛上的部分看成图中的点（vertex），而河上的桥则看成两个点之间的边（edge）。

这样，我们就可以将哥尼斯堡桥问题转化为在图中寻找一条路径，使得恰好经过所有边一次，并回到起点。

显然，这个问题与欧拉定理有直接关系：一个无向连通图存在欧拉回路（Eulerian circuit），当且仅当该图的每个点的度数均为偶数。

在哥尼斯堡七桥问题中，每个岛上的点的度数均为奇数，而每座桥连接的两个点的度数均为偶数。

因此，该问题无解。

为了更好地理解这个结果，我们可以继续探索欧拉定理的证明。

欧拉在证明欧拉定理时，使用了一个类似哥尼斯堡桥问题的图，即著名的“Königsberg Bridge Problem”。

在这个问题中，哥尼斯堡的四座岛上分别建有七座桥，我们可以用一个类似如下的图来描述这个问题：(2)------(1)/ | \\ / | \\(3) | (0) | \\\\ | / \\ | \\(4)------(5)---(6)在这个图中，点代表岛，边代表桥，我们需要找到一条路径，使得经过每座桥恰好一次，最终回到起点。

为了解决这个问题，我们可以使用欧拉定理的证明方法，即通过构造欧拉回路，证明该图必然存在一条符合要求的路径。

观察这个图，我们可以发现，该图无法通过欧拉回路回到起点，因为其中有两个点（0和5）的度数为奇数。

相反地，我们可以找到一条路径，使得经过每座桥恰好一次，并在终点处止步，如下图所示：(2)------(1)/ | \\ / | \\(3) | (0) | \\\\ | / \\ | \\(4) (5)---(6)这样，我们证明了哥尼斯堡桥问题无解，因为该图的每个点的度数均为奇数，不符合欧拉定理的条件。

高中数学2哥尼斯堡七桥问题 试题 2019.091,在等比数列}{n a 中，公比q=2，且30303212=⋅⋅⋅⋅a a a a ，则30963a a a a ⋅⋅⋅⋅ 等于（ ） A ．102 B ．202C ．162D ．1522,等差数列{}n a 中，已知11012a a +=，那么10S 的值是__________．3,若数列{}n a 的前n 项和210(123)n S n n n =-=，，，，则此数列的通项公式为；数列{}n na 中数值最小的项是第 项．4,在ABC ∆中，a =，2b =，150C ︒=，则c = _________．5,若不等式02>++b x ax 的解为,2131<<-x 则=a ,=b ．6,定义一种新的运算“*”对任意正整数n 满足下列两个条件：(1)111=*),1(21)1)(2(*+=*+n n 则=*12006____________．7,若对于一切正实数x 不等式x x 224+>a 恒成立，则实数a 的取值范围是 ．8,已知等比数列{}n a 中，45,106431=+=+a a a a ，求其第4项及前5项和.9,在ABC ∆中，已知)sin()()sin()(2222B A b a B A b a +-=-+,试判断三角形的形状。

10,对于函数)(x f ，若存在R x ∈0，使得00)(x x f =，则称0x 是)(x f 的一个不动点，已知函数)0()1()1()(2≠-+++=a b x b ax x f （Ⅰ）当2,1-==b a 时，求函数)(x f 的不动点；（Ⅱ）对任意实数b ，若函数)(x f 恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围．11,在ABC ∆中，c b a ,,分别为C B A ∠∠∠,,的对边，已知c b a ,,成等比数列，且22a c ac bc -=-.求：(Ⅰ)A 的大小； (Ⅱ)c Bb sin 的值.12,已知}{n a 为等差数列，且12,23211=++=a a a a ． （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅱ）令na n n ab 2⋅=，求数列}{n b 的前n 项和n T ．13,数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，*12()n n a S n +=∈N ．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项n a ； （Ⅱ）求数列{}n na 的前n 项和n T ．14,若n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且124S S S ，，成等比数列。