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关于多项式除以多项式两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法，用竖式进行计算．例如，我们来计算(7x＋2＋6x2)÷(2x＋1)，仿照672÷21，计算如下：∴(7x＋2＋6x2)÷(2x＋1)=3x＋2．由上面的计算可知计算步骤大体是，先用除式的第一项2x去除被除式的第一项6x2，得商式的第一项3x，然后用3x去乘除式，把积6x2＋3x写在被除式下面(同类项对齐)，从被除式中减去这个积，得4x＋2，再把4x＋2当作新的被除式，按照上面的方法继续计算，直到得出余式为止．上式的计算结果，余式等于0．如果一个多项式除以另一个多项式的余式为0，我们就说这个多项式能被另一个多项式整除，这时也可说除式能整除被除式．整式除法也有不能整除的情况．按照某个字母降幂排列的整式除法，当余式不是0而次数低于除式的次数时，除法计算就不能继续进行了，这说明除式不能整除被除式．例如，计算(9x2＋2x3＋5)÷(4x－3＋x2)．解：所以商式为2x＋1，余式为2x＋8．与数的带余除法类似，上面的计算结果有下面的关系：9x2＋2x3＋5＝(4x－3＋x2)(2x＋l)＋(2x＋8)．这里应当注意，按照x的降幂排列，如果被除式有缺项，一定要留出空位．当然，也可用补0的办法补足缺项．当除式、被除式都按降幂排列时，各项的位置就可以表示所含字母的次数．因此，计算时，只须写出系数，算出结果后，再把字母和相应的指数补上去．这种方法叫做分离系数法．按照分离系数法，上面例题的计算过程如下：于是得到商式=2x＋1，余式=2x＋8．对于多项式的乘法也可用分离系数法进行计算，例如，(2x3－5x－4)(3x2－7x＋8)按分离系数法计算如下：所以，(2x3－5x－4)(3x2－7x＋8)=6x5－14x4＋x3＋23x2－12x－32．如果你有兴趣，作为练习，可用上面的方法计算下面各题．1．(6x3＋x2－1)÷(2x－1)．2．(2x3＋3x－4)÷(x－3)．3．(x3－2x2－5)(x－2x2－1)．4．(x＋y)(x2－xy＋y2)．【本讲教育信息】一. 教学内容：单项式除以单项式、多项式除以单项式、多项式除以多项式二. 重点、难点整式的除法与我们以前所学的整式的加法、减法、乘法有很多不同，特别是多项式除以多项式，虽然是选学内容，但多项式除以多项式在解决代数式求值，及复杂的因式分解都有很大的用处。
高次方程及其解法2009-12—06 11：35：27｜分类：学生园地| 标签：|字号大中小订阅1.一元n次方程：（1）标准形式： a0x n+a1x n—1+a2x n-2+…+a n—1x+a n=0（a0≠0),当n≥3时叫做高次方程.（2）解法思想:高次方程解法的基本思想是降次，降次的方法有因式分解法和换元法.2。
高次方程根的存在定理设多项式f(x）=a0x n+a1x n—1+a2x n-2+…+a n—1x+a n(a0≠0)(1）因式定理：多项式f(x）含有因式x—a的充要条件是f（a)=0。
(2）实系数方程虚根成对定理：如果方程f（x)=0的系数都是实数，且方程有一个虚根a+bi(a，b∈R且≠0），那么它必定还有另一个根a—bi.（3）有理系数方程无理根或虚根存在定理：如果方程f（x）=0的系数都是有理数，①若a+√b是方程的根,那么a—√b 必也是它的根（其中，a是有理数、√b是无理数）;②若√a+√b是方程的根,那么√a—√b，—√a+√b，—√a-√b必也是它的根（其中,√a、√b都是无数）;③若方程有一个虚根√a+√bi（a，b∈R且b≠0），那么√a—bi,—√a+√bi，—√a-√bi必也是它的根(其中，√a、√b都是无理数).(4）整系数方程有理根存在定理:①如果方程f(x）=0的系数都是整数，那么方程有理根仅能是这样的分数p/q，其分子p是方程常数项的约数，分母q是方程最高次项的约数；②在整系数方程f(x)=0中,如果α是方程的整数根，那么二比值f(1）/（α—1)和f（-1）/（α+1)都是整数；③在整系数方程f(x）=0中，如果f(0）与f（1)都是奇数，那么该方程无整数根；④最高次项的系数为1的整系数方程f（x）=0的有理根都是整数。
如果方程没有整数根，那么它也没有有理根。
3。
一元n次方程的解法:（1）一元n次方程a0x n+a1x n-1+a2x n—2+…+a n—1x+a n=0(a0≠0）的解法通常用验根法、因式分解法和换元法。
高等代数综合除法具体步骤讲解-回复高等代数综合除法是代数学中的一种基本运算方法，用于将一个多项式除以另一个多项式。
本文将详细介绍高等代数综合除法的具体步骤，并逐步讲解每个步骤的原理和运算方法。
假设我们需要对一个多项式N(x)进行除法运算，N(x)的表达式为：N(x) = a_n*x^n + a_{n-1}*x^{n-1} + ... + a_1*x + a_0其中，a_n, a_{n-1}, ..., a_1, a_0是常数系数，x是未知数。
除数多项式D(x)的表达式为：D(x) = d_m*x^m + d_{m-1}*x^{m-1} + ... + d_1*x + d_0其中，d_m, d_{m-1}, ..., d_1, d_0是常数系数，m是除数的次数。
综合除法的目标是找到商多项式Q(x)和余项多项式R(x)，使得：N(x) = Q(x) * D(x) + R(x)其中，Q(x)是商多项式，R(x)是余项多项式。
具体的综合除法步骤如下：步骤一：将N(x)和D(x)按照次数从高到低排列。
确保N(x)和D(x)都是按照从高次到低次的顺序写出。
步骤二：找到商多项式的首项，即Q(x)的次数最高项。
假设Q(x)的首项为q_k*x^k。
步骤三：将q_k*x^k与D(x)相乘，并记为T_k(x)。
T_k(x)的表达式为：T_k(x) = q_k*x^k * D(x) = q_k*x^k * (d_m*x^m +d_{m-1}*x^{m-1} + ... + d_1*x + d_0)步骤四：于N(x)中找到与T_k(x)次数最高项相同的项加减消去。
假设N(x)的次数最高项为n_l*x^l。
步骤五：计算q_k，并将q_k*x^k - n_l*x^l相减得到新的多项式。
步骤六：将新的多项式作为新的被除多项式，并重新回到步骤二。
重复这个过程，直到被除多项式的次数小于除数的次数。
步骤七：得到最终的商多项式Q(x)和余项多项式R(x)。
高等代数综合除法具体步骤讲解-回复高等代数中的综合除法是一种用于计算多项式之间的除法的方法。
它是一种重要的代数技术，可以应用于求解多项式的根和因式分解等问题。
在本文中，我将详细介绍综合除法的具体步骤，并通过几个例子来说明。
综合除法的目标是将一个多项式除以另一个多项式，得到一个商式和余式。
首先，我们需要明确两个多项式的次数和系数的表示方法。
假设被除式是f(x)，除式是g(x)，那么它们的次数分别为n和m。
我们可以将它们表示为：f(x) = aₙxⁿ+ aₙ₋₁xⁿ⁻¹+ ... + a₁x + a₀g(x) = bₙxᵐ + bₙ₋₁xᵐ⁻¹+ ... + b₁x + b₀其中aₙ、aₙ₋₁、...、a₀和bₙ、bₙ₋₁、...、b₀分别是各项的系数。
综合除法的具体步骤如下：步骤1：将f(x)和g(x)的系数按照次数从高到低排列，并确保两个多项式的次数对齐。
如果f(x)的次数小于g(x)的次数，可以在f(x)前面添加一个零系数的项，使它们的次数对齐。
步骤2：取f(x)的首项系数与g(x)的首项系数相除，得到一个商式的首项。
将这个商式的首项与g(x)的每一项相乘，得到一个新的多项式，记为q(x)，并将它从f(x)中减去。
这样就得到了一个新的多项式，记为r(x)，它的次数小于等于f(x)的次数。
步骤3：如果r(x)的次数小于g(x)的次数，那么继续前面的步骤，取r(x)的首项系数与g(x)的首项系数相除，得到一个新的商式的首项，并重复上述步骤，直到r(x)的次数大于等于g(x)的次数。
步骤4：当r(x)的次数大于等于g(x)的次数时，说明除法已经完成。
此时，r(x)即为余式，q(x)为商式。
下面通过几个具体的例子来说明综合除法的步骤。
例子1：计算多项式f(x) = 2x⁴+ 9x³- 5x²- 8x + 6 除以g(x) = x ²+ 3x - 2。
首先，按照步骤1，将两个多项式的系数按照次数从高到低排列，并确保它们的次数对齐：f(x) = 2x⁴+ 9x³- 5x²- 8x + 6g(x) = x²+ 3x - 2然后，按照步骤2，取f(x)的首项系数2与g(x)的首项系数1相除，得到一个商式的首项2。
高次方程解法1.高次方程的定义整式方程未知数次数最高项次数高于2次的方程，称为高次方程。
2.高次方程的一般形式高次方程的一般形式为anx^n+an-1x^n-1+-------+a1x+a0=0等式两边同时除以最高项系数，得：anx^n/an+an-1x^n-1/an+--------+a1x/an+a0/an=0所以高次方程一般形式又可写为x^n+bnx^n-1+-------b1x+b0=03.高次方程解法思想通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解4.高次方程根与系数的关系按这个高次方程的形式x^n+bn-1x^n-1+-------b1x+b0=0，那么有所有根相加等于系数bn-1的相反数所有根两两相乘再相加等于系数bn-2所有根三三相乘再相加等于系数bn-3的相反数依次类推，直到所有根相乘，等于(-1)^nb05.阿贝尔定理对于5次及以上的一元高次方程没有通用的代数解法和求根公式(即通过各项系数经过有限次四则运算和乘方和开方运算无法求解)，这称为阿贝尔定理。
换句话说，只有三次和四次的高次方程可解．下面介绍三次和四次方程的解法。
6.四次方程解法卡尔丹公式诞生后，卡尔丹的学生费拉里便发明了一元四次方程的求根公式。
【费拉里公式】一元四次方程aX＾4＋bX＾3＋cX＾2＋dX＋e=0，（a，b，c，d，e∈R，且a≠0）。
令a=1，则X＾4＋bX＾3＋cX＾2＋dX＋e=0，此方程是以下两个一元二次方程的解。
2X＾2＋(b＋M)X＋2(y＋N/M)=0；2X＾2＋(b—M)X＋2(y—N/M)=0。
其中M=√(8y＋b＾2—4c)；N=by—d，(M≠0)。
y是一元三次方程8y＾3—4cy＾2—(8e—2bd)y—e(b＾2—4c)—d＾2=0的任一实根。
7.三次方程解法一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如aX^3＋bX^2＋cX＋d=0的标准型一元三次方程形式化为X^3＋pX＋q=0的特殊型。
高次方程及解法 江苏省通州高级中学 徐嘉伟 一般地，我们把次数大于2的整式方程，叫做高次方程。
由两个或两个以上高次方程组成的方程组，叫做高次方程组。
对于一元五次以上的高次方程，是不能用简单的算术方法来求解的。
对于一元五次以下的高次方程，也只能对其中的一些特殊形式的方程，采用“±1判根法”、“常数项约数法”、“倒数方程求根法”、“双二次方程及推广形式求解法”等方法，将一元五次以下的高次方程消元、换元、降次，转化成一次或二次方程求解。
一、±1判根法在一个一元高次方程中，如果各项系数之和等于零，则1是方程的根；如果偶次项系数之和等于奇次项系数之和，则-1是方程的根。
求出方程的±1的根后，将原高次方程用长除法或因式分解法分别除以（x-1）或者（x+1）,降低方程次数后依次求根。
“±1判根法”是解一元高次方程最简捷、最快速的重要方法，一定要熟练掌握运用。
例1解方程x4+2x3-9x2-2x+8=0解：观察方程,因为各项系数之和为:1+2-9-2+8=0(注意:一定把常数项算在偶数项系数当中),根据歌诀“系和零,+1根”,即原方程中可分解出因式(x-1),Θ(x4+2x3-9x2-2x+8)÷(x-1)= x3+3x2-6x-8观察方程x3+3x2-6x-8=0，偶次项系数之和为：3-8=-5；奇次项系数之和为：1-6=-5，根据歌诀“偶等奇，根-1”，即方程中含有因式（x+1），∴（x3+3x2-6x-8）÷(x+1)=x2+2x-8，对一元二次方程x2+2x-8=0有（x+4）（x-2）=0, ∴原高次方程x4+2x3-9x2-2x+8=0可分解因式为：(x-1) (x+1)(x-2)(x+4)=0,即:当(x-1)=0时,有x1=1;当(x+1)＝０时，有x2= -1;当(x-2) =0时，有x3=2; 当(x+4)=0时，有x4=-4点拨提醒：在运用“±1判根法”解高次方程时，一定注意把“常数项”作为“偶次项”系数计算。
多项式除法示例多项式除以多项式的一般步骤：多项式除以多项式一般用竖式进行演算（1）把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐． （2）用被除式的第一项去除除式的第一项，得商式的第一项．（3）用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），消去相等项，把不相等的项结合起来． （4）把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止．被除式=除式×商式+余式如果一个多项式除以另一个多项式，余式为零，就说这个多项式能被另一个多项式整除多项式除以多项式的运算多项式除以多项式，一般可用竖式计算，方法与算术中的多位数除法相似，现举例说明如下： 例1 计算)4()209(2+÷++x x x规范解法 ∴ .5)4()209(2+=+÷++x x x x解法步骤说明： （1）先把被除式2092++x x 与除式4+x 分别按字母的降幂排列好．（2）将被除式2092++x x的第一项2x 除以除式4+x 的第一项x ，得x x x =÷2，这就是商的第一项．（3）以商的第一项x 与除式4+x 相乘，得x x 42+，写在2092++x x 的下面．（4）从2092++x x减去x x 42+，得差205+x ，写在下面，就是被除式去掉x x 42+后的一部分．（5）再用205+x 的第一项x 5除以除式的第一项x ，得55=÷x x ，这是商的第二项，写在第一项x 的后面，写成代数和的形式．（6）以商式的第二项5与除式4+x 相乘，得205+x ，写在上述的差205+x 的下面． （7）相减得差0，表示恰好能除尽． （8）写出运算结果，.5)4()209(2+=+÷++x x x x例2 计算)52()320796(2245--÷+-+-x x x x x x ．规范解法 ∴ )52()320796(2245--÷+-+-x x x x x x163323-+-=x x x ……………………………余29-x ．注 ①遇到被除式或除式中缺项，用0补位或空出；②余式的次数应低于除式的次数． 另外，以上两例还可用分离系数法求解．如例2． ∴ )52()320796(2245--÷+-+-x x x x x x163323-+-=x x x ……………………………余29-x ．8．什么是综合除法？由前面的问题4我们知道两个多项式相除可以用竖式进行，但当除式为一次式，而且它的首项系数为1时，情况比较特殊． 如：计算)3()432(3-÷-+x x x．因为除法只对系数进行，和x 无关，于是算式（1）就可以简化成算式（2）．还可以再简化．方框中的数2、6、21和余式首项系数重复，可以不写．再注意到，因除式的首项系数是1，所以余式的首项系数6、21与商式的系数重复，也可以省略．如果再把代数和中的“＋”号省略，除式的首项系数也省略，算式（2）就简化成了算式（30的形式：将算式（3）改写成比较好看的形式得算式（4），再将算式（4）中的除数－3换成它的相反数3，减法就化为了加法，于是得到算式（5）．其中最下面一行前三个数是商式的系数，末尾一个数是余数．多项式相除的这种算法，叫做综合除法，它适合于除式为一次式，而且一次项系数为1． 例1 用综合除法求12333234+-+-x x x x 除以1-x 的商式和余式．规范解法 ∴ 商式2223-+-=x x x ，余式＝10．例2 用综合除法证明910152235-+-x x x 能被3+x 整除．规范证法 这里)3(3--=+x x ，所以综合除法中的除数应是－3．（注意被除式按降幂排列，缺项补0．） 因余数是0，所以910152235-+-x x x能被3+x 整除．当除式为一次式，而一次项系数不是1时，需要把它变成1以后才能用综合除法．． 例3 求723-+x x除以12+x 的商式和余数．规范解法 把12+x 除以2，化为21+x ，用综合除法． 但是，商式2322+-≠x x ，这是因为除式除以2，被除式没变，商式扩大了2倍，应当除以2才是所求的商式；余数没有变．∴ 商式43212+-=x x ，余数437-=． 为什么余数不变呢？我们用下面的方法验证一下． 用723-+x x除以21+x ，得商式2322+-x x ，余数为437-，即 ∴ 437232213223-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+x x x x x()4374321122-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=x x x ．即 323-+x x除以12+x 的商式43212+-=x x ，余数仍为437-． 综合除法与余数定理综合除法与余数定理是中学数学中十分重要的内容，它们是研究多项式除法的有力工具。
