概率统计第七章

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概率统计第七章1-2

P(|U|>u1-α/2)=α
φ(x)
U检验
α/2
- u1-αΒιβλιοθήκη 2 u1-α/2接受域α/2
X
否定域
否定域
双侧统计检验
该检验用 u 检验统计量，故称为u 检验。
② H0:μ≤μ0(已知); H1:μ>μ0 （右侧检验） 1) 提出原假设和备择假设: H0:μ≤μ0; H1:μ>μ0, X 0 在H0下有 2) 对统计量: U / n X 0 X , / n / n X 0 X 对给定的α有 { u1 } { u1 } / n / n X 0 X 所以 P( u1 ) P( u1 ) / n / n 3) 故拒绝条件为U> u1-α
c u u0.05 1.645
由
X 110 4/5
1.645
X 108.648
即区间( ,108.648 ) 为检验的拒绝域称 X 的取值区间 (108.648,+) 为检验的接受域
四、作出判断
在有了明确的拒绝域后，根据样本观测值我们可以做出判断：当 x 108.684 或 u 1.645 时，则拒绝H 0 即接收 H1 ；
H 0 : p 4%
vs
H1 : p 4%
二、选择检验统计量由样本对原假设进行判断总是通过一个统计量完成的，该统计量称为检验统计量。找出在原假设 H 0 成立条件下,该统计量所服从的分布。
三、选择显著性水平，给出拒绝域形式小概率原理中,关于“小概率”的值通常根据实际问题的要求而定,如取α =0.1,0.05,0.01等, α 为检验的显著性水平(检验水平). 根据所要求的显著性水平α ,描写小概率事件的统计量的取值范围称为该原假设的拒绝域(否定域),一般用W表示；一般将 W 称为接受域。拒绝域的边界称为该假设检验的临界值.

概率论与数理统计第七章-1矩估计法和极大似然估计法

μ1 h1 (θ1 , θ2 , μ j h j (θ1 , θ2 , μk hk (θ1 , θ2 ,
, θk ) , θk ) , θk )
, μk ) , μk ) , μk )
数理统计
从这 k 个方程中解出
θ1 g1 ( μ1 , μ2 , θ j g j ( μ1 , μ2 , θk gk ( μ1 , μ2 ,
数理统计
定义用样本原点矩估计相应的总体原点矩 ,
用样本原点矩的连续函数估计相应的总体原点矩的连续函数, 这种参数点估计法称为矩估计法 . 矩估计法的具体做法如下设总体的分布函数中含有k个未知参数 θ1 , θ2 , 那么它的前k阶矩 μ1 , μ2 ,
, θk ,
, μk , 一般
l xi P{ X xi ;1 , 2 , , k } l E ( X l ) l 1 hl (1 , 2 , , k ) x l p ( x; , , , )dx 1 2 k
2 1
b μ1 3( μ2 μ12 )
于是 a , b 的矩估计量为
总体矩
a A1 3( A2 A12 ) 3 n 2 X ( X X ) , i n i 1
3 n 2 b X ( X X ) n i 1 i
样本矩
数理统计
例2 设总体 X 的均值 μ和方差 σ 2 ( 0) 都存
数理统计
点估计问题的一般提法设总体 X 的分布函数 F ( x; )的形式为已
知, 是待估参数 . X 1 , X 2 ,, X n 是 X 的一个样本, x1 , x2 ,, xn 为相应的一个样本值 .

概率论与数理统计第7章

x 0 , x 0 ,x 1 ,x 2 ,
,x n 为总体 X
的一个样本 ,则未知参数的矩估计 ˆ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
这个例子所作的推断已经体现了极大似然法的基本思想 .
最大似然估计原理：
设X1,X2,…Xn是取自总体X的一个样本，样本的联合密度(连续型）或联合分布律 (离散型)为
f (x1,x2,… ,xn ; ) .
当给定样本X1,X2,…Xn时，定义似然函数为：
L() f (x1, x2 ,…, xn; )
得
pˆ1Βιβλιοθήκη nn i 1xix
即为 p 的最大似然估计值 .
从而 p 的最大似然估计量为
p ˆ(X1,
1n ,Xn)ni1Xi X
求最大似然估计(MLE)的一般步骤是：
(1) 由总体分布导出样本的联合分布率(或联合密度);
(2) 把样本联合分布率 ( 或联合密度 ) 中自变
量看成已知常数,而把参数看作自变量,得到似然函数L();
要求：领会
2.2 估计量的有效性、相合性，要求：领会
3.区间估计
3.1 置信区间的概念，
要求：领会
3.2 求单个正态总体均值和方差的置信区间，要求：简单应用
参数估计
现在我们来介绍一类重要的统计推断问题
参数估计问题是利用从总体抽样得到的信息来估计总体的某些参数或者参数的某些函数.
估计新生儿的体重
1 p
n
pxi (1p)1xi
i1
n
n
xi
n xi
pi1 (1p) i1
n
n
xi
n xi
L(p)pi1 (1p) i1

概率论与数理统计复习7章

( n − 1) S 2 ( n − 1) S 2 = 1 − α 即P 2 <σ2 < 2 χα 2 ( n − 1) χ1−α 2 ( n − 1) ( n − 1) S 2 ( n − 1) S 2 置信区间为： 2 , χα 2 ( n − 1) χ12−α 2 ( n − 1)
则有：E ( X v ) = µv (θ1 , θ 2 ,⋯ , θ k ) 其v阶样本矩是：Av = 1 ∑ X iv n i =1
n
估计的未知参数，假定总体X 的k阶原点矩E ( X k ) 存在，
µ θ , θ ,⋯ , θ = A k 1 1 1 2 µ2 θ1, θ 2 ,⋯ , θ k = A2 用样本矩作为总体矩的估计，即令： ⋮ µ θ , θ ,⋯ , θ = A k k k 1 2 ɵ ɵ ˆ 解此方程即得 (θ1 , θ 2 ,⋯ , θ k )的一个矩估计量 θ 1 , θ 2 ,⋯ , θ k
+∞
−∞
xf ( x ) dx = ∫ θ x θ dx =
1 0
令E ( X ) = X ⇒
θ +1
θ
ˆ = X ⇒θ =
( )
X 1− X
θ +1
2
θ
7.2极大似然估计法
极大似然估计法：设总体X 的概率密度为f ( x,θ ) (或分布率p( x,θ )),θ = (θ1 ,θ 2 ,⋯ ,θ k ) 为未知参数，θ ∈ Θ, Θ为参数空间，即θ的取值范围。设 ( x1 , x2 ,⋯ , xn ) 是样本 ( X 1 , X 2 ,⋯ , X n )的一个观察值：
i =1 n

概率论与数理统计第7章参数估计PPT课件

5
a1(1, ,k )=v1
1 f1(v1, ,vk )
假定方程组a2(1, ,k ) v2 ,则可求出2 f2(v1, ,vk )
ak (1, ,k ) vk
k fk (v1, ,vk )
则x1 xn为X的样本值时，可用样本值的j阶原点矩Aj估计vj，其中
Aj
1 n
n i1
xij ( j
L(x1, ,xn;ˆ)maxL(x1, ,xn;)，则称ˆ(x1, ,xn)为
的一种参数估计方法 .
它首先是由德国数学家
高斯在1821年提出的 ,然而，这个方法常归功于英国统
Gauss
计学家费歇（Fisher） . 费歇在1922年重新发现了
这一方法，并首先研究了这
种方法的一些性质 .
Fisher
10
极大似然估计是在已知总体分布形式的情形下的点估计。
极大似然估计的基本思路：根据样本的具体情况
注：估计量为样本的函数，样本不同，估计量不同。
常用估计量构造法：矩估计法、极大似然估计法。
4
7.1.1 矩估计法
矩估计法是通过参数与总体矩的关系，解出参数，并用样本矩替代总体矩而得到的参数估计方法。（由大数定理可知样本矩依概率收敛于总体矩，且许多分布所含参数都是矩的函数）
下面我们考虑总体为连续型随机变量的情况：
n
它是的函数，记为L(x1, , xn; ) f (xi , ), i 1
并称其为似然函数，记为L( )。
注：似然函数的概念并不仅限于连续随机变量，
对于离散型随机变量，用 P {Xx}p(x,)
替代f ( x, )
即可。
14
设总体X的分布形式已知，且只含一个未知参数，

《概率论与数理统计》第七章假设检验.

《概率论与数理统计》第七章假设检验.第七章假设检验学习⽬标知识⽬标：理解假设检验的基本概念⼩概率原理；掌握假设检验的⽅法和步骤。

能⼒⽬标：能够作正态总体均值、⽐例的假设检验和两个正态总体的均值、⽐例之差的假设检验。

参数估计和假设检验是统计推断的两种形式，它们都是利⽤样本对总体进⾏某种推断，然⽽推断的⾓度不同。

参数估计是通过样本统计量来推断总体未知参数的取值范围，以及作出结论的可靠程度，总体参数在估计前是未知的。

⽽在假设检验中，则是预先对总体参数的取值提出⼀个假设，然后利⽤样本数据检验这个假设是否成⽴，如果成⽴，我们就接受这个假设，如果不成⽴就拒绝原假设。

当然由于样本的随机性，这种推断只能具有⼀定的可靠性。

本章介绍假设检验的基本概念，以及假设检验的⼀般步骤，然后重点介绍常⽤的参数检验⽅法。

由于篇幅的限制，⾮参数假设检验在这⾥就不作介绍了。

第⼀节假设检验的⼀般问题关键词：参数假设；检验统计量；接受域与拒绝域；假设检验的两类错误⼀、假设检验的基本概念（⼀）原假设和备择假设为了对假设检验的基本概念有⼀个直观的认识，不妨先看下⾯的例⼦。

例7.1 某⼚⽣产⼀种⽇光灯管，其寿命X 服从正态分布)200 ,(2µN ，从过去的⽣产经验看，灯管的平均寿命为1550=µ⼩时，。

现在采⽤新⼯艺后，在所⽣产的新灯管中抽取25只，测其平均寿命为1650⼩时。

问采⽤新⼯艺后，灯管的寿命是否有显著提⾼？这是⼀个均值的检验问题。

灯管的寿命有没有显著变化呢？这有两种可能：⼀种是没有什么变化。

即新⼯艺对均值没有影响，采⽤新⼯艺后，X 仍然服从)200 ,1550(2N 。

另⼀种情况可能是，新⼯艺的确使均值发⽣了显著性变化。

这样，1650=X 和15500=µ之间的差异就只能认为是采⽤新⼯艺的关系。

究竟是哪种情况与实际情况相符合，这需要作检验。

假如给定显著性⽔平05.0=α。

在上⾯的例⼦中，我们可以把涉及到的两种情况⽤统计假设的形式表⽰出来。

《概率论与数理统计》7

未知参数 , ,, 的函数.分别令
12
k
L(1,,k ) 0,(i 1,2,...,k)
或令
i
ln L(1,,k ) 0,(i 1,2,...,k)
i
由此方程组可解得参数 i 的极大似然估计值 ˆi.
例5 设X~b(1,p), X1, X2 , …,Xn是来自X的一个样本,
求参数 p 的最大似然估计量.
解 E( X ) ，E( X 2 ) D( X ) [E( X )]2 2 2
由矩估计法,
【注】
X
1
n
n i 1
X
2 i
2
2
ˆ X ,
ˆ
2
1 n
n i 1
(Xi
X )2
对任何总体,总体均值与方差的矩估计量都不变．
➢常见分布的参数矩估计量
(1)若总体X~b(1, p), 则未知参数 p 的矩估计量为
7-1
第七章
参数估计
统计推断
的基本问题
7-2
参数估计问题
(第七章）
点估计区间估计
假设检验问题 (第八章）
什么是参数估计？
参数是刻画总体某方面概率特性的数量.
当此数量未知时,从总体抽出一个样本，用某种方法对这个未知参数进行估计就是参数估计.
例如，X ~N ( , 2),
若, 2未知, 通过构造样本的函数, 给出
k = k(A1, A2 , …, A k)
用i 作为i的估计量------矩估计量.
例1 设总体X服从[a，b]上的均匀分布，a，b未知，
X1, X2 , …,Xn为来自总体X的样本,试求a，b的矩估计量．
解 E(X ) a b , D(X ) (b a)2

《概率论与数理统计》第七章

i 1
n
n
ln xi
（4）的极大似然估计量为：ˆ
n
n2 i1
lnX
i
2
i1
第七章参数估计 ‹#›
例 9 设X~b(1,p), X1,X2,…,Xn是来自X的一个样本，试求参数p的最大似然估计量
解: 设x1, x2,, xn,是相应于样本X1,X2,…,Xn 的一个样本值，X
的分布律为：
(3)以样本各阶矩A1, ,Ak代替总体各阶矩1,
得各参数的矩估计
ˆi gi(A1, ,Ak )， i 1, , k
, k，
第七章参数估计 ‹#›
注意：
在实际应用时，为求解方便，也可以用
中心矩 i 代替原点矩i，相应地以样本中心矩Bi 估计 i.
（二）最大似然估计法
最（极）大似然估计的原理介绍
第七章
参数估计
目录/Contents
第1章随机事件与 2 概率
§ 1 点估计
§3
估计量的评选标准
第七章参数估计 ‹#›
问题的提出:
在实际进行统计时，有不少总体的（我们关心的某确定指标）概率分布是已知的。比如
例 1 产品寿命服从的分布
X~
f
(
x)
1
x
e
x0
0
其他
但其中有参数是未知的: θ
n
似然函数 L f xi , 。 i 1
, xn ，
极大似然原理：L(ˆ( x1 ,
,
xn
))
max
L(
).
计算简化方法：
在求L 的最大值时，通常转换为求：lnL 的最大值，
lnL 称为对数似然函数.
利用

概率论与数理统计-第七章

1 1 f (x; µ,σ ) = exp[− 2 (x − µ)2 ] 2σ 2πσ n 1 1 2 L(µ,σ ) = ∏ exp[− 2 (xi − µ)2 ] 2σ 2πσ i=1
2
= (2π ) (σ ) exp[−
2
2
−
n 2
−
n 2
1 2σ 2
( xi − µ ) 2 ] ∑
i =1
n
n
设总体X~U[a,b]，其中，b是例3. 设总体，其中a，是未知参数。试求a，的矩估计量的矩估计量。未知参数。试求，b的矩估计量。解：E(X)=(a+b)/2, D(X)=(b-a)2/12.
1 n 1 ∑Xi = E(X) = 2 (a +b) n i=1 1 n 2 Xi = E(X 2 ) = D(X) +[E(X)]2 ∑ n i=1 1 1 2 = (b − a) + (a +b)2 12 4
解：白球所占比例p=1/4或3/4. 白球所占比例或 X:任取个球中白球的个数，X~B(3, p) 任取3个球中白球的个数任取个球中白球的个数，
P( X = 2) = C p (1− p) = 3p (1− p)
2 3 2 2
1 9 , p = 4时 P(X = 2) = 64 p = 3时 P(X = 2) = 27 , 4 64
1 n ˆ (1)µ = X = ∑Xi是体值的偏计 ; 总均 µ 无估量 n i=1 1 n ˆ (2)σ 2 = S2 = ( Xi − X )2是体差 2的总方 σ ∑ n −1 i=1 无估量. 偏计
n −1 2 D(X) = S n 即可解出未知参数的估计量。即可解出未知参数的估计量。

《概率论与数理统计》课件第七章随机变量的数字特征

i 1,2, , 如果 xi pi ，则称 i 1 E( X ) xi pi 为随机变量X的数学期望； i 1
或称为该分布的数学期望，简称期望或均值.
(2)设连续随机变量X的密度函数为p( x),
如果
+
x p( x)dx ,
则称
-
E( X ) xp( x)dx 为随机变量X的数学期望.
5
例2.求二项分布B(n, p)的数学期望.
P(X
k)
n!
k!n
k !
pk
(1
p)nk ,k
1, 2,
, n.
n
解：EX kP{ X k}
k0
n
k
k0
n!
k!n
k !
pk
(1
p)nk
n
np
k 1
k
n 1! 1!n
pk1
k!
(1
p)nk
np[ p (1 p)]n1 np.
特别地，若X服从0 1分布，则EX p.
6
例3. 求泊松分布P( )的数学期望.
注：P( X k) k e , k 1, 2, .
k!
解：EX k k e e
k1
e
k1
k0 k !
k1 k 1 !
k1 k 1 !
ee
e x 1 x 1 x2 1 xn [这里，x ]
当 a 450时，平均收益EY 最大.
28
第二节方差与标准差
29
引例
比较随机变量X、Y 的期望
X3 4 5 Y1 4 7 P 0.1 0.8 0.1 P 0.4 0.2 0.4
01 2 3 4 5 67

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习题七解答1. 设的分布律为，求（1）EX ，（2）)1(+-X E ，（3）)(2X E ，（4）DX 。

解由随机变量X所以()1111111(1)01236261243E X =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= ()11111121210(1)36261243E X -+=⨯+⨯+⨯+⨯+-⨯= ()2111111351014364612424E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=22235197()()(())()24372D XE XE X =-=-=另外，也可根据数学期望的性质可得：()()1211133E X E X -+=-+=-+=2.设随机变量X 服从参数为()0>λλ的泊松分布，且已知()()[]232=--X X E ，求λ的值。

解()()[]()()()()()()()()204526526565322222==+-+=+-+=+-=+-=--λλλλX E X E X D X E X E X X E X X EX3. 设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次命中目标的概率为0.4，试求2X 的数学期望()2X E 。

解 ()4.0,10~B X所以 ()()4.26.04.010,44.010=⨯⨯==⨯=X D X E 故 ()()()()4.1844.2222=+=+=X E X D X E4. 国际市场每年对我国某种出口商品的需求量X 是一个随机变量，它在[2000，4000]（单位：吨）上服从均匀分布。

若每售出一吨，可得外汇3万美元，若销售不出而积压，则每吨需保养费1万美元。

问应组织多少货源，才能使平均收益最大？解设随机变量Y 表示平均收益（单位：万元），进货量为a 吨Y=()aX a X 33-- a x a x ≥< 则()()()800000014000220001200013200014220004000-+-=+-=⎰⎰a a dxa dx a x Y E aa要使得平均收益()Y E 最大，所以()080000001400022='-+-a a得 3500=a （吨）5. 一台设备由三大部件构成，在设备运转过程中各部件需要调整的概率相应为0.1，0.2，0.3，假设各部件的状态相互独立，以X 表示同时需要调整的部件数，试求X 的数学期望()X E 和方差()X D 。

解 X 的可能取值为0，1，2，3，有()()()()006.03.02.01.03092.03.08.01.03.02.09.07.02.01.02398.03.08.09.07.02.09.07.08.01.01504.07.08.09.00=⨯⨯===⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯===⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯===⨯⨯==X P X P X P X P所以X 的分布律为()()()()46.06.082.082.0006.03092.02398.01504.006.0006.03092.02398.01504.00222222=-==⨯+⨯+⨯+⨯==⨯+⨯+⨯+⨯=X D X E X E 6. 设X 的密度函数为()xe xf -=21，求（1）()X E ；（2）()2X E 。

解（1）()⎰∞+∞--=⋅=021dx e x X E x（2）()⎰⎰∞+--∞+∞-==⋅=0222221221dx e x dx e x X E x x注：求解（1）时利用被积函数是奇函数的性质，求解（2）时化简为⎰+∞-02dxe x x 可以看成为是服从参数为1的指数分布随机变量的二阶原点矩。

7. 某商店经销商品的利润率的密度函数为⎩⎨⎧-=0)1(2x 其他10,<<x ，求,DX 。

解（1）()1012(1)3E X x x dx =⋅-=⎰（2）()122012(1)6E X x x dx =⋅-=⎰故222111()()(())()6318D XE X E X =-=-=8.设随机变量X 的密度函数为()=x f x e - 0>x0 0≤x求()X E 、()X E 2、()X e X E 2-+、()X D 。

解()()()01222x E X xe dx E X E X +∞-====⎰()()()()()()()()22230022022141113321XXx xx x E X e E X E e ee dx e dx E Xx e dx D X E X E X +∞+∞-----+∞-+=+=+=+=+====-=⎰⎰⎰9. 设随机变量()Y X ,的联合分布律为X )(x f EX求()X E 、()Y E 、()Y X E 2-、()XY E 3、()X D 、()Y D 、()Y X ,cov 、Y X ,ρ。

解关于()5.05.015.00=⨯+⨯=X E()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()212121.025.005.0,cov 05.03.05.01.0,cov 3.01.031.0114.0012.0103.0003331.03.025.02221.03.03.03.03.017.003.03.017.0025.05.05.05.05.015.00,22222222-=-==-=⨯-=⋅-==⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯==-=⨯-=-=-=-==⨯+⨯==⨯+⨯==-==⨯+⨯=Y D X D Y X Y E X E XY E Y X XY E XY E Y E X E Y X E Y D Y E Y E X D X E Y X ρ10. 设随机变量X,Y 相互独立，它们的密度函数分别为()=x f X 022x e -0≤>x x()=y f Y44y e -≤>y y 求()Y X D +。

解 ()2~E X ，所以()41212==X D ， ()4~E Y ，所以()161412==Y D ，X,Y 相互独立，所以()()()165=+=+Y D X D Y X D 。

11. 设()Y X ,服从在A 上的均匀分布，其中A 为x 轴、y 轴及直线01=++y x 所围成的区域，求（1）()X E ；（2）()Y X E 23+-；（3）()XY E 的值。

解先画出A()=y x f , ()A y x ∈,0 其他()()⎰+∞∞-==dy y x f x f X ,()x dy x +=⎰--1220101≤≤-x0 其他()()⎰+∞∞-==dx y x f y f Y ,()y dx y+=⎰--12201 01≤≤-y0 其他()()()()()()()()()121123131231323233112311201010120101=+-===⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-=+-=+--=+⋅=-=+⋅=⎰⎰⎰⎰⎰------dx x x dydx xy XY E Y E X E Y X E dy y y Y E dx x x X E x12. 设随机变量()Y X ,的联合密度函数为()=y x f , 212y 10≤≤≤x y 0 其他求()()()()()()Y D X D Y X E XY E Y E X E ,,,,,22+。

解先画出区域10≤≤≤x y 的图()()==⎰+∞∞-dy y x f x f X ,⎰=xx dy y 032412 10≤≤x0 其他()()==⎰+∞∞-dx y x f y f Y ,()⎰-=12211212yy y dy y 10≤≤y y 10 1 x其他()()()()1301201200445312151122X E X x x dx E Y y y y dy E XY xy y dydx =⋅==⋅-==⋅=⎰⎰⎰⎰()()()()()()()()()()()()1122222322022222216412115442657563115575E X Y E X E Y x x dx y y y dy D X E X E X D Y E YE Y +=+=⋅+⋅-=⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭⎰⎰13. 设随机变量X,Y 相互独立，且()()()()3,2,1====Y D X D Y E X E ，求()XY D 。

解()()()()()()()()()()()()[]()()()[]()[]()[]()()111113122222222222=⋅-++=-++=⋅-=-=Y E X E Y E Y D X E X D Y E X E Y E X E XY E Y X E XY D14. 设()()4.0,36,25,===Y X Y D X D ρ，求（1）()Y X D +；（2）()Y X D -。

解：（1）()()()()()Y D X D Y D X D Y X D Y X ,2ρ++=+8536254.023625=⋅⨯⨯++=（2）()()()()()Y D X D Y D X D Y X D Y X ,2ρ-+=-3736254.023625=⋅⨯⨯-+=15. 设随机变量相互独立，，，求。

解 ()1,()1;()2,(E X D X E Y D Y ===-= 2(2)2()()21(2)0(2)2()()4115E X Y E X E Y D X Y D X D Y +=+=⨯+-=+=+=⨯+= 16. 验证：当),(Y X 为二维连续型随机变量时，按公式Y X ,)1,1(~N X )1,2(~-N Y )2(),2(Y X D Y X E ++⎰⎰+∞∞-+∞∞-=dydx y x xf EX ),(及按公式⎰+∞∞-=dx x xf EX )(算得的EX 值相等。

这里，),(y x f 、)(x f 依次表示X Y X ),,(的分布密度。

证明 (,)(,)E X x f x y d y d xx f x y d y d x +∞+∞+∞+∞-∞-∞-∞-∞==⎰⎰⎰⎰()xf x dx +∞-∞=⎰17. 设的方差为2.5，利用契比晓夫不等式估计}5.7{≥-EX X P 的值。

解 2(){7.5}7.5D X P X EX -≥≤22.517.522.5== 18. 设随机变量X 和Y 的数学期望分别为-2和2，方差分别为1和4，而相关系数为-0.5，根据切比雪夫不等式估计()6≥+Y X P 的值。

解 ()()()022=+-=+=+Y E X E Y X E()()()()()()3415.02412,=⋅-⨯++=++=+Y D X D Y D X D Y X D Y X ρ所以()()()()()121666062=+≤≥+-+=≥-+=≥+Y X D Y X E Y X P Y X P Y X P 21. 在人寿保险公司里有3000个同龄的人参加人寿保险。

概率统计第七章

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