实数系到复数系的发展史

从记数法到复数域：数系理论的历史发展引言数，是数学中的基本概念，也是人类文明的重要组成部分。

数的概念的每一次扩充都标志着数学的巨大飞跃。

一个时代人们对于数的认识与应用，以及数系理论的完善程度，反映了当时数学发展的水平。

今天，我们所应用的数系，已经构造的如此完备和缜密，以致于在科学技术和社会生活的一切领域中，它都成为基本的语言和不可或缺的工具。

在我们得心应手地享用这份人类文明的共同财富时，是否想到在数系形成和发展的历史过程中，人类的智慧所经历的曲折和艰辛呢？一、记数法、位置制和零人类在进化的蒙昧时期，就具有了一种“识数”的才能，心理学家称这种才能为“数觉”（perceptionofnumber）。

动物行为学家则认为，这种“数觉”并非为人类所独有。

人类智慧的卓越之处在于他们发明了种种记数方法。

《周易·系辞下》记载“上古结绳而治，后世圣人，易之以书契”。

东汉郑玄称：“事大，大结其绳；事小，小结其绳。

结之多少，随物众寡”。

以结绳和书契记数的方法实际上遍及世界各地，如希腊、波斯、罗马、巴勒斯坦、伊斯兰和中美洲国家都有文献记载和实物标本。

直到1826年，英国财政部才决定停止采用符契作为法定记数器。

随着人类社会的进步，数的语言也在不断发展和完善。

数系发展的第一个里程碑出现了：位置制记数法。

所谓位置制记数法，就是运用少量的符号，通过它们不同个数的排列，以表示不同的数。

引起历史学家、数学史家兴趣的是，在自然环境和社会条件影响下，不同的文明创造了迥然不同的记数方法。

如巴比伦的楔形数字系统、埃及象形数字系统、希腊人字母数字系统、玛雅数字系统、印度—阿拉伯数字系统和中国的算筹记数系统。

最早发展的一类数系应该是简单分群数系（simplegroupingsystem），如在公元前3400年埃及象形文字中就有实例,它是10进的，但却不是位置的。

在公元前3000到2019年之间，巴比伦人发展了60进位的定位数系（positionalnumeralsystem），它采用了位置制，却不是10进的。

复数的发展过程高祥旭在高中数学的学习中我们就学习了有关“复数”的知识，知道这是根据实际的需要，在实数的基础上扩充得到的新的数域。

这是许多数学家经过200多年不懈努力的结果,下面来看看它的发展过程：16世纪意大利米兰学者卡当在1545年发表了《重要的艺术》一书中,公布了三次方程的一般解法,被后人称为“卡当公式”,他是第一个把复数的平方根邪道公式中得数学家。

他在讨论能否把10分成两部分，使它们的积为40时。

尽管他认为是没有意义的,可还是把答案写成就这样把10分成两部分,而答案为40。

1637年，法国数学家笛卡尔在《几何学》一书中提出：“虚的数”与“实的数相对应"。

自此,虚数流传开来，但却引起数学系的一片困惑。

很多大数学家都不承认。

1702年德国数学家莱布尼茨说:“虚数是神灵循迹的精微而奇异的隐避所，它大概是存在和虚妄两界种的两栖物”.欧拉也说过：“一切形如，的数学式子是不可能有的”,“它们纯属虚幻的”.然而。

真理是经得起考验的。

1747年，法国数学家达朗贝尔指出按照多项式的四则运算法则对虚数进行运算法则对虚数进行运算结果总是（a，b是实数）的形式。

1730年，法国数学家棣莫佛发现公1748年，欧拉发现了有名的关系式并且在1777年发表的《微分公式》中第一次用了i来表示—1的平方根。

1779年,挪威的测量学家成塞尔给虚数以直观的几个解释并首先发表了其作法，但没有引起学术界的重视。

1806年，德国数学家高斯公布了虚数的图象表示法,又在1832年提出“复数”这个名词，并且将复数的知识系统的表述出来。

终于虚数在高斯手中得到发展.自此复数理论才比较完整和系统的建立起来。

然而复数概念的进化是数学史中最奇特的一章，那就是数系的历史发展完全没有按照教科书所描述的逻辑连续性。

人们没有等待实数的逻辑基础建立之后，才去尝试新的征程。

在数系扩张的历史过程中，往往许多中间地带尚未得到完全认识,而天才的直觉随着勇敢者的步伐已经到达了遥远的前哨阵地.1545年,此时的欧洲人尚未完全理解负数、无理数，然而他们智力又面临一个新的“怪物"的挑战.笛卡尔（Descartes,1596-1650)也抛弃复根，并造出了“虚数"（imaginary number）这个名称.对复数的模糊认识,莱布尼兹（Leibniz，1646- 1716）的说法最有代表性：“圣灵在分析的奇观中找到了超凡的显示，这就是那个理想世界的端兆，那个介于存在与不存在之间的两栖物，那个我们称之为虚的—1的平方根。

复数的概念发展过程复数的概念发展过程经历了多个阶段，从早期对负数的困惑到最终复数作为数学体系中的基本元素的确立，以下是其主要发展历程概要：1. 古希腊时期：-在古希腊数学中，数学家们最初仅考虑正数和零，对于负数以及后来的虚数持怀疑态度，因为它们当时被认为缺乏直观的几何解释或物理意义。

2. 负数的接受：-到了中世纪，随着数学问题解决的需求增加，负数逐渐被接受并在代数运算中开始应用。

3. 虚数的萌芽：-在解代数方程的过程中，尤其是遇到像x²=-1这样的二次方程无实数解时，数学家们开始意识到需要扩展数系。

16世纪初，意大利数学家Scipione del Ferro和NiccolòFontana Tartaglia等人在解三次方程时，实际上已经涉及到类似于虚数的运算。

4. 正式引入：-16世纪中期，意大利数学家吉罗拉莫·卡尔达诺在探讨代数方程的解时，首次提出了“想象数”（imaginary numbers）的概念，这可以看作是虚数的初步形式。

5. 虚数的符号化：-17世纪，笛卡尔在自己的工作中，虽然他本人对虚数持保留意见，但首次使用了类似“实”和“虚”的术语来区分不同的数，并将虚数表示为直角坐标系中的垂直轴上的量。

6. 复数的规范化：-18世纪，欧拉在1777年开始使用现在通用的符号"i" 表示虚数单位，即i²= -1，并明确地提出了形如a + bi 的复数表达方式。

7. 理论完善：-19世纪，德国数学家高斯对复数进行了系统的理论研究，建立了复数的代数和几何基础，包括引入极坐标形式、复共轭、复数的加法和乘法法则等，并且证明了每一个复系数多项式都可以分解成线性因子（一次和二次的复数因子），这是复数理论的重大突破。

8. 广泛接受与应用：-随着复数理论的成熟，它逐渐被数学界接受并成为现代数学的基础之一。

到了19世纪及以后，复数在工程、物理学（特别是电磁学和量子力学）、信号处理、控制论以及现代数学的各个分支，如复分析、泛函分析等领域中找到了丰富的应用，从而确立了复数在现代数学和科学技术中的重要地位。

数系扩充的历史发展数系扩充是数学领域的重要发展方向之一，它们的出现不仅丰富了数学的内容，也拓展了数学的应用范围。

本文将从整数、有理数、实数、复数等数系的扩充过程入手，探讨数系扩充的历史发展。

1. 整数的扩充整数是我们最早接触到的数系，它由正整数、0和负整数组成。

然而，在某些情况下，整数无法满足我们的需求。

为了解决这个问题，数学家引入了自然数的扩充概念，将其称为整数。

整数在数轴上可以表示正数、0和负数，通过加法和乘法运算，整数形成了一个封闭的数系。

2. 有理数的扩充有理数是整数的扩充，它可以表示为分数的形式。

有理数包括整数和所有可以表示为两个整数的比值的数。

然而，有理数在某些情况下也无法满足我们的需求，例如无理数的开方运算。

为了解决这个问题，我们引入了无理数的概念，将其加入到有理数中，形成了实数。

实数是一个包括有理数和无理数的数系，通过加法、减法、乘法、除法等运算，实数形成了一个完备的数系。

3. 实数的扩充实数是数学中最为常见的数系，它包括了所有的有理数和无理数。

然而，实数在某些情况下也无法满足我们的需求，例如方程x²+1=0在实数范围内无解。

为了解决这个问题，数学家引入了虚数的概念，将其加入到实数中，形成了复数。

复数由实部和虚部组成，其中虚部用虚数单位i表示。

复数的加法、减法、乘法和除法等运算满足一定的规律，形成了一个复数域。

4. 复数的扩充复数的引入解决了实数无法解决的方程问题，但复数本身也存在一些限制。

为了进一步扩充数系，数学家引入了超复数的概念。

超复数包括复数和一些特殊的数，例如双复数、超实数等。

超复数在数学物理、工程学等领域有广泛的应用，它们的性质和运算规则也在不断地研究和发展中。

5. 数系扩充的意义数系的不断扩充，丰富了数学的内容，使得数学在解决实际问题时更加灵活和高效。

数系的扩充也推动了数学理论的发展，激发了数学家们对抽象和推理的思考。

同时，数系的扩充也为其他学科的发展提供了基础和支撑，例如物理学中的复数分析、工程学中的矩阵运算等。

数学的三个发展时期——现代数学时期现代数学时期是指由19世纪20年代至今，这一时期数学主要研究的是最一般的数量关系和空间形式，数和量仅仅是它的极特殊的情形，通常的一维、二维、三维空间的几何形象也仅仅是特殊情形。

抽象代数、拓扑学、泛函分析是整个现代数学科学的主体部分。

它们是大学数学专业的课程，非数学专业也要具备其中某些知识。

变量数学时期新兴起的许多学科，蓬勃地向前发展，内容和方法不断地充实、扩大和深入。

18、19世纪之交，数学已经达到丰沛茂密的境地，似乎数学的宝藏已经挖掘殆尽，再没有多大的发展余地了。

然而，这只是暴风雨前夕的宁静。

19世纪20年代，数学革命的狂飙终于来临了，数学开始了一连串本质的变化，从此数学又迈入了一个新的时期——现代数学时期。

19世纪前半叶，数学上出现两项革命性的发现——非欧几何与不可交换代数。

大约在1826年，人们发现了与通常的欧几里得几何不同的、但也是正确的几何——非欧几何。

这是由罗巴契夫斯基和里耶首先提出的。

非欧几何的出现，改变了人们认为欧氏几何唯一地存在是天经地义的观点。

它的革命思想不仅为新几何学开辟了道路，而且是20世纪相对论产生的前奏和准备。

后来证明，非欧几何所导致的思想解放对现代数学和现代科学有着极为重要的意义，因为人类终于开始突破感官的局限而深入到自然的更深刻的本质。

从这个意义上说，为确立和发展非欧几何贡献了一生的罗巴契夫斯基不愧为现代科学的先驱者。

1854年，黎曼推广了空间的概念，开创了几何学一片更广阔的领域——黎曼几何学。

非欧几何学的发现还促进了公理方法的深入探讨，研究可以作为基础的概念和原则，分析公理的完全性、相容性和独立性等问题。

1899年，希尔伯特对此作了重大贡献。

在1843年，哈密顿发现了一种乘法交换律不成立的代数——四元数代数。

不可交换代数的出现，改变了人们认为存在与一般的算术代数不同的代数是不可思议的观点。

它的革命思想打开了近代代数的大门。

另一方面，由于一元方程根式求解条件的探究，引进了群的概念。

复数系是怎样建立的复数系的建立，经历了一段曲折而漫长的过程．1484年，法国数学家舒开在《算术三篇》中，解一元二次方程243x x +=得到的根是39424x =±-．他声明这根是不可能的． 1545年意大利数学家卡尔丹（Cardano ，1501~1576）在解一元二次方程(10)40x x -=和一元三次方程3154x x =+时，分别得到类似的结果，引入负数的平方根，并称它为“诡辩量”． 1637年，法国数学家笛卡尔（Descartes ，1596~1650）正式开始使用“实数”、“虚数”这两个名词．此后，德国数学家莱布尼茨（Leibniz ，1646~1716）、瑞士数学家欧拉（Euler ，1707~1783）和法国数学家棣莫弗（De Moivre ，1667~1754）等研究了虚数与对数函数、三角函数之间的关系，除了解方程以外，还把它用于微积分等方面，得出许多很有价值的结果，“虚数”被证明“不虚”了．1747年，法国数学家达朗贝尔（D ′Alembert ，1717~1783）的研究使得人们对虚数的认识又推进一步．他指出，形如1a b +-（a ，b 是实数）的数按多项式的四则运算规则进行运算，所得的结果仍具有a b +1-的形式．这在实质上提出了复数的概念．1748年，欧拉对这类新数作了系统研究，并得出欧拉公式i e cos isin θθθ=+．1777年欧拉首次用i 表示1-的平方根．1801年，高斯系统地使用这个符号，使i 通行于世． 值得一提的是，欧拉的一个惊人的等式i πe 10+=包含了现代数学中最重要的一些常数． 1797年，丹麦数学家韦塞尔（Wessel ，1745~1818）首次提出实轴、虚轴，并以实轴与虚轴所确定的平面表示这类新数，这实际上给出了复数的几何意义．1799年、1815年和1816年，德国著名数学家高斯（Gauss ，1777~1855）证明了代数基本定理，即在复数集中，一元n 次方程有且仅有n 个根（k 重根算作k 个根）．证明中，他应用并论述了这类新数，并首次引进了“复数”这个名词，把复数与直角坐标平面内的点一一对应起来，这就有效地使人们接受了复平面的思想，从而建立了复数的几何基础．1837年，爱尔兰数学家哈密顿（Hamilton ，1805~1865）用有序实数对（a ，b ）定义了复数及其运算，并说明复数的加、乘运算满足实数的运算律，而实数a 则看成特殊的复数（a ，0）．这样，历经近300年的努力，数系从实数系向复数系的扩充才大功告成．。

数系的历史发展进程和逻辑依据及对教学的启示一、数系的发展数系通常是指包括自然数、整数、有理数、实数和复数的系统。

这些数之间的关系如下表：数的观念具有悠久的历史，特别是自然数观念，其产生当在史前时期，详情已难于追索。

但对数系建立严谨的理论基础，却在19世纪下半叶才完成。

1．自然数建立自然数概念通常有基于基数与基于序数两种方法。

基于基数的自然数概念可溯源于原始人类用匹配方法计数。

古希腊人用小石卵记畜群的头数或部落的人数。

事实上，英文calculate（计算）一词是从希腊文calculus （石卵）演变来的。

中国古藉《易系辞》中说：“上古结绳而治，后世圣人易之以书契。

”这些都是匹配计数法的反映。

但直至1889年，皮亚诺才建立自然数序数理论。

2．整数在整数系中，自然数为正整数，称0为零，称-1，-2，-3，…，-n，… 为负整数。

正整数，零与负整数构成整数系。

零不仅表示“无”，更是表示空位的符号。

中国古代用算筹计算数并进行运算时，空位不放算筹，虽无空位记号，但仍能为位值记数与四则运算创造良好的条件。

印度－阿拉伯命数法中的零（zero）来自印度的（sunya ）字，其原意也是“空”或“空白”。

中国最早引进了负数。

《九章算术方程》中论述的“正负数”，就是整数的加减法。

减法的需要也促进了负整数的引入。

减法运算可看作求解方程a+x=b，如果a，b是自然数，则所给方程未必有自然数解。

为了使它恒有解，就有必要把自然数系扩大为整数系。

3．有理数古埃及人约于公元前17世纪已使用分数。

中国《九章算术》中也载有分数的各种运算。

分数的使用导源于除法运算的需要。

除法运算可看作求解方程px=q（p≠0），如果p，q是整数，则所给方程未必有整数解。

为了使它恒有解，就有必要把整数系扩大成为有理数系。

值得注意的是, 可以证明, 以下关于有理数系的三种描述是互相等价的:定义1：正负整数、分数和零的总体称为有理数。

定义2：有理数由各式各样的分数组成。

数的发展史提到数，大家都不陌生。

小学期间我们学习了自然数和正分数；在初一学习了负数以后，解决了在正有理数不够减的问题，数的范围扩充为有理数；在初二又学习了无理数，解决了开方开不尽的矛盾，数的范围进一步扩充为实数；在高中，我们为了解方程的需要又引入了虚数单位i，数系最终达到复数系。

实际上，时至今日数系已构造得非常的完备和缜密。

然而你是否知道，数系的形成和发展并非完全遵循上述演变过程，又是否知道人类智慧在此过程中经历的种种曲折和艰辛。

一、古代数字及计数法人类最初完全没有数量的概念。

而是在漫长的生活实践中，由于记事和分配生活用品等方面的需要，才逐渐产生了数的概念。

比如捕获了一头野兽，就用1块石子代表。

捕获了3头，就放3块石子。

“结绳记事"也是地球上许多相隔很近的古代人类共同做过的事。

《周易·系辞下》记载“上古结绳而治，后世圣人，易之以书契”。

东汉郑玄称：“事大，大结其绳；事小，小结其绳。

结之多少，随物众寡”。

以结绳和书契记数的方法遍及世界各地。

数的概念最初不论在哪个地区都是1、2、3、4……这样的自然数开始的，但是记数的符号却大不相同。

古代巴比伦人的数字用点来表示，五个点表示5，八个点表示8，九个点表示9，点太多，数不清时，发明了专用的计数符号，“<”表示10，“T”表示360等等；在中国，一二三四五六七八九十百千万这13个数字在甲骨文中就已经出现。

古罗马的数字相当进步。

罗马数字的符号一共只有7个：I（代表1）、V（代表5）、X（代表10）、L（代表50）、C 代表100）、D（代表500）、M（代表1,000）。

这7个符号位置上不论怎样变化，它所代表的数字都是不变的。

它们按照下列规律组合起来，就能表示任何数。

1、重复次数：一个罗马数字符号重复几次，就表示这个数的几倍。

如：“III”表示“3”；“XXX”表示“30”。

2、右加左减：一个代表大数字的符号右边附一个代表小数字的符号，就表示大数字加小数字，如“VI”表示“6”，“DC”表示“600”。