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第1讲 变化率与导数、导数的计算[基础题组练]1．下列求导数的运算中错误的是( ) A ．(3x )′＝3xln 3 B ．(x 2ln x )′＝2x ln x ＋x C.⎝⎛⎭⎪⎫cos x x ′＝x sin x －cos x x 2D ．(sin x ·cos x )′＝cos 2x 解析：选C.因为⎝⎛⎭⎪⎫cos x x ′＝－x sin x －cos x x 2，C 项错误．2．已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( )A ．3B ．2C ．1D ．12解析：选A.因为y ′＝x 2－3x ，令y ′＝12，解得x ＝3，即切点的横坐标为3.3．已知函数f (x )可导，则lim Δx →0f （2＋2Δx ）－f （2）2Δx等于( )A ．f ′(x )B ．f ′(2)C ．f (x )D ．f (2)解析：选B.因为函数f (x )可导， 所以f ′(x )＝lim Δx →0f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx，所以lim Δx →0f （2＋2Δx ）－f （2）2Δx＝f ′(2)．4．函数g (x )＝x 3＋52x 2＋3ln x ＋b (b ∈R )在x ＝1处的切线过点(0，－5)，则b 的值为( )A.72B.52C.32D ．12解析：选B.当x ＝1时，g (1)＝1＋52＋b ＝72＋b ，又g ′(x )＝3x 2＋5x ＋3x，所以切线斜率k ＝g ′(1)＝3＋5＋3＝11， 从而切线方程为y ＝11x －5，由于点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，72＋b 在切线上，所以72＋b ＝11－5， 解得b ＝52.故选B.5．已知函数f (x )及其导数f ′(x )，若存在x 0使得f (x 0)＝f ′(x 0)，则称x 0是f (x )的一个“巧值点”．给出下列四个函数：①f (x )＝x 2；②f (x )＝e －x；③f (x )＝ln x ；④f (x )＝tan x .其中有“巧值点”的函数的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B.对于①，若f (x )＝x 2，则f ′(x )＝2x ，令x 2＝2x ，得x ＝0或x ＝2，这个方程显然有解，故①符合要求；对于②，若f (x )＝e －x，则f ′(x )＝－e －x，即e －x＝－e －x，此方程无解，②不符合要求；对于③，若f (x )＝ln x ，则f ′(x )＝1x ，若ln x ＝1x，利用数形结合法可知该方程存在实数解，③符合要求；对于④，若f (x )＝tan x ，则f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x ′＝1cos 2x ，令f (x )＝f ′(x )，即sin x cos x ＝1，变形可sin 2x ＝2，无解，④不符合要求．故选B.6．(2020·江西南昌一模)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，其导函数为f ′(x )，且f (lnx )＝x ＋ln x ，则f ′(1)＝ ．解析：因为f (ln x )＝x ＋ln x ，所以f (x )＝x ＋e x， 所以f ′(x )＝1＋e x ，所以f ′(1)＝1＋e 1＝1＋e. 答案：1＋e7．(2020·四川绵阳一诊改编)若函数f (x )＝x 3＋(t －1)x －1的图象在点(－1，f (－1))处的切线平行于x 轴，则t ＝ ，切线方程为 ．解析：因为函数f (x )＝x 3＋(t －1)x －1，所以f ′(x )＝3x 2＋t －1.因为函数f (x )的图象在点(－1，f (－1))处的切线平行于x 轴，所以f ′(－1)＝3×(－1)2＋t －1＝2＋t ＝0，解得t ＝－2.此时f (x )＝x 3－3x －1，f (－1)＝1，切线方程为y ＝1.答案：－2 y ＝18．已知函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝2x －1，则曲线g (x )＝x 2＋f (x )在点(2，g (2))处的切线方程为 ．解析：由题意知，f (2)＝2×2－1＝3，所以g (2)＝4＋3＝7，因为g ′(x )＝2x ＋f ′(x )，f ′(2)＝2，所以g ′(2)＝2×2＋2＝6，所以曲线g (x )＝x 2＋f (x )在点(2，g (2))处的切线方程为y －7＝6(x －2)，即6x －y －5＝0.答案：6x －y －5＝0 9．求下列函数的导数： (1)y ＝(3x 2－4x )(2x ＋1)； (2)y ＝sin x2(1－2cos 2x4)；(3)y ＝ln x x 2＋1. 解：(1)因为y ＝(3x 2－4x )(2x ＋1) ＝6x 3＋3x 2－8x 2－4x ＝6x 3－5x 2－4x ， 所以y ′＝18x 2－10x －4.(2)因为y ＝sin x 2(－cos x 2)＝－12sin x ，所以y ′＝(－12sin x )′＝－12(sin x )′＝－12cos x .(3)y ′＝（ln x ）′（x 2＋1）－ln x （x 2＋1）′（x 2＋1）2＝1x（x 2＋1）－2x ln x（x 2＋1）2＝x 2＋1－2x 2ln xx （x 2＋1）2.10．(2020·甘肃会宁一中模拟)已知曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线l 1平行于直线4x －y －1＝0，且点P 0在第三象限．(1)求P 0的坐标；(2)若直线l ⊥l 1，且l 也过切点P 0，求直线l 的方程． 解：(1)由y ＝x 3＋x －2，得y ′＝3x 2＋1. 令3x 2＋1＝4，解得x ＝±1.当x ＝1时，y ＝0；当x ＝－1时，y ＝－4.又点P 0在第三象限，所以切点P 0的坐标为(－1，－4)． (2)因为直线l ⊥l 1，l 1的斜率为4，所以直线l 的斜率为－14.因为l 过切点P 0，点P 0的坐标为(－1，－4)， 所以直线l 的方程为y ＋4＝－14(x ＋1)，即x ＋4y ＋17＝0.[综合题组练]1.如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )A ．－1B ．0C ．3D ．4解析：选B.由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率为－13，即f ′(3)＝－13，又g (x )＝xf (x )，g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，由题图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0.2．(2020·成都第二次诊断检测)若曲线y ＝f (x )＝ln x ＋ax 2(a 为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞C ．(0，＋∞)D ．[0，＋∞)解析：选D.f ′(x )＝1x ＋2ax ＝2ax 2＋1x(x >0)，根据题意有f ′(x )≥0(x >0)恒成立，所以2ax 2＋1≥0(x >0)恒成立，即2a ≥－1x2(x >0)恒成立，所以a ≥0，故实数a 的取值范围为[0，＋∞)．故选D.3．已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值； (2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围． 解：f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)．(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＝b ＝0，f ′（0）＝－a （a ＋2）＝－3，解得b ＝0，a ＝－3或a ＝1.(2)因为曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，所以关于x 的方程f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)＝0有两个不相等的实数根， 所以Δ＝4(1－a )2＋12a (a ＋2)>0， 即4a 2＋4a ＋1>0， 所以a ≠－12.所以a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞. 4．已知抛物线C ：y ＝－x 2＋92x －4，过原点O 作C 的切线y ＝kx ，使切点P 在第一象限．(1)求k 的值；(2)过点P 作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q 的坐标． 解：(1)设点P 的坐标为(x 1，y 1)， 则y 1＝kx 1，①y 1＝－x 21＋92x 1－4，②将①代入②得x 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫k －92x 1＋4＝0.因为P 为切点，所以Δ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k －922－16＝0，得k ＝172或k ＝12. 当k ＝172时，x 1＝－2，y 1＝－17.当k ＝12时，x 1＝2，y 1＝1.因为P 在第一象限， 所以k ＝12.(2)过P 点作切线的垂线， 其方程为y ＝－2x ＋5.③ 将③代入抛物线方程得，x 2－132x ＋9＝0.设Q 点的坐标为(x 2，y 2)，则2x 2＝9， 所以x 2＝92，y 2＝－4.所以Q 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫92，－4.。
第1节 变化率与导数、导数的计算考试要求 1.了解导数概念的实际背景；2.通过函数图象直观理解导数的几何意义；3.能根据导数的定义求函数y ＝c (c 为常数)，y ＝x ，y ＝1x，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 的导数；4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单复合函数(仅限于形如y ＝f (ax ＋b )的复合函数)的导数.知 识 梳 理1.函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数(1)定义：称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx ＝ΔyΔx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝ΔyΔx＝f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx.(2)几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率.相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0). 2.函数y ＝f (x )的导函数如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的每一点处都有导数，当x ＝x 0时，f ′(x 0)是一个确定的数，当x 变化时，f ′(x )便是x 的一个函数，称它为f (x )的导函数(简称导数)，y ＝f (x )的导函数有时也记作y ′，即f ′(x )＝y ′＝f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx.3.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x α(α∈Q *) f ′(x )＝αx α－1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos__x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin__xf (x )＝e x f ′(x )＝e x f (x )＝a x (a ＞0，a ≠1)f ′(x )＝a x ln__af (x )＝ln x f ′(x )＝1xf (x )＝log a x(a ＞0，a ≠1)f ′(x )＝1x ln a4.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有： (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2(g (x )≠0).5.复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′. [常用结论与微点提醒]1.f ′(x 0)代表函数f (x )在x ＝x 0处的导数值；(f (x 0))′是函数值f (x 0)的导数，且(f (x 0))′＝0.2.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1f （x ）′＝－f ′（x ）[f （x ）]2(f (x )≠0).3.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点.4.函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.诊 断 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率.( ) (2)函数f (x )＝sin(－x )的导数f ′(x )＝cos x .( ) (3)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)，再求f ′(x 0).( )(4)曲线y ＝f (x )在某点处的切线与曲线y ＝f (x )过某点的切线意义是相同的.( ) 解析 (1)f ′(x 0)表示y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率，(1)错. (2)f (x )＝sin(－x )＝－sin x ，则f ′(x )＝－cos x ，(2)错. (3)求f ′(x 0)时，应先求f ′(x )，再代入求值，(3)错.(4)“在某点”的切线是指以该点为切点的切线，因此此点横坐标处的导数值为切线的斜率；而对于“过某点”的切线，则该点不一定是切点，要利用解方程组的思想求切线的方程，曲线上某点处的切线只有一条，但过某点的切线可以不止一条，(4)错. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)×2.(老教材选修2－2P19B2改编)已知函数f (x )＝xx ＋2，则函数在x ＝－1处的切线方程是( )A.2x －y ＋1＝0B.x －2y ＋2＝0C.2x －y －1＝0D.x ＋2y －2＝0解析 由f (x )＝xx ＋2，得f ′(x )＝2（x ＋2）2， 又f (－1)＝－1，f ′(－1)＝2.因此函数在x ＝－1处的切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)，即2x －y ＋1＝0. 答案 A3.(老教材选修2－2P3问题2改编)在高台跳水运动中，t s 时运动员相对于水面的高度(单位：m)是h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10，则运动员的速度v ＝________ m/s ，加速度a ＝________ m/s 2. 解析 v ＝h ′(t )＝－9.8t ＋6.5，a ＝v ′(t )＝－9.8. 答案 －9.8t ＋6.5 －9.84.(2019·全国Ⅱ卷)曲线y ＝2sin x ＋cos x 在点(π，－1)处的切线方程为( ) A.x －y －π－1＝0 B.2x －y －2π－1＝0 C.2x ＋y －2π＋1＝0D.x ＋y －π＋1＝0解析 设y ＝f (x )＝2sin x ＋cos x ，则f ′(x )＝2cos x －sin x ， ∴曲线在点(π，－1)处的切线斜率k ＝f ′(π)＝－2， 故切线方程为y ＋1＝－2(x －π)，即2x ＋y －2π＋1＝0. 答案 C5.(2019·新乡模拟)设f (x )＝ln(3－2x )＋cos 2x ，则f ′(0)＝________. 解析 f ′(x )＝－23－2x －2sin 2x ，所以f ′(0)＝－23.答案 －236.(2019·全国Ⅰ卷)曲线y ＝3(x 2＋x )e x在点(0，0)处的切线方程为________. 解析 y ′＝3(2x ＋1)e x ＋3(x 2＋x )e x ＝3e x (x 2＋3x ＋1)，所以曲线在点(0，0)处的切线的斜率k ＝e 0×3＝3，所以所求切线方程为y ＝3x . 答案 y ＝3x考点一 导数的运算多维探究角度1 根据求导法则求函数的导数 【例1－1】 求下列函数的导数： (1)f (x )＝x 2＋xex；(2)f (x )＝x 3＋2x －x 2ln x －1x 2；(3)y ＝x sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2. 解 (1)f ′(x )＝（2x ＋1）e x－（x 2＋x ）e x （e x ）2＝1＋x －x2e x. (2)由已知f (x )＝x －ln x ＋2x －1x2.∴f ′(x )＝1－1x －2x 2＋2x 3＝x 3－x 2－2x ＋2x3. (3)∵y ＝x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝12x sin(4x ＋π)＝－12x sin 4x ，∴y ′＝－12sin 4x －12x ·4cos 4x ＝－12sin 4x －2x cos 4x .角度2 抽象函数的导数【例1－2】 已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足关系式f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，则f (1)＝________.解析 因为f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ， ∴f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)＋1x.令x ＝2，得f ′(2)＝4＋3f ′(2)＋12，则f ′(2)＝－94.∴f (1)＝1＋3×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－94＋0＝－234. 答案 －234规律方法 1.求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.2.抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.3.复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元. 【训练1】 (1)(角度1)已知f (x )＝ln 2x －12x ＋1，则f ′(x )＝________.(2)(角度2)(2020·雅礼中学月考)已知函数f (x )的导函数是f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln 1x，则f (1)＝( )A.－eB.2C.－2D.e(3)(角度1)(2020·天津重点学校联考)已知函数f (x )＝(x 2－a )ln x ，f ′(x )是函数f (x )的导函数，若f ′(1)＝－2，则a ＝________.解析 (1)f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 2x －12x ＋1′＝12x －12x ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12x ＋1′＝2x ＋12x －1·⎣⎢⎡⎦⎥⎤（2x －1）′（2x ＋1）－（2x －1）（2x ＋1）′（2x ＋1）2＝44x 2－1. (2)由已知得f ′(x )＝2f ′(1)－1x，令x ＝1得f ′(1)＝2f ′(1)－1，解得f ′(1)＝1，则f (1)＝2f ′(1)＝2.(3)由f (x )＝(x 2－a )ln x ，得f ′(x )＝2x ln x ＋x 2－a x.∴f ′(1)＝1－a ＝－2，解得a ＝3. 答案 (1)44x 2－1 (2)B (3)3考点二 导数的几何意义【例2】 (1)(2020·安徽江南十校联考)曲线f (x )＝1－2ln xx在点P (1，f (1))处的切线l 的方程为( ) A.x ＋y －2＝0 B.2x ＋y －3＝0 C.3x ＋y ＋2＝0D.3x ＋y －4＝0(2)(2019·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y ＝ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点(－e ，－1)(e 为自然对数的底数)，则点A 的坐标是________. 解析 (1)因为f (x )＝1－2ln x x ，所以f ′(x )＝－3＋2ln xx2. 又f (1)＝1，且f ′(1)＝－3.故所求切线方程为y －1＝－3(x －1)，即3x ＋y －4＝0.(2)设A (m ，n )，则曲线y ＝ln x 在点A 处的切线方程为y －n ＝1m(x －m ).又切线过点(－e ，－1)，所以有n ＋1＝1m(m ＋e).再由n ＝ln m ，解得m ＝e ，n ＝1. 故点A 的坐标为(e ，1). 答案 (1)D (2)(e ，1)规律方法 1.求曲线在点P (x 0，y 0)处的切线，则表明P 点是切点，只需求出函数在P 处的导数，然后利用点斜式写出切线方程，若在该点P 处的导数不存在，则切线垂直于x 轴，切线方程为x ＝x 0.2.求曲线的切线方程要分清“在点处”与“过点处”的切线方程的不同.切点不知道，要设出切点，根据斜率相等建立方程(组)求解，求出切点坐标是解题的关键.【训练2】 (1)(2018·全国Ⅰ卷)设函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax .若f (x )为奇函数，则曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为( )A.y ＝－2xB.y ＝－xC.y ＝2xD.y ＝x(2)设曲线y ＝e x在点(0，1)处的切线与曲线y ＝1x(x >0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________.解析 (1)因为函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax 为奇函数，所以a －1＝0，则a ＝1，所以f (x )＝x 3＋x .∴f ′(x )＝3x 2＋1，则f ′(0)＝1.所以曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为y ＝x . (2)∵函数y ＝e x 的导函数为y ′＝e x，∴曲线y ＝e x在点(0，1)处的切线的斜率k 1＝e 0＝1.设P (x 0，y 0)(x 0>0)，∵函数y ＝1x 的导函数为y ′＝－1x 2，∴曲线y ＝1x(x >0)在点P 处的切线的斜率k 2＝－1x 20，由题意知k 1k 2＝－1，即1·⎝⎛⎭⎪⎫－1x20＝－1，解得x 20＝1，又x 0>0，∴x 0＝1.又∵点P 在曲线y ＝1x(x >0)上，∴y 0＝1，故点P 的坐标为(1，1).答案 (1)D (2)(1，1) 考点三 导数几何意义的应用【例3】 (1)(2019·全国Ⅲ卷)已知曲线y ＝a e x＋x ln x 在点(1，a e)处的切线方程为y ＝2x ＋b ，则( ) A.a ＝e ，b ＝－1 B.a ＝e ，b ＝1 C.a ＝e －1，b ＝1D.a ＝e －1，b ＝－1(2)(2019·泉州质检)若曲线y ＝x 2与y ＝a ln x (a ≠0)存在公共切线，则实数a 的取值范围是( ) A.(0，2e]B.(0，e]C.(－∞，0)∪(0，2e]D.(－∞，0)∪(0，e]解析 (1)∵y ′＝a e x＋ln x ＋1，∴k ＝y ′|x ＝1＝a e ＋1， ∴切线方程为y －a e ＝(a e ＋1)(x －1)， 即y ＝(a e ＋1)x －1.又已知切线方程为y ＝2x ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a e ＋1＝2，b ＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝e －1，b ＝－1. (2)设切线在曲线y ＝x 2上的切点坐标为(x 0，x 20)， 则切线方程为y ＝2x 0x －x 20，切线在y ＝a ln x 上的切点为(x 1，a ln x 1)， 该切线方程为y ＝ax 1x －a ＋a ln x 1 由于两曲线有相同的公切线， 因此a x 1＝2x 0，－x 20＝a ln x 1－a ， 消去x 0，得a ＝4x 21－4x 21ln x 1，设g (x )＝4x 2－4x 2ln x ，g ′(x )＝4x －8x ln x ，得到g (x )在(0，e 12)递增，在(e 12，＋∞)递减，故g (x )最大值为2e. 又x →＋∞时，g (x )→－∞；当x →0时，g (x )→0. 所以a 的取值范围为(－∞，0)∪(0，2e]. 答案 (1)D (2)C规律方法 1.处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：(1)切点处的导数是切线的斜率；(2)切点在切线上；(3)切点在曲线上. 2.利用导数的几何意义求参数范围时，注意化归与转化思想的应用.【训练3】 (1)(2020·重庆调研)已知直线y ＝1m是曲线y ＝x e x的一条切线，则实数m 的值为( ) A.－1eB.－eC.1eD.e(2)(2020·淄博联考)若函数f (x )＝ln x ＋2x 2－ax 的图象上存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，－6] B.(－∞，－6]∪[2，＋∞) C.[2，＋∞)D.(－∞，－6)∪(2，＋∞)解析 (1)设切点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫n ，1m ，由y ＝x e x，得y ′＝(x e x)′＝e x＋x e x. 若直线y ＝1m是曲线y ＝x e x的一条切线，y ′|x ＝n ＝e n ＋n e n ＝0，解得n ＝－1，因此1m ＝n e n＝－1e ，故m ＝－e.(2)直线2x －y ＝0的斜率k ＝2，又曲线f (x )上存在与直线2x －y ＝0平行的切线， ∴f ′(x )＝1x＋4x －a ＝2在(0，＋∞)内有解，则a ＝4x ＋1x－2，x >0.又4x ＋1x≥24x ·1x ＝4，当仅当x ＝12时取“＝”.∴a ≥4－2＝2. 答案 (1)B (2)CA 级 基础巩固一、选择题1.下列求导数的运算中错误的是( ) A.(3x)′＝3xln 3B.(x 2ln x )′＝2x ln x ＋xC.⎝⎛⎭⎪⎫cos x x ′＝x sin x －cos x x 2D.(sin x ·cos x )′＝cos 2x解析 因为⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x x ′＝－x sin x －cos x x 2，C 项错误.答案 C2.(2020·唐山模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≤0，－x 2＋ax ，x >0为奇函数，则曲线f (x )在x ＝2处的切线斜率等于( ) A.6B.－2C.－6D.－8解析 f (x )为奇函数，则f (－x )＝－f (x ). 取x >0，得x 2－2x ＝－(－x 2＋ax )，则a ＝2. 当x >0时，f ′(x )＝－2x ＋2. ∴f ′(2)＝－2. 答案 B3.函数y ＝e x ＋x ＋1在点(0，2)处的切线方程是( ) A.y ＝－2x ＋2 B.y ＝2x ＋2 C.y ＝－x ＋2D.y ＝x ＋2解析 函数y ＝e x＋x ＋1的导数为y ′＝e x＋1， 可得在点(0，2)处的切线的斜率为k ＝2， 所求切线方程为y ＝2x ＋2. 答案 B4.(2020·哈尔滨调研)若函数f (x )在R 上可导，且f (x )＝x 2＋2f ′(1)x ＋3，则( ) A.f (0)<f (4) B.f (0)＝f (4) C.f (0)>f (4)D.以上都不对解析 函数f (x )的导数f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)， 令x ＝1，得f ′(1)＝2＋2f ′(1)，即f ′(1)＝－2， 故f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，所以f (0)＝f (4)＝3. 答案 B5.(2020·安徽江南十校联考)若曲线y ＝a ln x ＋x 2(a >0)的切线的倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π2，则a ＝( )A.124B.38C.34D.32解析 因为y ＝a ln x ＋x 2(a >0，x >0)， 所以y ′＝a x ＋2x ≥22a ，当且仅当x ＝2a2时取等号. 因为曲线的切线的倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π2，则斜率k ≥3，因此3＝22a ，所以a ＝38.答案 B6.已知函数f (x )在R 上可导，其部分图象如图所示，设f （4）－f （2）4－2＝a ，则下列不等式正确的是( )A.a <f ′(2)<f ′(4)B.f ′(2)<a <f ′(4)C.f ′(4)<f ′(2)<aD.f ′(2)<f ′(4)<a解析 由函数f (x )的图象可知，在[0，＋∞)上，函数值的增长越来越快，故该函数图象在[0，＋∞)上的切线斜率也越来越大. 因为f （4）－f （2）4－2＝a ，所以f ′(2)<a <f ′(4).答案 B7.(2020·东莞检测)已知直线y ＝kx ＋1与曲线f (x )＝ln x 相切，则k ＝( ) A.1e2 B.1eC.eD.e 2解析 由f (x )＝ln x ，得f ′(x )＝1x ，设切点为(x 0，ln x 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ln x 0＝kx 0＋1，k ＝1x 0，解得x 0＝e 2，则k ＝1x 0＝1e 2.答案 A8.(2020·西安调研)已知函数f (x )＝e x＋ax －1的图象与x 轴相切，则a ＝( )A.－1B.0C.12D.1解析 设切点坐标为T (m ，0)，由f ′(x )＝e x ＋a ，得f ′(m )＝e m ＋a ＝0，则a ＝－e m ，又f (m )＝e m ＋am －1＝0，∴e m －e m ·m －1＝0，则e m ＝11－m， 从而可得m ＝0，∴a ＝－e m ＝－1.答案 A二、填空题9.(2019·天津卷)曲线y ＝cos x －x 2在点(0，1)处的切线方程为________. 解析 y ′＝－sin x －12，将x ＝0代入， 可得切线斜率为－12. 所以切线方程为y －1＝－12x ，即x ＋2y －2＝0. 答案 x ＋2y －2＝010.(2020·珠海六校联考)已知f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝________. 解析 因为f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝1－cos ⎝⎛⎭⎪⎫4x －2π3， 所以f ′(x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －2π3，故f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2 3. 答案 2 311.(2019·江西八校联考)已知曲线y ＝1x ＋ln x a在x ＝1处的切线l 与直线2x ＋3y ＝0垂直，则实数a 的值为________.解析 y ′＝－1x 2＋1ax ，当x ＝1时，y ′＝－1＋1a.由于切线l 与直线2x ＋3y ＝0垂直.所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋1a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝－1，解得a ＝25. 答案 2512.已知函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝2x －1，则曲线g (x )＝x 2＋f (x )在点(2，g (2))处的切线方程为________________.解析 由题意，知f (2)＝2×2－1＝3，∴g (2)＝4＋3＝7，∵g ′(x )＝2x ＋f ′(x )，f ′(2)＝2，∴g ′(2)＝2×2＋2＝6，∴曲线g (x )＝x 2＋f (x )在点(2，g (2))处的切线方程为y －7＝6(x －2)，即6x －y －5＝0. 答案 6x －y －5＝0B 级 能力提升13.(2020·兰州检测)若曲线y ＝e x 在x ＝0处的切线也是曲线y ＝ln x ＋b 的切线，则b ＝( )A.－1B.1C.2D.e 解析 y ＝e x 的导数为y ′＝e x ，则曲线y ＝e x 在x ＝0处的切线斜率k ＝1，则曲线y ＝e x 在x ＝0处的切线方程为y －1＝x ，即y ＝x ＋1.设y ＝x ＋1与y ＝ln x ＋b 相切的切点为(m ，m ＋1).又y ′＝1x ，则1m＝1，解得m ＝1.所以切点坐标为(1，2)， 则2＝b ＋ln 1，得b ＝2.答案 C14.给出定义：设f ′(x )是函数y ＝f (x )的导函数，f ″(x )是函数f ′(x )的导函数.若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”.已知函数f (x )＝5x ＋4sin x －cos x 的“拐点”是M (x 0，f (x 0))，则点M ( )A.在直线y ＝－5x 上B.在直线y ＝5x 上C.在直线y ＝－4x 上D.在直线y ＝4x 上解析 由题意，知f ′(x )＝5＋4cos x ＋sin x ，f ″(x )＝－4sin x ＋cos x ，由f ″(x 0)＝0，知4sin x 0－cos x 0＝0，所以f (x 0)＝5x 0，故点M (x 0，f (x 0))在直线y ＝5x 上.答案 B15.(2020·衡水中学调研)已知f ′(x )是函数f (x )的导函数，且对任意的实数x 都有f ′(x )＝e x (2x －2)＋f (x )(e 是自然对数的底数)，f (0)＝1，则f (x )＝________.解析 由f ′(x )＝e x (2x －2)＋f (x ).得f ′（x ）－f （x ）e x ＝2x －2，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）e x ′＝2x －2. ∴f （x ）e x ＝x 2－2x ＋c (c 为常数)，所以f (x )＝(x 2－2x ＋c )e x.又f (0)＝c ＝1，故f (x )＝e x (x －1)2.答案 e x (x －1)216.(2020·山东实验中学四校联考)曲线y ＝x 2－ln x 上的点到直线x －y －2＝0的最短距离是________.解析 设曲线在点P (x 0，y 0)(x 0>0)处的切线与直线x －y －2＝0平行，则y ′|x ＝x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x |x ＝x 0＝2x 0－1x 0＝1. ∴x 0＝1，y 0＝1，则P (1，1)，则曲线y ＝x 2－ln x 上的点到直线x －y －2＝0的最短距离d ＝|1－1－2|12＋（－1）2＝ 2. 答案 2C 级 创新猜想17.(多填题)已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c (b ，c ∈R )，F (x )＝f ′（x ）e x ，若F (x )的图象在x ＝0处的切线方程为y ＝－2x ＋c ，则b ＝________，函数f (x )的最小值是________.解析 ∵f ′(x )＝2x ＋b ，∴F (x )＝2x ＋b ex ， ∴F ′(x )＝2－2x －b ex . 又F (x )的图象在x ＝0处的切线方程为y ＝－2x ＋c .∴⎩⎪⎨⎪⎧F ′（0）＝2－b e 0＝－2，F （0）＝b ＝c ，解之得b ＝c ＝4.故f (x )＝x 2＋4x ＋4＝(x ＋2)2≥0，则f (x )min ＝0.答案 4 0 莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。
2021年高考数学一轮复习 第三章 第1讲 变化率与导数、导数的运算 文（含解析）一、选择题1．设函数f (x )是R 上以5为周期的可导偶函数，则曲线y ＝f (x )在x ＝5处的切线的斜率为( )A ．－15B ．0 C.15D ．5解析 因为f (x )是R 上的可导偶函数，所以f (x )的图象关于y 轴对称，所以f (x )在x ＝0处取得极值，即f ′(0)＝0，又f (x )的周期为5，所以f ′(5)＝0，即曲线y ＝f (x )在x ＝5处的切线的斜率为0，选B. 答案 B2．函数f (x )是定义在(0，＋∞)上的可导函数，且满足f (x )>0，xf ′(x )＋f (x )<0，则对任意正数a ，b ，若a >b ，则必有( )．A ．af (b )<bf (a )B ．bf (a )<af (b )C ．af (a )<f (b )D ．bf (b )<f (a )解析 构造函数F (x )＝f x x (x >0)，F ′(x )＝xf ′x －f xx 2，由条件知F ′(x )<0，∴函数F (x )＝f x x在(0，＋∞)上单调递减，又a >b >0，∴f aa<f b b，即bf (a )<af (b )．答案 B3．已知函数f (x )＝x 3＋2ax 2＋1ax (a >0)，则f (2)的最小值为( )．A ．1232B ．12＋8a ＋1aC ．8＋8a ＋2aD ．16解析f(2)＝8＋8a＋2a，令g(a)＝8＋8a＋2a，则g′(a)＝8－2a2，由g′(a)>0得a>12，由g′(a)<0得0<a<12，∴a＝12时f(2)有最小值．f(2)的最小值为8＋8×12＋212＝16.故选D.答案 D4．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln x，则f′(1)＝( )．A．－e B．－1 C．1 D．e解析由f(x)＝2xf′(1)＋ln x，得f′(x)＝2f′(1)＋1x ，∴f′(1)＝2f′(1)＋1，则f′(1)＝－1.答案 B5．等比数列{a n}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，则f′(0)＝( )．A．26 B．29 C．212 D．215解析函数f(x)的展开式含x项的系数为a1·a2·…·a8＝(a1·a8)4＝84＝212，而f′(0)＝a1·a2·…·a8＝212，故选C.答案 C6．已知函数f′(x)，g′(x)分别是二次函数f(x)和三次函数g(x)的导函数，它们在同一坐标系下的图象如图所示，设函数h(x)＝f(x)－g(x)，则 ( )．A．h(1)<h(0)<h(－1)B．h(1)<h(－1)<h(0)C．h(0)<h(－1)<h(1)D．h(0)<h(1)<h(－1)解析由图象可知f′(x)＝x，g′(x)＝x2，则f(x)＝12x2＋m，其中m为常数，g(x)＝13x3＋n，其中n为常数，则h(x)＝12x2－13x3＋m－n，得h(0)<h(1)<h(－1)．答案 D二、填空题7．曲线y＝x(3ln x＋1)在点(1,1)处的切线方程为________．解析 ∵y ＝x (3ln x ＋1)，∴y ′＝3ln x ＋1＋x ·3x＝3ln x ＋4，∴k ＝y ′|x ＝1＝4，∴所求切线的方程为y －1＝4(x －1)，即y ＝4x －3. 答案 y ＝4x －38．若过原点作曲线y ＝e x的切线，则切点的坐标为________，切线的斜率为________．解析 y ′＝e x，设切点的坐标为(x 0，y 0)则y 0x 0＝e x 0，即e x 0x 0＝e x 0，∴x 0＝1.因此切点的坐标为(1，e)，切线的斜率为e. 答案 (1，e) e9．已知函数f (x )在R 上满足f (x )＝2f (2－x )－x 2＋8x －8，则曲线y ＝f (x )在x ＝1处的导数f ′(1)＝________.解析 ∵f (x )＝2f (2－x )－x 2＋8x －8， ∴x ＝1时，f (1)＝2f (1)－1＋8－8， ∴f (1)＝1，即点(1,1)，在曲线y ＝f (x )上． 又∵f ′(x )＝－2f ′(2－x )－2x ＋8，x ＝1时，f ′(1)＝－2f ′(1)－2＋8，∴f ′(1)＝2. 答案 210．同学们经过市场调查，得出了某种商品在2011年的价格y (单位：元)与时间t (单位：月)的函数关系为：y ＝2＋t 220－t (1≤t ≤12)，则10月份该商品价格上涨的速度是______元/月．解析 ∵y ＝2＋t 220－t(1≤t ≤12)，∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋t 220－t ′＝2′＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t 220－t ′＝t 2′20－t －t 220－t ′20－t 2＝40t －t 220－t2.由导数的几何意义可知10月份该商品的价格的上涨速度应为y ′|t ＝10＝40×10－10220－102＝3.因此10月份该商品价格上涨的速度为3元/月． 答案 3 三、解答题11．求下列函数的导数：(1)y ＝(2x ＋1)n，(n ∈N *)； (2)y ＝ln (x ＋1＋x 2)；(3)y ＝e x＋1e x －1； (4)y ＝2x sin(2x ＋5)．解 (1)y ′＝n (2x ＋1)n －1·(2x ＋1)′＝2n (2x ＋1)n －1.(2)y ′＝1x ＋1＋x 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2x 21＋x 2＝11＋x 2. (3)∵y ＝e x＋1e x －1＝1＋2e x －1∴y ′＝－2exe x－12.(4)y ′＝2sin(2x ＋5)＋4x cos(2x ＋5)．12．设函数f (x )＝x 3＋2ax 2＋bx ＋a ，g (x )＝x 2－3x ＋2，其中x ∈R ，a 、b 为常数，已知曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在点(2,0)处有相同的切线l . (1)求a 、b 的值，并写出切线l 的方程；(2)若方程f (x )＋g (x )＝mx 有三个互不相同的实根0、x 1、x 2，其中x 1<x 2，且对任意的x ∈[x 1，x 2]，f (x )＋g (x )<m (x －1)恒成立，求实数m 的取值范围．解析 (1)f ′(x )＝3x 2＋4ax ＋b ，g ′(x )＝2x －3，由于曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在点(2,0)处有相同的切线，故有f (2)＝g (2)＝0，f ′(2)＝g ′(2)＝1，由此解得a ＝－2，b ＝5； 切线l 的方程为：x －y －2＝0.(2)由(1)得f (x )＋g (x )＝x 3－3x 2＋2x ，依题意得：方程x (x 2－3x ＋2－m )＝0有三个互不相等的根0，x 1，x 2，故x 1，x 2是方程x 2－3x ＋2－m ＝0的两个相异实根，所以Δ＝9－4(2－m )>0⇒m >－14；又对任意的x ∈[x 1，x 2]，f (x )＋g (x )<m (x －1)恒成立，特别地，取x ＝x 1时，f (x 1)＋g (x 1)－mx 1<－m 成立，即0<－m ⇒m <0，由韦达定理知：x 1＋x 2＝3>0，x 1x 2＝2－m >0，故0<x 1<x 2，对任意的x ∈[x 1，x 2]，有x －x 2≤0，x －x 1≥0，x >0，则f (x )＋g (x )－mx ＝x (x －x 1)(x －x 2)≤0； 又f (x 1)＋g (x 1)－mx 1＝0，所以函数在x ∈[x 1，x 2]上的最大值为0，于是当m <0时对任意的x ∈[x 1，x 2]，f (x )＋g (x )<m (x －1)恒成立．综上：m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，013．设函数f (x )＝ax －b x，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0. (1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．(1)解 方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3，当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋bx2，于是⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x.(2)证明 设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由f ′(x )＝1＋3x2知，曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋3x20·(x －x 0)，即y －⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x20(x －x 0)． 令x ＝0得，y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－6x 0.令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，此定值为6.14．设f (x )＝ln(x ＋1)＋x ＋1＋ax ＋b (a ，b ∈R ，a ，b ，为常数)，曲线y ＝f (x )与直线y ＝32x 在(0,0)点相切． (1)求a ，b 的值；(2)证明：当0<x <2时，f (x )<9x x ＋6. (1)解 由y ＝f (x )过(0,0)点，得b ＝－1. 由y ＝f (x )在(0,0)点的切线斜率为32，又y ′|x ＝0＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1＋12x ＋1＋a x ＝0＝32＋a ，得a ＝0.(2)证明 当x >0时，2x ＋1·1<x ＋1＋1＝x ＋2，故x ＋1<x 2＋1.记h (x )＝f (x )－9xx ＋6，则h ′(x )＝1x ＋1＋12x ＋1－54x ＋62＝2＋x ＋12x ＋1－54x ＋62<x ＋64x ＋1－54x ＋62＝x ＋63－216x ＋14x ＋1x ＋62. 令g (x )＝(x ＋6)3－216(x ＋1)，则当0<x<2时，g′(x)＝3(x＋6)2－216<0.因此g(x)在(0,2)内是递减函数，又由g(0)＝0，得g(x)<0，所以h′(x)<0.因此h(x)在(0,2)内是递减函数，又h(0)＝0，得h(x)<0.于是当0<x<2时，f(x)<9xx＋6.5w!L=UxJ%33163 818B 膋JH35395 8A43 詃25295 62CF 拏u。
2021高考数学一轮复习第3章导数及其应用第1讲变化率与导数导数的运算分层演练文20210910160一、选择题1．已知函数f (x )＝1x cos x ，则f (π)＋f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝( ) A ．－3π2B ．－1π2C ．－3πD ．－1π解析：选C.因为f ′(x )＝－1x 2cos x ＋1x (－sin x )，因此f (π)＋f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－1π＋2π·(－1)＝－3π.2．曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为( ) A ．(1－e)x －y ＋1＝0 B ．(1－e)x －y －1＝0 C ．(e －1)x －y ＋1＝0 D ．(e －1)x －y －1＝0解析：选C.由于y ′＝e －1x，因此y ′|x ＝1＝e －1，故曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为y －e ＝(e －1)(x －1)，即(e －1)x －y ＋1＝0.3．已知f (x )＝ax 4＋b cos x ＋7x －2.若f ′(2 018)＝6，则f ′(－2 018)＝( ) A ．－6 B ．－8 C ．6 D ．8解析：选D.因为f ′(x )＝4ax 3－b sin x ＋7.因此f ′(－x )＝4a (－x )3－b sin(－x )＋7＝－4ax 3＋b sin x ＋7.因此f ′(x )＋f ′(－x )＝14.又f ′(2 018)＝6，因此f ′(－2 018)＝14－6＝8，故选D.4．如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，其中g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )A ．－1B ．0C ．2D ．4解析：选B.由题图可得曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，即f ′(3)＝－13.又因为g (x )＝xf (x )，因此g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，由图可知f (3)＝1，因此g ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0.5．若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2距离的最小值为( ) A ．1 B. 2 C.22D. 3解析：选B.因为定义域为(0，＋∞)，令y ′＝2x －1x＝1，解得x ＝1，则在P (1，1)处的切线方程为x －y ＝0，因此两平行线间的距离为d ＝22＝ 2.6．已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m ＜0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，且与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m 的值为( )A ．－1B ．－3C ．－4D ．－2解析：选D.因为f ′(x )＝1x，因此直线l 的斜率为k ＝f ′(1)＝1，又f (1)＝0，因此切线l 的方程为y ＝x －1.g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0，y 0)，则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0＋72，m ＜0，因此解得m ＝－2.二、填空题7．曲线y ＝ln x 在与x 轴交点处的切线方程为________．解析：因为曲线y ＝ln x 与x 轴的交点为(1，0)，且函数y ＝ln x 的导函数为y ′＝1x，因此曲线y ＝ln x 在点(1，0)处的切线的斜率为k ＝11＝1.即过点(1，0)，且斜率为1的直线的方程为y －0＝1(x －1)，整理得x －y －1＝0.答案：x －y －1＝08．设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x，则f ′(2 018)＝________．解析：令e x＝t ，则x ＝ln t ，因此f (t )＝ln t ＋t ，故f (x )＝ln x ＋x .求导得f ′(x )＝1x ＋1，故f ′(2 018)＝12 018＋1＝2 0192 018. 答案：2 0192 0189．(2021·高考天津卷)已知a ∈R ，设函数f (x )＝ax －ln x 的图象在点(1，f (1))处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为________．解析：因为f ′(x )＝a －1x，因此f ′(1)＝a －1，又f (1)＝a ，因此切线l 的方程为y－a ＝(a －1)(x －1)，令x ＝0，得y ＝1.答案：110．(2020·云南第一次统考)已知函数f (x )＝ax ln x ＋b (a ，b ∈R )，若f (x )的图象在x ＝1处的切线方程为2x －y ＝0，则a ＋b ＝________．解析：由题意，得f ′(x )＝a ln x ＋a ，因此f ′(1)＝a ，因为函数f (x )的图象在x ＝1处的切线方程为2x －y ＝0，因此a ＝2，又f (1)＝b ，则2×1－b ＝0，因此b ＝2，故a ＋b ＝4.答案：4 三、解答题11．已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值； (2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范畴．解：f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)．(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＝b ＝0，f ′（0）＝－a （a ＋2）＝－3，解得b ＝0，a ＝－3或a ＝1.(2)因为曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，因此关于x 的方程f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)＝0有两个不相等的实数根，因此Δ＝4(1－a )2＋12a (a ＋2)>0， 即4a 2＋4a ＋1>0，因此a ≠－12.因此a 的取值范畴为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞. 12．已知函数f (x )＝x 3＋x －16.(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且通过原点，求直线l 的方程及切点坐标； (3)假如曲线y ＝f (x )的某一切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．解：(1)可判定点(2，－6)在曲线y ＝f (x )上．因为f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1.因此f (x )在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13. 因此切线的方程为y ＝13(x －2)＋(－6)， 即y ＝13x －32.(2)设切点为(x 0，y 0)，则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1， 因此直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16， 又因为直线l 过点(0，0)，因此0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16，整理得，x 30＝－8，因此x 0＝－2，因此y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26， k ＝3×(－2)2＋1＝13.因此直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)． (3)因为切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，因此切线的斜率k ＝4. 设切点的坐标为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4，因此x 0＝±1.因此⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，y 0＝－14或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝－18， 即切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)，切线方程为y ＝4(x －1)－14或y ＝4(x ＋1)－18. 即y ＝4x －18或y ＝4x －14.。
第1讲变化率与导数、导数的计算一、知识梳理1．导数的概念(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数一般地，称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率f（x0＋Δx）－f（x0）Δx＝ΔyΔx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ΔyΔx＝f（x0＋Δx）－f（x0）Δx．[提醒] f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值；(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，而函数值f(x0)是一个常量，其导数一定为0，即(f(x0))′＝0.(2)导数的几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x －x0)．(3)函数f(x)的导函数称函数f′(x)＝f（x＋Δx）－f（x）Δx为f(x)的导函数．2．基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0f(x)＝x n(n∈Q*)f′(x)＝nx n－1f(x)＝sin x f′(x)＝cos xf(x)＝cos x f′(x)＝－sin xf(x)＝a x f′(x)＝a x ln a(a >0且a ≠1)f (x )＝e x f ′(x )＝e x f (x )＝log a x(x >0，a >0且a ≠1)f ′(x )＝1x ln af (x )＝ln x(x >0)f ′(x )＝1x(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )． (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )． (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2(g (x )≠0)．[提醒] 求导常见易错点：①公式(x n)′＝nx n －1与(a x )′＝a xln a 相互混淆；②公式中“＋”“－”号记混，如出现如下错误：⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）＋f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2，(cos x )′＝sin x .常用结论1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数．周期函数的导数还是周期函数． 2．函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．二、习题改编1．(选修11P85A 组T5改编)已知函数f (x )＝2xf ′(1)＋x ln x ，则f ′(1)＝( ) A ．e B ．1 C ．－1 D ．－e答案：C2．(选修11P85A 组T6改编)设函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ，若f (x )为奇函数，则曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为( )A ．y ＝－2xB ．y ＝－xC ．y ＝2xD ．y ＝x解析：选D.因为函数f (x )是奇函数，所以a －1＝0，得a ＝1，所以f (x )＝x 3＋x ，f ′(x )＝3x 2＋1，所以f ′(0)＝1，f (0)＝0，所以曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为y －f (0)＝f ′(0)x ，即y ＝x .故选D.一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．( )(2)求f′(x0)时，可先求f(x0)，再求f′(x0)．( )(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( )(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( )(5)曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线与过点P(x0，y0)的切线相同．( ) 答案：(1)×(2)×(3)√(4)×(5)×二、易错纠偏常见误区(1)混淆平均变化率与导数的区别；(2)导数的运算法则运用不正确．1．函数f(x)＝x2在区间[1，2]上的平均变化率为，在x＝2处的导数为．解析：函数f(x)＝x2在区间[1，2]上的平均变化率为22－122－1＝3；因为f′(x)＝2x，所以f(x)在x＝2处的导数为2×2＝4.答案：3 42．函数y＝ln xe x的导函数为．解析：y′＝1xe x－e x ln x（e x）2＝1－x ln xx e x.答案：y′＝1－x ln xx e x导数的运算(多维探究)角度一求已知函数的导数求下列函数的导数：(1)y＝x2sin x；(2)y＝ln x＋1x.【解】(1)y′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′＝2x sin x＋x2cos x.(2)y′＝⎝⎛⎭⎪⎫ln x＋1x′＝(lnx)′＋⎝⎛⎭⎪⎫1x′＝1x－1x2.[注意] 求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则先化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量．角度二 求抽象函数的导数值已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足关系式f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，则f ′(2)＝ ．【解析】 因为f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，所以f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)＋1x，所以f ′(2)＝4＋3f ′(2)＋12＝3f ′(2)＋92，所以f ′(2)＝－94.【答案】 －94对解析式中含有导数值的函数，即解析式类似f (x )＝f ′(x 0)g (x )＋h (x )(x 0为常数)的函数，解决这类问题的关键是明确f ′(x 0)是常数，其导数值为0.因此先求导数f ′(x )，令x ＝x 0，即可得到f ′(x 0)的值，进而得到函数解析式，求得所求导数值．1．下列求导运算正确的是( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫1ln x ′＝xB ．(x 2e x )′＝2x ＋e xC ．(x cos x )′＝－sin xD ．⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ′＝1＋1x2解析：选D.对于A ：⎝⎛⎭⎪⎫1ln x ′＝－1ln 2x ·(ln x )′＝－1x ln 2 x ，对于B ：(x 2e x)′＝(x 2＋2x )e x， 对于C ：(x cos x )′＝cos x －x sin x ， 对于D ：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ′＝1＋1x2.2．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝3x 2＋2x ·f ′(2)，则f ′(5)＝( ) A ．2B ．4C ．6D ．8解析：选C.由已知得，f ′(x )＝6x ＋2f ′(2)， 令x ＝2，得f ′(2)＝－12.再令x ＝5，得f ′(5)＝6×5＋2f ′(2)＝30－24＝6. 3．求下列函数的导数： (1)y ＝x (ln x ＋cos x )； (2)y ＝sin x ＋x x；(3)y ＝x ln x .解：(1)y ′＝ln x ＋cos x ＋x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x－sin x ＝ln x ＋cos x －x sin x ＋1.(2)y ′＝（cos x ＋1）x －（sin x ＋x ）x 2＝x cos x －sin x x2. (3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12·1x ln x ＋x ·1x ＝2＋ln x 2x.导数的几何意义(多维探究) 角度一 求切线方程(2020·湖南省湘东六校联考)已知曲线f (x )＝e x＋x 2，则曲线在(0，f (0))处的切线与坐标轴围成的图形的面积为 ．【解析】 由题意，得f ′(x )＝e x＋2x ，所以f ′(0)＝1.又f (0)＝1，所以曲线在(0，f (0))处的切线方程为y －1＝1×(x －0)，即x －y ＋1＝0，所以该切线与x ，y 轴的交点分别为(－1，0)，(0，1)，所以该切线与坐标轴围成的图形的面积为12×1×1＝12.【答案】 12求曲线切线方程的步骤(1)求出函数y ＝f (x )在点x ＝x 0处的导数，即曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处切线的斜率．(2)由点斜式方程求得切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)·(x －x 0)．[注意] “过”与“在”：曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别：前者P (x 0，y 0)为切点，而后者P (x 0，y 0)不一定为切点．角度二 求切点坐标若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是 ．【解析】 设切点P 的坐标为(x 0，y 0)，因为y ′＝ln x ＋1， 所以切线的斜率k ＝ln x 0＋1，由题意知k ＝2，得x 0＝e ，代入曲线方程得y 0＝e. 故点P 的坐标是(e ，e)． 【答案】 (e ，e)【迁移探究】 (变条件)若本例变为：若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则该切线的方程为 ．解析：设切点P 的坐标为(x 0，y 0)，因为y ′＝ln x ＋1，由题意得ln x 0＋1＝1， 所以ln x 0＝0，x 0＝1，即点P (1，0)， 所以切线方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0. 答案：x －y －1＝0求切点坐标的思路已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标．角度三 已知切线方程(或斜率)求参数值(2019·高考全国卷Ⅲ)已知曲线y ＝a e x＋x ln x 在点(1，a e)处的切线方程为y＝2x ＋b ，则( )A ．a ＝e ，b ＝－1B ．a ＝e ，b ＝1C ．a ＝e －1，b ＝1D ．a ＝e －1，b ＝－1【解析】 因为y ′＝a e x＋ln x ＋1，所以y ′|x ＝1＝a e ＋1，所以切线方程为y －a e ＝(a e ＋1)(x －1)，即y ＝(a e ＋1)x －1，与切线方程y ＝2x ＋b对照，可得⎩⎪⎨⎪⎧a e ＋1＝2，b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝e －1，b ＝－1.故选D. 【答案】 D处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．1．(2019·高考全国卷Ⅱ)曲线y ＝2sin x ＋cos x 在点(π，－1)处的切线方程为( ) A ．x －y －π－1＝0B ．2x －y －2π－1＝0C．2x＋y－2π＋1＝0 D．x＋y－π＋1＝0解析：选C.依题意得y′＝2cos x－sin x，y′|x＝π＝(2cos x－sin x)|x＝π＝2cos π－sin π＝－2，因此所求的切线方程为y＋1＝－2(x－π)，即2x＋y－2π＋1＝0，故选C.2．如图，已知直线l是曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线，则直线l的方程是；f(2)＋f′(2)的值为．解析：由图象可得直线l经过点(2，3)和(0，4)，则直线l的斜率为k＝4－30－2＝－12，可得直线l的方程为y＝－12x＋4，即为x＋2y－8＝0；由导数的几何意义可得f′(2)＝－12，则f(2)＋f′(2)＝3－12＝52.答案：x＋2y－8＝0523．(2020·郑州市第一次质量预测)已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R)的图象与直线x－y ＋1＝0相切，则实数a的值为．解析：设直线x－y＋1＝0与函数f(x)＝ln x－ax的图象的切点为P(x0，y0)，因为f′(x)＝1x－a，所以由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x0－y0＋1＝0f′（x0）＝1x0－a＝1f（x0）＝ln x0－ax0＝y0，解得a＝1e2－1.答案：1e2－1核心素养系列7 数学运算——求曲线的切线方程数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程．主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等．已知曲线y＝13x3上一点P⎝⎛⎭⎪⎫2，83，则过点P的切线方程为．【解析】 (1)当P 为切点时，由y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3′＝x 2，得y ′|x ＝2＝4，即过点P 的切线方程的斜率为4. 则所求的切线方程是y －83＝4(x －2)，即12x －3y －16＝0；(2)当P 点不是切点时，设切点为Q (x 0，y 0)， 则切线方程为y －13x 30＝x 20(x －x 0)，因为切线过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，83，把P 点的坐标代入切线方程， 求得x 0＝－1或x 0＝2(即点P ，舍去)， 所以切点为Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－13， 即所求切线方程为3x －3y ＋2＝0.综上所述，过点P 的切线方程为12x －3y －16＝0或3x －3y ＋2＝0. 【答案】 12x －3y －16＝0或3x －3y ＋2＝0求曲线的切线问题时，要明晰所运算的对象(切线)涉及的点是“在”还是“过”，然后利用求切线方程的方法进行求解．(1)“在”曲线上一点处的切线问题，先对函数求导，代入点的横坐标得到斜率． (2)“过”曲线上一点的切线问题，此时该点未必是切点，故应先设切点，求切点坐标．1．(2019·高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y ＝ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点(－e ，－1)(e 为自然对数的底数)，则点A 的坐标是 ．解析：设A (m ，n )，则曲线y ＝ln x 在点A 处的切线方程为y －n ＝1m(x －m )．又切线过点(－e ，－1)，所以有n ＋1＝1m(m ＋e)．再由n ＝ln m ，解得m ＝e ，n ＝1. 故点A 的坐标为(e ，1)． 答案：(e ，1)2．(2020·安徽安庆期末改编)已知函数y ＝f (x )对任意的x ∈R 都有f (1－x )－2f (x )＝x 2－1，则f (－1)＝ ，曲线y ＝f (x )在点(－1，f (－1))处的切线方程为 ．解析：由题可得⎩⎪⎨⎪⎧f （1－x ）－2f （x ）＝x 2－1，f （x ）－2f （1－x ）＝（1－x ）2－1，解得f (x )＝－x 2＋23x ＋23.所以f (－1)＝－1，f ′(x )＝－2x ＋23，所以f ′(－1)＝83，所以曲线y ＝f (x )在点(－1，f (－1))处的切线方程为y ＋1＝83(x ＋1)，即8x －3y ＋5＝0.答案：－1 8x －3y ＋5＝0[基础题组练]1．下列求导数的运算中错误的是( ) A ．(3x )′＝3xln 3 B ．(x 2ln x )′＝2x ln x ＋x C.⎝⎛⎭⎪⎫cos x x ′＝x sin x －cos x x 2D ．(sin x ·cos x )′＝cos 2x 解析：选C.因为⎝⎛⎭⎪⎫cos x x ′＝－x sin x －cos x x 2，C 项错误．2．已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( )A ．3B ．2C ．1D ．12解析：选A.因为y ′＝x 2－3x ，令y ′＝12，解得x ＝3，即切点的横坐标为3.3．已知函数f (x )可导，则lim Δx →0f （2＋2Δx ）－f （2）2Δx等于( )A ．f ′(x )B ．f ′(2)C ．f (x )D ．f (2)解析：选B.因为函数f (x )可导， 所以f ′(x )＝lim Δx →0f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx，所以lim Δx →0f （2＋2Δx ）－f （2）2Δx＝f ′(2)．4．函数g (x )＝x 3＋52x 2＋3ln x ＋b (b ∈R )在x ＝1处的切线过点(0，－5)，则b 的值为( )A.72B.52C.32D ．12解析：选B.当x ＝1时，g (1)＝1＋52＋b ＝72＋b ，又g ′(x )＝3x 2＋5x ＋3x，所以切线斜率k ＝g ′(1)＝3＋5＋3＝11， 从而切线方程为y ＝11x －5，由于点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，72＋b 在切线上，所以72＋b ＝11－5， 解得b ＝52.故选B.5．已知函数f (x )及其导数f ′(x )，若存在x 0使得f (x 0)＝f ′(x 0)，则称x 0是f (x )的一个“巧值点”．给出下列四个函数：①f (x )＝x 2；②f (x )＝e －x；③f (x )＝ln x ；④f (x )＝tan x .其中有“巧值点”的函数的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B.对于①，若f (x )＝x 2，则f ′(x )＝2x ，令x 2＝2x ，得x ＝0或x ＝2，这个方程显然有解，故①符合要求；对于②，若f (x )＝e －x，则f ′(x )＝－e －x，即e －x＝－e －x，此方程无解，②不符合要求；对于③，若f (x )＝ln x ，则f ′(x )＝1x ，若ln x ＝1x，利用数形结合法可知该方程存在实数解，③符合要求；对于④，若f (x )＝tan x ，则f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x ′＝1cos 2x ，令f (x )＝f ′(x )，即sin x cos x ＝1，变形可sin 2x ＝2，无解，④不符合要求．故选B.6．(2020·江西南昌一模)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，其导函数为f ′(x )，且f (lnx )＝x ＋ln x ，则f ′(1)＝ ．解析：因为f (ln x )＝x ＋ln x ，所以f (x )＝x ＋e x， 所以f ′(x )＝1＋e x ，所以f ′(1)＝1＋e 1＝1＋e. 答案：1＋e7．(2020·四川绵阳一诊改编)若函数f (x )＝x 3＋(t －1)x －1的图象在点(－1，f (－1))处的切线平行于x 轴，则t ＝ ，切线方程为 ．解析：因为函数f (x )＝x 3＋(t －1)x －1，所以f ′(x )＝3x 2＋t －1.因为函数f (x )的图象在点(－1，f (－1))处的切线平行于x 轴，所以f ′(－1)＝3×(－1)2＋t －1＝2＋t ＝0，解得t ＝－2.此时f (x )＝x 3－3x －1，f (－1)＝1，切线方程为y ＝1.答案：－2 y ＝18．已知函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝2x －1，则曲线g (x )＝x 2＋f (x )在点(2，g (2))处的切线方程为 ．解析：由题意知，f (2)＝2×2－1＝3，所以g (2)＝4＋3＝7，因为g ′(x )＝2x ＋f ′(x )，f ′(2)＝2，所以g ′(2)＝2×2＋2＝6，所以曲线g (x )＝x 2＋f (x )在点(2，g (2))处的切线方程为y －7＝6(x －2)，即6x －y －5＝0.答案：6x －y －5＝0 9．求下列函数的导数： (1)y ＝(3x 2－4x )(2x ＋1)； (2)y ＝sin x2(1－2cos 2x4)；(3)y ＝ln x x 2＋1. 解：(1)因为y ＝(3x 2－4x )(2x ＋1) ＝6x 3＋3x 2－8x 2－4x ＝6x 3－5x 2－4x ， 所以y ′＝18x 2－10x －4.(2)因为y ＝sin x 2(－cos x 2)＝－12sin x ，所以y ′＝(－12sin x )′＝－12(sin x )′＝－12cos x .(3)y ′＝（ln x ）′（x 2＋1）－ln x （x 2＋1）′（x 2＋1）2＝1x（x 2＋1）－2x ln x （x 2＋1）2＝x 2＋1－2x 2ln xx （x 2＋1）2.10．(2020·甘肃会宁一中模拟)已知曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线l 1平行于直线4x －y －1＝0，且点P 0在第三象限．(1)求P 0的坐标；(2)若直线l ⊥l 1，且l 也过切点P 0，求直线l 的方程． 解：(1)由y ＝x 3＋x －2，得y ′＝3x 2＋1. 令3x 2＋1＝4，解得x ＝±1.当x ＝1时，y ＝0；当x ＝－1时，y ＝－4.又点P 0在第三象限，所以切点P 0的坐标为(－1，－4)．(2)因为直线l ⊥l 1，l 1的斜率为4，所以直线l 的斜率为－14.因为l 过切点P 0，点P 0的坐标为(－1，－4)， 所以直线l 的方程为y ＋4＝－14(x ＋1)，即x ＋4y ＋17＝0.[综合题组练]1.如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )A ．－1B ．0C ．3D ．4解析：选B.由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率为－13，即f ′(3)＝－13，又g (x )＝xf (x )，g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，由题图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0.2．(2020·成都第二次诊断检测)若曲线y ＝f (x )＝ln x ＋ax 2(a 为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞C ．(0，＋∞)D ．[0，＋∞)解析：选D.f ′(x )＝1x ＋2ax ＝2ax 2＋1x(x >0)，根据题意有f ′(x )≥0(x >0)恒成立，所以2ax 2＋1≥0(x >0)恒成立，即2a ≥－1x2(x >0)恒成立，所以a ≥0，故实数a 的取值范围为[0，＋∞)．故选D.3．已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值； (2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围． 解：f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)． (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＝b ＝0，f ′（0）＝－a （a ＋2）＝－3，解得b ＝0，a ＝－3或a ＝1.(2)因为曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，所以关于x 的方程f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)＝0有两个不相等的实数根， 所以Δ＝4(1－a )2＋12a (a ＋2)>0， 即4a 2＋4a ＋1>0， 所以a ≠－12.所以a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞. 4．已知抛物线C ：y ＝－x 2＋92x －4，过原点O 作C 的切线y ＝kx ，使切点P 在第一象限．(1)求k 的值；(2)过点P 作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q 的坐标． 解：(1)设点P 的坐标为(x 1，y 1)， 则y 1＝kx 1，①y 1＝－x 21＋92x 1－4，②将①代入②得x 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫k －92x 1＋4＝0.因为P 为切点，所以Δ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k －922－16＝0，得k ＝172或k ＝12. 当k ＝172时，x 1＝－2，y 1＝－17.当k ＝12时，x 1＝2，y 1＝1.因为P 在第一象限， 所以k ＝12.(2)过P 点作切线的垂线， 其方程为y ＝－2x ＋5.③ 将③代入抛物线方程得，x 2－132x ＋9＝0.设Q 点的坐标为(x 2，y 2)，则2x 2＝9， 所以x 2＝92，y 2＝－4.所以Q 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫92，－4.。
第3章 导数及其应用全国卷五年考情图解高考命题规律把握1.考查形式本章内容在高考中一般是“一大一小”. 2.考查内容(1)导数的几何意义一般在选择题或填空题中考查,有时与函数的性质相结合出现在压轴小题中. (2)解答题一般都是两问的题目,第一问考查曲线的切线方程、函数的单调区间、函数的极值点等,属于基础问题．第二问利用导数证明不等式,已知单调区间或极值求参数的取值范围,函数的零点等问题.3.备考策略(1)熟练掌握导数的运算公式,重点研究导数的几何意义、导数与函数的单调性、导数与极(最)值、导数与不等式、导数与函数的零点等问题.(2)加强数形结合、分类讨论等数学思想的应用.[最新考纲] 1.了解导数概念的实际背景,理解导数的几何意义.2.能根据导数定义求函数y ＝C (C 为常数),y ＝x ,y ＝x 2,y ＝x 3,y ＝1x,y ＝x 的导数.3.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．(对应学生用书第39页)1．导数与导函数的概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数称函数y ＝f (x )在x 0点的瞬时变化率为函数y ＝f (x )在点x 0处的导数,用f ′(x 0)表示,记作f ′(x 0)＝lim Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx.(2)导数的几何意义函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0,f (x 0))处的切线的斜率．相应地,切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．(3)函数f (x )的导函数如果一个函数f (x )在区间(a ,b )上的每一点x 处都有导数,导数值记为f ′(x )：f ′(x )＝lim Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx ,则f ′(x )是关于x 的函数,称f ′(x )为f (x )的导函数,通常也简称为导数．2．导数公式表(其中三角函数的自变量单位是弧度)函数导函数函数导函数y ＝c (c 是常数) y ′＝0 y ＝sin x y ′＝cos_x y ＝x α(α是实数) y ′＝αx α－1 y ＝cos x y ′＝－sin_x y ＝a x (a ＞0,a ≠1)y ′＝a x ln_a 特别地(e x)′＝e xy ＝tan xy ′＝1cos 2xy ＝log a x (a ＞0,a ≠1)y ′＝1x ln a特别地(ln x )′＝1xy ＝cot x y ′＝－1sin 2x3.导数的运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝f ′x g x －f x g ′x [g x ]2(g (x )≠0)． [常用结论]1．奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数,周期函数的导数还是周期函数． 2．[af (x )±bg (x )]′＝af ′(x )±bg ′(x )．3．函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势,其正负号反映了变化的方向,其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢,|f ′(x )|越大,曲线在这点处的切线越“陡”．一、思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率．( )(2)f′(x0)与[f(x0)]′表示的意义相同．( )(3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( )(4)函数f(x)＝sin(－x)的导数是f′(x)＝cos x．( )[答案](1)×(2)×(3)×(4)×二、教材改编1．函数y＝x cos x－sin x的导数为( )A．x sin x B．－x sin xC．x cos x D．－x cos xB[y′ ＝x′cos x＋x(cos x)′－(sin x)′＝cos x－x sin x－cos x＝－x sin x．] 2．曲线y＝x3＋11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是( )A．－9 B．－3 C．9 D．15C[因为y＝x3＋11,所以y′＝3x2,所以y′|x＝1＝3,所以曲线y＝x3＋11在点P(1,12)处的切线方程为y－12＝3(x－1)．令x＝0,得y＝9.故选C.]3．函数y＝f(x)的图像如图,则导函数f′(x)的大致图像为( )A B C DB[由导数的几何意义可知,f′(x)为常数,且f′(x)＜0.]4．在高台跳水运动中,t s时运动员相对于水面的高度(单位：m)是h(t)＝－4.9t2＋6.5t ＋10,则运动员的速度v＝________m/s,加速度a＝________m/s2.－9.8t＋6.5 －9.8 [v＝h′(t)＝－9.8t＋6.5,a＝v′(t)＝－9.8.](对应学生用书第40页)⊙考点1 导数的计算(1)求函数的导数要准确地把函数分解为基本初等函数的和、差、积、商,再利用运算法则求导数．(2)在求导过程中,要仔细分析函数解析式的结构特征,紧扣法则,记准公式,避免运算错误．已知函数解析式求函数的导数求下列各函数的导数：(1)y ＝x 2x ；(2)y ＝tan x ； (3)y ＝2sin 2x2－1.[解](1)先变形：y ＝2x 32, 再求导：y ′＝(2x 32)′＝322x 12.(2)先变形：y ＝sin xcos x,再求导：y ′＝sin x cos x ′＝sin x ′·cos x －sin x ·cos x ′cos 2x ＝1cos 2x. (3)先变形：y ＝－cos x ,再求导：y ′＝－(cos x )′＝－(－sin x )＝sin x . [逆向问题]已知f (x )＝x (2 017＋ln x ),若f ′(x 0)＝2 018,则x 0＝________. 1 [因为f (x )＝x (2 017＋ln x ),所以f ′(x )＝2 017＋ln x ＋1＝2 018＋ln x , 又f ′(x 0)＝2 018,所以2 018＋ln x 0＝2 018,所以x 0＝1.]求导之前先对函数进行化简减小运算量．如本例(1)(3)． 抽象函数求导已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1),则f ′(0)＝________.－4 [∵f ′(x )＝2x ＋2f ′(1), ∴f ′(1)＝2＋2f ′(1), ∴f ′(1)＝－2,∴f ′(0)＝2f ′(1)＝2×(－2)＝－4.]赋值法是求解此类问题的关键,求解时先视f ′(1)为常数,然后借助导数运算法则计算f ′(x ),最后分别令x ＝1,x ＝0代入f ′(x )求解即可．1.已知函数f (x )＝e xln x ,f ′(x )为f (x )的导函数,则f ′(1)的值为________．e [由题意得f ′(x )＝e x ln x ＋e x·1x,则f ′(1)＝e.]2．已知函数f (x )的导函数为f ′(x ),且满足关系式f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ,则f ′(2)＝________.－94 [因为f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ,所以f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)＋1x ,所以f ′(2)＝4＋3f ′(2)＋12＝3f ′(2)＋92,所以f ′(2)＝－94.]3．求下列函数的导数： (1)y ＝cos x －sin x ； (2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)； (3)y ＝ln xx 2＋1. [解](1)y ′＝(cos x )′－(sin x )′＝－sin x －cos x . (2)∵y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3) ＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3) ＝x 3＋6x 2＋11x ＋6, ∴y ′＝3x 2＋12x ＋11.(3)y ′＝ln x ′x 2＋1－ln x x 2＋1′x 2＋12＝1xx 2＋1－2x ln xx 2＋12＝x 21－2ln x ＋1x x 2＋12.⊙考点2 导数的几何意义导数几何意义的应用类型及求解思路(1)已知切点A (x 0,f (x 0))求斜率k ,即求该点处的导数值：k ＝f ′(x 0)． (2)若求过点P (x 0,y 0)的切线方程,可设切点为(x 1,y 1),由⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝f x 1，y 0－y 1＝f ′x 1x 0－x 1求解即可．求切线方程(1)(2019·全国卷Ⅰ)曲线y ＝3(x 2＋x )e x在点(0,0)处的切线方程为________．(2)已知函数f (x )＝x ln x ,若直线l 过点(0,－1),并且与曲线y ＝f (x )相切,则直线l 的方程为________．(1)3x －y ＝0 (2)x －y －1＝0 [(1)∵y ′＝3(x 2＋3x ＋1)e x,∴曲线在点(0,0)处的切线斜率k ＝y ′|x ＝0＝3,∴曲线在点(0,0)处的切线方程为y ＝3x .(2)∵点(0,－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上, ∴设切点为(x 0,y 0)．又∵f ′(x )＝1＋ln x , ∴直线l 的方程为y ＋1＝(1＋ln x 0)x .∴由⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝1＋ln x 0x 0，解得x 0＝1,y 0＝0.∴直线l 的方程为y ＝x －1,即x －y －1＝0.](1)求解曲线切线问题的关键是求切点的横坐标,在使用切点横坐标求切线方程时应注意其取值范围；(2)注意曲线过某点的切线和曲线在某点处的切线的区别．如本例(1)是“在点(0,0)”,本例(2)是“过点(0,－1)”,要注意二者的区别．求切点坐标(2019·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中,点A 在曲线y ＝ln x 上,且该曲线在点A 处的切线经过点(－e,－1)(e 为自然对数的底数),则点A 的坐标是________．(e,1) [设A (x 0,y 0),由y ′＝1x ,得k ＝1x 0,所以在点A 处的切线方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)．因为切线经过点(－e,－1),所以－1－ln x 0＝1x 0(－e －x 0)．所以ln x 0＝ex 0,令g (x )＝ln x －ex(x ＞0),则g ′(x )＝1x ＋ex2,则g ′(x )＞0,∴g (x )在(0,＋∞)上为增函数． 又g (e)＝0,∴ln x ＝ex有唯一解x ＝e.∴x 0＝e.∴点A 的坐标为(e,1)．]f ′(x )＝k (k 为切线斜率)的解即为切点的横坐标,抓住切点既在曲线上也在切线上,是求解此类问题的关键．求参数的值(1)(2019·全国卷Ⅲ)已知曲线y ＝a e x＋x ln x 在点(1,a e)处的切线方程为y ＝2x＋b ,则( )A ．a ＝e,b ＝－1B ．a ＝e,b ＝1C ．a ＝e －1,b ＝1D ．a ＝e －1,b ＝－1(2)已知f (x )＝ln x ,g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m ＜0),直线l 与函数f (x ),g (x )的图像都相切,与f (x )图像的切点为(1,f (1)),则m ＝________.(1)D (2)－2 [(1)∵y ′＝a e x＋ln x ＋1,∴y ′|x ＝1＝a e ＋1,∴2＝a e ＋1,∴a ＝e －1.∴切点为(1,1),将(1,1)代入y ＝2x ＋b ,得1＝2＋b , ∴b ＝－1,故选D.(2)∵f ′(x )＝1x,∴直线l 的斜率k ＝f ′(1)＝1.又f (1)＝0,∴切线l 的方程为y ＝x －1.g ′(x )＝x ＋m ,设直线l 与g (x )的图像的切点为(x 0,y 0), 则有x 0＋m ＝1,y 0＝x 0－1,y 0＝12x 20＋mx 0＋72,m ＜0,∴m ＝－2.]已知切线方程(或斜率)求参数值的关键就是列出函数的导数等于切线斜率的方程,同时注意曲线上点的横坐标的取值范围．导数与函数图像(1)已知函数y ＝f (x )的图像是下列四个图像之一,且其导函数y ＝f ′(x )的图像如图所示,则该函数的图像是( )(2)已知y ＝f (x )是可导函数,如图,直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线,令g (x )＝xf (x ),g ′(x )是g (x )的导函数,则g ′(3)＝________.(1)B (2)0 [(1)由y ＝f ′(x )的图像是先上升后下降可知,函数y ＝f (x )图像的切线的斜率先增大后减小,故选B.(2)由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13,∴f ′(3)＝－13.∵g (x )＝xf (x ),∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x ), ∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3),又由题图可知f (3)＝1,∴g ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0.] 函数图像在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图像在相应点处的变化情况,由切线的倾斜程度可以判断出图像升降的快慢．1.曲线f (x )＝exx －1在x ＝0处的切线方程为________．2x ＋y ＋1＝0 [根据题意可知切点坐标为(0,－1),f ′(x )＝x －1ex′－e xx －1′x －12＝x －2e xx －12,故切线的斜率k ＝f ′(0)＝0－2e0－12＝－2, 则直线的方程为y －(－1)＝－2(x －0), 即2x ＋y ＋1＝0.]2．(2019·大同模拟)已知f (x )＝x 2,则曲线y ＝f (x )过点P (－1,0)的切线方程是________．y ＝0或4x ＋y ＋4＝0 [设切点坐标为(x 0,x 20),∵f ′(x )＝2x ,∴切线方程为y －0＝2x 0(x ＋1), ∴x 20＝2x 0(x 0＋1), 解得x 0＝0或x 0＝－2,∴所求切线方程为y ＝0或y ＝－4(x ＋1), 即y ＝0或4x ＋y ＋4＝0.]3．直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A (1,3),则2a ＋b ＝________. 1 [由题意知,y ＝x 3＋ax ＋b 的导数y ′＝3x 2＋a , 则⎩⎪⎨⎪⎧13＋a ＋b ＝3，3×12＋a ＝k ，k ＋1＝3，由此解得k ＝2,a ＝－1,b ＝3,∴2a ＋b ＝1.]。
第1讲变化率与导数、导数的计算一、知识梳理1．导数的概念(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率lim Δx→0f（x0＋Δx）－f（x0）Δx＝limΔx→0ΔyΔx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f（x0＋Δx）－f（x0）Δx.(2)导数的几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x －x0)．(3)函数f(x)的导函数称函数f′(x)＝_limΔx→0_f（x＋Δx）－f（x）Δx为f(x)的导函数．2．基本初等函数的导数公式原函数导函数y＝c(c为常数) y′＝0y＝xα(α为实数) y′＝αxα－1y＝a x (a>0且a≠1)y′＝a x ln a特别地(e x)′＝e xy＝log a x (x>0，a>0，且a≠1)y′＝1x ln a特别地(ln x)′＝1xy＝sin x y′＝cos__x(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2(g (x )≠0)．4．复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．常用结论1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 2．[af (x )＋bg (x )]′＝af ′(x )＋bg ′(x )．3．函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．二、教材衍化1．函数y ＝x cos x －sin x 的导数为( ) A ．x sin x B ．－x sin x C ．x cos xD ．－x cos x解析：选B.y ′＝x ′cos x ＋x (cos x )′－(sin x )′＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sinx .2．曲线y ＝1－2x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为________． 解析：因为y ′＝2（x ＋2）2，所以y ′|x ＝－1＝2.故所求切线方程为2x －y ＋1＝0. 答案：2x －y ＋1＝03．有一机器人的运动方程为s ＝t 2＋3t(t 是时间，s 是位移)，则该机器人在t ＝2时的瞬时速度为________．解析：因为s ＝t 2＋3t ，所以s ′＝2t －3t2，所以s ′|t ＝2＝4－34＝134.答案：134一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率． ( ) (2)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)，再求f ′(x 0)．( ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线． ( )(5)曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线与过点P (x 0，y 0)的切线相同．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)× 二、易错纠偏 常见误区|Ｋ(1)求导时不能掌握复合函数的求导法则致误；(2)不会用方程法解导数求值．1．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，则f ′(x )＝________．解析：f ′(x )＝[sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3]′＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3′＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 答案：2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π32．设函数f (x )的导数为f ′(x )，且f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2sin x ＋cos x ，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________．解析：因为f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2sin x ＋cos x ，所以f ′(x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2cos x －sin x ， 所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2cos π2－sin π2，即f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－1，所以f (x )＝－sin x ＋cos x ，f ′(x )＝－cos x －sin x .故f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－cos π4－sin π4＝－ 2.导数的计算(多维探究) 角度一 根据求导法则求函数的导数求下列函数的导数：(1)y ＝(3x 2－4x )(2x ＋1)； (2)y ＝sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x 4；(3)y ＝3x e x－2x ＋e ； (4)y ＝ln xx 2＋1； (5)y ＝ln 2x －12x ＋1.【解】 (1)因为y ＝(3x 2－4x )(2x ＋1) ＝6x 3＋3x 2－8x 2－4x ＝6x 3－5x 2－4x ， 所以y ′＝18x 2－10x －4.(2)因为y ＝sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos x 2＝－12sin x ，所以y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12sin x ′＝－12(sin x )′＝－12cos x .(3)y ′＝(3x e x)′－(2x)′＋e ′＝(3x)′e x＋3x(e x)′－(2x)′ ＝3x e xln 3＋3x e x－2xln 2 ＝(ln 3＋1)·(3e)x－2xln 2.(4)y ′＝（ln x ）′（x 2＋1）－ln x （x 2＋1）′（x 2＋1）2＝1x（x 2＋1）－2x ln x （x 2＋1）2＝x 2＋1－2x 2ln xx （x 2＋1）2.(5)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 2x －12x ＋1′＝[ln(2x －1)－ln(2x ＋1)]′＝[ln(2x －1)]′－[ln(2x ＋1)]′＝12x －1·(2x －1)′－12x ＋1·(2x ＋1)′＝22x －1－22x ＋1＝44x 2－1. 角度二 抽象函数的导数计算已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足关系式f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，则f ′(2)＝________．【解析】 因为f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，所以f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)＋1x，所以f ′(2)＝4＋3f ′(2)＋12＝3f ′(2)＋92，所以f ′(2)＝－94.【答案】 －94导数的计算技巧(1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量．(2)复合函数求导时，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元．1．已知f (x )＝x (2 019＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 020，则x 0＝( ) A ．e 2B ．1C ．ln 2D ．e解析：选B.因为f (x )＝x (2 019＋ln x )， 所以f ′(x )＝2 019＋ln x ＋1＝2 020＋ln x ， 又f ′(x 0)＝2 020，所以2 020＋ln x 0＝2 020，所以x 0＝1.2．(2020·宜昌模拟)已知f ′(x )是函数f (x )的导数，f (x )＝f ′(1)·2x＋x 2，则f ′(2)＝( )A.12－8ln 21－2ln 2B ．21－2ln 2 C.41－2ln 2D ．－2解析：选C.因为f ′(x )＝f ′(1)·2xln 2＋2x ，所以f ′(1)＝f ′(1)·2ln 2＋2，解得f ′(1)＝21－2ln 2，所以f ′(x )＝21－2ln 2·2x ln 2＋2x ，所以f ′(2)＝21－2ln 2×22ln2＋2×2＝41－2ln 2.导数的几何意义(多维探究) 角度一 求切线方程(1)(2019·高考全国卷Ⅰ)曲线y ＝3(x 2＋x )e x在点(0，0)处的切线方程为________．(2)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为________．【解析】 (1)因为y ′＝3(2x ＋1)e x＋3(x 2＋x )e x ＝3(x 2＋3x ＋1)e x，所以曲线在点(0，0)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝0＝3，所以所求的切线方程为y ＝3x .(2)因为点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上，所以设切点为(x 0，y 0)．又因为f ′(x )＝1＋ln x ，所以直线l 的方程为y ＋1＝(1＋ln x 0)x .所以由⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝（1＋ln x 0）x 0，解得x 0＝1，y 0＝0.所以直线l 的方程为y ＝x －1， 即x －y －1＝0.【答案】 (1)y ＝3x (2)x －y －1＝0 角度二 求切点坐标(2019·高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y ＝ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点(－e ，－1)(e 为自然对数的底数)，则点A 的坐标是________．【解析】 设A (x 0，ln x 0)，又y ′＝1x，则曲线y ＝ln x 在点A 处的切线方程为y －lnx 0＝1x 0(x －x 0)，将(－e ，－1)代入得，－1－ln x 0＝1x 0(－e －x 0)，化简得ln x 0＝ex 0，解得x 0＝e ，则点A 的坐标是(e ，1)．【答案】 (e ，1) 角度三 求参数(1)(2019·高考全国卷Ⅲ)已知曲线y ＝a e x＋x ln x 在点(1，a e)处的切线方程为y ＝2x ＋b ，则( )A ．a ＝e ，b ＝－1B ．a ＝e ，b ＝1C ．a ＝e －1，b ＝1D ．a ＝e －1，b ＝－1(2)(2020·郑州市第一次质量预测)已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )的图象与直线x ＋y ＋1＝0相切，则实数a 的值为________．【解析】 (1)因为y ′＝a e x＋ln x ＋1，所以y ′|x ＝1＝a e ＋1，所以曲线在点(1，a e)处的切线方程为y －a e ＝(a e ＋1)·(x －1)，即y ＝(a e ＋1)x －1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a e ＋1＝2，b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝e －1，b ＝－1. (2)设直线x ＋y ＋1＝0与函数f (x )＝ln x －ax 的图象的切点为P (x 0，y 0)，因为f ′(x )＝1x－a，所以由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x0＋y0＋1＝0f′（x0）＝1x0－a＝－1f（x0）＝ln x0－ax0＝y0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x0＝1y0＝－2a＝2.【答案】(1)D (2)2角度四导数与函数的图象(1)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是( )(2)已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝________．【解析】(1)不妨设导函数y＝f′(x)的零点依次为x1，x2，x3，其中x1<0<x2<x3，由导函数的图象可知，y＝f(x)在(－∞，x1)上为减函数，在(x1，x2)上为增函数，在(x2，x3)上为减函数，在(x3，＋∞)上为增函数，从而排除A，C.y＝f(x)在x＝x1，x＝x3处取到极小值，在x＝x2处取到极大值，又x2>0，排除B，故选D.(2)由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于－13，所以f′(3)＝－13.因为g(x)＝xf(x)，所以g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，所以g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，又由题图可知f(3)＝1，所以g′(3)＝1＋3×⎝⎛⎭⎪⎫－13＝0.【答案】(1)D (2)0导数几何意义的应用类型及求解思路(1)已知切点A(x0，f(x0))求斜率k，即求该点处的导数值：k＝f′(x0)．(2)若求过点P (x 0，y 0)的切线方程，可设切点为(x 1，y 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝f （x 1），y 0－y 1＝f ′（x 1）（x 0－x 1）求解即可．(3)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k .(4)函数图像在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图像在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度可以判断出函数图像升降的快慢．1．曲线y ＝ex －1＋x 的一条切线经过坐标原点，则该切线方程为________．解析：设切点坐标为(x 0，e x 0－1＋x 0)，因为y ′＝ex －1＋1，所以切线的斜率k ＝ex 0－1＋1，故切线方程为y －e x 0－1－x 0＝(e x 0－1＋1)(x －x 0)．因为切线过原点，所以0－e x 0－1－x 0＝(e x 0－1＋1)(0－x 0)，解得x 0＝1，将x 0＝1代入y －e x 0－1－x 0＝(e x 0－1＋1)(x －x 0)，可得切线方程为y ＝2x ，故答案为y ＝2x .答案：y ＝2x 2．设曲线y ＝1＋cos x sin x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1处的切线与直线x －ay ＋1＝0平行，则实数a ＝________．解析：因为y ′＝－1－cos x sin 2x ，所以y ′|x ＝π2＝－1. 由条件知1a＝－1，所以a ＝－1.答案：－1[基础题组练]1．函数f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2的导数为( ) A ．2(x 2－a 2)B ．2(x 2＋a 2)C ．3(x 2－a 2) D ．3(x 2＋a 2)解析：选 C.f ′(x )＝(x －a )2＋(x ＋2a )·(2x －2a )＝(x －a )·(x －a ＋2x ＋4a )＝3(x 2－a 2)．2．(2020·安徽江南十校检测)曲线f (x )＝1－2ln xx在点P (1，f (1))处的切线l 的方程为( )A ．x ＋y －2＝0B ．2x ＋y －3＝0C ．3x ＋y ＋2＝0D ．3x ＋y －4＝0解析：选D.因为f (x )＝1－2ln x x ，所以f ′(x )＝－3＋2ln x x2，所以f ′(1)＝－3，又f (1)＝1，所以所求切线方程为y －1＝－3(x －1)，即3x ＋y －4＝0.3．(2020·安徽宣城八校联考)若曲线y ＝a ln x ＋x 2(a >0)的切线的倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π2，则a ＝( ) A.124B ．38 C.34D ．32解析：选B.因为y ＝a ln x ＋x 2(a >0)，所以y ′＝ax＋2x ≥22a ，因为曲线的切线的倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π2，所以斜率k ≥3，因此3＝22a ，所以a ＝38.故选B. 4．如图所示为函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的导函数的图象，那么y ＝f (x )，y ＝g (x )的图象可能是( )解析：选D.由y ＝f ′(x )的图象知y ＝f ′(x )在(0，＋∞)上递减，说明函数y ＝f (x )的切线的斜率在(0，＋∞)上也递减，故排除A 、C.又由图象知y ＝f ′(x )与y ＝g ′(x )的图象在x ＝x 0处相交，说明y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象在x ＝x 0处的切线的斜率相同，故排除B.5．(2020·广东佛山教学质量检测(一))若曲线y ＝e x在x ＝0处的切线也是曲线y ＝ln x ＋b 的切线，则b ＝( )A ．－1B ．1C ．2D ．e解析：选C.y ＝e x的导数为y ′＝e x，则曲线y ＝e x在x ＝0处的切线斜率k ＝1，则曲线y ＝e x 在x ＝0处的切线方程为y －1＝x ，即y ＝x ＋1.y ＝ln x ＋b 的导数为y ′＝1x，设切点为(m ，n )，则1m＝1，解得m ＝1，则n ＝2，即有2＝ln 1＋b ，解得b ＝2.故选C.6．设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，其导函数为f ′(x )，且f (ln x )＝x ＋ln x ，则f ′(1)＝________．解析：因为f (ln x )＝x ＋ln x ，所以f (x )＝x ＋e x， 所以f ′(x )＝1＋e x， 所以f ′(1)＝1＋e 1＝1＋e. 答案：1＋e7．(2020·江西重点中学4月联考)已知曲线y ＝1x ＋ln x a在x ＝1处的切线l 与直线2x＋3y ＝0垂直，则实数a 的值为________．解析：y ′＝－1x 2＋1ax ，当x ＝1时，y ′＝－1＋1a.由于切线l 与直线2x ＋3y ＝0垂直，所以⎝⎛⎭⎪⎫－1＋1a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝－1，解得a ＝25. 答案：258．若过点A (a ，0)作曲线C ：y ＝x e x的切线有且仅有两条，则实数a 的取值范围是________．解析：设切点坐标为(x 0，x 0e x 0)，y ′＝(x ＋1)e x，y ′|x ＝x 0＝(x 0＋1)e x 0，所以切线方程为y －x 0e x 0＝(x 0＋1)e x 0(x －x 0)，将点A (a ，0)代入可得－x 0e x 0＝(x 0＋1)e x 0(a －x 0)，化简，得x 20－ax 0－a ＝0，过点A (a ，0)作曲线C 的切线有且仅有两条，即方程x 20－ax 0－a ＝0有两个不同的解，则有Δ＝a 2＋4a ＞0，解得a ＞0或a ＜－4，故实数a 的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞)．答案：(－∞，－4)∪(0，＋∞)9．已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值； (2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围． 解：f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)．(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＝b ＝0，f ′（0）＝－a （a ＋2）＝－3，解得b ＝0，a ＝－3或a ＝1.(2)因为曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，所以关于x 的方程f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)＝0有两个不相等的实数根， 所以Δ＝4(1－a )2＋12a (a ＋2)>0， 即4a 2＋4a ＋1>0，所以a ≠－12. 所以a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞. 10．已知函数f (x )＝x 3＋x －16.(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标；(3)如果曲线y ＝f (x )的某一切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，求切点坐标与切线的方程． 解：(1)可判定点(2，－6)在曲线y ＝f (x )上．因为f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1.所以f (x )在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13.所以切线的方程为y ＝13(x －2)＋(－6)，即y ＝13x －32.(2)设切点为(x 0，y 0)，则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1，所以直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16， 又因为直线l 过点(0，0)，所以0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16，整理得，x 30＝－8，所以x 0＝－2，所以y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26， k ＝3×(－2)2＋1＝13.所以直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)．(3)因为切线与直线y ＝－14x ＋3垂直， 所以切线的斜率k ＝4.设切点的坐标为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4，所以x 0＝±1.所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，y 0＝－14或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝－18， 即切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)，切线方程为y ＝4(x －1)－14或y ＝4(x ＋1)－18.即y ＝4x －18或y ＝4x －14.[综合题组练]1．在等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)，则f ′(0)＝( )A ．26B ．29C ．212D ．215 解析：选 C.因为f ′(x )＝x ′·[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]＋[(x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ＝(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)＋[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ，所以f ′(0)＝(0－a 1)(0－a 2)·…·(0－a 8)＋0＝a 1a 2·…·a 8.因为数列{a n }为等比数列，所以a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝a 1a 8＝8，所以f ′(0)＝84＝212.故选C.2．(2020·湖北武汉4月调研)设曲线C ：y ＝3x 4－2x 3－9x 2＋4，在曲线C 上一点M (1，－4)处的切线记为l ，则切线l 与曲线C 的公共点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 解析：选C.y ′＝12x 3－6x 2－18x ，则y ′|x ＝1＝12×13－6×12－18×1＝－12，所以曲线y ＝3x 4－2x 3－9x 2＋4在点M (1，－4)处的切线方程为y ＋4＝－12(x －1)，即12x ＋y －8＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋y －8＝0，y ＝3x 4－2x 3－9x 2＋4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－4或 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝32或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝23，y ＝0.故切线与曲线C 还有其他的公共点(－2，32)，⎝ ⎛⎭⎪⎫23，0， 所以切线l 与曲线C 的公共点个数为3.故选C.3．(2020·安徽淮南二模)设直线l 1，l 2分别是函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－ln x ，0<x <1，ln x ，x >1图象上点P 1，P 2处的切线．l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则A ，B 两点之间的距离是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B.设P 1(x 1，f (x 1))，P 2(x 2，f (x 2))，当0<x <1时，f ′(x )＝－1x ，当x >1时，f ′(x )＝1x，不妨设x 1∈(0，1)，x 2∈(1，＋∞)，故l 1：y ＝－1x 1(x －x 1)－ln x 1，整理得l 1：y ＝－1x 1x －ln x 1＋1， l 2：y ＝1x 2(x －x 2)＋ln x 2，整理得l 2：y ＝1x 2x ＋ln x 2－1， 所以A (0，1－ln x 1)，B (0，ln x 2－1)，则|AB |＝|2－ln(x 1x 2)|，因为l 1⊥l 2，所以－1x 1·1x 2＝－1，所以x 1x 2＝1，所以|AB |＝2.故选B. 4．已知曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线l 1平行于直线4x －y －1＝0，且点P 0在第三象限，则P 0的坐标为________；若直线l ⊥l 1，且l 也过切点P 0，则直线l 的方程为________．解析：由y ＝x 3＋x －2，得y ′＝3x 2＋1，由已知得3x 2＋1＝4，解得x ＝±1.当x ＝1时，y ＝0；当x ＝－1时，y ＝－4.又因为点P 0在第三象限，所以切点P 0的坐标为(－1，－4)．因为直线l ⊥l 1，l 1的斜率为4，所以直线l 的斜率为－14. 因为l 过切点P 0，点P 0的坐标为(－1，－4)，所以直线l 的方程为y ＋4＝－14(x ＋1)， 即x ＋4y ＋17＝0.答案：(－1，－4) x ＋4y ＋17＝05．设有抛物线C ：y ＝－x 2＋92x －4，过原点O 作C 的切线y ＝kx ，使切点P 在第一象限． (1)求k 的值；(2)过点P 作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q 的坐标．解：(1)由题意得，y ′＝－2x ＋92. 设点P 的坐标为(x 1，y 1)，则y 1＝kx 1，① y 1＝－x 21＋92x 1－4，②－2x 1＋92＝k ，③ 联立①②③得，x 1＝2，x 2＝－2(舍去)．所以k ＝12. (2)过P 点作切线的垂线，其方程为y ＝－2x ＋5.④将④代入抛物线方程得，x 2－132x ＋9＝0.设Q 点的坐标为(x 2，y 2)，则2x 2＝9，所以x 2＝92，y 2＝－4. 所以Q 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫92，－4. 6．设函数f (x )＝ax －b x ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．解：(1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3. 当x ＝2时，y ＝12. 又f ′(x )＝a ＋bx 2， 于是⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x . (2)证明：设P (x 0，y 0)为曲线上任意一点，由y ′＝1＋3x 2，知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)， 即y －⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)． 令x ＝0，得y ＝－6x 0， 从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－6x 0.令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0，2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为S ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，且此定值为6.。
