最新实数的连续性公理证明确界存在定理

实数的连续性公理证明确界存在定理定理一实数基本定理（戴德金实数连续性定理）实数系R按戴德金连续性准这是连续的，即对R的任意分划A|B，都存在唯一的实数r，它大于或等于下类A的每一实数。

小于或等于上类B中的每一个实数。

定理二单调有界有极限单调上升（下降）有上（下）界的数列必有极限存在。

定理三确界定理在实数系R内，非空的有上（下）界的数集必有上（下）确界存在。

定理四区间套定理设是一个区间套，则必有唯一的实数r，使得r包含在所有的区间套里，即。

定理五 Borel有限覆盖定理实数闭区间的任一个覆盖E，必存在有限的子覆盖。

定理六 Bolzano-Weierstrass紧致性定理有界数列必有收敛子数列。

定理七 Cauchy收敛原理在实数系中，数列有极限存在的充分必要条件是：任给>0，存在N，当n>N，m>N时，有。

定理一—三是对实数连续性的描述，定理四—定理六是对实数闭区间的紧致性的描述，定理七是对实数完备性的描述。

上述七个定理都描述了实数的连续性（或称完备性），它们都是等价的。

下面给出其等价性的证明：定理一定理二：设数列单调上升有上界。

令B是全体上界组成的集合，即B= ，而A=R\B,则A|B是实数的一个分划。

事实上，由有上界知B不空。

又单调上升，故，即A不空。

由A=R\B知A、B不漏。

又，则，使，即A、B不乱。

故A|B是实数的一个分划。

根据实数基本定理，存在唯一的使得对任意，任意，有。

下证。

事实上，对，由于，知，使得。

又单调上升。

故当n>N时，有。

注意到，便有。

故当n>N时有，于是。

这就证明了。

若单调下降有下界，则令，则就单调上升有上界，从而有极限。

设极限为r，则。

定理二证完。

定理二定理三：只需证明在实数系R内，非空的有上界的数集必有上确界存在。

设数集X非空，且有上界。

则，使得对，有。

又R是全序集，对，与有且只有一个成立。

故,有与有且只有一个成立。

故r是X的上界与r不是X的上界有且只有一个成立。

实数的六大基本定理是指以下六个关于实数的重要数学定理：
实数存在性定理（Completeness Axiom）：实数集合是一个完备的数学对象，它满足实数序列的收敛性和有界性，即实数集合中的任意非空有上界的子集都有最小上界。

实数唯一性定理：实数具有唯一性，即在实数集合中不存在两个不同的数值对应于同一数。

实数无理数定理：实数中存在无理数，即不能表示为两个整数的比例形式的实数，如根号2和圆周率π。

实数有理数定理：实数中存在有理数，即可以表示为两个整数的比例形式的实数，如整数和分数。

实数连续性定理：实数集合是连续的，即对于任意两个实数a和b（a < b），在它们之间存在无限多个实数。

实数的稠密性定理：实数集合中的有理数和无理数是稠密分布的，即在实数集合中的任意两个不同实数之间，总存在一个有理数或一个无理数。

这些基本定理在实数的理论和应用中起着重要的作用，它们为实数的性质和运算提供了基础和保障。

这些定理是由数学家们在研究和探索实数的性质中发现和证明的重要结果。

关于实数连续性的基本定理关键词：实数基本定理 确界定理 单调有界原理 区间套定理 有限覆盖定理 紧致性定理 柯西收敛定理 等价证明以上的定理表述如下：实数基本定理：对R 的每一个分划A|B ，都∃唯一的实数r ，使它大于或等于下类A 中的每一个实数，小于或等于上类B 中的每一个实数。

确界定理:在实数系R 内,非空的有上(下)界的数集必有上(下)确界存在。

单调有界原理:若数列}{n x 单调上升有上界，则}{n x 必有极限。

区间套定理:设｛,[n a ]n b ｝是一个区间套,则必存在唯一的实数r,使得r 包含在所有的区间里,即∞=∈1],[n n n b a r 。

有限覆盖定理:实数闭区间[a,b]的任一覆盖E,必存在有限的子覆盖。

紧致性定理：有界数列必有收敛子数列。

柯西收敛定理：在实数系中，数列}{n x 有极限存在的充分必要条件是：εε<->>∃>∀||,,,0m n x x ，N m N n N 有时当。

这些定理虽然出发的角度不同，但描写的都是实数连续性这同一件事，它们之间是相互等价的，即任取其中两个定理，它们可以相互证明。

那么，它们在证明过程中有哪些联系？作为工具，它们又各具有什么特点？以下先给出它们的等价证明。

（二）实数基本定理的等价证明一．用实数基本定理证明其它定理 1．实数基本定理→单调有界定理证明：设数列}{n x 单调上升有上界。

令B 是数列}{n x 全体上界组成的集合，即B={b|n b x n ∀≤,},而A=R ﹨B ，则A|B 是实数的一个分划。

事实上，由单调上升}{n x ，故1x -1∈A ，即A 不空，由A=R ﹨B ，知A 、B 不漏。

又对任给a ∈A ，b ∈B ，则存在0n ，使a <0n x ≤b ，即A 、B 不乱。

故A|B 是实数的一个分划。

根据实数基本定理，A ，a R r ∈∀∈∃使得对,b r aB ，b ≤≤∈有。

确界存在定理的证明1 引言在数学中，对于一些基本的关于实数的性质是已知并可以被证明的，例如实数是有序的，实数的加、减、乘、除运算满足消去律等。

然而，还有一些更深刻的关于实数的性质是需要进一步证明的，例如确界存在定理。

2 定义在开始证明确界存在定理之前，我们先来回顾一下确界的概念。

在实数集合S中，如果存在一个实数M，使得S中所有的元素都不大于M，且对于任意的实数L，如果S中所有的元素都不大于L，则M不小于L。

那么我们称M为集合S的上确界（upper bound），记作M=sup(S)。

同样地，如果存在一个实数m，使得S中所有的元素都不小于m，且对于任意的实数l，如果S中所有的元素都不小于l，则m不大于l。

那么我们称m为集合S的下确界（lower bound)，记作m=inf(S)。

3 确界存在定理有了确界的概念，我们可以正式地陈述确界存在定理：任意一个非空的、有上界的实数集合S必定有上确界。

同样地，任意一个非空的、有下界的实数集合S必定有下确界。

4 证明我们先来证明任意一个非空的、有上界的实数集合S必定有上确界。

考虑将S中所有的上界取一个集合U，那么U中的每个元素都大于等于S中的所有元素。

因此，U中必然存在最小的元素，我们将其记作M。

我们接下来需要证明，M是集合S的上确界。

首先，由于U中的每个元素都大于等于S中的所有元素，因此S的上确界必须大于等于M。

其次，对于任意的实数L，如果S中所有的元素都不大于L，那么L是S的一个上界，而根据上界的定义，L必须大于等于U中的每个元素，因此，L必须大于等于M。

综上所述，M是集合S的上确界。

类似地，我们可以证明任意一个非空的、有下界的实数集合S必定有下确界，证明过程与上面的证明过程类似，在此处略去。

5 总结确界存在定理是实数的一个基本性质，它告诉我们在实数集合中，每个非空的、有上（下）界的集合必定有上（下）确界。

这个定理在实际问题中有着广泛的应用，例如在优化、最大化最小化等问题中都可以被使用。

确界原理的证明在现代数学中，确界原理是一条基本的原理，也被称为实数完备性原理或连续性公理。

该原理指出，非空有上界的实数集合必定存在上确界，以及非空有下界的实数集合必定存在下确界。

为了证明确界原理，我们需要引入实数的基本性质和定义。

首先，我们需要了解实数的有序性质。

实数集合R中的任意两个不相等的元素a和b，必然满足以下三种情况之一：a<b，a=b，或者a>b。

这个性质被称为实数的全序性。

接下来，我们定义了实数集合中的上界和下界。

对于一个实数集合S，如果存在一个实数M，使得对于集合中的任意元素s，都有s≤M，则M被称为S的上界。

类似地，如果存在一个实数m，使得对于集合中的任意元素s，都有s≥m，则m被称为S的下界。

有了上界和下界的概念，我们可以开始证明确界原理。

首先，我们考虑有上界的实数集合S。

假设S是一个非空的实数集合，且存在一个实数M，使得对于集合中的任意元素s，都有s≤M。

我们需要证明存在一个实数M'，满足M'是S的上确界。

我们分两步进行证明：第一步，我们需要证明存在一个实数M'，使得M'是S的一个上界。

根据S的定义，我们知道存在一个实数M，使得对于集合中的任意元素s，都有s≤M。

所以M是S的一个上界。

换句话说，M是一个满足S的上界定义的实数。

第二步，我们需要证明若M'是一个比M更小的上界，则M'不能是S的上确界。

假设存在一个实数M'，满足M'<M，且M'也是S的一个上界。

根据实数的全序性，我们可以找到一个介于M'和M之间的实数M"，使得M'<M"<M。

由于M"介于M'和M之间，所以对于集合中的任意元素s，都有s≤M"。

然而，这与M是S的上界的定义相矛盾。

所以假设不成立，即不存在一个比M更小的上界。

综上所述，我们证明了有上界的实数集合必定存在上确界。

实数六大定理证明这六大定理分别为：确界存在定理、单调有界定理、有限覆盖定理、聚点定理、致密性定理、闭区间套定理，还有一个柯西收敛准则。

实数系的基本定理也称实数系的完备性定理、实数系的连续性定理，它们彼此等价，以不同的形式刻画了实数的连续性，它们同时也是解决数学分析中一些理论问题的重要工具，在微积分学的各个定理中处于基础的地位。

7个基本定理的相互等价不能说明它们都成立，只能说明它们同时成立或同时不成立，这就需要有更基本的定理来证明其中之一成立，从而说明它们同时都成立。

引进方式主要是承认戴德金公理，然后证明这7个基本定理与之等价，以此为出发点开始建立微积分学的一系列概念和定理。

在一些论文中也有一些新的等价定理出现，但这7个定理是教学中常见的基本定理。

扩展资料实数系的公理系统设R是一个集合，若它满足下列三组公理，则称为实数系，它的元素称为实数:对任意a，b∈R，有R中惟一的元素a+b与惟一的元素a·b分别与之对应，依次称为a，b 的和与积，满足：1、（交换律）对任意a，b∈R，有a+b=b+a，a·b=b·a。

2、（结合律）对任意a，b，c∈R，有a+(b+c)=(a+b)+c，a·(b·c)=(a·b)·c。

3、（分配律）对任意a，b，c∈R，有(a+b)·c=a·c+b·c。

4、（单位元）存在R中两个不同的元素，记为0,1分别称为加法单位元与乘法单位元，使对所有的a∈R，有a+0=a，a·1=a。

5、（逆元）对每个a∈R，存在R中惟一的元素，记为-a，称为加法逆元；对每个a∈R\{0}，存在R中惟一的元素，记为a^(-1)，称为乘法逆元，使a+(-a)=0。

a·a^(-1)=1。

关于实数连续性的基本定理以上的定理表述如下：实数基本定理：对R 的每一个分划A|B ，都∃唯一的实数r ，使它大于或等于下类A 中的每一个实数，小于或等于上类B 中的每一个实数。

确界定理:在实数系R 内,非空的有上(下)界的数集必有上(下)确界存在。

单调有界原理:若数列}{n x 单调上升有上界，则}{n x 必有极限。

区间套定理:设｛,[n a ]n b ｝是一个区间套,则必存在唯一的实数r,使得r 包含在所有的区间里,即∞=∈1],[n n n b a r 。

有限覆盖定理:实数闭区间[a,b]的任一覆盖E,必存在有限的子覆盖。

紧致性定理：有界数列必有收敛子数列。

柯西收敛定理：在实数系中，数列}{n x 有极限存在的充分必要条件是：εε<->>∃>∀||,,,0m n x x ，N m N n N 有时当。

这些定理虽然出发的角度不同，但描写的都是实数连续性这同一件事，它们之间是相互等价的，即任取其中两个定理，它们可以相互证明。

那么，它们在证明过程中有哪些联系？作为工具，它们又各具有什么特点？以下先给出它们的等价证明。

（二）实数基本定理的等价证明一．用实数基本定理证明其它定理1．实数基本定理→单调有界定理证明：设数列}{n x 单调上升有上界。

令B 是数列}{n x 全体上界组成的集合，即B={b|n b x n ∀≤,}, 而A=R ﹨B ，则A|B 是实数的一个分划。

事实上，由单调上升}{n x ，故1x -1∈A ，即A 不空，由A=R ﹨B ，知A 、B 不漏。

又对任给a ∈A ，b ∈B ，则存在0n ，使a <0n x ≤b ，即A 、B 不乱。

故A|B 是实数的一个分划。

根据实数基本定理，A ，a R r ∈∀∈∃使得对,b r a B ，b ≤≤∈有。

下证∞→n limn x =r 。

事实上，对n N n n x x r ，N n ，x ，x r N ，A ，r ≤-∴-∃∈->∀ εεεε有时当单调上升又使知由于}{,0。

关于实数连续性的基本定理2．单调有界定理→确界定理证明：已知实数集A 非空。

∃A a ∈，不妨设a 不是A 的上界，另外，知∃b 是A 的上界，记1a =a ，1b =b ，用1a ，1b 的中点211b a +二等分[1a ，1b ]，如果211b a +B ∈，则取2a =1a ， 2b =211b a +；如果211b a +A ∈，则取2a =211b a +，2b =1b ；……如此继续下去，便得两串序列}{n a }{n b 。

其中Aa n ∈单调上升有上界（例如1b ），B b n ∈单调下降有下界（例如1a ）并且n n a b -=211a b -)(∞→n 。

由单调有界定理，知∃r ，使∞→n lim n a = r 。

由∞→n lim （n n a b -）=0 有∞→n lim n a +（n n a b -）= r}{n b 是A 的上界，∴A x ∈∀，有≤x n b （n=1，2，……）， 令∞→n ，≤x ∞→n lim n b = r ∴ r 是A 的上界。

而,0>∀ε 由∞→n lim n a = r 知，a r N ，n N ，n εε-∃>∀有当知,0从而X ，a r A ，X n ε-∈∃使 ∴r=supA 。

同理可证非空有下界数集有下确界。

定理证完。

1． 确界定理→区间套定理证明：由[1+n a ，1+n b ] ⊂[n a ，n b ]，知}{n a 是单调上升有上界的实数列，}{n b 是单调下降有下界的数列。

且1b 是n a 的上界，1a 是n b 的下界。

设∞→n lim n a = r ，∞→n lim n b =r '，由确界定理对的证明知r=sup }{n a ，r '=inf }{n b 。

由∞→n lim （n n a b -）=0得r r '-=0即r r '== sup }{n a =inf }{n b∴∀n ，有n a ≤r ≤n b 。

第十六章 实数的完备性与极限第一节确界存在准则一实数的性质定理1 有序性 任意两个实数,a b 必满足下面三个关系之一：,,a b a b a b <=>。

定理 2 任意实数,,a b c 若,a b b c a c <<⇒<。

定理3 稠密性 有理数和无理数的稠密性.即 任意两个不同实数之间必有一个有理数，也必有一个无理数，从而任意两个不同实数之间必有无穷个有理数，也必有无限个无理数。

例1 证明 任意实数a 都存在有理数列 {}n x 使得 lim n n x a →∞=。

这个性质表明任何实数都可以用有理数列逼近。

证明 设a 是实数，0ε> 是任意实数，则 a ε+是大于a 的一个实数，它们之间一定有一个有理数。

11,x Q ε=∃∈使得 11;a x a <<+ 21/2,x Q ε=∃∈使得 21/2;a x a <<+ …… 1/2,n x Q ε=∃∈使得 1/2;n a x a <<+……, 这样得出的有理数列 {}n x 以a 为极限。

二 确界存在性定理定义1 设M 是一个非空实数集，若存在R a ∈，使得M x ∈∀，都有 )(a x a x ≥≤， 称a 是M 的一个上界（下界）； 若M 有上界又有下界称M 是有界的。

注意 若a 是M 的上界，则任意大于a 的实数都是M 的上界（上界不唯一）;若b 是M 的下界，则任意小于b 的实数都是M 的下界（下界不唯一）.规定 任意实数都是空集的上界和下界。

命题1 设R M ⊂, M 有界当且仅当 L R ∃∈使得L x ≤ M x ∈∀。

定义 2 设M 是非空数集，若a 是M 的最小上界，称a 是M 的上确界，记为 sup a M =；若b 是M 的最大下界，称b 是M 的下确界，记为 inf b M =。

注 sup a M =有两层含义：（1）a 是M 的一个上界， （2）它是M 的所有上界最小的一个。