实数的基本定理

第三章 关于实数的基本定理及闭区间上连续函数性质的证明六个基本定理：1实数戴德德公理 确界原理2数列的单调有界定理 3区间套定理 4聚点定理 致密性定理5数列柯西收敛准则 6有限覆盖定理定理(确界原理) 设S 为非空数集．若S 有上界，则S 必有上确界；若S 有下界，则S 必有下确界．定理 单调有界数列必收敛. 证明 不妨设{}n a 为有上界的递增数列．由确界原理，数列{}n a 有上确界，记{}n a a sup =．下面证明a 就是{}n a 的极限．事实上，任给0>ε，按上确界的定义，存在数列{}n a 中某一项N a ，使得N a a ε-<．又由{}n a 的递增性，当N n ≥时有n N a a a <<-ε．另一方面，由于a 是{}n a 的一个上界，故对一切n a 都有ε+<≤a a a n ．所以当N n ≥时有εε+<<-a a a n ，即a a n n =∞→lim ．同理可证有下界的递增数列必有极限，且其极限即为它的下确界．（区间套定理） 若[]{}n n b a ,是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点ξ，使得ξ∈[]n n b a ,，,2,1=n ，即ξ≤n a n b ≤， .,2,1 =n （2） 证 由（1）式，{}n a 为递增有界数列，依单调有界定理，{}n a 有极限ξ，且有 .,2,1, =≤n a n ξ （3） 同理，递减有界数列{}n b 也有极限，并按区间套的条件（¡¡）有ξ==∞→∞→n n n n a b lim lim ， （4）且 .,2,1, =≥n b n ξ （5） 联合（3）、（5）即得（2）式。

最后证明满足（2）的ξ是唯一的。

设数ξ'也满足,,2,1, =≤'≤n b a n n ξ 则由（2）式有≤'-ξξ.,2,1, =-n a b n n 由区间套的条件（¡¡）得≤'-ξξ0)(lim =-∞→n n n a b ，故有ξξ='.由（4）式容易推得如下很有用的区间套性质：推论 若[]),2,1(, =∈n b a n n ξ是区间套[]{}n n b a ,所确定的点，则对任给的ε>0，存在N>0，使得当n >N 时有[]n n b a ,⊂()．；εξU致密性定理定义2 设S 为数轴上的点集，ξ为定点(它可以属于S ，也可以不属S)．ξ的任何邻域内都含有S 中无穷多个点，则称ξ为点集S 的一个聚点．等价定义如下：定义2’ 对于点集S ，若点ξ的任何ε邻域内都含有S 中异于ξ的点，即Φ≠S U );(0εξ，则称ξ为S 的一个聚点．定义2” 若存在各项互异的收敛数列{}S x n ⊂，则其极限ξ=∞→n n x lim 称为S 的一个聚点现证定义2’ ⇒定义2”设ξ为S(按定义2’)的聚点，则对任给的0>ε，存在()S U xεξ;∈．令11=ε，则存在()S U x11;εξ∈；令⎪⎭⎫ ⎝⎛-=12,21min x ξε，则存在()S U x22;εξ∈，且显然12x x ≠；令⎪⎭⎫⎝⎛-=-1,1min n n x n ξε，则存在()S U x n n εξ;∈，且11,,-n n x x x 与互异。

第七章 实数基本定理 （ 1 8 时）§1 关于实数集完备性的基本定理（ 4 时 ）一． 确界存在定理：回顾确界概念．Th 1 非空有上界数集必有上确界;非空有下界数集必有下确界.二. 单调有界原理: 回顾单调和有界概念 .Th 2 单调有界数列必收敛.三. Cantor 闭区间套定理:1. 区间套: 设} ] , [ {n n b a 是一闭区间序列. 若满足条件ⅰ> 对n ∀, 有 ] , [11++n n b a ⊂] , [n n b a , 即 n n n n b b a a ≤<≤++11, 亦即 后一个闭区间包含在前一个闭区间中;ⅱ> ,0→-n n a b )(∞→n . 即当∞→n 时区间长度趋于零.则称该闭区间序列为一个递缩闭区间套, 简称为区间套 .简而言之, 所谓区间套是指一个 “闭、缩、套” 区间列.区间套还可表达为:, 1221b b b a a a n n ≤≤≤≤<≤≤≤≤ ,0→-n n a b )(∞→n . 注:这里涉及两个数列} {n a 和 } {n b , 其中} {n a 递增,} {n b 递减.例如 } ] 1 , 1 [ {n n -和} ] 1 , 0 [ {n 都是区间套.但} ] 21 , ) 1 (1 [ {nn n +-+、} ] 1 , 0 ( {n 和 } ] 11 , 1 [ {nn +-都不是. 2. Cantor 区间套定理:Th 3设} ] , [ {n n b a 是一闭区间套. 则存在唯一的点ξ,使对n ∀有∈ξ] , [n n b a .简言之, 区间套必有唯一公共点.四． Cauchy 收敛准则 —— 数列收敛的充要条件:1. 基本列:回顾基本列概念.基本列的直观意义.基本列亦称为Cauchy 列. Cauchy 列的否定:2. Cauchy 收敛原理:Th 4 数列} {n a 收敛 ⇔ } {n a 是Cauchy 列.五. 致密性定理:数集的聚点(亦称为接触点):定义 设E 是无穷点集. 若在点ξ(未必属于E )的任何邻域内有E 的无穷多个点, 则称点ξ为E 的一个聚点.数集E =} 1{n有唯一聚点0, 但E ∉0; 开区间 ) 1 , 0 (的全体聚点之集是闭区间 ] 1 , 0 [; 设Q 是] 1 , 0 [中全体有理数所成之集, 易见Q 的聚点集是闭区间] 1 , 0 [.1. 列紧性: 亦称为Weierstrass 收敛子列定理.Th 5 ( Weierstrass ) 任一有界数列必有收敛子列.2. 聚点原理 : Weierstrass 聚点原理.Th 6 每一个有界无穷点集必有聚点.六. Heine –Borel 有限复盖定理:复盖: 先介绍区间族} , {Λ∈=λλI G .定义 (复盖 )设E 是一个数集,G 是区间族.若对∍Λ∈∃∈∀ , , λE x λI x ∈,则称区间族G 复盖了E , 或称区间族G 是数集E 的一个复盖. 记为. ,Λ∈⊂λλλI E 若每个λI 都是开区间,则称区间族G 是开区间族.开区间族常记为}, , ) , ( { Λ∈<=λβαβαλλλλM . 定义 (开复盖 )数集E 的一个开区间族复盖称为E 的一个开复盖,简称为E 的一个复盖.子复盖、有限复盖、有限子复盖.例1 } ) 1 , 0 ( ), 23 , 2 ( {∈=x x x M 复盖了区间) 1 , 0 (, 但不能复盖] 1 , 0 [; } ) , ( , ) 2 , 2 ( {b a x x b x x b x H ∈-+--=复盖) , [b a , 但不能复盖] , [b a . 1. Heine –Borel 有限复盖定理:Th 7 闭区间的任一开复盖必有有限子复盖.七 实数基本定理等价性的证明证明若干个命题等价的一般方法.本节证明七个实数基本定理等价性的路线 : 证明按以下三条路线进行:Ⅰ: 确界原理 ⇒ 单调有界原理 ⇒ 区间套定理 ⇒ Cauchy 收敛准则 ⇒ 确界原理 ;Ⅱ: 区间套定理 ⇒ 致密性定理 ⇒ Cauchy 收敛准则 ;Ⅲ: 区间套定理 ⇒ Heine –Borel 有限复盖定理 ⇒ 区间套定理 .一. “Ⅰ” 的证明: (“确界原理 ⇒ 单调有界原理”已证明过 ).1. 用“确界原理”证明“单调有界原理”:Th 2 单调有界数列必收敛 .证2. 用“单调有界原理”证明“区间套定理”:Th 3 设} ] , [ {n n b a 是一闭区间套. 则存在唯一的点ξ,使对n ∀有∈ξ] , [n n b a . 证推论1 若∈ξ] , [n n b a 是区间套} ] , [ {n n b a 确定的公共点, 则对0>∀ε,,N ∃当N n >时, 总有] , [n n b a ) , (εξ ⊂.推论 2 若∈ξ] , [n n b a 是区间套} ] , [ {n n b a 确定的公共点,则有n a ↗ξ, n b ↘ξ, ) (∞→n .3. 用“区间套定理”证明“Cauchy 收敛准则”:Th 4 数列} {n a 收敛 ⇔ } {n a 是Cauchy 列.引理 Cauchy 列是有界列. ( 证 )Th 4 的证明: ( 只证充分性 ) 教科书P 217—218上的证明留作阅读.现采用[3]P 70—71例2的证明, 即三等分的方法, 该证法比较直观.4． 用“Cauchy 收敛准则” 证明“确界原理” ：Th 1 非空有上界数集必有上确界 ；非空有下界数集必有下确界 .证 （只证“非空有上界数集必有上确界”）设E 为非空有上界数集 . 当E 为有 限集时 , 显然有上确界 .下设E 为无限集, 取1a 不是E 的上界, 1b 为E 的上界. 对 分区间] , [11b a , 取] , [22b a , 使2a 不是E 的上界, 2b 为E 的上界. 依此得闭区间列} ] , [ {n n b a . 验证} {n b 为Cauchy 列, 由Cauchy 收敛准则,} {n b 收敛; 同理} {n a 收敛. 易见n b ↘. 设n b ↘β.有 n a ↗β.下证β=E sup .用反证法验证β的上界性和最小性.二. “Ⅱ” 的证明:1. 用“区间套定理”证明“致密性定理”:Th 5 ( Weierstrass ) 任一有界数列必有收敛子列.证 （ 突出子列抽取技巧 ）Th 6 每一个有界无穷点集必有聚点.证 （ 用对分法 ）2．用“致密性定理” 证明“Cauch y 收敛准则” ：Th 4 数列} {n a 收敛 ⇔ } {n a 是Cauchy 列.证 (只证充分性）证明思路 ：Cauchy 列有界→ 有收敛子列→验证收敛子列的极限即为} {n a 的极限.Ex [1]P 223—224 1—7，11.三. “Ⅲ” 的证明:1. 用“区间套定理”证明“Heine –Borel 有限复盖定理”:证2. 用“Heine –Borel 有限复盖定理” 证明“区间套定理”:证 采用[3]P 72例4的证明.Ex [1]P 224 8—12 选做，其中 1 0 必做.§3 闭区间上连续函数性质的证明 ( 4 时 )一. 有界性:命题1 ] , [)(b a C x f ∈, ⇒ 在] , [b a 上)(x f =) 1 (O .证法 一 ( 用区间套定理 ). 反证法.证法 二 ( 用列紧性 ). 反证法.证法 三 ( 用有限复盖定理 ).二. 最值性:命题2 ] , [)(b a C x f ∈⇒)(x f 在] , [b a 上取得最大值和最小值. (只证取得最大值) 证( 用确界原理) 参阅[1]P 170.三. 介值性: 证明与其等价的“零点定理 ”.命题3 (零点定理)证法一(用区间套定理).证法二(用确界原理).不妨设,0)(>a f 0)(<b f .令} ] , [ , 0)( | {b a x x f x E ∈>=, 则E 非空有界, ⇒ E 有上确界. 设E sup =ξ,有∈ξ] , [b a . 现证 0)(=ξf , ( 为此证明)(ξf 0≥且)(ξf 0≤ ).取n x >ξ且n x ) ( ,∞→→n ξ.由)(x f 在点ξ连续和0)(≤n x f ,⇒,0)(lim )(≤=∞→n n x f f ξ,⇒ξE ∉.于是) ( , ∞→→∍∈∃n t E t n n ξ. 由)(x f 在点ξ连续和0)(>n t f ,⇒0)(lim )(≥=∞→n n t f f ξ.因此只能有0)(=ξf . 证法三 (用有限复盖定理).Ex [1]P 232 1，2，5.四. 一致连续性:命题4 ( Cantor 定理 )证法一 (用区间套定理).参阅[1]P 171[ 证法一 ]证法二 (用列紧性).参阅[1]P 171[ 证法二 ]Ex [1]P 232 3，4， 6*；P 236 1，2，4.。

1、相反数：实数与它的相反数时一对数(只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零)，从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=—b，反之亦成立。

2、绝对值：一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。

零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a≥0;若|a|=-a，则a≤0。

正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。

3、倒数：如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。

倒数等于本身的数是1和-1。

零没有倒数。

4、数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线称为数轴。

原点、正方向、单位长度是数轴的三要素。

5、数轴上的点和实数的对应关系：数轴上的每一个点都表示一个实数，而每一个实数都可以用数轴上的唯一的点来表示。

实数和数轴上的点是一一对应的关系。

实数的运算定理1、加法：(1)同号两数相加，取原来的符号，并把它们的绝对值相加;(2)异号两数相加，取绝对值大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

可使用加法交换律、结合律。

2、减法：减去一个数等于加上这个数的相反数。

3、乘法：(1)两数相乘，同号取正，异号取负，并把绝对值相乘。

(2)n个实数相乘，有一个因数为0，积就为0;若n个非0的实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正;当负因数为奇数个时，积为负。

(3)乘法可使用乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律。

4、除法：(1)两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。

(2)除以一个数等于乘以这个数的倒数。

(3)0除以任何数都等于0，0不能做被除数。

5、乘方与开方：乘方与开方互为逆运算。

6、实数的运算顺序：乘方、开方为三级运算，乘、除为二级运算，加、减是一级运算，如果没有括号，在同一级运算中要从左到右依次运算，不同级的运算，先算高级的运算再算低级的运算，有括号的先算括号里的运算。

实数的六大基本定理是指以下六个关于实数的重要数学定理：
实数存在性定理（Completeness Axiom）：实数集合是一个完备的数学对象，它满足实数序列的收敛性和有界性，即实数集合中的任意非空有上界的子集都有最小上界。

实数唯一性定理：实数具有唯一性，即在实数集合中不存在两个不同的数值对应于同一数。

实数无理数定理：实数中存在无理数，即不能表示为两个整数的比例形式的实数，如根号2和圆周率π。

实数有理数定理：实数中存在有理数，即可以表示为两个整数的比例形式的实数，如整数和分数。

实数连续性定理：实数集合是连续的，即对于任意两个实数a和b（a < b），在它们之间存在无限多个实数。

实数的稠密性定理：实数集合中的有理数和无理数是稠密分布的，即在实数集合中的任意两个不同实数之间，总存在一个有理数或一个无理数。

这些基本定理在实数的理论和应用中起着重要的作用，它们为实数的性质和运算提供了基础和保障。

这些定理是由数学家们在研究和探索实数的性质中发现和证明的重要结果。

1 确界原理非空有上(下)界数集，必有上(下)确界。

2 单调有界原理 任何单调有界数列必有极限。

3 区间套定理 若]},{[n n b a 是一个区间套, 则存在唯一一点ξ，使得 ,2,1],,[=∈n b a n n ξ。

4 Heine-Borel 有限覆盖定理 设],[b a 是一个闭区间，H 为],[b a 上的一个开覆盖，则在H 中存在有限个开区间，它构成],[b a 上的一个覆盖。

5 Weierstrass 聚点定理（Bolzano 致密性定理有界无穷数列必有收敛子列。

） 直线上的有解无限点集至少有一个聚点。

6 Cauchy 收敛准则数列}{n a 收敛⇔对任给的正数ε，总存在某一个自然数N ，使得N n m >∀,时，都有ε<-||n m a a 。

一.确界原理1.确界原理证明单调有界定理证 不妨设{ a n }为有上界的递增数列.由确界原理,数列{ a n }有上确界,记a = sup{ a n }.下面证明a 就是{ a n } 的极限. 事实上,任给ε> 0, 按上确界的定 义,存在数列{ a n }中某一项a N ,使得a - ε> a N .又由{ a n }的递增性,当n ≥ N时有a - ε < a N ≤ a n .另一方面,由于a 是{ a n }的一个上界,故对一切a n 都有a n ≤ a < a + ε.所以当 n ≥ N 时有a - ε < a n < a + ε,这就证得a n = a.同理可证有下界的递减数列必有极限,且其极限即为它的下确界.2.确界原理证明区间套定理 证明：１设 ［ａｎ，ｂｎ］ 是一个闭区间套，即满足： １）∀ｎ，［ａｎ＋１，ｂｎ＋１］⊂［ａｎ，ｂｎ］；２）ｂｎ－ａｎ ＝我们证明，存在唯一的实数ξ，使得ξ∈［ａｎ，ｂｎ］，（ｎ ＝１，２，⋯）存在性：令Ｓ＝｛ａｎ｝，显然，Ｓ非空且有上界（任一ｂｎ都是其上界）.据确界原理，Ｓ有上确界，设sup Ｓ ＝ξ．现在，我们证明ζ属于每个闭区间［ａｎ，ｂｎ］，（ｎ＝１，２，⋯）显然ａｎ ≤ξ，（ｎ ＝１，２，⋯）所以，我们只需证明对一切自然数ｎ，都有ξ≤ｂｎ． 事实上，因为对一切自然数ｎ，ｂｎ都是Ｓ 的上界，而上确界是上界中最小者，因此必有 ξ≤ｂｎ，故我们证明了存在一实数ξ，使得ξ∈［ａｎ，ｂｎ］，（ｎ ＝１，２，⋯）唯一性: 假设还有另外一点R ∈'ξ且],[n n b a ∈'ξ，则||||n n b a -≤'-ξξ,0→ 即ξξ'=。

职成教苑714289877@四个实数系的基本定理的完全互证ʏ㊀常州铁道高等职业技术学校学生工作处㊀熊晗颖㊀㊀摘要:实数系的基本定理是数学分析中重要组成部分,是分析引论中极限理论的基础㊂能够反映实数连续性的定理很多,它们彼此等价,教材中以确界存在定理为基础,将这些定理进行一次循环证明就验证了它们的等价性㊂本文把确界存在定理㊁单调有界定理㊁闭区间套定理㊁Cauchy 收敛原理这四个定理的所有互推方法列了出来,旨在更加深刻地理解他们之间的关系㊂本文主要采用了构造的方法,也采用了反证法等证明方法㊂关键词:确界存在定理;单调有界定理;闭区间套定理;Cauchy 收敛原理在高等数学领域中,实数系基本定理常见的有确界存在定理㊁单调有界定理㊁闭区间套定理㊁Cauchy 收敛定理㊂这些定理是极限理论乃至整个数学分析理论的基础㊂每一个课本上都是以一个定理为基础循环证明其它定理,一是因为在教程上一一列出来没有必要,二是这些过程太复杂,有些定理证明还是相当有难度的㊂鉴于这部分内容的重要性与复杂性,本文将其所有的证明情形列出来㊂这五个定理,其实他们属于同一类型,他们都指出,在某一条件下,便有某 点 存在,这种点分别是确界(点)(确界存在定理),极限点(单调有界定理和Cauchy 收敛原理),公共点(闭区间套定理),子列的极限点㊂1㊀利用确界存在定理证明其它定理1.1㊀用确界存在定理证明单调有界定理证㊀不妨设x n {}单调递减有下界,根据确界存在定理,由x n {}构成的数集必有下确界α,满足:(1)∀n ɪN +:x n ȡα,(2)∀ε>0,∃x n 0:x n 0<α+ε㊂取N =n 0,∀n >N :α-ε<αɤx n ɤx n 0<α+ε,因而x n -α<ε,于是得到lim n ңɕx n =α㊂同理可证数列x n {}单调增加且有上界的情况㊂1.2㊀用确界存在定理证明闭区间套定理证㊀由a n +1,b n +1[]⊂a n ,b n [],n =1,2,3, 得a 1ɤ ɤa n -1ɤa n <b n ɤb n -1ɤ ɤb 1㊂由确界存在定理有:a n {}单调增加且有上确界ξ1,b n {}单调减少且有下确界ξ2,则ȵlim n ңɕb n -a n ()=0,ʑξ1=ξ2,设lim n ңɕa n =lim n ңɕb n =ξ由于ξ是a n {}的上确界,也是b n {}的下确界,于是有a n ɤξɤb n ,n =1,2,3, ,即ξ属于所有的闭区间a n ,b n []㊂若另有实数ξᶄ属于所有的闭区间a n ,b n [],则也有a n ɤξᶄɤb n ,n =1,2,3,令n ңɕ,由极限的夹逼性得ξᶄ=lim n ңɕa n =lim nңɕb n =ξ㊂1.3㊀用确界存在定理证明Cauchy 收敛原理引理:基本数列必定有界取ε0=1,因为x n {}是基本数列,所以∃N 0,∀n >N 0:x n -x N 0+1<1㊂令M =max x 1,x 2, ,x N 0,x N 0+1{},则对一切n ,成立x n ɤM ㊂证㊀必要性:设x n {}收敛于a ,按定义,∀ε>0,∃N ,∀n ,m >N :x n -a <ε2,x m -a <ε2,于是x m -x n ɤx m -a +x n -a <ε㊂充分性:由引理,基本数列x n {}必定有界㊂由确界存在定理,数列x n {}必有上确界,记ξ=supn >N x n{},则ξ为x n {}的极限㊂2㊀利用单调有界定理证明其它定理2.1㊀用单调有界定理证明确界存在定理证㊀设S 是非空有上界的实数集合,又设T 是由S 的所有上界所组成的集合,现证T 含有最小数,即S 有上确界㊂取a 1∉T ,b 1ɪT ,显然a 1<b 1㊂现按下述规则一次构造一列闭区间:a 2,b 2[]=a 1,a 1+b 12éëêêùûúú,若a 1+b 12ɪT a 1+b 12,b 1éëêêùûúú,若a 1+b 12∉T ìîíïïïï,a 3,b 3[]=a 2,a 2+b 22éëêêùûúú,若a 2+b 22ɪT a 2+b 22,b 2éëêêùûúú,若a 2+b 22∉T ìîíïïïï㊀显然a n {}单调递增有上界b 1,b n {}单调递减有下界a 1,由单调有界定理,a n {}与b n {}收敛,且lim n ңɕa n =lim n ңɕb n =ξ,现只需说明ξ是集合T 的最小数,也就是集博看网 . All Rights Reserved.714289877@ 职成教苑合S 的上确界㊂当ξ∉T ,即ξ不是集合S 的上界,则存在x ɪS ,使得ξ<x ㊂由lim n ңɕb n =ξ,可知当n 充分大时,成立b n <x ,这就与b n ɪT 发出矛盾,所以ξɪT ㊂若存在ηɪT ,使得η<ξ,则由lim n ңɕa n =ξ,可知当n 充分大时,成立η<a n ㊂由于a n ∉T ,于是存在y ɪS ,使得η<a n <y ,这与ηɪT 发生矛盾㊂从而得出ξ是集合S 的上确界㊂2.2㊀用单调有界定理证明闭区间套定理证㊀由条件①可得a 1ɤ ɤa n -1ɤa n <b n ɤb n -1ɤ ɤb 1㊂显然:a n {}单调增加有上界,b n {}单调减少有下界a 1,由单调有界定理,a n {}与b n {}都收敛㊂设lim n ңɕa n =ξ,则lim n ңɕb n =lim n ңɕb n -a n ()+a n []=lim n ңɕb n -a n ()+lim n ңɕa n =ξ,ξ的惟一性显然成立㊂2.3㊀用单调有界定理证明Cauchy 收敛原理证㊀必要性(略)㊂充分性:由引理1基本数列必有界,其次再证明基本数列x n {}的子列有极限㊂取单调减少的基本数列x n {}的子列x n k {}为例㊂令ε=1n ,则存在N n ()及n 1,n 2>N ,使得x n 1-x n 2<1n ,不妨假设对固定的x n k ,必有x n k <x n k -1,当n k -1,n k >N 时,有x n k -1-x n k <1n㊂否则,由于x n {}为无穷数列,必有当n >N时,x n ʉx n k (k =1,2,3, )为常数列,显然收敛㊂结论成立㊂又因为x n k {}⊆x n {},且x n k {}有界,由单调有界定理知,x n k {}收敛㊂记lim n ңɕx n k =a ㊂即对任意ε>0,存在N ,当k >N 时有:x n k -a <ε最后再证lim n ңɕx n =a ㊂因为x n {}是基本数列,所以∀ε>0,∃N ,∀n ,m >N :x n -x m <ε2㊂在上式中取x m =x n k ,其中k 充分大,满足n k >N ,并且令k ңɕ,于是得到x n -a ɤε2<ε,此即证明数列x n {}收敛㊂3㊀利用闭区间套定理证明其它定理3.1㊀用闭区间套定理证明确界存在定理证㊀设S 是非空有下界的实数集合,又设T 是由S 的所以下界所组成的集合,现证T 含有最小数,即S 有下确界㊂构造一列闭区间,存在唯一的实数ξ属于所有的闭区间a n ,b n [],通过反证法可得证ξ是集合T 的最大数,也就是S 的下确界㊂当ξ∉T ,即ξ不是集合S 的下界,则存在x ɪS ,使得ξ>x ㊂由lim n ңɕa n =ξ,可知当n 充分大时,成立a n >x ,这就与a n ɪT 发出矛盾,所以ξɪT ㊂若存在ηɪT ,使得η>ξ,则由lim n ңɕb n =ξ,可知当n 充分大时,成立η>b n ㊂由于b n ∉T ,于是存在y ɪS ,使得y <b n <η,这与ηɪT 发生矛盾㊂从而得出ξ是集合S 的下确界㊂3.2㊀用闭区间套定理证明单调有界定理证㊀设数列x n {}单调递增有上界,记单调递减数列M n {}是x n {}的全体上界,则x 1<x 2< <x n <M n <M n -1< <M 2<M 1,显然有x n +1,M n +1[]⊂x n ,M n [],且limn ңɕM n -x n ()=0,所以x n ,M n []{}形成了一个闭区间套㊂由闭区间套定理,存在唯一实数ξ属于所有的闭区间x n ,M n [],且lim n ңɕx n =lim n ңɕM n =ξ,同理可证单调减少有下界的情况㊂3.3㊀用闭区间套定理证明Cauchy 收敛原理证㊀必要性(略)㊂充分性:设x n {}为基本数列,且a 1ɤx n ɤb 1,n ɪN +,将a 1,b 1[]二等分,令c 1=a 1+b 12得到两个长度相同的子区间a 1,c 1[]㊁c 1,b 1[],分别记为J 1㊁J 2,据它们在实数轴上的左右位置和基本数列的定义即可发现:在左边的J 1和右边的J 2中,至少有一个子区间只含有数列x n {}中的有限项㊂这从几何上看是很直观的,若在J 1和J 2中都有数列中的无穷多项,则可以在J 1中取x n ,在J 2中取x m 使得n ,m 都可以任意大,同时满足不等式x m -x n ȡb -a2这与x n {}为基本数列的条件矛盾,所以可以从a 1,b 1[]去掉只含有数列x n {}中有限项子区间J 1和J 2(若两个子区间都是如此则任取其一)将得到的区间记为a 2,b 2[],重复上述步骤,无限进行下去,便得区间套a k ,b k []{},且满足闭区间套中的每个区间长度是前一个区间长度的12,每一个a k ,b k []中含有数列x n {}中从某项起的所有项㊂所以存在ξ是a n {},b n {}从两侧分别单调收敛于ξ㊂现只需证明基本数列x n {}收敛于ξ㊂∀ε>0,∃n ɪN ,使a n ,b n 进入点ξ的邻域,即有a n ,b n []⊂ξ-ε,ξ+ε()㊂因a k ,b k []中含有数列x n {}中从某项起的所有项,所以∃N 1,当n >N 1时成立x n -ξ<ε㊂4㊀利用Cauchy 收敛原理证明其它定理4.1㊀用Cauchy 收敛原理证明确界存在定理证㊀设S 是一个有上界的集合㊂取实数b 1,使对所有x ɪS ,都有x <b 1㊂取a 1ɪS 并考察区间a 1,b 1[]的中点a 1+b 12,若a 1+b 12是S 的上界,则令a 2=a 1,b 2=a 1+b 12;若a 1+b 12不是S 的上界,则令a 2=a 1+b 12,b 2=b 1㊂于是总可得到区间a 2,b 2[],使b 2是S 的上界㊂a 2,b 2[]中有S 点且b 2-a 2=12b 1-a 1()再对闭区间a 2,b 2[]进行同样的处理,又可得到闭区间a 3,b 3[],使得b 3是S 的上界,a 3,b 3[]中有S 的点且b 3-a 3=b 2-a 22=b 1-a 122㊂重复此步骤,可得到一个闭区间的序列a n ,b n []{},满足下列条件:博看网 . All Rights Reserved.职成教苑714289877@(1)a n +1,b n +1[]⊂a n ,b n [],n =1,2,3, ㊂(2)b n -a n =b 1-a 12n -1,n =1,2,3, ㊂(3)对每个n ɪN ,b n 是S 的上界且a n ,b n []ɘS ʂ⌀,由(1)和(2)知,当m >n 时有b m -b n =b m -b n <b n -a n=12n -1b 1-a 1(),可见b n {}为基本数列,由柯西收敛原理知b n {}收敛,设b n {}收敛于M ㊂任意x ɪS 和任意n ɪN ,均有x ɤb n ,所以x ɤM ,即M 为S 的上界㊂对∀ε>0,由于b n -a n {}的极限为0,所以有n 0使b n 0-a n 0<ε,又因为b n 0ȡM ,所以a n 0ȡb n 0-εȡM -ε由(3)知a n 0,b n 0[]中有S 的点,这表明M -ε不是S 的上界,所以S 是M 的上确界,所以(2)成立㊂4.2㊀用Cauchy 收敛原理证明单调有界定理证㊀假设x n {}单调减少且有下界,但不收敛,则∃ε0,对∀N ,∃m >n >N 使得x n -x m ȡε0,即x m -x n ɤε0㊂取N 1=1,则∃m 1>n 1>N 1使得x m 1-x n 1ɤε0;取N 2=m 1,则∃m 2>n 2>N 2使得x m 2-x n 2ɤε0; ;取N k =m k -1,则∃m k >n k >N k 使得x m k -x n k ɤε0,如此下去,得到子列x n k {},x m k {}满足:kε0ȡx m k -x n k ()+ +x m 2-x n 2()+x m 1-x n 1()ȡx m k-x m k -1()+ +x m 2-x m 1()+x m 1-x n 1()=x m k -x n 1所以x m k -x n 1ң+ɕ,k ңɕ㊂这与x n {}有界矛盾,从而x n {}收敛㊂同理可证单调增加有上界的情形㊂4.3㊀用Cauchy 收敛原理证明闭区间套定理证㊀设m >n ,有0ɤa m -a n <b n -a n ң0(n ңɕ),所以数列a n {}是一基本数列,顾lim n ңɕa n =ξ,由此得到㊀lim n ңɕb n =lim n ңɕb n -a n ()+lim n ңɕa n =ξ㊂由于数列a n {}单调增加,数列b n {}单调减少,可知ξ是属于所有闭区间a n ,b n []的唯一实数㊂参考文献[1]陈纪修.於崇华.数学分析第二版上册[M ].北京:高等教育出版社,2004.[2]包丙寅.实数基本定理的等价性证明[J ].赤峰学院学报,2010,26(07).[3]胡永生.浅谈致密性定理的不同证明方法[J ].中国校外教育下旬刊,2008,(03).[4]扶炜.实数完备性六大基本定理的等价性证明[J ].信阳农业高等专科学校学报,2012,22(02).[5]刘利刚.实数系基本定理等价性的完全互证[J ].数学的实践与认识,2008,38(24).[6]常利利.数学分析同步辅导与课后习题详解[M ].第二版.上册.长春:吉林大学出版社,2008:7.责任编辑㊀孙晓东(上接第37页)4.2㊀多方面评价,全方位发展首先,弱化评价的选拔目的,重视学生发展的过程的均衡㊂促进每一个学生的全面发展是我国基础教育的根本任务,作为评价教学效果的重要指标,基础教育的根本目的不应是选拔拔尖性人才,而是帮助每一个学生发现其学习过程中存在的问题,以获得在未来获得更好的发展㊂其次,评价标准应更加多元化㊂每个学生都有自己的性格特长和钟爱的优势领域,因而在教育评价上就不能 单以分数论英雄 ,用一把尺子衡量所有学生㊂评价标准应包含道德品质㊁学业考试成绩㊁身体素质以及综合实践能力等多项标准,并且每项标准所占权重应均等,从而彻底打破考试卷面得分在学生评价中的 垄断地位 ㊂最后,避免单独使用结果评价,应将过程评价与结果评价相结合㊂过程评价是指在学生学习过程中,经常进行的对学生知识掌握情况㊁能力发展水平的评价㊂其目的不在于打分,而在于发现问题㊂结果评价是对学生学习成果的整体评价,在基础教育阶段,通常以打分的方式出现㊂评价的根本目的在于促进学生的发展而不仅仅是评定学生学习的阶段性成果㊂发现学生在学习过程中出现的问题并给予改进建议是促进学生迅速成长的有效途径,因而评价指标应更全面㊁合理,而不是仅给学生一个单一的分数认定㊂4.3㊀明确责任主体,加强监督管理建议国家将减负政策的全面落实纳入法治管理范围㊂如果教育主管部门放任不管,拒不履行责任,就应当承担相应的法律责任;如果校领导和教师违反减负政策要求,也应接受相应处罚;如果家长擅自给学生加压,也应承担相应的后果㊂加强对校外辅导机构的监管力度,杜绝超前教学㊁课业负担过重等不利于学生成长的教学方式,从而促进中小学生的健康成长㊂参考文献[1]聂清杰.中小学生负担过重的原因及对策[J ].国家高级教育行政学院学报,2000,(05):25-26.[2]朱晓芬. 减负 不要走向极端[J ].湖北教育:政务宣传,2001,(09):8-8.[3]姚佳胜,方媛.政策工具视角下我国减负政策文本计量研究[J ].上海教育科研,2019,(02):10-15.[4]张冰,程天君.新中国成立以来学生 减负 历程的回顾与反思[J ].教育科学,2019,35(06):33-39.[5]何东昌.中华人民共和国教育史纲[M ].海南:海南出版社,2002:203.[6]陈的非. 文革 期间中,小学课程与教学改革研究[D ].长沙:湖南师范大学.[7]王硕. 减负 背景下小学生家长家教观念研究[D ].芜湖:安徽师范大学,2019.[8]新华社.中共中央办公厅㊀国务院办公厅㊀关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见[J ].河南教育(基础版),2021,(09):4-8.[9]罗秀艳.提升教学实践能力促进教师专业发展[J ].科学中国人,2015,(1X ):104.责任编辑㊀孙晓东博看网 . 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