1.2 充分条件和必要条件（2）[教学目标]：1．进一步理解并掌握充分条件、必要条件、充要条件的概念；2．掌握判断命题的条件的充要性的方法； [教学重点、难点]：理解充要条件的意义，掌握命题条件的充要性判断[教学过程]：一、复习回顾一般地，如果已知p q ⇒，那么我们就说p 是q 成立的充分条件，q 是p 的必要条件 ⑴“a b c >>”是“()()()0a b b c c a ---<”的 充分不必要 条件． ⑵若a 、b 都是实数，从①0ab >；②0a b +>；③0ab =；④0a b +=；⑤220a b +>；⑥220a b +=中选出使a 、b 都不为0的充分条件是 ①②⑤ ．二、例题分析条件充要性的判定结果有四种，判定的方法很多，但针对各种具体情况，应采取不同的策略，灵活判断．下面我们来看几个充要性的判断及其证明的例题．1．要注意转换命题判定，培养思维的灵活性例1：已知p ：2x y +≠-；q ：x 、y 不都是1-，p 是q 的什么条件？分析：要考虑p 是q 的什么条件，就是判断“若p 则q ”及“若q 则p ”的真假性 从正面很难判断是，我们从它们的逆否命题来判断其真假性“若p 则q ”的逆否命题是“若x 、y 都是1-，则2x y +=-”真的“若q 则p ”的逆否命题是“若2x y +=-，则x 、y 都是1-”假的故p 是q 的充分不必要条件注：当一个命题很难判断其真假性时，我们可以从其逆否命题来着手．练习：已知p ：2x >或23x <；q ：2x >或1x <-，则p ⌝是q ⌝的什么条件？ 方法一：2:23p x ⌝≤≤ :12q x ⌝-≤≤ 显然p ⌝是q ⌝的的充分不必要条件方法二：要考虑p ⌝是q ⌝的什么条件，就是判断“若p ⌝则q ⌝”及“若q ⌝则p ⌝”的真假性“若p ⌝则q ⌝”等价于“若q 则p ”真的“若q ⌝则p ⌝”等价于“若p 则q ”假的故p ⌝是q ⌝的的充分不必要条件2．要注意充要条件的传递性，培养思维的敏捷性例2：若M 是N 的充分不必要条件，N 是P 的充要条件，Q 是P 的必要不充分条件，则M 是Q 的什么条件？分析：命题的充分必要性具有传递性M N P Q ⇒⇔⇒ 显然M 是Q 的充分不必要条件3．充要性的求解是一种等价的转化例3：求关于x 的一元二次不等式21ax ax +>于一切实数x 都成立的充要条件 分析：求一个问题的充要条件，就是把这个问题进行等价转化由题可知等价于000004040a a a a a a ≠⎧⎪=>⇔=<<⇔≤<⎨⎪∆<⎩或或4．充要性的证明，关键是理清题意，特别要认清条件与结论分别是什么例4：证明：对于x 、y ∈R ，0xy =是220x y +=的必要不充分条件．分析：要证明必要不充分条件，就是要证明两个，一个是必要条件，另一个是不充分条件必要性：对于x 、y ∈R ，如果220x y +=则0x =，0y = 即0xy =故0xy =是220x y +=的必要条件不充分性：对于x 、y ∈R ，如果0xy =，如0x =，1y =，此时220x y +≠故0xy =是220x y +=的不充分条件综上所述：对于x 、y ∈R ，0xy =是220x y +=的必要不充分条件．例5：p ：210x -≤≤；q ：()110m x m m -≤≤+>．若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数m 的取值范围． 解：由于p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，则p 是q 的充分不必要条件于是有12101m m -≤-⎧⎨≤+⎩9m ∴≥ 三、练习：1．若命题甲是命题乙的充分不必要条件，命题丙是命题乙的必要非充分条件，命题丁是命题丙的充要条件，那么：命题丁是命题甲的什么条件．（必要不充分的条件）2．对于实数x 、y ，判断“x+y ≠8”是“x ≠2或y ≠6”的什么条件．（充分不必要条件）3．已知0ab ≠，求证：1a b +=的充要条件是：33220a b ab a b ++--=.。
1.2充分条件与必要条件考试要求理解必要条件、充分条件与充要条件的含义，并利用条件求参数或参数的取值范围．若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则由A⊆B可得，p是q的充分条件，请写出集合A，B的其他关系对应的条件p，q的关系．充分条件、必要条件与充要条件的概念1.区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且B⎭A)，与A的充分不必要条件是B(B⇒A且A⎭B)两者的不同.2.充要关系与集合的子集之间的关系，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件.(2)若A◊B，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件.(3)若A＝B，则p是q的充要条件.3.p是q的充分不必要条件，等价于綈q是綈p的充分不必要条件.题组一思考辨析1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)若已知p：x>1和q：x≥1，则p是q的充分不必要条件.()(2)已知集合A ，B ，则A ∪B ＝A ∩B 的充要条件是A ＝B .( ) (3)当q 是p 的必要条件时，p 是q 的充分条件.( )(4)若a ，b ∈R ，则“a 2＋b 2≠0”是“a ，b 不全为0”的充要条件.( ) 题组二 教材改编2．设a ，b ∈R 且ab ≠0，则ab >1是a >1b 的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3．函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称的充要条件是________． 题组三 考题体验4．(多选题)(2020·临沂质检)设x ∈R ，则x ＞2的一个必要不充分条件是( ) A.x ＜1B.x ＞1C.x ＞－1D.x ＞35.(2021·徐州模拟)已知集合A ＝{x |13<3x <27，x ∈R }，B ＝{x |－1<x <m ＋1，m ∈R }，若x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是________.题型一 充分、必要条件的判定例1 (1)已知p ：⎝⎛⎭⎫12x<1，q ：log 2x <0，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件(2)(2020·浙江卷)已知空间中不过同一点的三条直线l ，m ，n .“l ，m ，n 共面”是“l ，m ，n 两两相交”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件充分条件、必要条件的两种判定方法(1)定义法：根据p ⇒q ，q ⇒p 进行判断，适用于定义、定理判断性问题．(2)集合法：根据p ，q 对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题． (3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题.跟踪训练1 (1)(多选题)(2021·山东新高考模拟)已知两条直线l ，m 及三个平面α，β，γ，则α⊥β的充分条件是( )A.l ⊂α，l ⊥βB.l ⊥α，m ⊥β，l ⊥mC.α⊥γ，β∥γD.l ⊂α，m ⊂β，l ⊥m(2)(2020·北京卷)已知α，β∈R ，则“存在k ∈Z 使得α＝k π＋(－1)k β”是“sin α＝sin β”的( ) A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件题型二 充分、必要条件的应用例2 (经典母题)已知集合A ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合B ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若x ∈A 是x ∈B 的必要条件，求m 的取值范围．【迁移1】本例条件不变，问是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件？并说明理由.【迁移2】设p ：P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，q ：非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }，且⌝p 是⌝q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解． (2)要注意区间端点值的检验．跟踪训练2 (1)使2x ≥1成立的一个充分不必要条件是( )A ．1<x <3B ．0<x <2C ．x <2D ．0<x ≤2(2)若关于x的不等式|x－1|<a成立的充分不必要条件是0<x<4，则实数a的取值范围是________．题型三充要条件的探求例3已知两个关于x的一元二次方程mx2－4x＋4＝0和x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，求两方程的根都是整数的充要条件．探求充要条件的关键在于转化的等价性，解题时要考虑条件包含的各种情况，保证条件的充分性和必要性．跟踪训练3 (1)(2021·江苏四校质检)命题“对任意x∈[1,2)，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是()A．a≥4 B．a>4C．a≥1 D．a>1(2)(2021·武汉质检)关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充要条件是________．1．“log2(2x－3)<1”是“4x>8”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件2．设a，b∈R，则“(a－b)a2<0”是“a<b”的()A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件3．(2019·北京卷)设函数f(x)＝cos x＋b sin x(b为常数)，则“b＝0”是“f(x)为偶函数”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4．王安石在《游褒禅山记》中写道“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”，请问“有志”是到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的( ) A.充要条件B.既不充分也不必要条件C.充分不必要条件D.必要不充分条件5．(2021·湖南雅礼中学月考)若关于x 的不等式|x －1|<a 成立的充分条件是0<x <4，则实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，1] B.(－∞，1) C.(3，＋∞)D.[3，＋∞)6.(2020·东莞模拟)若实数a ，b 满足a ＞0，b ＞0，则“a ＞b ”是“a ＋ln a ＞b ＋ln b ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件7．已知p ：x ≥k ，q ：(x ＋1)(2－x )<0，如果p 是q 的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是( ) A ．[2，＋∞) B ．(2，＋∞) C ．[1，＋∞)D ．(－∞，－1]8．(多选题)(2021·长沙质检)若x 2－x －2<0是－2<x <a 的充分不必要条件，则实数a 的值可以是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．49．(多选题)下列说法正确的是( ) A ．“ac ＝bc ”是“a ＝b ”的充分不必要条件 B ．“1a >1b ”是“a <b ”的既不充分也不必要条件C ．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，则A ⊆BD ．“a >b >0”是“a n >b n (n ∈N ，n ≥2)”的充要条件 10.(多选题)(2021·青岛调研)下列叙述正确的是( )A.“a ＜1”是“方程x 2＋x ＋a ＝0有一个正根和一个负根”的必要不充分条件B.若a ，b ，c ∈R ，则“ab 2＞cb 2”的充要条件是“a ＞c ”C.“a ＞1”是“1a＜1”的充分不必要条件D.若a ，b ，c ∈R ，则“ax 2＋bx ＋c ≥0”的充要条件是“b 2－4ac ≤0”11．(2020·盐城模拟)已知命题p ：1a >14，命题q ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1>0，则p 成立是q 成立的________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)12．(2020·福州模拟)已知f (x )是R 上的奇函数，则“x 1＋x 2＝0”是“f (x 1)＋f (x 2)＝0”的__________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)13．若x∈{－1，m}是不等式2x2－x－3≤0成立的充分不必要条件，则实数m的取值范围是________．14．若实数a，b满足a>0，b>0，则“a>b”是“a＋ln a>b＋ln b”成立的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“即不充分又不必要”)1．(2021·深圳模拟)对于任意实数x，〈x〉表示不小于x的最小整数，例如〈1.1〉＝2，〈－1.1〉＝－1，那么“|x－y|<1”是“〈x〉＝〈y〉”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件2．已知p：实数m满足3a<m<4a(a>0)，q：方程x2m－1＋y22－m＝1表示焦点在y轴上的椭圆，若p是q的充分条件，则a的取值范围是________________．1．已知集合A＝26311x xx--⎧⎫⎪⎪⎛⎫⎨⎬⎪⎝⎭⎪⎪⎭⎩≤，B＝{x|log3(x＋a)≥1}，若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．2．已知r>0，x，y∈R，p：|x|＋|y|2≤1，q：x2＋y2≤r2，若p是q的必要不充分条件，则实数r的取值范围是________．。
