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工程流体力学第五章 相似原理和量纲分析

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流体力学第五章相似原理和量纲分析

流体力学第五章相似原理和量纲分析

vl vl
vl vl
k kvkl 1 k
kvkl 1 k
Re vl vl
雷诺数，惯性力 与黏性力之比
黏性力作用相似： Re Re
第二节 动力相似准则
• （３）压力相似准则（欧拉准则）
在压力作用下相似的流动，其压力分布必须相似
或者：
p Eu
v 2
Eu p
v 2
欧拉数，是总压力与 惯性力的比值
3 基本量 导出量 一个物理问题中诸多的物理量分成基本物理
量（基本量）和其他物理量（导出量），后者可 由前者通过某种关系得到，前者互为独立的物理 量。基本量个数取基本量纲个数，所取定的基本 量必须包括三个基本量纲在内，这就是选取基本 量的原则。
k kl3kg
v
v
gl1 2 gl1 2
kv kl kg
12
1
弗劳德数，是惯性力
Fr
v
gl 1
2
与重力的比值
流场重力作用相似： Fr Fr
第二节 动力相似准则
• （２）黏滞力相似准则（雷诺准则）
在黏性力作用下相似的流动，其黏性力分布必须相似
kF
F F
dvx dvx
/ dyA / dyA
k kvkl
F ma V dv dt F ma Vdv dt
F
F
l2v2 l 2v2
kF 1
k
k2 l
k2 v
Ne F
l 2v2
牛顿数，是作用力与 惯性力的比值
流场动力相似： Ne Ne
第二节 动力相似准则
• （１）重力相似准则（弗劳德准则）
在重力作用下相似的流动，其重力场必须相似
kF

相似原理和量纲分析

相似原理和量纲分析
Vp
第五章 相似原理和量纲分析
2.运动相似（时间相似）
运动相似是指：模型与原型的流场中所有对应点上 对应时刻的流速方向相同，且对应流速的大小的比 例相等，即它们速度场相似。
原型
模型
第五章 相似原理和量纲分析
速度比例系数： 时间比例系数：
vm kv C vp
tm kt tp
vm t m kv ka v p t p kt
第五章 相似原理和量纲分析 三、其它的相似准则数
①弹性力相似准则
对于可压缩流体的模型试验，由压缩引起的 弹性力场相似。（Ca——柯西数 Ma——马赫数， 惯性力与弹性力的比值）。
②非定常相似准则
对于非定常流动的模型试验，模型与原型的 流动随时间的变化必相似。（Sr—— 斯特劳哈尔 数，当地惯性力与迁移惯性力的比值）。
同时还有,如质量量纲[M]，力的量纲[F]等。 基本量纲-----相互独立，不相互依赖，如[M]， [L]，[T]等。 导出量纲-----由基本量纲导出,如
密度：dim =ML-3 压强：dim p =ML-1T-2 速度：dim v =LT-1 -2 加速度：dim a =LT 2 -1 运动粘度：dim =L T -2 力：dim F =MLT 表面张力：dim =MT-2 体积模量：dim K =ML-1T-2 动力粘度：dim =ML-1T-1 2 -2 -1 比定压热容：dim c L T 2 -2 -1 比定容热容：dim c L T 2 -2 -1 气体常数：dim R = L T
第五章 相似原理和量纲分析
3.应用举例
采用模型中流体与原型中相同，模型中流 速为50m/s，则原型中流速为多少？
查看答案
1）如果模型比例尺为1:20，考虑粘滞力相似，

流体力学第五章 量纲分析和相似理论

流体力学第五章 量纲分析和相似理论

第五章 量纲分析与相似原理
5.2 量纲分析与П定理
2. П定理
提议用量纲分析的是瑞利（L.Reyleigh,1877),奠定理论基础的是美国物理
学家布金汉（E.Buckingham,1914):
Π定理
若某一物理过程包含 n 个物理量，即：
f(q1 ， q 2，q 3, ……, q n )＝0
其中有 m 个基本量（量纲独立，不能相互导出的物理 量），则该物理过程可由 n个物理量构成的 n-m 个无 量纲的关系表达式来描述。即：
5.1 量纲与物理方程的量纲齐次性
1. 物理量的量纲（因次）：物理量的本质属性。
2. 物理量的单位：物理量的度量标准。
基本量纲和导出量纲：根据物理量之间的关系把无 任何联系且相互独立的量纲作为基本量纲，可由基本量 导出的量纲为导出量纲。
SI制中的基本量纲：
dim m = M , dim l = L , dim t = T ，dim θ=Θ
第五章 量纲分析与相似原理
5.1 量致性原则，也叫量纲齐次性原理（量纲和谐原理）
物理方程可以是单项式或多项式，甚至是微分方程等，同 一方程中各项的量纲必须相同。
用基本量纲的幂次式表示时，每个基本量纲的幂次应相等，
这就是物理方程的量纲一致性原则，也叫量纲齐次原则或量纲
1. 客观性 2. 不受运动规模的影响 3. 可以进行超越函数运算
整理课件
第五章 量纲分析与相似原理
5.1 量纲与物理方程的量纲齐次性
2. 量纲一的量(无量纲量)
基本量独立性判别条件：
设A、B、C为三个基本量，他们成立的条件是：指数行列式 不等于零。
diB m M 2L 2T 2 diA m M 1L 1T1 diC m M 3L 3T 3

第五章 相似原理与量纲分析

第五章 相似原理与量纲分析

例：长度比为1/50的船舶模型，在水池中以1m/s的 速度牵引前进时，则得波浪阻力为0.02N。求（1） 原型中的波浪阻力；（2）原型中船舶航行速度； （3）原型中需要的功率？
第三节 流动相似条动，它们都应为相同 的微分方程组所描述。 2、单值条件（几何条件、边界条件、物性条件、初 始条件）相同或相似； 3、由单值条件中的物理量所组成的相似准则数相等。


四、初始条件和边界条件的相似
初始条件：适用于非恒定流。
边界条件：包含几何、运动和动力三个方面的因素。 例如固体边界上的法线流速为零，自由液 面上的压强为大气压强等 。
流动相似的含义： 1、几何相似是运动相似和动力相似的前提与依据；
2、动力相似是决定两个液流运动相似的主导因素；
3、运动相似是几何相似和动力相似的表现； 4、凡流动相似的流动，必是几何相似、运动相似 和动力相似的流动。
例：有一直径为15cm的输油管，管长5m，管中要通 过的流量为0.18m3/s ，现用水来作模型试验，当模型 管径和原型一样，水温为10℃（原型中油的运动粘度 为 0.13cm2/s），问水的模型流量应为多少时才能达 到相似？若测得5m长模型输水管两端的压差为3cm， 试求在5m长输油管两端的压差应为多少（用油柱高 表示）？
M F l kM k F kl k kl3kv2 M Fl
p Fp A k F kp k kv2 p Fp A k A
功率比例尺 动力粘度比例尺
kP
P F v k F kv k kl2 kv3 P Fv k k k k kl kv

例1：当通过油池底部的管道向外输油时，如果池内 油深太小，会形成大于油面的漩涡，并将空气吸入 输油管。为了防止这种现象，需通过模型实验确定 油面开始出现漩涡的最小油深hmin。已知输油管内 径d=250mm，qV=0.14m3/s，运动黏度ν=7.5x10-5m/s。 倘若选取的长度比例尺kl=1/5，为了保证流动相似， 模型输出管的内径、模型内液体的流量和运动黏度 应等于多少？在模型上测得h'min=60mm，油池的最 小深度hmin应等于多少？

同济流体力学第五章相似原理与量纲分析

同济流体力学第五章相似原理与量纲分析
按上述原则去安排试验、进行试验和整理试验结果，则所得到流动 规律可推广应用于与之相似的任何流动过程中去。
第三节 相似准则
根据相似三定理可知：判断原型与模型流场相似，没有必要用一 一检查各物理量的比例尺的方法去判断两个流动是否力学相似， 这样做是极不合适的。在进行模型设计或组织模型试验前应该首 先找出研究对象的全部相似准则即可（因为判断相似的标准是相 似准则）。
体积流量比例
Ca

am ap
Vm Vp
tm tp
Cv Ct
Cv2 CL
CqV
qVm qVp

L3m L3p
tm tp
CL3 Ct
CL2Cv
运动粘度比例
k
m p

L2p L2p
tm tp

CL2 Ct
CLCv
角速度比例
C

m p
Vm Vp
tm tp
Cv Ct

Fm vm Fpv p
CF CV
C CL2Cv3
C

m p

m m p p
C C
C CLCv
第二节 相似定理
1、相似第一定理（相似性质）
“彼此相似的现象必定具有数值相同的相似准则”
2、相似第二定理（相似充要条件）
“凡同一种类现象，当单值条件相似而且单值条件中的物理量所组成的相似 准则在数值上相等时，则这些现象必定相似 ”

Im Ip
Cm

mm mp

m m p p
C CL3
CF

Im Ip

mm am mpap
CmCa
C CL2Cv2

工程流体力学相似理论和量纲分析

工程流体力学相似理论和量纲分析
由（2.4.6 )式（第59页）NS方程可以看出，单位质 量的各力可用这些特征物理量的量级表示如下：
压力 质量力
p
Fp L
Fg g
粘性力 F

v
L2
局部惯性力
Ft
v t
迁移惯性力 Fl
v2 L
由动力相似条件得：
(Fp )m (Fp ) p

(F )m (F ) p

(Fg )m (Fg ) p
3、运动学问题有两个基本单位（量纲）： 时间(T)、长度(L)。
导出量X的量纲[X ]：
[ X ] M a LbT c
(5.2.1)
流体力学中常见物理量的量纲：
速度[v] 力[F] LT-1 MLT-2
密度[ρ] ML-3
压力[p] ML-1T-2
动力粘性 系数[µ]
ML-1T-1
运动粘性 系数[ν]
C

m p
Vm 0 Vm lim mp
lim mp
V Vm 0
Vp 0
m
V Vp 0
p
Vp
Gm gm
lim Gp g p
Vm 0 Vp 0
Vm
CF Ca CV

CF Ct2 Cl4
Vp
在动力相似的条件下，对应的流体动力系数（压力
图 油池模型
【解】按长度比例尺得模型输出管内径
dm

Cl d

250 5

50（mm）
在重力场中，由弗劳德数相等可得模型内液体的流速
和流量为
vm


hm h
1
2
v

1 1 5

工程流体力学 第五章 量纲分析与相似原理


单值条件中的物理量所组成的相似准则在数值上相等时， • 单值条件中的各物理量称为定性量。由定性量组成
的相似准则称为定性准则或定型准则；包含被决定量的
相似准则称为非定性准则或非定型准则。雷诺准则，傅 鲁德准则由定性量组成（几何条件、物理条件、边界条 件、初始条件等单值条件中的量）。欧拉准则中有被决 定量p，故它是非定性准则。
F f i ( d , d ,...... d )
• 即任一非定性准则可表示为定性准则的函数。 • 对于粘性不可压缩流体的定常流动，定性准则有Re， Fr，非定性准则为Eu，故：Eu=f(Re，Fr)
i 1 2 m
•
相似三定理解决模型试验中必须解决的一系列问题， 可归纳为：
（1）设计模型和选择介质必须使单值条件相似，而且由 定性量所组成的定性准则在数值上要相等。（如何设计 模型和选择介质） （2）试验中应测定各相似准则中所包含的一切物理量， 并把它们整理成相似准则。（测定哪些物理量） （3）把试验结果整理成相似准则之间的关系式，便可推
• 5.4 模型试验
•
• • • •
在进行流体动力学的模型试验时，为保证模型与 原型中的现象相似，应按相似原理去设计模型、安排试 验，必须做到： (1)模型与原型流体通道的几何相似。 (2)模型与原型流体的密度和粘度具有固定的比值。 (3)模型与原型进口截面的速度分布相似。 (4)模型与原型进口处按平均流速计算的Re数, Fr数相等。
π2
a+b-3d+1=0 a=1
d-1=0
-a+1=0
d=1
b=1
π3
a+b-1-3d=0 a= -2 1+d=0 d=-1
π1→Fr ; π2→Re ; π 3 → Eu -a-2=0

流体力学第五章 相似原理和量纲分析


3
第五章 相似原理和量纲分析

流动的物理现象常受到各种因素的影响，对于简单的现象可以通过简化，建 立运动微分方程，求得精确解。

对于大量复杂的流动现象，理论分析本身就比较困难，由于流动边界条件的 复杂性，往往难以用数学形式准确表达和求解。

因此必须结合实验，才能使理论分析深入进行。 如果没有正确的理论指导，不知需要测定哪些物理量和应该如何整理实验数 据——虽然能获取大量数据，却无法找出影响现象本质的因素，使实验带有 盲目性。
kq

qV qV

l / t l
3
3

kl
3
V
k l kv
2
/t
kt

运动粘度比例尺
k


l / t l
2
2

kl
2
k l kv
/t
kt

角速度比例尺
k


v / l v/l

kv kl
过程装备与控制工程教研室
10
第五章 相似原理和量纲分析 三、动力相似
过程装备与控制工程教研室
16
第五章 相似原理和量纲分析

任何系统的机械运动都必须服从牛顿第二定律 F=ma

原型
F ma Va

模型
F ma V a
F F

m a ma

V a Va
kv kl
2
k F k kV ka k kl


——模型与原型流场的几何相似、运动相似和动力相似是两个流
场完全相似的重要特征和条件

5流体力学第五章量纲分析与相似原理

2019/1/11 12
二、量纲分析法 1. 一般步骤：以圆柱绕流为例 第1步、列举所有相关的物理量。
FD ( , V , d , )
阻力 密度 速度 直径
粘度系数
第2步、选择包含不同基本量纲的物理量为基本量纲 选ρ 、V 、d等3个 第3步、将其余的物理量作为导出量，即 FD 、μ分别与基本 量的幂次式组成П表达式(参见如下例子)。
时间成比例
速度成比例 力成比例
27
2 相似准则 1. 矩形相似 l h kl l ' h'
l l' l* h h'
l * 称为相似准则数或无量纲边长。
2. 流动相似 ①几何相似准则数：
l l* b
v v* U ③ 动力相似准则数： F F * Fi （Fi为惯性力）
② 运动相似准则数：
小是与来流的动能相比，从图中 可以看出，上部形成负压，而且 速度越快，实际的升力作用越大， 车容易“漂”。同时前端的正压 力与后端的负压力形成较大的压 差阻力。
p p0 Cp 1 v0 2 2
• 汽车与飞机绕流： 复杂物面的压强分布
2019/1/11
9
粘性流体动力学的无量纲特征参数的意义
导出量纲：用基本量纲的幂次表示。
2019/1/11
3
常用量
速度，加速度
体积流量，质量流量 密度，重度 力，力矩 压强，压力，弹性模量 粘度系数 其他量 角速度，角加速度 应变率
2019/1/11
dim v LT 1
dim Q L3T 1
dim ML3
dim a LT 2
令 ux* ux ,u y* 代入 上式得
V

流体力学 第5章 相似原理与量纲分析


§5.1 流动的力学相似
P F v 3 功率比例尺： k P k F kv k kl2 kv P Fv
v 动力粘度比例尺： k k k v k kl k v v
可见，有了模型与原型的密度比例尺kρ、长度比例尺kl及速度
比例尺kv，就可以由它们确定其他所有的动力学量的比例尺。
2 a v / t kv kv 加速度比例尺 ka a v/t kt kl
§5.1 流动的力学相似
体积流量比例尺
3 3 qV l / t kl 2 3 kl kv qV kt l /t
kqV
运动粘度比例尺
l 2 / t kl2 k 2 kl kv l / t kt

v v Fr 1/ 2 1/ 2 ( g l ) ( gl)
Fr——弗劳德数，是惯性力与重力的比值。
当模型与原型的重力相似，则其弗劳德数必定相等，反 之亦然。这就是重力相似准则（弗劳德准则）。
重力场中： g'
g, kg 1
则： v
k k
12 l
§5.2 动力相似准则
2.粘滞力相似准则——雷诺准则
L
L
§5.1 流动的力学相似 二、运动相似 （时间相似）
定义：满足几何相似的流场中，对应时刻、对应点流速（加 速度）的方向一致，大小的比例相等，即它们的速度（加 速度场）相似。
或者说模型与原形的流场所有对应点上、对应时刻的流速方向
v kv v t l / v kl kt t l /v kv
12 l
消耗的功率P Fv 76800 2.28 175.1 [kW]
§5.3 流动相似条件
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弹性力比： k F 'e dp' A' K ' A' dV ' V ' k k 2 K l F
Fe
dp A
KAdV V
K－体积模量 kK－体积模量比例尺
k k kK
K'
2
1
kF 1 2 2 k kl k
力的比例尺
也可写成:
' '2
2
2
K
柯西数 是惯性力与弹 性力的比值
2 2
推导过程
角速度比例尺:
' ' l ' k k l kl
注：确定了长度比例尺和速度比例尺，一切运动相似比例尺都可以推导出来。
注：*运动粘度比例尺的推导
d F A dy

F ma V a dy 1 则： A d dy m V A d dy A d 1
相似原理
如何去做模型？
第五章 相似原理和量纲分析
数学 分析 理论分析 数值计算 模型实验
解决流体 力学问题 的方法
实验研究
基础：相似原理 相似原理与模型试验研究方法不仅广泛应用于流体力 学，而且广泛应用于传热、燃烧过程机理等的研究中。
第一节 流动的力学相似
表 征 流 动 过 程 的 物 理 量
第五章 相似原理和量纲分析
xcli@
L/O/G/O
相似原理
相似原理 实物 模型
相似理论：
模型流场再现实物流场的准则——指导模型实验 实验结果推广到原型以及应用到相似的流动中
本章内容
1 2 3 4 1 5 流动的力学相似 动力相似准则 流动相似条件 近似模型实验 Click to add title in here 量纲分析法 连续方程
上述的牛顿数Ne、弗劳德数Fr、雷诺数Re、欧拉数Eu、斯特劳哈 尔数Sr、柯西数Ca、马赫数Ma、韦伯数We 统称为相似准则数。
说明：牛顿第二定律表述的是最简单、最基本的运动微分方程， 由该方程可导出各种性质单项力作用下的相似准则。
若已知某种流动的运动微分方程，（含多项力作用）可由该方程 直接导出相似准则。方法：令方程中有关力项同惯性力项相比。 对于不可压缩流体，一般认为只要同时满足雷诺准则、弗劳德 准则和欧拉准则即可实现动力相似。其中雷诺准则和弗劳德准则为 独立准则，欧拉准则为导出准则。
3
力的比例尺（由牛顿第二定律可知）：
力矩（功，能）比例尺：
M ' F 'l' 3 2 k F kl kl k k kM M Fl
压强（应力）比例尺：
p ' Fp ' A' k F 2 kp k k p Fp A k A
功率比例尺：
CP
P' F'' 2 3 kF k kl k k P F
5. 非定常性相似准则——斯特劳哈尔准则
对于非定常流动模型试验，必须保证模型与原型的流动随时间的变化相似。
由当地加速度引起的惯性力之比：
' Fit' 'V ' x t ' kF k kl3k kt1 Fit V x t
kl 1 k kt
也可写成:
kF 1 2 2 k kl k
k k
l g
k
1
1
2
kF 1 2 2 k kl k
力的比例尺
'
1
g ' l ' 2 gl 2
1


即要保证模型与原型的重力相 似，则要求两者对应的弗劳德 数必须相等Fr’=Fr，反之亦 然。这就是重力相似准则（弗 重力相似准则 劳德准则）。
弗劳德数
令:

重力场中 则
g' g, kg 1
令:

c
马赫数
Ma
是惯性力与弹 性力的比值
当模型与原型的弹性力相似，则其马赫数必定相等Ma’=Ma， 反之亦然。这就是弹性力相似准则（马赫准则） 。 弹性力相似准则
5. 表面张力相似准则——韦伯准则
表面张力作用下的相似流动，其表面张力分布必须相似。
表面张力比：
F' 'l ' kF k kl F l
Fp
F W Fi kF Fp F W Fi
切 向 力 重 力 惯 性 力 力 的 比 例 尺
总 压 力
密度比例尺：
Fi aV k F kF k 2 2 Fi aV k a kV kl k
' 3 k F ' l ' l k kl2 k2 t ' t
模型 原型
l' kl l
——长度比例尺（相似比例常数）
Hale Waihona Puke 如：圆柱的直径d，管道的长度l，翼型的翼弦长b，管壁的绝对粗糙度ε
面积比例尺: 体积比例尺:
A' l '2 2 k A 2 kl A l V ' l '3 3 kV 3 kl V l
（5-2） （5-3）
满 足 这 些 条 件 流 动 才 能 几 何 相 似
弗劳德准则 Fr 雷诺准则 Re 欧拉准则 Eu 柯西准则 Ca (马赫准则Ma) 韦伯准则 We 斯特劳哈尔准则 Sr
1. 重力相似准则——弗劳德准则
重力作用下相似的流动，其重力场必相似。 重力比： k F
W ' 'V ' g ' 3 k kl k g W Vg
得 到： 或:
k k kl k 1
kF 1 2 2 k kl k
力的比例尺
' ' l ' l '
l l Re
' l ' l '
雷诺数 是惯性力与黏 滞力的比值
当模型与原型的粘性力相似， 则其雷诺数必定相等Re’=Re， 反之亦然。这就是粘性力相似 准则（雷诺准则） 。 准则
令:
当模型与原型用 同一种流体时：
k k 1
k 1
kl
3. 压力相似准则——欧拉准则
压力作用下相似的流动，其压力场必相似。
压力比：
kF
Fp ' Fp

p' A' 2 k p kl pA
kp
也可写成:
k k p' p '2 ' 2
2
2
1
kF 1 2 2 k kl k
描述几何形状的
如长度、面积、体积等 按性 质分
几何 相似
应
描述运动状态的
如速度、加速度、体积流量
运动 相似
流 动 相 似
满 足 的 条 件
描述动力特征的
如质量力、表面力、动量等
动力 相似
第一节 流动的力学相似
1. 几何相似（空间相似）
定义： 就是模型流场和原型流场的“边界”几何形状要求相似，即对 应角度相等，对应边长成比例。
力的比例尺
l' l ' t ' t
令:
l Sr t
斯特劳哈尔数 是当地惯性力与迁 移惯性力的比值
当模型与原型的非定常流动相似，则其斯特劳哈尔数必定相等 Sr’=Sr，反之亦然。这就是非定场相似准则（斯特劳哈尔准 非定场相似准则 则）。
思考题 为什么每个相似准则都要表征惯性力？
作用在流体上的力除惯性力是企图维持流体原来运动状 态的力外，其他力都是企图改变运动状态的力。如果把作用 在流体上的各力组成一个力多边形的话，那么惯性力则是这 个力多边形的合力，即牛顿定律 F ma ，流动的变化就 是惯性力与其他上述各种力相互作用的结果。因此各种力之 间的比例关系应以惯性力为一方来相互比较。
模型与原型的几何相似、运动相似和动力相似是 两个流场完全相似的重要特征。
第二节 动力相似准则
定义：在几何相似的条件下，两种物理现象保证相似的 条件或准则 。 kF 2 2 1 由力的比例尺 k F k kl k 可得： 2 2 k kl k 也可以写成
F' F ' l '2 '2 l 2 2
当模型与原型的弹性力相似， 则其柯西数必定相等Ca’=Ca， 反之亦然。这就是弹性力相似 准则（柯西准则） 。 准则
令:

K
Ca
当压强用压差来代替时：
Eu
p

2
欧拉相似准则：
p'

' '2

p
2
4. 弹性力相似准则（续）——马赫准则
若流体为气体，有
弹性力比：
K－体积模量 C－当地声速

－表面张力系数
k kl k k
2
1
kF 1 2 2 k kl k
力的比例尺
韦伯数
'2 ' 2 ' l l 令: 也可写成: '
2l We
是惯性力与 张力的比值
当模型与原型的表面张力相似，则其韦伯数必定相等We’=We， 反之亦然。这就是表面张力相似准则（韦伯准则） 。 表面张力相似准则
2 k 1 v' V ' a ' dy ' A d 3 kv ' kl kl 2 ' v Va dy A d kl kl k
kl k
x
3、动力相似
定义：模型与原型的流场所有对应点作用在流体微团上的各种力彼此 方向相同，大小成比例，即动力场相似。