北京大学研究生入学考试——高等代数与解析几何_试题及答案 2复习进程

北京大学2005 数学专业研究生 数学分析 1. 设x xx x x x f sin sin 1sin )(22--=，试求)(sup lim x f x +∞→和)(inf lim x f x +∞→.解: 22sin 1()sin sin (0,1].sin x x f x x x x x-=∈-首先我们注意到.在的时候是单调增的 222222sin 1sin .sin sin ,,lim sup sin 11x x x x x x x x x x x x x x →+∞-≤≤→+∞---并且在充分大的时候显然有所以易知在时当然此上极限可以令2,2x k k ππ=+→+∞这么一个子列得到.2222sin sin ().lim 0,lim inf 0,lim inf ()0.sin sin x x x x x x f x f x x x x x→+∞→+∞→+∞===--对于的下极限我们注意到而所以有此下极限当然可以令(21),.x k k π=+→+∞这么个子列得到2. (1)设)(x f 在开区间),(b a 可微，且)(x f '在),(b a 有界。

证明)(x f 在),(b a 一致连续.证明:()(,).()(,).f x x a b M f x a b '∈设在时上界为因为在开区间上可微12,(,),x x a b ∀∈对于由,Lagrange 中值定理存在12121212(,),()()()x x f x f x f x x M x x ξξ'∈-=-≤-使得.这显然就是12,,.()(,).Lipschitz x x f x a b 条件所以由任意性易证明在上一致收敛 (2) 设)(x f 在开区间),(b a )(+∞<<<-∞b a 可微且一致连续，试问)(x f '在),(b a 是否一定有界。

（若肯定回答，请证明；若否定回答，举例说明） 证明:否定回答.()(,).f x a b '在上是无界的12()(1),()[0,1].f x x f x Cantor =-设显然此在上是连续的根据定理,闭区间上连续函数一致连续.所以()f x 在(0,1)上一致连续.显然此12121()(1)(0,1).().2(1)f x x f x x -'=-=-在上是可微的而121()(0,1).2(1)f x x -'=-在上是无界的3．设)1(sin )(22+=x x f . (1)求)(x f 的麦克劳林展开式。

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北京大学数学考研题目1983年 基础数学、应用数学、计算数学、概率统计专业2222022200Ax By C z D yz Ezx Fxy A B C +++++=++=一、（分）证明：在直角坐标系中，顶点在原点的二次锥面有三条互相垂直的直母线的充要条件是.1223112220...1,...2, (1)n n n n n x x x x x x xx x n ++++++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=+⎩二、（分）用导出组的基础解系表出线性方程组的一般解。

121220,,...,()()...()1n n a a a x a x a x a ----三、（分）设是相异整数。

证明：多项式在有理数域上不可约。

20000120231001011A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭四、（分）用V 表示数域P 上全部4阶矩阵所成的线性空间，A 是V 中的一个矩阵，已知－10，，及10分别是的属于特征值， ， ，－1的特征向量。

（1）求A;(2)求V 中与A 可交换的矩阵全体所成的子空间的维数及一组基。

20,A B 五、（分）设是两个n 级正定矩阵。

证明：AB 是正定矩阵的充要条件是A 与B 可交换。

1984年 数学各专业132110::23100363x y l z x y z π--==-++-=一、（分）求直线与平面的交点。

10,,,,a b c a b b c c a ⨯⨯⨯二、（分）设向量不共面。

试证：向量不共面。

15K K K K K K 三、（分）设和为平面上同心的单位（半径＝1）开圆域和闭圆域。

（1）取定适当的坐标系，写出和的解析表示式；（2）试在和的点之间建立一个一一对应关系。

{}{}{}{}23231231251,,.2,,V R V T V V T T T T T T TT T T εεεεεεεεεεεεεεεεεεεεε--→==+=++111212312311113四、（分）设是实数域上的三维向量空间，，，是的一组基。

第六章 线性空间1.设,N M ⊂证明：,MN M MN N ==。

证 任取,M ∈α由,N M ⊂得,N ∈α所以,N M ∈α即证M NM ∈。

又因,M N M ⊂ 故M N M =。

再证第二式，任取M ∈α或,N ∈α但,N M ⊂因此无论哪 一种情形，都有,N ∈α此即。

但,N M N ⊂所以MN N =。

2.证明)()()(L M N M L N M =，)()()(L M N M L N M =。

证 ),(L N M x ∈∀则.L N x M x ∈∈且在后一情形，于是.L M x N M x ∈∈或所以)()(L M N M x ∈，由此得)()()(L M N M L N M =。

反之，若)()(L M N M x ∈，则.L M x N M x ∈∈或 在前一情形，,,N x M x ∈∈因此.L N x ∈故得),(L N M x ∈在后一情形，因而,,L x M x ∈∈x NL ∈，得),(L N M x ∈故),()()(L N M L M N M ⊂于是)()()(L M N M L N M =。

若x M NL M N L ∈∈∈（），则x ，x 。

在前一情形X x M N ∈， X ML ∈且，x MN ∈因而（）（M L ）。

,,N L x M N X M L M N M M N MN ∈∈∈∈∈⊂在后一情形，x ,x 因而且，即X （M N ）（M L ）所以（）（M L ）（N L ）故 （L ）=（）（M L ）即证。

3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间：1） 次数等于n （n ≥1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法；2） 设A 是一个n ×n 实数矩阵，A 的实系数多项式f （A ）的全体，对于矩阵的加法和数量乘法；3） 全体实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法； 4） 平面上不平行于某一向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法； 5） 全体实数的二元数列，对于下面定义的运算：212121121112b a b a a b b a a k k b a ⊕+=+++-1111（a ，）（（，）（）k 。

高等代数（北大第三版）答案目录第一章多项式第二章行列式第三章线性方程组第四章矩阵第五章二次型第六章线性空间第七章线性变换第八章—矩阵第九章欧氏空间第十章双线性函数与辛空间注：答案分三部分，该为第二部分，其他请搜索，谢谢！12．设A为一个n级实对称矩阵，且，证明：必存在实n维向量，使。

证因为，于是，所以，且A不是正定矩阵。

故必存在非退化线性替换使，且在规范形中必含带负号的平方项。

于是只要在中，令则可得一线性方程组，由于，故可得唯一组非零解使，Xs即证存在，使。

13．如果A,B都是n阶正定矩阵，证明：也是正定矩阵。

证因为A,B为正定矩阵，所以BX为正定二次型，且，，因此，于是必为正定二次型，从而为正定矩阵。

14．证明：二次型是半正定的充分必要条件是它的正惯性指数与秩相等。

证必要性。

采用反证法。

若正惯性指数秩r，则。

即，22222 若令，y，则可得非零解使。

这与所给条件矛盾，故。

充分性。

由，知，222故有，即证二次型半正定。

．证明：是半正定的。

证（）可见：。

21）当不全相等时2）当时f。

2故原二次型是半正定的。

AX是一实二次型，若有实n维向量X1,X2使16．设，。

X1。

证明：必存在实n维向量使X0设A的秩为r，作非退化线性替换将原二次型化为标准型，其中dr为1或-1。

由已知，必存在两个向量X1,X2使222和，X1故标准型中的系数不可能全为1，也不可能全为-1。

不妨设有p个1，q 个-1，且，即，这时p与q存在三种可能：，，下面仅讨论的情形，其他类似可证。

令，，，则由可求得非零向量X0使2222，X0即证。

17．A是一个实矩阵，证明：。

证由于的充分条件是与为同解方程组，故只要证明与同解即可。

事实上，即证与同解，故。

注该结论的另一证法详见本章第三部分（补充题精解）第2题的证明，此处略。

一、补充题参考解答1．用非退化线性替换化下列二次型为标准型，并用矩阵验算所得结果：1）；2）；3）；4），其中。

n解1）作非退化线性替换，即，则原二次型的标准形为，且替换矩阵222222使，，其中2）若则。

2006年北京大学研究生入学考试高等代数与解析几何试题解答高等代数部分（100分）1.(16分)(1) 设,A B 分别是数域K 上,s n s m ××矩阵，叙述矩阵方程AX B =有解的充要条件，并且给予证明。

解: 方程AX B =有解的充分必要条件是: ()(,)r A r A B =. 令1(,,)m B ββ=", 其中k β为列向量. 则矩阵方程AX B =有解⇔方程组12,,,,k k Ay k m β=="有解. ⇔A 的列向量组构成的向量组与(,)A B 的列向量组构成的向量组等价. ⇔()(,)r A r A B =.注: 方程有解的一个等价含义是可由列向量线性表示, 从而转化为等价向量组上来.(2) 设A 是数域K 上s n ×列满秩矩阵，试问：方程n XA E =是否有解？有解，写出它的解集；无解，说明理由。

解:方程n XA E =有解. 理由: 因为A 列满秩, 所以()()Tr A r A n ==.又(,)Tn r A E n =, 因此()(,)TTn r A r A E =,从而Tn A Y E =有解,两边取转置可知方程n XA E =有解.我个人觉得本题似乎考察的是:广义逆矩阵方面的知识, 如果大家对这部分知识不熟悉, 建议大家去看看丘维声老先生编著的<<高等代数>>.矩阵方程AXA A =的解X A −=一般称为A 的广义逆矩阵. 广义逆是存在的, 对于本题因为A 是列满秩的, 故由相抵标准型知,存在可逆矩阵,P Q 满足n E PAQ O ⎛⎞⎟⎜⎟⎜=⎟⎜⎟⎟⎜⎝⎠, 则可以取(,)n A Q E O P −=. 此时X 的所有解为: (),n sn X A Z E AA KZ −−×∈=+−∀.因为 11(,)n n nE A Q E O PP Q A E O −−−⎛⎞⎟⎜⎟⎜==⎟⎜⎟⎟⎜⎝⎠, 所以A −是矩阵方程n A A E −=的特解. 下面证明XA O =的全部通解为: (),n sn X Z E AA Z K−×∈=−∀.首先, 由()()n Z E AA A Z A A O −−=−=,知()n Z E AA −−是方程的解. 其次, 任取XA O =的一个解0X , 则由0000()n X E AA X X AA X −−−=−=, 取0Z X =即可.由矩阵方程解的结构定理可知, (),n sn X Z E AA Z K −×∈=−∀(3) 设A 是数域K 上s n ×列满秩矩阵，试问：对于数域K 上任意s m ×矩阵B ,矩阵方程AX B =是否一定有解？当有解时，它有多少个解？求出它的解集。

2008年 北京大学研究生入学考试高等代数与解析几何试题解答说明: 本试题解答由SCIbird 提供, 继续在博士家园论坛首发. 若有转载, 请注明转载自博士家园论坛. 在看证明前, 建议读读下面一段话,将有助于对本套试题解答的理解.现在看到的这套试题的解答, 算是我本人在过去两个月学习高代的一个阶段总结. 考虑到自身水平, 我觉得十分有必要声明两点:(1). 和数分一样, 高代也是自学的. 只不过刚学不久, 但没数分学的时间长, 也没数分用的熟练. 于是我决定在这套试题解答中使用尽可能使用比较基本的方法, 这样会降低自己出错的机会. 但这样写可能在一些高手的眼里就显的太基础了, 太俗了, 甚至方法很笨拙. 可这也是没办法的事, 比如我目前还不怎么会用约当标准型.(2). 在本解答中,我尽量写的通俗些, 但为避免引起大家的困惑和不必要的争议, 需要先说明下我在这里所使用的定理和结论皆出自下面两本书:《高等代数简明教程》 蓝以中 编著, 《解析几何》尤承业 编著. 如果你对本解答中所使用的定理或结论不理解的话, 请查阅上面的两本书.高等代数部分解答1. (1) 若A 是m n ×矩阵，非齐次线性方程组Ax β=有解，且()r A r =，则方程组Ax β=的解向量中线性无关的最多有多少个? 并找出一组最多的线性无关的解向量.解: 最多有1n r −+个线性无关的解向量. 理由如下:a). 设Ax β=的一个特解为0X , 对应的齐次方程的一个基础解系为12,,,n r ηηη− . 令0k k x X η=+, 12,,,n k r =− . 则0X 与k x 都是Ax β=的解,我们断定01,,,n r X x x − 是线性无关的.令 00110n r n r k x k X k x −−+++= , 两边乘以矩阵A 得到010010()()n r n r k k AX k k k k β−−++=+++=+ .因为0β≠, 所以010()n r k k k −+++= .代回上式得 11220n r n r k k k ηηη−−+++= .考虑到基础解系是线性无关的, 故 10n r k k −=== , 进而00k =.这就证明了01,,,n r X x x − 是线性无关的.b). 往下只需证明Ax β=的任意2n r −+个解向量必线性相关. 任取2n r −+个解向量, 记为12,,,s y y y (这里2s n r =−+).其中 0i i y X α=+ , 12,,(,)i n r L αηηη−∈设11220s s y y y λλλ+++= ,即 12011220()s s s X λλλαλλαλα++++++=+两边乘以矩阵A 得到, 120()s λλλ+++= --------(1),代入上式有, 11220s s λαλααλ+++= ---------(2).下面我们证明, 确实存在一组不全为0的常数12,,,s λλλ ,使得(1)(2)均成立.注意到12,(,),i s n r L ααηηη−∈− , 2s n r =−+.则 121,,,s s s s αααααα−−−− 必定线性相关. 因此存在一组不全为0的常数 121,,,s k k k − 使得110()s i i i s k αα−=−=∑. 令11s i s i k λ−==−∑, 121,,,,i i s k i λ==−则满足(1)(2)式, 这就证明了12,,,s y y y 是线性相关的.c). 显然, 0010,,,n r X X X ηη−++ 就是一组满足要求的解向量.注: 本题按理说不难, a)也容易想到, 证明也不是很难. 到是b)的证明有些难度. 这就好像求最大值, 找到一个备选的可能最大值可能比较容易, 但要证明没有其他元素比她大可能就困难了. 本题的困难之处在于非齐次线性方程组的解集不是一个线性空间(没有0元素), 这就比较麻烦了, 需要转化一下. 下面我们来梳理一下证明思路:首先, 直观上向量个数越多, 其线性相关的可能性越大. 注意到非齐次线性方程组的解是: "特解+齐次基础解系" 的形式, 特解必须有, 而基础解系向量越少, 则线性无关的可能性就越大. 很自然的我们应该考察这样一组解向量: 0010,,,n r X X X ηη−++ . 证明它们是线性无关的, 只能用定义了. 我们知道12,,,n r ηηη− 是线性无关的. 而这个0X 有点碍事, 于是两边用A 作用把它消去.其次, 要证明最大性, 我们还得证明任意2n r −+解向量必线性相关. 这就要有一点技巧了! 如果你观察的足够仔细会发现我上面b)的证明实际上是从两边出发往中间(1)(2)夹的. 虽然把0X 消去了, 但又多了一个条件(1). 注意到我们取的2n r −+个i α中至多有n r −个是独立的, 也就是说至少有两个向量是多余的. 于是我们可这样考虑由(1), 得11s i s i λλ−==−∑. 代入(2), 发现110()s i i i s λαα−=−=∑.上面的1s −个向量是线性相关的, 因而i λ有非零解. 显然满足(1)(2).(2). 若Ax β=对所有m 维非零向量β都有解，求()r A解: ()r A m =. 理由如下:不妨A 是m s ×矩阵, 即12(,,,)s A ηηη= , 其中i η为m 维列向量.方程组有解, 意味着β可由A 的列向量线性表示, 因此12(,,,)s L βηηη∈ .显然当0β=时方程组也有解(零解). 因为对所有m 维非零向量β都有解, 也就是说 任取m K β∈, β可由A 的列向量线性表示. 因此12(,,,)m s K L ηηη⊂ .所以 12dim (,,,)s m L ηηη≤ .注意到12()dim (,,,)s r A L ηηη= 及 ()r A m ≤, 因此有()r A m =.注: 方程Ax β=有解的几何意义, 就是向量β可由矩阵A 的列向量线性表示. 即12(,,,)s L βηηη∈ . 再由β取法的任意性, 得到12(,,,)m s KL ηηη⊂ . 往下的思路就自然了.2. (1) 若A 是s n ×矩阵，B 是n m ×矩阵，()()r AB r B =.则对于所有m l ×矩阵C 是否有()()r ABC r BC =? 并给出理由。

北京大学 2005 数学专业研究生 高等代数与解析几何。

2x y z 0 1． 在直角坐标系中，求直线l :到平面: 3x By z 0 的正交投影轨迹的方程。

x y 2z1其中 B 是常数 解：可以验证点12 1 2 5,0,l , ,0,，从而 l555x 1 3k把 l 写成参数方程：y 2 5k ，任取其上一点 P : ( 1 3k,2 5k, k) ，设该点到上的投影为zk点 P ' : ( x, y, z)PP 'x 1 3k z kx 3z 1 03 1 P3x By z整理即知， l 到x 3z 1上的正交投影轨迹满足方程Byz 03x由于11 ，上述方程表示一条直线，而 2*3 B 1 0 和 3B 2 0 不同时成立，因此 l 到3 1上的正交投影轨迹是一条直线x 3z 1 0从而 l 到上的正交投影轨迹的方程就是3x By z 02． 在直角坐标系中对于参数 的不同取值，判断下面平面二次曲线的形状：x 2 y 2 2 xy0 .对于中心型曲线，写出对称中心的坐标； 对于线心型曲线，写出对称直线的方程。

解：1 , 1 x *x记 T2 2 ，容易验证 TT 'E ，因此直角坐标变换T 是一个正交变换1 , 1 y *y2 2在这个变换下，曲线方程变为 (1)x * 2(1 ) y * 21) 1 时， 1 0,1 0,0 ，曲线为双曲线，是中心型曲线，对称点为(0,0)2)1 时，曲线方程为y * 21 ，是一对平行直线，是线心型曲线，对称直线为 y *0 ，即yx 23) 1 0时， 10,1 0,0 ，曲线为椭圆，是中心型曲线，对称点为 (0,0)4) 0 时，曲线方程为x * 2y * 20 ，是一个点，是中心型曲线，对称点为(0,0)5) 01时， 1 0,1 0, 0 ，曲线为虚椭圆，是中心型曲线，对称点为(0,0) 6)1 时，曲线方程为 x * 21 ，是一对虚平行直线，是线心型曲线，对称直线为 x *0 ，即 y x27)1时， 1 0,1 0,0 ，曲线为双曲线，是中心型曲线，对称点为(0,0)3n级矩阵 A 的 (i , j )元为 a i b j．设数域 K 上的（ 1）.求 A ;(2). 当 n2 时， a 1 a 2 , b 1 b 2 .求齐次线性方程组 AX解：(1)若 n1， | A | a 1 b 1若 na 1b 1 a 1 b 2 (a 2 a 1 )(b 2 b 1 )2，|A|b 1 a 2 b 2a 2a 1b 1 a 1 b 2 a 1 b 3a 2b 1a 2b 2a 2b 3若 n2，|A|a n 1b 1 an 1b 2a nb 1a nb 2 a n b 3a 1b 1 a 1 b 2 a 1 b 3 R nRn 1 a 2 b 1a 2b 2a 2b 3R n 1Rn 20 的解空间的维数和一个基。

2006年北京大学研究生考试高等代数与解析几何试题 本试卷满分150分 考试时间 3小时 日期：2006年1月15日下午高等代数部分（100分）1.(16分)(1) 设,A B 分别是数域K 上,s n s m ××矩阵，叙述矩阵方程AX B =有解的充要条件，并且给予证明。

(2) 设A 是数域K 上s n ×列满秩矩阵，试问：方程n XA E =是否有解？有解，写出它的解集；无解，说明理由。

(3) 设A 是数域K 上s n ×列满秩矩阵，试问：对于数域K 上任意s m ×矩阵B ,矩阵方程AX B =是否一定有解？当有解时，它有多少个解？求出它的解集。

要求说明理由。

2.(16分)(1) 设,A B 分别是数域K 上的,s n n s ××矩阵，证明：()()()n rank A ABA rank A rank E BA n −=+−−.(2) 设,A B 分别是实数域上n 阶矩阵。

证明：矩阵A 与矩阵B 的相似关系不随数域扩大而改变。

3. (16分)(1) 设A 是数域K 上的n 阶矩阵，证明：如果矩阵A 的各阶顺序主子式都不为0，那么A 可以分惟一的分解成A =BC , 其中B 是主对角元都为1的下三角矩阵，C 是上三角阵即。

(2) 设A 是数域K 上的n 阶可逆矩阵，试问：A 是否可以分解成A =BC , 其中B 是主对角元都为1的下三角矩阵，C 是上三角阵即？说明理由。

4.(10分)(1) 设A 是实数域R 上的n 阶对称矩阵，它的特征多项式()f λ的所有不同的复根为实数12,,,s λλλ⋅⋅⋅. 把A 的最小多项式()m λ分解成R 上不可约多项式的乘积。

说明理由。

(2) 设A 是n 阶实对称矩阵，令Α()A αα=, R n α∀∈根据第(1)问中()m λ的因式分解，把R n 分解成线性变换A 的不变子空间的直和。

高等代数教案(北大版)-高等代数试题以及解答一、线性方程组1. 定义线性方程组，并了解线性方程组的基本性质。

2. 掌握高斯消元法求解线性方程组，并能够运用该方法解决实际问题。

3. 了解克莱姆法则，并能够运用该法则判断线性方程组的解的情况。

4. 通过例题讲解，让学生熟练掌握线性方程组的求解方法。

二、矩阵及其运算1. 定义矩阵，并了解矩阵的基本性质。

2. 掌握矩阵的运算，包括矩阵的加法、减法、数乘以及矩阵的乘法。

3. 了解逆矩阵的概念，并掌握逆矩阵的求法。

4. 通过例题讲解，让学生熟练掌握矩阵的运算方法。

三、线性空间与线性变换1. 定义线性空间，并了解线性空间的基本性质。

2. 掌握线性变换的概念，并了解线性变换的基本性质。

3. 了解特征值和特征向量的概念，并掌握特征值和特征向量的求法。

4. 通过例题讲解，让学生熟练掌握线性空间和线性变换的相关知识。

四、二次型1. 定义二次型，并了解二次型的基本性质。

2. 掌握二次型的标准形以及惯性定理。

3. 了解二次型的正定性以及其判定方法。

4. 通过例题讲解，让学生熟练掌握二次型的相关知识。

五、向量空间与线性映射1. 定义向量空间，并了解向量空间的基本性质。

2. 掌握线性映射的概念，并了解线性映射的基本性质。

3. 了解核空间以及秩的概念，并掌握核空间和秩的求法。

4. 通过例题讲解，让学生熟练掌握向量空间和线性映射的相关知识。

六、特征值和特征向量1. 回顾特征值和特征向量的定义，理解它们在矩阵对角化中的作用。

2. 学习如何求解一个矩阵的特征值和特征向量，包括利用特征多项式和行列式等方法。

3. 掌握特征值和特征向量在简化矩阵表达式和解决实际问题中的应用。

4. 提供例题，展示如何将一般矩阵问题转化为特征值和特征向量的问题，并教会学生如何解这些问题。

七、二次型1. 复习二次型的基本概念，包括二次型的定义、标准形和惯性定理。

2. 学习如何将一般二次型转化为标准形，以及如何从标准形判断二次型的正定性。

高等代数与解析几何复习题(总18页)-本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-高等代数与解析几何复习题第一章 矩阵一、 填空题1.矩阵A 与B 的乘积AB 有意义，则必须满足的条件是 。

2.设(),(),ij m s ij s n A a B b ⨯⨯==又()ij m n AB c ⨯=，问ij c = 。

3.设A 与B 都是n 级方阵，计算2()A B += , 2()A B -= ,()()A B A B +-= 。

4.设矩阵1234A ⎛⎫= ⎪⎝⎭,试将A 表示为对称矩阵与反对称矩阵的和 。

（注意：任意n 阶矩阵都可表示为对称矩阵与反对称矩阵的和）5.设(1,2,1)X =,(2,1,3)TY =-,201013122A -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭,计算XAY = 。

6.设向量()1,2,3,(1,1,1)T αβ==，则αβ= ，βα= 。

7.设矩阵2003A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则100A = 。

8.设矩阵200012035A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则1A -= 。

9.设准对角矩阵1200A A A ⎛⎫= ⎪⎝⎭,()f x 是多项式，则()f A = 。

10.设矩阵123456789A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则A 的秩()R A = 。

11.设*A 是n 阶方阵A 的伴随矩阵, d A =,则=*A A 。

12.设*A 是矩阵A 的伴随矩阵，则**_____________.AA A A ==13.矩阵123235471A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭的秩为__________，A 的伴随矩阵*A = 。

14.设A 是3阶可逆方阵，B 是34⨯矩阵且()2R B =，则()R AB = 。

15.设102040203A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，B 是34⨯矩阵且()2R B =，则()R AB = 。

16.试写出n 阶方阵A 可逆的几个充分必要条件（越多越好）。

17.设矩阵123235471A ⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭，试写出行列式A 中(2,1)-元的代数余子式 ，A 中第三行元素的代数余子式之和= 。