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第二章定态薛定谔方程本章主要内容概要：1. 定态薛定谔方程与定态的性质：在势能不显含时间的情况下，含时薛定谔方程可以通过分离变量法来求解。
首先求解定态薛定谔方程（能量本征值方程）222.2d V E m dxψψψ-+= 求解时需考虑波函数的标准条件（连续、有限、单值等）。
能量本征函数n ψ具有正交归一性（分立谱）*()()m n mn x x dx ψψδ∞-∞=⎰或δ函数正交归一性（连续谱）'*'()()()q qx x dx q q ψψδ∞-∞=-⎰ 由能量本征函数n ψ可以得到定态波函数/(,)()niE t n n x t x eψ-ψ=定态波函数满足含时薛定谔方程。
对分立谱，定态是物理上可实现的态，粒子处在定态时，能量具有确定值n E ，其它力学量（不显含时间）的期待值不随时间变化。
对连续谱，定态不是物理上可实现的态（不可归一化），但是它们可以叠加成物理上可实现的态。
含时薛定谔方程的一般解可由定态解叠加而成，在分离谱情况下为(,)(,)n n nx t c x t ψ=ψ∑系数n c 由初始波函数确定(,0)()n n nx c x ψψ=∑ ， *()(,0)n n c x x dx ψ∞-∞=ψ⎰由波函数(,)x t ψ的归一性，可以得到系数n c 的归一性21nnc=∑对(,)x t ψ态测量能量只能得到能量本征值，得到n E 的几率是2n c ，能量的期待值可由2n n nH c E =∑求出。
这种方法与用*ˆ(,)(,)H x t H x t dx∞-∞=ψψ⎰方法等价。
2. 一维典型例子：（a）一维无限深势阱（分立谱，束缚态）0, 0(),x aV x<<⎧=⎨∞⎩其它地方能量本征函数和能量本征值为2222(), 0;1,2,3,...2nnn xx x a nanEmaπψπ⎛⎫=<<=⎪⎝⎭=若0,(),a x aV x-<<⎧=⎨∞⎩其它地方则能量本征函数和能量本征值为2222()(), ;1,2,3,...22(2)nnnx x a a x a nanEm aπψπ⎛⎫=+-<<=⎪⎝⎭=1n=是基态（能量最低），2n=是第一激发态。
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第五组 冯正 200431020019 肖小彬 200431020030
2.4粒子处在势能
()0
U x U ∞⎧⎪
=≤≤≤≤⎨⎪⎩（当x<0和x>2a+b ）0（当0x a 和a+b x 2a+b ）（当a<x<a+b ）
的场中运动，求在能量小于0U 的情况下，决定能量的关系式。
解：
势能如上图所示。
薛定谔方程是：
21112
22223
3
30;
;
2.k x a k a x a b k a b x a b ψψψψψψ''+≤≤''-≤≤+''++≤≤+=0, 当=0, 当=0, 当
其中
222
01
3
222
2()2, m U E mE k k k -===
其边界条件是：
11212
232
33(0)0;
()(), ()();()(), ()();(2)0.
a a a a a
b a b a b a b a b ψψψψψψψψψψ=''==''+=++=++= 由薛定谔方程及边界条件1(0)0ψ=和3(2)0a b ψ+=，我们有
2
2
111222331()sin ,0;();
()sin[(2)],2.
k x k x x A k x x a x A e B e a x a b x A k x a b a b x a b ψψψ-=≤≤=+<<+=--+≤≤+ 当, 当 当
由其它边界条件，又有
2222222211221112222()()3122()()3112222sin ,cos ;sin ,cos .
k a k a k a k a k a b k a b k a b k a b A k a A e B e A k k a A k e B k e A k a A e B e A k k a A k e B k e --+-++-+=+=--=+=-
改写上式可得关于不全为0系数1223(,,,)A A B A 的线性方程组：
22222211221112222()()2231sin 0,cos 0, sin 0, k a k a k a k a k a b k a b A k a A e B e A k k a A k e B k e A e B e A k a --+-+--=-+=+++=22()()2222331 cos 0.
k a b k a b A k e B k e A k k a +-+-++=
上式有解的条件是其行列式为0：
2222222211
12
2()()1()()
2
211sin 0
cos 0
det 0
0sin 0cos k a k a
k a k a k a b k a b k a b k a b k a e e k k a k e k e e e k a k e k e k k a --+-++-+⎛⎫-- ⎪- ⎪= ⎪ ⎪
⎪-⎝⎭
即
()()()()222222222
121121112111sin sin cos cos sin cos 0k b k b k b k b k b k b k b k b
k a k k a e e k k k a e e k k a k k a e e k k a e e ----⎡⎤--++--⎣⎦⎡⎤----+-+=⎣⎦
亦即
()
()222
222211211112
2
22
2
112111
1sin 2cos sin cos sin 2cos sin cos 0
k b k b
e k k a k k k a k a k k a e
k
k a k k k a k a k k a --++---=
即
222211211121(cos sin )(cos sin )k b k b e k k a k k a e k k a k k a --=+
上式即为决定能量的关系式。
2.5证明对于任意势垒，粒子的反射系数R 和透射系数D 之和等于1。
解：对于任意势垒（如图所示），有一能量0E U >（0U
为势垒高度）从左边入射到势垒上。
应化为
当x →-∞时，波函数是入射波与反射波的叠加
1
1
1ik x ik x e Ae ψ-=+ 其中
1k =
当x →+∞时，只有出射波
2
2ik x Be ψ=
其中2
k
=
我们有概率流守恒定律
2
0J t
ψ
∂+∇∙=∂ 其中()2i J m ψψψψ**-=∇-∇
由于是定态问题，所以
2
0t
ψ
∂=∂，故x J J ≡=常数。
而2
J +=B m
∞ 2k （）
，2
1()(1)k J A m
-∞=- ，由此两式相等，有 22
21
1k B A k += 而透射系数22
21
,k D B R A k =
=， 故1D R +=
2.6设粒子的能量E>0，求粒子在势阱
()0(0)
0(0)U x U x x -<⎧=⎨>⎩
壁x=0处的反射系数。
解：薛定谔方程是：
2
11122
2200
0k x x k ψψψψ''⎧+=<⎪⎨
>''+=⎪⎩ 其中
220122
22()2,m E U mE
k k +=
=
其通解为：
()()11212(0)
(0)
ik x ik x
ik x
x Ae A e x x Ce x ψψ-'⎧=+<⎪⎨=>⎪⎩ 由边界条件()()1200ψψ=和 ()()1200ψψ''=，我们有
112A A C
k A k A k C
'+=⎧⎨
'-=⎩ 将A '和C 用A 表示出来，有
121
1212()2,()()
k k k A A C A k k k k -'=
=++
相应于入射波1ik x
in Ae ψ=的入射概率流密度in J 为
*2
*1()2in k i d d J A m dx dx m
ψψψψ=-=
相应于反射波
1
ik x R A e ψ-'=的反射概率流密度是
2
1R k J A m
'=
故反射系数为
(
)
2
2222
121222
4121222
2
000
4
0()()()()/(16)()1)
R in A J k k k k R J k k k k A U E E U U E U '
--====++⎧⎪=
=⎨-⎪⎩ 当当。
