26.1二次函数及其图象
三水中学吴世斌
第二课时
学习内容：26.1.2 二次函数y=ax2的图象
学习目标：
1、会用描点法画出y=ax2的图象，理解抛物线的有关概念。
2、经历、探索二次函数y=ax2图象性质的过程，培养观察、思考、归纳的良好思维习惯。学习重点：理解抛物线的有关概念，会用描点法画出二次函数y=ax2的图象。
学习难点：用描点法画出二次函数y=ax2的图象以及探索二次函数性质。
学习过程：
一、自主学习：
（一）、提出问题
1.我们回想一下，一次函数的性质是如何研究的?
(先画出一次函数的图象，然后观察、分析、归纳得到一次函数的性质)
2．我们能否类比研究一次函数性质方法来研究二次函数的性质呢?如果可以，应先研究什么? (可以用研究一次函数性质的方法来研究二次函数的性质，应先研究二次函数的图象) 3．一次函数的图象是什么？二次函数的图象是什么?
（二）、范例
例1、画二次函数y=x2的图象。
解：(1)列表：在x的取值范围内列出函数对应值表：
(2)在直角坐标系中描点：用表里各组对应值作为点的
坐标，在平面直角坐标系中描点
(3)连线：用光滑的曲线顺次连结各点，得到函数y=x2的图象，如图所示。
1、提问：观察这个函数的图象，它有什么特点?
（1）抛物线概念：
（2）顶点概念：
2、由图象可得二次函数y＝x2的性质：
（1）二次函数y＝x2是一条曲线，把这条曲线叫做______________．
（2）二次函数y＝x2中，二次函数a＝_______，抛物线y＝x2的图象开口__________．（3）自变量x的取值范围是____________．
（4）观察图象，当两点的横坐标互为相反数时，函数y值相等，所描出的各对应点关于________对称，从而图象关于___________对称．
（5）抛物线y＝x2与它的对称轴的交点（，）叫做抛物线y＝x2的_________．因此，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的_____________．
（6）抛物线y＝x2有____________点（填“最高”或“最低”）．
（三）、做一做
1．在同一直角坐标系中，画出函数y=x2与y=-x2的图象，观察并比较两个图象，你发现有什么共同点？又有什么区别?
解:
列表：
描点，并连线
2．在同一直角坐标系中，画出函数y=2x2与y=-2x2的图象，观察并比较这两个函数的图象，你能发现什么?
描点，并连线
3．将所画的四个函数的图象作比较，你又能发现什么?
（1）抛物线y＝x2，y＝2x2的二次项系数a_______0；开口都；顶点都是__________；
对称轴是_________；顶点是抛物线的最_________点（填“高”或“低”）．
（2）抛物线y＝－x2，y＝－2x2的二次项系数a______0，开口都；顶点都是________，对称轴是________，顶点是抛物线的最______点（填“高”或“低”）．
总之，四个函数的图象都是抛物线，都关于y轴对称，它的顶点坐标都是(0，0)．（四）、归纳、概括：
1、函数y＝x
2、y=-x2、y=2x2、y=-2x2是函数y=ax2的特例，由函数y＝x2、y=-x2、y＝2x2、
y=-2x2的图象的共同特点，可猜想：
函数y=ax2的图象是一条___ _____，它关于___ ___对称，它的顶点坐标是___ ___。
2、如果要更细致地研究函数y=ax2图象的特点和性质，应如何分类？为什么?
观察y＝x2、y＝2x2的图象，填空；
（1）当a＞0时，抛物线y=ax2开口______，在对称轴的左边，曲线自左向右______；在对称轴的右边，曲线自左向右______，______是抛物线上
位置最低的点。
图象的这些特点反映了函数的什么性质?观察右图：
先回答以下问题；
(1)X A、X B大小关系如何?是否都小于0？
(2)y A、y B大小关系如何?
(3)X C、X D大小关系如何?是否都大于0?
(4)y C、y D大小关系如何?
(X A＜X B，且X A＜0，X B＜0；y A＞y B；X C＜X D，且X C＞0，X D＞0，y C＜y D)
再填空。
当X＜0时，函数值y随着x的增大而______；当X＞O时，函数值y随X的增大而______；当X＝______时，函数值y=ax2 (a＞0)取得最小值，最小值y =______
以上结论就是当a>0时，函数y=ax2的性质。
思考以下问题：
观察函数y＝-x2、y=-2x2的图象，试作出类似的概括，当a＜O时，抛物线y＝ax2有些什么特点?它反映了当a＜O时，函数y=ax2具有哪些性质?
（2）当a＜O时，抛物线y=ax2开口向上，在对称轴的左边，曲线自左向右上升；在对称轴的右边，曲线自左向右下降，顶点抛物线上位置最高的点。图象的这些特点，反映了当a＜O时，函数y=ax2的性质；当x＜0时，函数值y随x的增大而增大；与x＞O时，函数值y随x的增大而减小，当x=0时，函数值y＝ax2取得最大值，最大值是y＝0。
二、课堂练习：
3．二次函数y＝(m－1)x2的图象开口向下，则m____________．
4．如图，① y ＝ax 2， ② y ＝bx 2 ， ③ y ＝cx 2 ，④ y ＝dx 2
。 比较a 、b 、c 、d 的大小，用“＞”连接．
______________________ _____________ 5.已知函数 y ＝(m ＋2) 2
2-m x
是二次函数，则 m ＝ ；该二次函
数的解析式是 ；它的图像是 线；因为a ＝ 0 ,所以 线 开口______，对称轴是 ；在对称轴的左边，曲线自左向右______；在对称轴的右边，曲线自左向右______，______是 线上位置最 的点。当X ＜0时，函数值y 随着x 的增大而______；当X ＞O 时，函数值y 随X 的增大而______；当X ＝______时，函数值y 取得最 值，最 值y =______。 三、课堂总结
2
2．抛物线y ＝x 2与y ＝－x 2关于________对称，因此，抛物线y ＝ax 2与y ＝－ax 2
关于_______ 对称，开口大小_______________．
3．当a ＞0时，a 越大，抛物线的开口越___________； 当a ＜0时，｜a ｜ 越大，抛物线的开口越_________； 因此，｜a ｜ 越大，抛物线的开口越____ __，反之，｜a ｜ 越小，抛物线的开口越_______． 四、课堂检测：
1．函数y ＝37 x 2
的图象开口向_______，顶点是__________，对称轴是________，
当x ＝___________时，有最_________值是_________． 2．关于二次函数y ＝mx
2
2-m ，（1）抛物线有最低点，则m ＝________；
（2）抛物线有最高点，则m ＝________； 3．二次函数y ＝(k ＋1)x 2
的图象如图所示，则k 的取值范围为___________．
4．写出一个过点（1，2）的二次函数y=ax 2
的函数表达式_________________． 五、课后作业： （一）回答下列问题
1．如何画出函数y=ax 2的图象? 2．函数y ＝ax 2
具有哪些性质?
