江苏专用2020版高考数学专题复习专题9平面解析几何第60练直线与圆综合练练习理

高三数学直线与圆复习讲义知 识 梳 理解析几何涉及 直线与圆中的几个重要结论：1、斜率公式 2121y y k x x -=-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）.2、直线的五种方程（这里只列了常用的三种）（1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )．（2）截距式1x y a b+=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、) （3）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0).3、两条直线间的位置与斜率关系：若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+121212||,l l k k b b ⇔=≠；12121l l k k ⊥⇔=-；1212120l l l l x y k k ⇒+=、倾斜角互补(常见：、关于轴或轴对称)4、圆的四种方程（1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=.（2）圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0). （3）圆的参数方程 cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩. （4）圆的直径式方程 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=(圆的直径的端点是11(,)A x y 、22(,)B x y )5、两个距离公式：点00(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离是：0022|0|Ax By C d A B++==+1122:0:0l Ax By C l Ax By C ++=++=与之间的距离是：1222||C C d A B-=+. （注意：当12l l 、斜率相等求距离时注意化,x y 的系数A,B 为一致） 题 型 分 类题型一 过定点直线系方程在解题中的应用例1．求过点(14)P -，且与圆22(2)(3)1x y -+-=相切的切线的方程．变式训练：过点(4,1)P -作圆22(2)(3)4x y ++-=的切线为l ，求切线l 的方程．总结：对求过定点（0x ，0y ）的直线方程问题，常用过定点直线法，即设直线方程为:00()()0A x x B y y -+-=，注意的此方程表示的是过点00()P x y ，的所有直线（即直线系），应用这种直线方程可以不受直线的斜率、截距等因素的限制，在实际解答问题时可以避免分类讨论，有效地防止解题出现漏解或错解的现象．题型二 过两直线交点的直线系方程在解题中的应用过直线l ：1110A x B y C ++=（11,A B 不同时为0）与m ：2220A x B y C ++=（22,A B 不同时为0）交点的直线系方程：111222()0A x B y C A x B y C λ+++++=（R λ∈，λ为参数）.例2．求过直线：210x y ++=与直线：210x y -+=的交点且在两坐标轴上截距相等 的直线方程.变式训练：1.直线10mx y m +--=(m 是参数且m ∈R)过定点，求出定点坐标.2．直线(2)310mx m y x +-+-=恒过的定点是 .3．求出方程2(2)210a x ay x a +++++=恒过的定点。

小题专题练(四)解析几何、立体几何(建议用时：50分钟)1．抛物线y2＝4x的准线方程为________．2．已知双曲线x2a2－y23＝1(a＞0)的离心率为2，则a＝________.3．一个六棱锥的体积为23，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．4．(2019·连云港调研)已知圆C：(x－3)2＋(y－5)2＝5，直线l过圆心且交圆C于A，B两点，交y轴于P点，若2P A→＝PB→，则直线l的斜率k＝________．5．如图，60°的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，则CD 的长为________．6．已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为________．7．(2019·徐州调研)在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1与侧面BCC1B1的距离为2，侧面BCC1B1的面积为4，则此三棱柱ABC-A1B1C1的体积为________．8.已知圆C1：x2＋(y－2)2＝4，抛物线C2：y2＝2px(p＞0)，C1与C2相交于A，B两点，|AB|＝855，则抛物线C2的方程为____________．9．如图，在直角梯形ABCD中，BC⊥DC，AE⊥DC，M，N分别是AD，BE的中点，将△ADE沿AE折起，则下列说法正确的是________．(填上所有正确说法的序号)①不论D 折至何位置(不在平面ABC 内)都有MN ∥平面DEC ；②不论D 折至何位置都有MN ⊥AE ；③不论D 折至何位置(不在平面ABC 内)都有MN ∥AB ；④在折起过程中，一定存在某个位置，使EC ⊥AD .10．已知O 为坐标原点，过双曲线x 2－y 2b 2＝1(b ＞0)上的点P (1，0)作两条渐近线的平行线，分别交两渐近线于A ，B 两点，若平行四边形OBP A 的面积为1，则双曲线的离心率为________．11．(2019·盐城模拟)已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m ，0)、B (m ，0)(m >0)，若圆上存在一点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最小值为________．12．已知半径为1的球O 中内接一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的体积与圆柱的体积的比值为________．13．(2019·宿迁质检)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左右焦点为F 1，F 2，若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，使得△F 1F 2P 为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是________．14.如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 24＝1(a >2)，圆O ：x 2＋y 2＝a 2＋4，椭圆C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，过椭圆上一点P 和原点O 作直线l 交圆O 于M ，N 两点，若|PF 1|·|PF 2|＝6，则|PM |·|PN |的值为________．小题专题练(四)1．解析：易知抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－p 2＝－1.答案：x ＝－12．解析：因为c 2＝a 2＋3，所以e ＝c a ＝a 2＋3a2＝2，得a 2＝1，所以a ＝1. 答案：1 3．解析：设该六棱锥的高是h .根据体积公式得，V ＝13×12×2×3×6×h＝23，解得h ＝1，则侧面三角形的高为1＋（3）2＝2，所以侧面积S ＝12×2×2×6＝12.答案：124．解析：依题意得，点A 是线段PB 的中点，|PC |＝|P A |＋|AC |＝3 5.过圆心C (3，5)作y 轴的垂线，垂足为C 1，则|CC 1|＝3，|PC 1|＝（35）2－32＝6.记直线l 的倾斜角为θ，则有|tan θ|＝|PC 1||CC 1|＝2，即k ＝±2. 答案：±25．解析：因为60°的二面角的棱上有A ，B 两点，AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB ，所以CD→＝CA →＋AB →＋BD →，CA →·AB →＝0，AB →·BD →＝0， 因为AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，所以|AB→|＝4，|AC →|＝6，|BD →|＝8， 所以CD→2＝(CA →＋AB →＋BD →)2＝CA →2＋AB →2＋BD →2＋2CA →·BD → ＝36＋16＋64＋2×6×8×cos 120°＝68，所以CD 的长为217.答案：2176．解析：圆C 1关于x 轴对称的圆C ′1的圆心为C ′1(2，－3)，半径不变，圆C 2的圆心为(3，4)，半径r ＝3，|PM |＋|PN |的最小值为圆C ′1和圆C 2的圆心距减去两圆的半径，所以|PM |＋|PN |的最小值为（3－2）2＋（4＋3）2－1－3＝52－4.答案：52－47.解析：补形法将三棱柱补成四棱柱，如图所示．记A 1到平面BCC 1B 1的距离为d ，则d ＝2.则V 三棱柱＝12V 四棱柱＝12S 四边形BCC 1B 1·d ＝12×4×2＝4.答案：48．解析：由题意，知圆C 1与抛物线C 2的其中一个交点为原点，不妨记为B ，设A (m ，n )．因为|AB |＝855，所以⎩⎨⎧m 2＋n 2＝855，m 2＋（n －2）2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝85，n ＝165，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫85，165.将点A 的坐标代入抛物线方程得⎝ ⎛⎭⎪⎫1652＝2p ×85，所以p ＝165，所以抛物线C 2的方程为y 2＝325x . 答案：y 2＝325x9.解析：如图，设Q ，P 分别为CE ，DE 的中点，可得四边形MNQP 是矩形，所以①②正确；不论D 折至何位置(不在平面ABC 内)都有MN 与AB 是异面直线，不可能MN ∥AB ，所以③错；当平面ADE ⊥平面ABCD 时，可得EC ⊥平面ADE ，故EC ⊥AD ，④正确．故填①②④.答案：①②④10．解析：依题意，双曲线的渐近线方程为y ＝±bx ，则过点P 且与渐近线平行的直线方程为y ＝±b (x －1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝bx y ＝－b （x －1）得|y |＝b 2，所以平行四边形OBP A 的面积S ▱OBP A ＝2S △OBP ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×1×|y |＝b 2＝1，所以b ＝2，所以双曲线的离心率e ＝c a ＝1＋221＝ 5.答案： 511．解析：显然AB ＝2m ，因为∠APB ＝90°，所以OP ＝12AB ＝m ，所以要求m 的最小值即求圆C 上点P 到原点O 的最小距离，因为OC ＝5，所以OP min ＝OC －r ＝4，即m 的最小值为4.答案：412.解析：如图所示，设圆柱的底面半径为r ，则圆柱的侧面积为S ＝2πr ×21－r 2＝4πr 1－r 2≤4π×r 2＋（1－r 2）2＝2π(当且仅当r 2＝1－r 2，即r ＝22时取等号)．所以当r ＝22时，V 球V 圆柱＝4π3×13π⎝ ⎛⎭⎪⎫222×2＝423. 答案：42313．解析：6个不同的点有两个为短轴的两个端点，另外4个分别在第一、二、三、四象限，且上下对称、左右对称．不妨设P 在第一象限，PF 1>PF 2，当PF 1＝F 1F 2＝2c 时，PF 2＝2a －PF 1＝2a －2c ，即2c ＞2a －2c ，解得e ＝c a >12，又因为e ＜1，所以 12<e <1；当PF 2＝F 1F 2＝2c 时，PF 1＝2a －PF 2＝2a －2c ，即2a－2c ＞2c 且2c ＞a －c ，解得13<e <12，综上可得13<e <12或12<e <1.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 14．解析：由已知|PM |·|PN |＝(R －|OP |)(R ＋|OP |)＝R 2－|OP |2＝a 2＋4－|OP |2，|OP |2＝|OP →|2＝14(PF 1→＋PF 2→)2＝14(|PF 1→|2＋|PF 2→|2＋2|PF 1→|·|PF 2→|cos ∠F 1PF 2)＝12(|PF 1→|2＋|PF 2→|2)－14(|PF 1→|2＋|PF 2→|2－2|PF 1→||PF 2→|cos ∠F 1PF 2)＝12[(2a )2－2|PF 1||PF 2|]－14×(2c )2＝a 2－2，所以|PM |·|PN |＝(a 2＋4)－(a 2－2)＝6.答案：6。

§9.3　圆的方程考情考向分析　以考查圆的方程为主，与圆有关的轨迹问题、最值问题也是考查的热点，属中档题．题型主要以填空题为主，要求相对较低，但内容很重要，在解答题中也会出现．圆的定义与方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆圆心为(a ，b )标准式(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)半径为r充要条件：D 2＋E 2－4F >0圆心坐标：(－D 2，－E2)方程一般式x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0半径r ＝12D 2＋E 2－4F 概念方法微思考1．如何确定圆的方程？其步骤是怎样的？提示　确定圆的方程的主要方法是待定系数法，大致步骤：(1)根据题意，选择标准方程或一般方程．(2)根据条件列出关于a ，b ，r 或D ，E ，F 的方程组．(3)解出a ，b ，r 或D ，E ，F 代入标准方程或一般方程．2．点与圆的位置关系有几种？如何判断？提示　点和圆的位置关系有三种．已知圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)(1)点在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；(2)点在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2>r2；(3)点在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2<r2.题组一　思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的圆．(　×　)(2)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.(　√　)(3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.(　√　)(4)方程x2＋2ax＋y2＝0一定表示圆．(　×　)2020(5)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0.(　√　)题组二　教材改编2．[P111练习T4]圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是________．答案　(2，－3)解析　由(x－2)2＋(y＋3)2＝13，知圆心坐标为(2，－3)．3．[P111习题T1(3)]已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则圆C的标准方程为________________．答案　(x －2)2＋y 2＝10解析　设圆心坐标为(a ,0)，易知＝，(a －5)2＋(－1)2(a －1)2＋(－3)2解得a ＝2，∴圆心为(2,0)，半径为，10∴圆C 的标准方程为(x －2)2＋y 2＝10.题组三　易错自纠4．若方程x 2＋y 2＋mx －2y ＋3＝0表示圆，则m 的取值范围是________________．答案　(－∞，－2)∪(2，＋∞)22解析　将x 2＋y 2＋mx －2y ＋3＝0化为圆的标准方程得2＋(y －1)2＝－2.(x ＋m 2)m 24由其表示圆可得－2>0，解得m <－2或m >2.m 24225．若点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，则实数a 的取值范围是________．答案　－1<a <1解析　∵点(1,1)在圆内，∴(1－a )2＋(a ＋1)2<4，即－1<a <1.6．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是________________．答案　(x －2)2＋(y －1)2＝1解析　由于圆心在第一象限且与x 轴相切，可设圆心为(a ,1)(a >0)，又圆与直线4x －3y ＝0相切，∴＝1，解得a ＝2或a ＝－(舍去)．|4a －3|512∴圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1.题型一　圆的方程例1 求经过点A (－2，－4)，且与直线l ：x ＋3y －26＝0相切于点B (8,6)的圆的方程．解　方法一　设圆心为C ，所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则圆心C ，∴k CB ＝.(－D 2，－E 2)6＋E28＋D2∵圆C 与直线l 相切，∴k CB ·k l ＝－1，即·＝－1.①6＋E 28＋D 2(－13)又有(－2)2＋(－4)2－2D －4E ＋F ＝0，②又82＋62＋8D ＋6E ＋F ＝0.③联立①②③，可得D ＝－11，E ＝3，F ＝－30，∴所求圆的方程为x 2＋y 2－11x ＋3y －30＝0.方法二　设圆的圆心为C ，则CB ⊥l ，可得CB 所在直线的方程为y －6＝3(x －8)，即3x －y －18＝0.①由A (－2，－4)，B (8,6)，得AB 的中点坐标为(3,1)．又k AB ＝＝1，6＋48＋2∴AB 的垂直平分线的方程为y －1＝－(x －3)，即x ＋y －4＝0.②由①②联立，解得Error!即圆心坐标为.(112，－32)∴所求圆的半径r ＝＝，(112－8)2＋(－32－6)21252∴所求圆的方程为2＋2＝.(x －112)(y ＋32)1252思维升华 (1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程．(2)待定系数法①若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，求出a ，b ，r 的值；②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值．跟踪训练1 (1)(2018·如皋模拟)已知圆C 过点(2，)，且与直线x －y ＋3＝0相切于点(0，33)，则圆C 的方程为________________．3答案　(x －1)2＋y 2＝4解析　设圆心为(a ，b )，半径为r ，则Error!解得a ＝1，b ＝0，则r ＝2，即所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝4.(2)一个圆与y 轴相切，圆心在直线x －3y ＝0上，且在直线y ＝x 上截得的弦长为2，则该7圆的方程为______________________．答案　x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0或x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋1＝0解析　方法一　∵所求圆的圆心在直线x －3y ＝0上，∴设所求圆的圆心为(3a ，a )，又所求圆与y 轴相切，∴半径r ＝3|a |，又所求圆在直线y ＝x 上截得的弦长为2，圆心(3a ，a )到直线y ＝x 的距离d ＝，7|2a |2∴d 2＋()2＝r 2，即2a 2＋7＝9a 2，∴a ＝±1.7故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9，即x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0或x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋1＝0.方法二　设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则圆心(a ，b )到直线y ＝x 的距离为，|a －b |2∴r 2＝＋7，即2r 2＝(a －b )2＋14.①(a －b )22由于所求圆与y 轴相切，∴r 2＝a 2，②又∵所求圆的圆心在直线x －3y ＝0上，∴a －3b ＝0，③联立①②③，解得Error!或Error!故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9，即x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0或x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋1＝0.方法三　设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则圆心坐标为，(－D 2，－E2)半径r ＝.12D 2＋E 2－4F 在圆的方程中，令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0.由于所求圆与y 轴相切，∴Δ＝0，则E 2＝4F .①圆心到直线y ＝x 的距离为(－D 2，－E2)d ＝，|－D 2＋E 2|2由已知得d 2＋()2＝r 2，7即(D －E )2＋56＝2(D 2＋E 2－4F )．②又圆心在直线x －3y ＝0上，(－D 2，－E2)∴D －3E ＝0.③联立①②③，解得Error!或Error!故所求圆的方程为x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0或x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋1＝0.题型二　与圆有关的最值问题例2 已知点(x ，y )在圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝1上，求x ＋y 的最大值和最小值．解　设t ＝x ＋y ，则y ＝－x ＋t ，t 可视为直线y ＝－x ＋t 在y 轴上的截距，∴x ＋y 的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线在y 轴上的截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在y 轴上的截距．由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即＝1，解得t ＝－1或t ＝－－1.|2＋(－3)－t |222∴x ＋y 的最大值为－1，最小值为－－1.22引申探究1．在本例的条件下，求的最大值和最小值．yx解　可视为点(x ，y )与原点连线的斜率，的最大值和最小值就是与该圆有公共点的过原点的y x y x 直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率．设过原点的直线的方程为y ＝kx ，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即＝1，|2k ＋3|k 2＋1解得k ＝－2＋或k ＝－2－，∴的最大值为－2＋，最小值为－2－.233233y x 2332332．在本例的条件下，求的最大值和最小值．x 2＋y 2＋2x －4y ＋5解　＝，求它的最值可视为求点(x ，y )到定点(－1,2)x 2＋y 2＋2x －4y ＋5(x ＋1)2＋(y －2)2的距离的最值，可转化为求圆心(2，－3)到定点(－1,2)的距离与半径的和或差．又圆心到定点(－1,2)的距离为，34∴的最大值为＋1，最小值为－1.x 2＋y 2＋2x －4y ＋53434思维升华 与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．(2)与圆上点(x ，y )有关代数式的最值的常见类型及解法．①形如u ＝型的最值问题，可转化为过点(a ，b )和点(x ，y )的直线的斜率的最值问题；②y －bx －a形如t ＝ax ＋by 型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如(x －a )2＋(y －b )2型的最值问题，可转化为动点到定点(a ，b )的距离的平方的最值问题．跟踪训练2 已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0.求：(1)的最大值和最小值；yx (2)y －x 的最大值和最小值；(3)x 2＋y 2的最大值和最小值．解　原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2,0)为圆心，为半径的圆．3(1)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设＝k ，即y ＝kx .y x yx当直线y ＝kx 与圆相切时(如图)，斜率k 取最大值和最小值，此时＝，解得k ＝±.|2k －0|k 2＋133所以的最大值为，最小值为－.yx33(2)y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，如图所示，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，其在y 轴上的截距b 取得最大值和最小值，此时＝，|2－0＋b |23解得b ＝－2±.所以y －x 的最大值为－2＋，最小值为－2－.666(3)如图所示，x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为＝2，(2－0)2＋(0－0)2所以x 2＋y 2的最大值是(2＋)2＝7＋4，33x 2＋y 2的最小值是(2－)2＝7－4.33题型三　与圆有关的轨迹问题例3 已知Rt △ABC 的斜边为AB ，且A (－1,0)，B (3,0)．求：(1)直角顶点C 的轨迹方程；(2)直角边BC 的中点M 的轨迹方程．解　(1)方法一　设C (x ，y )，因为A ，B ，C 三点不共线，所以y ≠0.因为AC ⊥BC ，且BC ，AC 斜率均存在，所以k AC ·k BC ＝－1，又k AC ＝，k BC ＝，所以·＝－1，y x ＋1y x －3y x ＋1yx －3化简得x 2＋y 2－2x －3＝0.因此，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(y ≠0)．方法二　设AB 的中点为D ，由中点坐标公式得D (1,0)，由直角三角形的性质知CD ＝AB ＝2.12由圆的定义知，动点C 的轨迹是以D (1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A ，B ，C 三点不共线，所以应除去与x 轴的交点)．所以直角顶点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)．(2)设M (x ，y )，C (x 0，y 0)，因为B (3,0)，M 是线段BC 的中点，由中点坐标公式得x ＝，y ＝x 0＋32，y 0＋02所以x 0＝2x －3，y 0＝2y .由(1)知，点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)，将x 0＝2x －3，y 0＝2y 代入得(2x －4)2＋(2y )2＝4，即(x －2)2＋y 2＝1.因此动点M 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝1(y ≠0)．思维升华 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：①直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．②定义法：根据圆、直线等定义列方程．③几何法：利用圆的几何性质列方程．④相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式．跟踪训练3 设定点M (－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM ，ON 为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹．解　如图，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为，(x 2，y2)线段MN 的中点坐标为.(x 0－32，y 0＋42)因为平行四边形的对角线互相平分，所以＝，＝，x 2x 0－32y 2y 0＋42整理得Error!又点N (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝4上，所以(x ＋3)2＋(y －4)2＝4.所以点P 的轨迹是以(－3,4)为圆心，2为半径的圆，直线OM 与轨迹相交于两点和，不符合题意，舍去，(－95，125)(－215，285)所以点P 的轨迹为(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，除去两点和.(－95，125)(－215，285)1．已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是________．答案　(－2，－4)解析　由题意得a 2＝a ＋2，a ＝－1或2.当a ＝－1时方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0，即(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25，圆心为(－2，－4)，半径为5；当a ＝2时方程为4x 2＋4y 2＋4x ＋8y ＋10＝0，2＋(y ＋1)2＝－不表示圆．(x ＋12)542．已知圆C ：x 2＋y 2＋kx ＋2y ＝－k 2，当圆C 的面积取最大值时，圆心C 的坐标为__________．答案　(0，－1)解析　圆C 的方程可化为2＋(y ＋1)2＝－k 2＋1，所以当k ＝0时，圆C 的面积最大，(x ＋k 2)34此时圆心C 的坐标为(0，－1)．3．若圆C 经过坐标原点与点(4,0)，且与直线y ＝1相切，则圆C 的方程是__________________．答案　(x －2)2＋2＝(y ＋32)254解析　因为圆的弦的垂直平分线必过圆心且圆经过点(0,0)和(4,0)，所以设圆心为(2，m )．又因为圆与直线y ＝1相切，所以＝|1－m |，22＋m 2解得m ＝－.32所以圆C 的方程为(x －2)2＋2＝.(y ＋32)2544．已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y ＋1＝0，那么与圆C 有相同的圆心，且经过点(－2,2)的圆的方程是______________．答案　(x －1)2＋(y ＋2)2＝25解析　设出要求的圆的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝r 2，再代入点(－2,2)，可以求得圆的半径为5.5．已知圆M 与直线3x －4y ＝0及3x －4y ＋10＝0都相切，圆心在直线y ＝－x －4上，则圆M 的方程为________．答案　(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝1解析　到直线3x －4y ＝0及3x －4y ＋10＝0的距离都相等的直线方程为3x －4y ＋5＝0，联立方程组Error!解得Error!又两平行线之间的距离为2，所以所求圆的半径为1，从而圆M 的方程为(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝1.6．圆心在y 轴上，且过点(3,1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是________________．答案　x 2＋y 2－10y ＝0解析　根据题意，设圆心坐标为(0，r )，半径为r ，则32＋(r －1)2＝r 2，解得r ＝5，可得圆的方程为x 2＋y 2－10y ＝0.7．圆(x －2)2＋y 2＝4关于直线y ＝x 对称的圆的方程是________________．33答案　(x －1)2＋(y －)2＝43解析　设圆(x －2)2＋y 2＝4的圆心(2,0)关于直线y ＝x 对称的点的坐标为(a ，b )，33则有Error!解得a ＝1，b ＝，3从而所求圆的方程为(x －1)2＋(y －)2＝4.38．如果圆(x －a )2＋(y －a )2＝8上总存在到原点的距离为的点，则实数a 的取值范围是2________________．答案　[－3，－1]∪[1,3]解析　圆(x －a )2＋(y －a )2＝8的圆心(a ，a )到原点的距离为|a |，半径r ＝2，22由圆(x －a )2＋(y －a )2＝8上总存在点到原点的距离为，2得2－≤|a |≤2＋，∴1≤|a |≤3，解得1≤a ≤3或－3≤a ≤－1.22222∴实数a 的取值范围是[－3，－1]∪[1,3]．9．平面内动点P 到两点A ，B 的距离之比为常数λ(λ>0，且λ≠1)，则动点P 的轨迹叫做阿波罗尼斯圆，若已知A (－2,0)，B (2,0)，λ＝，则此阿波罗尼斯圆的方程为____________________．12答案　x 2＋y 2＋x ＋4＝0203解析　由题意，设P (x ，y )，则＝，(x ＋2)2＋y 2(x －2)2＋y 212化简可得x 2＋y 2＋x ＋4＝0.20310．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是________________．答案　(x －2)2＋(y ＋1)2＝1解析　设圆上任一点坐标为(x 0，y 0)，x ＋y ＝4，连线中点坐标为(x ，y )，2020则Error!解得Error!代入x ＋y ＝4中，得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.202011．已知点P (x ，y )在圆C ：x 2＋y 2－6x －6y ＋14＝0上，(1)求的最大值和最小值；y x(2)求x ＋y 的最大值和最小值．解　方程x 2＋y 2－6x －6y ＋14＝0可变形为(x －3)2＋(y －3)2＝4，则圆C 的半径为2.(1)(转化为斜率的最值问题求解)表示圆上的点P 与原点连线的斜率，显然当PO (O 为原点)与圆C 相切时，斜率最大或最小，y x 如图所示．设切线方程为y ＝kx ，即kx －y ＝0，由圆心C (3,3)到切线的距离等于圆C 的半径，可得＝2，解得k ＝.|3k －3|k 2＋19±2145所以的最大值为，最小值为.y x 9＋21459－2145(2) (转化为截距的最值问题求解)设x ＋y ＝b ，则b 表示动直线y ＝－x ＋b 在y 轴上的截距，显然当动直线y ＝－x ＋b 与圆C 相切时，b 取得最大值或最小值，如图所示．由圆心C (3,3)到切线x ＋y ＝b 的距离等于圆C 的半径，可得＝2，|3＋3－b |12＋12即|b －6|＝2，解得b ＝6±2，22所以x ＋y 的最大值为6＋2，最小值为6－2.2212．已知点A (－3,0)，B (3,0)，动点P 满足PA ＝2PB .(1)若点P 的轨迹为曲线C ，求此曲线的方程；(2)若点Q 在直线l 1：x ＋y ＋3＝0上，直线l 2经过点Q 且与曲线C 只有一个公共点M ，求QM 的最小值．解　(1)设点P 的坐标为(x ，y )，则＝2.(x ＋3)2＋y 2(x －3)2＋y 2化简可得(x －5)2＋y 2＝16，此方程即为所求．(2)曲线C 是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图所示．由题意知直线l 2是此圆的切线，连结CQ ，则QM ＝＝，CQ 2－CM 2CQ 2－16当QM 最小时，CQ 最小，此时CQ ⊥l 1，CQ ＝＝4，|5＋3|22则QM 的最小值为＝4.32－1613．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1，设点P 是圆C 上的动点．记d ＝PB 2＋PA 2，其中A (0,1)，B (0，－1)，则d 的最大值为________．答案　74解析　设P (x 0，y 0)，d ＝PB 2＋PA 2＝x ＋(y 0＋1)2＋x ＋(y 0－1)2＝2(x ＋y )＋2.x ＋y 为圆上任202020202020一点到原点距离的平方，∴(x ＋y )max ＝(5＋1)2＝36，∴d max ＝74.202014．已知圆C 截y 轴所得的弦长为2，圆心C 到直线l ：x －2y ＝0的距离为，且圆C 被x 55轴分成的两段弧长之比为3∶1，则圆C 的方程为__________________________．答案　(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2或(x －1)2＋(y －1)2＝2解析　设圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则点C 到x 轴、y 轴的距离分别为|b |，|a |.由题意可知Error!∴Error!或Error!故所求圆C 的方程为(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2或(x －1)2＋(y －1)2＝2.15．若圆x 2＋y 2＋4x －12y ＋1＝0关于直线ax －by ＋6＝0(a >0，b >0)对称，则＋的最小值是2a 6b________．答案　323解析　由圆x 2＋y 2＋4x －12y ＋1＝0知，其标准方程为(x ＋2)2＋(y －6)2＝39，∵圆x 2＋y 2＋4x －12y ＋1＝0关于直线ax －by ＋6＝0(a >0，b >0)对称，∴该直线经过圆心(－2,6)，即－2a －6b ＋6＝0，∴a ＋3b ＝3(a >0，b >0)，∴＋＝(a ＋3b )2a 6b 23(1a ＋3b )＝≥＝，23(1＋3a b ＋3b a ＋9)23(10＋2 3a b ·3b a )323当且仅当＝，即a ＝b 时取等号．3b a 3a b16．已知动点P (x ，y )满足x 2＋y 2－2|x |－2|y |＝0，O 为坐标原点，求的最大值．x 2＋y 2解　表示曲线上的任意一点(x ，y )到原点的距离．x 2＋y 2当x ≥0，y ≥0时，x 2＋y 2－2x －2y ＝0化为2＋2＝2，曲线上的点到原点的距离(x －1)(y －1)的最大值为2×＝2，22当x <0，y <0时，x 2＋y 2＋2x ＋2y ＝0化为2＋2＝2，曲线上的点到原点的距离的(x ＋1)(y ＋1)最大值为2×＝2，22当x ≥0，y <0时，x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0化为2＋2＝2，曲线上的点到原点的距离的(x －1)(y ＋1)最大值为2×＝2，22当x <0，y ≥0时，x 2＋y 2＋2x －2y ＝0化为2＋2＝2，曲线上的点到原点的距离的(x ＋1)(y －1)最大值为2×＝2.22综上可知，的最大值为2.x 2＋y 22。

2019年高中数学单元测试卷平面解析几何初步学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．若圆0104422=---+y x y x 上至少有三个不同的点到直线0:=+by ax l 的距离为22,则直线l 的倾斜角的取值范围是（ ）A ． ]412[ππ， B ．]12512[ππ， C ．]36[ππ， D ．]20[π， (2006湖南理)2．如果直线l 将圆x 2+y 2－2x －4y=0平分，且不通过第四象限，那么直线l 的斜率的取值范围是（ ）A ．［0，2］B ．［0，1］C ．［0，21］D ．［0，21）（1997全国文9）3．圆x 2＋y 2＋2x ＋6y ＋9＝0与圆x 2＋y 2－6x ＋2y ＋1＝0的位置关系是（ ）A ．相交B ．相外切C ．相离D ．相内切二、填空题4．若直线1=+by ax 与圆122=+y x 相切，则实数ab 的取值范围是 ．5．过直线240x y -+=与50x y -+=的交点，且平行于20x y -=的直线方程是_____6．过点(1,2)P 且与(2,3)A 和(4,5)B -的距离相等的直线方程是__________7．圆C 1: 221x y +=与圆C 2: 222210x y x y +--+=的公共弦所在直线被圆C 3:()()2225114x y -+-=所截得的弦长是 ▲ ．8．若直线230x y +-=经过点(1,)b ，则b =______9．过两条直线30x y --=和30x y +-=的交点且与直线2370x y -+=平行的直线的方程是____________10．经过直线230x y -+=与直线2380x y +-=的交点，且与直线3420x y +-=平行的直线方程为_____________11．若直线1ax by +=过点(),A b a ，则以坐标原点O 为圆心，OA 长为半径的圆的面积的最小值是 ．12．已知向量1(3,1),(2,),2a b ==-直线l 过点(1,2)A 且与向量2a b +垂直，则直线l 的一般方程是____________。

2019年高中数学单元测试卷平面解析几何初步学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．直线（23-）x+y=3和直线x+（32-）y=2的位置关系是（ ） A ．相交不垂直B ．垂直C ．平行D ．重合（2000北京安徽春季6）2．如果直线l 沿x 轴负方向平移3个单位，再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么直线l 的斜率为（ ）A ．－31B ．－3C ． 31D ．3（1997全国5）3．已知点A (1，2)，B(3，1)，则线段AB 的垂直平分线的方程为（ ）A ．4x ＋2y ＝5B ．4x －2y ＝5C ．x ＋2y ＝5D ．x －2y ＝5（2004全国2文8）二、填空题4．若直线2y kx =+与曲线1x -=有两个不同的交点，则k 的取值范围是_____▲ ．5．已知向量a ＝（2，－1，3），b ＝（－1，4，－2），c ＝（7，0，λ），若a 、b 、c 三个向量共面，则实数λ= ▲ .（理）106．圆2220x y y +-=关于直线40x y +-=对称的圆的方程是__________7．圆224440x y x y +-++=被直线50x y --=所截得的弦长等于 ▲8．圆224660x y x y +-++=截直线50x y --=所得的弦长为_____________9．已知两条直线y ＝ax －2和y ＝(a ＋2)x ＋1互相垂直，则a 等于________．解析：∵直线y ＝ax －2和y ＝(a ＋2)x ＋1互相垂直，∴a ·(a ＋2)＝－1，∴a ＝－1.10．实数,x y 满足350,(1,3]x y x --=∈，则2y x -取值范围是____________________．11．经过点M(-2,3)且到原点距离为2的直线方程为x=2或y=512-x. 12．圆222 0x y x +=－和圆224 0x y y +=＋的公共弦长是13．已知圆054:22=+-++a y x y x C ，若点)0,0(O 在圆外，则实数a 的取值范围是 。

练直线与圆锥曲线综合练练习理 训练目标 会判断直线与圆锥曲线的位置关系，能熟练应用直线与圆锥曲线的位置关系解 决有关问题.训练题型 （1）求曲线方程：（2）求参数范用：（3）长度、而积问题；（4）与向量知识交汇应 用问题.解题策略 联立直线与曲线方程，转化为二次方程问题，再利用根与系数的关系转化为代 数式、方程组、不等式组，结合已知条件解决具体问题.1. （2016 •南通模拟）若直线y= Z2与双曲线y-?=6的右支交于不同的两点，则&的取值范围是 _________________ .2. 设a, b 是关于f 的方程Feos 0+tsin 〃=0的两个不等实根，则过川a, £）, B （b,刃两点的直线与双曲线一A 帀一一 =1的公共点的个数为 _________ ・cos “ sin " ■ — Y y 3•点尸是双曲线一一左=1@>0, b>Q ）的左焦点，点疋是该双曲线的右顶点，过尸且垂直 a b于X 轴的宜线与双曲线交于乩万两点，若△遊是锐角三角形，贝IJ 该双曲线的离心率e 的 取值范围是 ___________ .4. 已知直线滋一y+l=0与双曲线~/=1相交于两个不同的点“若x 轴上的点."（3, 0）到月，万两点的距藹相等，则&的值为 __________ •■ ■5. （2016 •唐山一模）尸是双曲线G $—召=l （a>0, b>0）的右焦点，过点尸向C 的一条渐a b近线引垂线，垂足为月，交另一条渐近线于点3若2乔=厉，则Q 的离心率是 ___________ •— ■6. 设凡E 为椭圆G ：卷+召=l （a 〉h>0）与双曲线G 的公共的左，右焦点，椭圆G 与双 a ： &曲线G 在第一象限内交于点”，△.莎E 是以线段•莎为底边的等腰三角形，且•莎=2,若椭 圆G 的离心率哥，则双曲线G 的离心率的取值范围是 ____________________ •7. （2知椭陨1丘W+刍=1 （a>b>0）,其焦点为乙，F ：、离心率为直线2： x+2y —2= a b Z0与X 轴，y 轴分别交于点儿B,（1） 若点川是椭圆£的一个顶点，求椭圆的方程：（2） 若线段也上存在点尸满足PFAPF ：=2a 、求a 的取值范用.（江苏专用）2018版高考数学专题复习专 9平面解析几何第658.（2016 •山东实验中学第三次诊断）已知点A（-2, 0）, 5（2, 0）,曲线C上的动点尸满足AP• B7=-3.(1)求曲线C的方程：(2)若过左点"(0, — 2)的直线，与曲线C有公共点，求直线/的斜率&的取值范围；(3)若动点QH在曲线C上，求戶斗的取值范围.丄丄R R9.(2016 -苏北四市联考)如图，椭圆G与+晋=l(a>Q0)的上，下顶点分别为儿氏右a b焦点为尸，点尸在椭圆C上，且护丄朋(1)若点尸坐标为(址，1),求椭圆C的方程；(2)延长肿交椭圆Q于点Q,若直线0尸的斜率是直线朋的斜率的2倍，求椭圆6■的离心率;(3)求证：存在椭圆G使直线处平分线段处答案精析3. (1,2)解析 如图，由题意知月点的纵坐标为2,若△遊是锐角三角形，则必有Z 遁・<45° , ab_AtanZA£F=-;-<1,即ac —2茁V0,亦即 e —e —2<Q f — l<e<2.又 e>b :.l<e<2.41 解析 联立直线与双曲线方程得(l-2A c )Y-4^r-4 = 0,•・•直线与双曲线相交于两个不同的点，□ 一 2疋 H0, • <••14=16^+16 1 — 2片=16 1一戶 >0,设川(兀，yi) I B (X ZJ 几)，设尸为月万的中点, V.)/(3, 0)到出万两点距离相等,1-2A :1一2左得 &=3或公=一1(舍)，/.k=-k 兀+上2-1^2?^解析由已知得渐近线为厶：y=4,厶：y=-4,由条件得，尸到渐近线的距离FA=b, a a 则 FB=2b 、在Rt △川严中，OF=c,则 OA=p/_F = a ・设厶的倾斜角为0,即乙AOF= 0、则ZA0B=2 0.在 Rt △川沪中，tan 在 RxAAOB 中，tan 2 ^=—t 而 tan 2 ^=-2tan / a a I -tan "2b即 £=3F,所以 a==3(c s -a 5),c 2 4 所以e ：~=-. a 3又e>l,所以e=攀._3 ；6. 匕,4_ 解析 设双曲线G 的方程为岂一2=1(比>°，厶>°)，由题意知 奶=2, FQME=2c,其 az ct 中£=圧+£=£—反又根据椭圆与双曲线的左义得曲线的实轴长."3 4~i 3 c 4 9 8 12 因为椭圆的离心率eG ,所以所以而az=at —2c.所以joWa 二W 亍C,所以|瓷W4,即双曲线G 的离心率的取值范用是号，4 .7. 解⑴由椭圆的离心率为半，得玄=品,；•直线1与x 轴交于A 点，•*•/! (2, 0) I ci =2t c =^2>■ R■ ・•••椭圆方程为计+专=1・(2)由尸电,可设椭圆£的方程为匕--=1,联立(a a/+2y~2 = 0,得 6./—8y+4 —/=0・若线段月万上存在点尸满足PFAPF ：=2a 、则线段仙与椭圆f 有公共点, 等价于方程6/-8y+4 — ,=0在yG [0, 1]上有解.设 f(y) =6y — 8y4-4 —a",MFd MF 二=2a“ "F MF==2a ： 2 + 2c=2a“ =>< 2_2c=2&：na,—比=2c,其中2凸.2比分别为椭圆的长轴长和双a肩£aM4,故a的取值范用是学£aW2.8.解⑴设Hx, y),AP• B7=(JV+2, y) (JV-2> y)=jf-4+y=-3,得尸点轨迹(曲线0方程为Y-Fy：=b 即曲线Q是圆.⑵可设直线1的方程为尸滋一2, 其一般方程为Av—y—2=0, 由直线』与曲线Q有交点，0-0-2即所求&的取值范用是(一8, 一心]u[&, 4-oo).(3)由动点Q(x, y)，设定点Ml, ~2),则直线g的斜率厶、=斗=4 又点0在曲线C上，故直线QV与圆有交点, 设直线舛的方程为y+2=u(x — 1),即ux—y^—u—2=Q.当直线与圆相切时,当"不存在时，直线与圆相切,3所以 uG （一8,—9. ⑴解 因为点尸(&, 1),所以脳=律,所以寸5c=Zb 所以3/=4&①3 1又点1)在椭圆上.所以孑+歹=1，②13 13联立①②，解得/=y,尸=节・ 故椭圆方程为舌T-+f=l・ ・与椭圆Q 方程三+2=1联立，a b消去y 得嘤*一空=0, a c c解得 x=0 或 x=-|" 2, a +c所以点Q 的坐标为(学弓b f f ), a -re a 十c所以直线风的斜率为 b c — aa-¥c " be加=—^ZE —=丁 a 「+ cz** Q Az*由题意得沪亍，所以4沙 所以椭圆的离心率三(3)证明 因为线段少垂直于朋则直线0F 的方程为y=*・x,与直线月尸的方程仝+三=1联立，c b解得两直线交点的坐标为(筈，竺■)・a a因为线段少被直线处平分，又因为£尸丄0只一(2)解由题意,直线处的方程为所以点尸的坐标为(琴，笔)，a a由点尸在椭圆上得学+号=1,a a b又o&设$=畑(0」)),a代入上式得4[(l-t)3- i+t3] = l. (*)令f(t) =4[(1—t)2• t+12]— 1=4(t3-r+t)-b则f' (t)=4(3f-2t+l)>0 在(0,1)上恒成立,所以函数f(r)在(0,1)上单调递增，又f(0) = —1<0, /(1)=3>0,所以f(t)= 0在(0,1)上有解，即(*)式有解，故存在椭圆G使线段莎被直线月尸垂直平分。

2019年高中数学单元测试卷平面解析几何初步学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．直线20x +-=与圆224x y +=相交于,A B 两点,则弦AB 的长度等于 （ ）A ．B ．CD ．1（2012福建文）2．圆1)3()1(22=++-y x 的切线方程中有一个是（A ）x －y ＝0 （B ）x ＋y ＝0 （C ）x ＝0 （D ）y ＝0(2006江苏)3．设R n m ∈,，若直线02)1()1(=-+++y n x m 与圆1)1()1(22=-+-y x 相切，则m+n 的取值范围是（A ）]31,31[+- （B ）),31[]31,(+∞+⋃--∞（C ）]222,222[+- （D ）),222[]222,(+∞+⋃--∞4．已知圆的方程为08622=--+y x y x .设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为（山东卷11）A ．106B ．206C ．306D ．406 二、填空题5．圆2221:4440C x y ax a +++-=和圆2222:210C x y by b +-+-=相内切，若,a b R ∈，且0ab ≠，则2211a b +的最小值为 .6．已知实数x ，y 满足2x ＋y ＋5＝0，那么x 2＋y 2的最小值为 ．7．若方程2224380x y kx y k +++++=表示一个圆,则实数k 的取值范围是 .8． 直线12:(1)3,:22l x a y l x y +-=-=互相垂直,则a 的值为 ．9．直线y ＝x ＋b 与曲线x ＝恰有一个交点，则实数的b 的取值范围是____________10．若0x y >>323xy y +-的最小值为 ．11．已知线段AB 两个端点A(2,-3)，B(-3,-2)，直线l 过点P(1,2)且过线段AB 相交，则l 的斜率k 的取值范围为 ▲ .12．圆心是(2,3)-，且经过原点的圆的标准方程为 ．13． 圆22:2440C x y x y +--+=的圆心到直线l:3440x y ++=的距离d = 3 。

文档从网络中收集，已重新整理排版.word 版本可编借•欢迎下载支持.意一点，点0的坐标为（4, 3）,则的•疔取最大值时，点尸的坐标为・lword 版本可编辑•欢迎下载支持.练椭圆的几何性质练习文 训练目标熟练掌握椭圆的几何性质并会应用.训练题型 （1）求离心率的值或范用：（2）应用几何性质求参数值或范羽：（3）椭圆方程与几 何性质综合应用.解题策略 （1）利用楚义PF"PF ：=2a 找等呈关系；（2）利用/=歹+£及离心率e=£找等 a量关系：（3）利用焦点三角形的特殊性找等量关系.・ ■1 •设椭圆G 2+畚=1（宀>0）的左，右焦点分别为凡忌F 是C 上的点.啟丄加ZPRF 尸30° ,则C 的离心率为 ________ ・■ ・ 2. （2016 •唐山统考）椭圆G 刍=l （a>b>0）的左焦点为尸，若尸关于直线心卄尸0的对称点月是椭圆Q 上的点，则椭圆C 的离心率为 ________ .■ ・ 3 •椭圆W+W=l （a>b>0）的左顶点为乩左，右焦点分别是凡 忌万是短轴的一个端点, a b若3丽=鬲+2庞，则椭圆的离心率为 ___________ ・4. 如图，椭圆1+专=1的左，右焦点分别为凡 忌点尸在椭圆上，若PW ZRP2a 厶120° ,则a 的值为 __________ .5. （2016 •镇江模拟）在平面直角坐标系妙中，已知点月在椭圆看+彳=1上，点尸满足菲= （^-l ）S （4GR ）,且QA- OP=72,则线段。

尸在X 轴上的投影长度的最大值为 ___________ .R k■ ・6. （2016 •济南3月模拟）在椭圆話+壬=1内，过点Ml, 1）且被该点平分的弦所在的直线 方程为 ___________________ .7. （2016 •重庆模拟）设乩F 是椭圆y+?= 1上的两点，点月关于*轴的对称点为万（异于 点P ）,若直线朋 肿分别交M 轴于点M M 则动•药工 ______________ ・8. 如图，ABCD 为正方形,以川万为焦点，且过G 。

§9.3圆的方程考情考向分析以考查圆的方程为主，与圆有关的轨迹问题、最值问题也是考查的热点，属中档题．题型主要以填空题为主，要求相对较低，但内容很重要，在解答题中也会出现．圆的定义与方程概念方法微思考1．如何确定圆的方程？其步骤是怎样的？提示确定圆的方程的主要方法是待定系数法，大致步骤：(1)根据题意，选择标准方程或一般方程．(2)根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组．(3)解出a，b，r或D，E，F代入标准方程或一般方程．2．点与圆的位置关系有几种？如何判断？提示点和圆的位置关系有三种．已知圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)(1)点在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；(2)点在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2>r2；(3)点在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2<r2.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的圆．( ×)(2)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.( √)(3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.( √)(4)方程x2＋2ax＋y2＝0一定表示圆．( ×)(5)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F>0.( √)题组二教材改编2．[P111练习T4]圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是________．答案(2，－3)解析由(x－2)2＋(y＋3)2＝13，知圆心坐标为(2，－3)．3．[P111习题T1(3)]已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则圆C的标准方程为________________．答案(x－2)2＋y2＝10解析设圆心坐标为(a,0)，易知(a－5)2＋(－1)2＝(a－1)2＋(－3)2，解得a＝2，∴圆心为(2,0)，半径为10，∴圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝10.题组三 易错自纠4．若方程x 2＋y 2＋mx －2y ＋3＝0表示圆，则m 的取值范围是________________． 答案 (－∞，－22)∪(22，＋∞)解析 将x 2＋y 2＋mx －2y ＋3＝0化为圆的标准方程得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋m 22＋(y －1)2＝m 24－2.由其表示圆可得m 24－2>0，解得m <－22或m >2 2.5．若点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，则实数a 的取值范围是________． 答案 －1<a <1解析 ∵点(1,1)在圆内， ∴(1－a )2＋(a ＋1)2<4，即－1<a <1.6．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是________________． 答案 (x －2)2＋(y －1)2＝1解析 由于圆心在第一象限且与x 轴相切，可设圆心为(a ,1)(a >0)， 又圆与直线4x －3y ＝0相切， ∴|4a －3|5＝1，解得a ＝2或a ＝－12(舍去)． ∴圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1.题型一 圆的方程例1求经过点A (－2，－4)，且与直线l ：x ＋3y －26＝0相切于点B (8,6)的圆的方程． 解 方法一 设圆心为C ，所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 则圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2，∴k CB ＝6＋E28＋D 2.∵圆C 与直线l 相切，∴k CB ·k l ＝－1， 即6＋E28＋D 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1.①又有(－2)2＋(－4)2－2D －4E ＋F ＝0， ② 又82＋62＋8D ＋6E ＋F ＝0.③联立①②③，可得D ＝－11，E ＝3，F ＝－30， ∴所求圆的方程为x 2＋y 2－11x ＋3y －30＝0. 方法二 设圆的圆心为C ，则CB ⊥l ， 可得CB 所在直线的方程为y －6＝3(x －8)， 即3x －y －18＝0.①由A (－2，－4)，B (8,6)，得AB 的中点坐标为(3,1)． 又k AB ＝6＋48＋2＝1，∴AB 的垂直平分线的方程为y －1＝－(x －3)， 即x ＋y －4＝0.②由①②联立，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝112，y ＝－32.即圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫112，－32.∴所求圆的半径r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫112－82＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－32－62＝1252， ∴所求圆的方程为⎝⎛⎭⎪⎫x －1122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝1252.思维升华 (1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程． (2)待定系数法①若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，求出a ，b ，r 的值； ②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值． 跟踪训练1(1)(2018·如皋模拟)已知圆C 过点(2，3)，且与直线x －3y ＋3＝0相切于点(0，3)，则圆C 的方程为________________． 答案 (x －1)2＋y 2＝4解析 设圆心为(a ，b )，半径为r ， 则⎩⎪⎨⎪⎧b －3a×33＝－1，(a －2)2＋(b －3)2＝a 2＋(b －3)2，解得a ＝1，b ＝0，则r ＝2， 即所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝4.(2)一个圆与y 轴相切，圆心在直线x －3y ＝0上，且在直线y ＝x 上截得的弦长为27，则该圆的方程为______________________．答案 x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0或x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋1＝0 解析 方法一 ∵所求圆的圆心在直线x －3y ＝0上， ∴设所求圆的圆心为(3a ，a )，又所求圆与y 轴相切，∴半径r ＝3|a |，又所求圆在直线y ＝x 上截得的弦长为27，圆心(3a ，a )到直线y ＝x 的距离d ＝|2a |2，∴d 2＋(7)2＝r 2，即2a 2＋7＝9a 2，∴a ＝±1.故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9，即x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0或x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋1＝0.方法二 设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则圆心(a ，b )到直线y ＝x 的距离为|a －b |2，∴r 2＝(a －b )22＋7，即2r 2＝(a －b )2＋14.① 由于所求圆与y 轴相切，∴r 2＝a 2，② 又∵所求圆的圆心在直线x －3y ＝0上，∴a －3b ＝0，③联立①②③，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝1，r 2＝9或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－1，r 2＝9.故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9， 即x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0或x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋1＝0.方法三 设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2，半径r ＝12D 2＋E 2－4F .在圆的方程中，令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0. 由于所求圆与y 轴相切，∴Δ＝0，则E 2＝4F .①圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E2到直线y ＝x 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－D 2＋E 22，由已知得d 2＋(7)2＝r 2， 即(D －E )2＋56＝2(D 2＋E 2－4F )．②又圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2在直线x －3y ＝0上，∴D －3E ＝0.③联立①②③，解得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝－6，E ＝－2，F ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧D ＝6，E ＝2，F ＝1.故所求圆的方程为x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0或x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋1＝0.题型二 与圆有关的最值问题例2已知点(x ，y )在圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝1上，求x ＋y 的最大值和最小值． 解 设t ＝x ＋y ，则y ＝－x ＋t ，t 可视为直线y ＝－x ＋t 在y 轴上的截距，∴x ＋y 的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线在y 轴上的截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在y 轴上的截距．由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径， 即|2＋(－3)－t |2＝1，解得t ＝2－1或t ＝－2－1. ∴x ＋y 的最大值为2－1，最小值为－2－1. 引申探究1．在本例的条件下，求yx的最大值和最小值．解 y x 可视为点(x ，y )与原点连线的斜率，y x的最大值和最小值就是与该圆有公共点的过原点的直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率．设过原点的直线的方程为y ＝kx ，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即|2k ＋3|k 2＋1＝1，解得k ＝－2＋233或k ＝－2－233，∴y x 的最大值为－2＋233，最小值为－2－233.2．在本例的条件下，求x 2＋y 2＋2x －4y ＋5的最大值和最小值． 解x 2＋y 2＋2x －4y ＋5＝(x ＋1)2＋(y －2)2，求它的最值可视为求点(x ，y )到定点(－1,2)的距离的最值，可转化为求圆心(2，－3)到定点(－1,2)的距离与半径的和或差．又圆心到定点(－1,2)的距离为34，∴x 2＋y 2＋2x －4y ＋5的最大值为34＋1，最小值为34－1. 思维升华与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．(2)与圆上点(x ，y )有关代数式的最值的常见类型及解法． ①形如u ＝y －bx －a型的最值问题，可转化为过点(a ，b )和点(x ，y )的直线的斜率的最值问题；②形如t ＝ax ＋by 型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如(x －a )2＋(y －b )2型的最值问题，可转化为动点到定点(a ，b )的距离的平方的最值问题． 跟踪训练2已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0. 求：(1)y x的最大值和最小值； (2)y －x 的最大值和最小值； (3)x 2＋y 2的最大值和最小值． 解 原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3， 表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆．(1)y x 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设y x＝k ，即y ＝kx .当直线y ＝kx 与圆相切时(如图)，斜率k 取最大值和最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝± 3.所以y x的最大值为3，最小值为－ 3.(2)y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，如图所示，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，其在y 轴上的截距b 取得最大值和最小值，此时|2－0＋b |2＝3，解得b ＝－2± 6.所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6.(3)如图所示，x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为(2－0)2＋(0－0)2＝2， 所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x 2＋y 2的最小值是(2－3)2＝7－4 3.题型三 与圆有关的轨迹问题例3已知Rt△ABC 的斜边为AB ，且A (－1,0)，B (3,0)．求： (1)直角顶点C 的轨迹方程； (2)直角边BC 的中点M 的轨迹方程．解 (1)方法一 设C (x ，y )，因为A ，B ，C 三点不共线，所以y ≠0. 因为AC ⊥BC ，且BC ，AC 斜率均存在， 所以k AC ·k BC ＝－1， 又k AC ＝y x ＋1，k BC ＝y x －3，所以y x ＋1·yx －3＝－1， 化简得x 2＋y 2－2x －3＝0.因此，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(y ≠0)．方法二 设AB 的中点为D ，由中点坐标公式得D (1,0)，由直角三角形的性质知CD ＝12AB ＝2.由圆的定义知，动点C 的轨迹是以D (1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A ，B ，C 三点不共线，所以应除去与x 轴的交点)．所以直角顶点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)．(2)设M (x ，y )，C (x 0，y 0)，因为B (3,0)，M 是线段BC 的中点，由中点坐标公式得x ＝x 0＋32，y ＝y 0＋02，所以x 0＝2x －3，y 0＝2y .由(1)知，点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)， 将x 0＝2x －3，y 0＝2y 代入得(2x －4)2＋(2y )2＝4， 即(x －2)2＋y 2＝1.因此动点M 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝1(y ≠0)．思维升华求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法： ①直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． ②定义法：根据圆、直线等定义列方程． ③几何法：利用圆的几何性质列方程．④相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式．跟踪训练3设定点M (－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM ，ON 为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹．解 如图，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y2， 线段MN 的中点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 0－32，y 0＋42.因为平行四边形的对角线互相平分，所以x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42，整理得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4，又点N (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝4上， 所以(x ＋3)2＋(y －4)2＝4.所以点P 的轨迹是以(－3,4)为圆心，2为半径的圆，直线OM 与轨迹相交于两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，125和⎝ ⎛⎭⎪⎫－215，285，不符合题意，舍去，所以点P 的轨迹为(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，除去两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，125和⎝ ⎛⎭⎪⎫－215，285.1．已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是________． 答案 (－2，－4)解析 由题意得a 2＝a ＋2，a ＝－1或2. 当a ＝－1时方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0，即(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25，圆心为(－2，－4)，半径为5；当a ＝2时方程为4x 2＋4y 2＋4x ＋8y ＋10＝0，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y ＋1)2＝－54不表示圆．2．已知圆C ：x 2＋y 2＋kx ＋2y ＝－k 2，当圆C 的面积取最大值时，圆心C 的坐标为__________． 答案 (0，－1)解析 圆C 的方程可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k 22＋(y ＋1)2＝－34k 2＋1，所以当k ＝0时，圆C 的面积最大，此时圆心C 的坐标为(0，－1)．3．若圆C 经过坐标原点与点(4,0)，且与直线y ＝1相切，则圆C 的方程是__________________．答案 (x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝254解析 因为圆的弦的垂直平分线必过圆心且圆经过点(0,0)和(4,0)，所以设圆心为(2，m )． 又因为圆与直线y ＝1相切，所以22＋m 2＝|1－m |， 解得m ＝－32.所以圆C 的方程为(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝254.4．已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y ＋1＝0，那么与圆C 有相同的圆心，且经过点(－2,2)的圆的方程是______________． 答案 (x －1)2＋(y ＋2)2＝25解析 设出要求的圆的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝r 2，再代入点(－2,2)，可以求得圆的半径为5.5．已知圆M 与直线3x －4y ＝0及3x －4y ＋10＝0都相切，圆心在直线y ＝－x －4上，则圆M 的方程为________． 答案 (x ＋3)2＋(y ＋1)2＝1解析 到直线3x －4y ＝0及3x －4y ＋10＝0的距离都相等的直线方程为3x －4y ＋5＝0，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＋5＝0，y ＝－x －4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－1，又两平行线之间的距离为2，所以所求圆的半径为1，从而圆M 的方程为(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝1.6．圆心在y 轴上，且过点(3,1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是________________． 答案 x 2＋y 2－10y ＝0解析 根据题意，设圆心坐标为(0，r )，半径为r ， 则32＋(r －1)2＝r 2，解得r ＝5，可得圆的方程为x 2＋y 2－10y ＝0. 7．圆(x －2)2＋y 2＝4关于直线y ＝33x 对称的圆的方程是________________． 答案 (x －1)2＋(y －3)2＝4解析 设圆(x －2)2＋y 2＝4的圆心(2,0)关于直线y ＝33x 对称的点的坐标为(a ，b )， 则有⎩⎪⎨⎪⎧b a －2·33＝－1，b 2＝33·a ＋22，解得a ＝1，b ＝3，从而所求圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝4.8．如果圆(x －a )2＋(y －a )2＝8上总存在到原点的距离为2的点，则实数a 的取值范围是________________． 答案 [－3，－1]∪[1,3]解析 圆(x －a )2＋(y －a )2＝8的圆心(a ，a )到原点的距离为|2a |，半径r ＝22， 由圆(x －a )2＋(y －a )2＝8上总存在点到原点的距离为2，得22－2≤|2a |≤22＋2，∴1≤|a |≤3，解得1≤a ≤3或－3≤a ≤－1. ∴实数a 的取值范围是[－3，－1]∪[1,3]．9．平面内动点P 到两点A ，B 的距离之比为常数λ(λ>0，且λ≠1)，则动点P 的轨迹叫做阿波罗尼斯圆，若已知A (－2,0)，B (2,0)，λ＝12，则此阿波罗尼斯圆的方程为____________________． 答案 x 2＋y 2＋203x ＋4＝0解析 由题意，设P (x ，y )，则(x ＋2)2＋y2(x －2)2＋y2＝12， 化简可得x 2＋y 2＋203x ＋4＝0.10．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是________________． 答案 (x －2)2＋(y ＋1)2＝1解析 设圆上任一点坐标为(x 0，y 0)，x 20＋y 20＝4，连线中点坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝x 0＋4，2y ＝y 0－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2，代入x 20＋y 20＝4中，得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.11．已知点P (x ，y )在圆C ：x 2＋y 2－6x －6y ＋14＝0上， (1)求yx的最大值和最小值； (2)求x ＋y 的最大值和最小值．解 方程x 2＋y 2－6x －6y ＋14＝0可变形为(x －3)2＋(y －3)2＝4，则圆C 的半径为2. (1)(转化为斜率的最值问题求解)yx表示圆上的点P 与原点连线的斜率，显然当PO (O 为原点)与圆C 相切时，斜率最大或最小，如图所示．设切线方程为y ＝kx ，即kx －y ＝0，由圆心C (3,3)到切线的距离等于圆C 的半径， 可得|3k －3|k 2＋1＝2，解得k ＝9±2145.所以y x 的最大值为9＋2145，最小值为9－2145.(2)(转化为截距的最值问题求解)设x ＋y ＝b ，则b 表示动直线y ＝－x ＋b 在y 轴上的截距，显然当动直线y ＝－x ＋b 与圆C 相切时，b 取得最大值或最小值，如图所示．由圆心C (3,3)到切线x ＋y ＝b 的距离等于圆C 的半径，可得|3＋3－b |12＋12＝2， 即|b －6|＝22，解得b ＝6±22，所以x ＋y 的最大值为6＋22，最小值为6－2 2.12．已知点A (－3,0)，B (3,0)，动点P 满足PA ＝2PB . (1)若点P 的轨迹为曲线C ，求此曲线的方程；(2)若点Q 在直线l 1：x ＋y ＋3＝0上，直线l 2经过点Q 且与曲线C 只有一个公共点M ，求QM 的最小值．解 (1)设点P 的坐标为(x ，y )， 则(x ＋3)2＋y 2＝2(x －3)2＋y 2.化简可得(x －5)2＋y 2＝16，此方程即为所求．(2)曲线C 是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图所示．由题意知直线l 2是此圆的切线， 连结CQ ，则QM ＝CQ 2－CM 2＝CQ 2－16， 当QM 最小时，CQ 最小，此时CQ ⊥l 1，CQ ＝|5＋3|2＝42， 则QM 的最小值为32－16＝4.13．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1，设点P 是圆C 上的动点．记d ＝PB 2＋PA 2，其中A (0,1)，B (0，－1)，则d 的最大值为________．答案 74解析 设P (x 0，y 0)，d ＝PB 2＋PA 2＝x 20＋(y 0＋1)2＋x 20＋(y 0－1)2＝2(x 20＋y 20)＋2.x 20＋y 20为圆上任一点到原点距离的平方，∴(x 20＋y 20)max ＝(5＋1)2＝36，∴d max ＝74.14．已知圆C 截y 轴所得的弦长为2，圆心C 到直线l ：x －2y ＝0的距离为55，且圆C 被x 轴分成的两段弧长之比为3∶1，则圆C 的方程为__________________________． 答案 (x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2或(x －1)2＋(y －1)2＝2解析 设圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则点C 到x 轴、y 轴的距离分别为|b |，|a |.由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧r 2＝2b 2，r 2＝a 2＋1，|a －2b |5＝55，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－1，r 2＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1，r 2＝2.故所求圆C 的方程为(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2或(x －1)2＋(y －1)2＝2.15．若圆x 2＋y 2＋4x －12y ＋1＝0关于直线ax －by ＋6＝0(a >0，b >0)对称，则2a ＋6b的最小值是________． 答案323解析 由圆x 2＋y 2＋4x －12y ＋1＝0知，其标准方程为(x ＋2)2＋(y －6)2＝39， ∵圆x 2＋y 2＋4x －12y ＋1＝0关于直线ax －by ＋6＝0(a >0，b >0)对称， ∴该直线经过圆心(－2,6)，即－2a －6b ＋6＝0， ∴a ＋3b ＝3(a >0，b >0)， ∴2a ＋6b ＝23(a ＋3b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋3b ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3a b ＋3b a ＋9≥23⎝⎛⎭⎪⎫10＋23a b ·3b a ＝323， 当且仅当3b a ＝3ab，即a ＝b 时取等号．16．已知动点P (x ，y )满足x 2＋y 2－2|x |－2|y |＝0，O 为坐标原点，求x 2＋y 2的最大值． 解x 2＋y 2表示曲线上的任意一点(x ，y )到原点的距离．当x ≥0，y ≥0时，x 2＋y 2－2x －2y ＝0化为()x －12＋()y －12＝2，曲线上的点到原点的距离的最大值为2×2＝22，当x <0，y <0时，x 2＋y 2＋2x ＋2y ＝0化为()x ＋12＋()y ＋12＝2，曲线上的点到原点的距离的最大值为2×2＝22，当x ≥0，y <0时，x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0化为()x －12＋()y ＋12＝2，曲线上的点到原点的距离的最大值为2×2＝22，当x <0，y ≥0时，x 2＋y 2＋2x －2y ＝0化为()x ＋12＋()y －12＝2，曲线上的点到原点的距离的最大值为2×2＝2 2.综上可知，x2＋y2的最大值为2 2.21。

考试内容等级要求直线的斜率与倾斜角B直线方程C直线的平行关系与垂直关系B两条直线的交点B两点间的距离，点到直线的距离B圆的标准方程与一般方程C直线与圆、圆与圆的位置关系B中心在坐标原点的椭圆的标准方程与几何性质B中心在坐标原点的双曲线的标准方程与几何性质A顶点在坐标原点的抛物线的标准方程与几何性质A曲线与方程A§9.1　直线的方程考情考向分析　以考查直线方程的求法为主，直线的斜率、倾斜角也是考查的重点．题型主要在解答题中与圆、圆锥曲线等知识交汇出现，有时也会在填空题中出现．1．直线的倾斜角(1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，把x 轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角，并规定：与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.(2)范围：直线l 倾斜角的范围是[0°，180°)．2．斜率公式(1)若直线l 的倾斜角α≠90°，则斜率k ＝tan α.(2)P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线l 上且x 1≠x 2，则l 的斜率k ＝.y 2－y 1x 2－x 13．直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式y －y 0＝k (x －x 0)不含直线x ＝x 0斜截式y ＝kx ＋b不含垂直于x 轴的直线两点式＝(x 1≠x 2，y 1≠y 2)y －y 1y 2－y 1x －x 1x 2－x 1不含直线x ＝x 1 和直线y ＝y 1截距式＋＝1x a y b不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)平面直角坐标系内的直线都适用概念方法微思考1．直线都有倾斜角，是不是都有斜率？倾斜角越大，斜率k 就越大吗？提示　倾斜角α∈[0，π)，当α＝时，斜率k 不存在；因为k ＝tan α.当α∈时，απ2(α≠π2)(0，π2)越大，斜率k 就越大，同样α∈时也是如此，但当α∈(0，π)且α≠时就不是了．(π2，π)π22．“截距”与“距离”有何区别？当截距相等时应注意什么？提示　“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．应注意过原点的特殊情况是否满足题意．题组一　思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．(　√　)(2)若直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.(　×　)(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．(　×　)(4)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示．(　√　)题组二　教材改编2．[P80T6]若过点M (－2，m )，N (m ,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为 ．答案　1解析　由题意得＝1，解得m ＝1.m －4－2－m3．[P88T13]过点P (2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 ．答案　3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0解析　当截距为0时，直线方程为3x －2y ＝0；当截距不为0时，设直线方程为＋＝1，x a ya 则＋＝1，解得a ＝5.所以直线方程为x ＋y －5＝0.2a 3a 题组三　易错自纠4．直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是．答案　[3π4，π)解析　由直线方程可得该直线的斜率为－，1a 2＋1又－1≤－<0，所以倾斜角的取值范围是.1a 2＋1[3π4，π)5．(2018·江苏省南京市秦淮中学期末)已知倾斜角为90°的直线经过点A (2m ,3)，B (2，－1)，则m 的值为 ．答案　1解析　∵倾斜角为90°的直线经过点A (2m ,3)，B (2，－1)，∴2m ＝2，解得m ＝1.6．过直线l ：y ＝x 上的点P (2,2)作直线m ，若直线l ，m 与x 轴围成的三角形的面积为2，则直线m 的方程为 ．答案　x －2y ＋2＝0或x ＝2解析　①若直线m 的斜率不存在，则直线m 的方程为x ＝2，直线m ，直线l 和x 轴围成的三角形的面积为2，符合题意；②若直线m 的斜率k ＝0，则直线m 与x 轴没有交点，不符合题意；③若直线m 的斜率k ≠0，设其方程为y －2＝k (x －2)，令y ＝0，得x ＝2－，依题意有×2k 12|2－2k |×2＝2，即＝1，解得k ＝，所以直线m 的方程为y －2＝(x －2)，即x －2y ＋2＝0.|1－1k |1212综上可知，直线m 的方程为x －2y ＋2＝0或x ＝2.题型一　直线的倾斜角与斜率例1 (1)直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是 ．答案　∪[0，π4][34π，π)解析　设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α，又sin α∈[－1,1]，θ∈[0，π)，所以0≤θ≤或≤θ<π.π43π4(2)直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值3范围为．答案　(－∞，－]∪[1，＋∞)3解析　如图，∵k AP ＝＝1，k BP ＝＝－，1－02－13－00－13∴k ∈(－∞，－ ]∪[1，＋∞)．3引申探究1．若将本例(2)中P (1,0)改为P (－1,0)，其他条件不变，求直线l 斜率的取值范围．解　∵P (－1,0)，A (2,1)，B (0，)，3∴k AP ＝＝，1－02－(－1)13k BP ＝＝.3－00－(－1)3如图可知，直线l 斜率的取值范围为.[13，3]2．若将本例(2)中的B 点坐标改为(2，－1)，其他条件不变，求直线l 倾斜角的取值范围．解　如图，直线PA 的倾斜角为45°，直线PB 的倾斜角为135°，由图象知l 的倾斜角的取值范围为[0°，45°]∪[135°，180°)．思维升华 (1)倾斜角α与斜率k 的关系①当α∈时，k ∈[0，＋∞)．[0，π2)②当α＝时，斜率k 不存在．π2③当α∈时，k ∈(－∞，0)．(π2，π)(2)斜率的两种求法①定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k ＝tan α求斜率．②公式法：若已知直线上两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，一般根据斜率公式k ＝(x 1≠x 2)求斜y 2－y 1x 2－x 1率．(3)倾斜角α范围与直线斜率范围互求时，要充分利用y ＝tan α的单调性．跟踪训练1 (1)若平面内三点A (1，－a )，B (2，a 2)，C (3，a 3)共线，则a ＝ .答案　1±或02解析　∵平面内三点A (1，－a )，B (2，a 2)，C (3，a 3)共线，∴k AB ＝k AC ，即＝，即a (a 2－2a －1)＝0，a 2＋a 2－1a 3＋a 3－1解得a ＝0或a ＝1±.2(2)若直线l 经过A (3,1)，B (2，－m 2)(m ∈R )两点，则直线l 的倾斜角α的取值范围是 ．答案　[π4，π2)解析　直线l 的斜率k ＝＝1＋m 2≥1，1＋m 23－2所以k ＝tan α≥1.又y ＝tan α在上是增函数，(0，π2)因此≤α<.π4π2题型二　求直线的方程例2 求适合下列条件的直线方程：(1)经过点P (3,2)，且在两坐标轴上的截距相等；(2)过点A (－1，－3)，斜率是直线y ＝3x 的斜率的－；14(3)过点A (1，－1)与已知直线l 1：2x ＋y －6＝0相交于B 点且AB ＝5.解　(1)方法一　设直线l 在x ，y 轴上的截距均为a ，若a ＝0，即l 过点(0,0)和(3,2)，∴l 的方程为y ＝x ，即2x －3y ＝0.23若a ≠0，则设l 的方程为＋＝1，x a ya ∵l 过点(3,2)，∴＋＝1，3a 2a ∴a ＝5，∴l 的方程为x ＋y －5＝0，综上可知，直线l 的方程为2x －3y ＝0或x ＋y －5＝0.方法二　由题意，所求直线的斜率k 存在且k ≠0，设直线方程为y －2＝k (x －3)，令y ＝0，得x ＝3－，令x ＝0，得y ＝2－3k ，2k 由已知3－＝2－3k ，解得k ＝－1或k ＝，2k 23∴直线l 的方程为y －2＝－(x －3)或y －2＝(x －3)，23即x ＋y －5＝0或2x －3y ＝0.(2)设所求直线的斜率为k ，依题意k ＝－×3＝－.1434又直线经过点A (－1，－3)，因此所求直线方程为y ＋3＝－(x ＋1)，34即3x ＋4y ＋15＝0.(3)过点A (1，－1)与y 轴平行的直线为x ＝1.解方程组Error!求得B 点坐标为(1,4)，此时AB ＝5，即x ＝1为所求．设过A (1，－1)且与y 轴不平行的直线为y ＋1＝k (x －1)，解方程组Error!得两直线交点为Error!(k ≠－2，否则与已知直线平行)．则B 点坐标为.(k ＋7k ＋2，4k －2k ＋2)由已知2＋2＝52，(k ＋7k ＋2－1)(4k －2k ＋2＋1)解得k ＝－，∴y ＋1＝－(x －1)，3434即3x ＋4y ＋1＝0.综上可知，所求直线的方程为x ＝1或3x ＋4y ＋1＝0.思维升华 在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件．若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．跟踪训练2 根据所给条件求直线的方程：(1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为；1010(2)经过点P (4,1)，且在两坐标轴上的截距相等；(3)直线过点(5,10)，到原点的距离为5.解　(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．设倾斜角为α，则sin α＝(0≤α<π)，1010从而cos α＝±，则k ＝tan α＝±.3101013故所求直线方程为y ＝±(x ＋4)．13即x ＋3y ＋4＝0或x －3y ＋4＝0.(2)设直线l 在x ，y 轴上的截距均为a .若a ＝0，即l 过(0,0)及(4,1)两点，∴l 的方程为y ＝x ，即x －4y ＝0.14若a ≠0，则设l 的方程为＋＝1，x a ya ∵l 过点(4,1)，∴＋＝1，4a 1a∴a ＝5，∴l 的方程为x ＋y －5＝0.综上可知，直线l 的方程为x －4y ＝0或x ＋y －5＝0.(3)当斜率不存在时，所求直线方程为x －5＝0；当斜率存在时，设其为k ，则所求直线方程为y －10＝k (x －5)，即kx －y ＋(10－5k )＝0.由点到直线的距离公式，得＝5，解得k ＝.|10－5k |k 2＋134故所求直线方程为3x －4y ＋25＝0.综上可知，所求直线方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0.题型三　直线方程的综合应用命题点1　与基本不等式相结合求最值问题例3 已知直线l 过点M (2,1)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，求当||·||取得最小值时直线l 的方程．MA → MB →解　设A (a ,0)，B (0，b )，则a >0，b >0，直线l 的方程为＋＝1，所以＋＝1.x a y b 2a 1b||·||＝－·＝－(a －2，－1)·(－2，b －1)MA → MB → MA → MB →＝2(a －2)＋b －1＝2a ＋b －5＝(2a ＋b )－5＝＋≥4，(2a ＋1b )2b a 2ab当且仅当a ＝b ＝3时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0.命题点2　由直线方程解决参数问题例4 已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，当0<a <2时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数a 的值．解　由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2,2)，直线l 1在y 轴上的截距为2－a ，直线l 2在x 轴上的截距为a 2＋2，所以四边形的面积S ＝×2×(2－a )＋×2×(a 2＋2)＝a 2－a ＋4＝2＋，1212(a －12)154当a ＝时，四边形的面积最小．12思维升华 与直线方程有关问题的常见类型及解题策略(1)求解与直线方程有关的最值问题．先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．(2)求直线方程．弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程．(3)求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解．跟踪训练3 过点P (4,1)作直线l 分别交x 轴，y 轴正半轴于A ，B 两点，O 为坐标原点．(1)当△AOB 面积最小时，求直线l 的方程；(2)当OA ＋OB 取最小值时，求直线l 的方程．解　设直线l ：＋＝1(a >0，b >0)，x a yb 因为直线l 经过点P (4,1)，所以＋＝1.4a 1b (1)＋＝1≥2 ＝，4a 1b 4a ·1b 4ab所以ab ≥16，当且仅当a ＝8，b ＝2时等号成立，所以当a ＝8，b ＝2时，△AOB 的面积最小，此时直线l 的方程为＋＝1，即x ＋4y －8＝0.x 8y2(2)因为＋＝1，a >0，b >0，4a 1b所以OA ＋OB ＝a ＋b ＝(a ＋b )·＝5＋＋≥5＋2 ＝9，(4a ＋1b )a b 4b a a b ·4ba当且仅当a ＝6，b ＝3时等号成立，所以当OA ＋OB 取最小值时，直线l 的方程为＋＝1，即x ＋2y －6＝0.x 6y31．直线x －y ＋a ＝0(a 为常数)的倾斜角为 ．3答案　60°解析　设直线的倾斜角为α，斜率为k ，化直线方程为y ＝x ＋a ，∴k ＝tan α＝.33∵0°≤α<180°，∴α＝60°.2．过点(2,1)且倾斜角比直线y ＝－x －1的倾斜角小的直线方程是．π4答案　x ＝2解析　∵直线y ＝－x －1的斜率为－1，则倾斜角为，3π4依题意，所求直线的倾斜角为－＝，3π4π4π2∴斜率不存在，∴过点(2,1)的直线方程为x ＝2.3．直线MN 的斜率为2，其中点N (1，－1)，点M 在直线y ＝x ＋1上，则点M 的坐标为．答案　M (4,5)解析　设M 的坐标为(a ，b )，若点M 在直线y ＝x ＋1上，则有b ＝a ＋1.①若直线MN 的斜率为2，则有＝2.②b ＋1a －1联立①②可得a ＝4，b ＝5，即M 的坐标为(4,5)．4.如图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则k 1，k 2，k 3的大小关系为．答案　k 1<k 3<k 2解析　直线l 1的倾斜角α1是钝角，故k 1<0，直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角且α2>α3，所以0<k 3<k 2，因此k 1<k 3<k 2.5．(2018·江苏江阴中学检测)直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是 ．答案　(－∞，－1)∪(12，＋∞)解析　设直线的斜率为k ，如图，过定点A 的直线经过点B 时，直线l 在x 轴上的截距为3，此时k ＝－1；过定点A 的直线经过点C 时，直线l 在x 轴上的截距为－3，此时k ＝，12所以满足条件的直线l 的斜率的取值范围是(－∞，－1)∪.(12，＋∞)6．一条直线经过点A (2，－)，并且它的倾斜角等于直线y ＝x 的倾斜角的2倍，则这条313直线的一般式方程是 ．答案　x －y －3＝033解析　因为直线y ＝x 的倾斜角为，13π6所以所求直线的倾斜角为，即斜率k ＝tan ＝.π3π33又该直线过点A (2，－)，3故所求直线为y －(－)＝(x －2)，33即x －y －3＝0.337．不论实数m 为何值，直线mx －y ＋2m ＋1＝0恒过定点 ．答案　(－2,1)解析　直线mx －y ＋2m ＋1＝0可化为m (x ＋2)＋(－y ＋1)＝0，∵m ∈R ，∴Error!∴x ＝－2，y ＝1，∴直线mx －y ＋2m ＋1＝0恒过定点(－2,1)．8．已知三角形的三个顶点A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)，则BC 边上中线所在的直线方程为．答案　x ＋13y ＋5＝0解析　BC 的中点坐标为，(32，－12)∴BC 边上中线所在的直线方程为＝，即x ＋13y ＋5＝0.y －0－12－0x ＋532＋59．经过点A (4,2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的3倍的直线l 的方程的一般式为 ．答案　x ＋3y －10＝0或x －2y ＝0解析　当截距为0时，设直线方程为y ＝kx ，则4k ＝2，∴k ＝，∴直线方程为x －2y ＝0.12当截距不为0时，设直线方程为＋＝1，x 3a ya由题意得，＋＝1，∴a ＝.∴x ＋3y －10＝0.43a 2a 103综上，直线l 的一般式方程为x ＋3y －10＝0或x －2y ＝0.10．过点A (3，－1)且在两坐标轴上截距相等的直线有 条．答案　2解析　①当所求的直线与两坐标轴的截距都不为0时，设该直线的方程为x ＋y ＝a ，把(3，－1)代入所设的方程得a ＝2，则所求直线的方程为x ＋y ＝2，即x ＋y －2＝0.②当所求的直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y ＝kx ，把(3，－1)代入所设的方程得k ＝－，13则所求直线的方程为y ＝－x ，即x ＋3y ＝0.13综上，所求直线的方程为x ＋y －2＝0或x ＋3y ＝0.11.如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1,0)作直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝x 上时，求直线AB 的方程．12解　由题意可得k OA ＝tan 45°＝1，k OB ＝tan(180°－30°)＝－，33所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－x .33设A (m ，m )，B (－n ，n )，3所以AB 的中点C，(m －3n 2，m ＋n2)由点C 在直线y ＝x 上，且A ，P ，B 三点共线得12Error!解得m ＝，所以A (，)．333又P (1,0)，所以k AB ＝k AP ＝＝，33－13＋32所以l AB ：y ＝(x －1)，3＋32即直线AB 的方程为(3＋)x －2y －3－＝0.3312．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )．(1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程．(1)证明　直线l 的方程可化为y ＝k (x ＋2)＋1，故无论k 取何值，直线l 总过定点(－2,1)．(2)解　直线l 的方程可化为y ＝kx ＋2k ＋1，则直线l 在y 轴上的截距为2k ＋1，要使直线l 不经过第四象限，则Error!故k 的取值范围是k ≥0.(3)解　依题意，直线l 在x 轴上的截距为－，1＋2k k 在y 轴上的截距为1＋2k ，且k >0，所以A ，B (0,1＋2k )，(－1＋2kk，0)故S ＝OA ·OB ＝××(1＋2k )12121＋2k k ＝≥×(4＋4)＝4，12(4k ＋1k ＋4)12当且仅当4k ＝，即k ＝时取等号，1k 12故S 的最小值为4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.13．已知过定点P (2,0)的直线l 与曲线y ＝相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 2－x 2的面积取到最大值时，直线l 的倾斜角为 ．答案　150°解析　由y ＝，得x 2＋y 2＝2(y ≥0)，它表示以原点O 为圆心，以为半径的圆的一部分，2－x 22其图象如图所示．显然直线l 的斜率存在，设过点P (2,0)的直线l 为y ＝k (x －2)，则圆心到此直线的距离d ＝，|－2k |1＋k 2弦长AB ＝2 ＝2 ，2－(|－2k |1＋k 2)22－2k 21＋k 2所以S △AOB ＝××2 ≤＝1，12|－2k |1＋k 22－2k 21＋k 2(2k )2＋2－2k 22(1＋k 2)当且仅当(2k )2＝2－2k 2，即k 2＝时等号成立，13由图可得k ＝－，33(k ＝33舍去)故直线l 的倾斜角为150°.14．设点A (－2,3)，B (3,2)，若直线ax ＋y ＋2＝0与线段AB 没有交点，则a 的取值范围是．答案　(－43，52)解析　直线ax ＋y ＋2＝0恒过点M (0，－2)，且斜率为－a ，∵k MA ＝＝－，k MB ＝＝，3－(－2)－2－0522－(－2)3－043结合题意可知－a >－，且－a <，∴a ∈.5243(－43，52)15．已知函数f (x )＝a sin x －b cos x (a ≠0，b ≠0)，若f＝f ，则直线ax －by ＋c ＝0(π3－x )(π3＋x )的倾斜角为．答案　2π3解析　由f ＝f 知函数f (x )的图象关于x ＝对称，(π3－x )(π3＋x )π3所以f (0)＝f，所以a ＝－b ，(2π3)3由直线ax －by ＋c ＝0知其斜率k ＝＝－，所以直线的倾斜角为.a b 32π316．已知动直线l 0：ax ＋by ＋c －3＝0(a >0，c >0)恒过点P (1，m )，且Q (4,0)到动直线l 0的最大距离为3，则＋的最小值为．12a 2c 答案　32解析　∵动直线l 0：ax ＋by ＋c －3＝0(a >0，c >0)恒过点P (1，m )，∴a ＋bm ＋c －3＝0.又Q (4,0)到动直线l 0的最大距离为3，∴＝3，解得m ＝0.∴a ＋c ＝3.(4－1)2＋m 2则＋＝(a ＋c )12a 2c 13(12a ＋2c)＝≥＝，13(52＋c 2a ＋2a c )13(52＋2 c 2a ·2a c)32当且仅当c ＝2a ＝2时取等号．。

第九章平面解析几何§9.1直线的方程考情考向分析以考查直线方程的求法为主，直线的斜率、倾斜角也是考查的重点．题型主要在解答题中与圆、圆锥曲线等知识交汇出现，有时也会在填空题中出现．1．直线的倾斜角(1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，把x 轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角，并规定：与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.(2)范围：直线l 倾斜角的范围是[0°，180°)．2．斜率公式(1)若直线l 的倾斜角α≠90°，则斜率k ＝tan α.(2)P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线l 上且x 1≠x 2，则l 的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1. 3．直线方程的五种形式概念方法微思考1．直线都有倾斜角，是不是都有斜率？倾斜角越大，斜率k 就越大吗？ 提示 倾斜角α∈[0，π)，当α＝π2时，斜率k 不存在；因为k ＝tan α⎝⎛⎭⎪⎫α≠π2.当α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，α越大，斜率k 就越大，同样α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π时也是如此，但当α∈(0，π)且α≠π2时就不是了．2．“截距”与“距离”有何区别？当截距相等时应注意什么？提示 “截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．应注意过原点的特殊情况是否满足题意．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．( √ ) (2)若直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.( × ) (3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．( × )(4)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示．( √ )题组二 教材改编2．[P80T6]若过点M (－2，m )，N (m ,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为． 答案 1解析 由题意得m －4－2－m＝1，解得m ＝1.3．[P88T13]过点P (2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为． 答案 3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0解析 当截距为0时，直线方程为3x －2y ＝0； 当截距不为0时，设直线方程为x a ＋y a＝1，则2a ＋3a＝1，解得a ＝5.所以直线方程为x ＋y －5＝0.题组三 易错自纠4．直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π 解析 由直线方程可得该直线的斜率为－1a 2＋1，又－1≤－1a 2＋1<0，所以倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. 5．(2018·江苏省南京市秦淮中学期末)已知倾斜角为90°的直线经过点A (2m ,3)，B (2，－1)，则m 的值为． 答案 1解析 ∵倾斜角为90°的直线经过点A (2m ,3)，B (2，－1)， ∴2m ＝2，解得m ＝1.6．过直线l ：y ＝x 上的点P (2,2)作直线m ，若直线l ，m 与x 轴围成的三角形的面积为2，则直线m 的方程为． 答案 x －2y ＋2＝0或x ＝2解析 ①若直线m 的斜率不存在，则直线m 的方程为x ＝2，直线m ，直线l 和x 轴围成的三角形的面积为2，符合题意；②若直线m 的斜率k ＝0，则直线m 与x 轴没有交点，不符合题意；③若直线m 的斜率k ≠0，设其方程为y －2＝k (x －2)，令y ＝0，得x ＝2－2k ，依题意有12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－2k ×2＝2，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1k ＝1，解得k ＝12，所以直线m 的方程为y －2＝12(x －2)，即x －2y ＋2＝0.综上可知，直线m 的方程为x －2y ＋2＝0或x ＝2.题型一 直线的倾斜角与斜率例1(1)直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34π，π解析 设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α，又sin α∈[－1,1]，θ∈[0，π)，所以0≤θ≤π4或3π4≤θ<π.(2)直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为．答案 (－∞，－3]∪[1，＋∞)解析 如图，∵k AP ＝1－02－1＝1，k BP ＝3－00－1＝－3，∴k ∈(－∞，－ 3 ]∪[1，＋∞)． 引申探究1．若将本例(2)中P (1,0)改为P (－1,0)，其他条件不变，求直线l 斜率的取值范围． 解 ∵P (－1,0)，A (2,1)，B (0，3)， ∴k AP ＝1－02－(－1)＝13，k BP ＝3－00－(－1)＝ 3.如图可知，直线l 斜率的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3.2．若将本例(2)中的B 点坐标改为(2，－1)，其他条件不变，求直线l 倾斜角的取值范围． 解 如图，直线PA 的倾斜角为45°，直线PB 的倾斜角为135°，由图象知l 的倾斜角的取值范围为[0°，45°]∪[135°，180°)． 思维升华 (1)倾斜角α与斜率k 的关系①当α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2时，k ∈[0，＋∞)．②当α＝π2时，斜率k 不存在．③当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，k ∈(－∞，0)． (2)斜率的两种求法①定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k ＝tan α求斜率． ②公式法：若已知直线上两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，一般根据斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)求斜率．(3)倾斜角α范围与直线斜率范围互求时，要充分利用y ＝tan α的单调性． 跟踪训练1(1)若平面内三点A (1，－a )，B (2，a 2)，C (3，a 3)共线，则a ＝. 答案 1±2或0解析 ∵平面内三点A (1，－a )，B (2，a 2)，C (3，a 3)共线，∴k AB ＝k AC ， 即a 2＋a 2－1＝a 3＋a3－1，即a (a 2－2a －1)＝0，解得a ＝0或a ＝1± 2.(2)若直线l 经过A (3,1)，B (2，－m 2)(m ∈R )两点，则直线l 的倾斜角α的取值范围是．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2 解析 直线l 的斜率k ＝1＋m 23－2＝1＋m 2≥1，所以k ＝tan α≥1.又y ＝tan α在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上是增函数，因此π4≤α<π2.题型二 求直线的方程例2求适合下列条件的直线方程：(1)经过点P (3,2)，且在两坐标轴上的截距相等； (2)过点A (－1，－3)，斜率是直线y ＝3x 的斜率的－14；(3)过点A (1，－1)与已知直线l 1：2x ＋y －6＝0相交于B 点且AB ＝5. 解 (1)方法一 设直线l 在x ，y 轴上的截距均为a ， 若a ＝0，即l 过点(0,0)和(3,2)， ∴l 的方程为y ＝23x ，即2x －3y ＝0.若a ≠0，则设l 的方程为x a ＋y a＝1， ∵l 过点(3,2)，∴3a ＋2a＝1，∴a ＝5，∴l 的方程为x ＋y －5＝0，综上可知，直线l 的方程为2x －3y ＝0或x ＋y －5＝0. 方法二 由题意，所求直线的斜率k 存在且k ≠0， 设直线方程为y －2＝k (x －3)，令y ＝0，得x ＝3－2k，令x ＝0，得y ＝2－3k ，由已知3－2k ＝2－3k ，解得k ＝－1或k ＝23，∴直线l 的方程为y －2＝－(x －3)或y －2＝23(x －3)，即x ＋y －5＝0或2x －3y ＝0. (2)设所求直线的斜率为k ，依题意k ＝－14×3＝－34.又直线经过点A (－1，－3)，因此所求直线方程为y ＋3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y ＋15＝0.(3)过点A (1，－1)与y 轴平行的直线为x ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，2x ＋y －6＝0，求得B 点坐标为(1,4)，此时AB ＝5，即x ＝1为所求． 设过A (1，－1)且与y 轴不平行的直线为y ＋1＝k (x －1)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6＝0，y ＋1＝k (x －1)，得两直线交点为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ＋7k ＋2，y ＝4k －2k ＋2.(k ≠－2，否则与已知直线平行)．则B 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋7k ＋2，4k －2k ＋2. 由已知⎝⎛⎭⎪⎫k ＋7k ＋2－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4k －2k ＋2＋12＝52，解得k ＝－34，∴y ＋1＝－34(x －1)，即3x ＋4y ＋1＝0.综上可知，所求直线的方程为x ＝1或3x ＋4y ＋1＝0.思维升华在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件．若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．跟踪训练2根据所给条件求直线的方程： (1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为1010； (2)经过点P (4,1)，且在两坐标轴上的截距相等； (3)直线过点(5,10)，到原点的距离为5.解 (1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式． 设倾斜角为α，则sin α＝1010(0≤α<π)，从而cos α＝±31010，则k ＝tan α＝±13.故所求直线方程为y ＝±13(x ＋4)．即x ＋3y ＋4＝0或x －3y ＋4＝0. (2)设直线l 在x ，y 轴上的截距均为a . 若a ＝0，即l 过(0,0)及(4,1)两点， ∴l 的方程为y ＝14x ，即x －4y ＝0.若a ≠0，则设l 的方程为x a ＋y a＝1， ∵l 过点(4,1)，∴4a ＋1a＝1，∴a ＝5，∴l 的方程为x ＋y －5＝0.综上可知，直线l 的方程为x －4y ＝0或x ＋y －5＝0. (3)当斜率不存在时，所求直线方程为x －5＝0； 当斜率存在时，设其为k ，则所求直线方程为y －10＝k (x －5)， 即kx －y ＋(10－5k )＝0. 由点到直线的距离公式，得|10－5k |k 2＋1＝5，解得k ＝34.故所求直线方程为3x －4y ＋25＝0.综上可知，所求直线方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0.题型三 直线方程的综合应用命题点1 与基本不等式相结合求最值问题例3已知直线l 过点M (2,1)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，求当|MA →|·|MB →|取得最小值时直线l 的方程． 解 设A (a ,0)，B (0，b )，则a >0，b >0，直线l 的方程为x a ＋y b＝1，所以2a ＋1b＝1.|MA →|·|MB →|＝－MA →·MB →＝－(a －2，－1)·(－2，b －1) ＝2(a －2)＋b －1＝2a ＋b －5＝(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b －5＝2b a ＋2a b≥4，当且仅当a ＝b ＝3时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0. 命题点2 由直线方程解决参数问题例4已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，当0<a <2时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数a 的值． 解 由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2,2)，直线l 1在y 轴上的截距为2－a ，直线l 2在x 轴上的截距为a 2＋2，所以四边形的面积S ＝12×2×(2－a )＋12×2×(a 2＋2)＝a 2－a ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋154，当a ＝12时，四边形的面积最小．思维升华与直线方程有关问题的常见类型及解题策略(1)求解与直线方程有关的最值问题．先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．(2)求直线方程．弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程． (3)求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解．跟踪训练3过点P (4,1)作直线l 分别交x 轴，y 轴正半轴于A ，B 两点，O 为坐标原点． (1)当△AOB 面积最小时，求直线l 的方程； (2)当OA ＋OB 取最小值时，求直线l 的方程． 解 设直线l ：x a ＋y b＝1(a >0，b >0)， 因为直线l 经过点P (4,1)，所以4a ＋1b＝1.(1)4a ＋1b＝1≥24a ·1b＝4ab，所以ab ≥16，当且仅当a ＝8，b ＝2时等号成立， 所以当a ＝8，b ＝2时，△AOB 的面积最小， 此时直线l 的方程为x 8＋y2＝1，即x ＋4y －8＝0. (2)因为4a ＋1b＝1，a >0，b >0，所以OA ＋OB ＝a ＋b ＝(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋1b ＝5＋a b ＋4b a≥5＋2a b ·4ba＝9， 当且仅当a ＝6，b ＝3时等号成立，所以当OA ＋OB 取最小值时，直线l 的方程为x 6＋y3＝1，即x ＋2y －6＝0.1．直线3x －y ＋a ＝0(a 为常数)的倾斜角为． 答案 60°解析 设直线的倾斜角为α，斜率为k ， 化直线方程为y ＝3x ＋a ，∴k ＝tan α＝ 3. ∵0°≤α<180°，∴α＝60°.2．过点(2,1)且倾斜角比直线y ＝－x －1的倾斜角小π4的直线方程是．答案 x ＝2解析 ∵直线y ＝－x －1的斜率为－1，则倾斜角为3π4，依题意，所求直线的倾斜角为3π4－π4＝π2，∴斜率不存在，∴过点(2,1)的直线方程为x ＝2.3．直线MN 的斜率为2，其中点N (1，－1)，点M 在直线y ＝x ＋1上，则点M 的坐标为． 答案 M (4,5)解析 设M 的坐标为(a ，b )，若点M 在直线y ＝x ＋1上， 则有b ＝a ＋1.① 若直线MN 的斜率为2，则有b ＋1a －1＝2.②联立①②可得a ＝4，b ＝5， 即M 的坐标为(4,5)．4.如图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则k 1，k 2，k 3的大小关系为．答案 k 1<k 3<k 2解析 直线l 1的倾斜角α1是钝角，故k 1<0，直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角且α2>α3，所以0<k 3<k 2，因此k 1<k 3<k 2.5．(2018·江苏江阴中学检测)直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是．答案 (－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞解析 设直线的斜率为k ，如图，过定点A 的直线经过点B 时，直线l 在x 轴上的截距为3，此时k ＝－1；过定点A 的直线经过点C 时，直线l 在x 轴上的截距为－3，此时k ＝12，所以满足条件的直线l 的斜率的取值范围是(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. 6．一条直线经过点A (2，－3)，并且它的倾斜角等于直线y ＝13x 的倾斜角的2倍，则这条直线的一般式方程是． 答案3x －y －33＝0解析 因为直线y ＝13x 的倾斜角为π6，所以所求直线的倾斜角为π3，即斜率k ＝tan π3＝ 3.又该直线过点A (2，－3)，故所求直线为y －(－3)＝3(x －2)， 即3x －y －33＝0.7．不论实数m 为何值，直线mx －y ＋2m ＋1＝0恒过定点． 答案 (－2,1)解析 直线mx －y ＋2m ＋1＝0可化为m (x ＋2)＋(－y ＋1)＝0，∵m ∈R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，－y ＋1＝0，∴x ＝－2，y ＝1，∴直线mx －y ＋2m ＋1＝0恒过定点(－2,1)．8．已知三角形的三个顶点A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)，则BC 边上中线所在的直线方程为．答案 x ＋13y ＋5＝0解析 BC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，∴BC 边上中线所在的直线方程为y －0－12－0＝x ＋532＋5，即x ＋13y ＋5＝0.9．经过点A (4,2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的3倍的直线l 的方程的一般式为．答案 x ＋3y －10＝0或x －2y ＝0解析 当截距为0时，设直线方程为y ＝kx ，则4k ＝2， ∴k ＝12，∴直线方程为x －2y ＝0.当截距不为0时，设直线方程为x 3a ＋ya ＝1，由题意得，43a ＋2a ＝1，∴a ＝103.∴x ＋3y －10＝0.综上，直线l 的一般式方程为x ＋3y －10＝0或x －2y ＝0. 10．过点A (3，－1)且在两坐标轴上截距相等的直线有条． 答案 2解析 ①当所求的直线与两坐标轴的截距都不为0时， 设该直线的方程为x ＋y ＝a ， 把(3，－1)代入所设的方程得a ＝2，则所求直线的方程为x ＋y ＝2，即x ＋y －2＝0. ②当所求的直线与两坐标轴的截距为0时， 设该直线的方程为y ＝kx ，把(3，－1)代入所设的方程得k ＝－13，则所求直线的方程为y ＝－13x ，即x ＋3y ＝0.综上，所求直线的方程为x ＋y －2＝0或x ＋3y ＝0.11.如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1,0)作直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的方程．解 由题意可得k OA ＝tan45°＝1，k OB ＝tan(180°－30°)＝－33， 所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x . 设A (m ，m )，B (－3n ，n )， 所以AB 的中点C ⎝⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2，由点C 在直线y ＝12x 上，且A ，P ，B 三点共线得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n 2＝12·m －3n 2，(m －0)·(－3n －1)＝(n －0)·(m －1)，解得m ＝3，所以A (3，3)． 又P (1,0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32， 所以l AB ：y ＝3＋32(x －1)，即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0. 12．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程．(1)证明 直线l 的方程可化为y ＝k (x ＋2)＋1， 故无论k 取何值，直线l 总过定点(－2,1)． (2)解 直线l 的方程可化为y ＝kx ＋2k ＋1， 则直线l 在y 轴上的截距为2k ＋1，要使直线l 不经过第四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧k ≥0，1＋2k ≥0，故k 的取值范围是k ≥0.(3)解 依题意，直线l 在x 轴上的截距为－1＋2kk，在y 轴上的截距为1＋2k ，且k >0， 所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋2k k ，0，B (0,1＋2k )， 故S ＝12OA ·OB ＝12×1＋2k k ×(1＋2k )＝12⎝⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4≥12×(4＋4)＝4，当且仅当4k ＝1k ，即k ＝12时取等号，故S 的最小值为4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.13．已知过定点P (2,0)的直线l 与曲线y ＝2－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取到最大值时，直线l 的倾斜角为． 答案 150°解析 由y ＝2－x 2，得x 2＋y 2＝2(y ≥0)，它表示以原点O 为圆心，以2为半径的圆的一部分，其图象如图所示．显然直线l 的斜率存在，设过点P (2,0)的直线l 为y ＝k (x －2)， 则圆心到此直线的距离d ＝|－2k |1＋k2， 弦长AB ＝22－⎝ ⎛⎭⎪⎫|－2k |1＋k 22＝22－2k21＋k2， 所以S △AOB ＝12×|－2k |1＋k2×22－2k 21＋k 2≤(2k )2＋2－2k22(1＋k 2)＝1， 当且仅当(2k )2＝2－2k 2，即k 2＝13时等号成立，由图可得k ＝－33⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＝33舍去， 故直线l 的倾斜角为150°.14．设点A (－2,3)，B (3,2)，若直线ax ＋y ＋2＝0与线段AB 没有交点，则a 的取值范围是．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，52解析 直线ax ＋y ＋2＝0恒过点M (0，－2)，且斜率为－a ， ∵k MA ＝3－(－2)－2－0＝－52，k MB ＝2－(－2)3－0＝43，结合题意可知－a >－52，且－a <43，∴a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，52.2115．已知函数f (x )＝a sin x －b cos x (a ≠0，b ≠0)，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x ，则直线ax －by ＋c ＝0的倾斜角为．答案 2π3解析 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x 知函数f (x )的图象关于x ＝π3对称， 所以f (0)＝f ⎝⎛⎭⎪⎫2π3，所以a ＝－3b ， 由直线ax －by ＋c ＝0知其斜率k ＝a b ＝－3，所以直线的倾斜角为2π3. 16．已知动直线l 0：ax ＋by ＋c －3＝0(a >0，c >0)恒过点P (1，m )，且Q (4,0)到动直线l 0的最大距离为3，则12a ＋2c的最小值为． 答案 32解析 ∵动直线l 0：ax ＋by ＋c －3＝0(a >0，c >0)恒过点P (1，m )，∴a ＋bm ＋c －3＝0. 又Q (4,0)到动直线l 0的最大距离为3， ∴(4－1)2＋m 2＝3，解得m ＝0.∴a ＋c ＝3.则12a ＋2c ＝13(a ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋2c ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋c 2a ＋2a c ≥13⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋2 c 2a ·2a c ＝32， 当且仅当c ＝2a ＝2时取等号．。

2019年高中数学单元测试卷平面解析几何初步学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．圆222460x y x y ++--=的圆心和半径分别是（ ）Ａ、(1,-Ｂ、 Ｃ、(1,2),-- Ｄ、(1,-二、填空题2．圆心是(2,3)-，且经过原点的圆的标准方程为 ．3．以两点A(-3,-1)和B(5,5)为直径端点的圆的方程是_________________.4．若直线l 的斜率小于0，则直线l 的倾斜角α的取值范围为___________5．若过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线与直线210x y +-=平行，则m =____6．已知两圆01422:,10:222221=-+++=+y x y x C y x C .求经过两圆交点的公共弦所在的直 线方程_______ ____．7．过点M （0，4）、被圆4)1(22=+-y x 截得的线段长为32的直线方程为．8．若圆224x y +=和圆224440x y x y ++-+=关于直线l 对称，则直线l 的方程为_______9．设圆上的点(2,3)A 关于直线20x y +=的对称点仍在这个圆上，且直线10x y -+=截圆的弦长为10．过点（1，0）且倾斜角是直线013=--y x 的倾斜角的两倍的直线方程是 ▲ ．11．平面上三条直线210,10,0x y x x ky -+=-=+=，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数k 的取值集合为 ．{}0,1,2--12．过定点(1,2)一定可作两条直线与圆2222150x y kx y k ++++-=相切，则k 的取值范围是__________．13．若直线y =x +m 与曲线x m 的取值范围是 ▲ ．14．直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是____ __．15．若直线的倾斜角的余弦值为45，则与此直线垂直的直线的斜率为____ __． 16．直线250x y -+=与直线260x my +-=平行互相平行，则实数m = ．17．已知点(0,2)A 和圆2236:(6)(4)5C x y -+-=，一条光线从A 点出发，射到x 轴后沿圆的切线方向反射，则这条光线从A 点到切点所经过的路程18．与直线210x y --=相切于点(5,2)，且圆心在直线90x y --=上的圆的方程为 ．19．已知△ABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，向量),(b a =，)2,2(--=a b p ，若p m ⊥，边长c =2，角C =3π，则△ABC20．直线x ＝1的倾斜角为________．三、解答题21．已知⊙O ：221x y +=和定点(2,1)A ，由⊙O 外一点(,)P a b 向⊙O 引切线PQ ，切点为Q ，且满足PA PQ =．(1) 求实数a b 、间满足的等量关系；(2) 求线段PQ 长的最小值；(3) 若以P 为圆心所作的⊙P 与⊙O 有公共点，试求半径取最小值时的⊙P 方程．22．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0.(1)若圆C 的切线在x 轴和y 轴上的截距相等，求此切线的方程；(2)从圆C 外一点P (x 1，y 1)向该圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有PM ＝PO ，求使得PM 取得最小值时点P 的坐标．23．如图，已知圆O 的直径AB=4，定直线L 到圆心的距离为4，且直线L ⊥直线AB 。

练直线与圆、圆与圆的位置关系练习理训练目标（1）会求圆的方程；（2）会判断直线与圆的位豊关系：（3）会判断两圆的位宜关系：（4）能应用直线与圆、圆与圆的位置关系解决相关问题.训练题型（1）求圆的方程：（2）判断宜线与圆、圆与圆的位置关系；（3）直线与圆的位置关系的应用.解题策略（1）代数法：联立直线与圆，圆与圆的方程，解方程组；（2）几何法：圆心到直线的距离与半径比较，两圆圆心距与半径之和、半径之差比较.有的点均在第四象限内，则实数a的取值范围为_________________ •2.（2016 •盐城质检）已知圆0：++产=4,若不过原点0的直线2与圆0交于只0两点，且满足直线0只PQ、00的斜率依次成等比数列，则直线2的斜率为__________ •3.（2016 •淮安模拟）已知两定点月（一2,0）, 5（1,0）,如果动点尸满足用=2丹，则点尸的轨迹所包围的图形的面积为_________ .4.（2016 •惠州三调）已知圆Q .Y2+y5=4上到直线1： x^y=a的距离等于1的点至少有2个，则a的取值范围为___________________ •5.（2016 •苏北四市第一次联考）直线ax+y+l = 0被圆/+/-2a.Y+a=0截得的弦长为2,则实数a的值是________ .6.圆扌+尹一4x+6y= 0和圆Y+y3-6y= 0交于月，万两点，则曲的垂直平分线的方程是7.（2016 •烟台一模）已知直线7： .Y—y+4=0与圆G （A—l）s+ （y—1）5=2,圆C上各•点到直线』的距离的最小值为⑦最大值为b则a+b= _____________________ .8.（2016・南通调研）在平而直角坐标系中，过点尸（一2, 0）的直线与圆相切于点T，与圆&一护+（7-£）'=3相交于点兄S,且PT=RS,则正数a的值为 __________________ •9.（2016 •镇江模拟）过点尸（一4,0）的直线』与圆G C Y-1）：+/=5相交于川，万两点，若点月恰好是线段丹的中点，则直线』的方程为___________________ •10.（2016 •揭阳一模）已知直线x+y-R=0（R>0）与圆.Y=+/=4交于不同的两点儿B, 0为坐标原点，且OA^OB\ ^\AB\.则R的取值范用是_______________________ .11・以圆G：左+#—12y—2y-13 = 0和圆・£+^+12%+16卩一25=0公共弦为直径的圆的方程为 __________________________ .12・（2016 •济南模拟）已知尸是直线3x+4y-10=0上的动点，PA.丹是圆F+#—2%+4y（江苏专用）2018版高考数学专题复习专9平面解析几何第59+4=0的两条切线，A,万是切点，Q是圆心，那么四边形用彷而积的最小值为_____________ ・13.（2016 •甘肃天水一中一模）在平而直角坐标系中，点J（0, 3）,直线厶y=2x—4,设圆Q的半径为1，圆心在1上，若圆C上存在点M,使购=2.豹，则圆心C的横坐标a的取值范围为______________ .14.（2016 •盐城模拟）已知尸（2,0）为圆C：空+/—2-丫+2砂+诊一7=0（皿＞0）内一点，过点F的直线曲交圆Q于心万两点，若△磁而积的最大值为4.则正实数加的取值范用为答案精析1.(—8, —2)2.±1解析设尸(爼，yj, Qg, y:),由题意可设直线』的方程为y=kx-it(t^0且堆±1),与亠 . -. . 2kt f—4圆0： x +y =4联立，整理得(l + A-)y+2ktx+广一4 = 0,所以山+上=—] + &“弘上=匸匚戶而直线“ PQ、%的斜率依次成等比数列，所以△•兰=戶，即(血+» (辰+上)=心旳整理得&十(拒+员)+尸=0,所以&•(一予)+ r=0,整理得尸=1,解得^=±1.3.4n 4・(一3卩3^2)5.-2解析由题意得圆的标准方程为&一&尸+/=£—心所以圆的圆心为(a,0),半径为百二L-I ]圆心(弘0)到直线曲+卄1=0的距离为壬=6.3x+y—3=0解析由平而几何知识知，月万的垂直平分线就是连心线.由于两圆的圆心分别为(2, — 3) 和(0, 3).连心线的斜率为吕=一3,直线方程为卩一3= — 3扛整理得3x+y—3=0.7.诽解析由圆的标准方程得圆心Q的坐标为(1,1),半径r=^2＞则圆心(1,1)到直线』的距离a=d-r=2yj2-yl2=y[2.最大值b= d+r=2乜 + 电=3卩故a+b=4住・8. 4解析设过点H — 2, 0)且与圆A-+/=1相切的直线方程为y=k{x+2),利用切线性质可得切线方程为y=±芈(x+2),画图可得满足题设的切线斜率为正，即满足题设的切线方程为尸乎&+2),即x—{5y+2=O.又易求刃=书,所以RS=©从而圆心(a,⑴)到直线的距离为售所以? 老=倉故ia—l=3,解得a=4或&=一2,又Q0,所以a=4・9. x±3y+4 = 0解析设曲的中点为点0,则CD LAB,设CD=d. AD=x,则丹=初=2”在直角三角形M2?中，由勾股泄理得</+Y=?=5.在直角三角形磁中，由勾股定理得</+9空="=25, 解得易知直线2的斜率一定存在，设为厶则厶 尸心+4),圆心c(l, 0)到直线』为-r±3y+4 = 0.k解析由已知得圆心到直线的距离小于半径，即苗V 5故0<k<2嗣•①得 0M ,即 ZMB0N*,综合①②得， 11 ・ Y + y ~4-Y+4y —17 = 0解析 方法一 将两圆方程相减得公共弦所在直线方程为4<+3厂2=0.phr+3y — 2=0, rfa 4 k ：+/-12Ar-2y-13 = 0,•••所求圆以M 为直径， ・•.所求圆的圆心是曲的中点“(2, -2),圆的半径为r=^AB=3,・•・圆的方程为(x-2)=+ (y+2)==25.方法二求得公共弦所在直线方程为4x+3y-2=0.设所求圆 x y~ 12x —2y — 13+ 久 3 + 丿+12%+16y —25） =0（久 H — 1）,则圆心为 '12 4-12 16/1-2 '"2 1+ A 9 ~2 1+ A ・ •••圆心在公共弦所在直线上,■ 「 12 人一12 ] 「 16 久一2 •'•I X L 一2 1+ 人 + [ 一2 1+ 久 故所求圆的方程为殳4-y 2—4x+4y —17 = 0.12. 2^/2解析 圆的标准方程为（JV-1）5+ （y+2）==l,其圆心Q （l, — 2）,半径为1,且直线与圆相离，如图所示,的距离为d=ok VTo ,解得A==|, k= 土扌，所以直线/的方程为卩=±扌&+4),即如图，作平行四边形创仿，连结兀交M 于胚解得两交点坐标J (-l,2), 5(5, -6).一2=0,解得久=*. AB ,b 心乜•②因为0B=2、所以O&1,四边形用少的而枳等于2Sg =^PA=^PC-1, 又曲」-：-10|=3所以（Sb 心 am = ^\/9— 1 = ,故四边形用少而枳的最小值为2y[2.13.[0, y]解析设点"（X, y）,由MA=2M0.知心+ y-3 =2心+”・化简得空+（卩+1尸=4, •••点”的轨迹为以0（0, —1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆ZZ 又丁点“在圆C上，•••圆Q与圆。

第75练 直线与圆锥曲线小题综合练[基础保分练]1.直线y ＝kx －k ＋1与椭圆＋＝1的位置关系为________.x 29y 242.过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作直线l 与该抛物线交于两点，过其中一交点A 向准线作垂线，垂足为A ′，若△AA ′F 是面积为4的等边三角形，则p ＝________.33.抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线C 上一点，且P 在第一象限，PM ⊥l于点M ，线段MF 与抛物线C 交于点N ，若PF 的斜率为，则＝________.34MNNF 4.已知直线y ＝kx －1和双曲线x 2－y 2＝1的左、右两支各交于一点，则k 的取值范围是________.5.已知直线l 1：2x －y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，F 是抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，点P 在抛物线C 上运动，当点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和最小时，直线PF 被抛物线所截得的线段长是________.6.(2018·南京模拟)已知直线y ＝k (x ＋2)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为抛物线C 的焦点，若||＝2||，则实数k ＝________.FA → FB → 7.直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k 的值为________.8.双曲线C ：－＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，直线l 过焦点F ，且斜率为k ，则直线l x 2a 2y 2b 2与双曲线C 的左、右两支都相交的充要条件是________.9.如图，设椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过焦点F 1的直线交椭圆于A (x 1，y 1)，x 29y 25B (x 2，y 2)两点，若△ABF 2的内切圆的面积为π，则|y 1－y 2|＝________.10.已知椭圆＋＝1(a >b >0)的右焦点为F (1,0)，设A ，B 为椭圆上关于原点对称的两点，x 2a 2y 2b 2AF 的中点为M ，BF 的中点为N ，原点O 在以线段MN 为直径的圆上，若直线AB 的斜率k 满足0<k ≤，则椭圆离心率e 的取值范围为________.33[能力提升练]1.若双曲线－＝1(a >0，b >0)与直线y ＝x 无交点，则离心率e 的取值范围是x 2a 2y 2b 23________.2.已知椭圆＋＝1(a >b >0)的左焦点F (－c,0)，关于直线bx ＋cy ＝0的对称点M 在椭圆x 2a 2y 2b 2上，则椭圆的离心率是________.3.已知双曲线E ：－＝1，直线l 交双曲线于A ，B 两点，若线段AB 的中点坐标为x 24y 22，则直线l 的方程为________.(12，－1)4.(2019·江苏九校联考)已知抛物线y 2＝4x 的焦点F ，过点为F 作直线l 交抛物线于A ，B两点，则＋＝________.－BF 2的最大值为________.1AF 1BF 16AF 5.已知椭圆＋y 2＝1上存在关于直线y ＝x ＋m 对称的相异两点，则实数m 的取值范围是x 24________.6.已知椭圆C ：x 2＋＝1，过点P 作两条斜率互为相反数且不平行于坐标轴的直y 24(－32，1)线，分别与椭圆C 相交于异于P 的不同两点A ，B .则直线AB 的斜率为________.答案精析基础保分练1.相交解析　直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1恒过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交.2.2解析　△AA ′F 是面积为4的等边三角形，即A ′F ＝4，3∠A ′FO ＝60°，cos∠A ′FO ＝，pA ′F 即p ＝2.3.10解析　如图，过N 作l 的垂线，垂足为Q ，则NF ＝NQ ，设＝λ，MN NF 则＝λ，MN NQ ∴cos∠MNQ＝，1λcos∠MFO ＝.1λ∵PM ＝PF ，∴∠PMF ＝∠PFM ，∴∠PFM ＝∠MFO ，∴cos∠PFx ＝－cos2∠MFO＝1－2cos 2∠MFO ＝1－.2λ2∵tan∠PFx ＝，34∴cos∠PFx ＝，45∴1－＝，2λ245解得λ2＝10.即λ＝.104.(－1,1)解析　设两个交点坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立直线与双曲线Error!化简得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0(1－k 2≠0)，因为直线y ＝kx －1和双曲线x 2－y 2＝1的左、右两支各交于一点，所以两个交点的横坐标符号相反，即x 1·x 2＝<0，－21－k 2解不等式可得－1<k <1，所以k 的取值范围是(－1,1).5.20解析　直线l 2为抛物线y 2＝4x 的准线，由抛物线的定义知，P 到l 2的距离等于P 到抛物线的焦点F (1,0)的距离.点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和最小即转化为点P 到点F (1,0)和直线l 1的距离之和最小，当点P 到点F (1,0)和直线l 1的距离之和最小时，直线PF ⊥l 1，从而直线PF 的方程为y ＝－ (x －1)，代入C 的方程得x 2－18x ＋1＝0，所以x 1＋x 2＝18，从12而所求线段长为x 1＋x 2＋p ＝18＋2＝20.6.±223解析　设P (－2,0)，x ＝－2为抛物线的准线方程，过点A ，B 分别作准线的垂线，垂足为M ，N (图略)，则BN ＝FB ，AM ＝FA ，所以BN ∶AM ＝1∶2，所以BP ＝BA .设B (a ，b )，则A (2＋2a,2b )，故Error!解得Error!故k ＝±.2237.1或0解析　若k ＝0，则y ＝2，满足题意；若k ≠0，由Error!得k 2x 2＋(4k －8)x ＋4＝0，则Δ＝0，即64－64k ＝0，解得k ＝1.因此k ＝0或1.8.－<k <b a ba 解析　由双曲线渐近线的几何意义知－<k <.b a ba 9.3解析　∵椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，a ＝3，b ＝，c ＝2，x 29y 255过焦点F 1的直线交椭圆于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，△ABF 2内切圆的面积为π，△ABF 2内切圆半径r ＝1，△ABF 2面积S ＝×1×(AB ＋AF 2＋BF 2)＝2a ＝6，12∴△ABF 2面积S ＝|y 1－y 2|×2c12＝|y 1－y 2|×2×2＝6，12则|y 1－y 2|＝3，故答案为3.10.[63，1)解析　设A (x ，y )，则B (－x ，－y )，易知x ≠0，M ，(1＋x 2，y 2)N ，(1－x 2，－y 2)由题意得·＝0，OM → ON → 即×＋×＝0，1＋x 21－x 2y 2(－y 2)即x 2＋y 2＝1.又＋＝1，所以＋＝x 2＋y 2，x 2a 2y 2b 2x 2a 2y 2b 2即＝＝.y 2x 2 a 2－1 b 2 1－b 2 a 2 a 2－1 22－a 2 a 2因为直线AB 的斜率k 满足0<k ≤，33所以0<≤，y 2x 213即0<≤，又a 2>1， a 2－1 2 2－a 2 a 213所以1<a 2≤，所以e ＝＝≥，32c a 1a 63因此e 的取值范围为.[63，1)能力提升练1.(1,2]解析　双曲线的渐近线的方程为y ＝±x ，因为直线y ＝x 与双曲线无交点，所以有ba 3≤，即b ≤a ，所以b 2≤3a 2，即c 2－a 2≤3a 2，即c 2≤4a 2，ba 33所以e 2≤4，所以1<e ≤2.2.22解析　设M (m ，n )，则Error!⇒Error!代入椭圆方程整理得(2e 2－1)2·e 2＋4e 4＝1，令e 2＝t (0<t <1)，得4t 3＋t －1＝0⇒(4t 2＋2t ＋2)＝0⇒t ＝，(t －12)12则e ＝.223.2x ＋8y ＋7＝0解析　依题意，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有Error!两式相减得x 21－x 24＝，y 21－y 22即＝×.y 1－y 2x 1－x 212x 1＋x 2y 1＋y 2又线段AB 的中点坐标是，(12，－1)因此x 1＋x 2＝2×＝1，y 1＋y 2＝(－1)×2＝－2，12＝－，＝－，x 1＋x 2y 1＋y 212y 1－y 2x 1－x 214即直线AB 的斜率为－，14直线l 的方程为y ＋1＝－，14(x －12)即2x ＋8y ＋7＝0.4.1　4解析　由题意知，抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为(1,0)，设为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB ：x ＝my ＋1，联立直线与抛物线方程，可得y 2－4my －4＝0，y 1,2＝，4m ±16m 2＋162x 1＋x 2＝my 1＋1＋my 2＋1＝m (y 1＋y 2)＋2＝4m 2＋2，x 1x 2＝＝1，y 1y 24由抛物线的性质可得AF ＝x 1＋1，BF ＝x 2＋1，故＋＝＋1AF 1BF 1x 1＋11x 2＋1＝＝＝1，(*)x 1＋x 2＋2 x 1＋1 x 2＋1 x 1＋x 2＋2x 1x 2＋x 1＋x 2＋1由(*)可得＝1－，1AF 1BF 故－BF 2＝16－－BF 216AF 16BF ＝16－(8BF＋8BF ＋BF 2)≤16－＝4，38BF ·8BF·BF 2当且仅当＝BF 2，即BF ＝2时取等号，8BF 故－BF 2的最大值为4.16AF 5.(－355，355)解析　设椭圆＋y 2＝1上存在关于直线y ＝x ＋m 对称的两点为A (x 1，y 1)，x 24B (x 2，y 2)，根据对称性可知线段AB 被直线y ＝x ＋m 垂直平分，且AB 的中点M (x 0，y 0)在直线y ＝x ＋m 上，且k AB ＝－1，故可设直线AB 的方程为y ＝－x ＋b .联立方程Error!整理可得5x 2－8bx ＋4b 2－4＝0，由Δ＝64b 2－80(b 2－1)>0，可得－<b <，55x 1,2＝，8b ±64b 2－20 4b 2－410∴x 1＋x 2＝，y 1＋y 2＝2b －(x 1＋x 2)＝，8b 52b 5∴x 0＝＝，y 0＝＝，x 1＋x 224b 5y 1＋y 22b 5∵AB 的中点M 在直线y ＝x ＋m 上，(4b 5，b 5)∴＝＋m ，m ＝－，b 54b 53b 5∴－<m <，355355故答案为.(－355，355) 6.－23解析　设直线PA 的斜率为k ，则直线PB 的斜率为－k .所以直线PA 的方程为y －1＝k.(x ＋32)设点A (x A ，y A )，由Error!得(4＋k 2)x 2＋(2k ＋k 2)x ＋k 2＋k －3＝0，3343由题意，该方程有两不等实根，x A ，P ＝，－ 2k ＋3k 2 ± 2k ＋3k 2 2－ 4＋k 2 3k 2＋43k －122 k 2＋4 所以x A ＋x P ＝－，2k ＋3k 24＋k 2所以x A ＝－－x P ＝－＋2k ＋3k 24＋k 22k ＋3k 24＋k 232＝，－3k 2－4k ＋438＋2k 2y A ＝k ＋1＝，(xA ＋32)－k 2＋43k ＋44＋k 2所以点A .(－3k 2－4k ＋438＋2k 2，－k 2＋43k ＋44＋k 2)同理点B .(－3k 2＋4k ＋438＋2k 2，－k 2－43k ＋44＋k 2)所以，直线AB 的斜率为＝－2.－k2＋43k＋44＋k2－－k2－43k＋44＋k2－3k 2－4k ＋438＋2k 2－－3k 2＋4k ＋438＋2k 23。

第71练 直线与圆的位置关系[基础保分练]1．圆x 2＋y 2＋4y ＋3＝0与直线kx －y －1＝0的位置关系是____________．2．若直线3x ＋4y ＝b 与圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0相切，则b 的值是________．3．(2019·连云港调研)已知直线过点P，且被圆x 2＋y 2＝25截得的弦长是8，则(－3，－32)该直线的方程为________________．4．过圆x 2＋y 2＝4外一点P (4,2)作圆的两条切线，切点为A ，B ，则△ABP 的外接圆方程是________________．5．在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E (0，1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为________．6．过点M (1,2)的直线l 与圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝25交于A ，B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最小时，直线l 的方程是____________．7．过点(－2,3)的直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0相交于A ，B 两点，则AB 取得最小值时l 的方程为__________．8．已知直线3x ＋4y －15＝0与圆O ：x 2＋y 2＝25交于A ，B 两点，点C 在圆O 上，且S △ABC ＝8，则满足条件的点C 的个数为________．9．(2018·镇江模拟)若直线y ＝kx －1与圆x 2＋y 2＝1相交于P ，Q 两点，且∠POQ ＝120°(其中O 为原点)，则k 的值为________．10．圆心在曲线y ＝(x >0)上，且与直线2x ＋y ＋1＝0相切的面积最小的圆的方程为2x __________________．[能力提升练]1．(2019·南京市六校联合体联考)已知圆C ：x 2＋(y －2)2＝2，直线l ：kx －y －2＝0与y 轴交于点A ，过l 上一点P 作圆C 的切线，切点为T ，若PA ＝PT ，则实数k 的取值范围是2____________．2．(2019·连云港期中)已知双曲线x 2－y 2＝1的一条渐近线被圆C ：(x －2)2＋y 2＝r 2(r >0)截得的线段长为2，则圆C 的半径r ＝________.23．在平面直角坐标系xOy 中，若直线y ＝x ＋m 上存在一点A ，圆C ：x 2＋(y －2)2＝4上存12在一点B ，满足＝4，则实数m 的取值范围为____________．OA → OB →4．(2019·徐州质检)过点P (2,0)的直线l 与圆C ：x 2＋(y －b )2＝b 2交于两点A ，B ，若A 是PB 的中点，则实数b 的取值范围是____________．5．(2018·苏锡常镇调研)已知直线l ：x －y ＋2＝0与x 轴交于点A ，点P 在直线l 上，圆C ：(x －2)2＋y 2＝2上有且仅有一个点B 满足AB ⊥BP ，则点P 的横坐标的取值集合为__________．6．(2018·南通模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：3x －4y ＋5＝0与圆C ：x 2＋y 2－10x ＝0交于A ，B 两点，P 为x 轴上一动点，则△ABP 周长的最小值为________．答案精析基础保分练1．相交或相切　2.2或123．x ＝－3或3x ＋4y ＋15＝04．(x －2)2＋(y －1)2＝5　5.1026．x ＋y －3＝0解析　设圆心C 到直线l 的距离为d ，则有cos ＝，要使∠ACB 最小，则d 要取到最∠ACB 2d 5大值．此时直线l 与直线CM 垂直．而k CM ＝＝1，4－23－1故直线l 的方程为y －2＝－1×(x －1)，即x ＋y －3＝0.7．x －y ＋5＝0解析　由题意得圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，则圆心为(－1,2)．过圆心与点(－2,3)的直线l 1的斜率为k ＝＝－1.当直线l 与l 1垂直时，AB 取得最小值，3－2－2－ －1 故直线l 的斜率为1，所以直线l 的方程为y －3＝x －(－2)，即x －y ＋5＝0.8．3解析　圆心O 到已知直线的距离为d ＝＝3，因此AB ＝2＝8，设点C 到直线|－15|32＋4252－32AB 的距离为h ，则S △ABC ＝×8×h ＝8，h ＝2，由于d ＋h ＝3＋2＝5＝r (圆的半径)，因此与12直线AB 距离为2的两条直线中的一条与圆相切，一条与圆相交，故符合条件的点C 有3个．9．±3解析　∵∠POQ ＝120°，∴圆心O (0,0)到直线的距离为＝，r 212∴d ＝＝，|－1|k 2＋112即k 2＋1＝4，∴k ＝±.310．(x －1)2＋(y －2)2＝5解析　由圆心在曲线y ＝(x >0)上，2x 设圆心坐标为(a >0)，(a ，2a )又圆与直线2x ＋y ＋1＝0相切，所以圆心到直线的距离d 等于圆的半径r ，由a >0得d ＝≥＝，当且仅当2a ＝，即a ＝1时取等号，2a ＋2a ＋154＋1552a 所以此时圆心坐标为(1,2)，圆的半径为.5则所求圆的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5.能力提升练1.∪2.2(－∞，－73][73，＋∞)3．[8－4，8＋4]554.∪(－∞，－22][22，＋∞)5.{13，5}6．14解析　设直线l 与圆C 的一个交点B (5，5)关于x 轴的对称点为B ′，易知BB ′恰为圆C 的直径，记AB ′与x 轴交于点Q ，则PA ＋PB ＝PA ＋PB ′≥AB ′，所以△ABP 的周长的最小值为AB ＋AB ′，又由点到直线的距离公式可得，圆心到直线3x －4y ＋5＝0的距离为d ＝＝4，|3×5＋5|32＋ －4 2所以由圆的弦长公式可得，AB ＝2R 2－d 2＝2＝6，52－42又在Rt△ABB ′中，AB ＝6，BB ′＝10，所以AB ′＝＝8，BB ′2－AB 2所以△ABP 的周长的最小值为14.。

第70练 圆的方程[基础保分练]1．若圆x 2＋y 2＋2ax －b 2＝0的半径为2，则点(a ，b )到原点的距离为________．2．已知点P (2a ，a )在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝20的内部，则实数a 的取值范围是________．3．(2019·常州质检)已知△ABC 顶点的坐标为A (4,3)，B (5，2)，C (1,0)，则其外接圆的一般方程为________________.4．经过点(1,0)，且圆心是两直线x ＝1与x ＋y ＝2的交点的圆的方程为________________．5．圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝________.6．已知三点A (1,0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为________．7．若圆C 的半径为2，其圆心与点(1,0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为___________．8．(2019·无锡模拟)已知点A (－2,3)，B (6，－1)，则以线段AB 为直径的圆的标准方程是________________．9．(2018·苏州调研)在平面直角坐标系xOy 中，已知过点A (2，－1)的圆C 和直线x ＋y ＝1相切，且圆心在直线y ＝－2x 上，则圆C 的标准方程为________________．10．已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为________________． [能力提升练]1．以点(2，－1)为圆心且与直线3x －4y ＋5＝0相切的圆的方程为________________．2．光线从A (1,1)出发，经y 轴反射到圆C ：x 2＋y 2－10x －14y ＋70＝0的最短路程为________．3．(2018·苏锡常镇四市调研)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝2，点A (2,0)，若圆C 上存在点M ，满足MA 2＋MO 2≤10，则点M 的纵坐标的取值范围是________．4．(2018·南京质检)已知点P (0,2)为圆C ：(x －a )2＋(y －a )2＝2a 2外一点，若圆C 上存在一点Q ，使得∠CPQ ＝60°，则正数a 的取值范围是________．5．已知圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0上存在两点关于直线l ：x ＋my ＋1＝0对称，则实数m ＝________.6．已知P (2,0)为圆C ：x 2＋y 2－2x ＋2my ＋m 2－7＝0(m >0)内一点，过点P 的直线AB 交圆C 于A ，B 两点，若△ABC 面积的最大值为4，则正实数m 的取值范围为________．答案精析基础保分练1．2 2.(－2,2)3．x 2＋y 2－6x －2y ＋5＝04．(x －1)2＋(y －1)2＝1 5.－43 6.213 解析 由已知可得AB ＝AC ＝BC ＝2，所以△ABC 是等边三角形，所以其外接圆圆心即为三角形的重心，则圆心的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋0＋23，0＋3＋33，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1，233，故圆心到原点的距离为12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2332＝213.7．x 2＋(y －1)2＝4解析 根据题意，设圆心的坐标为(m ，n )，若圆心与点(1,0)关于直线y ＝x 对称，则m ＋12＝n 2且nm －1＝－1，解得m ＝0，n ＝1，即圆心的坐标为(0,1)，又由圆C 的半径为2，则圆C 的标准方程为x 2＋(y －1)2＝4.8．(x －2)2＋(y －1)2＝20解析 ∵A (－2,3)，B (6，－1)，∴AB 的中点C 的坐标为(2,1)，AB ＝82＋42＝45，∴圆C 的半径R ＝25，∴以AB 为直径的圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝20.9．(x －1)2＋(y ＋2)2＝2解析 ∵圆心在y ＝－2x 上，∴可设圆心坐标为(a ，－2a )，又∵圆过A (2，－1)，圆C 和直线x ＋y ＝1相切，∴a －22＋－2a ＋12＝|a －2a －1|2，解得a ＝1，∴圆的半径r ＝|1－2－1|2＝2，圆心(1，－2)，∴圆的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝2.10．(x －2)2＋y 2＝9解析 因为圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，设C (a,0)，a >0，所以圆心到直线2x －y ＝0的距离d ＝2a 5＝455，解得a ＝2，所以圆C 的半径r ＝CM ＝4＋5＝3，所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9.能力提升练1．(x －2)2＋(y ＋1)2＝9 2.62－23.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－72，72解析 设点M (x ，y )，因为MA 2＋MO 2≤10，所以(x －2)2＋y 2＋x 2＋y 2≤10，即x 2＋y 2－2x －3≤0，因为(x ＋1)2＋y 2＝2，所以y 2＝2－(x ＋1)2，所以x 2＋2－(x ＋1)2－2x －3≤0，化简得x ≥－12.因为y 2＝2－(x ＋1)2，所以y 2≤74，所以－72≤y ≤72.4．[15－3,1)解析 由题意知，圆的圆心为C (a ，a )，半径r ＝2|a |，∴PC ＝a 2＋a －22，QC ＝2|a |，∵PC 和QC 长度固定，∴当Q 为切点时，∠CPQ 最大，∵圆C 上存在点Q 使得∠CPQ ＝60°，∴若最大角度大于60°，则圆C 上存在点Q 使得∠CPQ ＝60°， ∴QC PC ＝2|a |a 2＋a －22≥sin∠CPQ ＝sin60°＝32， 整理可得a 2＋6a －6≥0，解得a ≥15－3或a ≤－15－3，又点P (0,2)为圆C ：(x －a )2＋(y －a )2＝2a 2外一点，∴02＋22－4a >0，解得a <1，又a >0，∴15－3≤a <1.5．－1解析 因为圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0的圆心为C (1,2)，且圆上存在两点关于直线l ：x ＋my ＋1＝0对称，所以直线l 过C (1,2)，即1＋2m ＋1＝0，得m ＝－1.6．[3，7)解析 圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y ＋m )2＝8，则圆心为C (1，－m )，半径r ＝22， S △ABC ＝12r 2sin∠ACB ＝4sin∠ACB ，当∠ACB ＝90°时，△ABC 的面积取得最大值4，此时△ABC 为等腰直角三角形， AB ＝2r ＝4，则点C 到直线AB 的距离等于2， 故2≤PC <22，即2≤1＋m 2<22， 所以4≤1＋m 2<8，即3≤m 2<7，因为m >0，所以3≤m <7.。