2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数 学（文史类）本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共4页。
考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上大题无效。
满分150分。
考试时间120分钟。
考试结束后，将本试题卷和答题卡上一并交回。
第Ⅰ卷 （选择题 共50分）注意事项： 必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1、设集合{1,2,3}A =，集合{2,2}B =-，则A B =（ ）（A ）∅ （B ）{2} （C ）{2,2}- （D ）{2,1,2,3}-1.【答案】B 【解析】本题考查用列举法表示的集合的交运算．∵A ＝{1,2,3}，B ＝{－2,2}，∴A ∩B ＝{1,2,3}∩{－2,2}＝{2}．选B. 【易错点】看清题！求交集不是求并集！ 【难易度评价】★送分题2．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是( )A ．棱柱B ．棱台C ．圆柱D ．圆台答案 D解析 根据三视图可知，此几何体是圆台，选D.3．如图，在复平面内，点A 表示复数z ，由图中表示z 的共轭复数的点是( )A ．AB ．BC ．CD ．D 答案 B解析 表示复数z 的点A 与表示z 的共轭复数的点关于x 轴对称，∴B 点表示z .选B.4、设x Z ∈，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集。
若命题:,2p x A x B ∀∈∈，则（ ） （A ）:,2p x A x B ⌝∃∈∈ （B ）:,2p x A x B ⌝∃∉∈ （C ）:,2p x A x B ⌝∃∈∉ （D ）:,2p x A x B ⌝∀∉∉答案 C解析 命题p ：∀x ∈A,2x ∈B 是一个全称命题，其命题的否定綈p 应为∃x ∈A,2x ∉B ，选C.5．抛物线y 2＝8x 的焦点到直线x －3y ＝0的距离是( ) A ．2 3 B ．2 C. 3 D ．1 答案 D解析 抛物线y 2＝8x 的焦点为F (2,0)，由点到直线的距离公式得F (2,0)到直线x －3y ＝0的距离d ＝|2－3×0|12＋(－3)2＝22＝1.选D.6．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )A ．2，－π3B ．2，－π6C ．4，－π6D ．4，π3答案 A解析 由图象知f (x )的周期T ＝2⎝⎛⎭⎫11π12－5π12＝π，又T ＝2πω，ω>0，∴ω＝2.由于f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的一个最高点为⎝⎛⎭⎫5π12，2，故有2×5π12＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z .即φ＝2k π－π3，又－π2<φ<π2，∴φ＝－π3，选A.7．某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示，以组距为5将数据分组成[0,5)，[5,10)，…，[30,35)，[35,40]时，所作的概率分布直方图是( )答案 A解析 由于频率分布直方图的组距为5，去掉C 、D ，又[0,5)，[5,10)两组各一人，去掉B ，应选A.8．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤8，2y －x ≤4，x ≥0，y ≥0，且z ＝5y －x 的最大值为a ，最小值为b ，则a －b 的值是( )A ．48B ．30C ．24D ．16答案 C解析 画出可行域如图阴影部分(包括边界)易解得A (4,4)，B (8,0)，C (0,2)．对目标函数令z ＝0作出直线l 0，上下平移易知过点A (4,4)，z 最大＝16，过点B (8,0)，z 最小＝－8，即a ＝16，b ＝－8， ∴a －b ＝24.选C.9．从椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP (O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是( )A.24B.12C.22D.32解析 由题意可设P (－c ，y 0)(c 为半焦距)，k OP ＝－y 0c ，k AB ＝－b a ，由于OP ∥AB ，∴－y 0c ＝－b a ，y 0＝bca，把P ⎝⎛⎭⎫－c ，bc a 代入椭圆方程得(－c )2a 2＋⎝⎛⎭⎫bc a 2b 2＝1，而⎝⎛⎭⎫c a 2＝12，∴e ＝c a ＝22.选C.10．设函数f (x )＝e x ＋x －a (a ∈R ，e 为自然对数的底数)，若存在b ∈[0,1]使f (f (b ))＝b 成立，则a 的取值范围是( )A ．[1，e]B ．[1,1＋e]C ．[e,1＋e]D ．[0,1] 答案 A解析 由于f (x )＝e x ＋x －a 在其定义域上单调递增，且y ≥0，∴y ＝f (x )存在反函数y ＝f －1(x )，又存在b ∈[0,1]使f (f (b ))＝b ，则f －1[f (f (b ))]＝f －1(b )，即f (b )＝f －1(b )，∴y ＝f (x )与y ＝f －1(x )的交点在直线y ＝x 上，所以e x ＋x －a ＝x 在[0,1]上有解．由e x ＋x －a ＝x 得a ＝e x ＋x －x 2，当x ∈(0,1)时，a ′＝e x －2x ＋1>e x －2＋1>0，∴a ＝e x ＋x －x 2在[0,1]上单调递增，∴当x ＝0时，a 最小＝e 0＝1，当x ＝1时，a 最大＝e ，故a 的取值范围是[1，e]．选A.第二卷二、填空题11．lg 5＋lg 20的值是________． 答案 1解析 lg 5＋lg 20＝lg(5·25)＝lg 10＝1.12．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB →＋AD →＝λAO →，则λ＝________. 答案 2解析 由于ABCD 为平行四边形，对角线AC 与BD 交于点O ，∴AB →＋AD →＝AC →＝2AO →，∴λ＝2.13．已知函数f (x )＝4x ＋ax(x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________. 答案 36解析 ∵x >0，a >0，∴f (x )＝4x ＋a x ≥24x ·a x ＝4a ，当且仅当4x ＝a x (x >0)即x ＝a2时f (x )取得最小值，由题意得a2＝3，∴a ＝36.14．设sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan 2α的值是________． 答案 3解析 ∵sin 2α＝－sin α，∴sin α(2cos α＋1)＝0，又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴sin α≠0,2cos α＋1＝0即cos α＝－12，sin α＝32，tan α＝－3，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－231－(－3)2＝ 3. 15．在平面直角坐标系内，到点A (1,2)，B (1,5)，C (3,6)，D (7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．解析 直线AC 的方程为y －2＝2(x －1)，直线BD 的方程为y －5＝－(x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －2＝2(x －1)y －5＝－(x －1)得M (2,4)．三、解答题16．在等比数列{a n }中，a 2－a 1＝2，且2a 2为3a 1和a 3的等差中项，求数列{a n }的首项、公比及前n 项和．解 设该数列的公比为q .由已知，可得 a 1q －a 1＝2,4a 1q ＝3a 1＋a 1q 2，所以，a 1(q －1)＝2，q 2－4q ＋3＝0，解得q ＝3或q ＝1. 由于a 1(q －1)＝2，因此q ＝1不合题意，应舍去． 故公比q ＝3，首项a 1＝1.所以，数列{a n }的前n 项和S n ＝3n －12.17．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos(A －B )cos B ＝sin(A －B )sin(A ＋C )＝－35.(1)求sin A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求向量BA →在BC →方向上的投影．解 (1)由cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin(A ＋C )＝－35，得cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－35.则cos(A －B ＋B )＝－35，即cos A ＝－35.又0<A <π，则sin A ＝45.(2)由正弦定理，有 a sin A ＝b sin B ，所以，sin B ＝b sin A a ＝22. 由题知a >b ，则A >B ，故B ＝π4.根据余弦定理，有(42)2＝52＋c 2－2×5c ×⎝⎛⎭⎫－35， 解得c ＝1或c ＝－7(负值舍去)．故向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cos B ＝22.18．某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x 在1,2,3，…，24这24个整数中等可能随机产生．(1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y 的值为i 的概率P i (i ＝1,2,3)；(2)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n 次后，统计记录了输出y 的值为i (i ＝1,2,3)的频数，以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据． 甲的频数统计表(部分)当n ＝2 100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y 的值为i (i ＝1,2,3)的频率(用分数表示)，并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大．解 (1)变量x 是在1,2,3，…，24这24个整数中随机产生的一个数，共有24种可能．当x 从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时，输出y 的值为1，故P 1＝12；当x 从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时，输出y 的值为2，故P 2＝13；当x 从6,12,18,24这4个数中产生时，输出y 的值为3，故P 3＝16.所以，输出y 的值为1的概率为12，输出y 的值为2的概率为13，输出y 的值为3的概率为16.(2)当n ＝2 100时，甲、乙所编程序各自输出y 的值为i (i ＝1,2,3)的频率如下：比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大．19．如图，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，AB ＝AC ＝2AA 1＝2，∠BAC ＝120°，D ，D 1分别是线段BC ，B 1C 1的中点，P 是线段AD 上异于端点的点．(1)在平面ABC 内，试作出过点P 与平面A 1BC 平行的直线l ，说明理由，并证明直线l ⊥平面ADD 1A 1； (2)设(1)中的直线l 交AC 于点Q ，求三棱锥A1QC 1D 的体积．(锥体体积公式：V ＝13Sh ，其中S 为底面面积，h 为高)解：(1)如图，在平面ABC 内，过点P 作直线l ∥BC ，因为l 在平面A 1BC 外，BC 在平面A 1BC 内，由直线与平面平行的判定定理可知，l ∥平面A 1BC . 由已知，AB ＝AC ，D 是BC 的中点， 所以，BC ⊥AD ，则直线l ⊥AD .因为AA 1⊥平面ABC ，所以AA 1⊥直线l .又因为AD ，AA 1在平面ADD 1A 1内，且AD 与AA 1相交， 所以直线l ⊥平面ADD 1A 1. (2)过D 作DE ⊥AC 于E ，因为AA 1⊥平面ABC ，所以DE ⊥AA 1.又因为AC ，AA 1在平面AA 1C 1C 内，且AC 与AA 1相交，所以DE ⊥平面AA 1C 1C .由AB ＝AC ＝2，∠BAC ＝120°，有AD ＝1，∠DAC ＝60°，所以在△ACD 中，DE ＝32AD ＝32，又S △A 1QC 1＝12A 1C 1·AA 1＝1，所以VA 1QC 1D ＝VDA 1QC 1＝13DE ·S △A 1QC 1＝13×32×1＝36.故三棱锥A 1QC 1D 的体积是36.20．已知圆C 的方程为x 2＋(y －4)2＝4，点O 是坐标原点，直线l ：y ＝kx 与圆C 交于M ，N 两点． (1)求k 的取值范围；(2)设Q (m ，n )是线段MN 上的点，且2|OQ |2＝1|OM |2＋1|ON |2，请将n 表示为m 的函数．解 (1)将y ＝kx 代入x 2＋(y －4)2＝4中，得(1＋k 2)x 2－8kx ＋12＝0.(*) 由Δ＝(－8k )2－4(1＋k )2×12>0，得k 2>3.所以，k 的取值范围是(－∞，－3)∪(3，＋∞)．(2)因为M 、N 在直线l 上，可设点M 、N 的坐标分别是(x 1，kx 1)，(x 2，kx 2)，则|OM |2＝(1＋k 2)x 21，|ON |2＝(1＋k 2)x 22， 又|OQ |2＝m 2＋n 2＝(1＋k 2)m 2.由2|OQ |2＝1|OM |2＋1|ON |2，得2(1＋k 2)m 2＝1(1＋k 2)x 21＋1(1＋k 2)x 22， 即2m 2＝1x 21＋1x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2x 21x 22. 由(*)式可知，x 1＋x 2＝8k 1＋k 2，x 1x 2＝121＋k 2，所以m 2＝365k 2－3.因为点Q 在直线y ＝kx 上，所以k ＝n m ，代入m 2＝365k 2－3中并化简，得5n 2－3m 2＝36.由m 2＝365k 2－3及k 2>3，可知0<m 2<3，即m ∈(－3，0)∪(0，3)．根据题意，点Q 在圆C 内，则n >0，所以n ＝36＋3m 25＝15m 2＋1805.于是，n 与m 的函数关系为n ＝15m 2＋1805(m ∈(－3，0)∪(0，3))．21．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋a ，x <0，ln x ，x >0，其中a 是实数，设A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))为该函数图象上的两点，且x 1<x 2.(1)指出函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )的图象在点A ，B 处的切线互相垂直，且x 2<0，证明：x 2－x 1≥1； (3)若函数f (x )的图象在点A ，B 处的切线重合，求a 的取值范围．(1)解 函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)，单调递增区间为[－1,0)，(0，＋∞)．(2)证明 由导数的几何意义可知，点A 处的切线斜率为f ′(x 1)，点B 处的切线斜率为f ′(x 2)． 故当点A 处的切线与点B 处的切线垂直时， 有f ′(x 1)·f ′(x 2)＝－1，当x <0时，对函数f (x )求导，得f ′(x )＝2x ＋2， 因为x 1<x 2<0，所以，(2x 1＋2)(2x 2＋2)＝－1， 所以2x 1＋2<0,2x 2＋2>0.因此x 2－x 1＝12[－(2x 1＋2)＋2x 2＋2]≥[－(2x 1＋2)](2x 2＋2)＝1.(当且仅当－(2x 1＋2)＝2x 2＋2＝1，即x 1＝－32且x 2＝－12时等号成立)所以，函数f (x )的图象在点A 、B 处的切线互相垂直时，有x 2－x 1≥1. (3)解 当x 1<x 2<0或x 2>x 1>0时，f ′(x 1)≠f ′(x 2)， 故x 1<0<x 2.当x 1<0时，函数f (x )的图象在点(x 1，f (x 1))处的切线方程为y －(x 21＋2x 1＋a )＝(2x 1＋2)(x －x 1)，即y ＝(2x 1＋2)x －x 21＋a .当x 2>0时，函数f (x )的图象在点(x 2，f (x 2))处的切线方程为y －ln x 2＝1x 2(x －x 2)，即y ＝1x 2·x ＋ln x 2－1.两切线重合的充要条件是 ⎩⎪⎨⎪⎧1x 2＝2x 1＋2， ①ln x 2－1＝－x 21＋a ②由①及x 1<0<x 2知，0<1x 2<2.由①②得，a ＝ln x 2＋⎝⎛⎭⎫12x 2－12－1＝－ln 1x 2＋14⎝⎛⎭⎫1x 2－22－1. 令t ＝1x 2，则0<t <2，且a ＝14t 2－t －ln t .设h (t )＝14t 2－t －ln t (0<t <2)则h ′(t )＝12t －1－1t ＝(t －1)2－32t<0，所以h (t )(0<t <2)为减函数，则h (t )>h (2)＝－ln 2－1，所以a >－ln 2－1. 而当t ∈(0,2)且t 趋近于0时，h (t )无限增大， 所以a 的取值范围是(－ln 2－1，＋∞)，故当函数f (x )的图象在点A 、B 处的切线重合时，a 的取值范围为(－ln 2－1，＋∞)．。
2013年四川省成都市高考数学一诊模拟试卷（一）（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共50分）1．（5分）（2013•成都一模）不等式的解集是（）A、（﹣∞，﹣8）∪（﹣3，+∞）B、（﹣∞，﹣8]∪[﹣3，+∞）C、[﹣3，2]D、（﹣3，2]考点：其他不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：把2移到左边后通分，再把分式不等式转化为整式不等式，进而即可求出其解集．解答：解：∵不等式，∴，化为（x+3）（x+8）≥0，且x≠﹣3，解得x＞﹣3或x≤﹣8．∴原不等式的解集为{x|x≤﹣8或x＞﹣3}．故无答案．点评：正确把分式不等式转化为整式不等式是解题的关键．注意，若利用去分母的方法去解，则必须就x+3的正负讨论，否则可能会出错．2．（5分）（2005•天津）若复数（a∈R，i为虚数单位位）是纯虚数，则实数a的值为（）A．﹣2 B．4C．﹣6 D．6考点：复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．分析：化简复数为a+bi（a、b∈R）的形式，让其实部为0，虚部不为0，可得结论．解答：解：复数=，它是纯虚数，则a=﹣6．故选C．点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，复数的分类，是基础题．3．（5分）（2013•甘肃三模）（文）公差不为零的等差数列第2、3、6项构成等比数列，则公比为（）A．1B．2C．3D．4考点：等比数列的性质；等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：等差数列的第2、3、6项依次成等比数列，所以a32=a2•a6，设此等差数列的首项为a1，公差为d，通项即为a1+（n﹣1）d，得a2=a1+d，a3=a1+2d，a6=a1+5d，代入可得a1和d的关系式，求出公比即可．解答：解：设此等差数列的首项为a1，公差为d，通项即为a1+（n﹣1）d，得a2=a1+d，a3=a1+2d，a6=a1+5d，又因为等差数列的第2、3、6项依次成等比数列，所以a32=a2•a6，，把a2，a3，a6代入可得2a1=﹣d，d=﹣2a1所以公比==把d=﹣2a1代入得公比为3．故选C．点评：考查学生会求等差数列通项公式的能力，会求等比数列公比的能力，以及利用等差、等比数列性质的能力．4．（5分）（2013•成都一模）已知平面向量，满足，与的夹角为，则“m=1”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：平面向量及应用．分析：根据向量垂直的充要条件，直接代入向量数量积公式易构造方程，解方程即可求出未知参数m的值，从而判断出正确选项．解答：解：∵平面向量，满足，与的夹角为，∴=1×2×=1，又若“”，∴=0，即1﹣m=0解得m=1，则“m=1”是“”的充要条件．故选C．点评：本题考查的知识点为平面向量的数量积运算，⊥⇔x1•x2+y1y2=0．即：两个向量若垂直，对应相乘和为0．5．（5分）（2013•成都一模）关于命题p：A∪∅=∅，命题q：A∪∅=A，则下列说法正确的是（）A．（￢p）∨q为假B．（￢p）∧（￢q）为真C．（￢p）∨（￢q）为假D．（￢p）∧q为真考点：复合命题的真假．专题：计算题．分析：利用集合知识，先判断出命题p：A∩∅=∅是真命题，命题q：A∪∅=A是真命题，再判断复合命题的真假．解答：解：∵命题p：A∩∅=∅是真命题，命题q：A∪∅=A是真命题，∴（￢p）∨q为真命题，（￢p）∧（￢q）为假命题，（￢p）∨（￢q）为假命题，（￢p）∧q为假命题，故选C．点评：本题考查复合命题的真假判断，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．[“命题p：A∩ϕ=ϕ，命题q：A∪ϕ=A”应该更正为：“命题p：A∩∅=∅，命题q：A∪∅=A”]6．（5分）（2005•江西）设函数f（x）=sin3x+|sin3x|，则f（x）为（）A．周期函数，最小正周期为B．周期函数，最小正周期为C．周期函数，数小正周期为2πD．非周期函数考点：三角函数的周期性及其求法．专题：计算题．分析：可把四个选项中的最小正周期代入f（x+T）=f（x）检验，即可得到答案．解答：解：先将周期最小的选项A和C的周期T=和2π代入f（x+）=﹣sin3x+|sin3x|≠f（x），f（x+2π）=﹣sin3x+|sin3x|≠f（x），故排除A和C；再检验（B）f（x+）=sinx+|sin3x|=f（x），成立，可推断函数为周期函数排除D．故选B点评：本题主要考查了三角函数的周期性及其求法．对于选择题可用逆向法，把选项中的值代入题设条件中逐一检验获得答案．有时也能收到事半功倍的效果．7．（5分）（2013•成都一模）下列类比推理命题（其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集）：①“若a，b∈R，则a﹣b=0⇒a=b”类比推出“若a，b∈C，则a﹣b=0⇒a=b”；②“若a，b，c，d∈R，则复数a+bi=c+di⇒a=c，b=d”类比推出“若a，b，c，d∈Q，则”；③“若a，b∈R，则a﹣b＞0⇒a＞b”类比推出“若a，b∈C，则a﹣b＞0⇒a＞b”．其中类比结论正确的个数是（）A．0B．1C．2D．3考点：归纳推理．专题：证明题；探究型．分析：在数集的扩展过程中，有些性质是可以传递的，但有些性质不能传递，因此，要判断类比的结果是否正确，关键是要在新的数集里进行论证，当然要想证明一个结论是错误的，也可直接举一个反例，要想得到本题的正确答案，可对3个结论逐一进行分析，不难解答．解答：解：①在复数集C中，若两个复数满足a﹣b=0，则它们的实部和虚部均相等，则a，b相等．故①正确；②在有理数集Q中，若，则（a﹣c）+（b﹣d）=0，易得：a=c，b=d．故②正确；③若a，b∈C，当a=1+i，b=i时，a﹣b=1＞0，但a，b 是两个虚数，不能比较大小．故③错误故3个结论中，有两个是正确的．故选C点评：类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．但类比推理的结论不一定正确，还需要经过证明．8．（5分）（2013•成都一模）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，则BB1与平面AB1C1所成的角是（）A．B．C．D．考点：直线与平面所成的角．专题：计算题．分析：以B为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用与平面AB1C1所的一个法向量的夹角，求出则BB1与平面AB1C1所成的角．解答：解：以B为坐标原点，以与BC垂直的直线为x轴，BC为y轴，建立空间直角坐标系，则A（，1，0），B1（0，0，3），C1（0，2，3），=（﹣，﹣1，3），=（0，2，0），=（0，0，3）．设平面AB1C1所的一个法向量为=（x，y，z）则即，取z=1，则得=（﹣，0，1），∵cos＜，＞===，∴BB1与平面AB1C1所成的角的正弦值为，∴BB1与平面AB1C1所成的角为故选A．点评：本题考查线面角的计算，利用了空间向量的方法．要注意相关点和向量坐标的准确性，及转化时角的相等或互余关系．9．（5分）（2013•成都一模）设集合A=[0，），B=[，1]，函数f （x）=若x0∈A，且f[f （x0）]∈A，则x0的取值范围是（）A．（0，] B．[，]C．（，）D．[0，]考点：函数的值；元素与集合关系的判断．专题：计算题；压轴题；不等式的解法及应用．分析：利用当 x0∈A时，f[f （x0）]∈A，列出不等式，解出 x0的取值范围．解答：解：∵0≤x0＜，∴f（x0）=x0 +∈[，1]⊆B，∴f[f（x0）]=2（1﹣f（x0））=2[1﹣（x0+）]=2（﹣x0）．∵f[f（x0）]∈A，∴0≤2（﹣x0）＜，∴＜x0≤．又∵0≤x0＜，∴＜x0＜．故选C．点评：本题考查求函数值的方法，以及不等式的解法，属于基础题．10．（5分）（2013•成都一模）定义在（﹣1，1）上的函数；当x∈（﹣1，0）时，f（x）＞0，若，，则P，Q，R的大小关系为（）A．R＞Q＞P B．R＞P＞Q C．P＞R＞Q D．Q＞P＞R考点：不等关系与不等式．专题：新定义．分析：在已知等式中取x=y=0，可求得f（0）=0，取﹣1＜x＜y＜1，能说明，所以说明，从而说明函数f（x）在（﹣1，1）上为减函数，再由已知等式把化为一个数的函数值，则三个数的大小即可比较．解答：解：取x=y=0，则f（0）﹣f（0）=f（0），所以，f（0）=0，设x＜y，则，所以所以f（x）＞f（y），所以函数f（x）在（﹣1，1）上为减函数，由，得：取y=，，则x=，所以，因为0＜，所以所以R＞P＞Q．故选B．点评：本题考查了不等关系与不等式，考查了特值思想，解答此题的关键是能够运用已知的等式证出函数是给定区间上的减函数，同时需要借助于已知等式把P化为一个数的函数值，是中等难度题．二、填空题（每小题5分，共25分）11．（5分）（2013•成都一模）若x=log43，（2x﹣2﹣x）2= ．考点：有理数指数幂的化简求值．专题：计算题．分析：根据题目给出的x的值，首先化为以2为底数的对数，然后代入要求的式子，运用公式计算．解答：解：因为，所以=．故答案为．点评：本题考查了有理指数幂的化简求值，解答此题的关键是熟记公式，是基础题．12．（5分）（2013•成都一模）某程序的框图如图所示，若执行该程序，则输出的i值为7 ．考点：循环结构．专题：计算题．分析：根据题意，该算法流程图是要我们求出等比数列{2n﹣1}的前n项和，并且找到使这个和大于100的最小正整数n的值，由此再结合等比数列的求和公式，不难得到本题的答案．解答：解：根据题意，列出如下表格该算法流程图的作用是计算1+21+22+…+2n﹣1的和，并且求出使这个和大于2012的最小n的值∵1+21+22+…+2n﹣1=2n﹣1，且26﹣1=63，27﹣1=127∴S=1+21+22+…+2n﹣1，使S＞100的最小正整数n的值为7．故答案为：7点评：本题以循环结构的算法流程图为载体，求满足条件的最小正整数n，着重考查了等比数列的求和公式和循环结构等知识，属于基础题．13．（5分）（2013•成都一模）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N、P、Q分别是AB、AA1、C1D1、CC1的中点，给出以下四个结论：①AC1⊥MN；②AC1∥平面MNPQ；③AC1与PM相交；④NC1与PM异面．其中正确结论的序号是①③④．考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：①要证A1C⊥MN，由于AD1∥MN，则只需证A1C⊥AD1，即只需证AD1⊥面A1CD即可；②由于A1C与MP交于一点，则A1C与平面MNPQ相交；③④判定空间中直线与直线之间的位置关系，要紧扣定义来完成．解答：解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∴A1D⊥AD1，∵CD⊥面AA1D1D，AD1⊂面AA1D1D，∴CD⊥AD1，∴AD1⊥面A1CD，∴A1C⊥AD1∵M，N分别是AA1，A1D1的中点，∴AD1∥MN，即A1C⊥MN，故①正确；由于M，N，P，Q分别是AA1，A1D1，CC1，BC的中点，则A1C与PM相交，故②不正确，③正确；∵N∉面ACC1A1，而M，P，C∈面ACC1A1，∴NC与PM异面，故④正确；故答案为：①③④．点评：本题考查的知识点是，判断命题真假，同时考查了空间中直线与直线，直线与平面的位置关系，我们可以根据空间几何中的定义，定理及常用结论对四个结论逐一进行判断，可以得到正确的结果．14．（5分）（2013•成都一模）已知函数f（x）=|x﹣3|﹣2|x﹣1|，则其最大值为 2 ．考点：带绝对值的函数．专题：不等式的解法及应用．分析：通过去掉绝对值符号得出函数解析式，进而画出图象，即可得出最大值．解答：解：∵函数f（x）=|x﹣3|﹣2|x﹣1|=，根据解析式画出图象：由图象可以看出：当且仅当x=0时，函数f（x）取得最大值2．故答案是2．点评：正确去掉绝对值符号并画出图象是解题的关键．15．（5分）（2013•成都一模）设两个向量=（λ+2，λ2﹣cox2α）和=（m，+sinα），其中λ，m，α为实数．若=2，则的取值范围是[﹣6，1] ．考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：计算题．分析：根据向量相等的概念，向量相等，即向量的横纵坐标相等，可哪λ用m表示，所以可化简为2﹣，所以只需求的范围即可，再利用向量相等得到的关系式，把m 用α的三角函数表示，根据三角函数的有界性，求出m的范围，就可得到的范围．解答：解：∵=2，∴λ+2=2m，①λ2﹣cox2α=m+2sinα．②∴λ=2m﹣2代入②得，4m2﹣9m+4=cox2α+2sinα=1﹣sin2α+2sinα=2﹣（sinα﹣1）2∵﹣1≤sinα≤1，，∴0≤（sinα﹣1）2≤4，﹣4≤﹣（sinα﹣1）2≤0∴﹣2≤2﹣（sinα﹣1）2≤2∴﹣2≤4m2﹣9m+4≤2分别解4m2﹣9m+4≥﹣2，与4m2﹣9m+4≤2，得，≤m≤2∴≤≤4==2﹣∴﹣6≤2﹣≤1∴的取值范围是[﹣6，1]故答案为[﹣6，1]点评：本题考查了向量相等的坐标表示，以及利用三角函数有界性求范围．属于综合题．三、解答题（第16-第19题每小题12分，20题13分，21题14分．共75分）16．（12分）（2013•成都一模）为了了解某市工厂开展群众体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从A、B、C三个区中抽取6个工厂进行调查．已知A、B、C区中分别有18，27，9个工厂．（1）求从A、B、C区中应分别抽取的工厂个数；（2）若从抽得的6个工厂中随机地抽取2个进行调查结果的对比，求这2个工厂中至少有1个来自A区的概率．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：（1）先计算A，B，C区中工厂数的比例，再根据比例计算各区应抽取的工厂数．（2）本题为古典概型，先将各区所抽取的工厂用字母表达，分别计算从抽取的6个工厂中随机抽取2个的个数和至少有1个来自A区的个数，再求比值即可．解答：解：（1）工厂总数为18+27+9=54，样本容量与总体中的个体数的比为=，所以从A，B，C三个区中应分别抽取的工厂个数为2，3，1．…（5分）（2）设A1，A2为在A区中抽得的2个工厂，B1，B2，B3为在B区中抽得的3个工厂，C1为在C区中抽得的1个工厂．在这6个工厂中随机地抽取2个，全部可能的结果有：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，C1），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，C1），（B1，B2），（B1，B3），（B1，C1），（B2，B3），（B2，C1），（B3，C1）共15种．随机地抽取的2个工厂至少有1个来自A区（记为事件X）的结果有：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，C1），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，C1）共9种．所以这2个工厂中至少有1个来自A区的概率为P（X）=．…（11分）答：（1）从A，B，C三个区中应分别抽取的工厂个数为2，3，1．（2）这2个工厂中至少有1个来自A区的概率为．…（12分）点评：本题主要考查分层抽样、古典概型的基本运算．属于基础知识、基本运算的考查．17．（12分）（2013•成都一模）已知向量=（sin，1），=（cos，cos2），f（x）=•．（1）若f（x）=1，求cos（x+）的值；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c且满足acosC+c=b，求函数f（B）的取值范围．考点：余弦定理；平面向量数量积的运算；三角函数的化简求值．专题：计算题．分析：（1）由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则列出f（x）的解析式，再利用二倍角的正弦、余弦函数公式及两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由f（x）=1，得出sin（+）的值，最后将所求的式子中的角提取2，利用二倍角的余弦函数公式化简后，将sin（+）的值代入即可求出值；（2）利用余弦定理表示出cosC，代入已知的等式，整理后代入利用余弦定理表示出的cosA中，得出cosA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，进而确定出B的范围，得出+的范围，利用正弦函数的图象与性质得出此时正弦函数的值域，即为f（B）的范围．解答：解：（1）∵=（sin，1），=（cos，cos2），∴f（x）=•=sin cos+cos2=sin+cos+=sin（+）+，又f（x）=1，∴sin（+）=，（4分）∴cos（x+）=cos2（+）=1﹣2sin2（+）=；（6分）（2）∵cosC=，acosC+c=b，∴a•+c=b，即b2+c2﹣a2=bc，∴cosA==，又∵A∈（0，π），∴A=，（10分）又∵0＜B＜，∴＜+＜，∴f（B）∈（1，）．（12分）点评：此题考查了余弦定理，平面向量的数量积运算，二倍角的正弦、余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．18．（12分）（2013•成都一模）一个多面体的直观图和三视图如图所示，其中M、N分别是AB、AC的中点，G是DF上的一动点（1）求证：GN⊥AC；（2）当FG=GD时，在棱AD上确定一点P，使得GP∥平面FMC．并给出证明．考点：直线与平面平行的判定；简单空间图形的三视图．专题：计算题；证明题．分析：由三视图可得直观图为直三棱柱且底面ADF中AD⊥DF，DF=AD=DC，则（1）连接DB，我们易得FD⊥AD，FD⊥CD，由线面垂直的判定定理，可得FD⊥面ABCD，进而得到AC⊥面FDN，由线面垂直的定义，即可得到GN⊥AC；（2）由图分析得，点P与点A重合时，GP∥面FMC，取DC中点S，连接AS、GS、GA 由三角形中位线宣，我们易证明出面GSA∥面FMC，根据面面平行的性质，我们易得GA∥面FMC，即P与A重合．解答：证明：由三视图可得直观图为直三棱柱且底面ADF中AD⊥DF，DF=AD=DC （1）连接DB，可知B、N、D共线，且AC⊥DN又FD⊥AD，FD⊥CD，∴FD⊥面ABCD∴FD⊥AC∴AC⊥面FDN，GN⊂面FDN∴GN⊥AC（2）点P与点A重合时，GP∥面FMC证明：取DC中点S，连接AS、GS、GA∵G是DF的中点，∴GS∥FC，A S∥CM∴面GSA∥面FMCGA⊂面GSA∴GA∥面FMC 即GP∥面FMC点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，简单空间图形的三视图，其中根据三视图，判断出该几何体为直三棱柱且底面ADF中AD⊥DF，DF=AD=DC，是解答本题的关键．19．（12分）（2013•长宁区一模）某工厂生产一种产品的原材料费为每件40元，若用x表示该厂生产这种产品的总件数，则电力与机器保养等费用为每件0.05x元，又该厂职工工资固定支出12500元．（1）把每件产品的成本费P（x）（元）表示成产品件数x的函数，并求每件产品的最低成本费；（2）如果该厂生产的这种产品的数量x不超过3000件，且产品能全部销售，根据市场调查：每件产品的销售价Q（x）与产品件数x有如下关系：Q（x）=170﹣0.05x，试问生产多少件产品，总利润最高？（总利润=总销售额﹣总的成本）考点：基本不等式在最值问题中的应用；根据实际问题选择函数类型．专题：应用题．分析：（1）根据每件产品的成本费P（x）等于三部分成本和，建立函数关系，再利用基本不等式求出最值即可；（2）设总利润为y元，根据总利润=总销售额﹣总的成本求出总利润函数，利用二次函数的性质求出取最值时，x的值即可．解答：解：（Ⅰ）根据某工厂生产一种产品的成本费由三部分组成，①职工工资固定支出12500元；②原材料费每件40元；③电力与机器保养等费用为每件0.05x元，可得由基本不等式得当且仅当，即x=500时，等号成立∴的最小值为90元．∴每件产品的最低成本费为90元（Ⅱ）设总利润为y元，∵每件产品的销售价Q（x）与产品件数x有如下关系：Q（x）=170﹣0.05x∴总销售额=xQ（x）=170x﹣0.05x2，则y=xQ（x）﹣xP（x）=﹣0.1x2+130x﹣12500=﹣0.1（x﹣650）2+29750当x=650时，y max=29750答：生产650件产品时，总利润最高，最高总利润为29750元．点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，以及二次函数的性质，同时考查了建模的能力，属于中档题20．（13分）（2013•成都一模）已知一非零向量列{a n}满足：a1=（1，1），a n=（x n，y n）=（1）证明：{|a n|}是等比数列；（2）设θn=＜a n﹣1，a n＞（n≥2），b n=2nθn﹣1，S n=b1+b2+…+b n，求S n；（3）设c n=|a n|log2|a n|，问数列{c n}中是否存在最小项？若存在，求出最小项；若不存在，请说明理由．考点：数列与函数的综合；数列的函数特性；等比关系的确定．专题：综合题；压轴题．分析：（1）先利用向量模的计算公式得出的表达式，发现得出=利用等比数列定义判定是等比数列．（2）根据向量夹角公式可以求出θn =，b n=2nθn﹣1=．分组后结合等差数列求和公式计算．（3）由上可得出c n =•，可利用作商法研究数列{c n}的单调性，确定最小项存在与否．解答：解：（l ）证明：===（n≥2）又=∴数列是以为首项，公比为的等比数列．…（4分）（2）∵===2∴cosθn ==，∴θn =，∴b n=2nθn﹣1=．Sn=b1+b2+…+b n ==…（8分）（3）假设存在最小项，不防设为cn ，∵==，∴c n=|a n|log2|a n |=•，由c n≤c n+1得≤即（2﹣n）≤1﹣n ，∴（﹣1）n≥2﹣1．∴n≥=3+，∵n为正整数，∴n≥5．由c n≤c n﹣1得n≤4+，n≤5．，∴n=5故存在最小项，最小项为c5=…（12分）点评：本题考查数列的函数性质，等比数列的判定，数列求和，向量数量积、夹角的计算，是数列与不等式的综合．所涉及的知识、方法均为高中学段基本要求．21．（14分）（2013•牡丹江一模）已知函数f（x）=xlnx．（Ⅰ）求函数f（x）的极值点；（Ⅱ）若直线l过点（0，﹣1），并且与曲线y=f（x）相切，求直线l的方程；（Ⅲ）设函数g（x）=f（x）﹣a（x﹣1），其中a∈R，求函数g（x）在区间[1，e]上的最小值．（其中e为自然对数的底数）考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：综合题．分析：（I）先对函数求导，研究函数的单调区间，根据F′（x）＞0求得的区间是单调增区间，F′（x）＜0求得的区间是单调减区间，求出极值．（II）求出曲线方程的导函数，利用导函数中即可求出切线方程的斜率，根据求出的斜率和已知点的坐标写出切线方程即可；（III）求导：g'（x）=lnx+1﹣a解g'（x）=0，得x=e a﹣1，得出在区间（0，e a﹣1）上，g（x）为递减函数，在区间（e a﹣1，+∞）上，g（x）为递增函数，下面对a进行讨论：当e a﹣1≤1，当1＜e a﹣1＜e，当e a﹣1≥e，从而得出g（x）的最小值．解答：解：（Ⅰ）f'（x）=lnx+1，x＞0，…（2分）由f'（x）=0得，…（3分）所以，f（x）在区间上单调递减，在区间上单调递增．…（4分）所以，是函数f（x）的极小值点，极大值点不存在．…（5分）（Ⅱ）设切点坐标为（x0，y0），则y0=x0lnx0，…（6分）切线的斜率为lnx0+1，所以，，…（7分）解得x0=1，y0=0，…（8分）所以直线l的方程为x﹣y﹣1=0．…（9分）（Ⅲ）g（x）=xlnx﹣a（x﹣1），则g'（x）=lnx+1﹣a，…（10分）解g'（x）=0，得x=e a﹣1，所以，在区间（0，e a﹣1）上，g（x）为递减函数，在区间（e a﹣1，+∞）上，g（x）为递增函数．…（11分）当e a﹣1≤1，即a≤1时，在区间[1，e]上，g（x）为递增函数，所以g（x）最小值为g（1）=0．…（12分）当1＜e a﹣1＜e，即1＜a＜2时，g（x）的最小值为g（e a﹣1）=a﹣e a﹣1．…（13分）当e a﹣1≥e，即a≥2时，在区间[1，e]上，g（x）为递减函数，所以g（x）最小值为g（e）=a+e﹣ae．…（14分）综上，当a≤1时，g（x）最小值为0；当1＜a＜2时，g（x）的最小值a﹣e a﹣1；当a≥2时，g（x）的最小值为a+e﹣ae．点评：本题考查了导数的应用：利用导数判断函数的单调性及求单调区间；函数在区间上的最值的求解，其一般步骤是：先求极值，比较函数在区间内所有极值与端点函数．若函数在区间上有唯一的极大（小）值，则该极值就是相应的最大（小）值．。
绵阳市高2013级第二次诊断性考试数学(文史类)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．BCADB CADCB二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．2 12．127 13．2.3 14．5545- 15．(]12，- 三、解答题：本大题共6小题，共75分．16．解 ：（I ）由图知，随机抽取的市民中年龄段在)4030[，的频率为 1-10⨯(0.020+0.025+0.015+0.010)=0.3，∴ 随机抽取的市民中年龄段在)4030[，的人数为100⨯0.3=30人． ………3分 （II ）由（I ）知，年龄段在)5040[，，)6050[，的人数分别为100⨯0.15=15人，100⨯0.1=10人，即不小于40岁的人的频数是25人，∴ 在)6050[，年龄段抽取的人数为10⨯255=2人． …………………………6分 （III ）由（II ）知，所抽5人中有3人是在)5040[，年龄段中取得，记为A 1，A 2，A 3；有2人是在)6050[，年龄段中取得，记为B 1，B 2， ∴ 从5人中再抽取2人作为本次活动的获奖者的可能有(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，A 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(B 1，B 2)共10种，其中)6050[，年龄段仅1人获奖的情况有 (A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)共 6种，∴ )6050[，年龄段仅1人获奖的概率为P =53106=． ………………………12分 17．解：（I ）f (x )=(cos 2x -sin 2x )(cos 2x +sin 2x )-sin2x=cos2x -sin2x=-2sin(2x -4π)， ……………………………………………3分 由-2sin(2x -4π)=-22，即sin(2x -4π)=21， ∴ 2x -4π=2k π+6π，k ∈Z ，或2x -4π=2k π+65π，k ∈Z ， 解得x =k π+245π，k ∈Z ，或x = k π+2413π，k ∈Z ，……………………………6分 ∵ 0<x <π，∴ x =245π，或x =2413π．…………………………………………………………8分 （II ）由（I ）知f (x )=-2sin(2x -4π)， 再由[0]2x π∈，，可得2x -4π∈3[]44ππ-，， ∴ -2≤f (x )≤1，∴ 当且仅当2x -4π=2π，即x =83π时，f (x )取得最小值-2， 即f (x )的最小值为-2，此时x 的取值集合为{83π}．……………………12分 18．解：（I ）设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由已知可得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⨯+=⨯+，，11029101030245511d a d a 解得⎩⎨⎧==，，221d a ∴ a n =2+(n -1)×2=2n ，S n =2)22(n n +=n 2+n ．…………………………………3分 对数列{b n }，由已知有113122T b =-，即113122b b =-，解得b 1=1， 又*113122N n n T b n ++=-∈，， ∴ *111313133()222222N n n n n n n T T b b b b n +++-=---=-∈，， 即*113322N n n n b b b n ++=-∈，， 整理得b n +1=3b n ，即31=+nn b b （常数）， ∴ 数列{b n }是以1为首项，3为公比的等比数列，∴ b n =13-n ． ……………………………………………………………………7分（II ）3131222n n n T b -=-=， ∴ n n S b =(n 2+n )·13-n ，n n a T =n ·(n 3-1)，于是n n S b -n n a T =(n 2+n )·13-n - n ·(n 3-1)=]1)2(3[1+--n n n ，…………………9分显然当n =1时，n n S b -n n a T =0，即n n S b =n n a T ；当n ≥2(n ∈N *)时，n n S b -n n a T >0，即n n S b >n n a T ，∴ 综上，当n =1时n n S b =n n a T ；当n ≥2(n ∈N *)时，n n S b >n n a T ．………12分19．解：（I ）令x =0，得函数与y 轴的交点是(0，m )．令04)(2=++=m x x x f ，由题意0≠m 且0>∆，解的4<m 且0≠m ．…………………………………4分（II ）设所求的圆的一般方程为022=++++F Ey Dx y x ，令0=y 得02=++F Dx x ，这与042=++m x x 是同一个方程，故D =4，F =m ，…………………………………………………………………6分 令x =0得02=++F Ey y 方程有一个根为m ，代入得1--=m E .∴ 圆C 的方程为0)1(422=++-++m y m x y x ． ……………………………9分 将圆C 的方程整理变形为0)1(422=---++y m y x y x ，此方程对所有满足4<m 且0≠m 都成立，须有⎩⎨⎧=-=-++，，010422y y x y x 解的⎩⎨⎧==，，10y x 或⎩⎨⎧=-=，，14y x 经检验知，(-4，1)和(0，1)均在圆C 上，因此圆C 过定点(-4，1)和(0，1)． …………………………………………12分20．解：（I ）设椭圆的右焦点为F (c ，0)，则由题意有22==a c e ，222=+c b ， 即a =2，c =1，b =1，∴ 椭圆C 的方程为1222=+y x ．………………………………………………3分 （II ）假设存在直线m ，依题意可设为x =ky -1， 于是⎪⎩⎪⎨⎧=+-=，，12122y x ky x 消去x ，可得(k 2+2) y 2-2ky -1=0， 令M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，于是y 1+y 2=222+k k ，x 1+x 2=k (y 1+y 2)-2=242+-k ，……………………………7分 ∴ MN 的中点A 的坐标为(222+-k ，22+k k )． ∵ PQ ⊥l ，∴ 直线PQ 的方程为y -22+k k =-k (x +222+k )， 令y =0，解得x =212+-k ，即P (212+-k ，0)． ………………………………9分 ∵ P 、Q 关于A 点对称，设Q (x 0，y 0)，∴ 222+-k =21( x 0212+-k )，22+k k =21( y 0+0)， 解得x 0=232+-k ，y 0=222+k k ，即Q (232+-k ，222+k k )．……………………11分 ∵ 点Q 在椭圆上，∴ (232+-k )2+2(222+k k )2=2， 解得k 2=21，于是212=k ，即421±=k ， ∴ m 的方程为y =42x +42或y =-42x -42． ……………………………13分21．解：（I ）当m =0时，x x x f ln )(=，x >0，得1ln )(+='x x f ．由ln x +1>0，解得x >e 1，即f (x )在(e1，+∞)上单调递增； 由ln x +1<0，解得0<x <e 1，即f (x )在(0，e1)上单调递减． ∴ 综上，f(x )的单调递增区间为(e 1，+∞)，单调递减区间为(0，e1)．…3分 （II ）已知2]x e ∈，于是1)(2>-x f x x 变形为1ln 1>--mx x x ， 从而11ln 1->-x mx x ，即0<ln x -mx <x -1， 整理得x x x 1ln +-<m <xx ln ．…………………………………………………5分 令g (x )= x xx 1ln +-，则2ln )(x x x g -='<0，即g (x )在2]e 上是减函数， ∴ g (x )max = g (e )=123-ee ． 令h (x )=x x ln ，则2ln 1)(x x x h -='，当e <x <e 时，)(x h '>0，即此时h (x )单调递增；当e <x <e 2时，)(x h '<0，即此时h (x )单调递减，而h (e )=e 21>h (e 2)=22e， ∴ h (x )min =22e ． ∴ 123-e e <m <22e．……………………………………………………………9分 （III ）由（I ）知当m =0时，x x x f ln )(=在1()e +∞，上是增函数． ∵ 11211<+<<x x x e， ∴ f (x 1+x 2)=(x 1+x 2)ln(x 1+x 2)>f (x 1)=x 1ln x 1，即ln x 1<)ln(21121x x x x x ++，同理ln x 2<)ln(21121x x x x x ++. 所以ln x 1+ln x 2<)ln()(21121221x x x x x x x x ++++=)ln()2(211221x x x x x x +++， 又因为12212x x x x ++≥4，当且仅当x 1=x 2时，取等号． 又x 1，x 2∈(e1，1)，x 1+x 2<1，0)ln(21<+x x , ∴ )ln()2(211221x x x x x x +++≤4， ∴ )ln(4ln ln 2121x x x x +<+，∴ x 1x 2<(x 1+x 2)4．……………………………………………………………14分。
绵阳市2021年初中学业考试暨高中阶段学校招生考试数学第一卷〔选择题，共36分〕一．选择题：本大题共12个小题，每题3分，共36分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。
1．2的相反数是〔〕 A ．2 B ．22 C ．2- D ．22- 2．以下“数字〞图形中，有且仅有一条对称轴的是〔〕3．2021年，我国上海和安徽首先发现“H7N9〞禽流感，H7N9是一种新型禽流感，其病毒颗粒呈多形性，其中球形病毒的最大直径为0.00000012米，这一直径用科学记数法表示为〔〕A ．1.2×10-9米B ．1.2×10-8米C ．12×10-8米D ．1.2×10-7米4．设“▲〞、“●〞、“■〞分别表示三种不同的物体，现用天平秤两次，情况如下图，那么▲、●、■这三种物体按质量从大到小排列应为〔 〕A ．■、●、▲B ．▲、■、●C ．■、▲、●D ．●、▲、■5．把右图中的三棱柱展开，所得到的展开图是〔〕6．以下说法正确的选项是〔〕A ．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形B ．对角线互相垂直的梯形是等腰梯形C ．对角线互相垂直的四边形是平行四边形D ．对角线相等且互相平分的四边形是矩形7．如图，要拧开一个边长为a =6cm 的正六边形螺帽，扳手张开的开口b 至少为〔〕 A ．62mm B ．12mm C ．63mm D ．43mm8．朵朵幼儿园的阿姨给小朋友分苹果，如果每人3个还3个，如果每人2个又多2个，请问共有多少个小朋友？〔〕A ．4个B ．5个C ．10个D ．12个9．如图，在两建筑物之间有一旗杆，高15米，从A 点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C 点，且俯角α为60º，又从A 点测得D 点的俯角β为30º，假设旗杆底总G 为BC 的中点，那么矮建筑物的高CD 为〔〕A ．20米B ．103米C ．153米D ．56米10．如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC =8cm ，BD =6cm ，DH ⊥AB 于点H ，且DH 与AC 交于G ，那么GH =〔〕 A ．2825cm B ．2120cm C ．2815cm D ．2521cm 11．“效劳他人，提升自我〞，七一学校积极开展志愿者效劳活动，来自初三的5名同学〔3男两女〕成立了“交通秩序维护〞小分队，假设从该小分队中任选两名同学进行交通秩序维护，那么恰好是一男一女的概率是〔〕 A ． B ． C ． D ．12．把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：〔1〕，〔3，5，7〕，〔9，11，13，15，17〕，〔19，21，23，25，27，29，31〕，…，现用等式A M =〔i ，j 〕表示正奇数M 是第i 组第j 个数〔从左往右数〕，如A 7=A ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． A ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 7题图 βαG DC B A9题图 H G O DC B A 10题图〔2，3〕，那么A 2021=〔〕A ．〔45，77〕B ．〔45，39〕C ．〔32，46〕D ．〔32，23〕第二卷〔非选择题，共114分〕二．填空题：本大题共6个小题，每题4分，共24分。
