圆周卷积的积分算法

1.理论知识1.1圆周卷积的定义设)(1n x 和)(2n x 为长度为N 的有限长序列，且[])()(11k X n x DFT =，[])()(22k X n x DFT =，如果()()()k X k X k Y 21=，则()()[]k Y IDFT n y =()()()()n R m n x m x N N N m -=∑-=1102 (1)证明：相当于将)(~),(~21n x n x 作周期卷积和后，再取主值序列。

将)(k y 周期延拓：)(~)(~~21k X k X k Y =）（则有： []()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-==∑∑-=-=10211021))(()(~)(~)(~)(~N m N N N m m n x m x m n x m x k Y IDFS n y在主值区间)())((,1011m x m x N m N =-≤≤ ，所以：()()()n R m n x m x n R n y n y N N m N N ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==∑-=1021)()()(~)( 同样可以证明：()())()()(1012n R m n x m x n y N N m N ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∑-=定义式（1）为序列)(1n x 与)(2n x 的圆周卷积，习惯表示为 ()()()n n x y 21x ⊙n =从以上的证明过程也可以得出圆周卷积与周期卷积之间的关系，即有限长序列圆周卷积结果的周期延拓等于它们周期延拓后的周期卷积。

也就是说，周期卷积的主值序列是各周期序列主值序列的圆周卷积。

1.2圆周卷积的计算圆周卷积的具体步骤为：第一步：在哑元坐标上做)(1m x 与)(2m x ；第二步：把)(2m x 沿着纵坐标翻转，得到)(2m x -； 第三步：对)(2m x -做圆周移位，得()()()n R m n x N N -2；第四步：)(1m x 与()()()n R m n x N N -2对应的相同m 的值进行相乘，并把结果进行相加，得到的对应于自变量n 的一个()n y ；第五步：换另一个n ，重复第三、四步，直到n 取遍[0,N-1]中的所有值，得到完整的()n y 。

卷积的数学公式
卷积是一种在数学和工程中广泛应用的技术，它是一种数学运算，用于将两个函数或信号相乘，然后对结果进行积分。

卷积的数学公式通常表示为：
(f * g)(t) = ∫f(τ)g(t - τ)dτ
其中，f和g是两个函数，*表示卷积运算符，t是自变量，τ是积分变量。

公式的意思是，将函数f和g相乘，然后将结果在t上积分。

卷积的应用非常广泛，它在信号处理、图像处理、物理学、工程学和其他领域中都有重要的作用。

例如，在信号处理中，卷积可以被用来将两个信号混合在一起，或者将一个信号滤波以去除噪声。

在图像处理中，卷积被用来模糊、锐化、增强图像的特定部分或提取图像的特征。

在物理学中，卷积可以被用来计算两个物理系统的响应，从而预测它们的效果。

总之，卷积是一种非常有用的数学公式，具有广泛的应用。

掌握卷积的数学公式可以帮助我们更好地理解和应用它在各种领域中的
作用。

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信号、系统与信号处理实验Ⅱ实验报告实验名称：线性卷积与圆周卷积的计算一、实验目的1、通过编程，上机调试程序，进一步增强使用计算机解决问题的能力。

2、掌握线性卷积与圆周卷积软件实现的方法，并验证两者之间的关系。

二、实验内容与要求已知两个有限长序列：x(n)= δ(n)+2δ(n-1)+3δ(n-2)+4δ(n-3)+5δ(n-4)；h(n)= δ(n)+2δ(n-1)+δ(n-2)+2δ(n-3)1.编制一个计算两个线性卷积的通用程序，计算x(n)*h(n)。

2.编制一个计算圆周卷积的通用程序，计算上述4种情况下两个序列x(n)与h(n)的圆周卷积。

3.上机调试并打印或记录实验结果。

4.将实验结果与预先笔算的结果比较，验证真确性。

三、实验程序与结果1、计算两个线性卷积的通用程序，计算x(n)*h(n)。

xn=[1 2 3 4 5]hn=[1 2 1 2]N=length(xn);M=length(hn);L=N+M-1;for(n=1:L)y(n)=0;for(m=1:M)k=n-m+1;if(k>=1&k<=N)y(n)=y(n)+hn(m)*xn(k);endendendy=conv(xn,hn);ny=0:L-1;stem(ny,y) ;xlabel('n ');ylabel('y(n) ');figurestem(ny,yn) ;xlabel('n ');ylabel('y ');根据定义编写循环实现线性卷积结果：01234567n y (n )Conv 函数实现线性卷积结果：01234567n y2. 计算圆周卷积的通用程序，计算上述4种情况下两个序列x(n)与h(n)的圆周卷积。

主程序：clear allN=[5 6 9 10];xn=[1 2 3 4 5];hn=[1 2 1 2];yc1=circonv(xn,hn,N(1))yc2=circonv(xn,hn,N(2))yc3=circonv(xn,hn,N(3))yc4=circonv(xn,hn,N(4))figurestem(0:N(1)-1,yc1);xlabel('时间序号n');ylabel('信号幅度');title('5点圆周卷积');figurestem(0:N(2)-1,yc2);xlabel('时间序号n');ylabel('信号幅度');title('6点圆周卷积');figurestem(0:N(3)-1,yc3);xlabel('时间序号n');ylabel('信号幅度');title('9点圆周卷积');figurestem(0:N(4)-1,yc4);xlabel('时间序号n');ylabel('信号幅度');title('10点圆周卷积');定义函数：function yc=circonv(x1,x2,N)if length(x1)>Nerror('N必须大于等于x1的长度'); endif length(x2)>Nerror('N必须大于等于x2的长度'); endx1=[x1,zeros(1,N-length(x1))];x2=[x2,zeros(1,N-length(x2))];n=[0:N-1];x2=x2(mod(-n,N)+1);H=zeros(N,N);for n=1:1:NH(n,:)=cirshiftd(x2,n-1,N);yc=x1*H';function y=cirshiftd(x,m,N)if length(x)>Nerror('x 的长度必须小于N');endx=[x,zeros(1,N-length(x))];n=[0:1:N-1];y=x(mod(n-m,N)+1);时间序号n 信号幅度5点圆周卷积00.51 1.52 2.533.54 4.55时间序号n 信号幅度时间序号n 信号幅度时间序号n 信号幅度四、仿真结果分析编写的线性卷积程序和conv 函数的结果相同，也与笔算结果相同。

卷积公式是信号处理、图像处理等领域中常用的一种数学工具。

卷积公式可以表示为：
f(t) * h(t) = ∫f(τ)h(t - τ)dτ
其中，f(t)和h(t)是两个函数，* 表示卷积运算。

这个公式的理解可以从以下几个方面入手：
1. 卷积是一种积分运算，它涉及到两个函数的相乘然后对时间积分。

2. 在卷积公式中，f(τ)是卷积的一个输入函数，h(t - τ)是另一个输入函数，它们在时间上相互滑动，并在每个位置相乘，然后将结果积分。

3. 卷积的结果是一个新的函数，它是输入函数f(t)和h(t)在时间上的重叠部分的加权叠加。

权重取决于两个函数在重叠部分的相对位置。

4. 在图像处理中，卷积可以看作是对图像的每个像素点加上一个由模板函数确定的权重，这个权重取决于模板函数与图像在该像素点的位置的相对位置。

5. 在信号处理中，卷积可以看作是对信号的每个时间点加上一个由滤波器函数确定的权重，这个权重取决于滤波器函数与信号在该
时间点的相对位置。

总的来说，卷积公式是一种描述两个函数在时间上相互作用的数学工具，它在信号处理、图像处理等领域中有广泛的应用。

11圆周卷积圆周卷积圆周运算其实圆周运算是针对周期序列⽽⾔的，由于周期序列在每⼀个周期内的取值都相同，所以我们只关注它的主值区间，⽐如，如果⼀个序列的长度为N的话，那么它的主值区间就是0\leq n\leq N-1。

虽然圆周运算是源⾃于对周期信号的处理，但是经过⼀般化的扩展之后，对有限长序列也可以进⾏圆周运算。

具体就是，你可以把有限长序列以它的长度为周期，进⾏周期延拓成⼀个周期序列，然后进⾏运算，然后取其主值区间进⾏观察得到的结果。

圆周反褶圆周反褶就是⼀个周期序列进⾏反褶之后，取其主值区间序列。

因为⼀个周期序列反褶之后还是周期序列，所以这么做是合理的。

假设⼀周期信号在其主值区间的取值为x[n]={x[0],x[1],x[2],x[3],x[4]}即该序列的周期为5，那么反褶后的信号为(只关注主值区间)\begin{aligned} y[0]&=x[0]=x[0] \\ y[1]&=x[-1]=x[5-1]=x[4] \\ y[2]&=x[-2]=x[5-2]=x[3] \\ y[3]&=x[-3]=x[5-3]=x[2] \\ y[4]&=x[-4]=x[5-4]=x[1] \end{aligned}为了⽅便⽤数学的语⾔描述这种运算，⾸先看⼀种数学上的模运算运算，⾸先看⼏个模运算的例⼦：\begin{aligned} 2 \,mod \, 5 =2 \\ 6 \, mod \, 5 = 1 \\ -3 \, mod \, 5 = 2 \end{aligned}不知道⼤家看出来没有，模运算其实就是求余，2对5的余数就是2，6对于5的余数是1，⽽-3对5的余数应该为(-3+5)\, mod\, 5=2(加上5之后不影响余数的⼤⼩，因为5⼀直能整除5，5对5的余数⼀直是0)我们把2 \, mod\, 5记作<2>_5，所以我们定义圆周反褶为y[n]=x[<-n>_N]其中N为序列x[n]的长度。

圆周卷积与周期卷积、线性卷积的关系及计算一、三者关系设：1122()01()01x n n N x n n N ≤≤-≤≤-N ：圆周卷积的点数⏹ 圆周卷积是周期卷积的主值序列。

周期卷积：1120()()()N m y n x m x n m -==-∑ （1）圆周卷积：1120()()()[()(())]()N c N N N m y n y n R n x m x n m R n -===-∑1210[()(())]()N N N m x m x n m R n -==-∑ （2）注意：（2）式直接使用的前提是圆周卷积的点数N 应满足：12max[,]N N N ≥（一般题目均符合此种情况）⏹ 周期卷积是线性卷积的周期延拓。

线性卷积：1112120()()*()()()N l m y n x n x n x m x n m -===-∑212121()()()*()N m x m x n m x n x n -==-=∑ （4）圆周卷积与线性卷积的关系：()[()]()c l N r y n y n rN R n ∞=-∞=+∑ （5）注意：上述关系式对任意长度的圆周卷积均适合。

二、举例说明1、对于12max[,]N N N ≥的情况，各教材例题很多，不再举例。

2、12N N N N <<或的情况。

习题8.已知序列()()2(1)(4)3(5)x n n n n n δδδδ=+-+-+-,4()()y n R n =，求：（1）()()*()z n x n y n =（2）()()f n x n =○5()y n （5点圆周卷积）。

解：(){1,2,0,0,4,3},(){1,1,1,1}x n y n ==（1）()()(){1,3,3,3,3,4,4,4,3}z n x n y n =*=（过程略） （2）()()f n x n =○5()y n （5点圆周卷积），N =5。

常见卷积计算公式
常见的卷积计算公式有两种，一种是离散卷积计算公式，另一种是连续卷积计算公式。

离散卷积计算公式：
卷积操作是两个序列之间的按元素乘积累加的运算，计算公式为：
y[n] = ∑(x[k] * h[n-k])
其中，y[n]为卷积结果的第n个元素，x[k]为输入序列的第k 个元素，h[n-k]为滤波器（卷积核）序列翻转后的第n-k个元素。

连续卷积计算公式：
卷积操作是两个函数之间的积分运算，计算公式为：
y(t) = ∫(x(τ) * h(t-τ)) dτ
其中，y(t)为卷积结果的函数，x(τ)为输入函数，h(t-τ)为滤波器（卷积核）函数翻转后的函数。

需要注意的是，在实际操作中，离散卷积计算通常是对离散信号（如图像）进行的，而连续卷积计算通常是对连续信号进行的。

卷积积分的步骤
卷积积分图解法的步骤依次为:1.换元；2.翻转；3.平移；4.相乘；5.积分。

卷积积分图示法的五个步骤：
1、公式如下：卷积积分公式是（f *g）∧（x）=(x)·(x)，卷积是分析数学中一种重要的运算。

2、设f（x），g（x）是R1上的两个可积函数，作积分，可以证明，关于几乎所有的x∈（－∞，∞），上述积分是存在的。

3、这样，随着x的不同取值，这个积分就定义了一个新函数h(x)，称为f与g的卷积，记为h（x）=（f *g）（x）。

4、容易验证，（f *g）（x）=（g *f）（x），并且（f *g）（x）仍为可积函数。

卷积与傅里叶变换有着密切的关系。

6、以(x) ，(x)表示L1（R）1中f和g的傅里叶变换，那么有如下的关系成立：（f *g）∧（x）=(x)·(x)，即两函数的傅里叶变换的乘积等于它们卷积后的傅里叶变换。

7、这个关系，使傅里叶分析中许多问题的处理得到简化。

8、由卷积得到的函数（f *g）（x），一般要比f，g都光滑。

9、特别当g为具有紧支集的光滑函数，f 为局部可积时，它们的卷积（f *g）（x）也是光滑函数。

10、利用这一性质，对于任意的可积函数，都可以简单地构造出一列逼近于f 的光滑函数列fs（x），这种方法称为函数的光滑化或正则化。

11、卷积的概念还可以推广到数列、测度以及广义函数上去。