压缩映像原理在递推数列极限中的应用

不动点和压缩影射的原理及其应用
摘要：学习了数学分析中一些不动点问题的解题方法和递推数列的极限，将不动点和压缩映像原理运用到求一些极限问题中，使我们更容易去解决关于数列极限存在性和如何快速求出极限的值。

关键词：不动点压缩影射递推数列应用
自从波兰数学家巴拿赫在1992年提出了有关压缩映像在完备的度量空间必然存在唯一的不动点的一些理论。

而后，许多数学工作者投入的大量的时间来研究，并取得了一些丰硕的成果。

今天，不动点和压缩映像原理在我们日常生活中运用十分广泛。

不动点原理在数学分析，常微方程，积分方程等很多地方都有它的应用。

而压缩映像可以用于证明一些简单的隐函数存在定理，特别是在求一些递推数列中。

然而在不少数学分析教材中一般不介绍它，这给我们带来许多问题的困扰。

建议老师将它放在微分中值定理和数列柯西收敛准则后学习，这样可以让学生更进一步了解泛函分析。

1 不动点和压缩映像定义及原理
定义1 设X为一个非空集合，映射T是X到X的一个映射，如果存在x*X使得Tx*=x*
则称x *是T的一个不动点。

定义2 设X是度量空间，T是X到X中的映射，如果存在一个数c ，0<c<1,使得对所有的x ,yX ,p(Tx ,Ty）<=c p(x ,y) ,则T是压缩映射。

（几何上的意思就是点x和y 经过T映射后，它们的像的距离缩小了，没有超过p(x，y）的c倍
(c<1).[]1。

压缩映射原理的性质和应用摘要本文较有系统的研究了压缩映射原理及其一些应用，由于压缩映射原理是属于不动点理论中的一类原理，所以有许多不同的形式，本文主要利用在常规度量空间中讨论压缩映射原理的方法，在概率度量空间中讨论压缩映射原理。

主要内容如下：第一章，是绪论部分，首先讲了我之所以写这篇文章的原因，然后是本文所研究问题的历史背景和发展情况。

第二章，介绍压缩映射原理的最基本的形式，即Banach压缩映射原理，通过对其定理内容和证明方法的分析，深刻认识了Picard迭代方法在证明中起到的重要作用，总结出了一套通用的方法证明这类定理，还找了一个例子，用总结出的方法进行了证明。

第三章，用第一章总结出的方法研究了压缩映射原理更复杂的形式，随着研究问题的复杂，也使第一章总结出的方法变得更加完善。

第四章，把前几章得到的结论和方法应用到了微分方程和微分方程组的解的存在唯一性上。

虽然只有两个例子，但是获得方法和思想可以用到许多其他的例子上。

第五章，引入概率度量空间的概念，和其中一系列与压缩映射原理有关的概念，结合概率度量空间的一些特殊性质，用前几章的讨论方法，在概率度量空间上讨论压缩映射原理，依次讨论了含随机数的压缩映射原理，在概率度量空间上添加一些条件后的基本压缩映射原理，非线性的压缩映射原理及应用等。

关键词：压缩映射；不动点；概率度量空间；非线性微分方程ABSTRACTIn this paper, a systematic study of the compression mapping principle and some applications, because of the contraction mapping theory is one of the principle in belong to the theory of fixed point, so there are many different forms, this paper mainly discussed used in conventional metric space compression mapping principle, the method of contractive mapping principle in probabilistic metric space. The main contents are as follows:The first chapter is the introduction part, first of all tell the reason why I write this article, and then this paper studies the historical background and development of the problem.The second chapter, this paper introduces the basic form of compression mapping principle, namely the contraction mapping theory, through the analysis of its proof content and methods, understanding the iteration method plays an important role in proof, summarizes a set of generic methods to prove this theorem, still looking for an example, summarizes the way has carried on the proof.The third chapter, in the first chapter summarizes the method of compression mapping principle is studied in the form of more complex, as the research problem of complex, also made the first chapter summarizes the methods become more perfect.The fourth chapter, in the previous chapter conclusion and method is applied to the existence and uniqueness of solution of differential equation and differential equations. Although only two examples, methods and thoughts can be used on many other examples.The fifth chapter, the introduction of the concept of probabilistic metric Spaces, and a series of concepts related to the contraction mapping theory, combined with some special properties of the probabilistic metric Spaces, the use of the previous chapters discuss method, compression mappings in probabilistic metric space principle, in order to discuss the compression mapping principle, containing the random number after adding some conditions in probabilistic metric space basic compression mapping principle, the principle and application of the compression of nonlinear mapping, etc.Key words: compression mapping; The fixed point. Probabilistic metric space; The nonlinear differential equation目录摘要 (I)ABSTRACT.................................................................................................................. I I第一章绪论 (1)1.1写作动机 (1)1.2不动点理论背景知识，历史渊源 (2)1.3压缩映射原理的简介 (3)第二章Banach压缩映射定理的证明思路探究 (6)2.1定理内容和证明 (6)2.2一个例子 (6)2.3本章总结 (8)第三章Banach压缩映射原理的推广 (10)3.1推广的背景： (10)3.2压缩映射原理的一种推广形式及其证明 (10)3.3本章总结 (12)第四章压缩映射原理的应用举例 (13)4.1一类简单积分方程的解的存在与唯一性的证明 (13)4.2积分方程组的解的存在与唯一性证明 (14)4.3本章总结 (16)第五章概率度量空间中的压缩映射原理 (17)5.1基本概念的构造 (17)5.2随机压缩映射原理的构造 (17)5.3概率度量空间的背景知识 (19)5.4概率度量空间中的基本概念 (19)5.5：t 范数的概念及其性质 (21)5.6概率度量空间上的压缩映射原理 (21)5.7概率度量空间上非线性的压缩映射原理 (24)5.8概率度量空间上的压缩映射原理的应用 (26)5.9本章总结 (26)结论 (28)参考文献 (29)第一章绪论1.1写作动机我第一次接触压缩映射原理是在张庆恭和林渠源老师所编写的泛函分析的书上，当时书中应用压缩映射原理瞬间证明出了常微分方程中当时分五步证明的解的存在唯一性定理和数学分析中的隐函数存在定理，这使当时的我感到非常吃惊，在常微分方程和数学分析书中对这两个定理的证明中似乎看不到这两个定理有什么联系，但是一旦应用上了压缩映射原理，就找到了它们的共同点。

压缩映射法求数列极限压缩映射法的概念是一种数学工具，它常常被应用于求解数列的极限问题。

通过不断压缩并映射数列中的元素，我们能够找到数列的极限值。

在数学中，数列是一串按照特定规律排列的数字。

求解数列的极限，则是要找到这个数列在无限项情况下的趋势或终极结果。

压缩映射法就是一种帮助我们求解数列极限的工具。

压缩映射法的基本思想是，将数列中的元素通过一个函数映射到另一个数列中，并通过不断迭代这个过程，逐步逼近数列的极限值。

具体步骤如下：1. 第一步是选择一个合适的映射函数。

这个函数应该能够将数列中的每个元素映射到另一个数列中，并且能够保持数列的递增或递减特性。

2. 接下来，我们需要对数列中的元素进行压缩。

这就是将选择的映射函数应用到数列的每个元素上，得到一个新的数列。

3. 然后，我们需要分析这个新的数列的特性。

我们可以观察数列的增减情况、极限值的趋势等等。

4. 根据前一步的分析，我们可以调整映射函数的选择或者调整压缩步骤的策略。

目的是逼近数列的极限值。

5. 通过不断迭代上述过程，我们可以逐渐接近数列的极限值。

举个例子来说明压缩映射法的应用。

考虑数列 {an} = {1/n}，我们希望求解这个数列的极限值。

首先，我们选择映射函数 f(x) = 1/(x+1)，然后将数列中的每个元素映射到新的数列 {bn} = {f(an)} = {1/(n+1)} 上。

接下来，我们观察新数列的特性。

可以发现新数列 {bn} 也是递减的，并且极限值为 0。

然后，我们可以进一步调整映射函数的选择，比如选择 f(x) = 1/(2x+1)，再次将数列中的每个元素映射到新的数列上。

通过不断迭代上述过程，我们可以逐渐逼近数列的极限值。

在这个例子中，我们发现数列的极限值是 0。

压缩映射法在数列极限的求解中具有广泛的应用。

通过选择合适的映射函数和采取适当的压缩步骤，我们能够更好地理解数列的性质，并找到数列的极限值。

这种方法在数学领域中的数列问题求解中是非常有用的，同时也提供了一种思路和工具，用于解决其他相关的数学问题。

压缩映射原理在求数列极限中的应用1 压缩映射原理在求数列极限中的应用压缩映射原理是一种以压缩方式在数值模拟和分析方面发挥巨大作用的原理。

它是基于数学中的积分和微分方法，采用简易压缩运算，综合得到极限值。

压缩映射原理在求数列极限中应用比较广泛，因为数列极限是数学中常用的概念。

压缩映射原理在求数列极限中是一种高效率的方法，它能够实现快速求解数列极限的操作，且求解结果更准确、有效，从而节约时间。

2 压缩映射原理的基本原理压缩映射原理的基本原理就是运用积分和微分的基本概念，以简单的压缩操作获得极限值。

压缩映射原理中，积分求出极限点的数值，而微分则比较两个极限点之间的变化，以此来达到求解数列极限的目的。

3 压缩映射原理在求解数列极限中的应用压缩映射原理在求解数列极限中，其应用是很重要的。

因为这可以避免计算量大、精度低的误差而能够快速求出数列极限，也可以较好地发挥微分计算和积分估算的作用。

这可以将求解难度减轻，从而达到数学计算上的最优效果。

4 压缩映射原理的几大优点压缩映射原理在求数列极限中应用十分广泛，它的几大优点也是因此而产生的。

其几大优点有：1、准确性高：压缩映射原理能够准确求出数列极限，这也是它应用非常广泛的主要原因之一。

2、快速性高：压缩映射原理的特点是快速求解，它能够将求解过程快速地完成，从而节省计算量和工作量。

3、方便性高：使用压缩映射原理进行数列极限的求解，计算速度迅速，而且工作量也不大。

5 结论压缩映射原理在求数列极限中的应用非常重要，它的应用可以显著提高数列极限求解的效率。

其优点是准确性高、快速性高、方便性高，值得广泛应用。

压缩映射原理的推广应用简介压缩映射是一种用于减小存储空间和提高数据查询效率的技术。

它通过将原始数据映射到更小的空间中，从而实现数据的压缩和存储节省。

本文将介绍压缩映射的原理以及其在不同领域的推广应用。

压缩映射原理什么是压缩映射？压缩映射是一种将原始数据通过某种算法映射到更小的空间中的过程。

通过这种方式，可以减小原始数据的存储空间并提高数据的查询效率。

压缩映射的原理压缩映射的原理是通过寻找数据中的冗余部分，并将其压缩保存。

常见的压缩算法包括哈夫曼编码、Lempel-Ziv编码等。

这些算法通过统计数据中出现的频率或者利用数据中的重复模式，来找到数据中的冗余部分并进行压缩。

压缩映射在不同领域的推广应用数据压缩压缩映射广泛应用于数据压缩领域。

在大数据时代，数据增长迅速，对存储空间的需求也越来越高。

利用压缩映射技术，可以有效减小数据的存储空间，并且不影响数据的使用。

图像压缩图像压缩是压缩映射的典型应用之一。

通过对图像的像素进行压缩映射，可以大大减小图像的文件大小，从而提高图像传输的效率。

常见的图像压缩算法包括JPEG、PNG等。

文本压缩压缩映射也可以应用于文本压缩领域。

在大量的文本数据中存在大量的冗余信息，利用压缩映射技术可以去除这些冗余信息，从而减小文本的存储空间。

常见的文本压缩算法包括gzip、zip等。

数据库压缩压缩映射在数据库领域也有着广泛的应用。

通过对数据库中的数据进行压缩映射，可以减小数据库的存储空间，并提高数据的查询效率。

数据库压缩映射常常采用列式存储的方式，将同一列的数据进行压缩存储。

网络传输压缩压缩映射还可以用于网络传输压缩领域。

在网络传输过程中，数据的传输效率直接影响了网络的速度和响应时间。

利用压缩映射技术，可以减小传输数据的大小，从而提高网络传输的效率。

结论压缩映射是一种用于减小存储空间和提高数据查询效率的技术。

它在数据压缩、图像压缩、文本压缩、数据库压缩和网络传输压缩等领域都有广泛的应用。

2007年 3 月 Journal of Science of Teachers′College and University Mar． 2007文章编号：1007-9831（2007）02-0019-03压缩映像原理在递推数列极限中的应用吴秉会1，魏连锁2（1. 齐齐哈尔大学 教务处，黑龙江 齐齐哈尔 161006； 2. 齐齐哈尔大学 理学院，黑龙江 齐齐哈尔 161006）摘要：结合递推数列的特点，将压缩映像原理运用到数列极限问题中去，使关于数列极限存在性和求解问题得到更快、更简易的解决． 关键词：不动点；递推数列；压缩映像原理中图分类号：O177.91 文献标识码：A波兰数学家Banach 在1922年提出的压缩映像原理是对前人用逐次逼近法求解各类方程的方法的概括，在方程解的存在性、希尔伯特空间规范正交系存在性、隐函数存在定理等诸多方面有着广泛的应用．在此，我们将压缩映像原理应用到数列极限中，利用不动点来求得数列的极限．１ 概念和定理Banach 不动点原理——压缩映像原理[1]是建立在完备的度量空间基础上的，由实数集R 的完备性及闭集F 的完备性，有如下的定义和定理： 定义1 f 为R R →（或闭集F F →）的的映像，如果∃10<<k 使得|| |)()(|y x k y f x f −<−，x ，R ∈y （或x ，F y ∈）则称f 是一个压缩映像．定理1 f 为R R →（或闭集F F →）的压缩映像，则对R 0∈∀x （或F x ∈∀0），迭代数列)(1n n x f x =+" ,2 ,1 ,0=n 必收敛于)(x f 的唯一不动点∗x ，即∗∞→=x x n n lim 且)(∗∗=x f x ．定义2f 是→] ,[b a ] ,[b a 的映像，若满足|| |)()(|y x y f x f −<−，y x ≠∀，x ，] ,[b a y ∈，则称f为] ,[b a 到] ,[b a 的广义压缩映像．定理2[2]f 是→] ,[b a ] ,[b a 的广义压缩映像，则对] ,[0b a x ∈∀，迭代数列)(1n n x f x =+，" ,2 ,1 ,0=n ，必收敛于)(x f 的唯一不动点∗x ，即∗∞→=x x n n lim 且)(∗∗=x f x ．在实际应用中可通过如下定理来确定f 是否为（广义）压缩映射． 定理3)(x f 是一元可微函数，则有：i）若)(x f 在R 上可微，且当∃10<<k 使得1|)('|<≤k x f ，则f 是一个压缩映像．ii）若)(x f 在] ,[b a 上可微，且当∀) ,(b a x ∈，有1|)('|<x f ，则f 是一个广义压缩映像．证明 i ）因为)(x f 是一元可微函数，)(x f 在R ] ,[⊂y x 满足拉格朗日中值定理条件，则有=−)()(y f x f ))(('y x f −ξ，又∃10<<k 使得1|)('|<≤k x f ，所以|| |)()(|y x k y f x f −<−，则由定义1可得f 是一个压缩映像．ii）同理，)(x f 在] ,[] ,[b a y x ⊂上亦满足拉格朗日中值定理条件，于是有=−)()(y f x f ))(('y x f −ξ，又∀) ,(b a x ∈，有1|)('|<x f ，所以|| |)()(|y x y f x f −<−，则由定义2，可得f 是一个广义压缩映像．２ 应用收稿日期：2006-12-16作者简介：吴秉会（1978-），男，黑龙江齐齐哈尔人，助教．E-mail：wbh760776@以下各例均取材于部分高校研究生入学试题，并进行了一定的推广，使其更具一般性．例1[3]给定常数1>k ，设k u =1，1−+=n n u k u ，=n 2，3，… ，证明|}{|n u 有极限，并求出极限．证明 令x k x f +=)(，0≥x ，显然)(1−=n n u f u ，2≥n ．又1)2/(1|)2/(1||)(|'<≤+=k x k x f ，故依定理3 i）知)(x f 为) ,0[) ,0[∞+→∞+的压缩映射，由定理1，}{n u 必收敛于)(x f 在) ,0[∞+中的唯一不动点，即A u n n =∞→lim ，满足A k A +=，解得2/)411(k A +±=，由于0>n u ，" ,2 ,1=n ，有0lim >=∞→A u n n ，从而2/)411(lim k u n n ++=∞→．由以上例题可以看出，在解决递推数列的极限问题时，可先依题意构造出一个（广义）压缩映射f ，应用（广义）压缩映射原理判定其是否有极限A ，若存在则由)(A f A =得到A ，即为所求数列极限．但在构造函数f 时，需注意x 的定义域X 的选取，要使X u n ⊂}{，" ,2 ,1=n ．并且，由于数列的前有限项的值对数列极限无影响，从而对X 的要求可以减弱为X u n ⊂}{，" ,1 ,+=m m n ，N ∈m 为一有限数．在压缩映像条件常数r （1|)(|'≤≤r x f ）难以寻求时，用广义压缩映像原理．例2 a a =1，2/)/(1n n n a A a a +=+)0 , ; ,2 ,1(>=A a n "，证明}{n a 收敛，并求n n a ∞→lim ．证明 令2/)/()(x A x x f +=，0>≥a x ，则)(1n n a f a =+（" ,2 ,1=n ），A x A x x f +−=2/)/()(2A ≥，可视)(x f 为) ,[) ,[∞+→∞+A A 的映像，因为2/1|2/)/1(||)(|2'<−=x A x f ，) ,[∞+∈A x ，则由定理3 i）知)(x f 为压缩映像，再由定理1数列}{n a 收敛，设C a n n =∞→lim ，由0>n a 有0>C ，则2/)/(C A C C +=，解得A C =．例3 给定Z ,π ,00∈≠k k a a ，设 n n a a sin 1=+（" ,2 ,1 ,0=n ），求n n a ∞→lim ．解 令x x f sin )(=，]1 ,0(∈x ，则)(1n n a f a =+（πk a ≠），]1 ,0(sin 01∈=a a ，从而)1 ,0(∈i a （,2=i " ,3 ），又 1|cos ||)(|'<=x x f ，)1 ,0(∈∀x ，则由定理3 ii）知f 为广义压缩映像，由定理2知n a 必收敛于f 在]1 ,0[中唯一不动点，设A a n n =∞→lim ，有A A sin =，]1 ,0[∈A ，所以0=A ，即0lim =∞→n n a ．在例2中，有限项a a =1是否在) ,[∞+A 内对极限问题无影响，故可视)(x f 为) ,[) ,(∞+→∞+A A 的映像，进而运用定理3，同样情况出现在例３中的0a ，0a 是否在]1 ,0[内对极限问题及区间]1 ,0[的选取无影响．众所周知，单调有界定理是研究序列极限存在性的有力工具，但对于某些问题应用单调有界定理证明较繁琐，此时，不妨用压缩映像原理一试．例4 给定1≥k 常数，设11=x ，)1/(2+=k k x ，)/(1n n x k k x +=+，求n n x ∞→lim ．分析 假设极限存在，值为A ，则)/(A k k A +=，2/)4(2k k k A +±−=（舍去负值）．再研究n x 与A 的大小关系：若A x n <，则A A k k x k k x n n =+>+=+)/()/(1；若A x n >，则A A k k x k k x n n =+<+=+)/()/(1， 即n x 在A 左右来回跳动，又由于)42/(22/)42(2/)4(11222k k k k k k k k k A +++=+−+=++−−=− 0>，即A x >=11，从而得到A x x x x n >+"" , , , , ,12531，, ,42x x A x x n <+"" , , ,226．至此可看出此问题应用单调有界原理比较繁琐，若用压缩映射原理将很容易解得此题．解 令)/()(x k k x f +=，]1 ,0[∈x ，则)(1n n x f x =+，" ,2 ,1=n ，1|/||)/(||)(|22'≤<+=k k x k k x f ，)1 ,0(∈x ，即1|)(|'<x f ，从而由定理3得到)(x f 是]1 ,0[]1 ,0[→的广义压缩映像，再由定理2可得}{n x 收敛于f 在]1 ,0[中的唯一不动点，设A x n n =∞→lim ，则)/()(A k k A f A +==，由0>n x 解得，)4(2k k k A ++−=/2． 参考文献：[1] 张恭庆，林源渠．泛函分析讲义（上册）[M]．北京：北京大学出版社，1998． [2] 宋国柱．分析中的基本定理和典型方法[M]．北京：科学出版社，2004． [3] 裴礼文．数学分析中的典型问题与方法[M]．北京：高等教育出版社，1993．第2期 吴秉会等：压缩映像原理在递推数列极限中的应用 21 Application of contraction mapping principle to recursion sequence of numberWU Bing-hui 1，WEI Lian-suo 2（1. Office of Dean，Qiqihar University，Qiqihar 161006，China； 2. School of Science，Qiqihar University，Qiqihar 161006，China） Abstract：Combining the features of recursion sequence of number, applied the contraction mapping principle to the limit of sequence of number, arriving at a more prompt and easier approach to existence of limit of sequence of number and its solution.Key words：fixed point；recursion sequence of number；contraction mapping principle管式炉在粗苯生产系统的应用杜红宝1 粗苯工艺流程简介黑化集团公司焦化厂现有2座半焦炉（型号58－Ⅱ一座，JN43-80一座半），年设计能力为75万t焦炭及与其配套的化产回收系统．粗苯系统是化产回收的重要生产系统，年设计生产粗苯一万t．粗苯系统分洗涤和蒸馏2部分． （1）洗涤部分：从硫铵系统来的 45～55℃的煤气进入终冷塔，用循环水直接冷却到20～30℃，煤气中 的萘同时被水洗下来，然后煤气再进入洗苯塔，用洗油与煤气逆流喷洒，吸收煤气中的苯，使煤气中的苯含量达到2 g/Nm3以下后送往化肥厂及焦炉回炉加热．（2）蒸馏部分：洗油在洗苯塔内洗苯后变成富油，再用富油泵送经苯分缩器、贫富油换热器后，经管式炉加热到160～180℃再送到脱苯塔，富油在脱苯塔内被直接蒸汽蒸吹，从脱苯塔顶蒸出的苯汽经分缩器、苯冷凝冷却器后得到液态粗苯产品，脱苯塔底的热贫油经贫富油换热器、贫油冷却器回到循环油槽，供洗苯塔洗苯用．2 粗苯管式炉蒸馏工艺的优点（1）提高粗苯回收率 在粗苯蒸馏系统中，由于富油在管式炉内被加热的温度高，可达160～180℃（蒸汽预热富油一般只有145℃），进入脱苯塔后，则塔底贫油温度也相应提高，贫油中各组分的蒸汽压增大，从而使粗苯的蒸出率也增加，贫油含苯降低，粗苯管式炉蒸馏工艺可使贫油含苯降到0.5％以下（蒸汽预热富油蒸馏工艺贫油含苯一般在0.8％左右）．在粗苯洗涤系统中，用洗 油吸收煤气中的苯族烃是物理吸收过程，服从亨利定律和道尔顿定律，贫油含苯量越低，则洗苯塔后含苯量也越低，苯的回收率越高．（2）不受蒸汽压力波动影响，生产稳定．（3）降低蒸汽耗量．（4）减少酚水量．3 粗苯管式炉加热富油脱苯工艺生产运行情况经过管式炉热负荷计算，得知管式炉需提供热量为1608万kJ/h，又根据对国内济南钢铁厂等8个厂家考察，选择1 674万kJ/h 型号为5.815 mw-245 mpa-φ140/φ114．粗苯管式炉2003年12月29日投产，同蒸汽加热富油脱苯工艺比，近几年主要技术指标情况如表1．由表可以看出，粗苯管式炉投产后，运行稳定，主要技术指标完成的很好，但由于我厂入管式炉的蒸汽本身就是过热蒸汽温度200℃左右，致使出管式炉的过热蒸汽超出规定范围，解决办法是进一步计算后，减少管式炉内蒸汽管根数（换热面积）．表1 主要技术指标同期 富油流量t/h富油出管式炉温度/℃过热蒸汽温度/℃贫油含苯/（％）洗苯塔前煤气含苯g/Nm3洗苯塔后煤气含苯g/Nm3苯回收率/（%）煤气耗量Nm3/t粗苯蒸汽耗量t/t粗苯2003 60 富油出预热器温度 145—— 0.8 38.58 2.0 94.8 — 5.52004 60 165 480 0.5 38.38 1.64 95.7 590 1.52005 60 168 485 0.45 41.55 1.16 97.2 595 1.52006上半年60 168 484 0.46 40.15 1.17 97.1 593 1.54 经济效益焦炉结焦时间按18 h计算，洗苯塔后含苯降低按0.5 g/Nm3计算，则全年可增收粗苯154 t粗苯，增收77万元；年节约蒸汽4.4万t，节约费用308万元；年消耗煤气660万Nm3， 消耗费用330万元．则每年综合增效为55万元． 黑化集团公司焦化厂于2003年12月将粗苯蒸汽加热富油脱苯工艺改为管式炉加热富油脱苯工艺，经过几年的生产实践检验，此装置运行稳定、良好，达到了改造的目的——富油温度由原来的145℃提高到168℃，贫油含苯由原来的0.8％降到0.5％，塔后含苯由原来的2.0 kg/Nm3降到1.5 kg/Nm3，蒸汽单耗1.5 t/t粗苯．问题是过热蒸汽温度偏高些，需进一步改进． 参考文献：[1] 库咸熙．炼焦化学产品回收与加工[M]．北京：冶金工业出版社，1983．[2] 焦化设计参考资料编写组．焦化设计参考资料[M]．北京：冶金工业出版社，1982．（作者单位：黑化集团公司 焦化厂技术科，黑龙江 齐齐哈尔161041）。

单调有界定理和压缩映射定理在求解递
推数列极限中的应用
求解递推数列极限是数学中一个重要的问题，它可以帮助我们更好地理解数学知识，并且可以
用来解决实际问题。

在求解递推数列极限中，单调有界定理和压缩映射定理是两个重要的定理，它们可以帮助我们更好地求解递推数列极限。

单调有界定理是一个重要的定理，它可以帮助我们求解递推数列极限。

它的主要思想是：如果
一个递推数列是单调的，并且它的值都在一个有界的区间内，那么这个递推数列的极限存在，
并且它的极限值就是这个区间的上界或下界。

压缩映射定理也是一个重要的定理，它可以帮助我们求解递推数列极限。

它的主要思想是：如
果一个递推数列的每一项都可以通过一个压缩映射函数映射到另一个递推数列，那么这两个递
推数列的极限是相等的。

因此，单调有界定理和压缩映射定理在求解递推数列极限中都有重要的作用。

它们可以帮助我
们更好地理解数学知识，并且可以用来解决实际问题。

压缩映射原理及其应用压缩映射原理被普遍应用于处理判别极限存在性和唯一解的问题上。

他的定义为： 设X 是距离空间，:T X X →为一映射，如果存在01α<<，对,x y X ∀∈都有()(),,Tx Ty x y ραρ≤，则称T 是X 上的一个压缩映射。

而如果一个映射是压缩映射，他必有唯一解，称为不动点。

定义为：设X 是距离空间，:T X X →为一映射，如果存在x X ∈使得x Tx =，则称x 是T 上的一个不动点。

利用压缩映射的方法可以简便的求解出级数的极限，下面引入一道例题加以说明。

例1 设10a >，131,1,2,34n n n a a n a +=+=+，证明数列{}n a 有极限，并求其值。

在高等数学中我们解决级数极限存在与否的问题时一般用两种方法，一是递推法求出通项公式进而求极限；二是利用单调有界数列收敛定理判别。

如例1，递推法要写处递推公式并找到1n a +与n a 之间的关系，这种方法不一定适用于所有题型；而单调有界定理需要写非常多的解析式。

利用压缩映射原理可以更快速的证明其存在极限且求出极限值。

首先构造映射x Tx =，将131,1,2,34n n n a a n a +=+=+构建成映射形式即：n a x =，()1n a f x +=，显然()0,x ∈+∞()314x f x x =++，()()21214f x r x '=<<+， 根据拉格朗日中值定理可以得出：()()()()1111n n n n n n n n a a f a f a f a a r a a ξ+---'-=-≤-≤-， 推广到一般性可以得到：1212121111n n p n n p k n p n k n r r r a a r a a a a a a r r++-+-+--≤-=-≤---∑， 应用柯西准则可以知{}n a 收敛，设lim n n a A →∞=，显然0A >，在()1n n a f a +=两边令n →∞，得到()314A A f A A==++，解得2A =±，因为0A >，所以2A =，，从而lim 2n n a →∞=。