高中数学 高中圆锥曲线实验及作图

《几何画板》课件制作第二类课件圆锥曲线的画法一、由第二定义出发统一构造椭圆、抛物线和双曲线原理：到定点和定直线的距离之比等于定值m的点的轨迹：当0<m<1时，轨迹为椭圆；当=1时，轨迹为抛物线；当m>1时，轨迹为双曲线。

制作过程：1）如图（3）所示：打开一个新画板，画一条竖直的直线j（定直线）和直线外一点A（定点）。

在直线j上取点C，过点A，C作直线j的垂线l,k,点B，C 为垂足。

<图 3>2）取点C，B作圆C1，交直线k于E。

3）新建参数t，并标记比值，让点E以C为中心，按标记比进行缩放得E'。

4）取C，E'作圆C2，取CA的中点G和点C作圆C3，交C2于F。

5）用直线连接A，F交直线k于D，则AD/CD=CE/CE'=1/t。

6）选中C，D作轨迹，作点D关于直线l的对称点D'，选中C，D'作轨迹，最后隐藏不必要的对象。

说明：（1）在圆C1中，CB=CE，在圆C2中，CF=CE'，在⊿BCF和⊿ADC中，因为∠CFB=∠ACD=∠BAC，∠CBF=∠DAC（同弧上的圆周角相等），所以⊿BCF和⊿ADC 为相似三角形。

则CB/CF=AD/CD=CE/CE'=m=1/t,即定点A和定直线j距离之比等于定值m。

（2）单击"运动参数t"按钮，比值m 随之改变，这时可以动态地看到，当m 小于1的值逐渐变为1时，轨迹由椭圆变成抛物线；当m 大于1时，轨迹变成双曲线。

二、由第一定义出发，构造椭圆和双曲线及抛物线原理：椭圆（双曲线）——到定点的距离和定直线的距离之和（差）等于定值的点的轨迹；抛物线——到定点的距离和定直线的距离相等的点的轨迹。

制作过程：1.椭圆（或双曲线）的制作：<图 4> <图 5>()()1211221121,2()()x F x F F M F M MN N F M F N MN A B AB F F A F B 作出平面直角坐标系，在轴上任取两点作圆标记圆心的点记为，另一点隐藏。

x2 y2 = 1( a > 0, b > 0 ) 在点 T ( x 0, y 0) 处的 切线 方 a2 b 2 程分别是 x 0x y0y x 0x y0y + 2 = 1 和 2 - 2 = 1。 a2 b a b 4 1 椭圆准线的作图 作法 设 T ( x 0, y 0) ( 非顶点 ) 是 椭圆
x2 y2 + = 1( a > b > 0) 于点 S 、 T , 点 A 1、 A 2 分 别是椭 a 2 b2 圆的 左、 右 顶点 , 连接 A 1 S 、 A 2 T 交于 点 M , 则 过 M
2004 年第 3 期
设 H ( x 0, 0 ) , 又 | T F | =
中学数学教学
2x 0 b2 2a2 , 所以 2 = ,即 a x 0- c b 点, 作
c- a = 2c - a
a- x 0 a2 , 即 x0= 。故直线 MH 为双曲线的 ( 右 ) 准 c 2 a- x 0 线。 4 利用圆锥曲线切线作图 x2 y2 + = 1( a > b > 0) ( 双 a 2 b2 本作法以如下熟知的命题 为基础。 命题 1 曲线 设 T 是椭 圆
x 2 y2 F 22 = 1 ( a > 0, b> 0 ) ) 上一点 ( 非顶点 ) , F 1、 a b 是曲线的两 焦点 , T K 是 ∀ F 1 T F 的 角 平分 线 的垂 线 ( ∀ F 1 TF 的角平分线 ) , 则 T K 是 椭圆 ( 双 曲线 ) 在 T 点处的切线。 命题 2 椭圆 x 2 y2 + = 1 ( a > b> 0 ) 及双曲线 a2 b 2
2
Hale Waihona Puke x2 y2 = 1 ( a > 0 , b > 0 ) 准线 a 2 b2 几何作图的统一的作法。 1 1 椭圆准线的作图 作法 以原点为 圆心 , 以 a 为半 径作 圆 , 交 y 轴 于点 E , 连接 EF ( F 是椭 圆的 左焦点 ) , 作 直线 EH EF 交 x 轴 于点 H , 则 过点 H 且垂 直于 x 轴 的直线 l 即为椭圆的右准线 ( 如下图 1 ) 。 证明 因 为 | OF | = c, | OE | = a, 在 Rt FEH 中 , 由射影定理得 , | OE | 2= | OF | ! | OH | , 所以 | OH | = a2 。故直线 l 为椭圆的右准线。 c

F1
.
F0 A2 x
其中 a2 b2 c2 , a 0,b c 0 ， F0 , F1, F2 是对应的焦点。 B1
（1）若三角形 F0 F1F2 是边长为 1 的等边三角形，求“果圆”的方程；
（2）若
A1 A
B1B
，求
b a
的取值范围；
解：（1）∵F0（c，0）F1（0， b2 c2 ），F2（0， b2 c2 ）
①；
∵点 P1, P2 在双曲线上，∴点 P1, P2 的坐标适合方程①。
将 (3, 4
2
),
(
9 4
,
5)
分别代入方程①中，得方程组：
(4 2)2 a2
32 b2
25 a2
(
9)2 4 b2
1
1
将
1 a2
和
1 b2
1
看着整体，解得
a2 1
1 16
1
，
b2 9
∴
a 2 b2
16 即双曲线的标准方程为 y2
9
16
x2 9
1。
点评：本题只要解得 a2 ,b2 即可得到双曲线的方程，没有
必要求出 a,b 的值；在求解的过程中也可以用换元思想， 可能会看的更清楚。
(4) 与双曲线 x 2 y 2 1有共同渐近线， 9 16
且过点 (3,2 3) 。
解析：（4）设所求双曲线方程为 x2 y 2 ( 0) ，
3 m
5 n
1
定义，还要知道椭 圆中一些几何要素
所以，椭圆方程为 y2 x2 1 ． 与椭圆方程间的关
10 6
系。
例 2．设椭圆的两个焦点分别为 F1、、F2，过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P，若△F1PF2 为

数学实验报告实验序号：3日期：2015年3月28日班级：12组别：123成员：林佳彦林佳佳刘嘉棣郑素萍黄永欣1.实验名称：关于圆锥曲线产生的三个经典实验2.实验目的：沿着历史的轨迹，重走前人发现圆锥曲线的历程。

重现圆锥曲线产生的三个经典实验——梅内克缪斯的割圆锥法、阿波罗尼奥斯的割圆锥法、Dandelin双球实验。

探讨圆锥曲线的种类和各种圆锥曲线产生的条件。

3.实验方法：利用实物、模具观察，利用几何画板课件进行探讨、反思4.实验器材：卡纸、水、橡皮泥、乒乓球、透明软文件夹5.实验过程：（操作步骤、异常情况报告、处理方法）一、梅内克缪斯割圆锥法——最早对圆锥曲线的命名背景：公元前4世纪，希腊著名学者梅内克缪斯首先发现了圆锥曲线.他用平面去截圆锥曲面而得到截痕,并称之为圆锥曲线.当时的圆锥曲面都是通过直角三角形的一条直角边为旋转轴旋转而成的.根据轴三角形顶角的不同,将圆锥曲面分为锐角圆周、钝角圆锥和直角圆锥.Menaechmus用垂直于一条母线的平面去截这三种圆锥面，得到三种不同的截痕。

在锐角圆锥上的截痕定义为椭圆，钝角圆锥上的截痕是双曲线（的一支），在直角圆锥上的截痕是抛物线.值得注意的是，梅内克缪斯虽然推导了圆锥曲线的一些性质，但并没有建立焦点、焦半径的概念.并且当时所使用的旋转体均为直角三角形，得到的均为正圆锥，有一定的局限性.（1）我们小组通过用建立坐标轴的方式，将梅内克缪斯割圆锥法用现在定义的圆锥曲线方程进行验证，发现其与现在的圆锥曲线方程是相符的.即两种定义是相符的，满足了定义的一致性.○1直角圆锥：∵平面DEG⊥平面ABC,平面PVR⊥ABC∴QP⊥平面ABC∴PQ⊥RV又∵RV是直径,根据射影定理∴PO²=RO×OV∵△HDG∽DOV∴DO OV DO DG=OV=HD DG HD∙⇒且RO=HD∴PO2=RO×OV=HD×DO DGHD∙=DO×DG若我们建立以D为圆心,DF为X轴的直角坐标系,P点坐标为(x,y)则得到曲线方程为:2y DG x=∙,其中DG由点D的位置决定,是一个常数这正好符合我们现代解析几何中的抛物线的方程。

• 通过这节课，对知识有什么新认识？ • 加深理解了什么方法？
2013 海淀二模理 14.在平面直角坐标系中，动点 P(x, y) 到两条坐标轴的距离之和等于它到点 (1,1) 的距 离，记点 P 的轨迹为曲线W .
(I) 给出下列三个结论：
①曲线W 关于原点对称； ②曲线W 关于直线 y x 对称； ③曲线W 与 x 轴非负半轴， y 轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于 1 ；
距离之积等于常数a 2，
（1）曲线C过坐标原点；
（2）曲线C 关于坐标原点对称；
（3）点P是曲线C
上点，则F1PF2的面积不大于
1 2
a 2。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
以上结论正确的是_____________
、
如：（1）曲线C范围是什么？ （2）曲线C是否关于x轴或者y轴对称？
（3）若a=0，则曲线C表示的是什么？
课堂小结：
请你分析曲线x3 y2 1的几何性质？
你能画出曲线x3 y2 1的图像吗？
例、题1：乔凡尼多美尼科 卡西尼是一位意大利出生的法国籍 天文学家和水利工程师，他是第一个发现土星的人。
1675年，他在研究土星及其卫星的运行规律时，发现了
一条平面曲线方程，满足以下条件：
曲线C上任意一个动点P到两个定点F1 1, 0、F2 1, 0
2
其中，所有正确结论的序号是_____;
(Ⅱ)曲线W 上的点到原点距离的最小值为______.
分析x2 y3 1性质和图像
平面解析几何研究的两个主要问题：
(1)根据已知条件求出曲线的方程； (2)通过方程研究曲线的几何性质。
由曲线的方程研究曲线的几何性质
你能说出椭圆 x2 y2 1的哪些几何性质？ 2

学习课件
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2双曲线的简单几何性质课件新人教A 版选修2
2.线的草图，首先在坐标系中画出渐近线 y＝±32x，顶 点－23，0，23，0，然后算出双曲线在第一象限内一点的坐标， 比如取 y＝1，算出 x＝232≈0.94，可知点(0.94,1)，(0.94，－1) 在双曲线上，将三点(0.94，－1)，(23，0)，(0.94,1)依次连成光滑 曲线并让它随 x 的增大逐步接近渐近线，画出位于第一、四象限 内双曲线的一支．最后由对称性可画出位于第二、三象限内双曲 线的另一支，得双曲线的草图如图所示.
(2a，－ 3b)，代入直线方程得－ 3b＝ba(2a－c)，化简可得离心 率 e＝ac＝2＋ 3.
【答案】 2＋ 3
法二：∵渐近线 y＝12x 过点(4,2)，而 3<2， ∴点(4， 3)在渐近线 y＝12x 的下方， 在 y＝－12x 的上方(如图)． ∴双曲线的焦点在 x 轴上，
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间，你 们休息一下眼睛，
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动，久坐 对身体不好哦~
结束语
同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成 功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没 有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念， 考试加油!奥利给~
【解析】 如图所示，不妨设与渐近线平行的直线 l 的斜率
为ba，又直线 l 过右焦点 F(c,0)，则直线 l 的方程为 y＝ba(x－c)．因 为点 P 的横坐标为 2a，代入双曲线方程得4aa22－by22＝1，化简得 y ＝－ 3b 或 y＝ 3b(点 P 在 x 轴下方，故舍去)，故点 P 的坐标为

2、我们可利用上面的三条关系式来判断动 点M的轨迹是什么！
例1．已知条件p：平面上的动点M到两定点F1,F2
的距离之和为常数2a> |F1F2| ；条件Q：动点M的
轨迹以F1,F2为焦点的椭圆，则P是Q的（C）条件
A.充分不必要
B。必要不充分
C.充要
D.既不充分也不必要
例2．如图:一圆形纸片的圆心为O,F是圆内一定点，M
MF1 + MF2 ＝MP + MQ ＝ PQ＝定值
V
Q O2
F2 F1
M
O1
P
椭圆的定义:
平面内到两定点 F1，F2的距离和等于常数（大于 F1F2） 的点的轨迹叫做椭圆，两个定点 F1，F2叫做椭圆的焦 点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。
可以用数学表达式来体现:
设平面内的动点为M,有MF1 MF2 2a
是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平
纸 片 ， 折 痕 为 CD ， 设 CD 与 OM 交 于 P ， 则 点 P 的 轨 迹 是
（A ）
D M
A.椭圆
B.双曲线
C.抛物线
D.圆
O
C
F
例3．一动圆过定点A(-4,0) ，且与定圆 B：（x-4曲线右支 ）
看ＰＦ１和ＰＦ２谁大，偏向小 的一边。
抛物线的定义 :
平面内到一个定点F和一条定直线L（F不在L 上）的距离相等的点轨迹叫做抛物线，定点F叫做 抛物线的焦点，定直线L叫做抛物线的准线
可以用数学表达式来体现: 设平面内的动点为M ,有 MF=d（d为动点M到
直线L的距离）
说明：
1、椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线
变式：过点A(3,0)且与y轴相切的动圆

确定圆锥曲线的类型和参数
绘制圆锥曲线的常用方法
极坐标法：将圆锥曲线转换为极坐标形式，然后绘制出曲线的图像。
数值法：通过数值计算的方法，近似地绘制出圆锥曲线的图像。
直接法：根据圆锥曲线的定义和性质，直接绘制出曲线的图像。
参数法：通过引入参数方程，将圆锥曲线表示为参数方程，然后绘制出曲线的图像。
绘制圆锥曲线的注意事项
圆锥曲线的焦点与准线
焦点：圆锥曲线上的点到曲线的两个焦点的距离之和等于常数
准线：与圆锥曲线的母线平行的直线，与曲线相交于焦点
圆锥曲线的离心率
定义：圆锥曲线的离心率是用来描述圆锥曲线形状的一个重要参数，定义为焦距与轴线长度之比。
单击此处添加标题
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计算方法：离心率可以通过圆锥曲线的标准方程进行计算，也可以通过图形直观地测量得出。
圆锥曲线在三维空间中的形态和性质
圆锥曲线在解决实际问题中的应用
圆锥曲线在解决几何问题中的优势和局限性
05
圆锥曲线在物理中的应用
圆锥曲线在光学中的应用
椭圆和抛物线的光学性质
双曲线的光学性质
圆锥曲线在光学仪器中的应用
圆锥曲线在光波导中的应用
圆锥曲线在力学中的应用
抛物线在射程运动中的应用
圆锥曲线在碰撞与动量守恒定律中的应用
特性：渐近线的斜率等于圆锥曲线在顶点处的切线斜锥曲线的类型，渐近线可分为水平渐近线、竖直渐近线、斜渐近线等
03
圆锥曲线的图像绘制
绘制圆锥曲线的基本步骤
使用绘图软件或手动画图，连接点形成曲线
根据参数方程计算曲线上点的坐标
建立坐标系，确定坐标轴
抛物线在几何问题中的应用：抛物线的性质，如所有从焦点出发的线段都与抛物线相切，使得它在解决与焦点、准线和切线相关的问题中非常有用。

巧用圆锥曲线性质妙作几何画板图形孔祥新在《几何画板》软件中，直线与圆锥曲线的交点无法直接作出，这给高中数学教师在教学过程中带来很多不便，本文利用圆锥曲线(以椭圆为例，其他圆锥曲线可类比)的部分性质，介绍间接作出直线与圆锥曲线交点的几种方法，望能给同行借鉴。

1 作椭圆的切线1．1 过椭圆上的点的切线性质1 如图l，从椭圆的一个焦点F发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点F’。

作图思路利用椭圆光学性质，椭圆的切线与∠FPF’的角平分线PQ垂直。

作图步骤1)如图1，定义坐标系，画椭圆，在椭圆上任取一点P；2)连FP，PF’，作∠FPF’的角平分线PQ；3)过点P作PQ的垂线即为所求作的切线；4)拖动点P，切线会自由移动。

1．2 过椭圆外定点的切线性质2 椭圆切线上任意一点M到椭圆两焦点的距离和不小于长轴长，当且仅当M为切点时取到最小值。

作图思路如图2，点F关于切线的对称点记为F’’，线段FF’’的中点E，则点E在切线上。

将此思路倒过来，若先能作出点F’’，再作线段FF’’的中点E，则直线AE即为所求作的椭圆切线。

事实上，因为点F’’是点F关于切线的对称点，所以点F’’在以A为圆心、过焦点F的圆上。

又因为F’F’’=2a(长轴长)，所以点F’’也在焦点F’为圆心、椭圆长轴为半径的圆上。

2)以左焦点F’为圆心、椭圆长轴长为半径画圆，以A为圆心、过右焦点F画圆，作两圆交点为F’’；3)作线段FF’’的中点E，作直线AE即为椭圆的切线；4)拖动点A，切线会自由移动。

2 作过定点的弦2．1 过焦点的弦性质3 如图4，椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的右准线l与x轴交于点M，过右焦点F 且与x轴不垂直的直线与椭圆相交于A，B两点，则∠AMF＝∠BMF。

作图思路如图4，在椭圆上任取一点A，连AF并延长交椭圆另一点为B，在几何画板中无法直接作它们的交点，注意到∠AMF=∠BMF，则点B也在直线A’M(A’是点A 关于长轴的对称点)上，所以点B即为直线AF与A’M的交点。

冰块如何压出泥土和沙子。他还认为火是稀有的空气。因此，根据阿纳基米内斯的说法，空气是地球，水和火的起源。 从水到地球的果实，距离我们并不遥远。也许阿纳克西米涅斯认为地球，空气和火都是创造生命所必需的，但万物的来源却是空气或蒸气。因此，他像泰勒斯一样，认为必须有一种潜在物质，是所有自然变化的源泉。 一无所获这三位弥勒斯哲学家都相信存在单一基本物质作为万物之源。但是一种物质怎么突然变成另一种物质呢？我们可以称其为变化的问题。 从大约公元前500年开始，意大利南部的希腊殖民地埃莱亚（Elea）出现了一批哲学家。这些“政治家”对此问题感兴趣。 这些哲学家中最重要的是帕门尼德斯（公元前540-480年）。帕门尼德斯认为存在的一切一直存在。这个想法对希腊人来说并不陌生。他们或多或少地认为世界上存在的一切都是永恒的。帕门尼德斯认为，什么都不可能。存在的一切都不会变成任何东西。 但是，帕门尼德斯（Parmenides）进一步提出了这个想法。他认为没有实际的改变。除此以外，别无他物。 当然，帕门尼德斯意识到自然处于不断变化的状态。他以自己的感觉察觉到事情发生了变化。但是他不能将其等同于他的理由告诉他。当被迫在依靠自己的理智或理性之间做出选择时，他选择了理性。 您会知道“看到时我会相信”的表达。但是帕门尼德斯看到这些东西时甚至都不相信。他认为我们的感官给我们提供了不正确的世界图景，这与我们的理性不符。作为一名哲学家，他把揭露各种形式的感知幻觉视为自己的任务。 这种对人类理性的坚定信念被称为理性主义。理性主义者是相信人的理性是我们了解世界的主要来源的人。 万物流动 一旦我们确定了特定哲学家的计划是什么，就更容易遵循他的思想路线，因为没有一个哲​学家将自己与整个哲学有关。 我说了他的思路-指的是哲学家，因为这也是一个关于人类的故事。过去的女人被女性和思想者所征服，这很可悲，因为结果是失去了许多非常重要的经验。直到本世纪，女性才真正在哲学史上留下了自己的烙印。 我无意给您任何作业-没有困难的数学问题或类似的东西，并且使英语动词变位超出我的兴趣范围。但是，我会不时给您一个简短的作业。 如果您接受这些条件，我们将开始。像个女人。可以理解，Thor对这个想法并不热心，但是他最终接受了这是他将自己的锤子拿回来的唯一方法。 因此，雷神（Thor）允许自己打扮成新娘装，洛基（Loki）是伴娘。 用当今的话来说，托尔和洛基是众神的“反恐小队”。他们伪装成女人，其任务是突破巨人的据点并夺回索尔的锤子。 当众神到达佐敦海姆时，巨人开始准备婚礼。但是在盛宴中，新娘-就是索尔-吃掉了整只牛和八只三文鱼。他还喝三桶啤酒。这使Thrym感到惊讶。“突击队”的真实身份几乎被揭露。但是Loki设法通过解释Freyja一直非常期待来到佐敦海姆，以至于她已经一周没有吃东西了，从而避免了这种危险。 索菲发现

82
4
|x|≥ 4 2
4 2,0
6,0
e3 2 2
y 2x 4
9x 2 y 2 81 x 2 y 2 4
6
4
x 2 y 2 1 49 25
10
18
4
14
|x|≥3
|y|≥2
|y|≥5
(±3,0)
3 10 ,0
(0,±2)
0,2 2
(0,±5)
1、范围： y≥a或y≤-a
2、对称性：关于x轴，y轴，原点对称 A1 3、顶点: B1（0，-a），B2（0，a）
4、轴：实轴 B1B2 ; 虚轴 A1A2
x 5、渐近线方程： a
y b
0
6、离心率： e=c/a
F2 B2
A2 X o
B1
F2
例题1:求双曲线 9x2 16 y2 144 的实半轴长,虚半轴长, 焦点坐标,离心率，渐近线方程。
0, 74
e 10
y=±3x
e 2
x y
e 74 5
x7 y 5
例2:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线叫原 双曲线的共轭双曲线,求证: (1)双曲线和它的共轭双曲线有共同的渐近线;
(2)双曲线和它的共轭双曲线的四个焦点在同一个圆上. Y
证明:(1)设已知双曲线的方程是:
4、轴：实轴 A1A2 虚轴 B1B2
x 5、渐近线方程： a

y b

0
c
6、离心率： e=
a
Y
B2
X
A1
A2
B1
双曲线的图形与几何性质(1)
双曲线标准方程： x 2 y 2 1 a2 b2

2021年第4期福建中学数学31-4848-1P1=1.3所以P1=承二1.所以P4=P4-P0=P1-(40+41+42+43)1-4444-1311=1-4P1=3*48-1=44+1=257'P4表示最终认定甲药更有效的发生概率•由计算结果看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为P4=217-0.0039，实验得出结论“甲药更有效”的概率非常小，能说明这种实验方案的合理性.4解题反思概率统计题首次作高考压轴题出现在全国卷中，这也许是新高考新课程背景下一种体现.因为概率统计对解决生活实际问题特别有用，在经济学、计算机等领域应用都非常广泛.社会时代的需要，促使学生要深入学习和掌握相关内容.本题难点在于题目有意无意地增大了阅读量，给考生造成了较大的心理负担，可能会导致考生无法正确理解题意或者数字计算出错等失误.本题考查离散型随机变量分布列的求解、利用递推关系式证明等比数列、累加法求解数列通项公式和数列中的项的问题.本题综合性较强，要求考生能够熟练掌握数列通项求解、概率求解的相关知识，对考生分析和解决问题能力要求较高.5教学启示《普通高中数学课程标准(2017年版)》对如何培养学生的数学核心素养进行了阐述.从《普通高中数学课程标准(2017年版)》可以看出数学核心素养对数学建模和数据处理能力提出更高的要求，以达到反映和满足时代要求的目的.在教学过程中，可以通过大量的实际例子，建立一些基本数学模型，包括线性模型、二线曲线模型、指数函数模型、三解函数模型、参变量模型•在教学过程中，要做好数学应用意识的渗透，要有意识地抓住“渗透点”，例如，指数函数一人口增长、指数爆炸；数列的通项与求和一存款的本金和利息的计算；分段函数一邮费或打车费用的计算等等.课堂教学设计要重视这些模型的背景、形成过程、应用范围，以提升学生数学建模、数学抽象、数学运算和直观想象素养.数学知识的应用和数学建模涉及的数学素养，其发展具有连续性和阶段性，需要师生在教与学的过程中不断提升和发展.在教学过程中，要多关注学生对数学知识和实际背景的关联，充分考虑高中学生的学情和知识水平及最近思维发展区可接受的能力；要重视课程内容的实际背景，更要重视课程内容的实际应用；要注重全面提升学生数学学科核心素养.参考文献[1]黄林盛.异视角殊途同归，动态过程育能力一一以“椭圆”单元复习课为例[J].中国数学教育(高中版)，2019(3)：53-56[2]陈昂，任子朝.数学高考中实践应用能力考查研究[J].数学教育学报，2017，26(3)：15-18[3]郭铭恩，庞新军.基于发展数学高阶思维下的课堂教学探索——从一节“意外”的课谈起[J].中学数学研究(华南师范大学版)，2019(20)：29-32[4]何淑龙.朴实中探究本质简约中凸显思维——2018年一道高考题的解法探究及深入思考[J].中学数学研究，2019(1)：45-49圆锥曲线切线的相关命题及其尺规作图曹彬贵州省黔西第一中学(551500)圆锥曲线包括椭圆、双曲线、抛物线，它们具有各自定义，也有统一的定义.文[1〜3]分别介绍了圆锥曲线切线的诸多尺规作图方法，读之让人受益匪浅，但方法过于繁琐，适用性不强，本文试图寻找一种作圆锥曲线切线的简单尺规作图办法.高中数学教材上有两道非常相似的课后习题：“圆O的半径为定长r，/是圆O内(外)一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线/和半径(直线)OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是什么？为什么？”[4]两道习题的第二个不同之处可统一成“直线OP”，对轨迹的产生没有影响.最主要的差异是：“A是圆O内或外的一个定点”，当A是圆O内的一个定点时，轨迹是以点O,A为焦点，r为长轴长的4福建中学数学2021年第4期椭圆；当A是圆O外的一个定点时，轨迹是以点O,A为焦点，r为实轴长的双曲线.1问题的提出教学过程中，笔者分别采用这两道习题的思跖利用“几何画板漱件，给学生展示画椭圆和双曲线的过程.展示的椭圆如图1：图1几何画板画椭圆将点“拖”到圆外，展示的双曲线如图2:图2几何画板画双曲线根据教材中“信息技术应用”的内容，展示的抛物线如图3：图3几何画板画抛物线学生提出这样的问题：“在画椭圆和双曲线过程中，线段PF2的中垂线l为什么总是与曲线相切？在展示画抛物线过程中，线段HF的中垂线l 为什么总是与曲线相切？”2圆锥曲线切线相关命题命题1椭圆召+¥=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0)，F#,0)，点P是以F为圆心，2a 为半径的圆上一点，贝懺段PF2的中垂线与椭圆相切.分析一种较自然的想法是利用点P，F2的坐标表示线段PF的中垂线方程，再利用判别式验证中垂线与椭圆相切.但运算复杂，下面采用另一种思路.证明(1)当点P在%轴的正半轴上时，迟P1= FP-FF1=2a-2c，所以线段F2P的中垂线的方程为：%=竺产+c=a；(2)同理可得：当点P在%轴的负半轴上时,线段鬥P的中垂线的方程为%=-a；(3)当f2p丄%轴时，I FP|=J|FP|2-I FF I2 =2b；则线段F2P的中垂线方程为%=b或%=-b.上述几种情况中，线段F.P的中垂线都与椭圆相切，切点为椭圆的对应顶点.(4)当点P不在%轴上，且F2P不与%轴垂直时，线段F2P的中垂线的斜率存在且不为0,设方 程为y=k%+m，设点P的坐标为(%。

用过程中，在各种恶劣因素的作用下，零部件的工作能力会逐渐降低甚至不能工作，使整机的技术状态失常（不能正常工作），为了使拖拉机正常工作和延长使用寿命，必须严格按照保养规程进行。
1、启动时检查变速操纵杆是否在空挡位置，停车制动器是否在制动位置，动力输出手柄是否在分离位置，否则会造成安全事故。 2、拖拉机在使用中应观察水温表、机油压力表是否正常，否则会造成车辆出现故障，影响使用。 3、拖拉机在运输作业时必须将左右制动踏板连锁，避免造成制动时无法控制的自动转向，造成安全事故的发生。 4、拖拉机在工作中严禁驾驶员把脚放在离合踏板和制动踏板，否则会造成离合器和制动盘的早期磨损，影响使用。 节省报价时间的办法年年月月花相似，岁岁年年人不同，每天接待的客户也是不一样的，但是都在重复一件工作那就是报价，每次在报价的时候我们首先要做的就是和客户确定好产品，才能开始报价，往往都是在确定产品的时候，把大部分时候浪费掉了 1客户需要提供表盘直径、压力范围、材质。2如果以上无法确定，那么要跟业务员要选型资料 1、3千万不要再不懂产品规格时候让业务员报价2、4获得产品规格，应告知是否需要含税含运费，如果含运费需要告知收货地址 ipx4试验方法 今天小编给大家带来的是ipx4试验方法，希望能帮助到大家！ ipx4 1、由于手机防水检测是一项特殊的方法，在生产线上不可能将每台手机都浸入水中进行检测，所以一般采用气压检测法。2、同时，为保证防水的可靠性，手机必须逐个检测，这对防水检测设备的便利性也提出极高的要求。3、防水气密性检测方法代表性方法有三种：压差法、压力表法、歪量法 格力空调运行一段时间后“E2”故障返回暂停重播播放x世界如此简单61条相关如何利用函数对学生成绩是... 小熊科技视...excel判断成绩等级及格、... 每日科技fa...怎么用EXCEL给学生表评优... 每日科技fa...excel中如何让成绩不及格... 每日科技fa...利用Excel2016如何统计考... 每日科技fa...Excel如何将小于10000的销... 小熊科技视...Excel公式法成绩单排名、... 每日科技fa...Excel怎么圈出高于80分的... 小熊科技视...Excel如何将成绩按照不同... 小熊科技视...Excel如何进行打分评级？ 小熊科技视...加载更多～209051人看了这个常见家用空调故障解决方法。 常用电工工具 1、格力空调一开机立即显示“E2”故障，应为室内蒸发器断路，造成蒸发器结霜误报护而显示E2。 2、检查室内蒸发器有无结霜，若结霜，则显示E2； 3、其原因之一，是系统压力不够，可用压力表检测系统压力或用电流表测运行电流，低压压力偏低(正常情况；4－5kg/cm)或运行电流偏小，则需加氟； 4、气温较低时制冷运行，当室外在25度以下，制冷运行，蒸发器可能会结霜并显示E2；5、蒸发器未结霜仍显示E2,可能蒸发器管温头的位置处于空气不流通的位置而造成局部温度较低，显示E2,可将管温头移出来试试。 壁挂炉怎么调模式生活中有着各种各样的烦恼，下面就由小编教你怎么玩调壁挂炉的模式，希望你的生活多姿多彩！ 日常工具 1、打开壁挂炉下边自来水进水阀门（此阀门以后一直处于长开启状态，炉子维修时除外），然后打开壁挂炉上面的补水阀开始往系统里面补水。2、查看压力表，当压力表指针达到1.5bar（0.15MPa）时，也就是1.5公斤时，及时关闭补水阀门。3、如果壁挂炉没有压力表，那么就是压力传感器数 4、系统补水后，一定要关闭补水阀。也就是说：补水阀是常闭状态。 5、打开壁挂炉操作面板上的电源开关键，开机。然后按模式按键，一般是先显示太阳符号（夏季模式，这是仅供春夏秋季节洗澡使用或冬季待机），再按一次将出现雪花（冬季供暖模式，供暖+洗浴，供暖/洗浴自动切换）。6、有些品牌机器是模式按键兼开机按键，连续按动此按键，模式将在夏

GeoGebra 数学绘图教室(2) 圆锥曲线台北县立锦和高中陈禾凯在教到圆锥曲线这一章时，课本通常会介绍两种方法来画拋物线、椭圆、及双曲线，第一种是以同心圆作图纸来描点，第二种是根据定义来画。

本文简介利用数学绘图软件GeoGebra的个人教学经验，提供中学数学教师教学之参考。

一．同心圆作图纸(1)抛物线的作图纸：画出一组同心圆及一组并行线。

先在原点画出一点Ａ输入x= -1 (注意GeoGebra左边的代数字段会显示a:x=-1)输入指令sequence[Line[(i，0)，a]，i，1，10] 可以画出和a 平行的直线输入指令sequence[circle[A，i]，i，1，10]，可以画出以Ａ为圆心的同心圆(2)椭圆及双曲线的作图纸：画出两组同心圆先画出Ａ，Ｂ两点输入指令sequence[circle[A，i]，i，1，20]，可以画出以A为圆心的同心圆输入指令sequence[circle[B，i]，i，1，20]，可以画出以B为圆心的同心圆画出以上图形之后，滚动鼠标上的滚轮来调整图形的大小，再用把图摆到适当的位置，点选【档案-输出-绘图区到剪贴簿】，然后打开Ｗord，按Ctrl+V即可将所画好的图贴上去。

在课堂上发给同学们，在同心圆纸上描点钩勒出圆锥曲线轨迹点。

二．根据定义来画甲．拋物线定义: d(P，L)=d(P，F) 依据拋物线的定义作图，点P到焦点F与到准线Ｌ等距，i.e. d(P，L)=d(P，F)──以y2=4x为例，准线为L:x+1=0，焦点F为(1，0）──绘图步骤1.先画出准线L及焦点F2.在准线L上任选一点A，和焦点F连起来，画出一条线段AF3.画出线段AF的中垂线M4.画出和过A点且和准线L垂直的直线N5.标出M，N两条线的交点P6.要看P点的轨迹可以(1)在P上按鼠标右键，点选显示移动痕迹(2)或是用，在Ｐ点及Ａ点各点选一下7.(-动画教学-)乙．椭圆定义 :a PF PF 221=+ 椭圆上的点到两焦点的距离和为定值──以1162522=+y x 为例⎪⎩⎪⎨⎧===345c b a 即画 1021=+PF PF 的图形──绘图步骤1. 画出名称为F 1，F 2的两焦点(-3，0)， (3，0)2. 以F 1为圆心，半径为2a=10画一圆3. 圆周上任选一点，标示为A4. 连接21,5. 作2的中垂线 L6. 作1，L 两线的交点，标示为P7. 要看P 点的轨迹可以(1)在P 上按鼠标右键， 点选 显示移动痕迹 (2)或是用，在Ｐ点及Ａ点各点选一下8.(-动画教学-)丙．双曲线定义 : a PF PF 2||21=- 双曲线上的点到两焦点的距离差为定值以116922=-y x 为例⎪⎩⎪⎨⎧===543c b a 即画 6||21=-PF PF 绘图步骤1. 画出名称为F 1，F 2的两焦点(-5，0)，(5，0)2. 以F 1为圆心， 半径为2a=6画一圆3. 圆周上任选一点， 标示为A4. 画出直线1AF 及线段2AF5. 作2的中垂线 L (线段才有中垂线)6. 作1及L 两线的交点，标示为P7. 要看P 点的轨迹可以(1)在P 上按鼠标右键， 点选 显示移动痕迹 (2)或是用，在Ｐ点及Ａ点各点选一下8.(-动画教学-)(-动画教学-)四、数学题目中的图形甲、拋物线(-动画教学-) 依据大考中心的研究结果显示，当年的考生对此题的应答情形是惨不忍睹，究其原因是目前的高中数学教学偏重于代数计算，对于圆锥曲线的作图法，课本虽有提及，但实际教学时也是匆匆带过。