高中数学 高中圆锥曲线实验及作图

《几何画板》课件制作第二类课件圆锥曲线的画法一、由第二定义出发统一构造椭圆、抛物线和双曲线原理：到定点和定直线的距离之比等于定值m的点的轨迹：当0<m<1时，轨迹为椭圆；当=1时，轨迹为抛物线；当m>1时，轨迹为双曲线。

制作过程：1）如图（3）所示：打开一个新画板，画一条竖直的直线j（定直线）和直线外一点A（定点）。

在直线j上取点C，过点A，C作直线j的垂线l,k,点B，C 为垂足。

<图 3>2）取点C，B作圆C1，交直线k于E。

3）新建参数t，并标记比值，让点E以C为中心，按标记比进行缩放得E'。

4）取C，E'作圆C2，取CA的中点G和点C作圆C3，交C2于F。

5）用直线连接A，F交直线k于D，则AD/CD=CE/CE'=1/t。

6）选中C，D作轨迹，作点D关于直线l的对称点D'，选中C，D'作轨迹，最后隐藏不必要的对象。

说明：（1）在圆C1中，CB=CE，在圆C2中，CF=CE'，在⊿BCF和⊿ADC中，因为∠CFB=∠ACD=∠BAC，∠CBF=∠DAC（同弧上的圆周角相等），所以⊿BCF和⊿ADC 为相似三角形。

则CB/CF=AD/CD=CE/CE'=m=1/t,即定点A和定直线j距离之比等于定值m。

（2）单击"运动参数t"按钮，比值m 随之改变，这时可以动态地看到，当m 小于1的值逐渐变为1时，轨迹由椭圆变成抛物线；当m 大于1时，轨迹变成双曲线。

二、由第一定义出发，构造椭圆和双曲线及抛物线原理：椭圆（双曲线）——到定点的距离和定直线的距离之和（差）等于定值的点的轨迹；抛物线——到定点的距离和定直线的距离相等的点的轨迹。

制作过程：1.椭圆（或双曲线）的制作：<图 4> <图 5>()()1211221121,2()()x F x F F M F M MN N F M F N MN A B AB F F A F B 作出平面直角坐标系，在轴上任取两点作圆标记圆心的点记为，另一点隐藏。

数学实验报告实验序号：3日期：2015年3月28日班级：12组别：123成员：林佳彦林佳佳刘嘉棣郑素萍黄永欣1.实验名称：关于圆锥曲线产生的三个经典实验2.实验目的：沿着历史的轨迹，重走前人发现圆锥曲线的历程。

重现圆锥曲线产生的三个经典实验——梅内克缪斯的割圆锥法、阿波罗尼奥斯的割圆锥法、Dandelin双球实验。

探讨圆锥曲线的种类和各种圆锥曲线产生的条件。

3.实验方法：利用实物、模具观察，利用几何画板课件进行探讨、反思4.实验器材：卡纸、水、橡皮泥、乒乓球、透明软文件夹5.实验过程：（操作步骤、异常情况报告、处理方法）一、梅内克缪斯割圆锥法——最早对圆锥曲线的命名背景：公元前4世纪，希腊著名学者梅内克缪斯首先发现了圆锥曲线.他用平面去截圆锥曲面而得到截痕,并称之为圆锥曲线.当时的圆锥曲面都是通过直角三角形的一条直角边为旋转轴旋转而成的.根据轴三角形顶角的不同,将圆锥曲面分为锐角圆周、钝角圆锥和直角圆锥.Menaechmus用垂直于一条母线的平面去截这三种圆锥面，得到三种不同的截痕。

在锐角圆锥上的截痕定义为椭圆，钝角圆锥上的截痕是双曲线（的一支），在直角圆锥上的截痕是抛物线.值得注意的是，梅内克缪斯虽然推导了圆锥曲线的一些性质，但并没有建立焦点、焦半径的概念.并且当时所使用的旋转体均为直角三角形，得到的均为正圆锥，有一定的局限性.（1）我们小组通过用建立坐标轴的方式，将梅内克缪斯割圆锥法用现在定义的圆锥曲线方程进行验证，发现其与现在的圆锥曲线方程是相符的.即两种定义是相符的，满足了定义的一致性.○1直角圆锥：∵平面DEG⊥平面ABC,平面PVR⊥ABC∴QP⊥平面ABC∴PQ⊥RV又∵RV是直径,根据射影定理∴PO²=RO×OV∵△HDG∽DOV∴DO OV DO DG=OV=HD DG HD∙⇒且RO=HD∴PO2=RO×OV=HD×DO DGHD∙=DO×DG若我们建立以D为圆心,DF为X轴的直角坐标系,P点坐标为(x,y)则得到曲线方程为:2y DG x=∙,其中DG由点D的位置决定,是一个常数这正好符合我们现代解析几何中的抛物线的方程。

巧用圆锥曲线性质妙作几何画板图形孔祥新在《几何画板》软件中，直线与圆锥曲线的交点无法直接作出，这给高中数学教师在教学过程中带来很多不便，本文利用圆锥曲线(以椭圆为例，其他圆锥曲线可类比)的部分性质，介绍间接作出直线与圆锥曲线交点的几种方法，望能给同行借鉴。

1 作椭圆的切线1．1 过椭圆上的点的切线性质1 如图l，从椭圆的一个焦点F发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点F’。

作图思路利用椭圆光学性质，椭圆的切线与∠FPF’的角平分线PQ垂直。

作图步骤1)如图1，定义坐标系，画椭圆，在椭圆上任取一点P；2)连FP，PF’，作∠FPF’的角平分线PQ；3)过点P作PQ的垂线即为所求作的切线；4)拖动点P，切线会自由移动。

1．2 过椭圆外定点的切线性质2 椭圆切线上任意一点M到椭圆两焦点的距离和不小于长轴长，当且仅当M为切点时取到最小值。

作图思路如图2，点F关于切线的对称点记为F’’，线段FF’’的中点E，则点E在切线上。

将此思路倒过来，若先能作出点F’’，再作线段FF’’的中点E，则直线AE即为所求作的椭圆切线。

事实上，因为点F’’是点F关于切线的对称点，所以点F’’在以A为圆心、过焦点F的圆上。

又因为F’F’’=2a(长轴长)，所以点F’’也在焦点F’为圆心、椭圆长轴为半径的圆上。

2)以左焦点F’为圆心、椭圆长轴长为半径画圆，以A为圆心、过右焦点F画圆，作两圆交点为F’’；3)作线段FF’’的中点E，作直线AE即为椭圆的切线；4)拖动点A，切线会自由移动。

2 作过定点的弦2．1 过焦点的弦性质3 如图4，椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的右准线l与x轴交于点M，过右焦点F 且与x轴不垂直的直线与椭圆相交于A，B两点，则∠AMF＝∠BMF。

作图思路如图4，在椭圆上任取一点A，连AF并延长交椭圆另一点为B，在几何画板中无法直接作它们的交点，注意到∠AMF=∠BMF，则点B也在直线A’M(A’是点A 关于长轴的对称点)上，所以点B即为直线AF与A’M的交点。

2021年第4期福建中学数学31-4848-1P1=1.3所以P1=承二1.所以P4=P4-P0=P1-(40+41+42+43)1-4444-1311=1-4P1=3*48-1=44+1=257'P4表示最终认定甲药更有效的发生概率•由计算结果看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为P4=217-0.0039，实验得出结论“甲药更有效”的概率非常小，能说明这种实验方案的合理性.4解题反思概率统计题首次作高考压轴题出现在全国卷中，这也许是新高考新课程背景下一种体现.因为概率统计对解决生活实际问题特别有用，在经济学、计算机等领域应用都非常广泛.社会时代的需要，促使学生要深入学习和掌握相关内容.本题难点在于题目有意无意地增大了阅读量，给考生造成了较大的心理负担，可能会导致考生无法正确理解题意或者数字计算出错等失误.本题考查离散型随机变量分布列的求解、利用递推关系式证明等比数列、累加法求解数列通项公式和数列中的项的问题.本题综合性较强，要求考生能够熟练掌握数列通项求解、概率求解的相关知识，对考生分析和解决问题能力要求较高.5教学启示《普通高中数学课程标准(2017年版)》对如何培养学生的数学核心素养进行了阐述.从《普通高中数学课程标准(2017年版)》可以看出数学核心素养对数学建模和数据处理能力提出更高的要求，以达到反映和满足时代要求的目的.在教学过程中，可以通过大量的实际例子，建立一些基本数学模型，包括线性模型、二线曲线模型、指数函数模型、三解函数模型、参变量模型•在教学过程中，要做好数学应用意识的渗透，要有意识地抓住“渗透点”，例如，指数函数一人口增长、指数爆炸；数列的通项与求和一存款的本金和利息的计算；分段函数一邮费或打车费用的计算等等.课堂教学设计要重视这些模型的背景、形成过程、应用范围，以提升学生数学建模、数学抽象、数学运算和直观想象素养.数学知识的应用和数学建模涉及的数学素养，其发展具有连续性和阶段性，需要师生在教与学的过程中不断提升和发展.在教学过程中，要多关注学生对数学知识和实际背景的关联，充分考虑高中学生的学情和知识水平及最近思维发展区可接受的能力；要重视课程内容的实际背景，更要重视课程内容的实际应用；要注重全面提升学生数学学科核心素养.参考文献[1]黄林盛.异视角殊途同归，动态过程育能力一一以“椭圆”单元复习课为例[J].中国数学教育(高中版)，2019(3)：53-56[2]陈昂，任子朝.数学高考中实践应用能力考查研究[J].数学教育学报，2017，26(3)：15-18[3]郭铭恩，庞新军.基于发展数学高阶思维下的课堂教学探索——从一节“意外”的课谈起[J].中学数学研究(华南师范大学版)，2019(20)：29-32[4]何淑龙.朴实中探究本质简约中凸显思维——2018年一道高考题的解法探究及深入思考[J].中学数学研究，2019(1)：45-49圆锥曲线切线的相关命题及其尺规作图曹彬贵州省黔西第一中学(551500)圆锥曲线包括椭圆、双曲线、抛物线，它们具有各自定义，也有统一的定义.文[1〜3]分别介绍了圆锥曲线切线的诸多尺规作图方法，读之让人受益匪浅，但方法过于繁琐，适用性不强，本文试图寻找一种作圆锥曲线切线的简单尺规作图办法.高中数学教材上有两道非常相似的课后习题：“圆O的半径为定长r，/是圆O内(外)一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线/和半径(直线)OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是什么？为什么？”[4]两道习题的第二个不同之处可统一成“直线OP”，对轨迹的产生没有影响.最主要的差异是：“A是圆O内或外的一个定点”，当A是圆O内的一个定点时，轨迹是以点O,A为焦点，r为长轴长的4福建中学数学2021年第4期椭圆；当A是圆O外的一个定点时，轨迹是以点O,A为焦点，r为实轴长的双曲线.1问题的提出教学过程中，笔者分别采用这两道习题的思跖利用“几何画板漱件，给学生展示画椭圆和双曲线的过程.展示的椭圆如图1：图1几何画板画椭圆将点“拖”到圆外，展示的双曲线如图2:图2几何画板画双曲线根据教材中“信息技术应用”的内容，展示的抛物线如图3：图3几何画板画抛物线学生提出这样的问题：“在画椭圆和双曲线过程中，线段PF2的中垂线l为什么总是与曲线相切？在展示画抛物线过程中，线段HF的中垂线l 为什么总是与曲线相切？”2圆锥曲线切线相关命题命题1椭圆召+¥=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0)，F#,0)，点P是以F为圆心，2a 为半径的圆上一点，贝懺段PF2的中垂线与椭圆相切.分析一种较自然的想法是利用点P，F2的坐标表示线段PF的中垂线方程，再利用判别式验证中垂线与椭圆相切.但运算复杂，下面采用另一种思路.证明(1)当点P在%轴的正半轴上时，迟P1= FP-FF1=2a-2c，所以线段F2P的中垂线的方程为：%=竺产+c=a；(2)同理可得：当点P在%轴的负半轴上时,线段鬥P的中垂线的方程为%=-a；(3)当f2p丄%轴时，I FP|=J|FP|2-I FF I2 =2b；则线段F2P的中垂线方程为%=b或%=-b.上述几种情况中，线段F.P的中垂线都与椭圆相切，切点为椭圆的对应顶点.(4)当点P不在%轴上，且F2P不与%轴垂直时，线段F2P的中垂线的斜率存在且不为0,设方 程为y=k%+m，设点P的坐标为(%。

GeoGebra 数学绘图教室(2) 圆锥曲线台北县立锦和高中陈禾凯在教到圆锥曲线这一章时，课本通常会介绍两种方法来画拋物线、椭圆、及双曲线，第一种是以同心圆作图纸来描点，第二种是根据定义来画。

本文简介利用数学绘图软件GeoGebra的个人教学经验，提供中学数学教师教学之参考。

一．同心圆作图纸(1)抛物线的作图纸：画出一组同心圆及一组并行线。

先在原点画出一点Ａ输入x= -1 (注意GeoGebra左边的代数字段会显示a:x=-1)输入指令sequence[Line[(i，0)，a]，i，1，10] 可以画出和a 平行的直线输入指令sequence[circle[A，i]，i，1，10]，可以画出以Ａ为圆心的同心圆(2)椭圆及双曲线的作图纸：画出两组同心圆先画出Ａ，Ｂ两点输入指令sequence[circle[A，i]，i，1，20]，可以画出以A为圆心的同心圆输入指令sequence[circle[B，i]，i，1，20]，可以画出以B为圆心的同心圆画出以上图形之后，滚动鼠标上的滚轮来调整图形的大小，再用把图摆到适当的位置，点选【档案-输出-绘图区到剪贴簿】，然后打开Ｗord，按Ctrl+V即可将所画好的图贴上去。

在课堂上发给同学们，在同心圆纸上描点钩勒出圆锥曲线轨迹点。

二．根据定义来画甲．拋物线定义: d(P，L)=d(P，F) 依据拋物线的定义作图，点P到焦点F与到准线Ｌ等距，i.e. d(P，L)=d(P，F)──以y2=4x为例，准线为L:x+1=0，焦点F为(1，0）──绘图步骤1.先画出准线L及焦点F2.在准线L上任选一点A，和焦点F连起来，画出一条线段AF3.画出线段AF的中垂线M4.画出和过A点且和准线L垂直的直线N5.标出M，N两条线的交点P6.要看P点的轨迹可以(1)在P上按鼠标右键，点选显示移动痕迹(2)或是用，在Ｐ点及Ａ点各点选一下7.(-动画教学-)乙．椭圆定义 :a PF PF 221=+ 椭圆上的点到两焦点的距离和为定值──以1162522=+y x 为例⎪⎩⎪⎨⎧===345c b a 即画 1021=+PF PF 的图形──绘图步骤1. 画出名称为F 1，F 2的两焦点(-3，0)， (3，0)2. 以F 1为圆心，半径为2a=10画一圆3. 圆周上任选一点，标示为A4. 连接21,5. 作2的中垂线 L6. 作1，L 两线的交点，标示为P7. 要看P 点的轨迹可以(1)在P 上按鼠标右键， 点选 显示移动痕迹 (2)或是用，在Ｐ点及Ａ点各点选一下8.(-动画教学-)丙．双曲线定义 : a PF PF 2||21=- 双曲线上的点到两焦点的距离差为定值以116922=-y x 为例⎪⎩⎪⎨⎧===543c b a 即画 6||21=-PF PF 绘图步骤1. 画出名称为F 1，F 2的两焦点(-5，0)，(5，0)2. 以F 1为圆心， 半径为2a=6画一圆3. 圆周上任选一点， 标示为A4. 画出直线1AF 及线段2AF5. 作2的中垂线 L (线段才有中垂线)6. 作1及L 两线的交点，标示为P7. 要看P 点的轨迹可以(1)在P 上按鼠标右键， 点选 显示移动痕迹 (2)或是用，在Ｐ点及Ａ点各点选一下8.(-动画教学-)(-动画教学-)四、数学题目中的图形甲、拋物线(-动画教学-) 依据大考中心的研究结果显示，当年的考生对此题的应答情形是惨不忍睹，究其原因是目前的高中数学教学偏重于代数计算，对于圆锥曲线的作图法，课本虽有提及，但实际教学时也是匆匆带过。