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一．选择题1.一个空腔可以看作黑体。
实验得出，当空腔与内部的辐射处于平衡时，辐射能量密度按波长分布的曲线形状和位置[ ]A.只与绝对温度有关B.与绝对温度及组成物质有关C.与空腔的形状及组成物质有关D.与绝对温度无关，只与组成物质有关2.光电效应中，光电子的能量[ ]A.只与光强有关，与光的频率无关B.只与光的频率有关，与光强无关C.与光强和光的频率都有关D.与光强和光的频率都无关，和金属材料有关3.实验表明，高频率的X 射线被轻元素中的电子散射后，波长[ ] A.随散射角的增加而增大 B.不变C.随散射角的增加而减小D.变化情况视元素种类而定4.根据德布罗意关系，与自由粒子相联系的波是[ ] A.定域的波包 B.疏密波 C.球面波 D.平面波5.普朗克常数的单位是[ ]A.s J ⋅B.s N ⋅C.K s J /⋅D.K s N /⋅6.一自由电子具有能量150电子伏，则其德布罗意波长为A.1A B.15A C.10A D.150A7.下列表述正确的是A.波函数归一化后是完全确定的B.自由粒子的波函数为r p i p Ae t r⋅=),(ψD.所有的波函数都可以归一化8. 在球坐标中，ϕθψππd drd z y x 220),,(⎰⎰表示A.在),(ϕθ方向的立体角中找到粒子的几率B.在球壳),(dr r r +中找到粒子的几率C.在),,(ϕθr 点找到粒子的几率D.在),,(ϕθr 点附近，ϕθd drd 体积元中找到粒子的几率9.波函数的标准条件为A.在变量变化的全部区域，波函数应单值、有限、连续B.在变量变化的全部区域，波函数应单值、归一、连续C.在变量变化的全部区域，波函数应满足连续性方程D.在变量变化的全部区域，波函数应满足粒子数守恒10.下列波函数中，定态波函数是 A. tE i ix tE i ix ex v ex u t x ---+=ψ)()(),(1 B. tE i ix tE i ix ex v e x u t x+--+=ψ)()(),(2C. )()()(),(21321E E ex u e x u t x t E it E ≠+=ψ--D. )()()(),(21421E E ex u e x u t x t E it E ≠+=ψ+-11.一维无限深势阱中，粒子任意两个相邻能级之间的间隔 A.和势阱宽度成正比 B.和势阱宽度成反比 C.和粒子质量成正比 D.随量子数n 增大而增大12.若量子数不变，一维无限深势阱的宽度增加一倍，其中粒子的能量 A.增大为原来的四倍 B.增大为原来的两倍 C.减小为原来的四分之一 D.减小为原来的二分之一13. 对于一维谐振子，势能为2221)(x x V μω=，若令xμωξ=，则波函数形如)()(22ξξψξH e -=，其中)(ξH 满足0)1(222=-+-H d dHd H d λξξξ为使±∞→ξ时，)(ξψ有限，则λ值为A.整数B.奇数C.偶数D.零14.设体系处于的状态102111Y c Y c +=ψ，式中1c 、2c 是常数，则在此状态下，测量力学量2L 和z L ，下列结论中正确的是A. 测量2L 有确定值，测量z L 也有确定值 B. 测量2L 有确定值，测量z L 没有确定值 C. 测量2L 和z L 都没有确定值D. 测量2L 没有确定值，测量z L 有确定值15. 若Aˆ、B ˆ是厄密算符，则下列结论中正确的是 A. B A+仍然是厄密算符 B. B A ˆˆ仍然是厄密算符 C. B Aˆˆ是对易的 D. A ˆ、B ˆ的本征函数是实函数16.一质量为m 的粒子禁闭在边长为a 的立方体内，粒子的能量)(2222222z y x n n n n n n maE zy x ++=π ， x n 、y n 、z n =1，2，3，…则第一激发态能量A.不简并B.二重简并C.三重简并D.四重简并17.一维谐振子处于10ϕϕψB A +=，其中A 、B 为实常数，n ϕ为谐振子的第n 个归一化本征函数，则A.122=+B AB.1)(2=+B A C.1=+B A D.B A =18. 球谐函数ϕθϕθim m l lm m lm e P N Y )(cos )1(),(-=，其中)(cos θml P 是A.贝塞尔函数B. 缔合勒盖尔函数C.缔合勒让德函数D.拉格朗日函数19.关于球谐函数20Y 和21Y 的奇偶性，下列说法正确的是A. 20Y 、21Y 都是奇函数B. 20Y 、21Y 都是偶函数C. 20Y 是奇函数，21Y 是偶函数D. 21Y 是奇函数，20Y 是偶函数20.粒子在库仑场中运动，薛定谔方程径向部分是0)1()(222222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++u r l l r Ze E dr u d s μ其中A.0>E 构成连续谱，0<E 构成分立谱B.0<E 构成连续谱，0>E 构成分立谱C.0>l 构成连续谱，0<l 构成分立谱D.0<l 构成连续谱，0>l 构成分立谱21.氢原子的径向波函数)2()2()(01200r na Z L r na Z eN r R l l n l r na Z nl nl ++-=中的)2(012r na Z L l l n ++是 A.拉格朗日函数 B.拉普拉斯函数 C.缔合勒盖尔函数 D. 缔合勒让得函数22.不考虑电子自旋，库仑场中粒子束缚态能级的简并度为A.2n B.22n C.n D.n 223.氢原子核外电子的角分布Ωd W lm ),(ϕθ（即径向),(ϕθ附近立体角内找到粒子的几率）A.与r 有关C.与ϕ有关，与θ无关D.与θ、ϕ皆有关24.表示厄密算符的矩阵称为厄密矩阵。
高等量子力学习题和解答† 量子力学中的对称性1、 试证明：若体系在线性变换Qˆ下保持不变，则必有0]ˆ,ˆ[=Q H 。
这里H ˆ为体系的哈密顿算符，变换Qˆ不显含时间，且存在逆变换1ˆ-Q 。
进一步证明，若Q ˆ为幺正的，则体系可能有相应的守恒量存在。
解：设有线性变换Qˆ，与时间无关；存在逆变换1ˆ-Q 。
在变换 ˆ(,)'(,)(,)r t r t Qr t ψ→ψ=ψ 若体系在此变换下不变，即变换前后波函数满足同一运动方程 ˆ''ˆt ti Hi H ∂ψ=ψ∂ψ=ψ进而有11[,]0t t i Q HQ i Q HQ Q HQ H H Q --∂ψ=ψ⇒∂ψ=ψ⇒=⇒=2、 令坐标系xyz O -绕z 轴转θd 角，试写出几何转动算符)(θd R ze的矩阵表示。
解：'cos sin 'sin cos 'O xyz z d x x d y d y x d y d z zθθθθθ-=+=-+=考虑坐标系绕轴转角'1''x x yd d y xd y z z θθθ=+⎧⎪<<⇒=-+⎨⎪=⎩若用矩阵表示 '10'10'001x d x y d y z z θθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭还可表示为 '()z e r R d r θ=10()10001z e d R d d θθθ⎛⎫⎪=-⎪ ⎪⎝⎭3、 设体系的状态可用标量函数描述，现将坐标系绕空间任意轴n转θd 角，在此转动下，态函数由),,(z y x ψ变为),,(),()',','(z y x d n U z y x ψθψ =。
试导出转动算符),(θd n U的表达式，并由此说明，若体系在转动),(θd n U下保持不变，则体系的轨道角动量为守恒量。
解：从波函数在坐标系旋转变换下的变化规律，可导出旋转变换算符()z e U d θ利用 (')()()z e r U d r θψ=ψ 及 (')()r Rr ψ=ψ 可得 ()1z e z iU d d L θθ=-通过连续作无穷多次无穷小转动可得到有限大小的转动算符()lim(1)z z i L n e z n i U L e nθθθ-→∞=-=绕任意轴n 转θ角的转动算符为()in Ln U eθθ-⋅=1U U U -+=⇒ 为幺正算符若(')()()z e r U d r θψ=ψ则必有1(')()()()()[,]z z e e z H r U d H r U d iH r d H L θθθ-==+若哈密顿量具有旋转对称性，就有[,]0z H L =→角动量守恒4、 设某微观粒子的状态需要用矢量函数描述，试证明该粒子具有内禀自旋1=S 。
系综平均意义下的hellmann-feynman 定理Hellmann-Feynman定理是量子力学中的一个重要定理，它描述了哈密顿量中的势能项对能量期望值的贡献。
在系综平均意义下，Hellmann-Feynman定理可以表示为：$$\frac{d\langle
H\rangle}{d\lambda}=\langle\frac{\partial
H}{\partial\lambda}\rangle$$其中，$\lambda$是哈密顿量中的某个参数，例如原子核的位置或电场的强度。
$\langle H\rangle$是系统的能量期望值，$\frac{\partial H}{\partial\lambda}$是哈密顿量关于参数$\lambda$的偏导数，$\langle\frac{\partial
H}{\partial\lambda}\rangle$是该偏导数的系综平均值。
这个定理的意义在于，它告诉我们如何通过改变哈密顿量中的参数来控制系统的能量。
例如，在分子动力学模拟中，我们可以通过改变原子核的位置来改变分子的能量。
通过Hellmann-Feynman定理，我们可以计算出这种改变对能量的影响，从而更好地理解分子的行为。
量子力学试题（一）及答案 一. （20分）质量为m 的粒子，在一维无限深势阱中 中运动，若0=t 时，粒子处于状态上，其中，()x n ϕ为粒子能量的第n 个本征态。
（1） 求0=t 时能量的可测值与相应的取值几率；（2） 求0>t 时的波函数()t x ,ψ及能量的可测值与相应的取值几率 解：非对称一维无限深势阱中粒子的本征解为 （1） 首先，将()0,x ψ归一化。
由可知，归一化常数为于是，归一化后的波函数为 能量的取值几率为能量取其它值的几率皆为零。
（2） 因为哈密顿算符不显含时间，故0>t 时的波函数为（3） 由于哈密顿量是守恒量，所以0>t 时的取值几率与0=t 时相同。
二. （20分）质量为m 的粒子在一维势阱中运动()00>V ，若已知该粒子在此势阱中有一个能量2V E -=的状态，试确定此势阱的宽度a 。
解：对于02<-=V E 的情况，三个区域中的波函数分别为 其中，在a x =处，利用波函数及其一阶导数连续的条件 得到 于是有此即能量满足的超越方程。
当021V E -=时，由于故40ππ-=n a mV， ,3,2,1=n最后，得到势阱的宽度三.（20分）设厄米特算符Hˆ的本征矢为n ，{n 构成正交归一完备系，定义一个算符（1） 计算对易子()[]n m U H,ˆ,ˆ； （2） 证明()()()p m U q p U n m U nq ,ˆ,ˆ,ˆδ=+；（3） 计算迹(){}n m U,ˆTr ； （4） 若算符A ˆ的矩阵元为nm mn A A ϕˆ=，证明 解：（1）对于任意一个态矢ψ，有 故（2）()()()p m U q p U n m U nq q p n m ,ˆ,ˆ,ˆδϕϕϕϕ== （3）算符的迹为（4）算符 而四. （20分）自旋为21、固有磁矩为s γμ=（其中γ为实常数）的粒子，处 于均匀外磁场k 0 B B =中，设0=t 时，粒子处于2=x s 的状态，（1） 求出0>t 时的波函数；（2） 求出0>t 时x sˆ与z s ˆ的可测值及相应的取值几率。
Virial定理及Hellmann-Feynman定理的应用摘要：Virial定理及Hellmann-Feynman定理在原子分子物理，粒子物理以及处理分子结构中得到广泛的应用。
本文首先着重论述了Virial定理及Hellamnn-Feynman定理的基本内容，并分别对其进行了证明，进而通过两定理的推导过程分析两定理之间的内在联系。
最后介绍了Virial定理及Hellmann-Feynman定理的推广及应用。
研究得知Virial定理及Hellmann-Feynman定理用于量子体系中某些力学量平均值和能量本征值的讨论，而无需涉及研究体系能量本征函数的具体表示形式；同时Hellmann-Feynman 也能够用于其它定理的证明，并且采用力学量算符对易方法，能够推导出新的能量计算公式。
关键词：Virial定理；Hellmann-Feynman定理；推广；应用The applications of Virial and Hellmann-Feynman theoremAbstract:The Virial theorem and Hellmann-Feynman theorem were widely applied in the atomic and molecular physics, the particle physics and the structure of molecules. In this paper, the Virial theorem and Hellmann-Feynman theorem were introduced and proved. Furthermore, some examples were recited. In addition, the generalization of the Virial theorem and Hellmann-Feynman theorem was also given. From our study, we realize that the Virial theorem and Hellmann-Feynman theorem were used in dealing with energy average values and the certification of other theorems. By the operator commutation method, we are able to obtain the new energy calculation formulas.Key words: Virial theorem; Hellman-Feynman theorem; Generalization; Applications引言当今，量子力学在科学各研究领域得到了广泛的应用，它打破了我们对相当一部分自然规律的一贯认识。
hellmann-feynman定理
玻尔曼-费曼定理是一个重要的物理定理，它描述了物理系统中的力和能量之
间的关系。
它是由美国物理学家约翰·玻尔曼和美国物理学家爱因斯坦·费曼在1930年代提出的。
它的基本思想是，在一个物理系统中，力和能量之间存在着一
种对称的关系，即力的作用可以用能量来表示，而能量的变化也可以用力来表示。
玻尔曼-费曼定理的具体表达式是：F（r）= -∇E（r），其中F（r）是在位
置r处的力，E（r）是在位置r处的能量。
这个定理表明，力和能量之间存在着一种对称的关系，即力的作用可以用能量来表示，而能量的变化也可以用力来表示。
玻尔曼-费曼定理在物理学中有着重要的意义，它可以用来解释物理系统中的
力和能量之间的关系，也可以用来计算物理系统中的力和能量。
它也被广泛应用于量子力学、分子动力学和分子结构等领域，为研究物理系统提供了重要的理论支持。
玻尔曼-费曼定理是物理学中一个重要的定理，它描述了物理系统中力和能量
之间的关系，并且在物理学的研究中有着重要的意义。
它的应用也被广泛应用于量子力学、分子动力学和分子结构等领域，为研究物理系统提供了重要的理论支持。
热尔曼定理
热尔曼定理（Hermann's theorem）是电磁场中的一个基本定理，描述了电场和磁场的相互关系。
它由德国物理学家费迪南德·热尔曼于1929年提出。
热尔曼定理表示，对于任何一种时变电磁场，其电场与磁场之间满足以下关系：
旋度（curl）电场 = -时间的变化率 ×磁场
即，
∇ × E = - ∂B / ∂t
这个定律表明，在电磁场中，电场的转动（旋度）与磁场的时间变化率相互关联。
换言之，如果磁场随时间变化，那么会产生一个旋度电场。
这个定律是麦克斯韦方程组的推论之一，进一步深化了电磁场理论。
热尔曼定理在电磁场的研究中具有重要的意义，它建立了电场和磁场之间的联系，并且可以通过测量一个场的旋度来推断另一个场的变化。
