2020年广西桂林市、崇左市、贺州市高考数学模拟试卷(文科)(3月份)(有答案解析)

2020年广西高考模拟考试 文科数学试题与答案（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合{}1,2A =，集合{}0,2B =，设集合{},,C z z xy x A y B ==∈∈，则下列结论中正确的是A. A C φ⋂=B. A C C ⋃=C. B C B ⋂=D. A B C =2. 若复数2(1)z m m m i =+++是纯虚数，其中m 是实数，则1z= A. i B. i - C. 2iD. 2i -3. 若1sin()43x π-=，则sin 2x = A.79B. 79-C.13D. 13-4. 在矩形ABCD 中，8AB =，6AD =，若向该矩形内随机投一点P ，那么使ABP ∆与ADP ∆ 的面积都小于4的概率为 A.136B.112C.19D.495. 在等差数列{}n a 中，3a ，9a 是方程224120x x ++=的两根，则数列{}n a 的前11项和等于 A. 66B. 132C. -66D. -1326. 设函数2()23f x x x =--，若从区间[2,4]-上任取一个实数x ，则所选取的实数x 满足()0f x ≤的概率为A.12B.13C.23D.147. 设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l ⊂α,m ⊂β( ) A ．若l ⊥β，则α⊥β B ．若α⊥β，则l ⊥m C ．若l ∥β，则α∥β D ．若α∥β，则l ∥m8. 已知双曲线)0(13222>=-a y a x 的离心率为2，则 =aA. 2B.26C. 25D. 19. 函数ln ()xf x x=的图象大致为 A. B.C. D.10.已知函数532sin 2064y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的图象与一条平行于x 轴的直线有两个交点，其横坐标分别为1x ，2x ，则12x x =+ A.43πB.23π C.3π D.6π 11.已知三棱锥ABC D -四个顶点均在半径为R 的球面上，且22===AC BC AB ，，若该三棱锥体积的最大值为1，则这个球的表面积为 A.81500π B. 9100π C. 925πD. π412. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分別为12,F F ，过2F 的直线与椭圆交于,A B 两点，若1F AB ∆是以A 为直角项点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为A B ．22 D -二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

绝密 *启用前2020年高考第二次模拟考试 文科数学注意事项 :1. 本试卷分第 Ⅰ 卷（选择题）和第 Ⅱ 卷 （非选择题 ）两部分。

2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应位置上。

3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.若 x,y 满足约束条件 x+y-3 0，则z x 2y 的取值范围是 x-2y 0,A. [0,6]B. [0,4]C. [6, + ）5. 某中学高三文科班从甲、乙两个班各选出 7 名学生参加文史知识竞赛，他们取得的成绩的茎叶图如图， 其中甲班学生成绩的平均分是 85 ，乙班学生成绩的第Ⅰ卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题5分 ，在每小题给出的四个选项中， 只有一 1.已知集合 M x| 4 x 2 ， Nx2x 2 x 6 0 ，则 M NA. x| 4 x3B. x| 4 x2 C. x| 2 x 2 D.x|22. 已知 z 3 i(1i 其中 i 为虚数单位），则z 的虚部为A. 2B. 1C.2i3. 已知 a log 0.2 2，b 0.22， c 30.2，则A. a bc B. a c b C. ca b D.bcax 0,项是符合题目要求的x3D. i中位数是83 ，则 x y 的值为A. 9B. 7C. 86. 函数 f x e x·ln x 的大致图象为D. [4, + )D. 67.《九章算术》中有如下问题： “今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？ ”其大意： “已知直角三 角形两直角边长分别为 5 步和 12 步，问其内切圆的直径为多少步？ ”现若向此三角形内随机投一粒豆子， 则豆子落在其内切圆外的概率是232 3 A.B.C. 1D. 115201520bcosC 1 cos2C8. 在 ABC 中， 若则 ABC 的形状是ccosB 1 cos2BA. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形0，| | 2 )，其图象相邻两条对称轴之间的距离为 4，将函数3y f (x)的图象向左平移 个单位后，得到的图象关于 y 轴对称，那么函数 y f (x) 的图象16则实数 a 的取值范围是9.已知函数 f(x) sin( x ) (A. 关于点 ( 16,0) 对称B. 关于点 (16,0)对称C. 关于直线x16 对称πD. 关于直线 x 对称410. 如图所示，正方体的棱长为 2 ， 为 ， AB 的中点，点是正方形 内的动点，若 平面 ，则 点的轨迹长度为A. 22B.1C.D.11. 已知函数 f x 3lnx 2x 在区间 1,3 上有最大值，A.12,5B.1,11 2, 2C.1,11 2, 21D. 12,512. 已知双曲线 C ： 交 C 的右支于 M ，2x 2aN 两点，b 21(a 0,b 0)的右焦点为 F ，左顶点为 A ，F 为圆心， FA 为半径的圆且线段 AM 的垂直平分线经过点 N ，则 C 的离心率为A. 2C. 3D.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

广西桂林市、贺州市、崇左市高三3月联合调研考试一、现代文阅读（36分）（一）论述类文本阅读（本题共3小题，9分）阅读下面的文字，完成各题。

文章千古事，明德万年馨。

中国书院肇始于唐朝，兴盛于宋代，经元、明、清至今，始终承载着“修身、齐家、治国、平天下”的士人情怀。

岁月如梭，如今大部分书院已不再教书授业，但其蕴含的哲学思想、人文精神与教化理念，依然如淙淙流水，滋养文化的血脉，贡献生活的智慧，撑起心灵的绿荫。

从古至今，中国书院兼顾文化传播与人格冶炼，既有国学底蕴的根，也有民族精神的魂。

千百年来，多少仁人志士在此寒窗苦读，心忧天下。

近日跟随“文脉颂中华·书院@家国”网络传播活动实地走访六大书院，近距离接触书院里的家国精神——岳麓书院英勇抗元的忠孝节义；石鼓书院康济时艰的耿耿忠心；鹅湖书院“千古一辩”的贵和尚中；白鹿洞书院敦化育人的德才兼修；问津书院薪尽火传的文化自觉；嵩阳书院“程门立雪”的尊师重道……千年弦歌不绝，文脉国脉相连，书院在传承优秀传统文化的同时，亦涵养了伟大的中华民族精神。

先贤之声传颂千年，至今仍振聋发聩，发人深省。

在多元化、快节奏的现代生活中，书院以古老智慧解答现代问题，为人们撑起了一片心灵的绿荫。

党员干部面对名利诱惑时，多念念范仲淹在嵩阳书院高吟的“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”；“键盘侠”一逞口舌之快时，多想想朱熹在白鹿洞书院为“论敌”陆九渊之见解“感佩潸然”。

修身应“言忠信，行笃敬”；接物应“行有不得，反求诸己”；处事应“正其义不谋其利，明其道不计其功”……传统书院经千年所锤炼的中国智慧，既为现代人提供一处安放心灵的归处，也为构建美好的社会秩序与社会风俗提供借鉴。

信息化时代，古老的书院如何返本开新，适应现代社会的发展脚步？历史和实践告诉我们，传统书院和其他传统文化一样，都不应只是存放在博物馆展柜里、精致而脆弱的陈列品；它更应当是扎根在现实土地上的参天古木——年轮雕刻着历史的印记，根系吸收着时代的养分，叶脉流淌着生命的活力。

2020年广西桂林市高考数学一模试卷(文科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={0,1，2，3，4，5}，B ={x|x 2−x −2≤0}，则A ∩B =( )A. {1,2}B. {0,1，2}C. {−1,0，1}D. {0,1}2. 已知复数z =1+i ，则|zi |等于( )A. 4B. 2C. √2D. 123. 拟定从甲地到乙地通话m 分钟的话费(单位：元)由函数f(m)={3.71,0<m ⩽41.06×(0.5[m]+1),m >4给出，其中[m]是不小于m 的最小整数，例如[2]=2，[1.21]=2，那么从甲地到乙地通话5.2分钟的话费为( )A. 3.71元B. 4.24元C. 4.7元D. 7.95元4. 已知向量a ⃗ =(1,√3)，向量a⃗ ,c ⃗ 的夹角是π3，a ⃗ ⋅c ⃗ =2，则|c ⃗ |等于( ) A. −2 B. 4 C. 2 D. −45. 两条相交直线l ，m 都在平面α内，且都不在平面β内，若有甲：l 和m 中至少有一条直线与β相交，乙：平面α与平面β相交，则甲是乙的( )A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件6. 已知变量x ，y 满足约束条件{y ≤2x +y ≥4x −y ≤1则z =3x +y 的最小值为( )A. 11B. 12C. 8D. 37. 将函数y =sin(4x −π6)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把所得图象向左平移π6个单位长度，得到函数f(x)的图象，则函数f(x)的解析式为( )A. f(x)=sin(2x +π6) B. f(x)=sin(2x −π3) C. f(x)=sin(8x +π6)D. f(x)=sin(8x −π3)8. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2=2，S 4=9，则a 6=( )A. 3B. 4C. 5D. 69.函数f(x)=(x−1x)cosx(−π≤x≤π且x≠0)的图象可能为()A. B.C. D.10.与下边三视图对应的几何体的体积为()．A. 43B. 83C. 23D. 211.已知双曲线C：x29−y216=1的左右焦点分别为F1，F2，P为C的右支上一点，且|PF2|=35|F1F2|，则△PF1F2的面积等于()A. 8B. 8√7C. 8√14D. 1612.已知函数f(x)={2x−1,x>0−x2−2x,x≤0，若函数g(x)=f(x)−m有3个零点，则实数m的取值范围是______ ．A. (−1,1)B. (−2,1)C. (0,1)D. (0,2)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若α∈(0,π2)，且cos2α=sin2α，则tanα=______ ．14.在等比数列{a n}中，若a5=8，a8=1，则a1=______ ．15.已知函数f(x)=(x2−2x)e x−1，当x>1时，关于x的不等式f(x)−mx+1+m≤0有解，则m的取值范围为________．16.过椭圆C：x24+y23=1的右焦点F2的直线与椭圆C相交于A，B两点．若AF2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =F2B⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则点A与左焦点F1的距离|AF1|=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，已知a=2，c=√2，cosA=−√2，求：4(1)sinC；(2)b和三角形△ABC的面积．18.为了了解创建文明城市过程中学生对创建工作的满意情况，相关部门对某中学的100名学生进行调查．得到如下的统计表：已知在全部100名学生中随机抽取1人对创建工作满意的概率为4．5(1)在上表中a，b，c，d，e，f相应的数据依次为______；(2)是否有充足的证据说明学生对创建工作的满意情况与性别有关？19.如图，在四棱锥P−ABCD中，ABCD为平行四边形，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA=AB=2，AC=1，点E是PD的中点．(1)求证：PB//平面AEC；(2)求D到平面AEC的距离．20.已知函数f(x)=alnx+x2−x，其中a∈R．(Ⅰ)若a<0，讨论f(x)的单调性；(Ⅱ)当x≥1时，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围．21.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F(2,0)．(1)求p；(2)斜率为1的直线过点F，且与抛物线交于A，B两点，求线段AB的长．22.在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方)=2√2，两条曲线交于A，B两点．程为ρ=4cosθ，直线l的极坐标方程为ρcos(θ+π4(1)求A，B两点的极坐标；(2)P为曲线C2：为参数)上的动点，求△PAB的面积的最小值．≥4．23.已知a，b是正数，求证：a2+4b2+1ab【答案与解析】1.答案：B解析：解：B={x|−1≤x≤2}；∴A∩B={0,1，2}．故选：B．可求出集合B，然后进行交集的运算即可．本题考查交集的运算，属于基础题．2.答案：C解析：解：复数z=1+i，则|zi |=|1+ii|=|1−i|=√2．故选：C．直接利用复数的模的运算法则化简求值即可．本题考查复数求模的运算法则的应用，基本知识的考查．3.答案：B解析：本题考查函数模型的应用，属于基础题．由[m]是大于或等于m的最小整数，可得[5.2]=6，所以f(5.2)=1.06×(0.5×[5.2]+1)= 1.06×4=4.24．解：由[m]是大于或等于m的最小整数，可得[5.2]=6．所以f(5.2)=1.06×(0.5×[5.2]+1)=1.06×4=4.24．故选B．4.答案：C解析：本题考查了平面向量数量积的应用问题，是基础题目．根据平面向量数量积运算的定义，即可求出对应的模长．解：∵向量a ⃗ =(1,√3)， ∴|a ⃗ |=√12+(√3)2=2； 又向量a⃗ ,c ⃗ 的夹角是π3，a ⃗ ⋅c ⃗ =2， ∴|a ⃗ |⋅|c ⃗ |⋅cos π3=2|c ⃗ |⋅12=2，∴|c ⃗ |=2． 故选：C ．5.答案：C解析：解：两条相交直线l ，m 都在平面α内，且都不在平面β内，甲：l 和m 中至少有一条直线与β相交，乙：平面α与平面β相交，由甲⇒乙，反之也成立，否则l//β，m//β，l ∩m =P ，l ，m ⊂α，可得α//β，矛盾． 则甲是乙的充要条件． 故选：C ．根据两个平面相交、平行的充要条件即可判断出结论．本题考查了两个平面相交、平行的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.答案：C解析：解：由约束条件{y ≤2x +y ≥4x −y ≤1作出可行域如图，联立{y =2x +y =4，解得A(2,2)，化目标函数z =3x +y 为y =−3x +z ，由图可知，当直线y =−3x +z 过A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值为z =3×2+2=8． 故选：C ．作出不等式组对应的平面区域，利用绵竹市的几何意义，通过数形结合即可的得到结论． 本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．解析：本题考查的知识要点：函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．直接利用函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用求出结果．解：函数y =sin(4x −π6)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y =sin(2x −π6)的图象，再把所得图象向左平移π6个单位长度，得到函数的图象，故选：A ．8.答案：B解析：本题考查等差数列的通项公式与求和公式，由已知求出首项与公差，然后利用通项公式求解即可． 解： 设{a n }的公差为d ， 则由已知有{a 2=a 1+d =2S 4=4a 1+4×32d =9, 解得a 1=32,d =12， 所以a 6=a 1+5d =4． 故选B ．9.答案：D解析：本题主要考查函数图象的识别以及函数的奇偶性的判断，属于基础题．由条件可得函数f(x)为奇函数，故它的图象关于原点对称；再根据x =π时，f(π)<0，得出结论． 解：对于函数f(x)=(x −1x )cosx(−π≤x ≤π且x ≠0)，由于它的定义域关于原点对称， 且满足f(−x)=(1x −x)cosx =−f(x)，故函数f(x)为奇函数，故它的图象关于原点对称． 故排除A 、B ．当x =π，f(π)<0，故排除C ，10.答案：A解析：本题考查几何体的三视图，解决问题的关键是根据所给三视图分析可得当其为正八面体时，体积最大．解：根据所给三视图分析可得当其为正八面体，.如图，FO=1,AC=BD=√2，易知其体积为V=2V F−ABCD=2×13×√2×√2×1=43，故选A．11.答案：C解析：解：∵双曲线C：x29−y216=1中a=3，b=4，c=5∴F1(−5,0)，F2(5,0)∵|PF2|=35|F1F2|，∴|PF1|=2a+|PF2|=6+6=12，|PF2|=6，|F1F2|=10∴cos∠PF1F2=144+100−362×12×10=1315，∴sin∠PF1F2=2√1415∴△PF1F2的面积为12×12×10×2√1415=8√14．先根据双曲线方程求出焦点坐标，再利用双曲线的性质求得||PF 1|，求出cos∠PF 1F 2=144+100−362×12×10=1315，sin∠PF 1F 2=2√1415，即可求出△PF 1F 2的面积．此题重点考查双曲线的第一定义，双曲线中与焦点，准线有关三角形问题；属于中档题．12.答案：C解析：本题考查函数的零点及其应用，解题时要注意数形结合思想的合理运用．先把原函数转化为函数f (x )={2x −1,x >0−(x +1)2+1,x ≤0，再作出其图象，然后结合图象进行求解．解：函数f (x )={2x −1,x >0−x 2−2x,x ≤0={2x −1,x >0−(x +1)2+1,x ≤0， 得到图象为：又函数g(x)=f(x)−m 有3个零点， 知f(x)=m 有三个零点， 则实数m 的取值范围是(0,1)． 故选C ．13.答案：12解析：解：∵cos2α=sin2α=2sinαcosα，且α∈(0,π2)，即cosα≠0，∴cosα=2sinα，则tanα=sinαcosα=sinα2sinα=12．故答案为：12由α的范围得到cosα≠0，已知等式右边利用二倍角的正弦函数公式化简，再两边除以cosα，利用同角三角函数间的基本关系化简即可求出tanα的值．此题考查了二倍角的正弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．14.答案：128解析：解：设等比数列{a n}的公比是q，∵a5=8，a8=1，∴q3=a8a5=18，则q=12，∵a5=a1⋅q4=8，解得a1=128，故答案为：128．设等比数列{a n}的公比是q，根据等比数列的通项公式和题意求出q，再利用a5=8求出a1．本题考查等比数列的通项公式的简单应用，属于基础题．15.答案：(−1,+∞)解析：本题考查了导数和函数单调性和最值的关系，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．先求导，判断出函数的单调性，可得函数值的情况，即可求出m的取值范围．解：∵f′(x)=(x2−2)e x−1，令f′(x)=0，解得x=√2，当1<x<√2时，f′(x)<0，当x>√2时，f′(x)>0，∴f(x)在(1,√2)上递减，在(√2,+∞)上递增，当x>2时，f(x)>0，又f(1)=−1，f(√2)<−1，f(2)=0，∵f′(1)=−1，∴m >−1，故答案为(−1,+∞)．16.答案：52解析：解：椭圆C ：x 24+y 23=1的a =2，b =√3，c =1，右焦点F 2为(1,0)，由AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得F 2为AB 的中点，即有AB ⊥x 轴，令x =1，可得y =±√3⋅√1−14=±32， 由椭圆的定义可得，|AF 1|+|AF 2|=2a =4，可得|AF 1|=4−|AF 2|=4−32=52．故答案为：52．求得椭圆的a ，b ，c ，右焦点坐标，由AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得F 2为AB 的中点，即有AB ⊥x 轴，令x =1，可得|AF 2|，再由椭圆的定义，即可得到所求值．本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的定义的运用，考查运算能力，属于基础题．17.答案：解：(1)∵在△ABC 中，已知a =2，c =√2，cosA =−√24， ∴sinA =√1−cos 2A =√144， 由正弦定理c sinC =a sinA 得：sinC =csinA a =√2×√1442=√74； (2)由余弦定理得：a 2=b 2+c 2−2bccosA ，即4=b 2+2+b ，解得：b =1或b =−2(舍去)，则△ABC 面积为12absinC =12×2×1×√74=√74．解析：(1)由cos A 的值求出sin A 的值，利用正弦定理即可求出sin C 的值；(2)利用余弦定理列出关系式，把a ，c ，cos A 的值代入求出b 的值，利用三角形面积公式求出三角形ABC面积即可．此题考查了余弦定理，三角形面积公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．18.答案：5，30，80，20，55，45解析：解：(1)根据题意，填写列联表如下：满意不满意合计男生50555女生301545合计8020100则表中a，b，c，d，e，f相应的数据依次为5，30，80，20，55，45；(2)根据列联表数据可得K2的观测值为k=100×(50×15−5×30)255×45×80×20≈9.091>7.879，所以在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为学生对创建工作的满意情况与性别有关．(1)根据题意填写列联表，得出表中a，b，c，d，e，f对应的数据；(2)根据列联表数据计算K2的观测值，对照临界值得出结论．本题考查了列联表与独立性检验的问题，是基础题．19.答案：证明：(1)连结BD，交AC于F点，连结EF，在△PBD中，EF//PB，又EF⊂面AEC，PB⊄面AEC，∴PB//面AEC．解：(2)∵DC//AB，AC⊥AB，∴DC⊥AC，又DC⊥PA，AC∩PA=A，∴DC⊥平面PAC，∵PC⊂平面PAC，∴DC⊥PC，在Rt△PDC中，EC=12PD=12√PA2+AD2=12√PA2+AC2+CD2=32，同理AE=32，EF=√(32)2−(12)2=√2，在等腰△AEC中，∴S△EAC=12×AC×EF=12×1×√2=√22，设D到平面AEC的距离为h，由V D−EAC=V E−DCA，得13⋅S△EAC⋅ℎ=13⋅S△ADC⋅EH，∴√22ℎ=1×1，解得ℎ=√2，∴D到平面AEC的距离为√2．解析：(1)连结BD，交AC于F点，连结EF，推导出EF//PB，由此能证明PB//面AEC．(2)推导出AC⊥AB，DC⊥AC，DC⊥PA，从而DC⊥平面PDC，进而DC⊥PC，设D到平面AEC 的距离为h，由V D−EAC=V E−DCA，能求出D到平面AEC的距离．本题考查线面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20.答案：解：(I)f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=ax +2x−1=2x2−x+ax，令f′(x)=0得2x2−x+a=0，解得x1=1−√1−8a4，x2=1+√1−8a4，∵a<0，∴x1<0，x2>0，∴当0<x<1+√1−8a4时，f′(x)<0，当x>1+√1−8a4时，f′(x)>0，∴f(x)在(0,1+√1−8a4)上单调递减，在(1+√1−8a4,+∞)上单调递增．(II)若a=0时，f(x)=x2−x，∴f(x)在[1,+∞)上单调递增，∴f min(x)=f(1)=0，符合题意．若a<0，由(I)可知f(x)在(0,1+√1−8a4)上单调递减，在(1+√1−8a4,+∞)上单调递增，当1+√1−8a4≤1即−1≤a<0时，f(x)在[1,+∞)上单调递增，∴f min(x)=f(1)=0，符合题意，当1+√1−8a4>1即a<−1时，f(x)在[1,1+√1−8a4)上单调递减，在[1+√1−8a4,+∞)上单调递增，∴f min(x)=f(1+√1−8a4)<f(1)=0，不符合题意．若a>0，令f′(x)=0得2x2−x+a=0，∴当△=1−8a≤0即a≥18时，f′(x)≥0恒成立，∴f(x)在[1,+∞)上单调递增，∴f min (x)=f(1)=0，符合题意．若0<a <18，则2x 2−x +a =0有两正实数解，x 1=1−√1−8a 4，x 2=1+√1−8a 4， ∴f(x)在(0,1−√1−8a 4)上单调递增，在(1−√1−8a 4,1+√1−8a 4)上单调递减，在(1+√1−8a 4,+∞)上单调递增， ∵1+√1−8a 4<1，∴f(x)在[1,+∞)上单调递增，∴f min (x)=f(1)=0，符合题意，综上，a 的取值范围是[−1,+∞)．解析：(I)令f′(x)=0求出f(x)的极值点，结合f(x)的定义域得出f′(x)的符号变换情况，从而得出f(x)的单调性；(II)对a 进行讨论，判断f(x)在[1,+∞)上的单调性，得出f(x)在[1,+∞)上的最小值f min (x)，即可得出结论．本题考查了导数与函数单调性的关系，函数最值的计算，分类讨论思想，属于中档题． 21.答案：解：(1)由焦点的坐标可得p 2=2，所以p =4；(2)由(1)可得抛物线的方程为y 2=8x ，设直线AB 的方程为：y =x −2，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立直线AB 与抛物线的方程可得：{y =x −2y 2=8x，整理可得：x 2−12x +4=0， 所以x 1+x 2=12，由抛物线的性质，到焦点的距离等于到准线的距离，所以弦长|AB|=x 1+x 2+p =12+4=16．解析：本题考查抛物线的性质及直线与抛物线的综合，属于基础题．(1)由焦点的坐标直接可得p 值；(2)由题意设直线AB 的方程，与抛物线联立求出两根之和，再由抛物线的性质，到焦点的距离等于到准线的距离，可得弦长|AB|的值． 22.答案：解：(1)由曲线C 1的极坐标方程为ρ=4cosθ，转化为直角坐标方程为：x 2+y 2=4x ，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ+π4)=2√2，即，转化为直角坐标方程为：x −y −4=0，联立{x 2+y 2=4x x −y =4，解得：{x =2y =−2或{x =4y =0，直线l 与曲线C 1交点的为(2,−2)或(4,0)，所以直线l 与曲线C 1交点的极坐标为(2√2,7π4)或(4,0)．(2)由(1)知直线l 与曲线C 1交点的直角坐标为(2,−2)，(4,0)，|AB|=√(2−4)2+(−2)2=2√2，因此，△PAB 的面积取得最小时也就是P 到直线l 的距离最小的时候，设点P(2cosθ,sinθ)，则点P 到直线l 的距离为：d =2=√5sin(θ−α)+4|2，当sin(θ−α)=−1时，d min =√5√2，所以S △PAB =12|AB|d min =12×2√2×√5√2=4−√5．解析：本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，三角函数关系式的恒等变换，点到直线的距离公式的应用．(1)直接把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．(2)利用点到直线的距离公式和三角函数的关系式的恒等变换求出三角形的面积．23.答案：证明：因为a ，b 是正数，所以a 2+4b 2≥4ab(当且仅当a =2b 时，取等号)所以a 2+4b 2+1ab ≥4ab +1ab ≥2√4ab ×1ab =4(当且仅当ab =12时取等号，亦即a =1，b =12时，取等号)即a 2+4b 2+1ab ≥4．解析：利用基本不等式，先证明a 2+4b 2≥4ab ，再利用基本不等式，即可证得结论． 本题考查不等式的证明，考查基本不等式的运用，属于中档题．。

2020年广西柳州高中高考数学模拟试卷（文科）（3月份）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知复数(12)(1)()z i ai a R =++∈，若z R ∈，则实数(a = ) A ．12 B ．12-C ．2D ．2-2．（5分）已知集合{|12}M x x =-<<，{|(3)0}N x x x =+…，则(M N =I ) A ．[3-，2)B ．(3,2)-C ．(1-，0]D ．(1,0)-3．（5分）同时抛掷两个质地均匀的骰子，向上的点数之和小于5的概率为( )A ．19B ．16C ．118D ．5124．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的s 的值为( )A ．53B ．85C ．138D ．21135．（5分）已知数列{}n a 的前n 项之和21n S n =+，则13(a a += ) A ．6B ．7C ．8D ．96．（5分）圆221:4C x y +=与圆222:44120C x y x y +-+-=的公共弦的长为( ) A 2B 3C ．22D ．327．（5分）已知tan()74πα+=，且32ππα<<，则sin (α= )A ．35B ．35-C ．45D ．45-8．（5分）若1e u r ，2e u u r 是夹角为60︒的两个单位向量，而122a e e =+u r u u r r，1232b e e =-+u r u u r r ，则向量a r和b r 夹角为( )A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 9．（5分）已知函数22()sin sin ()3f x x x π=++，则()f x 的最小值为( )A ．12B ．14C ．3 D ．2 10．（5分）在正方形123SG G G 中，E 、F 分别是12G G 及23G G 的中点，D 是EF 的中点，现在沿SE 、SF 及EF 把这个正方形折成一个四面体，使1G 、2G 、3G 三点重合，重合后的点记为G ，那么，在四面体S EFG -中必有( )A ．SG EFG ⊥∆所在平面B ．SD EFG ⊥∆所在平面C ．GF SEF ⊥∆所在平面D ．GD SEF ⊥∆所在平面11．（5分）如果关于x 的不等式3210x ax -+…在[1-，1]恒成立，则实数a 的取值范围是()A ．0a „B ．a l „C ．2a „D ．332a „12．（5分）已知ABC ∆的三边分别为a ，b ，c ，若满足22228a b c ++=，则ABC ∆面积的最大值为( ) A 5B 25C 35D 5 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）函数()1f x xlnx =+在点(,)e e l +处的切线方程为 ． 14．（5分）若函数cos ()sin x af x x+=在(0,)2π上单调递减，则实数a 的取值范围为 ．15．（5分）已知2211M x y y x =--M 的最大值为 ．16．（5分）根据气象部门预报，在距离某个码头A 南偏东45︒方向的600km 处的热带风暴中心B 正以30/km h 的速度向正北方向移动，距离风暴中心450km 以内的地区都将受到影响，从现在起经过 小时后该码头A 将受到热带风暴的影响（精确到0.01)．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）若等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足413a a S -=，5115a a -=． （1）求数列{}n a 的首项1a 和公比q ； （2）若100n a n >+，求n 的取值范围．18．（12分）如图，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，P ，Q ，L 分别为棱11A D ，11C D ，BC 的中点．（1）求证：AC QL ⊥； （2）求四面体DPQL 的体积．19．（12分）一个小商店从一家食品有限公司购进10袋白糖，每袋白糖的标准重量是500g ，为了了解这些白糖的实际重量，称量出各袋白糖的实际重量（单位：)g 如下：503，502，496，499，491，498，506，504，501，510 （1）求这10袋白糖的平均重量x 和标准差s ；（2）从这10袋中任取2袋白糖，那么其中恰有一袋的重量不在(x s -，)x s +的概率是多少？（附25.8 5.08≈，25816.0625.9 5.09≈25916.09)≈20．（12分）已知抛物线2:2(0)y px p Γ=>的焦点为F ，P 是抛物线Γ上一点，且在第一象限，满足(2FP =u u u r，23)（1）求抛物线Γ的方程；（2）已知经过点(3,2)A -的直线交抛物线Γ于M ，N 两点，经过定点(3,6)B -和M 的直线与抛物线Γ交于另一点L ，问直线NL 是否恒过定点，如果过定点，求出该定点，否则说明理由．21．（12分）（1）研究函数sin ()xf x x=在(0,)π上的单调性； （2）求函数2()cos g x x x π=+的最小值．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为5cos (4sin x y ααα=⎧⎨=⎩为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线22:4cos 30C ρρθ-+=． （1）求曲线1C 的一般方程和曲线2C 的直角坐标方程； （2）若点P 在曲线1C 上，点Q 曲线2C 上，求||PQ 的最小值． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()|2||1|f x x a x a =-+-+． （1）当4a =时，求解不等式()8f x …；（2）已知关于x 的不等式2()2a f x …在R 上恒成立，求参数a 的取值范围．。

2020年广西柳州高中高考数学模拟试卷（文科）（3月份）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数z=(1+2i)(1+ai)(a∈R)，若z∈R，则实数a=（）A.−12B.12C.−2D.22. 已知集合M＝{x|−1<x<2}，N＝{x|x(x+3)≤0}，则M∩N＝（）A.(−3, 2)B.[−3, 2)C.(−1, 0)D.(−1, 0]3. 同时抛掷两个质地均匀的骰子，向上的点数之和小于5的概率为（）A.1 6B.19C.512D.1184. 执行如图所示的程序框图，输出的s的值为（）A.8 5B.53C.2113D.1385. 已知数列{a n}的前n项之和S n＝n2+1，则a1+a3＝（）A.7B.6C.9D.86. 圆C1:x2+y2−4=0与圆C2:x2+y2−4x+4y−12=0的公共弦长是()A.2√2B.2C.4D.2√37. 已知tan(α+π4)＝7，且π<α<3π2，则sinα＝（）A.−35B.35C.−45D.458. 若e1→，e2→是夹角为60∘的两个单位向量，而a→=2e1→+e2→，b→=−3e1→+2e2→，则向量a→和b→夹角为（）A.π3B.π6C.2π3D.5π69. 已知函数f(x)＝sin2x+sin2(x+π3)，则f(x)的最小值为（）A.14B.12C.√22D.√3410. 在正方形SG1G2G3中，E、F分别是G1G2及G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1、G2、G3三点重合，重合后的点记为G，那么，在四面体S−EFG中必有()A.SD⊥△EFG所在平面B.SG⊥△EFG所在平面C.GF⊥△SEF所在平面D.GD⊥△SEF所在平面11. 如果关于x的不等式x3−ax2+1≥0在[−1, 1]恒成立，则实数a的取值范围是（）A.a≤lB.a≤0C.a≤3√232D.a≤212. 已知△ABC的三边分别为a，b，c，若满足a2+b2+2c2＝8，则△ABC面积的最大值为（）A.2√55B.√55C.√53D.3√55二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.函数f(x)＝x ln x+1在点(e, e+l)处的切线方程为________．若函数f(x)=cos x+asin x在(0, π2)上单调递减，则实数a的取值范围为________．已知M =x√1−y 2+y√1−x 2，则M 的最大值为________．根据气象部门预报，在距离某个码头A 南偏东45∘方向的600km 处的热带风暴中心B 正以30km/ℎ的速度向正北方向移动，距离风暴中心450km 以内的地区都将受到影响，从现在起经过________小时后该码头A 将受到热带风暴的影响（精确到0.01）． 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a 4−a 1＝S 3，a 5−a 1＝15． （1）求数列{a n }的首项a 1和公比q ；（2）若a n >n +100，求n 的取值范围．如图，在棱长为a 的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，P ，Q ，L 分别为棱A 1D 1，C 1D 1，BC 的中点．（1）求证：AC ⊥QL ；（2）求四面体DPQL 的体积．一个小商店从一家食品有限公司购进10袋白糖，每袋白糖的标准重量是500g ，为了了解这些白糖的实际重量，称量出各袋白糖的实际重量（单位：g ）如下：503，502，496，499，491，498，506，504，501，510（1）求这10袋白糖的平均重量x ¯和标准差s ；（2）从这10袋中任取2袋白糖，那么其中恰有一袋的重量不在(x ¯−s, x ¯+s)的概率是多少？（附：√25.8≈5.08，√258≈16.06，√25.9≈5.09，√259≈16.09）已知抛物线Γ：y 2＝2px(p >0)的焦点为F ，P 是抛物线Γ上一点，且在第一象限，满足FP →=(2, 2√3)（1）求抛物线Γ的方程；（2）已知经过点A(3, −2)的直线交抛物线Γ于M ，N 两点，经过定点B(3, −6)和M 的直线与抛物线Γ交于另一点L ，问直线NL 是否恒过定点，如果过定点，求出该定点，否则说明理由．（1）研究函数f(x)=sin x x在(0, π)上的单调性；（2）求函数g(x)＝x 2+πcos x 的最小值．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =5cos αy =4sin α （α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2:ρ2−4ρcos θ+3＝0． （1）求曲线C 1的一般方程和曲线C 2的直角坐标方程；（2）若点P 在曲线C 1上，点Q 曲线C 2上，求|PQ|的最小值． [选修4-5：不等式选讲]已知函数f(x)＝|2x −a|+|x −a +1|． （1）当a ＝4时，求解不等式f(x)≥8；（2）已知关于x 的不等式f(x)≥a 22在R 上恒成立，求参数a 的取值范围．参考答案与试题解析2020年广西柳州高中高考数学模拟试卷（文科）（3月份）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】此题暂无答案【考点】复验热数术式工乘除运算复数三最本概念【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】此题暂无答案【考点】交集根助运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】此题暂无答案【考点】古典因顿二其比率计算公式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】此题暂无答案【考点】程正然图【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5. 【答案】此题暂无答案【考点】数列体函硫特性【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】此题暂无答案【考点】圆与来的位德米系及米判定点到直使的距离之式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】此题暂无答案【考点】两角和与射的三题函数【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】此题暂无答案【考点】平面射量长量化的性置及其运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9.【答案】此题暂无答案【考点】三角水三的最值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】此题暂无答案【考点】直线与平正垂直的判然【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答11.【答案】此题暂无答案【考点】利验热数技究女数的最值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答12.【答案】此题暂无答案【考点】余于视理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 【答案】此题暂无答案【考点】利用三数定究曲纵上迹点切线方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】利用验我研究务能的单调性【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】函根的萄送木其几何意义【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】根据体际省题完择函离类型【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.【答案】此题暂无答案【考点】等比数表的弹项公式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】直线验周面垂直棱柱、常锥头棱台改氯面积和表面积【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】极差、使差与标香差【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】抛物使之性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】利验热数技究女数的最值利用验我研究务能的单调性【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]【答案】此题暂无答案【考点】圆的较坐标停程参数较严与普码方脂的互化【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答[选修4-5：不等式选讲]【答案】此题暂无答案【考点】利验热数技究女数的最值绝对常不等至的保法与目明【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。

2020年广西桂林市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合{|1}A x x =-…，{|24}x B x =„，则(A B =I ) A ．[0，2]B ．[1-，2]C ．[1-，)+∞D ．(-∞，2]2．（5分）若复数z 满足21iz i=+，则||(z = ) AB ．2 C．D3．（5分）人体的体质指数()BMI 的计算公式：BMI =体重÷身高2（体重单位为kg ，身高单位为)m ．其判定标准如表：某小学生的身高为1.4m ，在一次体检时，医生告诉她属于正常类，则她的体重可能是( ) A ．35.6B ．36.1C ．42.4D ．48.24．（5分）已知向量a r 与b r 的夹角的余弦值为13，且||2a =r ，||1b =r ，则|3|(a b -=r r )A ．2B ．3C ．4D ．55．（5分）设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则αβ⊥的一个充分不必要条件是( )A ．m α⊥，m β⊥B ．m α⊂，n β⊂，m n ⊥C ．//m n ，m α⊥，n β⊥D ．//m α，m β⊥6．（5分）设x ，y 满足约束条件3302400,0x y x y x y --⎧⎪-+⎨⎪⎩„…厖，则目标函数z x y =+的最大值为( )A ．8B ．7C ．6D ．57．（5分）将函数()2sin(2)6f x x π=-的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再把所得图象向上平移2个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则( ) A ．()2sin(4)26g x x π=-+B ．()2sin(4)26g x x π=--C ．()2sin()26g x x π=-+D ．()2sin()26g x x π=--8．（5分）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”( “钱”是古代一种质量单位），在这个问题中，甲比戊多得( )钱？ A ．23B ．13C ．56D ．169．（5分）已知函数()y f x =的大致图象如图所示，则函数()y f x =的解析式可能为( )A ．1()cos 1x f x x ln x-=+g B ．1()cos 1x f x x ln x +=-g C ．1()sin 1x f x x lnx-=+g D ．1()sin 1x f x x lnx +=-g 10．（5分）如图是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的体积为( )A ．27πB ．36πC ．12πD ．18π11．（5分）已知双曲线222:1(0)8x y C a a -=>，1F ，2F 是C 的左右焦点，P 是双曲线C 右支上任意一点，若212||||PF PF 的最小值为8，则双曲线C 的离心率为( )AB ．3C ．2D12．（5分）已知函数3()2x f x -=，若函数2()(||)2()g x f x f m m =--有两个零点，则实数m 的取值范围为( ) A．(B．(,-∞⋃，)+∞C ．D ．(-∞⋃)+∞ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．（5分）已1sin cos 3αα+=，则sin 2α= ．14．（5分）已知等比数列{}n a 中，13a =，234a a =，则5a = ． 15．（5分）已知函数()(1)x f x e lnx =-，使得()f m e -…成立的实数m 的取值范围为 ．16．（5分）已知1F 为椭圆22:14x C y +=的左焦点，过点1F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，若113BF F A =u u u r u u u r，则直线l 的斜率为 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．（12分）在锐角ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知(22)cos cos c b A a B c -=-．（1）求证：2b c =；（2）若sin A =，2a =，求ABC ∆的面积． 18．（12分）某学校在学期结束，为了解家长对学校工作的满意度，对A ，B 两个班的100位家长进行满意度调查，调查结果如下：（1）根据表格判断是否有95%的把握认为家长的满意程度与所在班级有关系？（2）用分层抽样的方法从非常满意的家长中抽取5人进行问卷调查，并在这5人中随机选出2人进行座谈，求这2人都来自同一班级的概率？ 附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++． 19．（12分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，12AA =，1AB BC ==，E 为1BB 的中点，F 为1AC 的中点．（1）求证：//EF 平面ABCD ； （2）求点E 到平面11AB C 的距离．20．（12分）已知函数()1()f x x alnx a R =-+∈． （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a e <<时，记函数()f x 在区间[1，]e 的最大值为M ，最小值为m ，求M m -的取值范围．21．（12分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>，抛物线C 与圆22:(1)4D x y -+=的相交弦长为4．（1）求抛物线C 的标准方程；（2）点F 为抛物线C 的焦点，A 、B 为抛物线C 上两点，90AFB ∠=︒，若AFB ∆的面积为2536，且直线AB 的斜率存在，求直线AB 的方程． (二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为(42x tt y t =⎧⎨=-⎩为参数）．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2221cos ρθ=+．（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）设点P 在直线l 上，点Q 在曲线C 上，求||PQ 的最小值． [选修4-5：不等式选讲](10分)23．设a ，b ，c R ∈，且3a b c ++=．（1）求证：222(1)(1)3a b c +++-…； （2）若1t …，求证：222(1)()(2)3a b t c t -+-++…．2020年广西桂林市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合{|1}A x x =-…，{|24}x B x =„，则(A B =I ) A ．[0，2]B ．[1-，2]C ．[1-，)+∞D ．(-∞，2]【解答】解：{|1}A x x =-Q …，{|2}B x x =„， [1A B ∴=-I ，2]．故选：B ．2．（5分）若复数z 满足21iz i=+，则||(z = )A B ．2C ．D【解答】解：22(1)11(1)(1)i i i z i i i i -===+++-，∴||z =故选：A ．3．（5分）人体的体质指数()BMI 的计算公式：BMI =体重÷身高2（体重单位为kg ，身高单位为)m ．其判定标准如表：某小学生的身高为1.4m ，在一次体检时，医生告诉她属于正常类，则她的体重可能是( ) A ．35.6B ．36.1C ．42.4D ．48.2【解答】解：Q 人体的体质指数()BMI 的计算公式：BMI =体重÷身高2， (18.5,23.9)BMI ∈为正常，身高为1.4，∴体重正常值为：2(18.5 1.4⨯，223.9 1.4)(36.26⨯=，46.844)， ∴她的体重可能是42.4．故选：C ．4．（5分）已知向量a r与b r 的夹角的余弦值为13，且||2a =r ，||1b =r ，则|3|(a b -=r r )A ．2B ．3C ．4D ．5【解答】解：Q 向量a r与b r 的夹角的余弦值为13，且||2a =r ，||1b =r ，∴122133a b =⨯⨯=rr g ，∴2222(3)6946993a b a a b b -=-+=-⨯+=r rr r r r g ，∴|3|3a b -=r r． 故选：B ．5．（5分）设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则αβ⊥的一个充分不必要条件是( )A ．m α⊥，m β⊥B ．m α⊂，n β⊂，m n ⊥C ．//m n ，m α⊥，n β⊥D ．//m α，m β⊥【解答】解：对于A ，由m α⊥，//m βαβ⊥⇒，故A 错误， 对于B ，m α⊂，n β⊂，m n ⊥，则α，β可以平行，故B 错误， 对于C ，//m n ，m α⊥，n β⊥，可以求出//αβ，故C 错误， 对于D ，由//m α，m β⊥，得αβ⊥，是充分条件， 反之，由αβ⊥，不一定得到//m α，m β⊥，不必要条件， 故选：D ．6．（5分）设x ，y 满足约束条件3302400,0x y x y x y --⎧⎪-+⎨⎪⎩„…厖，则目标函数z x y =+的最大值为( ) A ．8 B ．7 C ．6 D ．5【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）． 由z x y =+得y x z =-+， 平移直线y x z =-+，由图象可知当直线y x z =-+经过点A 时，直线y x z =-+的截距最大， 此时z 最大．由330240x y x y --=⎧⎨-+=⎩，解得23x y =⎧⎨=⎩，即(2,3)A ，代入目标函数z x y =+得235z =+=． 即目标函数z x y =+的最大值为5． 故选：D ．7．（5分）将函数()2sin(2)6f x x π=-的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再把所得图象向上平移2个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则( ) A ．()2sin(4)26g x x π=-+B ．()2sin(4)26g x x π=--C ．()2sin()26g x x π=-+D ．()2sin()26g x x π=--【解答】解：将函数()2sin(2)6f x x π=-的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到2sin()6y x π=-，再把所得图象向上平移2个单位长度，得到函数()y g x =的图象，即()2sin()26g x x π=-+，故选：C ．8．（5分）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”( “钱”是古代一种质量单位），在这个问题中，甲比戊多得( )钱？ A ．23B ．13C ．56D ．16【解答】解：设甲、乙、丙、丁、戊五人分五得的钱数分别为1a ，2a ，3a ，4a ，5a ，公差为d ，则由题意可得，55S =，12345a a a a a +=++，115225392a d a d ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解可得143a =，1512463d a a d =--=-=， 故选：A ．9．（5分）已知函数()y f x =的大致图象如图所示，则函数()y f x =的解析式可能为( )A ．1()cos 1x f x x ln x-=+g B ．1()cos 1x f x x ln x +=-g C ．1()sin 1x f x x lnx-=+g D ．1()sin 1x f x x lnx +=-g 【解答】解：根据题意，由所给的图象可得：()f x 为偶函数， 据此分析选项：对于A ，1()cos 1x f x x ln x-=+g ，其定义域为(-∞，1)(1-⋃，)+∞，1()cos()()1x f x x lnf x x---=-=--g ，为奇函数，不符合题意； 对于B ，1()cos 1x f x x lnx +=-g ，同理可得其为奇函数，不符合题意； 对于C ，1()sin 1x f x x ln x-=+g ，其定义域为(-∞，1)(1-⋃，)+∞，1()sin()()1x f x x lnf x x---=-=-g ，为偶函数， 在区间(1,)π上，101x lnx-<+，而sin 0x >，则有()0f x <，符合题意； 对于D ，1()sin 1x f x x ln x +=-g ，同理可得其为偶函数，在区间(1,2)上，()0f x >，不符合题意； 故选：C ．10．（5分）如图是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的体积为( )A ．27πB ．36πC ．12πD ．18π【解答】解：由题意几何体是圆台，上底半径为1圆台的外接球的半径为R，解得3R =， 所以外接球的体积为：34363R ππ=g ． 故选：B ．11．（5分）已知双曲线222:1(0)8x y C a a -=>，1F ，2F 是C 的左右焦点，P 是双曲线C 右支上任意一点，若212||||PF PF 的最小值为8，则双曲线C 的离心率为( )AB ．3C ．2D【解答】解：设2||PF n =，根据双曲线的定义：1||2PF n a =+，则22212||(2)448||PF n a a n a a PF n n+==++…， Q 212||||PF PF 的最小值为8，1a ∴=． 则双曲线C的离心率为3e ==．故选：B ．12．（5分）已知函数3()2x f x -=，若函数2()(||)2()g x f x f m m =--有两个零点，则实数m 的取值范围为( )A ．(B ．(,-∞⋃，)+∞C ．D ．(-∞⋃)+∞ 【解答】解：函数2()(||)2()g x f x f m m =--有两个零点等价于方程23||3()222x m m ---=g 有2个不等根，则23||4()x m m -=--，即2||1x m m =--，要想满足方程有2个不等根，则210m m -->，解得m >或m即m 取值范围为(-∞⋃，)+∞， 故选：D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．（5分）已1sin cos 3αα+=，则sin 2α= 89- ．【解答】解：1sin cos 3αα+=Q ，21(sin cos )9αα∴+=，即112sin cos 9αα+=， 则8sin 22sin cos 9ααα==-．故答案为：89-14．（5分）已知等比数列{}n a 中，13a =，234a a =，则5a = 127． 【解答】解：13a =Q ，234a a =， 223(3)3q q ∴=，解可得13q =，∴45113()327a =⨯=． 故答案为：127． 15．（5分）已知函数()(1)x f x e lnx =-，使得()f m e -…成立的实数m 的取值范围为 [1，)+∞ ．【解答】解：1()(1)x f x e lnx x'=+-， 令1()1g x lnx x =+-，则22111()x g x x x x-'=-=，01x <<时，()0g x '<，函数单调递减，当1x >时，()0g x '>，函数单调递增，故()g x g …（1）0=，即()0f x '…恒成立， 从而()f x 在(0,)+∞上单调递增，且f （1）e =-， 故1m …．故答案为[1，)+∞．16．（5分）已知1F 为椭圆22:14x C y +=的左焦点，过点1F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，若113BF F A =u u u r u u u r，则直线l 的斜率为【解答】解：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，由1(F 0)可知12(BF x =u u u r ，2)y -，11(F A x =+u u u r1)y ，则213x x =+213y y -=，213x x ∴=-，213y y =-，又221114x y +=，222214x y +=，解得1x =，1y =，∴直线l=故答案为：三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．（12分）在锐角ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知(22)cos cos c b A a B c -=-．（1）求证：2b c =；（2）若sin A =，2a =，求ABC ∆的面积． 【解答】（1）证明：(22)cos cos c b A a B c -=-Q ． 由正弦定理可得，2sin cos 2sin cos sin cos sin sin cos sin cos sin cos C A B A A B C A B A B B A -=-=--，即2sin cos sin cos 0C A B A -=，A Q 为锐角，则cos 0A ≠，2sin sin C B ∴=，由正弦定理可得2b c =，（2）由题意可得1cos 4A ==， 由余弦定理可得，221244b c bc +-⨯=， 因为2b c =，解可得，2b =，1c =，故ABC ∆的面积122⨯=18．（12分）某学校在学期结束，为了解家长对学校工作的满意度，对A ，B 两个班的100位家长进行满意度调查，调查结果如下：（1）根据表格判断是否有95%的把握认为家长的满意程度与所在班级有关系？（2）用分层抽样的方法从非常满意的家长中抽取5人进行问卷调查，并在这5人中随机选出2人进行座谈，求这2人都来自同一班级的概率？ 附：2()()()()K a b c d a c b d =++++． 【解答】解：（1）由已知表格中的数据求得22100(30104515)1003.03 3.8417525455533K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯．∴没有95%的把握认为家长的满意程度与所在班级有关系；（2）记A 班抽取的非常满意的家长为a ，b ；B 班抽取的非常满意的家长为1，2，3． 则从5人中任选2人有(,)a b ，(,1)a ，(,2)a ，(,3)a ，(,1)b ，(,2)b ，(,3)b ，(1,2)，(1,3)，(2,3)共10种可能．其中来自同一个班级的有(,)a b ，(1,2)，(1,3)，(2,3)共4种可能．∴这2人都来自同一班级的概率42105P ==． 19．（12分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，12AA =，1AB BC ==，E 为1BB 的中点，F 为1AC 的中点．（1）求证：//EF 平面ABCD ； （2）求点E 到平面11AB C 的距离．【解答】解：（1）证明：如图，连结AC ，BD ，交于点O ，连结OF ， 1//FO BB Q ，12FO BB =，//FO BE ∴，FO BE =，∴四边形BEFO 为平行四边形，//EF OB ∴，OB ⊂Q 平面ABCD ，EF ⊂/平面ABCD ， //EF ∴平面ABCD ．（2）解：由题意知11B C ⊥平面11ABB A ， 11B C ∴是点1C 到平面11ABB A 的距离，又1AB ⊂平面11ABB A ，11B C AB ∴⊥， 设点E 到平面11AB C 的距离为h ，Q 1111C AB E E AB C V V --=，∴111111133AEB AB C S B C S h =V V g g ，∴111111113232h ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯，解得h =∴点E 到平面11AB C20．（12分）已知函数()1()f x x alnx a R =-+∈．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a e <<时，记函数()f x 在区间[1，]e 的最大值为M ，最小值为m ，求M m -的取值范围．【解答】解：（1）函数的定义域(0,)+∞，()1a x af x x x-'=-=， ①0a „时，()0f x '>，函数在(0,)+∞上单调递增，②当0a >时，易得(,)x a ∈+∞时，()0f x '>，函数单调递增，当(0,)x a ∈时，()0f x '<，函数单调递减，（2）由1a e <<可得()f x 在[1，)a 上单调递减，在(a ，]e 上单调递增， 则m f =（a ）1a alna =-+，f （1）2=，f （e ）1e a =-+， 由f （e ）f -（1）1e a =--，①当11a e <<-时，M f =（e ）1e a =-+，(1)(1)2M m e a a alna alna a e -=-+--+=-+， 令()2g x xlnx x e =-+，(11)x e <<-， 则()10g x lnx '=-<，所以()g x 在(1,1)e -上单调递减，所以(1)(1)2(1)(1)2(1)()2e ln e e e ln e e e g x e ---+=----+<<-， 故此时M m -的范围((1)(1)2e ln e e ---+，2)e -，②当1e a e -<„时，M f =（1）2=，2(1)1M m a alna alna a -=--+=-+， 令()1h x xlnx x =-+，(1)e x e -<„，则()0h x lnx '=>，此时()h x 单调递增，则有(1)(1)2(1)(1)(1)1()11e ln e e e ln e e h x e e ---+=----+<-+=„， 此时M m -的范围[(1)(1)2e ln e e ---+，1)， 综上可得，M m -的范围[(1)(1)2e ln e e ---+，1)．21．（12分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>，抛物线C 与圆22:(1)4D x y -+=的相交弦长为4．（1）求抛物线C 的标准方程；（2）点F 为抛物线C 的焦点，A 、B 为抛物线C 上两点，90AFB ∠=︒，若AFB ∆的面积为2536，且直线AB 的斜率存在，求直线AB 的方程． 【解答】解：（1）由抛物线和圆的的对称性可得两条曲线的交点关于x 轴对称，由弦长为4可得，交点的纵坐标为2±，设交点(,2)P a ，由题意可得22222,(1)24pa a ⎧=⎨-+=⎩，解得1a =，2p =， 所以抛物线的标准方程为：24y x =．（2）设直线AB 的方程为：(0)y kx b k =+≠，点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立直线AB 与抛物线的方程：24y xy kx b⎧=⎨=+⎩，整理可得：222(24)0k x kb x b +-+=，△222(24)40kb k b =-->，可得1kb <，12242kb x x k -+=，2122b x x k =，2222221212122424()kb k b b y y k x x kb x x b b b k k -=+++=++= 由90AFB ∠=︒可得：0FA FB =u u u r u u u rg ，即1(1x -，12)(1y x -g ，2)0y =， 整理可得：121212()10x x x x y y -+++=，即22242410b kb bk k k--++=， 可得2264b kb k ++=，221212122211114225||||(1)(1)(1)(1)()222236AFBb kb b k S AF BF x x x x x x k k k ∆-+=⨯⨯=++=+++=++==， 所以56b k k +=±，可得：6k b =-或611b k =-， 所以由226461b kb k k b kb ⎧++=⎪=-⎨⎪<⎩可得12k =，2b =-，或12k =-，2b =，所以直线方程为：122y x =-或122y x =-+；所以由22646111b kb k b k kb ⎧++=⎪⎪=-⎨⎪<⎪⎩，可得方程组无解，综上所述：直线AB 的方程为：122y x =-或122y x =-+．(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为(42x tt y t =⎧⎨=-⎩为参数）．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2221cos ρθ=+．（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）设点P 在直线l 上，点Q 在曲线C 上，求||PQ 的最小值．【解答】解：（1）直线l 的参数方程为(42x tt y t =⎧⎨=-⎩为参数）．转换为直角坐标方程为42y x =-．曲线C 的极坐标方程为2221cos ρθ=+．转换为直角坐标方程为2212y x +=．（2）设曲线上任一点的坐标为(cos )θθ到直线240x y +-=的距离d ==，当且仅当sin()1θα+= [选修4-5：不等式选讲](10分)23．设a ，b ，c R ∈，且3a b c ++=．（1）求证：222(1)(1)3a b c +++-…； （2）若1t …，求证：222(1)()(2)3a b t c t -+-++…． 【解答】证明：（1）由222229()[(1)(1)](1)(1)2(1)2(1)(1)2(1)a b c a b c a b c a b b c a c =++=+++-=+++-++++-+- 222222222222(1)(1)[(1)]{(1)(1)][(1)]3[(1)(1)]a b c a b b c a c a b c +++-++++++-++-=+++-„（当且仅当1a =，0b =，2c =时等号成立）．故有222(1)(1)3a b c +++-…； （2）由3a b c ++=，可得222(2)(1)[(1)()(2)]t a b c t a b t c t +=++-+=-+-++222(1)()(2)2(1)()2()(2)2(1)(2)a b t c t a b t b t c t a c t =-+-+++--+-++-+ 2222222(1)()(2)[(1)()]{()(2)][a b t c t a b t b t c t -+-+++-+-+-+++„ 22222(1)(2)]3[(1)()(2)]a c t a b t c t -++=-+-++， 由1t …，有2(2)9t +…， 则1t …时222(1)()(2)3a b t c t -+-++…．。

广西桂林市、崇左市 2020 届高三数学下学期二模联考试题 文（含解析）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先化简集合，再和集合 求交集，即可得出结果.【详解】因为，，所以，故选 D【点睛】本题主要考查集合的交集，熟记交集的概念即可，属于基础题型.2.若复数，，则 （ ）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据复数的除法运算，直接计算即可得出结果.【详解】因为，，所以.故选 A 【点睛】本题主要考查复数的除法运算，熟记运算法则即可，属于基础题型.3.已知向量，，.若，则 （ ）A. 2B. 1C. 0D. -1【答案】B【解析】【分析】先由，得到 的坐标，再由，即可求出结果.【详解】因为，，所以，又，，所以，解得 .故选 B【点睛】本题主要考查平面向量的数量积，熟记数量积的坐标运算即可，属于基础题型.4.在等差数列 中，，，若，则 （ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C【解析】【分析】先设公差为 ，根据题意求出公差，得到通项公式，求出 ，进而可求出结果.【详解】因为在等差数列 中，，，设公差为 ，则，所以 ，故，因此，，所以，又，所以，因此 .故选 C【点睛】本题主要考查等差数列，熟记等差数列的通项公式以及前 项和公式即可，属于常考题型.5.已知 是第一象限的角，且，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】 【分析】先由 是第一象限的角，确定，再由【详解】因为 是第一象限的角，所以，又，所以，代入，即可求出结果.可得，所以.故选 D 【点睛】本题主要考查同角三角函数基本关系，熟记商数关系，平方关系即可，属于常考题 型.6.如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该 程序框图，若输入的 分别为 12，18，则输出的 的值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 6【答案】D【解析】【分析】直接按照程序框图运行程序即可.【详解】12＜18，b=18-12=6,12＞6，a=12-6=6,a=b,输出 a=6.故选：D【点睛】本题主要考查程序框图和更相减损术，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.7.已知，则“ ”是“ ”的（ ）A. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】 从充分性和必要性两个方面判断分析得解.B. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件【详解】先考虑充分性， 时，如 a=1,b=-1,但是 a＜b 不成立，所以“ ”是“ ”非充分性条件；再考虑必要性， 时，a=-1,b=1,但是 不成立，所以“ ”是“ ”非必要性条件.故“ ”是“ ”的既不充分又不必要条件.故选：D 【点睛】本题主要考查充分必要条件的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分 析推理能力.8.已知平面 A.平面 ， 是 内的一条直线， 是 内的一条直线，且B.C.或，则（ ）D.且【答案】C 【解析】 【分析】 根据空间中直线与直线、直线与平面位置关系，可直接得出结果. 【详解】因为平面 平面 ， 是 内的一条直线， 是 内的一条直线， 要使 ，只能 或 垂直平面 与平面 的交线， 因此， 或 ； 故选 C 【点睛】本题主要考查空间的线面、线线位置关系，熟记线面、线线位置关系以及面面垂直 的性质定理即可，属于常考题型.9.在正方体中，直线 与平面所成角的正弦值为（ ）A. 1B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先以点 为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再求出直线 的方向向量，求两向量夹角余弦值，进而可求出结果.【详解】以点 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为 1，则所以，因为在正方体中所以，又平面，，所以平面，因此 是平面的一个法向量，设直线 与平面所成角为 ，则.故选 B【点睛】本题主要考查直线与平面所成角的正弦值，灵活掌握向量的方法求解即可，属于常 考题型.10.将函数 正确的是（ ） A. 的周期为的图象向右平移 个单位，得到函数 的图象，则下列说法中不B.是 的一条对称轴C.D. 为奇函数【答案】B 【解析】 【分析】 先由题意得到的解析式，再根据正弦函数的性质，即可求出结果.【详解】因为将函数的图象向右平移 个单位，得到函数 的图象，所以，所以其最小正周期为，所以 A 正确；又，所以 为奇函数，即 D 正确；，故 C 正确；由可得， 的对称轴为，故 B 错；故选 B 【点睛】本题主考查三角函数的图像变换以及三角函数的性质，熟记正弦函数的性质即可， 属于常考题型.11.若函数，则 在点 处的切线方程为（ ）A.B.C.D.【答案】D 【解析】 【分析】 先对函数 求导，将代入导函数求出切线斜率，进而可求出结果.【详解】因为 所以， ，因此 在点 处 切线斜率为，所以，所求切线方程为，整理得.的 故选D【点睛】本题主要考查曲线在某一点处的切线方程，熟记导数的几何意义即可，属于常考题 型.12.过双曲线的右支上一点 分别向圆 ：作切线，切点分别为 A. 5，则 B. 4的最小值为（ ） C. 3和圆 ： D. 2【答案】A【解析】【分析】求得两圆的圆心和半径，设双曲线的左右焦点为，，连接 ，， ， ，运用勾股定理和双曲线的定义，结合三点共线时，距离之和取得最小 值，计算即可得到所求值．【详解】圆的圆心为，半径为；圆的圆心为 ，半径为，设双曲线的左右焦点为，，连接 ， ， ， ，可得． 当且仅当 为右顶点时，取得等号，即最小值 5． 故选： ．【点睛】本题考查最值的求法，注意运用双曲线的定义和圆的方程，考查三点共线的性质， 以及运算 能力，属于中档题．二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.若，则 __________．【答案】 .【解析】 【分析】 根据对数的运算，可直接求出结果.【详解】因为，所以，故 ，所以 .故答案为 【点睛】本题主要考查对数 计算，熟记对数运算性质即可，属于基础题型.14.设函数，若，则__________．【答案】-1【解析】【分析】先由，得到的值，进而可求出结果.【详解】因为，所以，又，所以，因此.故答案为 . 【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，熟记概念即可，属于基础题型.15.若实数 满足，则 的最大值为__________．【答案】5. 【解析】 【分析】 先作出可行域，再利用斜率结合数形结合分析解答得解. 【详解】由题得不等式组对应的可行域如图所示阴影部分，表示的是点（x,y）和原点所在直线的斜率，联立.由图得可行域内的点 A(1,5)和原点所在直线的斜率最大，且等于 .故 的最大值为 5. 故答案为：5 【点睛】本题主要考查线性规划的最值问题，考查斜率的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.16.以抛物线 ：的顶点为圆心的圆交 于 两点，交 的准线于 两点.已知，，则 等于__________．【答案】 .【解析】【分析】画出图形，利用勾股定理以及圆的半径列出方程求解即得 p 的值.【详解】如图：，，，，，， ，，解得：，故答案为： ．【点睛】本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线与圆的方程的应用，考查数形结合思 想，属于中 档题．三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60 分17.已知数列 满足，.（1）求 ， ， ；（2）判断数列是否为等比数列，并说明理由；（3）求数列前 项和 .【答案】（1）1,3,7；的 （2）见解析；（3）.【解析】【分析】（1）根据题中条件，逐项计算，即可得出结果；（2）根据得到，进而可得出结论，求出结果；（3）根据分组求和的方法，结合等比数列的求和公式，即可求出结果.【详解】（1）由及知，解得：，同理得，.（2）由知，即.∴是以为首项，公比为 2 的等比数列.（3）∵ ∴，∴.. 【点睛】本题主要考查递由推公式证明数列是等比数列、以及数列的求和，熟记等比数列的 通项公式、求和公式即可，属于常考题型.18.某汽车公司为调查 店个数对该公司汽车销量的影响，对同等规模的 店一季度汽车销量进行了统计，结果如下：四座城市的（1）根据统计的数据进行分析，求 关于 的线性回归方程；（2）该公司为扩大销售拟定在同等规模的城市 开设 4 个 店，预计 市的 店一季度汽车销量是多少台？附：回归方程中的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：；.【答案】（1）；（2）31 台.【解析】【分析】（1）先由题中数据求出 ；，由；即可求出结果；（2）将 代入(1)的结果，即可得出所求预测值.【详解】（1）由题意可得： ；，..所以回归直线方程为.（2）将 代入上式得预计 市的 店一季度汽车销量是 31 台.【点睛】本题主要考查线性回归方程，熟记最小二乘法求 的估计值即可，属于常考题型.19.已知四棱锥 点.的底面 是菱形，， 底面 ， 是 上的任意一（1）求证：平面平面 ；（2）设，求点 到平面【答案】（1）见解析；的距离.（2） .【解析】【分析】（1）根据线面垂直的判定定理先证明 平面 ，即可得出平面平面 ；（2）用等体积法求解，根据，结合题中数据即可求出结果.【详解】（1）∵ 平面 ， 平面 ，∴.∵四边形 是菱形，∴.∵，∴ 平面 .∵ 平面 ，∴平面平面 .（2）设，连结 ，则，∵，四边形是菱形，，∴，.∴，∵，∴.∴设点 到平面 的距离为 ，∵ 平面，∴，∴解得.即点 到平面 的距离为 .【点睛】本题主要考查面面垂直的证明以及点到平面的距离，熟记面面垂直的判定定理以及 等体积法求点到面的距离即可，属于常考题型.20.椭圆的离心率，过点和的直线与原点间的距离为.（1）求椭圆 的方程；（2）过点的直线与椭圆 交于 、 两点，且点 位于第一象限，当时，求直线的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】 【分析】（1）由题得到关于 a,b,c 的方程组，解方程组即得解；（2）设，（， ），设直线的方程为.联立直线和椭圆方程，利用韦达定理求出 m 的值得解.【详解】（1）据题知，直线 的方程为.依题意得.解得，，所以椭圆 的方程为.（2）设，（，设直线的方程为.代入椭圆方程整理得：）， .∴，由，依题意可得：.① ，②结合①②得，消去 解得 ，（不合题意）.所以直线的方程为.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查直线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.21.设函数，.（1）当 时，讨论 的单调性；（2）已知 ，证明.【答案】（1） 在上单调递减，在 上单调递增.（2）见解析.【解析】【分析】（1）先由 ，求出函数的导函数，通过解导函数对应的不等式，即可得出结果；（2）先对函数求导，用导数的方法判断出函数的单调性，求出最大值，即可得出结论成立.【详解】 的定义域为.（1）当 时，.由，得所以函数 在；得.上单调递减，在 上单调递增.（2）.∵，的两根为.∴；.所以 在上单调递增，在上单调递减.∴∵ ，∴；∴.∴.【点睛】本题主要考查导数的应用，通常需要先对函数求导，利用导数的方法研究函数的单调性、最值等，属于常考题型.（二）选考题：共 10 分.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一 题记分.22.在平面直角坐标系中，已知曲线 的参数方程为（ 为参数），以原点为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线 的极坐标方程；（2）过点倾斜角为 的直线与曲线 交于两点，求的值.【答案】（1）;（2）8.【解析】【分析】（1）先求出曲线 的普通方程为，再化成极坐标方程；（2）先写出直线的参数方程（为参数），再将直线的参数方程代入圆的方程，利用直线参数方程 t 的几何意义解答.【详解】（1）依题意，曲线 的普通方程为，即，故，故，故所求极坐标方程为；（2）设直线的参数方程为（为参数），将此参数方程代入化简可得，中，显然 .设 所对应的参数分别为 ， ，则.∴.【点睛】本题主要考查参数方程、普通方程和极坐标方程的互化，考查直线参数方程 t 的几 何意义解答，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.23.已知函数，其中 .（1）当 时，求不等式解集；（2）若关于 的不等式恒成立，求实数 的取值范围.的 【答案】（1）【解析】 【分析】；（2） .(1)利用分类讨论法解绝对值不等式；（2）先求出，再求出 【详解】（1）当 当 时，由时，.解不等式即得解..；当 时，由不成立；综上所述，当 时，不等式的解集为.（2）记则.∴ 依题意得. ，∴ .所以实数 的取值范围为 【点睛】本题主要考查分类讨论法解绝对值不等式，考查绝对值不等式的恒成立的问题，意 在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。

2020年桂林市高考数学一模试卷(文科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 若集合A ={2,3，4}，B ={x|1+x >3}，则A ∩B =( )A. {4}B. {2}C. {3,4}D. {2,3} 2. 已知复数z =1+i ，则|z i |等于( )A. 4B. 2C. √2D. 12 3. 某商场宣传在节假日对顾客购物实行一定的优惠，商场规定：①如一次购物不超过200元，不予以折扣；②如一次购物超过200元，但不超过500元，按标价予以九折优惠；③如一次购物超过500元的，其中500元给予九折优惠，超过500元的给予八五折优惠．某人两次去购物，分别付款176元和432元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款( )A. 608元B. 574.1元C. 582.6元D. 456.8元4. 若|m⃗⃗⃗ |=2，m ⃗⃗⃗ ·n ⃗ =8，m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ 的夹角为60°，则|n ⃗ |的值为( ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 85. 设α，β表示平面，m ，n 表示直线，则m//α的一个充分不必要条件是( )A. α⊥β且m ⊥βB. α∩β=n 且m//nC. α//β且m ⊂βD. m//n 且n//α6. 若x,y 满足约束条件{−3≤x −y ≤1,−9≤3x +y ≤3,则z =x +y 的最小值为( ) A. 1 B. −3C. −5D. −6 7. 将函数y =sin(4x −π6)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把所得图象向左平移π6个单位长度，得到函数f(x)的图象，则函数f(x)的解析式为( ) A. f(x)=sin(2x +π6)B. f(x)=sin(2x −π3)C. f(x)=sin(8x +π6)D. f(x)=sin(8x −π3) 8. 我国明代数学家程大位《算法统宗》中有这样一个问题：今有钞二百三十八贯，令五等人从上作互和减半分之，只云戊不及甲三十三贯六百文，问：各该钞若干？其意思是：现有钱238贯，采用等差数列的方法依次分给甲、乙、丙、丁、戊五个人，现在只知道戊所得钱比甲少33贯600文(1贯=1000文)，问各人各得钱多少？在这个问题中，戊所得钱数为A. 30.8贯B. 39.2贯C. 47.6贯D. 64.4贯9.下列函数中，其图象可能为图是()A. f(x)=1||x|−1|B. f(x)=1|x−1|C. f(x)=1|x+1|D. f(x)=1x2−110.与下边三视图对应的几何体的体积为()．A. 43B. 83C. 23D. 211.已知双曲线C：x29−y216=1的左右焦点分别为F1，F2，P为C的右支上一点，且|PF2|=35|F1F2|，则△PF1F2的面积等于()A. 8B. 8√7C. 8√14D. 1612.已知函数f(x)={2x−1,x>0−x2−2x,x≤0，若函数g(x)=f(x)−m有3个零点，则实数m的取值范围是______ ．A. (−1,1)B. (−2,1)C. (0,1)D. (0,2)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知sinα+cosα=45，那么sin2α=__________．14.已知等比数列{a n}满足a1=12，且a2a4=4(a3−1)，则a5=______．15.若函数在定义域内是增函数，则实数m的取值范围是_________．16.过椭圆C：x24+y23=1的右焦点F2的直线与椭圆C相交于A，B两点．若AF2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =F2B⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则点A与左焦点F1的距离|AF1|=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosB+bsinA=c．(Ⅰ)求角A；(Ⅱ)若a=2，求△ABC面积的最大值．18.为了解华师一附中学生喜欢吃辣是否与性别有关，调研部(共10人)分三组对高中三个年级的学生进行调查，每个年级至少派3个人进行调查．(1)求调研部的甲、乙两人都被派到高一年级进行调查的概率．(2)调研部对三个年级共100人进行了调查，得到如下的列联表，请将列联表补充完整，并判断是否有99.9%以上的把握认为喜欢吃辣与性别有关？参考数据：参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d19.如图，在四棱锥P−ABCD中，ABCD为平行四边形，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA=AB=2，AC=1，点E是PD的中点．(1)求证：PB//平面AEC；(2)求D到平面AEC的距离．20.已知函数f(x)=lnx+a(x+1).(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)求函数f(x)在[1,2]上的最大值．21. 已知抛物线Γ：y 2=2px(p >0)的焦点为F ，若过点F 且斜率为1的直线与抛物线Γ相交于M 、N 两点，且|MN|=4．(Ⅰ)求抛物线Γ的方程；(Ⅱ)若点P 是抛物线Γ上的动点，点B 、C 在y 轴上，圆(x −1)2+y 2=1内切于△PBC ，求△PBC面积的最小值．22. 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是{x =ty =t +1(t 为参数)，曲线C 的参数方程是为参数)，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(Ⅰ)求直线l 和曲线C 的极坐标方程；(Ⅱ)已知射线OP ：θ1=α(其中0<α<π2)与曲线C 交于O ，P 两点，射线OQ ：θ2=α+π2与直线l 交于Q 点，若△OPQ 的面积为1，求α的值和弦长|OP|．23.已知：a2+b2=1，其中a，b∈R．≤1；(1)求证：|a−b||1−ab|(2)若ab>0，求(a+b)(a3+b3)的最小值．【答案与解析】1.答案：C解析：解：B={x|x>2}；∴A∩B={3,4}．故选：C．可求出集合B，然后进行交集的运算即可．考查列举法、描述法的定义，以及交集的运算．2.答案：C解析：解：复数z=1+i，则|zi |=|1+ii|=|1−i|=√2．故选：C．直接利用复数的模的运算法则化简求值即可．本题考查复数求模的运算法则的应用，基本知识的考查．3.答案：C解析：本小题主要考查函数模型的选择与应用，考查函数的思想．属于基础题．由题意可得分段函数解析式，由此易得答案．解：根据题意，应付款y={x,x⩽2000.9x,200<x⩽5000.9×500+0.85(x−500),x>500付款176元时没有折扣，付款432元实际价格为432÷0.9=480(元)．故两次购物的实际价格为176+480=656(元)，若一次购物，则只需要500×0.9+(656−500)×0.85=582.6(元)．故选C．4.答案：D解析：本题考查向量数量积的运算，属于基础题.代入向量的数量积公式求解即可． 解：因为， 所以．故选D ． 5.答案：C解析：解：根据面面平行的性质可知若α//β且m ⊂β，则m//α，反之不一定成立，故α//β且m ⊂β是m//α成立的一个充分不必要条件，故选：C ．根据充分条件和必要条件的定义结合线面平行和面面平行的关系进行判断．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据线面平行和面面平行的关系是解决本题的关键． 6.答案：C解析：【试题解析】解：作出x ，y 满足约束条件{−3≤x −y ≤1−9≤3x +y ≤3， 表示的平面区域，如图所示的阴影部分：由z =x +y 可得y =−x +z ，则z 表示直线y =−x +z 在y 轴上的截距，截距越小，z 越小，由题意可得，{1=x −y −9=3x +y，解得A(−2,−3)， 当y =−x +z 经过点A 时，z 最小，由A(−2,−3)，此时z =x +y =−5．故选：C ．作出不等式组表示的平面区域，由z =x +y 可得y =−x +z ，则z 表示直线y =−x +z 在y 轴上的截距，截距越小，z 越小，结合图象可求z 的最小值．本题主要考查了线性目标函数在线性约束条件下的最值的求解，解题的关键是明确z 的几何意义．7.答案：A解析：本题考查的知识要点：函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．直接利用函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用求出结果．解：函数y=sin(4x−π6)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y=sin(2x−π6)的图象，再把所得图象向左平移π6个单位长度，得到函数的图象，故选：A．8.答案：A解析：本题考查等差数列的通项公式和求和公式，属于基础题．运用等差数列的相关公式，建立关于首项，公差的方程组，从而得解．解：由题意，设等差数列{a n}的前5项a1,a2,a3,a4,a5分别为甲、乙、丙、丁、戊所得钱数，等差数列{a n}的公差为d，则有{S5=5a1+5×42d=238a1−a5=−4d=33.6，解得{d=−8.4a1=64.4,所以戊所得钱数为a5=a1+4d=64.4−8.4×4=30.8贯，故选A9.答案：A解析：本题考查了函数的图象的判断，属于简单题．由奇偶性排除B，C，由特殊值x=0排除D．解：由图象知：f(x)为偶函数，排除B，C，由x=0得f(0)=1，排除D，故选A．10.答案：A解析：本题考查几何体的三视图，解决问题的关键是根据所给三视图分析可得当其为正八面体时，体积最大．解：根据所给三视图分析可得当其为正八面体，.如图，FO=1,AC=BD=√2，易知其体积为V=2V F−ABCD=2×13×√2×√2×1=43，故选A．11.答案：C解析：解：∵双曲线C：x29−y216=1中a=3，b=4，c=5∴F1(−5,0)，F2(5,0)∵|PF2|=35|F1F2|，∴|PF1|=2a+|PF2|=6+6=12，|PF2|=6，|F1F2|=10∴cos∠PF1F2=144+100−362×12×10=1315，∴sin∠PF1F2=2√1415∴△PF1F2的面积为12×12×10×2√1415=8√14．故选：C．先根据双曲线方程求出焦点坐标，再利用双曲线的性质求得||PF 1|，求出cos∠PF 1F 2=144+100−362×12×10=1315，sin∠PF 1F 2=2√1415，即可求出△PF 1F 2的面积．此题重点考查双曲线的第一定义，双曲线中与焦点，准线有关三角形问题；属于中档题． 12.答案：C解析：本题考查函数的零点及其应用，解题时要注意数形结合思想的合理运用．先把原函数转化为函数f (x )={2x −1,x >0−(x +1)2+1,x ≤0，再作出其图象，然后结合图象进行求解．解：函数f (x )={2x −1,x >0−x 2−2x,x ≤0={2x −1,x >0−(x +1)2+1,x ≤0， 得到图象为：又函数g(x)=f(x)−m 有3个零点，知f(x)=m 有三个零点，则实数m 的取值范围是(0,1)．故选C ．13.答案：−925解析：本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题．由题意利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式的正弦公式，求得sin2α的值．解：∵sinα+cosα=45，∴1+2sinαcosα=1625，即1+sin2α=1625，那么sin2α=−925，故答案为−925． 14.答案：8解析：本题考查了等比数列的通项公式的应用，属于基础题;将等比数列的通项公式代入即可得关于公比q 的方程，解得q 即可得答案．解： 由等比数列的通项公式得a 1q.a 1q 3=4(a 1q 2−1)，将a 1=12代入得q 4−8q 2+16=0，解得q 2=4，所以a 5=a 1q 4=12×24=8，故答案为8． 15.答案：[12,+∞)解析：本题主要考查利用导数研究函数单调性，是基础题.由函数在定义域内是增函数可知函数的导函数在定义域内恒大于0，分离变量x 与参数m ，得2m ≥2x −1x 2，令t =1x ,t ∈(0,+∞)，构建新函数g(t)并求出其最大值，即可得到m 的取值范围．解：f′(x)=2mx +1x −2，根据题意得f′(x)≥0在x ∈(0,+∞)上恒成立，所以2m ≥2x −1x 2，令t =1x ,t ∈(0,+∞)，g (t )=2t −t 2=−(t −1)2+1≤1，故2m ≥1，则m ≥12． 故答案为[12,+∞)．16.答案：52解析：解：椭圆C ：x 24+y 23=1的a =2，b =√3，c =1， 右焦点F 2为(1,0)，由AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得F 2为AB 的中点，即有AB ⊥x 轴，令x =1，可得y =±√3⋅√1−14=±32， 由椭圆的定义可得，|AF 1|+|AF 2|=2a =4，可得|AF 1|=4−|AF 2|=4−32=52．故答案为：52．求得椭圆的a ，b ，c ，右焦点坐标，由AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得F 2为AB 的中点，即有AB ⊥x 轴，令x =1，可得|AF 2|，再由椭圆的定义，即可得到所求值．本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的定义的运用，考查运算能力，属于基础题． 17.答案：解：(Ⅰ)由已知及正弦定理得sinC =sinAcosB +sinBsinA①，又A +B +C =π，故有sinC =sin(A +B)=sinAcosB +cosAsinB②，由①②得sinA =cosA 即tanA =1，又A ∈(0,π)∴A =π4;(Ⅱ的面积为S =12bcsinA =√24bc ， 由已知及余弦定理可得4=b 2+c 2−2bccosA ≥2bc −2bccosA =(2−√2)bc ，∴bc ≤2−√2，当且仅当b =c 时，等号成立，，即面积最大值为√2+1． 解析：本题考查正弦定理、余弦定理和面积公式的运用，同时考查三角函数的恒等变换公式的运用，属于中档题．(Ⅰ)运用正弦定理和诱导公式、两角和的正弦公式，同角的商数关系，计算即可得到所求;(Ⅱ)由三角形的面积公式，余弦定理，结合基本不等式，即可得到所求最大值．18.答案：解：(1)设事件A 为“甲、乙两人都对高一年级进行调查”………………………………………………(1分)基本事件共有C 104⋅C 63⋅C 33A 22⋅A 33个事件A 包含的基本事件有C 82⋅C 63+C 81⋅C 73⋅A 22个由古典概型计算公式，得P(A)=C 82⋅C 63+C 81⋅C 73⋅A 22C 104⋅C 63⋅C 33A 22⋅A 33=445 ∴甲、乙两人都对高一年级进行调查的概率为445……………………………………………………(6分)(2) 喜欢吃辣 不喜欢吃辣 合计男生 40 1050 女生 20 3050 合计 6040 100 …………………………………………………………………………………………………………………(8分) ∴K 2=100×(40×30−20×10)250×50×60×40≈16.667>10.828………………………………………………………(11分)∴有99.9%以上的把握认为喜欢吃辣与性别有关………………………………………………………(12分)解析：(1)根据古典概型概率公式可得；(2)计算出K 2，结合临界值表可得．本题考查了独立性检验，属中档题．19.答案：证明：(1)连结BD ，交AC 于F 点，连结EF ，在△PBD 中，EF//PB ，又EF⊂面AEC，PB⊄面AEC，∴PB//面AEC．解：(2)∵DC//AB，AC⊥AB，∴DC⊥AC，又DC⊥PA，AC∩PA=A，∴DC⊥平面PAC，∵PC⊂平面PAC，∴DC⊥PC，在Rt△PDC中，EC=12PD=12√PA2+AD2=12√PA2+AC2+CD2=32，同理AE=32，EF=√(32)2−(12)2=√2，在等腰△AEC中，∴S△EAC=12×AC×EF=12×1×√2=√22，设D到平面AEC的距离为h，由V D−EAC=V E−DCA，得13⋅S△EAC⋅ℎ=13⋅S△ADC⋅EH，∴√22ℎ=1×1，解得ℎ=√2，∴D到平面AEC的距离为√2．解析：(1)连结BD，交AC于F点，连结EF，推导出EF//PB，由此能证明PB//面AEC．(2)推导出AC⊥AB，DC⊥AC，DC⊥PA，从而DC⊥平面PDC，进而DC⊥PC，设D到平面AEC 的距离为h，由V D−EAC=V E−DCA，能求出D到平面AEC的距离．本题考查线面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20.答案：当a≥0时，函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，当a<0时，函数f(x)在(0,−1a )上单调递增，在(−1a,+∞)上单调递减．(2)当a≥0时，函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，最大值为f(2)=ln2+3a.当a<0时，若−1a≤1，即a≤−1，函数f(x)在[1,2]上单调递减，最大值为2a，若1<−1a <2，即时，函数f(x)在(1,−1a)上单调递增，在(−1a,2)上单调递减，最大值为a −1+ln (−1a )；若−1a ≥2，即a ≥−12时，函数f(x)在[1,2]上单调递增，最大值为．解析：本题考查利用导数研究函数的单调性，以及导数法求函数在闭区间上的最值，属于中档题．(1)求导，对a 分类讨论，根据导数的正负，确定函数的单调性；(2)对a 分类讨论，根据函数的单调性，来确定函数的最大值．21.答案：解：(Ⅰ)抛物线Γ：y 2=2px(p >0)的焦点为F(p 2,0)，则过点F 且斜率为1的直线方程为y =x −p 2，联立抛物线方程y 2=2px ，消去y 得：x 2−3px +p 24=0，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，则 x 1+x 2=3p ，由抛物线的定义可得，|MN|=x 1+x 2+p =4p =4，解得p =1．所以抛物线Γ的方程为y 2=2x ；(Ⅱ)设P(x 0,y 0)，B(0,b)，C(0,c)不妨设b >c ，直线PB 的方程为y −b =y 0−bx 0x ，化简得(y 0−b)x −x 0y +x 0b =0，又圆心(1,0)到直线PB 的距离为1，故00√(y 0−b)2+(−x 0)2=1，即(y 0−b)2+x 02=(y 0−b)2+2x 0b(y 0−b)+x 02b 2，不难发现x 0>2，上式又可化为(x 0−2)b 2+2y 0b −x 0=0，同理有(x 0−2)c 2+2y 0c −x 0=0，所以b ，c 可以看做关于t 的一元二次方程(x 0−2)t 2+2y 0t −x 0=0的两个实数根，则b +c =−2y 0x 0−2，bc =−x 0x 0−2， 所以(b −c)2=(b +c)2−4bc =4(x 02+y 02−2x 0)(x 0−2)2，因为点P(x 0,y 0)是抛物线Γ上的动点，所以y 02=2x 0，则(b −c)2=4x 02(x 0−2)2，又x 0>2，所以b −c =2x 0x0−2． 所以S △PBC =12(b −c)x 0=x 02x 0−2=x 0−2+4x 0−2+4≥2√(x0−2)⋅4x0−2+4=8，当且仅当x0=4时取等号，此时y0=±2√2，所以△PBC面积的最小值为8．解析：本题考查抛物线的定义、方程和性质，主要考查定义法和方程的运用，同时考查直线和抛物线方程联立，运用韦达定理，直线和圆相切的条件：d=r，以及基本不等式的运用，属于中档题．(Ⅰ)求出抛物线的焦点，设出直线MN的方程，代入抛物线方程，运用韦达定理和抛物线的定义，可得p=1，进而得到抛物线方程；(Ⅱ)设P(x0,y0)，B(0,b)，C(0,c)不妨设b>c，直线PB的方程为y−b=y0−bx0x，由直线和圆相切的条件：d=r，化简整理，结合韦达定理，以及三角形的面积公式，运用基本不等式即可求得最小值．22.答案：解：(Ⅰ)直线l的参数方程是{x=ty=t+1(t为参数)，转换为直角坐标方程为：x−y+1=0．转换为极坐标方程为：ρcosθ−ρsinθ+1=0．曲线C的参数方程是为参数)，转换为直角坐标方程为：(x−2)2+y2=4，转换为极坐标方程为：ρ=4cosθ．(Ⅱ)由于0<α<π2，所以|OP|=4cosα，，|OQ|=1sinα+cosα，所以S△OPQ=12|OP||OQ|=2cosαcosα+sinα=1，所以tanα=1，由于0<α<π2，故α=π4，所以|OP|=4cosπ4=2√2．解析：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题． (Ⅰ)直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换；(Ⅱ)利用三角函数关系式的恒等变换和三角形的面积公式的应用求出结果．23.答案：(1)证明：要证|a−b||1−ab|≤1，只要证明|a −b|≤|1−ab|，只要证明(a −b)2≤(1−ab)2，又由a 2+b 2=1，展开(a −b)2≤(1−ab)2，整理可得0≤a 2b 2，可知：不等式0≤a 2b 2恒成立，则：(a −b)2≤(1−ab)2成立，故原不等式成立．(2)解：根据题意，ab >0，则(a +b)(a 3+b 3)=a 4+ab 3+a 3b +b 4≥a 4+2√ab 3×a 3b +b 4=(a 2+b 2)2=1，当且仅当a =b =√22或a =b =−√22时，等号成立， 则(a +b)(a 3+b 3)的最小值为1．解析： 本题考查不等式的证明方法，利用基本不等式求最值，属于中档题．(1)根据题意，要证|a−b||1−ab|≤1，只要证明(a −b)2≤(1−ab)2，即可得证；(2)根据题意，利用基本不等式可求得最值．。

2020年广西高考数学一诊试卷(文科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集U={x|x⩾0}，A={x|x⩾1}，则∁U A=()A. ⌀B. {x|x<1}C. {x|0⩽x<1}D. {x|x⩾0}2.i为虚数单位，复数z=2i+1在复平面内对应的点的坐标为()A. ( −1 , 1 )B. ( 1 , 1 )C. ( 1 , −1 )D. ( −1 , −1 )3.命题“∀a>0，a+1a≥2”的否定是()A. ∃a≤0，a+1a <2 B. ∃a>0，a+1a<2C. ∀a≤0，a+1a ≥2 D. ∀a>0，a+1a<24.双曲线y2−4x2=16的渐近线方程为()A. x4±y=0 B. 4x±y=0 C. x2±y=0 D. 2x±y=05.在区间[−1,5]上随机地取一个实数a，则方程x2−2ax+4a−3=0有两个正根的概率为()A. 38B. 12C. 23D. 136.已知a=log35，b=log95，则有()A. a>b>0B. 0<a<bC. a<b<0D. 0>a>b7.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A. 1283B. 1294C. 42D. 368.过点P(0,−1)且和圆C：x2+y2−2x+4y+4=0相切的直线方程为()A. y+1=0或x=0B. x+1=0或y=0C. y−1=0或x=0D. x−1=0或y=09.执行如图所示的程序框图，则输出的数值是()A. 9899B. 4999C. 50101D. 10010110.著名数学家华罗庚先生曾说过，“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”.在数学的学习和研究中，经常用函数的图象来硏究函数的性质，也经常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征．如图，设有圆C和定点O，当l从l0开始在平面上绕O匀速旋转(旋转角度不超过90°)时，它扫过的圆内阴影部分的面积S为时间t的函数，它的图象大致是如图所示的四种情况中的哪一种？()A. B.C. D.)的部分图象如图所11.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2示，下列说法正确的是()A. f(x)的最小正周期为2π．B. f(x)的图象关于直线x=−2π对称．3,0)对称．C. f(x)的图象关于点(−5π12D. 当m∈(−2,−√3]时，方程f(x)=m在[−π,0]上有两个不相等的实数根．2x2−2x+5，若对于任意x∈[1,2]，f(x)<m恒成立，则实数m的取值范12.设函数f(x)=x3−12围为()A. (7,+∞)B. (8,+∞)C. [7,+∞)D. [8,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a⃗=(1,2),b⃗ =(0,−1),c⃗=(k,−2)，若(a⃗−2b⃗ )⊥c⃗，则实数k=______ ．14.已知抛物线C：y2=2px(p>0)上一点A(4,m)到其焦点的距离为17，则p的值是______．415.在三棱锥P−ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，PA=AC=BC，则直线PC与AB所成角的大小是______ ．16.在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，若∠B=∠C且7a2+b2+c2=4√3，则△ABC的面积的最大值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知等比数列{a n}的各项均为正数，a2=8，a3+a4=48．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=log4a n，证明数列{b n}为等差数列，并求数列{b n}的前n项和S n．18.已知四棱锥A−BCDE，其中AB=BC=AC=BE=1，CD=2，CD⊥面ABC，BE//CD，F为AD的中点．(Ⅰ)求证：EF//面ABC；(Ⅱ)求四棱锥A−BCDE的体积．19.某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)，以[160,180),[180,200)，[200,220),[220,240)，[240,260),[260,280)，[280,300]分组的频率分布直方图如图．(1)求直方图中x的值；(2)求月平均用电量的众数和中位数；(3)在月平均用电量为[220,240),[240,260)，[260,280),[280,300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取多少户？20. 设函数f(x)=1−e −x ，证明：当x >−1时，f(x)≥x x+1．21. 已知离心率为√63的椭圆C 的一个焦点坐标为(−√2,0)． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点P(0,2)的直线与轨迹C 交于不同的两点E 、F ，求PE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =1+cosαy =sinα (α为参数).以坐标原点O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=1，直线l 的极坐标方程为θ=π4(ρ∈R)．(1)求：①曲线C 1的普通方程；②曲线C2与直线l交点的直角坐标；)，点N是曲线C1上的点，求△MON面积的最大值．(2)设点M的极坐标为(6,π323.已知函数f(x)=|x+1|+|ax−1|．(Ⅰ)当a=1时，求不等式f(x)⩽4的解集；(Ⅱ)当x≥1时，不等式f(x)⩽3x+b成立，证明：a+b≥0．【答案与解析】1.答案：C解析：本题考查补集的求法，熟练掌握补集的定义是解本题的关键，属于基础题．利用补集的定义求解即可．解：∵全集U={x|x≥0}，A={x|x≥1}，∴∁U A={x|0⩽x<1}．故选C ．2.答案：C解析：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．利用复数代数形式的乘除运算化简z，求得z的坐标得答案．解：在复数平面内，复数z=2i+1=2(i−1)(i+1)(i−1)=2(i−1)−2=1−i，故对应的点的坐标为( 1 ,−1 )，故选C．3.答案：B解析：本题主要考查含有量词的命题的否定，属于基础题．根据含有量词的命题的否定即可得到结论．解：命题“∀a>0，a+1a≥2”为全称命题，则其的否定为“∃a>0，a+1a<2”，故选：B．4.答案：D解析：本题考查了双曲线的标准方程，双曲线的性质及几何意义，属于基础题．由已知双曲线的标准方程，可得a =4,b =2，即可求出渐近线方程．解：由已知双曲线y 2−4x 2=16可化为y 216−x 24=1，可得a =4,b =2，则渐近线方程为y =±a b x =±2x ，即渐近线方程为2x ±y =0．故选D ． 5.答案：A解析：本题主要考查几何概型的概率的计算，根据根与系数之间的关系求出a 的取值范围是解决本题的关键．解：若方程x 2−2ax +4a −3=0有两个正根，则满足{Δ=4a 2−4(4a −3)≥04a −3>02a >0, 即{a ≥3或a ≤1a >34a >0，得34<a ≤1或a ≥3， ∵−1≤a ≤5则对应的概率P =1−345−(−1)+5−35−(−1)=124+13=38． 故选A ．6.答案：A解析：本题考查了比较大小，结合对数函数的单调性即可，属于基础题．解：∵a=log35>1>log95=b>0，∴a>b>0．故选：A．7.答案：A解析：本题考查了空间几何体的三视图，几何体的性质，体积运算公式，属于计算题，属于中档题．解：由三视图可知，几何体为一个侧面垂直于底面的三棱锥，底面为等腰直角三角形，顶点在底面的投影为斜边的中点，所以V=13×12×(4+4)×4×8=1283，故选A．8.答案：A解析：本题考查了直线与圆的位置关系，是简单题，先求出圆的标准方程，可得圆心坐标和半径，分斜率存在和斜率不存在两种情况分别求得切线方程，从而得到答案．解：圆C:x2+y2−2x+4y+4=0即(x−1)2+(y+2)2=1，表示以C(1,−2)为圆心，半径等于1的圆．过点P(0,−1)且与圆相切的直线当斜率不存在时，方程为x=0，满足题意．当斜率存在时，设切线方程为y+1=k(x−0)，即kx−y−1=0，根据圆心到切线的距离等于半径可得√k2+1=1，解得k=0，故切线方程为y+1=0．综上可得，圆的切线方程为x=0或y+1=0，故选A．9.答案：C解析：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．解：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值，n从0到50开始累加，最后n=51时退出循环，其中a=11×3+13×5+15×7+⋯+197×99+199×101=12×(1−13+13−15+15−17+⋯+197−199+199−1101)=50101故选：C．10.答案：C解析：本题考查函数图象的识别，根据所给图形得出直线扫过的阴影部分的面积的变化规律是解题的关键，考查学生根据实际问题选择函数模型的能力，属于基础题．由图象可知，阴影部分的面积一开始增加得较慢，然后变快，再变慢，由此规律找出正确选项．解：阴影部分的面积S随时间t一直增加，且先慢后快，过圆心后又变慢，对应的函数图象是变化率先变大后变小，与选项C符合．故选：C．11.答案：D解析：本题主要考查三角函数的图像和性质，属于基础题．先推出f(x)=2sin(2x+π3)，f(x)的最小正周期为π，图象关于点(−2π3,0)中心对称，即可推出结论．解：观察图象，容易得到A=2，T4=14⋅2πω=π2ω=π3−π12=π4,∴ω=2,把点(π12,2)代入得φ=π3，所以f(x)=2sin(2x+π3)，f(x)的最小正周期为π，所以A不对；f(−2π3)=2sin(−π)=0，所以f(x)的图象关于点(−2π3,0)中心对称，B不对；f(−5π12)=2sin(−π2)=−2，所以f(x)的图象关于直线x=−5π12对称，C不对；排除A，B，C，故选D．12.答案：A解析：解：函数的导数为f′(x)=3x2−x−2=(x−1)(3x+2)，由f′(x)>0，得x>1或x<−23，所以当x∈[1,2]时，函数单调递增，所以此时最大值为f(2)=8−2−4+5=7，所以要使f(x)<m恒成立，则m>7，故选A．先求出函数的导数，利用导数先求出函数的极值，然后和端点值进行比较求出函数在[1,2]上的最大值即可．本题考查了利用导数求函数的最大值和最小值问题，对应恒成立问题，往往转化为最值恒成立．13.答案：8解析：解：由题意可得a⃗−2b⃗ =(1,2)−2(0,−1)=(1,4)，∵(a⃗−2b⃗ )⊥c⃗，∴(a⃗−2b⃗ )⋅c⃗=0，代入数据可得1×k+4×(−2)=0，解得k=8故答案为：8由题意可得a⃗−2b⃗ 的坐标，由(a⃗−2b⃗ )⊥c⃗，可得(a⃗−2b⃗ )⋅c⃗=0，代入数据解关于k的方程可得．本题考查向量的垂直与数量积的关系，属基础题．14.答案：12解析：解：∵抛物线方程为y2=2px，∴抛物线焦点为F(p2,0)，准线方程为x=−p2，又∵点A(4,m)到其焦点的距离为174，∴根据抛物线的定义，得4+p2=174，∴p=12．故答案为：12．通过点A(4,m)到其焦点的距离为174，利用抛物线的定义，求解即可．本题给出一个特殊的抛物线，在已知其上一点到焦点距离的情况下，求准线方程．着重考查了抛物线的定义和标准方程，以及抛物线的基本概念，属于基础题．15.答案：60°解析：解：取PA中点E，PB中点F，BC中点G，连接EF，FG，EG，∵EF、FG分别是△PAB、△PBC的中位线∴EF//AB，FG//PC，因此，∠EFG(或其补角)就是异面直线AB与PC所成的角．连接AG，则Rt△AEG中，AG=√AC2+CG2=√5，EG=√EA2+AG2=√6，又∵AB=PC=2√2，∴EF=FG=√2．由此可得，在△EFG中，cos∠EFG=EF2+FG2−EG22EF⋅FG =−12结合∠EFG是三角形内角，可得∠EFG=120°．综上所述，可得异面直线AB与PC所成角的大小为60°．故答案为：60°．取PA中点E，PB中点F，BC中点G，连接AG，由三角形中位线定理可得∠EFG(或其补角)就是异面直线AB与PC所成的角．然后在Rt△AEG中算出EG的长，用中位线定理得到EF=FG=√2，最后在△EFG中用余弦定理算出∠EFG=120°，即得异面直线AB与PC所成角的大小．本题给出一条侧棱垂直于底面的三棱锥，求异面直线所成角，着重考查了异面直线及其所成的角及其求法等知识，属于基础题．16.答案：√55解析：解：由∠B =∠C 得b =c ，代入7a 2+b 2+c 2=4√3得， 7a 2+2b 2=4√3，即2b 2=4√3−7a 2， 由余弦定理得，cosC =a 2+b 2−c 22ab=a 2b，所以sinC =√1−cos 2C =√4b 2−a 22b=√8√3−15a 22b，则△ABC 的面积S =12absinC =12ab ×√8√3−15a 22b=14a √8√3−15a 2=14√a 2(8√3−15a 2)=14√1515a 2(8√3−15a 2)≤14√15×15a 2+8√3−15a 22=14×√15×4√3=√55， 当且仅当15a 2=8√3−15a 2取等号，此时a 2=4√315，所以△ABC 的面积的最大值为√55，故答案为：√55．由∠B =∠C 得b =c ，代入7a 2+b 2+c 2=4√3化简，根据余弦定理求出cos C ，由平方关系求出sin C ，代入三角形面积公式求出表达式，由基本不等式即可求出三角形ABC 面积的最大值．本题考查余弦定理，平方关系，基本不等式的应用，以及三角形的面积公式，考查变形、化简能力．17.答案：解：(1)设等比数列{a n }的公比为q ，依题意 q >0.∵a 2=8，a 3+a 4=48，∴a 1q =8，a 1q 2+a 1q 3=48.两式相除得 q 2+q −6=0，解得 q =2，舍去 q =−3． ∴a 1=a 2q=4，∴数列{a n }的通项公式为 an =a 1⋅q n−1=2n+1．(2)证明：由(1)得 b n =log 4a n =n+12,b n+1−b n =n+22−n+12=12，∴数列{b n }是首项为1，公差为d =12的等差数列，∴S n =nb 1+n (n−1)2d =n 2+3n 4．解析：熟练掌握等比数列的通项公式、对数的运算法则、等差数列的定义、等差数列的前n 项和公式是解题的关键．(1)利用等比数列的通项公式即可得出；(2)利用(1)的结论和对数的运算法则进行化简，再计算b n+1−b n 是否是一个常数即可判定，若是利用等差数列的前n 项和公式即可．18.答案：证明：(Ⅰ)取AC中点G，连结FG、BG，如图，∵F，G分别是AD，AC的中点∴FG//CD，且FG=12DC=1．∵BE//CD∴FG与BE平行且相等∴EF//BG．∵EF⊄面ABC，BG⊂面ABC，∴EF//面ABC．解：(Ⅱ)连结EC，该四棱锥分为两个三棱锥E−ABC和E−ADC．∴四棱锥A−BCDE的体积V A−BCDE=V E−ABC+V E−ADC=13×√34×1+13×1×√32=√34．解析：本题考查线面平行的证明，考查四棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真这题，注意空间思维能力的培养．(Ⅰ)取AC中点G，连结FG、BG，推导出EF//BG，由此能证明EF//面ABC．(Ⅱ)连结EC，V A−BCDE=V E−ABC+V E−ADC，由此能求出四棱锥A−BCDE的体积．19.答案：(1)0.0075；(2)230，224；(3)5解析：(1)由(0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025)×20=1，得x=0.0075，所以直方图中x的值是0.0075；(2)月平均用电量的众数是220+2402=230，∵(0.002+0.0095+0.011)×20=0.45<0.5，∴月平均用电量的中位数在[220,240)内，设中位数为a，则(0.002+0.0095+ 0.011)×20+0.0125×(a−220)=0.5，解得a=224，即中位数为224；(3)在月平均用电量在[220,240)的用户有0.0125×20×100=25(户)，同理可求月平均用电量为[240,260),[260,280)，[280,300]的用户分别有15户、10户、5户，故抽取比例为1125+15+10+5=15，∴从月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取25×15=5(户)．20.答案：证明：由1−e −x ≥xx+1⇔e x ≥1+x ．当x >−1时，f(x)≥xx+1当且仅当e x ≥1+x ． 令g(x)=e x −x −1，则g′(x)=e x −1．当x ≥0时，g′(x)≥0，g(x)在[0,+∞)上为增函数， 当x ≤0时，g′(x)≤0，g(x)在(−∞,0]上为减函数，于是g(x)在x =0处达到最小值，因而当x ∈R 时g(x)≥g(0)， 即e x ≥1+x ．所以当x >−1时，f(x)≥x x+1．解析：把给出的不等式f(x)≥xx+1等价变形，然后构造函数，求出函数的导函数，利用导函数的符号判断原函数的单调性，从而求出最小值，原不等式得到证明．本题考查了利用导数求函数在闭区间上的最值，考查了数学转化思想方法，考查了函数构造法，是中档题．21.答案：解：(1)由题意可设椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，且{c =√2c a =√63a 2=b 2+c 2，解得{a =√3b =1c =√2．∴椭圆C 的标准方程为x 23+y 2=1；(2)设l 的方程为x =k(y −2)，联立{x =k(y −2)x 23+y 2=1，消去x 得：(k 2+3)y 2−4k 2y +4k 2−3=0， 由△=16k 4−4(k 2+3)(4k 2−3)>0，得0≤k 2<1， 设E(x 1,y 1)，F(x 2,y 2)， 则y 1+y 2=4k 2k 2+3，y 1y 2=4k 2−3k 2+3，又PE⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1−2)，PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2,y 2−2)， ∴PE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+(y 1−2)(y 2−2)=k(y 1−2)⋅k (y 2−2)+(y 1−2)(y 2−2) =(1+k 2)(4k 2−3k 2+3−2×4k 2k 2+3+4)=9(1−2k 2+3)，∵0≤k 2<1，∴3≤k 2+3<4，∴PE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF ⃗⃗⃗⃗⃗ ∈[3,92).解析：(1)由题意可知椭圆焦点在x 轴上，且得到关于a ，b ，c 的方程组，求解即可得到椭圆C 的标准方程；(2)设l 的方程为x =k(y −2)，联立直线方程与椭圆方程，化为关于y 的一元二次方程，利用判别式大于0求得k 的范围，利用根与系数的关系得到数量积关于k 的表达式，再由k 的范围得答案． 本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．22.答案：解：(1)①因为{x =1+cosαy =sinα，又sin 2α+cos 2α=1，所以(x −1)2+y 2=1，即曲线C 1的的普通方程为(x −1)2+y 2=1；②由ρ2=x 2+y 2得曲线C 2的直角坐标方程为x 2+y 2=1，又直线l 的直角坐标方程为x −y =0， 所以{x 2+y 2=1x −y =0⇒{x 1=√22y 1=√22或{x 2=−√22y 2=−√22，所以曲线C 2与直线l 的交点的直角坐标为(√22,√22)和(−√22,−√22)．(2)设N(ρ,θ)，又由曲线C 1的普通方程为(x −1)2+y 2=1得其极坐标方程ρ=2cosθ． ∴△MON 的面积S =12|OM|⋅|ON|⋅sin∠MON =12|6ρsin(π3−θ)|=|6cosθsin(π3−θ)|=|3sin(π3−2θ)+3√32|=|3cos(2θ+π6)+3√32|． 所以当θ=23π12或θ=11π12时，(S △MON )max =3+3√32．解析：(1)①直接利用转换关系把参数方程转换为直角坐标方程． ②利用直线和圆的关系求出点的坐标．(2)利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用和三角形的面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．23.答案：(Ⅰ)解：当a =1时，f(x)=|x +1|+|x −1|={2x,x >12,−1≤x ≤1−2x,x <−1．∵f(x)≤4，∴{2x ≤4x >1或−1≤x ≤1或{−2x ≤4x <−1, ∴1<x ≤2或−1≤x ≤1或−2≤x <−1，∴−2≤x ≤2， ∴不等式的解集为{x|−2≤x ≤2}．(Ⅱ)证明：当x ≥1时，不等式f(x)≤3x +b 成立， 则x +1+|ax −1|≤3x +b ， ∴|ax −1|≤2x +b −1，∴−2x −b +1≤ax −1≤2x +b −1，∴{(a +2)x ≥2−b(a −2)x ≤b, ∵x ≥1，∴{a +2≥0a +2≥2−ba −2≤0a −2−b ≤0,∴{−2≤a ≤2a +b ≥0a −2≤b,∴a +b ≥0．解析：【试题解析】本题考查了绝对值不等式的解法和利用综合法证明不等式，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．(Ⅰ)将a =1代入f(x)中，然后将f(x)写出分段函数的形式，再根据f(x)≤4分别解不等式即可； (Ⅱ)根据当x ≥1时，不等式f(x)≤3x +b 成立，可得|ax −1|≤2x +b −1，然后解不等式，进一步得到a +b ≥0．。