线性微分⽅程简介
Δy表⽰的是变量y的变化量。
微分（differential），即微变化量，数学上表⽰为dy，dy被成为different of y。
导数（derivative），即变化率，数学上表⽰为dy
dt，也就是极短时间内y的变化量。
线性微分⽅程（Linear differential equations）有如下⽅式表⽰
Ly=f
其中L为线性操作符，y为需要求的未知函数，f是⼀个与y具有相同⾃变量的函数，即可写成下⾯的形式
L[y(t)]=f(t)
既然是线性微分⽅程，那么左侧的线性操作符内仅含有⼀次（1st-degree）项（线性，即不含有y2,(y′)5等的多次项），并且各项会有未知函数y的导数，那么等式左侧展开得到
L[y(t)]=d n y
d n t+A
1
d n−1t
d n−1t+⋅⋅⋅+A
n−1
dy
dt+A
n y
其中A k,k=1,2,…,n为该多项式的系数。
最⾼阶导数为d n y
d n t（nth-order）。
由于⼤部分函数都能展开成形式，因此线性微分⽅程的⼀般求解⽅法是假设所求的未知函数y为幂级数，以此来求解：
y=
∞
∑
k=0a k t k
把左边的y相关项替换成幂级数形式，最终左右两边相同次⽅的项的系数应该相等，以此来求得y。
Processing math: 100%。
线性微分方程
定义
线性方程：在代数方程中,仅含未知数的一次幂的方程称为线性方程。
这种方程的函数图象为一条直线，所以称为线性方程。
可以理解为：即方程的最高次项是一次的，允许有0次项，但不能超过一次。
比如ax+by+c=0，此处c为关于x或y的0次项。
微分方程：含有自变量、未知函数和未知函数的导数的方程称为微分方程。
如果一个微分方程中仅含有未知函数及其各阶导数作为整体的
一次幂,则称它为线性微分方程。
可以理解为此微分方程中的未知函数y是不超过一次的，且此方程中y的各阶导数也应该是不超过一次的。
表达式
线性微分方程的一般形式是：
其中D是微分算子d/dx（也就是Dy = y'，D2y = y"，……），是给定的函数。
这个微分方程是n阶的，因为方程中含有y的n阶导数，而不含n+1阶导数。
如果ƒ = 0，那么方程便称为齐次线性微分方程，它的解称为补函数。
这是一种很重要的方程，因为在解非齐次方程时，把对应的齐次方程的补函数加上非齐次方程本身的一个特解，便可以得到非齐次
方程的另外一个解。
如果是常数，那么方程便称为常系数线性微分方程。
常系数线性微分方程线性微分方程是微分方程中的一种重要类型，它在数学、物理、工程等领域中有着广泛的应用。
本文将从定义、特征、解法和应用等方面对线性微分方程进行详细介绍。
一、线性微分方程的定义线性微分方程可以表示为dy/dx + p(x)y = q(x)，其中p(x)和q(x)是已知函数，y是未知函数。
它的一般形式为dy/dx + p(x)y = g(x)。
二、线性微分方程的特征线性微分方程具有以下特征：1. 线性：方程中未知函数y及其导数的次数均为1次，且没有幂函数、指数函数和对数函数等非线性项。
2. 可分离变量：可以通过移项将方程变形为dy/y = -p(x)dx + q(x)dx，从而可进行变量分离，简化求解过程。
3. 叠加原理：线性微分方程的解具有叠加性，即一般解等于相应齐次线性微分方程的解与非齐次线性微分方程的特解之和。
三、线性微分方程的解法线性微分方程的求解可以采用常系数法、变易法、特解法等多种方法，下面以常系数线性微分方程为例进行说明。
1. 常系数线性微分方程的一般形式为dy/dx + ay = b，其中a和b为常数。
常系数线性微分方程的解具有通解和特解两种形式。
2. 首先求解齐次线性微分方程dy/dx + ay = 0。
令y = e^(mx)，代入方程得d(e^(mx))/dx + ae^(mx) = 0，化简得me^(mx) + ae^(mx) = 0，整理可得(m+a)e^(mx) = 0。
由于e^(mx)恒大于0，所以(m+a) = 0，即m = -a。
因此，齐次线性微分方程的通解为y = c*e^(-ax)，其中c为常数。
3. 再求解非齐次线性微分方程dy/dx + ay = b。
根据线性微分方程叠加原理，非齐次线性微分方程的一般解等于齐次线性微分方程的通解与非齐次线性微分方程的特解之和。
4. 特解的求解可以采用常数变易法，假设特解为y = C，代入原方程得C + aC = b，解得C = b/(1+a)。
