下载文档原格式
超几何分布和二项分布超几何分布和二项分布是概率论中两种重要的离散型概率分布。
它们都在描述了离散型随机变量的分布规律，但在具体的描述和应用上有一定的区别。
本文将分别介绍超几何分布和二项分布的定义、特点、性质和应用，并对两者之间的关系和区别进行详细的比较分析。
一、超几何分布的定义、特点和性质超几何分布是描述了一种从有限个物件中抽出样本不放回地抽取成功次数的概率分布。
具体来说，超几何分布描述了在总体中有M个成功物件和N-M个失败物件时，从总体中抽取n个物件，其中成功物件的个数X的分布概率。
其概率质量函数为：P(X=k) = (M choose k) * (N-M choose n-k) / (N choose n)，其中(M choose k)表示从M个物件中抽取k个物件的组合数。
超几何分布的特点有以下几点：1.超几何分布是离散型概率分布，其取值只能是非负整数。
2.超几何分布的期望值和方差分别为E(X) = n * M/N, Var(X) =n * M/N * (N-M)/N * (N-n)/(N-1)。
3.超几何分布的分布形状随着总体大小和成功物件的比例而改变，当总体很大时，超几何分布近似于二项分布。
超几何分布在实际应用中有着广泛的应用。
例如在质量抽样、抽样调查、生物统计学等领域，常常需要进行不放回地从总体中抽取物件的情况，而超几何分布恰好可以描述这类情况下随机变量的分布规律。
二、二项分布的定义、特点和性质二项分布是描述了n次独立重复的伯努利试验中成功次数的概率分布。
具体来说，二项分布描述了n次重复试验中成功的次数X的概率分布。
其概率质量函数为：P(X=k) = (n choose k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中(n choose k)表示从n次试验中成功k次的组合数。
二项分布的特点有以下几点：1.二项分布是离散型概率分布，其取值只能是非负整数。
2.二项分布的期望值和方差分别为E(X) = np, Var(X) = np(1-p)。
两点分布、超几何分布、正态分布1．两点分布如果随机变量X 的分布列为其中0＜p ＜1，则称离散型随机变量E (X )＝p ，D (X )＝p (1－p )． 2．超几何分布一般地，设有N 件产品，其中有M (M ≤N )件次品．从中任取n (n ≤N )件产品，用X 表示取出的n 件产品中次品的件数，那么P (X ＝k )＝C k M C n －k N －MC n N(k ＝0,1,2，…，m )．即其中m ＝min{M ，n }如果一个随机变量X 的分布列具有上表的形式，则称随机变量X 服从超几何分布． 3．正态分布(1)正态曲线：函数φμ，σ(x )＝12πσ，x ∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ为参数(σ＞0，μ∈R )．我们称函数φμ，σ(x )的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线． (2)正态曲线的性质：①曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线x ＝μ对称； ③曲线在x ＝μ处达到峰值1σ2π； ④曲线与x 轴之间的面积为1；⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移，如图甲所示； ⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示．(3)正态分布的定义及表示bφμ，σ(x)d x，则称随机变量X 如果对于任何实数a，b(a＜b)，随机变量X满足P(a＜X≤b)＝⎠⎛a服从正态分布，记作X～N(μ，σ2)．正态总体在三个特殊区间内取值的概率值①P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682_6；②P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954_4；③P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.997_4.4．判断下列结论的正误(正确的打“√”错误的打“×”)(1)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量．服从两点分布．(×)(2)某人射击时命中的概率为0.5，此人射击三次命中的次数X服从两点分布．(×)(3)从4名男演员和3名女演员中选出4名，其中女演员的人数X服从超几何分布．(√)(4)正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布，参数μ是正态分布的期望，σ是正态分布的标准差．(√)(5)一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．(√)(6)正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x＝μ对称的区间上概率相等．(√)(7)对于正态分布X～N(μ，σ2)，总有P(x＜μ－a)＝P(x≥μ＋a)．(√)(8)X～N(μ，σ2)，发生在(μ－3σ，μ＋3σ)，之外的概率为0，称之不可能事件．(×)(9)正态总体(1,9)在区间(0,1)和(－1,0)上的概率相等．(×)(10)随机变量分布列为是两点分布．(×)考点一两点分布、超几何分布[例1](1)设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X＝0)等于()A．0 B.12 C.13 D.23解析：设X的分布列为即“X＝0”表示试验失败，“X＝1”p，则成功率为2p.由p＋2p＝1，则p＝13，故应选C.答案：C(2)一袋中装有10个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是7 9.①求白球的个数；②从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，求随机变量X的分布列及期望．解：①记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球”为事件A，设袋中白球的个数为x，则P(A)＝1－C210－xC210＝79，得到x＝5.故白球有5个．②X服从超几何分布，P(X＝k)＝C k5C3－k5C310，k＝0,1,2,3.于是可得其分布列为∴E(X)＝0×112＋1×512＋2×512＋3×112＝1812＝32.[方法引航](1)两点分布列的随机变量X取值为1和0，不能取其它整数，X＝1表示“成功”.(2)对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出.超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数，随机变量取值的概率实质上是古典概型.1．若将本例(1)改为，求X 的成功率．解：p ＋p 2＝1，(p ＞0)，∴p ＝5－12∴X 的成功率P (x ＝1)＝2)215(＝3－52.2．将本例(2)改为：随着人口老龄化的到来，我国的劳动力人口在不断减少，“延迟退休”已经成为人们越来越关注的话题，为了了解公众对“延迟退休”的态度，某校课外研究性学习小组从某社区随机抽取了50人进行调查，将调查情况进行整理后制成下表：年龄在各随机选取2人，进行跟踪调查．①求从年龄在[25,30)的被调查者中选取的2人都赞成的概率； ②求选中的4人中，至少有3人赞成的概率；③若选中的4人中，不赞成的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望． 解：①设“年龄在[25,30)的被调查者中选取的2人都赞成”为事件A ，所以P (A )＝C 23C 25＝310.②设“选中的4人中，至少有3人赞成”为事件B ，所以P (B )＝C 23C 12C 11C 25C 23＋C 13C 12C 22C 25C 23＋C 23C 22C 25C 23＝12.③X 的可能取值为0,1,2,3，所以P (X ＝0)＝C 23C 22C 25C 23＝110， P (X ＝1)＝C 13C 12C 22＋C 23C 12C 11C 25C 23＝25， P (X ＝2)＝C 22C 22＋C 13C 12C 12C 11C 25C 23＝1330， P (X ＝3)＝C 22C 12C 11C 25C 23＝115.所以E(X)＝0×110＋1×25＋2×1330＋3×115＝2215.考点二正态分布[例2](1)(2017·山西四校联考)设随机变量X～N(3，σ2)，若P(X>m)＝0.3，则P(X>6－m)＝__________.解析：因为P(X＞m)＝0.3，X～N(3，σ2)所以m＞3，P(X＜6－m)＝P(X＜3－(m－3))＝P(X＞m)＝0.3所以P(X＞6－m)＝1－P(X＜6－m)＝0.7.答案：0.7(2)云南省2016年全省高中男生身高统计调查数据显示：全省100 000名高中男生的身高服从正态分布N(170.5,16)．现从云南省某校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于157.5 cm和187.5 cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：第1组[157.5,162.5)，第2组[162.5,167.5)，…，第6组[182.5，187.5]，如图是按上述分组方式得到的频率分布直方图．①试评估该校高三年级男生在全省高中男生中的平均身高状况；②求这50名男生身高在177.5 cm以上(含177.5 cm)的人数；③身高排名(从高到低)在全省130名之内，其身高最低为多少？参考数据：若ξ～N(μ，σ2)，则P(μ～σ＜ξ≤μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ)＝0.954 4，P(μ－3σ＜ξ≤μ＋3σ)＝0.997 4.解：①由频率分布直方图知，该校高三年级男生平均身高为160×0.1＋165×0.2＋170×0.3＋175×0.2＋180×0.1＋185×0.1＝171.5(cm)，∵171.5 cm＞170.5 cm，故该校高三年级男生的平均身高高于全省高中男生身高的平均值．②由频率分布直方图知，后两组频率和为0.2，∴人数和为0.2×50＝10，即这50名男生中身高在177.5 cm以上(含177.5 cm)的人数为10.③∵P(170.5－3×4＜ξ＜170.5＋3×4)＝0.997 4，∴P(ξ≥182.5)＝1－0.997 42＝0.001 3，又0.001 3×100 000＝130.∴身高在182.5 cm以上(含182.5 cm)的高中男生可排进全省前130名．[方法引航]在高考中主要考查正态分布的概率计算问题，其解决方法如下：第一步，先弄清正态分布的均值是多少；第二步：若均值为μ，则根据正态曲线的对称性可得P(X≥μ)＝0.5，P(X≤μ)＝0.5，P(X≤μ＋c)＝P(X≥μ－c)(c>0)等结论；第三步，根据这些结论、题目中所给条件及对称性，对目标概率进行转化求解即可.,说明：关于正态总体在某个区间内取值的概率问题，要熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值，充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1来解题.1．(2017·江西八校联考)在某次数学测试中，学生成绩ξ服从正态分布N(100，σ2)(σ>0)，若ξ在(80,120)内的概率为0.8，则ξ在(0,80)内的概率为()A．0.05B．0.1 C．0.15 D．0.2解析：选B.由题意得，P(80<ξ<100)＝P(100<ξ<120)＝0.4，P(0<ξ<100)＝0.5，∴P(0<ξ<80)＝0.1.2．在某次大型考试中，某班同学的成绩服从正态分布N(80,52)，现已知该班同学中成绩在80～85分的有17人．试计算该班成绩在90分以上的同学有多少人．解：依题意，由80～85分的同学的人数和所占百分比求出该班同学的总数，再求90分以上同学的人数．∵成绩服从正态分布N(80,52)，∴μ＝80，σ＝5，μ－σ＝75，μ＋σ＝85.于是成绩在(75,85]内的同学占全班同学的68.26%.由正态曲线的对称性知，成绩在(80,85]内的同学占全班同学的12×68.26%＝34.13%.设该班有x名同学，则x×34.13%＝17，解得x≈50.又μ－2σ＝80－10＝70，μ＋2σ＝80＋10＝90，∴成绩在(70,90]内的同学占全班同学的95.44%.∴成绩在(80,90]内的同学占全班同学的47.72%.∴成绩在90分以上的同学占全班同学的50%－47.72%＝2.28%.即有50×2.28%≈1(人)，即成绩在90分以上的同学仅有1人.[易错警示]不能正确理解正态曲线的对称性[典例]已知随机变量ξ满足正态分布N(μ，σ2)，且P(ξ<1)＝12，P(ξ>2)＝0.4，则P(0<ξ<1)＝________.[错解]由P(ξ>2)＝0.4，∴P(ξ<2)＝1－0.4＝0.6，∴P(0<ξ<1)＝12P(ξ<2)＝0.3.[错因]P(0<ξ<1)是P(ξ<2)的一半．[正解]由P(ξ<1)＝12得μ＝1，∴随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，∴曲线关于x＝1对称．∵P(ξ<2)＝0.6，∴P(0<ξ<1)＝0.6－0.5＝0.1.[答案]0.1[警示]①正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x＝μ对称的区间上概率相同．②P(X＜a)＝1－P(X≥a)，P(X≤μ－a)＝P(X≥μ＋a)．[高考真题体验]1．(2015·高考湖南卷)在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C 为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为()A．2 386B．2 718 C．3 413 D．4 772附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.954 4.解析：选C.由P(－1<X≤1)＝0.682 6，得P(0<X≤1)＝0.341 3，则阴影部分的面积为0.341 3，故估计落入阴影部分的点的个数为10 000×0.341 31×1＝3 413，故选C.2．(2015·高考山东卷)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为()(附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝95.44%.)A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74%解析：选B.由正态分布的概率公式知P(－3＜ξ＜3)＝0.682 6，P(－6＜ξ＜6)＝0.954 4，故P(3＜ξ＜6)＝P(－6＜ξ＜6)－P(－3＜ξ＜3)2＝0.954 4－0.682 62＝0.135 9＝13.59%，故选B.3．(2014·高考课标全国卷Ⅰ)从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x，σ2近似为样本方差s2.①利用该正态分布，求P(187.8<Z<212.2)；②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数，利用①的结果，求E(X)．附：150≈12.2.若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<Z<μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ<Z<μ＋2σ)＝0.954 4.解：(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数x和样本方差s2分别为x＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200，s2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.(2)①由(1)知，Z～N(200,150)，从而P(187.8<Z<212.2)＝P(200－12.2<Z<200＋12.2)＝0.682 6.②由①知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.682 6，依题意知X～B(100,0.682 6)，所以E(X)＝100×0.682 6＝68.26.4．(2016·高考天津卷)某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望．解：(1)由已知，得P(A)＝C13C14＋C23C210＝13.所以，事件A发生的概率为13.(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2.P(X＝0)＝C23＋C23＋C24C210＝415，P(X＝1)＝C13C13＋C13C14C210＝715，P(X＝2)＝C13C14C210＝415.所以，随机变量X的分布列为随机变量X的数学期望E(X)＝0×415＋1×715＋2×415＝1.课时规范训练A组基础演练1．设随机变量X服从正态分布N(2,9)，若P(X>c＋1)＝P(X<c－1)，则c等于() A．1B．2 C．3 D．4解析：选B.∵μ＝2，由正态分布的定义知其图象关于直线x＝2对称，于是c＋1＋c－12＝2，∴c＝2.2．正态总体N(1,9)在区间(2,3)和(－1,0)上取值的概率分别为m，n，则()A．m＞n B．m＜n C．m＝n D．不确定解析：选C.正态总体N(1,9)的曲线关于x＝1对称，区间(2,3)与(－1,0)到对称轴距离相等，故m＝n.3．一批产品共50件，次品率为4%，从中任取10件，则抽到1件次品的概率是()A.C12C948C1050 B.C12C950C1050 C.C12C1050 D.C948C1050解析：选A.50件产品中，次品有50×4%＝2件，设抽到的次品数为X ，则抽到1件次品的概率是P (X ＝1)＝C 12C 948C 1050.4．设X ～N (μ1，σ21)，Y ～N (μ2，σ22)，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是( )A ．P (Y ≥μ2)≥P (Y ≥μ1)B ．P (X ≤σ2)≤P (X ≤σ1)C ．对任意正数t ，P (X ≥t )≥P (Y ≥t )D ．对任意正数t ，P (X ≤t )≥P (Y ≤t ) 解析：选D.由图象知，μ1<μ2，σ1<σ2，P (Y ≥μ2)＝12， P (Y ≥μ1)>12，故P (Y ≥μ2)<P (Y ≥μ1)，故A 错； 因为σ1<σ2，所以P (X ≤σ2)>P (X ≤σ1)，故B 错； 对任意正数t ，P (X ≥t )<P (Y ≥t )，故C 错； 对任意正数t ，P (X ≤t )≥P (Y ≤t )是正确的，故选D.5．设随机变量ξ服从正态分布N (3,4)，若P (ξ＜2a －3)＝P (ξ＞a ＋2)，则a ＝( )A.37B.73C.78D.87解析：选B.因为ξ服从正态分布N (3,4)，且P (ξ＜2a －3)＝P (ξ＞a ＋2)，所以2a －3＋a ＋2＝6，∴a ＝73.6．若随机变量X 的概率分布密度函数是φμ，σ(x )＝122π·e －(x ＋2)28(x ∈R )，则E (2X －1)＝________.解析：σ＝2，μ＝－2，E (2X －1)＝2E (X )－1＝2×(－2)－1＝－5. 答案：－57．从装有3个红球、2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X 个红球，则随机变量X 的分布列为解析：P (X ＝0)＝C 22C 25＝0.1，P (X ＝1)＝C 3·C 2C 25＝610＝0.6，P (X ＝2)＝C 23C 25＝0.3.答案：0.1 0.6 0.38．已知某次英语考试的成绩X 服从正态分布N (116,64)，则10 000名考生中成绩在140分以上的人数为________． 解析：由已知得μ＝116，σ＝8.∴P (92＜X ≤140)＝P (μ－3σ＜X ≤μ＋3σ)＝0.997 4，∴P (X ＞140)＝12(1－0.997 4)＝0.001 3，∴成绩在140分以上的人数为13. 答案：139．甲、乙两人参加某电视台举办的答题闯关游戏，按照规则，甲先从6道备选题中一次性抽取3道题独立作答，然后由乙回答剩余3题，每人答对其中2题就停止答题，即闯关成功．已知在6道备选题中，甲能答对其中的4道题，乙答对每道题的概率都是23. (1)求甲、乙至少有一人闯关成功的概率； (2)设甲答对题目的个数为ξ，求ξ的分布列．解：(1)设甲、乙闯关成功分别为事件A ，B ，则P (A )＝C 14C 22C 36＝420＝15，P (B )＝3)321(-＋C 2312)32()321(-＝127＋29＝727， 则甲、乙至少有一人闯关成功的概率是1－P (A －B －)＝1－P (A －)P (B －)＝1－15×727＝128135.(2)由题意知ξ的可能取值是1,2.P (ξ＝1)＝C 14C 22C 36＝15，P (ξ＝2)＝C 24C 12＋C 34C 36＝45，则ξ的分布列为10.盒内有大小相同的9个球，其中24个黑色球．规定取出1个红色球得1分，取出一个白色球得0分，取出1个黑色球得－1分．现从盒内任取3个球． (1)求取出的3个球中至少有一个红球的概率； (2)求取出的3个球得分之和恰好为1分的概率； (3)设ξ为取出的3个球中白色球的个数，求ξ的分布列．解：(1)P ＝1－C 37C 39＝712.(2)记“取出1个红色球，2个白色球”为事件B ，“取出2个红色球，1个黑色球”为事件C ，则P (B ＋C )＝P (B )＋P (C )＝C 12C 23C 39＋C 22C 14C 39＝542.(3)ξ可能的取值为0,1,2,3，ξ服从超几何分布，P (ξ＝k )＝C k 3C 3－k 6C 39，k ＝0,1,2,3.故P (ξ＝0)＝C 36C 39＝521，P (ξ＝1)＝C 13C 26C 39＝1528；P (ξ＝2)＝C 23C 16C 39＝314，P (ξ＝3)＝C 33C 39＝184.ξ的分布列为：1．某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为φμ，σ(x )＝12π·10(x ∈R )，则下列命题中不正确的是( )A ．该市这次考试的数学平均成绩为80分B ．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同C ．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同D ．该市这次考试的数学成绩标准差为10解析：选B.由密度函数知，均值(期望)μ＝80，标准差σ＝10，又正态曲线关于直线x ＝80对称，故分数在100分以上的人数与分数在60分以下的人数相同，所以B 是错误的． 2．已知X ～N (μ，σ2)时，P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)＝0.954 4，P (μ－3σ＜X ≤μ＋3σ)＝0.997 4，则dx x 2)1(432e 21--⎰π＝( )A ．0.043B ．0.021 5C ．0.341 3D ．0.477 2解析：选B.由题意知，μ＝1，σ＝1，P (3＜X ≤4)＝12×[P (－2＜X ≤4)－P (－1＜X ≤3)]＝12×(0.997 4－0.954 4)＝0.021 5.故选B.3．已知随机变量ξ服从正态分布N (2,9)，若P (ξ＞3)＝a ，P (1＜ξ≤3)＝b ，则函数f (a )＝a 2＋a －1a ＋1的值域是________．解析：易知正态曲线关于直线x ＝2对称，所以P (ξ＞3)＝P (ξ＜1)＝a ，则有⎩⎨⎧2a ＋b ＝1，a ＞0，b ＞0⇒0＜a ＜12.f (a )＝a －1a ＋1＝(a ＋1)－1a ＋1－1，令t ＝a ＋1∈)23,1(，函数f (a )＝g (t )＝t －1t －1在t∈)23,1(上是增函数，所以g (t )∈)61,1())23(),1((--=g g答案：)61,1(--4．端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个． (1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X 表示取到的豆沙粽个数，求X 的分布列与数学期望．解：(1)令A 表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P (A )＝C 12C 13C 15C 310＝14.(2)X 的所有可能值为0,1,2，且P (X ＝0)＝C 38C 310＝715， P (X ＝1)＝C 12C 28C 310＝715， P (X ＝2)＝C 22C 18C 310＝115.综上知，X 的分布列为故E (X )＝0×715＋1×715＋2×115＝35.5．某超市为了响应环保要求，鼓励顾客自带购物袋到超市购物，采取了如下措施：对不使用超市塑料购物袋的顾客，超市给予9.6折优惠；对需要超市塑料购物袋的顾客，既要付购买费，也不享受折扣优惠．假设该超市在某个时段内购物的人数为36人，其中有12位顾客自己带了购物袋，现从这36人中随机抽取两人．(1)求这两人都享受折扣优惠或都不享受折扣优惠的概率；(2)设这两人中享受折扣优惠的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望． 解：(1)设“两人都享受折扣优惠”为事件A ， “两人都不享受折扣优惠”为事件B ，则P(A)＝C212C236＝11105，P(B)＝C224C236＝46105.因为事件A，B互斥，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝11105＋46105＝57105＝1935.故这两人都享受折扣优惠或都不享受折扣优惠的概率是19 35.(2)据题意，得ξ的可能取值0,1,2.其中P(ξ＝0)＝P(B)＝46105，P(ξ＝1)＝C112C124C236＝48105，P(ξ＝2)＝P(A)＝11 105.所以ξ的分布列为所以，E(ξ)＝0×46105＋1×48105＋2×11105＝23.。
《二项分布与超几何分布》讲义在概率论中，二项分布和超几何分布是两个非常重要的离散型概率分布。
它们在实际生活和科学研究中有着广泛的应用，理解和掌握这两种分布对于解决各种概率相关的问题至关重要。
一、二项分布（一）定义二项分布是指进行\（n\）次独立的伯努利试验，每次试验中成功的概率为\（p\），失败的概率为\（1 p\）。
设随机变量\（X\）表示在\（n\）次试验中成功的次数，则\（X\）服从参数为\（n\）和\（p\）的二项分布，记为\（X ～ B(n, p)＼）。
（二）概率质量函数二项分布的概率质量函数为：＼（P(X ＝ k) ＝ C_{n}＾k p^k （1 p)＾｛n k}＼），其中\（C_{n}＾k\）表示从\（n\）个元素中选取\（k\）个元素的组合数。
（三）期望和方差二项分布的期望为\（E(X) ＝ np\），方差为\（Var(X) ＝ np(1 p)＼）。
（四）应用场景二项分布在很多实际问题中都有应用。
例如，抛硬币多次，计算正面朝上的次数；产品抽检中，确定不合格产品的数量等。
二、超几何分布（一）定义超几何分布描述的是从有限\（N\）个物件（其中包含\（M\）个成功物件）中，不放回地抽取\（n\）个物件，成功物件的数量为随机变量\（X\），则\（X\）服从超几何分布。
（二）概率质量函数超几何分布的概率质量函数为：＼（P(X ＝ k) ＝＼frac{C_{M}＾k C_{N M}＾｛n k}｝｛C_{N}＾n}＼）。
（三）期望和方差超几何分布的期望为\（E(X) ＝ n\frac{M}｛N}＼），方差为\（Var(X) ＝ n\frac{M}｛N}（1 ＼frac{M}｛N}）＼frac{N n}｛N 1}＼）。
（四）应用场景超几何分布常用于抽样调查，比如从一批产品中随机抽取一定数量的产品，计算其中合格品的数量；从一个班级中抽取若干学生，统计其中男生的人数等。
三、二项分布与超几何分布的比较（一）相同点1、都是离散型概率分布，用于描述随机变量取不同值的概率。
《两点分布和超几何分布》教学设计鄞州区姜山中学蒋自佳一、教学内容解析本课题来自人教A版选修2-3第二章《随机变量及其分布》2.1《离散型随机变量及其分布列》第二课时，主要内容是学习两点分布和超几何分布模型。
两点分布是随机变量只有0和1两种结果的分布列，是最简单的分布列，也是之后学习二项分布的基础，起着承上启下的作用。
超几何分布是由有限个物体中抽出n个物体，成功抽出指定种类的物件的次数（不归还）。
两点分布和超几何分布列是离散型随机变量分布列两种重要模型，这部分内容以实际情境为主，需要学生具备一定建模能力，建立合适的分布列，体现数学来源于生活并服务于生活，促使学生在学习实践中形成和发展数学应用意识。
二、教学目标设置依据教材分析和课标要求，确定如下教学目标：1、知识与技能：掌握两点分布和超几何分布基本概念，能解决与两点分布和超几何分布相关概率问题。
2、过程与方法：学生已具有一定的分析解决抽象问题能力，通过设立具体问题情境，教师启发引导，归纳总结两点分布和超几何分布问题概念和解决规律，培养学生总结探索能力。
3、情感、态度与价值观：通过师生共同参与具体问题的分析，总结探索解决问题的办法，在循序渐进过程中对问题分析和逐步深入，激发学生学习兴趣。
根据上述目标，教学需要上力求体现六大核心素养：数学抽象，逻辑推理，数学建模，数学运算，直观想象和数据分析。
三、学生学情分析1、认知基础：学生在必修3中已经学习了有关概率统计的基础知识，利用选修2-3第一章计数原理与排列组合知识可以解决古典概型的概率，在选修2-3第二章第一课时学习了随机变量、离散型随机变量的概念，分布列概念和性质，能够解决简单的分布列问题，但学生对随机变量，离散型随机变量概念理解不够深刻，求分布列过程还不熟练。
2、能力储备：学生能够利用已有的概率统计知识解决一些简单问题，思维活跃，初步具备自主分析和探究能力，但思考不够严谨，容易遗漏，处理抽象问题能力还有待提高。
二项分布和超几何分布1. 引言二项分布和超几何分布是统计学中常见的两种离散概率分布。
它们在很多实际问题中都有应用，特别是在概率统计、质量控制、可靠性工程等领域。
本文将介绍二项分布和超几何分布的基本概念、性质和应用。
2. 二项分布2.1 定义：二项分布是指在n次独立重复试验中，成功的次数X 服从的概率分布。
每次试验都有相同的成功概率p，失败概率为1-p。
2.2 参数和符号：二项分布的参数为试验次数n和成功概率p。
用X~B(n,p)表示服从二项分布的随机变量X。
2.3 概率质量函数：二项分布的概率质量函数为P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中C(n,k)是组合数。
2.4 期望和方差：二项分布的期望E(X) = np，方差Var(X) =np(1-p)。
2.5 应用举例：二项分布常用于二元分类问题的建模和预测，例如投硬币的结果、产品合格率等。
3. 超几何分布3.1 定义：超几何分布是指在从有限总体中抽取固定大小的样本，统计成功的次数X服从的概率分布。
总体中有M个成功元素和N-M个失败元素。
3.2 参数和符号：超几何分布的参数为总体大小N、成功元素个数M和样本大小n。
用X~H(N,M,n)表示服从超几何分布的随机变量X。
3.3 概率质量函数：超几何分布的概率质量函数为P(X=k) =C(M,k) * C(N-M,n-k) / C(N,n)，其中C(m,k)是组合数。
3.4 期望和方差：超几何分布的期望E(X) = nM/N，方差Var(X) = nM/N * (1-M/N) * (N-n)/(N-1)。
3.5 应用举例：超几何分布常用于抽样调查和质量抽检中，例如从一批产品中抽取部分样本进行检验。
4. 二项分布与超几何分布的比较4.1 性质对比：二项分布和超几何分布的相同之处在于都是离散概率分布，描述独立重复试验的结果。
不同之处在于二项分布适用于试验的抽样分布，即每次试验结果相互独立；而超几何分布适用于样本抽取过程，即每次抽取后总体元素的数量会改变。
如何快速识别“二项分布”与“超几何分布”二项分布和超几何分布都是概率论中常见的离散概率分布。
尽管它们可能在一些方面相似，但它们在定义、应用和特性上存在一些明显的区别。
下面将介绍如何快速识别这两种分布。
首先，我们需要了解二项分布和超几何分布的定义。
二项分布是指在一系列相互独立的重复试验中，每次试验只有两个可能的结果，成功和失败。
每次试验中成功的概率为p，失败的概率为1-p。
试验的次数固定为n次。
二项分布描述的是在给定试验次数和成功概率的情况下，成功次数的概率分布。
超几何分布是指从一个有限总体中抽取固定数量的样本，且每次抽样都是无放回抽样。
总体中成功的个数为M，总体中失败的个数为N-M。
样本的大小为n，成功的个数为k。
超几何分布描述的是在给定总体大小、成功个数和样本大小的情况下，成功次数的概率分布。
根据定义，我们可以看出二项分布和超几何分布在试验方式上的不同：-二项分布是有放回抽样的结果，即每次试验之间是相互独立的。
例如，我们可以使用一枚硬币进行多次投掷，每次投掷只能出现正面或反面的结果。
-超几何分布是无放回抽样的结果，即每次试验之间是相关的。
例如，我们从一批产品中取出其中几个进行质检，一旦一个产品被选中，它就不再参与后续的抽样。
1.参数设置：-二项分布有两个参数：试验次数n和成功概率p。
-超几何分布有三个参数：总体大小N，成功个数M和抽样大小n。
2.应用领域：-二项分布通常适用于描述重复试验中一个事件发生的概率，如硬币抛掷和赌博游戏等。
-超几何分布通常适用于描述从有限总体中抽取样本的成功次数，如质量控制和调查调研等。
3.概率计算：-二项分布的概率计算可以使用二项式定理或计算器进行计算。
-超几何分布的概率计算需要使用超几何分布的概率质量函数。
4.概率特性：-二项分布的期望值和方差可以通过试验次数和成功概率计算得到。
-超几何分布的期望值和方差可以通过总体大小、成功个数和抽样大小计算得到。
所以，通过参数设置、应用领域、概率计算和概率特性等方面可以快速识别二项分布和超几何分布。
授课主题离散型随机变量、两点分布、超几何分布教学目标1．在对具体问题的分析中，理解取有限值的离散型随机变量、概率分布的概念．2．知道随机变量的某些函数也是随机变量，随机变量的一次函数也是随机变量．3．进一步理解离散型随机变量的分布列的求法、作用.4．理解两点分布和超几何分布，运用两点分布、超几何分布研究有关随机变量的概率．教学内容1．随机变量(1)定义：在一个对应关系下，随着实验结果变化而变化的量称为随机变量．(2)表示：随机变量常用字母X，Y，ξ，η等表示．2．离散型随机变量如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量．例如：在含有10件次品的100件产品中，任意抽取4件，可能含有的次品件数X将随着抽取结果的变化而变化，是一个随机变量. 其值域是{0,1,2,3,4}，{X＝0}表示抽出0件次品；{X＝1}表示抽出1件次品；{X＜3}表示抽出0或1或2件次品．3．概率分布列一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，x i，…，x n，X取每一个值x i(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝x i)＝p i，以表格的形式表示如下：X x1x2…x i…x nP p1p2…p i…p n 此表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列．4．离散型随机变量的分布列的性质(1)p i ≥ 0，i＝1,2,3，…，n；(2)1......21=++++iPPP.5．两点分布如果随机变量X的分布列为X 1 0Ppq其中01p <<，1q p =-，则称离散型随机变量X 服从参数为p 的两点分布．两点分布举例：某次抽查活动中，一件产品合格记为1，不合格记为0，已知产品的合格率为80%，随机变量X 为任意抽取一件产品得到的结果，则X 的分布列满足点分布．X 1 0 P0.80.2两点分布又称01-分布，由于只有两个可能结果的随机试验叫做伯努利试验，所以这种分布又称为伯努利分布． 6．超几何分布一般地，设有总数为N 件的两类物品，其中一类有M 件，从所有物品中任取n 件()n N ≤，这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量，它取值为m 时的概率为C C ()C m n mM N Mn NP X m --==(0m l ≤≤，l 为n 和M 中较小的一个)．我们称离散型随机变量X 的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X 服从参数为N ，M ，n 的超几何分布．在超几何分布中，只要知道N ，M 和n ，就可以根据公式求出X 取不同值时的概率()P X m =，从而列出X 的分布列．题型一 用随机变量描述随机现象例1 ①某座大桥一天经过的小轿车的辆数为ξ；②某网站中歌曲《爱我中华》一天内被点击的次数为ξ；③一天内的温度为ξ；④射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用ξ表示该射手在一次射击的得分．上述问题中的ξ是离散型随机变量的是( )A ．①②③④B ．①②④C ．①③④D ．②③④解析：③中一天内的温度不能把其取值一一列出，不是离型随机变量． 答案：B点评：随机变量从本质上讲就是以随机试验的每一个可能结果为自变量的一个函数，即随机变量的取值实质上是试验结果对应的数，但这些数是预先知道所有可能的值，而不知道究竟是哪一个值．巩 固 下列命题中，正确的个数是( )①15秒内，通过某十字路口的汽车的辆数是随机变量；②在一段时间内，候车室内候车的旅客人数是随机变量；③一条河流每年的最大流量是随机变量；④一个剧场共有三个出口，散场后从某一出口退场的人数是随机变量．A．1个B．2个C．3个D．4个解析：由随机变量的概念知四个命题都正确，故选D.答案：D题型二离散型随机变量的判断项例2指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由．(1)从10张已编号的卡片(从1号到10号)中任取一张，被取出的卡片的号数；(2)一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数；(3)某林场树木最高达30 m，则此林场中树木的高度；(4)某加工厂加工的某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差．解析：(1)只要取出一张，便有一个号码，因此被取出的卡片号数可以一一列出，符合离散型随机变量的定义．(2)从10个球中取3个球，所得的结果有以下几种：3个白球，2个白球和1个黑球，1个白球和2个黑球，3个黑球，即其结果可以一一列出，符合离散型随机变量的定义．(3)林场树木的高度是一个随机变量，它可以取(0,30]内的一切值，无法一一列举，不是离散型随机变量．(4)实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量．点评：该题主要考查离散型随机变量的定义，判断时要紧扣定义，看是否能一一列出．巩固指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由．(1)节能灯的寿命ξ；(2)老张通常在早晨6：30－6：50之间出门乘地铁上班，那么老张出门上班的时间ξ；(3)佛山市西江水位监测站所测水位在(0,35]这一范围内变化，该水位站所测水位ξ；(4)某班有23名男生，17名女生，从中选出5人参加学校的某项活动，其中所含女生的人数ξ.解析：(1)节能灯的寿命ξ的取值是一个非负实数，而所有非负实数不能一一列出，所以ξ不是离散型随机变量．(2)老张在6：30－6：50之间的任何时间都可能出发，所以出门上班时间不是离散型随机变量．(3)不是离散型随机变量．因为水位在(0,35]这一范围内变化，对水位值我们不能按一定次序一一列出．(4)是离散型随机变量．从40人中选出5人，所得的结果有以下几种：5个男生；4个男生和1个女生；3个男生和2个女生；2个男生和3个女生；1个男生和4个女生；5个女生．即其结果可以一一列出，符合离散型随机变量的定义．题型三随机变量的取值例3写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．(1)一个袋中装有8个红球，3个白球，从中任取5个球，其中所含白球的个数为X；(2)一个袋中有5个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5，从中任取3个球，取出的球的最大号码记为X.分析：(1)任取5个球时可能0白5红，1白4红，2白3红，3白2红；(2)任取3球最大号码可能为3,4,5.解析：(1)X＝0表示取5个球全是红球；X＝1表示取1个白球，4个红球；X＝2表示取2个白球，3个红球；X＝3表示取3个白球，2个红球．(2)X＝3表示取出的球编号为1,2,3；X＝4表示取出的球编号为1,2,4或1,3,4或2,3,4；X＝5表示取出的球编号为1,2,5；1,3,5；1,4,5；2,3,5；2,4,5或3,4,5.点评：本题容易忽视共3个白球，出现4白1红等情况．随机变量与试验所产生的随机事件是一种对应关系，因此准确地列出随机试验所产生的所有随机事件是正确写出随机变量取值的前提．巩固请写出各随机变量可能的取值，并说明这些值所表示的随机试验的结果．(1)盒中装有6支白粉笔和2支红粉笔，从中任意取出3支，其中所含白粉笔的支数ξ，所含红粉笔的支数η.(2)从4张已编有1～4的卡片中任意取出2张，被取出的卡片号数之和ξ．解析：(1)ξ可取1,2,3.{ξ＝i}表示取出i支白粉笔，3－i支红粉笔，其中i＝1,2,3.η可取0,1,2.{η＝i}表示取出i支红粉笔，3－i支白粉笔，其中i＝1,2,3.(2)ξ可取3,4,5,6,7.其中，{ξ＝3}表示取出分别标有1,2的两张卡片；{ξ＝4}表示取出分别标有1,3的两张卡片；{ξ＝5}表示取出分别标有1,4或2,3的两张卡片；{ξ＝6}表示取出分别标有2,4的两张卡片；{ξ＝7}表示取出分别标有3,4的两张卡片．题型四随机变量的确定例4在对电灯泡的寿命测试中，若规定寿命在1 500小时以上的灯泡为一等品，寿命在1 000到1 500之间的为二等品，寿命在1 000小时之下的为不合格品，如果按灯泡是否为合格品，应如何定义随机变量？若按是否为一等品，二等品或不合格品，应如何定义随机变量？如果我们只关心灯泡的使用寿命，应如何定义随机变量？解析：当关心“灯泡是否为合格品”时，可定义随机变量X ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，灯泡为不合格品，1，灯泡为合格品.当关心“灯泡是否为一等品，二等品或不合格品”时，可定义随机变量Y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，灯泡为一等品，2，灯泡为二等品，3，灯泡为不合格品 .当关心“灯泡的使用寿命”时，可定义随机变量Z ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，寿命＜1 000小时，1，1 000小时≤寿命≤1 500小时，2，寿命＞1 500小时.点评：灯泡的使用寿命是连续变量不是随机变量，而将使用寿命分为几个时间段，则可以用随机变量表示了．对于“灯泡是否合格”，设X ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，灯泡为不合格品，1，灯泡为合格品.其含义是，灯泡为不合格品时，取X ＝0；灯泡为合格品时，取X ＝1.也可以表示为X ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，灯泡为不合格品，2，灯泡为合格品.巩 固 在掷骰子试验中，随机变量的值域是什么？如果我们仅关心掷出的点数是否为偶数，应如何定义随机变量？解析：随机变量的值域为{1,2,3,4,5,6}． 可以这样定义随机变量Y ＝01⎧⎨⎩，点数为奇数，点数为偶数题型五 离散型随机变量的分布列的性质用例5 设随机变量X 的概率分布P ⎝⎛⎭⎫X ＝k5＝ak (k ＝1,2,3,4,5)． (1)求常数a 的值； (2)求P ⎝⎛⎭⎫X ≥35； (3)求P ⎝⎛⎭⎫110＜X ＜710. 分析：根据概率分布列的第二条性质求出a ，再根据随机变量取值表示的事件是互斥事件求出P ⎝⎛⎭⎫X ≥35及P ⎝⎛⎭⎫110＜X ＜710. 解析：(1)由a ＋2a ＋3a ＋4a ＋5a ＝1，得a ＝115.(2)因为X 的概率分布列为P ⎝⎛⎭⎫X ＝k 5＝115k (k ＝1,2,3,4,5)， ∴P ⎝⎛⎭⎫X ≥35＝P ⎝⎛⎭⎫X ＝35＋P ⎝⎛⎭⎫X ＝45＋P (X ＝1)＝315＋415＋515＝45. (3)因110＜X ＜710，只有X ＝15，25，35时满足，故P ⎝⎛⎭⎫110＜X ＜710＝P ⎝⎛⎭⎫X ＝15＋P ⎝⎛⎭⎫X ＝25＋P ⎝⎛⎭⎫X ＝35＝115＋215＋315＝25. 点评：概率分布列的有关性质是对求概率分布列进行检验或对有关参数进行求值的依据，P (x 1＜X ＜x 2)表示在(x 1，x 2)内X 所有取值的概率的和．巩 固 随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝ck (1＋k )，k ＝1,2,3，其中c 为常数，则P (ξ≥2)＝( )A.89B.23C.13D.29解析：由P (ξ＝k )＝c k (1＋k )，k ＝1,2,3，可知c 2＋c 6＋c 12＝1，解得c ＝43.故P (ξ≥2)＝1－P (ξ＝1)＝1－c 2＝1－12×43＝13，故选C.答案：C题型六 求离散型随机变量的分布列例6 一个正四面体玩具的四个面分别标有数字1,2,3,4，将这个玩具连续抛掷两次，记与桌面接触的面的数字之和为ξ，求ξ的分布列．解析：ξ的可取的值为2,3,4,5,6,7,8.将这个玩具连续抛掷两次，所以可能事件总数有4×4＝16个，根据古典概率的计算公式得P (ξ＝2)＝116，P (ξ＝3)＝216＝18，P (ξ＝4)＝316，P (ξ＝5)＝416＝14，P (ξ＝6)＝316，P (ξ＝7)＝216＝18，P (ξ＝8)＝116.所以，所求的ξ的分布列为：ξ 2 3 4 5 6 7 8 P (ξ)116183161431618116点评：(1)求离散型随机变量的分布列关键是搞清离散型随机变量X 取每一个值时对应的随机事件，然后利用排列、组合知识求出X 取每个值的概率，最后列出分布列．(2)求离散型随机变量X 的分布列的步骤是：①确定X 的所有可能的取值；②求相应的概率P (X ＝x i )＝p i ；③列成表格的形式．巩 固 将一颗骰子掷两次，求两次掷出的最大点数ξ的分布列.解析：将一颗骰子连掷两次共出现6×6＝36(种)等可能的基本事件，其最大点数ξ可能取的值为1,2,3,4,5,6. P (ξ＝1)＝136，用(x ，y )表示第一枚骰子点数为x ，第二枚骰子点数为y ，则ξ＝2包含三个基本事件(1,2)，(2,1)，(2,2)，则P (ξ＝2)＝336＝112.同理可求P (ξ＝3)＝536，P (ξ＝4)＝736，P (ξ＝5)＝936＝14，P (ξ＝6)＝1136.故ξ的分布列为：ξ 1 2 3 4 5 6 P136112536736141136题型七 两点分布例7 袋内有10个白球，5个红球，从中摸出两球，记X ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，两球全红，1，两球非全红，求X 的分布列．解析：由题设可知X 服从两点分布，P (X ＝0)＝25215C C ＝221，∴P (X ＝1)＝1－P (X ＝0)＝1－221＝1921.∴X 的分布列为：X 0 1 P2211921点评：两点分布的适用范围：(1)研究只有两个结果的随机试验的概率分布规律；(2)研究某一随机事件是否发生的概率分布规律．如抽取的彩券是否中奖；买回的一件产品是否为正品；新生婴儿的性别；投篮是否命中等．巩 固 一个袋子中有形状大小完全相同的3个黑球和4个白球．(1)从中任意摸出一球，用0表示摸出黑球，用1表示摸出白球，即X ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，摸出黑球，1，摸出白球，求X 的分布列．(2)从中任意摸出两个球，用“ξ＝0”表示两个球全是黑球，用“ξ＝1”表示两个球不全是黑球，求ξ的分布列解析：(1)X 符合两点分布，P (X ＝0)＝37，P (X ＝1)＝47，分布列如下表：X 0 1 P3747(2)ξ符合两点分布，P (ξ＝0)＝C 23C 27＝17，P (ξ＝1)＝C 03C 24＋C 13C 14C 27＝67，分布列如下表： ξ 0 1 P1767题型八 超几何分布例8 在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品．从这10件产品中任取3件，求：(1)取出的3件产品中一等品件数X 的分布列；(2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．解析：(1)从10件产品中取出3件，这3件产品中恰有k 件一等品的概率P (X ＝k )＝337310k kC C C -⋅(k ＝0,1,2,3)． 所以，随机变量X 的分布列是：X 0 1 2 3 P72421407401120(2)设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A ，“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A 1，“恰好取出2件一等品”为事件A 2，“恰好取出3件一等品”为事件A 3，则A ＝A 1∪A 2∪A 3，且A 1，A 2，A 3为两两互斥事件．又P (A 1)＝C 13·C 23C 310＝340，P (A 2)＝P (X ＝2)＝740，P (A 3)＝P (X ＝3)＝1120.所以，取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为P (A )＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＝340＋740＋1120＝31120．点评：超几何分布的理解：(1)超几何分布的模型是不放回抽样．(2)超几何分布中的参数是M ，N ，n .(3)超几何分布可解决产品中的正品和次品、盒中的白球和黑球、同学中的男和女等问题，往往由差异明显的两部分组成．巩 固 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数．(1)求ξ的分布列；(2)求“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率.解析：(1)ξ可能取的值为0,1,2.P (ξ＝k )＝C k 2C 3－k 4C 36，k ＝0,1,2，所以ξ的分布列为ξ 0 1 2 P153515(2)由(1)知“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率为 P (ξ≤1)＝P (ξ＝0)＋P (ξ＝1)＝45.A 组1．随机变量X 的分布列如下，则m ＝( )X1234P14m13 16A.13B.12C.16D.14 答案：D2．如果ξ是一个离散型随机变量，那么下列命题中假命题是( ) A ．ξ取每个可能值的概率是非负实数 B ．ξ取所有可能值的概率之和为1C ．ξ取某2个可能值的概率等于分别取其中每个值的概率之和D ．ξ取某2个可能值的概率大于分别取其中每个值的概率之和 答案：D3．设随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝m ⎝⎛⎭⎫23k，k ＝1,2,3，则m 的值为( ) A.1718 B.2738 C.1719 D.2719解析：P (X ＝1)＝2m 3，P (X ＝2)＝4m 9，P (X ＝3)＝8m27，由离散型随机变量的分布列的性质知P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X＝3)＝1，即2m 3＋4m 9＋8m 27＝1，解得m ＝2738.故选B.答案：BB 组一、选择题1．若随机变量ξ的概率分布列如下表所示，则表中a 的值为( )ξ 1 2 3 4 P121616aA.1B.12 C.13 D.16答案：D2．下列A ，B ，C ，D 四个表，其中能成为随机变量ξ的分布列的是( ) A.ξ 0 1 P0.60.3B.ξ 0 1 2 P0.902 50.0950.002 5C.ξ 0 1 2 … nP121418…12n ＋1D.ξ 0 1 2 … n P1313·2313⎝⎛⎭⎫232…13⎝⎛⎭⎫23n解析：对于表A ，由于0.6＋0.3＝0.9＜1，故表A 不能成为随机变量ξ的分布列；仿上可知，对于表C ，有12＋14＋18＋…＋12n ＋1＝1－12n ＋1＜1，故表C 不能成为随机变量ξ的分布列；对于表D ，知13＋13·23＋13·⎝⎛⎭⎫232＋…＋13·⎝⎛⎭⎫23n ＝13·⎣⎡⎦⎤1＋23＋⎝⎛⎭⎫232＋…＋⎝⎛⎭⎫23n ＝1－⎝⎛⎭⎫23n ＋1＜1，故表D 不能成为随机变量ξ的分布列；对于表B ，由于0.902 5＋0.095＋0.002 5＝1，故表B 可以成为随机变量ξ的分布列． 答案：B3．一批产品共50件，其中5件次品，45件正品，从这批产品中任抽两件，则出现2件次品的概率为( ) A.2245B.949C. 47245D. 以上都不对解析：P (X ＝2)＝C 25C 250＝5×450×49＝2245.故选A.答案：A4．已知离散型随机变量X 的分布列如图所示，则常数c 为( )X 0 1 P9c 2－c3－8cA.13B.23C.13或23D.14解析：根据离散型随机变量分布列的两条基本性质可得，⎩⎪⎨⎪⎧0≤9c 2－c ≤1，0≤3－8c ≤1，9c 2－c ＋3－8c ＝1，解得c ＝13.故选A.答案：A5．某12人的兴趣小组中， 有5名“三好学生”，现从中任意选6人参加竞赛，用ξ表示这6人中“三好学生”的人数，则下列概率中等于3357612C C C ⋅的是( ) A ．P (ξ＝2) B ．P (ξ＝3) C ．P (ξ≤2)D ．P (ξ≤3) 答案：B二、填空题6．抛掷两次骰子，两次点数的和不等于10的概率为________．解析：两次点数之和等于10的有3种：4＋6,5＋5,6＋4，所以两次点数之和等于10的概率为P (ξ＝10)＝336＝112，所以两次点数之和不等于10的概率为1－P (ξ＝10)＝1112.答案：11127.一盒中有12个大小、形状完全相同的小球，其中9个红的，3个黑的，从盒中任取3球，x 表示取出的红球个数，P (X ＝1)的值为________．解析：由题意知，取出3球必是1个红球2个黑球，故P (X ＝1)＝C 19C 23C 312＝27220.答案：272208. 随机变量ξ等可能取值为1,2，…，n ，n ∈N *，若P (ξ<4)＝0.3，则n ＝________. 解析：P (ξ<4)＝P (ξ＝1)＋P (ξ＝2)＋P (ξ＝3)＝3n ＝0.3，解得n ＝10.答案：10三、解答题9．将一枚骰子掷两次，第一次掷出点数减去第二次掷出点数的差为ξ，求ξ的分布列．分析：分第一次掷出的点数和第二次掷出的点数，有先后顺序，故ξ可能的取值为－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5，求出对应的概率值，列表即可．解析：由题意，第一次掷出的点数与第二次掷出的点数的差依次为：－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5，则P(ξ＝－5)＝136，P(ξ＝－4)＝236＝118，…，P(ξ＝5)＝136.故其分布列为：ξ－5－4－3－2－101234 5P136118112195361653619112118136 10．一袋中装有5只球，编号为1,2,3,4,5，在袋中同时取3只，以ξ表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量ξ的分布列．解析：根据题意可知随机变量ξ的取值为3,4,5.当ξ＝3时，即取出的三只球中最大号码为3，则其他两球的编号只能是1,2，故有P(ξ＝3)＝2235110CC=；当ξ＝4时，即取出的三只球中最大号码为4，则其他两球的编号只能在编号为1,2,3的三只球中取2只，故有P(ξ＝4)＝2335310CC=；当ξ＝5时，即取出的三只球中最大号码为5，则其他两球的编号为1,2,3,4的四只球中取2只，故有P(ξ＝5)＝243563105CC==可得ξ的分布列为：ξ34 5P11031035A组1．一个盒子里装有相同大小的10个黑球，12个红球，4个白球，从中任取2个，其中白球的个数记为X，则下列概率等于C122C14＋C222C226的是()A．P(0<X≤2) B．P(X≤1)C．P(X＝1) D．P(X＝2)解析：P(X＝0)＝C222C226，P(X＝1)＝C122C14C226，所以P(X＝0)＋P(X＝1)＝P(X≤1)，故选B.答案：B2．若随机变量X 服从两点分布，且P (X ＝0)＝0.8，P (X ＝1)＝0.2.令Y ＝3X －2，则P (Y ＝－2)＝( ) A ．0.8B ．0.2C ．0.4D ．0.1解析：因为Y ＝3X －2，所以X ＝13(Y ＋2)，当Y ＝－2时，X ＝0，所以P (Y ＝－2)＝P (X ＝0)＝0.8.故选A.答案：A3．在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么以710为概率的事件是( )A ．都不是一等品B ．恰有一件一等品C ．至少有一件一等品D ．至多有一件一等品解析：设取到一等品的件数是ξ，则ξ＝0,1,2，P (ξ＝0)＝C 03C 22C 25＝110，P (ξ＝1)＝C 13C 12C 25＝610，P (ξ＝2)＝C 23C 02C 25＝310，因为P (ξ＝0)＋P (ξ＝1)＝710，所以满足题设的事件是“至多有一件一等品”．故选D.答案：DB 组一、选择题1．袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中不放回每次任意取出1个球，直到取出的球是白球为止时，所需要的取球次数为随机变量ξ，则ξ的可能取值为( )A ．1,2,3，…，6B ．1,2,3，…，7C ．0,1,2，…，5D ．1,2，…，5答案：B2．已知随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝13k ，k ＝1,2，…，则P (1<X ≤3)＝( )A.427B.79C.1327D.1627解析：P (1<X ≤3)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝132＋133＝427.故选A.答案：A3．已知随机变量ξ的概率分布列如下：ξ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 P12122123124125126127128129m则P (ξ＝10)＝( )A.1210B.511512C.129D.1 0231 024解析：∵12＋122＋…＋129＋m ＝1，∴12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫1291－12＋m ＝1.∴m ＝⎝⎛⎭⎫129＝129. 答案：C4．用1,2,3,4,5组成无重复数字的五位数，这些数被2整除的概率是( ) A.15B.14C.25D.35解析：所求概率为：14245525C A A ⋅=. 答案：C5．设随机变量ξ的可能取值为5,6,7，…，16这12个值，且取每个值的概率均相同，则P (ξ＞8)，P (6＜ξ≤14)的值分别是( )A. 34，34B.23，23C.34，23D.23 ，34解析：P (ξ>8)＝112×8＝23，P (6<ξ≤14)＝112×8＝23.故选B.答案：B二、填空题6．随机变量ξ的分布列为：ξ 0 1 2 3 4 5 P192157458451529则ξ为奇数的概率为________．解析：ξ为奇数的概率为：P (ξ＝1)＋P (ξ＝3)＋P (ξ＝5)＝215＋845＋29＝815. 答案：8157．已知随机变量ξ的分布列为：ξ 1 2 3 4 5 P0.10.20.40.20.1若η＝2ξ－3，则η的分布列为_________________________________________________． 解析：η －1 1 3 5 7 P0.10.20.40.20.18．从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有ξ个红球，则随机变量ξ的概率分布列为：ξ 0 1 2 P解析：P (ξ＝0)＝2225C C ＝110，P (ξ＝1)＝113225C C C ⋅＝35，P (ξ＝2)＝2325C C ＝310. 答案：0.1 0.6 0.3 三、解答题9．从一批有10件合格品与3件次品的产品中，一件一件地抽取产品，每次取出的产品都立即放回此批产品中，然后再取出一件产品，直到取出合格品为止，求抽取次数ξ的分布列．解析：ξ的值取为1,2,3，…，n ，…当ξ＝1时，即第一次就取到合格品，故P (ξ＝1)＝1013；当ξ＝2时，即第一次取到次品，而第二次取到合格品，故P (ξ＝2)＝313×1013；当ξ＝3时，即第一、二次均取到次品，而第三次取到合格品，故P (ξ＝3)＝313×313×1013＝⎝⎛⎭⎫3132×1013；类似地，当ξ＝n 时，即前n －1次均取到次品，而第n 次取到合格品，故P (ξ＝n )＝⎝⎛⎭⎫313n －1×1013，n ＝1,2,3，… 可得ξ的分布列为：ξ 1 2 3 … n … P1013313×1013⎝⎛⎭⎫3132×1013 …⎝⎛⎭⎫313n －1×1013…10. 盒子中装着标有数字1,2,3,4,5的卡片各2张，从盒子中任取3张卡片，每张卡片被取出的可能性都相等，用ξ表示取出的3张卡片上的最大数字，求：(1)取出的3张卡片上的数字互不相同的概率； (2)随机变量ξ的概率分布．解析：(1)记“一次取出的3张卡片上的数字互不相同的事件”为A ，则P (A )＝C 35C 12C 12C 12C 310＝23.(2)由题意ξ可能的取值为2,3,4,5，所以P (ξ＝2)＝C 22C 12＋C 12C 22C 310＝130，P (ξ＝3)＝C 24C 12＋C 14C 22C 310＝215， P (ξ＝4)＝C 26C 12＋C 16C 22C 310＝310，P (ξ＝5)＝C 28C 12＋C 18C 22C 310＝815. 所以随机变量ξ的概率分布为ξ 2 3 4 5 P130215310815。
123510152025 参加人数活动次数二项分布与超几何分布辨析超几何分布和二项分布都是离散型分布 超几何分布和二项分布的区别：超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要； 超几何分布是不放回抽取，而二项分布是放回抽取（独立重复） 当总体的容量非常大时，超几何分布近似于二项分布.........例1 袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球．求： （1）有放回抽样时，取到黑球的个数Ｘ的分布列； （2）不放回抽样时，取到黑球的个数Ｙ的分布列．例2．某市十所重点中学进行高三联考，共有5000名考生，为了了解数学学科的学习情况，现从中随机抽出若干名学生在这次测试中的数学成绩，制成如下频率分布表： （1）根据上面的频率分布表，求①，②，③，④处的数值；（2）根据上面的频率分布表,在所给的坐标系中画出在区间[]80,150上的频率分布直方图; （3）如果把表中的频率近似地看作每个学生在这次考试中取得相应成绩的概率，那么从总体中任意抽取3个个体,成绩落在[]100,120中的个体数为ξ,求ξ的分布列和数学期望．练习2.为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加2010年广州亚运会跳水项目，对甲、乙两名运动员进行培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取6次,得出茎叶图如图所示 （Ⅰ）从平均成绩及发挥稳定性的角度考虑,你认为选派哪名运动员合适 （Ⅱ）若将频率视为概率,对甲运动员在今后3次比赛成绩进行预测,记这3次成绩中高于80分的次数为ξ,求ξ的分布列及数学期望E ξ。
例3．按照新课程的要求, 高中学生在每学期都要至少参 加一次社会实践活动（以下简称活动）．某校高一· 一班50名学生在上学期参加活动的次数统计如条 形图所示．（I ）求该班学生参加活动的人均次数x ；（II ）从该班中任意选两名学生，求他们参加活动 次数恰好相等的概率；（III ）从该班中任选两名学生，用ξ表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望E ξ．（要求：答案分组 频数 频率 ①② 0．0500．200 36 0．3000．275 12 ③0．050合计④用最简分数表示）练习3．某校参加高一年级期中考试的学生中随机抽出60名学生，将其数学成绩分成六段[40,50]、[50,60]、…、[90,100]后得到如下部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题： （1）求分数在[70，80]内的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的平均分；（3）若从60名学生中随抽取2人，抽到的学生成绩在[40,60]记0分，在[60,80]记1分，在[80,100]记2分，用ξ表示抽取结束后的总记分，求ξ的分布列和数学期望。
《二项分布与超几何分布》讲义一、引言在概率统计的学习中，二项分布和超几何分布是两个非常重要的概念。
它们在实际生活中的应用广泛，例如质量检测、抽样调查、生物遗传等领域。
理解这两种分布的特点和区别，对于正确解决概率问题至关重要。
二、二项分布（一）定义二项分布是一种离散概率分布，用于描述在 n 次独立重复的伯努利试验中，成功的次数 X 的概率分布。
（二）特点1、每次试验只有两种可能的结果：成功或失败。
2、每次试验的成功概率 p 保持不变。
3、各次试验相互独立。
（三）概率计算公式如果随机变量 X 服从参数为 n 和 p 的二项分布，记为 X ～ B(n, p)，那么 X ＝ k 的概率为：P(X ＝ k) ＝ C(n, k) p^k （1 p)＾（n k) （其中 C(n, k) 表示从 n 个元素中选取 k 个元素的组合数）（四）期望与方差期望 E(X) ＝ np方差 D(X) ＝ np(1 p)（五）应用举例假设某射手每次射击命中目标的概率为 08，进行 5 次射击，求命中目标 3 次的概率。
解：这里 n ＝ 5，p ＝ 08，要求 P(X ＝ 3)。
P(X ＝ 3) ＝ C(5, 3) 08^3 （1 08)＾（5 3)＝ 10 0512 004＝ 02048三、超几何分布（一）定义超几何分布是统计学上一种离散概率分布，描述了从有限 N 个物件（其中包含 M 个指定种类的物件）中抽出 n 个物件，成功抽出指定种类的物件的次数 X 的概率分布。
（二）特点1、总体分为两类。
2、抽取的样本数量 n 小于总体数量 N。
3、抽样方式为不放回抽样。
（三）概率计算公式如果随机变量 X 服从参数为 N、M 和 n 的超几何分布，记为 X ～H(N, M, n)，那么 X ＝ k 的概率为：P(X ＝ k) ＝ C(M, k) C(N M, n k) ／ C(N, n)（四）期望与方差期望 E(X) ＝ n M ／ N方差 D(X) ＝ n M ／ N （1 M ／ N) （N n) ／（N 1)（五）应用举例一批产品共有 100 件，其中次品有 10 件，从中随机抽取 5 件，求抽到次品数 X 的概率分布。
二项分布和超几何分布的通俗理解
嘿，朋友们！今天咱来唠唠二项分布和超几何分布，这可都是统计学里超有意思的玩意儿呢！
咱先说说二项分布哈。
就好比你抛硬币，不是正面就是反面，这就是两种结果嘛。
假设你抛十次硬币，想知道出现五次正面的概率是多少，这就得用二项分布啦！你想想，是不是在生活中很多时候我们都类似抛硬币呀，像考试的时候对一道题或者错一道题。
哎呀，要是我考试的时候能像掌握二项分布一样清楚结果该多好呀！
“那超几何分布又是啥呢？”有人可能会这么问。
嘿，这超几何分布啊，就像是从一堆不同的东西里面挑出特定的几个。
举个例子啊，比如有一箱苹果，里面有红苹果和青苹果，你要从里面随机拿出几个红苹果的概率，这就是超几何分布在起作用啦！这不就和我们去抽奖，想知道能不能抽到心仪奖品的概率差不多嘛，有时候紧张得不行，心里直犯嘀咕呢！
说起来啊，这二项分布和超几何分布就像我们的两个好朋友，虽然有些不同，但都能在不同的场景里帮我们解决问题。
它们能让我们对那些看起来很不确定的事情有一个大概的了解，让我们心里有点底。
二项分布比较适合那种独立重复的试验，就像一直抛硬币一样。
而超几何分布呢，则是在有限总体里无放回地抽样时更适用。
我觉得啊，这俩可真是统计学里的宝贝呀！它们能帮我们更好地理解和应对生活中的各种不确定，让我们在面对未知的时候不是那么茫然无措。
所以呀，可得好好琢磨琢磨它们，说不定啥时候就能派上大用场呢！你们说是不是呀！。
数学选修2-2--- 2.1.2两点分布和超几何分布
课型：高二班姓名：日期：编号：NO. 2
主编: 修订：审核：
一、【学习目标】1.理解离散型随机变量的分布列的意义，会求某些简单的离散型随机
变量的分布列；
⒉掌握离散型随机变量的分布列的两个基本性质，并会用它来解决一
些简单的问题．
⒊了解二项分布的概念，能举出一些服从二项分布的随机变量的例子二、【学习考点】1、学习重难点：离散型随机变量的分布列的概念
求简单的离散型随机变量的分布列
2、高考考纲考点：
本考点高考中主要结合互斥事件、对立事件、独立事件考查分布列和数学
期望，考查运用概率知识解决实际问题的能力，试题形式选择题、填空题、
解答题都有，以解答题为主，难度以中档为主。
三、【自主学习我专注】（课前预时20分钟）
1.定义:若离散型随机变量X可能取的不同值为x
1,x
2
,…,x
i
, (x)
n
,X
(i=1,2,…,n)的概率P(X=x
i
)=_______,以表格的形式如下,
率分布列,简称为X的__________.
为了表达简单,也用等式.
P(X=x
i
)=_______,(i=1,2,…,n)表示X的分布列.或者用图象直观表示. ___________,纵坐标为________.
2.表示:离散型随机变量分布列可以用________、________、________表示.
3.性质:①p
i
_________,i=1,2,3,…,n; ②∑
=
n
i
i
p
1
=_________.
【课堂探究】
探究一：分布列
1.分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为
x1，x2，…，x3，…，
ξi
为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列
2. 分布列的两个性质：任何随机事件发生的概率都满足:1)(0≤≤A P ，并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1．由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：
⑴P i ≥0，i ＝1，2，…；
⑵P 1+P 2+…=1． 思考探究:
1.如何求离散型随机变量在某一范围内的概率?
2.离散型随机变量的各个可能取值表示的事件是什么关系?
探究二：两点分布和超几何分布
3.离散型随机变量的二点分布列:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，事件发生的概率为P ，则不发的概率为1－P 随机变量ξ
如果随机变量X 的分布列为两点分布列，就称X 服从两点分布，而称p=P(X=1)为成功概率． 思考探究：
分布列是两点分布列吗？
4. 离散型随机变量的超几何分布：一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品数，则事件｛X ＝k ｝发生的概率为：
P （X ＝k ）=,,2,1,0,m k C C C n
N
k n M
N k M =-- 其中m=min{M,n},且*∈≤≤N N M n N M N n ,,,,，
称分布列：
为超几何分布列。
如果随机变量X 的分布列为超几何分布列，则称这样的随机变量
X 服从超几何分布。
【典例分析】
例1． 在掷一枚图钉的随机实验中，当针尖向上时，令X ＝1，当针尖向下时令X ＝0，如果
针尖向上的概率为P ，试写出随机变量X 的分布列。
小结 ：⑴根据随机变量的概率分步（分步列），可以求随机事件的概率； ⑵两点分布和超几何分布的特点及适用范围 四、【合作探究我深入】（限时6分钟）
1.两人小对子：相互检查自研成果，指点纠错，并用红笔给对子评定等级。
2.
（13个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有ξ
个红球，求ξ的分布列.
（2设袋中有N 个球，其中有M 个红球，N M -个黑球，从中任取n 个
问恰有k 个红 球的概率是多少？
一、【基础题】
1.从一副不含大小王的52张扑克牌中任意抽出5张，至少有3张A 的概率是_____.
2．在含有5件次品的100件产品中，任取3件，试求：
（1）取到的次品数X 的分布列； （2）至少取到1件次品的概率。
二、【发展题】
3某射手有5发子弹，射击一次命中的概率为0.9,
⑴如果命中了就停止射击，否则一直射击到子弹用完，求耗用子弹数 的分布列; ⑵如果命中2次就停止射击，否则一直射击到子弹用完，求耗用子弹数 的分布列． 三、【腾飞题】
4将一枚骰子掷2次,求下列随机变量的概率分布. (1)两次掷出的最大点数ξ;
(2)第一次掷出的点数减去第二次掷出的点数之差η.
九、【课堂智慧我生成】
等级评定：干净度
高速度
准确度 ξη。
