内蒙古赤峰二中2021届高三上学期第二次月考数学(理科)试题含答案

内蒙古自治区赤峰市赤峰二中、呼市二中2021届高三数学上学期10月月考试题 理（含解析）考生注意：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。

2.考生作答时，请将答案答在答题卡上。

选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上作答无效．．．．．．．．。

3.做选考题时，考生须按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|02A x x =<<，{}2|340B x x x =+->，则()R AC B 等于（ ）A. {}|01x x <≤B. {}|12x x ≤<C. {}|02x x <<D.{}|12x x -≤<【答案】A 【解析】 【分析】先解不等式求得集合B ,再进行补集交集运算【详解】由题{}()()2|3401,,4B x x x =+->=+∞⋃-∞-故{}|41R C B x x =-≤≤，(){}|01R A C B x x =<≤.故选A【点睛】本题考查集合的运算，准确求得集合B 是关键，是基础题2.复数2(1)12i i i-+（i 为虚数单位）等于（）A.1355i - B.1355i + C.3155i - D.3155i + 【答案】B【解析】 【分析】根据复数的四则运算，化简2(1)131255i i i i -=++ ，即可求解．【详解】由题意，根据复数的运算可得复数2(1)(1)(12)1313125555i i i i i i i --+-+===++，故选B ．【点睛】本题主要考查了复数的四则运算，其中解答中熟记复数的四则运算法则，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．3.已知向量a ，b 的夹角为3π，若a c a =，b d b=，则c d ⋅=（ ）A.14B.12D.34【答案】B 【解析】 【分析】直接利用数量积定义求解即可 【详解】由题1c d ==，则1cos 32c d π⋅==. 故选B【点睛】本题考查数量积的定义，是基础题4.已知0a >，0b <，则“0a b +>”是“22a b >”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】利用充分必要条件结合不等式性质即可得解【详解】∵0a >，0b <，∴0a b ->，∵0a b +>，∴()()220a b a b a b -=+->，∴22a b >，反之，22a b >时，()()0a b a b +->，∵0a b ->，∴0a b +>. 故选C【点睛】本题考查充分必要条件的判断，考查推理能力结合不等式性质求解是关键 5.观察下列等式：332123+=，33321236++=，33332123410+++=，记()3333123f n n =+++⋅⋅⋅+.根据上述规律，若()225f n =，则正整数n 的值为（ ）A. 8B. 7C. 6D. 5【答案】D 【解析】 【分析】由规律得()()()22211234n n f n n +=+++⋅⋅⋅+=再解方程即可 【详解】由已知等式的规律可知()()()22211234n n f n n +=+++⋅⋅⋅+=，当()225f n =时，可得5n =. 故选D【点睛】本题考查归纳推理，熟记等差数列求和公式是关键，考查观察转化能力，是基础题6.若幂函数()y f x =的图象过点(8,，则函数()()21f x f x --的最大值为（ ）A.12B. 12-C. 34-D. -1【答案】C 【解析】 【分析】t =，转化为二次函数求最值即可【详解】设幂函数()y f x x α==，图象过点(8,，故318=2=2ααα 故()f x =()()21f x f x x --=t =，则()21y t t =-+，0t ≥，∴12t =时，max 34y =-.故选C【点睛】本题考查幂函数的解析式，考查二次函数求值，是基础题，注意换元时新元的范围 7.已知()f x 是周期为2的奇函数，当10x -<≤时，()2x af x x b +=+，若7225f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则+a b 等于（ ） A. -1 B. 1C. -2D. 2【答案】B 【解析】 【分析】利用周期性和奇偶性得1225f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，结合()00f =得a,b 的值即可求解 【详解】由()f x 周期为2,则4也为周期故711212==222525f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=∴-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即122154a b -=-+ 又()00f =，∴0a =，1b =，故1a b +=. 故选B【点睛】本题考查利用周期性与奇偶性求值，考查推理能力，注意()00f =的应用 8.在正方形ABCD 中，点O 为ABC ∆内切圆的圆心，若AO xAB yAD =+，则xy 的值为（ ）A.214B.324- C.214D.212【解析】 【分析】连OB 并延长到与AC 相交于点H ,设正方形ABCD 的边长为1,求得ABC ∆内切圆的半径为r ，再利用平面向量基本定理求解【详解】连OB 并延长到与AC 相交于点H ，设正方形ABCD 的边长为1，则1222BH BD ==，设ABC∆内切圆的半径为r，则()22212BH OH OB r r r =+=+=+=，可得222r -=. 设ABC ∆内切圆在AB 边上的切点为E ，则()1AO AE EO r AB r AD=+=-+22222211222AB AD AB AD ⎛⎫⎛⎫--=-+=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，有2x =，21y =-，故22211222xy ⎛⎫-=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭. 故选D【点睛】本题考查平面向量基本定理，数形结合思想的应用，考查推理能力，准确求得内切圆半径是关键，是中档题9.已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若228m m S S =，2181m m a ma m =-，则数列{}n a 的公比q 为（ ） A. 3 B. 2 C. -3 D. -2【答案】A【分析】讨论1q =不成立，当1q ≠直接利用等比数列的通项公式和前n 项和公式列式求出结果．【详解】由1q =时，2112228m m S ma S ma ==≠，故1q ≠.∵()()21211112811m m m mm a q S q q S a q q--==+=--，∴27mq =.又2181m m m a m q a m ==-，解得3m =，3q =. 故选A【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式和前n 项和公式的求法及应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．10.执行如图所示的程序框图，若输入的50t =-，则输出的n 的值为（ ）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】C 【解析】 分析】根据已知中的程序框图，模拟程序的运行过程，并逐句分析各变量值的变化情况，可得答案．【详解】输入的50t =-，1,0,1;S n m === 第一次循环，0,2,1,S m n === 满足50S >- 第二次循环，2,4,2,S m n =-==满足50S >- 第三次循环，6,8,3,S m n =-==满足50S >- 第四次循环，14,16,4,S m n =-==满足50S >- 第五次循环，30,32,5,S m n =-==满足50S >-第六次循环，62,64,6,S m n =-==不满足50S >-，退出循环，输出n =6 故选C【点睛】本题考查的知识点是程序框图的应用，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的变法，但程序的循环体中变量比较多时，要用列举法对数据进行管理，属于基础题． 11.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a 是b 和c 的等比中项，则sin sin tan tan A AB C+=（ ） A. 1 B.12C.23D.34【答案】A 【解析】 【分析】 切化弦得sin sin cos cos sin tan tan sin sin A A B C A B C B C ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，通分,结合两角和的正弦公式及正弦定理求解即可 【详解】由题意有a bc=2，sin sin cos cos sin tan tan sin sin A A B C A B C B C ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭()22sin sin sin 1sin sin sin sin A B C A a B C B C bc+====. 故选A【点睛】本题考查等比中项的应用，两角和的正弦公式及正弦定理边角互化的应用，切化弦是突破点，是中档题12.已知数列1，1，1，2，2，1，2，4，3，1，2，4，8，4，1，2，4，8，16，5，…，其中第一项是02，第二项是1，接着两项为02，12，接着下一项是2，接着三项是02，12，22，接着下一项是3，依此类推.记该数列的前n 项和为n S ，则满足3000n S >的最小的正整数n 的值为（ ） A. 65 B. 67C. 75D. 77【答案】C 【解析】 【分析】由题将数列分组，得每组的和，推理3000n S >的n 的大致范围再求解即可【详解】由题将数列分成如下的组（1，1），（1，2，2），（1，2，4，3），（1，2，4，8，4），（1，2，4，8，16，5）…，则第t 组的和为01122221t t t t -++⋅⋅⋅++=-+，数列共有()()32312t t t +++⋅⋅⋅++=项，当()32t t n +=时，()()()121211221222t t nt t t t S t +-+-=-+=+--,随t 增大而增大， 10t =时，65n =，6520484522091S =+-=，11t =时，77n =，7740965524194S =+-=，第65项后的项依次为02，12，22，…，102，11，02，12，…，又0211222222112mm m --+++⋅⋅⋅+==--，921511-=，10211023-=，20915113000+<，209110233000+>，∴满足条件的最小的n 值为651075+=.故选C【点睛】本题考查数列的应用，等差数列与等比数列的前n 项和，考查计算能力，属于难题 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知x ，y 满足3010510x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪-+≤⎩，则2z x y =+的最大值为______.【答案】5 【解析】 【分析】画出不等式表示的可行域，利用目标函数的几何意义当截距最小时取z 取得最大值求解即可【详解】画出不等式组表示的平面区域(如图阴影所示)，化直线2z x y =+为122z y x =-+ 当直线平移过点A 时，z 取得最大值，联立直线3010x y x y +-=⎧⎨-+=⎩得A （1,2），故max 145z =+=故答案为5【点睛】本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求函数的最值，是基础题14.已知tan 34πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 24πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭______.【答案】210【解析】 【分析】 由两角和的余弦公式及二倍角公式求得()2cos 2cos 2sin 242πθθθ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭22222cos sin 2sin cos cos sin θθθθθθ-+=+转化为1tan 2θ=的齐次式求解即可 【详解】由题)2cos 2cos 2sin 24πθθθ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭22222cos sin 2sin cos cos sin θθθθθθ-+=+221tan 2tan 1tan θθθ-+==+.故答案为10【点睛】本题考查两角和与差的余弦公式，正切齐次式求值，熟记公式，准确化为二次齐次式是关键，是中档题15.已知正实数x 、y 满足()()1216x y ++=，则4x y +的最小值为______. 【答案】10 【解析】 【分析】由()()44126x y x y +=+++-⎡⎤⎣⎦结合基本不等式求解即可【详解】由()()44126x y x y +=+++-⎡⎤⎣⎦610≥=（当且仅当1x =，6y =时取“=”）.故答案为10【点睛】本题考查了变形利用基本不等式的性质，准确配凑出定值是关键，属于基础题． 16.已知函数()23,145,1x x f x x x x ⎧-+<=⎨-+≥⎩，()()()ln g x x a a R =+∈，若函数()()y f x g x =-恰有4个零点，则实数a 的取值范围是______.【答案】()34,e【解析】 【分析】画出函数()f x 的图像，讨论()y g x =图象与其相交的临界位置求解即可【详解】由()()23,121,1x x f x x x ⎧-+<⎪=⎨-+≥⎪⎩，则函数()f x 简图如图所示：若函数()()y f x g x =-恰有4个零点，则函数()y g x =图象所在的临界位置恰好在虚线所在的函数①②的位置.（1）当函数()y g x =处于①的位置时，点()0,3在函数()y g x =的图象上，有()0ln 3g a ==，得3a e =；（2）当函数()y g x =处于②的位置时，此时函数()y g x =与直线3yx 相切，设切点P 的坐标为()00,x y ，有()00000113ln x a y x y x a ⎧=⎪+⎪⎪=+⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得：00304x y a =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，由（1）（2）知实数a 的取值范围是()34,e . 故答案为()34,e【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，考查导数的应用，考查数形结合以及一元二次函数，对数函数的性质进行求解，注意临界位置的考查．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos cos sin sin 13A B A B C -=.（1）求角C 的大小；（2）若ABC ∆的面积为323c =，求+a b 的值. 【答案】（1）3C π=（2）6a b +=【解析】 【分析】（1）利用两角和的余弦公式及内角和定理得cos 13C C -=，由二倍角公式得2cos cos 222C C C=，进而求得C; （2）利用面积公式得8ab =，结合余弦定理得()2220a b ab +-=，则+a b 可求【详解】（1）∵()cos 1A B C +=，∴cos 1C C -=，22cos 11cos 222C C C ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，2cos cos 222C C C =.∵0C π<<，故tan23C =，26C π=，3C π=.（2）由ABC ∆的面积为3C π=，知1sin 232ABCS ab C ∆，∴8ab =，由余弦定理知2222cos 12c a b ab C =+-=，故2220a b +=，()2220a b ab +-=， 解得6a b +=.【点睛】主要考查两角差的余弦公式、利用正余弦定理解三角形等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想．18.已知函数())22sin cos 0f x x x x ωωωω=->的图象与直线2y =-的相邻两个交点之间的距离为1. （1）求函数()f x 的增区间； （2）当1163x -≤≤时，求函数()f x 的最大值、最小值及相应的x 的值. 【答案】（1）()15,1212k k k Z ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.（2）112x =-时，函数()f x 的最小值为-2；13x =时，函数()f x . 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式化简()f x =2sin 23x πω⎛⎫- ⎪⎝⎭，进而得1T =及ωπ=则解析式可求； （2）由1163x -≤≤得22333x ππππ-≤-≤，利用正弦函数的图像及性质得值域即可 【详解】（1）由()())2sin 22cos 1f x x x ωω=-()()sin 222sin 23x x x πωωω⎛⎫==- ⎪⎝⎭.由函数()f x 的图象与直线2y =-的相邻两个交点之间的距离为1，有1T =，有212πω=，得ωπ=，故()2sin 23f x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 令()222232k x k k Z ππππππ-≤-≤+∈，得()151212k x k k Z -≤≤+∈. 故函数()f x 的增区间为()15,1212k k k Z ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦. （2）当1163x -≤≤时，22333x ππππ-≤-≤. 则当232x πππ-=-，即112x =-时，函数()f x 的最小值为-2；当233x πππ-=，即13x =时，函数()f x .【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质（对称性、周期性、单调性）、两角差的正弦公式，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想． 19.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S n n =+. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令12n n n b a -=⋅，若数列{}n b 的前n 项和为n T ，求满足258n T =的正整数n 的值.【答案】（1）2n a n =（2）5 【解析】 分析】（1）利用112a S ==，当2n ≥时，12n n n a S S n -=-=求得通项 （2）由错位相减求和即可 【详解】（1）由题112a S ==.当2n ≥时，()()()221112n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=⎣⎦.由12a =符合2n a n =，故数列{}n a 的通项公式为2n a n =.（2）由1222n nn b n n -=⨯=⋅，212222n n T n =⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅()23121222122n n n T n n +=⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+⋅作差得：23122222n n n T n +-=+++⋅⋅⋅+-⋅得：()()112122222112n n n n nT n n ++-=⋅-=⋅---得：()1122n n T n +=-⋅+，又()()211122122120n n n n n T T n n n ++++-=⋅+--⋅-=+>故数列{}n T 单调递增，且65422258T =⨯+=，故满足258n T =的正整数n 的值只有一个为5.【点睛】本题考查数列的通项和前n 项和的关系，考查错位相减求和，准确计算是关键，属于中档题．20.已知函数()()22log 1log f x ax x =--．（1）若关于x 的方程()22log 0f x x -=有解，求实数a 的最小整数值；（2）若对任意的1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）2（2）10,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】（1）化简方程得21a x x=+，问题转化为求()21g x x x =+的最小值，对()g x 求导，分析导函数的正负得()g x 的单调性，从而得出()g x 的最小值，可得解；（2）分析函数()f x 的定义域和单调性，得出()f x 在[],1t t +的最小值和最大值，由已知建立不等式2211log log 11a a t t ⎛⎫⎛⎫---≤ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，再构造新函数，求导分析其函数的单调性，得其最值，从而得解.【详解】（1）()22log 0f x x -=化为()22log 13log ax x -=，0x ∴>，31ax x -=，21a x x∴=+．令()21g x x x =+，0x >，则()3'2212120x g x x x x -=-=>，x >()g x ∴的单调减区间为⎛ ⎝，单调增区间为⎫+∞⎪⎪⎭，()g x g ≥=33212>，332732244=<=，12∴<<． a ∴的最小整数值为2．（2）()2221log (1)log log f x ax x a x ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭，0x >，10ax ->，1x a >．．0a ∴>，()f x 的定义域为1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭，且()f x 在()0,∞+是增函数． 则1t a >，()f x 在[],1t t +上的最大值为()211log 1f t a t ⎛⎫+=- ⎪+⎝⎭，最小值为()21log f t a t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．由题意知2211log log 11a a t t ⎛⎫⎛⎫---≤ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，11021a a t t ⎛⎫∴<-≤- ⎪+⎝⎭． 211a t t ∴≥-+， 令()211h t t t =-+，()()()22'2222212(1)101211t t h t t t t t t -+⎛⎫=-+=<≤≤ ⎪⎝⎭++． ()h t ∴在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，()h t ∴最大值为12104233h ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭．103a ∴≥，112a <，a ∴的取值范围是10,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．【点睛】本题综合考查运用导函数分析原函数的单调性、最值解决求参数的范围等问题，解决问题的关键是构造函数，对其求导，分析导函数的正负，得其构造函数的单调性和最值，属于难度题.21.已知函数()()ln 21f x x a x =-+，a R ∈. （1）当()20,x e∈时，()f x 有2个零点，求a 的取值范围；（2）若不等式()2f x ax <-恒成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）21111,222a e e ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭（2）(]1,0- 【解析】 【分析】（1）分离参数构造新函数()ln xh x x=，求导求最值即可得a 的取值范围 （2）不等式()2f x ax <-，得()221ln 0ax a x x -++<，构造函数()()221ln g x ax a x x =-++，求导讨论a 的正负确定函数的最值即可求解【详解】（1）()20,x e ∈时，由()0f x =得ln 21xa x+=， 令()ln x h x x =，则()21ln 'xh x x -=， 0x e <<时，()'0h x >，x e >时，()'0h x <.∴()h x 在(]0,e 上是增函数，在[),e +∞上是减函数， 又()10h =，()1h e e=，()222h e e =，∴当22121a e e <+<时，()f x 在()20,e 上有2个零点，∴21111,222a e e ⎛⎫∈--⎪⎝⎭. （2）因为不等式()2f x ax <-即为()2ln 21x a x ax -+<-， 得()221ln 0ax a x x -++<，设()()221ln g x ax a x x =-++，则不等式()2f x ax <-等价于()0g x <.从而()()()222111'221ax a x g x ax a x x-++=-++=()()211ax x x --=，0x >. 当0a ≤时，()0,1x ∈时，()'0g x >；()1,x ∈+∞时，()'0g x <， 所以函数()g x 在区间()0,1上单调递增，在区间()1,+∞上单调递减，此时()()max 11g x g a ==--.由题意，若()0g x <恒成立，则()max 0g x <，即10a --<，解得1a >-. 所以10a -<≤； 当0a >时，存在12x a=+使得()21411124212ln 2g a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++-++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11144422ln 2a a a a a ⎛⎫=++----++ ⎪⎝⎭1ln 20a ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭. 故不可能满足()0g x <恒成立. 综上，实数a 的取值范围是(]1,0-.【点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，准确求得最值是关键，是一道综合题．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.以平面直角坐标系xOy 的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，C 的极坐标方程为8cos ρθ=. （1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）经过点()1,1Q 作直线l 交曲线C 于M ，N 两点，若Q 恰好为线段MN 的中点，求直线l 的方程.【答案】（1）228x y x +=.（2）320x y --=.【解析】【分析】（1）由8cos ρθ=，得28cos ρρθ=即可得直角坐标方程；（2）直线l 的方程为()11y k x -=-，利用QC MN ⊥得1QC k k ⋅=-求解即可【详解】（1）由8cos ρθ=，得28cos ρρθ=，根据公式cos sin x yρθρθ=⎧⎨=⎩，得228x y x +=，故曲线C 的直角坐标方程是228x y x +=.（2）设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为()11y k x -=-. 而曲线C ：228x y x +=化为标准方程是()22416x y -+=， 故圆心()4,0C .因为Q 恰好为线段MN 的中点， 所以QC MN ⊥.所以1QC k k ⋅=-，即01141k -⋅=--，解得3k =. 故直线l 的方程是()131y x -=-，即320x y --=.【点睛】本题考查极坐标方程与普通方程的转化，考查圆的几何性质，根据Q 恰好为线段MN 的中点转化为1QC k k ⋅=-是关键，是基础题23.已知函数()231f x x m =--+-，()3132g x x x =++-. （1）解不等式()7g x >；（2）若12,x x R ∀∈，都有()()12f x g x <恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）()4,1,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭.（2）()4,-+∞ 【解析】 【分析】（1）利用零点分段去绝对值解不等式即可；（2）先求得两函数的最值，转化为()()max min f x g x <求解即可 【详解】（1）由()7g x >，得31327x x ++->， ①当1x <-时，()()31327x x -+-->，得43x <-； ②当213x -≤≤时，()()31327x x +-->，得57>，即x ∈∅； ③当23x >时，()()31327x x ++->，得1x >； 综上，不等式()7g x >解集是()4,1,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭. （2）若12,x x R ∀∈，都有()()12f x g x <恒成立， 则()()max min f x g x <， 而()max 1f x m =-，易知()31323332g x x x x x =++-=++-()33325x x ≥+--=，当且仅当()()33320x x +-≤等号成立则()min 5g x =.则15m -<，解得4m >-. 故实数m 的取值范围是()4,-+∞.【点睛】本题考查函数恒成立，绝对值不等式的解法，考查分类讨论，正确运用绝对值不等式求得函数的最值是关键，是中档题。

赤峰二中2014级高三上学期第二次月考理科数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟 第Ⅰ卷（选择题，共60分）一．选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1.若集合[]{},065,3,22=+-==x x x B A 则=B A ( )A {}3,2 .B φC . 2D .[]3,22.若复数z 满足i zi +=1，则z 的共轭复数是（ ）A .i --1 .B i +1C i +-1D i -13.若函数()⎩⎨⎧>-≤+=0,420,22x x x x f x，则()()1f f 的值为（ ）A 10- .B 10C 2-D 24.已知向量与的夹角为3π，()10,2===-（ ） A 3 .B 32 C 2 D 45.设函数()=x f ()为自然对数的底数e e xx32-，则使()1<x f 成立的一个充分不必要条件是（ ） A 10<<x .B 40<<x C 30<<x D 43<<x6.各项均为正数的等差数列{}n a 中，3694=a a ，则前12项和12S 的最小值为（ ）A 78 .B 48C 60D 727.实数y x ,满足⎩⎨⎧≤+≥10y x xy ，使y ax z +=取得最大值的最优解有两个，则11++=y ax z 的最小值为（ ）A 0 .B 2-C 1D 1-8.在ABC ∆中，D 为BC 的中点，ABD G ∆为的重心，记==,，则=( )A b a 3121+ .B b a 3121+-C b a 3132+-D b a 6121+-9.在ABC ∆中,角C B A ,,所对的边c b a ,,，若ca c B 22sin 2-=，则ABC ∆的形状一定是（ ）A 直角三角形 .B 锐角三角形C 等腰三角形D 钝角三角形10.若实数0,0>>b a ，且121=+b a ，则当82ba +的最小值为m 时，函数()1ln -=-x e x f mx 的零点个数为（ ）A 0 .B 1C 2D 311.函数()⎪⎭⎫⎝⎛+=6sin πωx A x f ()0>ω的图像与x 轴的交点的横坐标构成一个公差为2π的等差数列，要得到函数()x A x g ωcos =的图像，只需将()x f 的图像A 向左平移6π个单位长度 .B 向右平移3π个单位长度 C 向左平移32π个单位长度 D 向右平移32π个单位长度 12．已知R b a ∈,,函数()x x f t a n =在4π-=x 处与直线2π++=b ax y 相切，设()a bx e x g x ++=，若在区间[]2,1上，不等式()22-≤≤m x g m 恒成立，则实数m（ ）A 有最小值e - .B 有最小值22+eC 有最大值1-D 有最大值1+e第Ⅱ卷 （非选择题，共90分） 二．填空题 （本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13.若函数()xx x f 1+=，则()=⎰dx x f e 1__________14.若534cos =⎪⎭⎫⎝⎛-απ，则=α2sin __________ 15.已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2112123,2++=-=n nn n a S a S S ，则=n a __________16.在ABC ∆中，2,332sin==∠AB ABC ,点D 在线段AC 上，且334,2==BD DC AD ,则=C cos __________三．解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，写在答题纸的相应位置） 17. （本题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n项和为n S ，数列{}n b 是等比数列，满足1,311==b a ，325222,10a b a S b =-=+。

赤峰二中2023级高一上学期第二次月考数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．3．不等式02<-x 成立的一个必要不充分条件是（）9x x +．．．．已知函数()(2,x f x a x ⎧-⎪=⎨⎪⎩上的增函数，则实数．(]1,2B ．．()1,2二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．1．若，则三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.写出一个同时具有下列三个性质的函数：()f x =________．①()f x 为幂函数;②()f x 为偶函数;③()f x 在(0),-∞上单调递减．14.已知函数(),1,321,22⎩⎨⎧>-≤-=x x x x x f x 则()1->x f 的解集为。

18.已知集合{}{}.123,0862+≤≤-=≤+-=m x m x B x x x A （1）若A B ⊆，求实数m 的取值范围；（2）在①,A C B C R R ⊆②A x ∈是B x ∈的充分条件，③φ=⋂B C A R 中任选一个作为已知，求实数m 的取值范围。

19.为摆脱美国芯片禁令带来的供应链断裂问题，加强自主性，华为计划加大对旗下的海思芯片设计公司研发部的投入，据了解，该公司研发部原有100名技术人员，年人均投入60万元，现将这100名技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员x 名()*x ∈N ，调整后研发人员的年人均投入增加4x %，技术人员的年人均投入调整为26025x m ⎛⎫- ⎪⎝⎭万元。

（1）要使这100-x 名研发人员的年总投入不低于调整前的100名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数x 最多为多少人？（2）若技术人员在已知范围内调整后，必须使研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入，求出正整数m 的最大值。

内蒙古赤峰二中2021届上学期高三年级第二次月考数学试卷（理科）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上。

本试卷考试时间：120分钟；满分150分。

2．作答时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U =R ，集合{}220M x N x x =∈-≤，{}21xA y y ==+，则()U M C A ⋂=（ ）A ．{}1B ．{0,1}C ．{0,1,2}D ．{}01x x ≤≤2．已知复数z 满足()12i 34i z -=+，其中i 为虚数单位，则||z 为（ ） A ．1BC ．2D3．以下有关命题的说法错误．．的是（ ） A ．命题“若220x x --=，则1x =-”的逆否命题为“若1x ≠-，则220x x --≠” B ．“220x x +-=”是“1x =”成立的必要不充分条件C ．对于命题0:p x R ∃∈，使得20010x x -+<，则:p x R ⌝∀∈，均有210x x -+≥D ．若p q ∨为真命题，则p ⌝与q 至少有一个为真命题)(,5 ,2ln ,2log .4213则设-===c b ac b a << .A a c b << .B b a c << .C a b c << .D5如图，在ABC 中，点D 是边BC 的中点，2AG GD =，则用向量,AB AC 表示BG 为（ ）A ．2133BG AB AC =-+ B ．1233BG AB AC =-+ C ．2133BG AB AC =- D ．2133BG AB AC =+ 6．已知函数()(3)5(1)2log (1)a a x x f x a x x -+≤⎧=⎨->⎩对于任意12x x ≠都有1212()()0f x f x xx -<-成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1,3]（ B ．1,3（） C ．1,2]（ D ．1,2（）7．函数()21cos 1xf x x e ⎛⎫=-⎪+⎝⎭图象的大致形状是（ ） A ． B ．C ．D ．8．已知函数1()sin (0)62f x x πωω⎛⎫=--> ⎪⎝⎭，若函数()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有且只有两个零点，则ω的取值范围为（ ） A ．2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2,23⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．142,3⎛⎤⎥⎝⎦D ．142,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭9．已知ABC ∆中，3,2,4,AB BC AC G ===为ABC ∆的外心，则=⋅BC AG （ ）27.A25.B 25.C -27.D -10．过抛物线()2:20C x py p =>的焦点F 的直线交该抛物线于A B 、两点，若3AF BF =，O 为坐标原点，则AFOF=（ ） A ．43B ．34C ．4D ．5411．已知点()222210,0y x a b a b-=>>1F 2F 是12PF F △的内心，且2121F MF MPF MPF S S S ∆∆∆+=，则双曲线的离心率为（ ） A ．2BC ．3D112．若关于x 的方程10x x xx em e x e+++=+有三个不等的实数解123,,x x x ,且1230x x x <<<,其中m R ∈, 71828.2=e 为自然对数的底数,则3122312x x x x x x m m m e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为（ ） A ．eB ．2eC ．()42m m +D ．()41m m +二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

内蒙古自治区赤峰市大板蒙古族中学2021年高二数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在正方体中，下列几种说法正确的是（）A、B、C、与成角D、与成角参考答案：D2. 已知的值为（）A．0.1 B．0.2C．0.3 D．0.4参考答案：A略3. 命题：“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是()A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1 B．若－1<x<1，则x2<1C．若x>1或x<－1，则x2>1 D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1参考答案：D4. （）A．2 B．6 C．10 D．8参考答案：B【考点】67：定积分．【分析】首先找出被积函数的原函数，然后代入积分上限和下限求值．【解答】解：（x2+x）|=6；故选B．5. 把函数的图像向左平移个单位，所得图像的解析式是（）A． B． C． D．参考答案：B略6. ，则等于（）A. 32B. -32C. -33D. -31参考答案：D【分析】先令x=0得1=.再令x=-1即得解.【详解】令x=0得1=.令x=-1得32=,所以.故选：D【点睛】本题主要考查二项式定理求系数和差的值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.7. 双曲线上一点P，设为双曲线的左焦点，为双曲线的右焦点，,则的面积为（）A．8 B．16 C．5 D． 4参考答案：B略8. 在空间直角坐标系中，已知定点,.点在轴上，且满足，则点的坐标为（）A. B. C.D.参考答案：C9. 函数的单调递减区间为( ）.A.(0,1)B.(－1,1)C.(－∞,－1)D. (－∞,－1)∪(1,+∞)参考答案：A10. 设抛物线的顶点在原点，准线方程为x=﹣2，则抛物线的方程是（）A．y2=﹣8x B．y2=8x C．y2=﹣4x D．y2=4x参考答案：B【考点】抛物线的标准方程．【分析】根据准线方程求得p，则抛物线的标准方程可得．【解答】解：∵准线方程为x=﹣2∴=2∴p=4∴抛物线的方程为y2=8x故选B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 点P（x，y）在直线x+y﹣4=0上，则x2+y2的最小值是．参考答案：8【考点】直线与圆的位置关系；两点间距离公式的应用．【分析】x2+y2的最小值，就是直线到原点距离的平方的最小值，求出原点到直线的距离的平方即可．【解答】解：原点到直线x+y﹣4=0的距离．点P（x，y）在直线x+y﹣4=0上，则x2+y2的最小值，就是求原点到直线的距离的平方，为：故答案为：8【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查等价转化的数学思想，是基础题．12. 已知函数则不等式的解集是_______________。

赤峰二中 2022级高三上学期第二次月考数学试题一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 已知全集U =R ，集合{}50,2x A x B x x x ⎧⎫-=<=>⎨⎬⎩⎭，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A. {}25x x << B. {}25x x ≤<C. {}02x x << D. {}02x x <≤【答案】D 【解析】【分析】确定集合A ，然后根据文氏图的概念及集合的运算求解．【详解】由题意5{|0}{|05}x A x x x x-=<=<<，{|2}U B x x =≤ð阴影部分为{|02}U A B x x =<≤ ð.故选：D ．2. 命题“3[0,),0x x x ∀∈+∞+≥”的否定是 （ ）A. 3(,0),0x x x ∀∈-∞+< B. 3(,0),0x x x ∀∈-∞+≥C. [)30,,0x x x ∞∃∈++< D. 3[0,0x x x ∃∈+∞+≥),【答案】C 【解析】【分析】利用全称量词命题的否定判断即可.【详解】命题“3[0,),0x x x ∀∈+∞+≥”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，所以命题“3[0,),0x x x ∀∈+∞+≥”的否定是[)30,,0x x x ∞∃∈++<.故选：C3. 已知0a b c >>>，则下列不等式正确的是（ ）A 2a c b+> B. 2b ac> C. ()()110a b --> D. ()()a c a b c b->-【答案】D 【解析】【分析】运用特殊值判断A,B,C,运用不等式性质推断D.【详解】取4a =，3b =，1c =，则2a c b +<，故A 错误；取5a =，2b =，1c =，则2b ac <，故B 错误；取2a =，12b =，则()()110a b --<，故C 错误；因为0a b c >>>，所以a c b c ->-，所以()()a c a b c b ->-，故D 正确．故选：D4. 设0.13592,lg ,log 210a b c ===，则（ ）．A. b c a >> B. b a c>> C. a c b>> D. a b c>>【答案】D 【解析】【分析】依题意可得1a >，01b <<，0c <，进而可得结果.【详解】因为0.10221a =>=，50lg lg1012b <=<=，339log log 1010c =<=，所以a b c >>.故选：D.5. 数列{}n a 满足11a =，且对于任意的n *∈N 都满足 131nn n a a a +=+，则数列{}1n n a a +的前n 项和为（ ）A.131n + B.31+n n C.132n - D.32n n -【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，利用构造法求出数列{}n a 的通项，再利用裂项相消法求和即可.【详解】依题意，由131n n n a a a +=+，得1113n n a a +=+，故数列1{}na 是首项为1，公差为3的等差数列，所以113(1)32n n n a =+-=-，则111111((32)(31)33231n n a a n n n n +==--+-+，.所以数列{}1n n a a +的前n 项和为11111111111[((()((1)31447710323133131n n n n n -+-+-++-=-=-+++ .故选：B6. 中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经研究可知：在室温25C 下，某种绿茶用85C 的水泡制，经过min x 后茶水的温度为C y ，且()0.9227250,R xy k x k =⋅+≥∈.当茶水温度降至60C 时饮用口感最佳，此时茶水泡制时间大约为（ ）（参考数据：ln20.69,ln3 1.10,ln7 1.95,ln0.92270.08≈≈≈≈-）A. 6min B. 7minC. 8minD. 9min【答案】B 【解析】【分析】根据初始条件求得参数k ，然后利用已知函数关系求得口感最佳时泡制的时间x ．【详解】由题意可知，当0x =时，85y =，则8525k =+，解得60k =，所以600.922725x y =⨯+，当60y =时，60600.922725x =⨯+，即70.922712x=，则0.92277ln7ln 7ln1212log 12ln 0.9227ln 0.9227x -===ln 72ln 2ln 3 1.9520.69 1.107ln 0.92270.08---⨯-=≈≈-，所以茶水泡制时间大的为7 min.故选：B.7.函数||()1x f x e =--的大致图象为A.B.C. D.【答案】C 【解析】分析】先研究函数的奇偶性，得到()f x 是偶函数，研究当0x ≥时函数的单调性，又(0)0f =，即得解.【详解】||||()2||12||1()x x f x e x e x f x --=---=--= 故()f x 是偶函数，当0x ≥时，()21x f x e x =--，()2x f x e '=-，令()0f x '>，解得ln 2x >；令()0f x '<，解得ln 2x <即()f x 在(0,ln 2)上单调递减，在(ln 2,)+∞上单调递增，又(0)0f =，故选：C【点睛】本题考查了通过函数的奇偶性，单调性研究函数的图像和性质，考查了学生综合分析，数形结合的能力，属于中档题.8. 若定义在R 上的函数()f x 满足()()4()2f x x f f ++=，()21f x +是奇函数，11()22f =则（ ）A.17111(22k f k =-=-∑B. 1711()02k f k =-=∑C. 171117()22k kf k =-=-∑ D.171117()22k kf k =-=∑【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，求出函数()f x 的周期，及(1)(1)0f x f x -+++=和(2)()0f x f x ++=，再逐项计算判断得解.【详解】由()4(()2)f f f x x ++=，得()4((24))f x x f f +++=，则(4)()f x f x +=，即函数()f x 的周期为4，【由(21)f x +是R 上的奇函数，得(21)(21)f x f x -+=-+，即(1)(1)0f x f x -+++=，于是13()()022f f +=，5751()()(()02222f f f f +=+-=，即1357(()()()02222f f f f +++=，因此17113571()()(2()](1622222111()4[()22k f k f f f f f f =-==++++=+∑，AB 错误；由()4((24))f x x f f +++=，取0x =，得(2)0f =，则(4)(0)(2)0f f f ==-=，因此(2)()0f x f x ++=，取32x =，得37((022f f +=，于是1357135737(2(3()4()[(()]3[()()](()022********f f f f f f f f f f +++=+++++=，则17113571()2(3()4(17(162222117()4[222k k f f f f f f k =++=+-=++∑，C 错误，D 正确.故选：D【点睛】思路点睛：涉及抽象函数等式问题，利用赋值法探讨函数的性质，再借助性质即可求解.二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题求的，全部选对的得6分，有选错的得0分)9. 已知p ：260x x +-=；q ：10ax +=.若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的值可以是（ ）A. ﹣2B. 12-C.13D. 13-【答案】BC 【解析】【分析】根据集合关系将条件进行化简，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论.【详解】由题意得{: 3 2}p A =-，，当0a =时，q B =∅：，当0a ≠时，1q B a ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭：，因为p 是q 的必要不充分条件，所以B ￿ A ，所以0a =时满足题意，当13a -=-或12a -=时，也满足题意，解得13a =或12a =-，故选：BC【点睛】本题考查利用集合间的关系判断命题间充分必要条件，属于中档题.10. 已知0,0a b >>且2a b +=， 则下列不等式恒成立的是（ ）.A. ²²a b +的最小值为2B. 12a b+的最小值为3+C. ab 的最大值为 1D.的最大值为2【答案】ACD 【解析】【分析】配方后使用基本不等式可判断A ；利用常数代换可判断B ；直接使用基本不等式可判断C ；先利用基本不等式求2的最大值，然后可判断D .【详解】对A ，()22²²24222a b a b a b ab +⎛⎫+=+-≥-= ⎪⎝⎭，当且仅当1a b ==时等号成立，A 正确；对B ，()(1211212133222b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当21b a a b a b ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，即1,2a b =-=-时等号成立，B 错误；对C ，212a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当1a b ==时等号成立，C 正确；对D，()224a b a b =++≤+=，当且仅当1a b ==时等号成立，2≤，D 正确故选：ACD11. 设正项等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，则下列选项正确的是（ ）A. 4945S S q S =+B. 若20252020T T =，则20231a =C. 若194a a =，则当2246a a +取得最小值时，1a =D. 若21()n n n a T +>，则11a <【答案】AB 【解析】【分析】由前n 项和的定义以及等比数列性质分析判断A ；由题意结合等比数列性质分析判断B ；根据题意.结合基本不等式知：当且仅当462a a ==时，2246a a +取得最小值，进而可得结果判断C ；举反例说明即可D.【详解】由数列{}n a 为正项等比数列，得10,0,0n a q T >>>，对于A ，9123456789S a a a a a a a a a =++++++++()4441234545S q a a a a a S q S =+++++=+，即4945S S q S =+，A 正确；对于B ，由20252020T T =，得5202520212022202320242025202320201T a a a a a a T =⋅⋅⋅⋅==，则20231a =，B 正确；对于C ，由19464a a a a ==，得22446628a a a a +≥=，当且仅当462a a ==时取等号，若2246a a+取得最小值，则462a a ==，即34156122a a q a a q ⎧==⎨==⎩，解得121a q =⎧⎨=⎩，C 错误；对于D ，例如11,2a q ==，则12n n a -=，()101112121222222n n n n n nT a a a --++⋅⋅⋅+-=⋅⋅⋅=⨯⨯⋅⋅⋅⨯==，得22(1)2221()(2)2,[2]2n n n n nn nnn naT --+====，而*n ∈N ，22n n n >-，则2222n n n->，即21()n n n a T +>，符合题意，但11a =，D 错误.故选：AB【点睛】关键点点睛：本题判断选项D 的真假，构造符合条件的数列，计算判断是关键.三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分． 把答案填在题中横线上)12. 若曲线e x y =在点(0,1)处的切线也是曲线()ln 1y x a =++的切线，则a =_________.【答案】1【解析】【分析】先求出曲线e x y =在(0,1)的切线方程，再设曲线()ln 1y x a =++的切点为0(x ,0ln(1))x a ++，求出y '，利用公切线斜率相等求出0x 表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解【详解】由e x y =，得e x y '=，001|e x y ==='，故曲线e x y =在(0,1)处的切线方程为1y x =+；由()ln 1y x a =++，得11y x '=+，设切线与曲线ln(1)y x a =++相切的切点为0(x ,0ln(1))x a ++，由两曲线有公切线得0111y x '==+，解得00x =，则切点为(0,)a ，切线方程为y x a =+，根据两切线重合，解得1a =．故答案为：1．13. 已知[]x 表示不超过x 的最大整数，如[1.3]1=，[ 1.5]2-=-，[3]3=.若1111222x x ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，则x 的取值范围是_________.【答案】[)1,3【解析】【分析】依题意可得则112x +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦且11022x ⎡+⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，从而得到不等式组，解得即可.【详解】解：依题意，因为1111222x x ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，若102x +⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦，则11022x ⎡+⎤⎡⎤≤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，不符题意；若122x +⎡⎤≥⎢⎥⎣⎦，则11122x ⎡+⎤⎡⎤≥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，不符题意；若112x +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则11022x ⎡+⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，满足条件，则1122x +≤<.解得13x ≤<，即[)1,3x ∈.故答案为：[)1,3.【点睛】本题考查新定义运算，不等式的解法，属于中档题.14. 已知实数()()1,0ln 1,0x e x f x x x x -⎧>⎪=⎨⎪-≤⎩，若关于x 的方程()()2340f x f x t -+=有四个不同的实数根，则t 的取值范围为___________.【答案】[)0,1【解析】【分析】画出f(x)的图象，根据图象特点，要想方程()()2340fx f x t -+=有四个不同的实数根，需要令()f x m =，这样2340m m t -+=有两个不同的实数根1m ，2m ，且11m >，201m ≤<，才会有四个交点.【详解】当0x ≤时，()()ln 1f x x =-，单调递减，当0x >时，()1x e f x x -=，()()121x e x f x x --'=，当1x >时，()0f x ¢>，()1x ef x x-=单调递增，当01x <<时，()0f x ¢<，()1x ef x x-=单调递减，在1x =时，f(x)取得最小值，()11f =画出f(x)的图象如图所示：令()f x m =，则方程为2340m m t -+=，要想方程()()2340fx f x t -+=有四个不同的实数根，结合f(x)的图象可知需要满足：2340m m t -+=有两个不同的实数根1m ，2m ，且11m >，201m ≤<，令()234g m m m t =-+，则()()161201000t g g ∆=->⎧⎪<⎨⎪≥⎩ ，解得：01t ≤<t 的取值范围[)0,1故答案为：[)0,1【点睛】函数零点的求解与判断方法：（1）直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.已知()sin cos 0,πθθθ+=∈.（1）求sin cos θθ-的值；（2）求()()cos 22025πtan 2025πθθ+++的值.【答案】（1）sin cos θθ-=（2）115-【解析】【分析】（1）已知式平方后，结合平方关系确定sin ,cos θθ的符号后，再利用平方关系求得sin cos θθ-；（2）（1）小题结论与已知联立方程组解得sin ,cos θθ，由商数关系得tan θ，再利用诱导公式、二倍角公式化简变形后求值．【小问1详解】因为sin cos θθ+=22(sin cos )5θθ+=，所以212sin cos 5θθ+=，即32sin cos 05θθ=-<.因为()0,πθ∈，则sin 0θ>，所以cos 0,sin cos 0θθθ<->，因为28(sin cos )12sin cos 5θθθθ-=-=，所以sin cos θθ-=【小问2详解】由sin cos sin cos θθθθ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得sin θθ==，所以sin tan 3cos θθθ==-；所以()()229111cos 22025πtan 2025πcos2tan sincos tan 310105θθθθθθθ+++=-+=-+=--=-.16. 已知数列{}n a 的前n 项和为{}n S ，其中11a =，且112n n a S -=.（1）求{}n a 的通项公式.（2）设n n b na =，求{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）21,113,222n n n a n -=⎧⎪=⎨⎛⎫⋅≥ ⎪⎪⎝⎭⎩ （2）132(2)(2n n T n -=+-⋅【解析】【分析】（1）根据题意，得到2n ≥时，132n n a a +=，再由211122a S ==，结合等比数列的通项公式，即可求解；（2）由（1）得到21,113,222n n nb n n -=⎧⎪=⎨⎛⎫⋅⋅≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，结合乘公比错位法求和，即可求解.【小问1详解】由112n n a S -=，可得12n n a S -=，则12n n a S +=，两式相减，可得122n n n a a a +-=，即123n n a a +=，又由211111222a S a ===，易知0n a ≠，所以当2n ≥时，132n n a a +=，所以数列{}n a 的通项公式为21,113,222n n n a n -=⎧⎪=⎨⎛⎫⋅≥ ⎪⎪⎝⎭⎩.【小问2详解】因为n n b na =，可得21,113,222n n n b n n -=⎧⎪=⎨⎛⎫⋅⋅≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，则01221313131312(3(4(()22222222n n T n -=+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅++⋅⋅ ，所以123133131313132(3(4((2222222222n n T n -=+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅++⋅⋅ ，两式相减得12321111333313[()()()()]()222222222n n n T n ---=+++++-⋅⋅212133[1()]11131331322([1()](322222222212n n n n n n -----=+⨯-⋅⋅=-⋅--⋅⋅-，所以21133313[()1]()2(2)(222n n n n T n n ---=--⋅-+⋅=+-⋅.17. 已知函数31()3x x f x a+=+为奇函数．（1）解不等式()2f x >；（2）设函数33()log log 39x x g x m =⋅+，若对任意的1[3,27]x ∈，总存在2(0,1]x ∈，使得12()()g x f x =成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）(0,1)；（2）94m ≥.【解析】【分析】（1）根据奇偶性的定义直接可得参数值，化简不等式，结合指数函数性质解不等式.（2）由（1）可得2()f x 的值域A ，再利用换元法设3log t x =，可得1()g x 的值域B ，根据B A ⊆，列不等式可得解.【小问1详解】函数31()3x x f x a+=+中，30x a +≠，由()f x 是奇函数，得()()0f x f x +-=，即3131033x x x x a a--+++=++，整理得(1)(332)0x x a -+++=，解得1a =-，函数312()13131x x x f x +==+--定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，由()2f x >，得21231x +>-，即2131x >-，整理得0312x <-<，解得01x <<，所以不等式()2f x >的解集为(0,1).【小问2详解】因为函数31x y =-在(]0,1上单调递增，故当01x <≤时，0312x <-≤，由（1）得31()31+=-x x f x 在(0,1]x ∈的值域[2,)A =+∞，又3333g 39()log log (log 1)(lo 2)x x g x m x x m =⋅+=--+，[3,27]x ∈设3log t x =，则[]1,3t ∈，2(1)(2)32y t t m t t m =--+=-++，当32t =时，min 14y m =-+，当3x =时，max 2y m =+，因此函数()g x 在[3,27]x ∈上的值域1[,2]4B m m =-++，由对任意的1[3,27]x ∈，总存在2(0,1]x ∈，使得12()()g x f x =成立，得B A ⊆，于是124m -+≥，解得94m ≥，所以实数m 的取值范围是94m ≥.18. 已知函数()2ln f x x mx =-，()212g x mx x =+，R m ∈，令()()()F x f x g x =+.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若关于x 的不等式()1F x mx ≤-恒成立，求整数m 的最小值.【答案】（1）答案见解析（2）2【解析】【分析】（1）求导，分0m ≤与0m >分类讨论，然后利用导函数的正负来确定单调性即可；（2）构造函数()()()()211ln 112G x F x mx x mx m x =--=-+-+，利用导数求函数()G x 的最大值，然后将恒成立问题转化为最值问题即可；【小问1详解】因为()()2ln 0f x x mx x =->，所以()21122mx f x mx x x -='=-，当0m ≤时，()0f x '>，所以()f x 在区间(0,+∞)上单调递增；当0m >时，令()0f x '>，即2120mx ->，又0x >，解得0x <<令()0f x '<，即2120mx -<，又0x >，解得x >，综上，当0m ≤时，()f x 的增区间为(0,+∞)，无减区间；当0m >时，()f x的增区间为⎛⎝，减区间为∞⎫+⎪⎪⎭【小问2详解】令()()()()211ln 112G x F x mx x mx m x =--=-+-+，所以()()()21111mx m x G x mx m x x-+-+=-+-='．当0m ≤时，因为x >0，所以()0G x '>．所以()G x 在()0,∞+上是单调递增函数，又因为()()2131ln11112022G m m m =-⨯+-+=-+>，所以关于x 不等式()0G x ≤不能恒成立，即关于x 的不等式()1F x mx ≤-不能恒成立．当m >0时，()()()21111m x x mx m x m G x x x ⎛⎫--+ ⎪-+-+⎝⎭=='．令()0G x '=，得1x m =，所以当10,x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0G x '>；当1,x m ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()0G x '<．因此函数()G x 在10,x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭是增函数，在1,x m ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭是减函数．故函数()G x 的最大值为()2111111ln 11ln 22G m m m m m m m m ⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．令()1ln 2h m m m =-，()2112h m m m=-'-，当()0,m ∞∈+时，()0h m '<所以()h m 在()0,m ∞∈+上是减函数，又因为()1102h =>，()12ln204h =-<，所以当2m ≥时，()0h m <，所以()0G x <恒成立，即()1F x mx ≤-恒成立所以整数m 的最小值为2．的【点睛】关键点点睛：第（1）小问的关键是分0m ≤与0m >进行分类讨论，第（2）的关键是通过移项构造函数()()21=ln 112G x x mx m x -+-+，把恒成立问题转化为求函数()G x 的最值问题.19. 对于任意正整数n ，进行如下操作：若n 为偶数，则对n 不断地除以2，直到得到一个奇数，记这个奇数为n a ；若n 为奇数，则对31n +不断地除以2，直到得出一个奇数，记这个奇数为n a .若1n a =，则称正整数n 为“理想数”.（1）求20以内的质数“理想数”；（2）已知9m a m =-.求m 的值；（3）将所有“理想数”从小至大依次排列，逐一取倒数后得到数列{}n b ，记{}n b 的前n 项和为n S ，证明：()*7N 3n S n <∈.【答案】（1）2和5为两个质数“理想数”（2）m 的值为12或18（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据“理想数”概念，结合列举法可解；（2）分析题意知道9m a m =-必为奇数，则m 必为偶数，结合整除知识得解；（3）将数列适当放缩，后分组，结合等比数列求和公式计算即可.【小问1详解】20以内的质数为2,3,5,7,11,13,17,19，212=，故21a =，所以2为“理想数”；33110⨯+=，而1052=，故3不是“理想数”；35116⨯+=，而41612=，故5是“理想数”；37122⨯+=，而22112=，故7不是“理想数”；311134⨯+=，而34172=，故11不是“理想数”；313140⨯+=，而4058=，故13不是“理想数”；317152⨯+=，而52134=，故17不是“理想数”；319158⨯+=，而58292=，故19不是“理想数”；2∴和5为两个质数“理想数”；【小问2详解】由题设可知9m a m =-必为奇数，m ∴必为偶数，∴存在正整数p ，使得92p m m =-，即9921p m =+-：921p ∈-Z ，且211p -≥，211p ∴-=，或213p -=，或219p -=，解得1p =，或2p =，1991821m ∴=+=-，或2991221m =+=-，即m 的值为12或18．【小问3详解】显然偶数"理想数"必为形如()*2k k ∈N 的整数，下面探究奇数"理想数"，不妨设置如下区间：((((022*******,2,2,2,2,2,,2,2k k -⎤⎤⎤⎤⎦⎦⎦⎦ ，若奇数1m >，不妨设(2222,2k k m -⎤∈⎦，若m 为"理想数"，则(*3112s m s +=∈N ，且)2s >，即(*213s m s -=∈N ，且)2s >，①当(*2s t t =∈N ，且)1t >时，41(31)133t t m -+-==∈Z ；②当()*21s t t =+∈N 时，2412(31)133t t m ⨯-⨯+-==∉Z ；(*413t m t -∴=∈N ，且)1t >，又22241223t k k --<<，即1344134k t k -⨯<-≤⨯，易知t k =为上述不等式的唯一整数解，区间(2222,2k k -]存在唯一的奇数"理想数"(*413k m k -=∈N ，且)1k >，显然1为奇数"理想数"，所有的奇数"理想数"为()*413k m k -=∈N ，∴所有的奇数"理想数"的倒数为()*341k k ∈-N ，1133134144441k k k ++<=⨯--- 1212123111111222521n n n n S b b b b b b b +⎛⎫⎛⎫∴=+++<+++++<+++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21111171111124431124⎛⎫<⨯++++<+⨯= ⎪⎝⎭-- ，即()*73n S n <∈N ．【点睛】知识点点睛：本题属于新定义的题目，综合了整除，数列的放缩，分组求和和等比数列公式.属于难题.。

内蒙古自治区赤峰市阿鲁科尔沁旗昆都高中2021-2022学年高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.“”是“”的（）A．充分必要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既非充分也非必要条件参考答案：答案：B2. （5分）（2013?兰州一模）已知动点P到两定点A、B的距离和为8，且|AB|=4，线段AB的中点为O，过点O的所有直线与点P的轨迹相交而形成的线段中，长度为整数的有（）B略3. 已知直线与平行，则的值是A.1或3B.1或5C.3或5D.1或2参考答案：C若，则两直线为，，此时两直线平行，所以满足条件。

当时，要使两直线平行，则有，即，解得，综上满足条件的值为或，选C. 4. 对于函数，下列说法正确的是（）A．该函数的值域是B．当且仅当时，C．当且仅当时，该函数取最大值1D.该函数是以为最小正周期的周期函数参考答案：B5. 已知抛物线上点到焦点的距离为3,则点到轴的距离是（）A. B.1 C. D.2参考答案：C6. 在所在的平面上有一点，满足，则与的面积之比是（）高考资源网A ．B ．C ．D ．参考答案：C略7. 若函数的定义域是，则函数的定义域是（）A．B． C．D．参考答案：B略8. 若直线被圆所截的弦长不小于2，则与下列曲线一定有公共点的是A． B．． C. D．参考答案：B略9. 若方程在（-1，1）上有实根，则的取值范围为（）A． B． C． D．参考答案：C10. 程序框图如图所示，当输入的值为5时，输出的值恰好是，则在空白的赋值框处应填入的关系式可以是(A) (B) (C) (D)参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若的展开式中，二项式系数之和为各项系数之和为则的值为 . 参考答案：略12.在极坐标系中，圆的极坐标方程是。

现以极点为原点，以极轴为轴的正半轴建立直角坐标系，则圆的半径是，圆心的直角坐标是。