河南省郑州市2012届高三第一次质量预测

河南省郑州市2012届高三第一次质量预测数 学 试 题（文）试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

考试时间120分钟，满分150分。

考 生应首先阅读答题卡上的文字信息。

然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效。

参考公式：样本数据n x x x ,,21的标准差锥体体积公式])()()[(122221x x x x x x nS n -++-+-=Sh V 31=其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式球的表面积、体积公式Sh V =3234,4R V R S ππ==其中S 为底面面积，h 为高其中R 为球的半径第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 。

1．集合{0,1,2},{|12}A B x x ==-<<，则A B =（ ）A ．{0}B ．{1}C ．{0，1}D ．{0，1，2}2．如果复数212bii -+（其中i 为虚数单位，b 为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b 等于（ ）A ．23-B ．23C ．2D ．23．函数221()log x f x x-=的定义域为（ ）A ．(0,)+∞B ．(1,)+∞C ．(0,1)D ．(0,1)(1,)+∞4．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．45．设F 1，F 2是双曲线22124y x -=的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且1213||4||,||PF PF PF =则=（ ）A ．8B ．6C ．4D ．26．已知某程序框图所示，则执行该程序后输出的结果是（ ） A ．2 B ．1C ．-1D ．127．若实数x ，y 满足10,0,0.x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则23x yz +=的最小值是（ ）A ．0B ．1C ．3D ．98．在ABC ∆中，若AB AB AC BA CA CB =⋅++⋅，则ABC ∆是（ ）A ．等边三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．直角三角形 9．函数2sin()cos()44y x x ππ=+-图像的一条对称轴是（ ）A ．8x π=B ．4x π=C ．2x π=D ．x π=10．如图，过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B 交其准线于点C ，若||2||BC BF =，且||3AF =，则此抛物线的方程为（ ）A ．29y x = B ．26y x =C ．23y x =D ．23y x =11．双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率是2，则213b a+的最小值为（ ）A ．33B ．1C ．233D ．212．定义在（-1，1）上的函数()f x 满足：()()()1x yf x f y f xy--=-，当(1,0)x ∈-时，有()0.f x >若111()(),(),(0)5112p f f Q f R f =+=-，则P ，Q ，R 的大小关系为 （ ）A ．R Q P >>B ．R P Q >>C ．P R Q >>D ．Q P R >>第II 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若直线12:20:2(1)10l ax y l x a y +=+++=和垂直，则实数a 的值为 。

14．定义在R 上的函数()f x 是增函数，则满足()(23)f x f x <-的x 的取值范围是 。

15．在ABC ∆中，已知a ，b ，c 分别为,,A B C ∠∠∠所对的边，S 为ABC ∆的面积，若向量222(4,)p a b c =+-，(3,)q S =满足//p q ，则C ∠= 。

16．在三棱锥A —BCD 中，AB=CD=6，AC=BD=AD=BC=5，则该三棱锥的外接球的表面积为 。

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分） 已知等差数列{}n a 满足：2239,14.a a a =+= （1）求{}n a 的通项公式；（2）若2n an n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和.n S18．（本小题满分12分） 第30届夏季奥运会将于2012年7月27日在伦敦举行，当地某学校招募了8名男志愿者和12名女志愿者。

将这20名志愿者的身高编成如下茎叶图（单位：cm ）：若身高在180cm 以上（包括180cm ）定义为“高个子”，身高在180cm 以下（不包括180cm ）定义为“非高个子”。

（1）求8名志愿者的平均身高和13名女志愿者身高的中位数；（2）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？19．（本小题满分12分） 如图，在四棱锥中S —ABCD 中，AB AD ⊥，AB//CD ，CD=3AB=3，平面SAD ⊥平面ABCD ，E 是线段AD 上一点，3AE ED ==，.SE AD ⊥（1）证明：平面SBE ⊥平面SEC ；（2）若SE=1，求三棱锥E —SBC 的高。

20．（本小题满分12分） 在ABC ∆中，顶点A （-1，0），B （1，0），动点C ，E 满足： ①0DA DB DC ++=；②||3||3||EC EA EB ==；③DE AB 与共线。

（1）求ABC ∆顶点C 的轨迹方程；（2）若斜率为1直线l 与动点C 的轨迹交于M ，N 两点，且0OM ON ⋅=，求直线l 的方程。

21．（本小题满分12分） 设函数()ln (1),.f x x p x p R =--∈ （1）当p=1时，求函数()f x 的单调区间；（2）设函数2()()(21),(1)g x xf x p x x x =+--≥，求证：当12p ≤时，有()0g x ≤成立。

请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。

做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑。

22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲 如图，锐角ABC ∆的内心为I ，过点A 作直线BI 的垂线，垂足为H ，点E 为内切圆I 与边CA的切点。

（1）求证：四点A ，I ，H ，E 共圆； （2）若50C ∠=︒，求IEH ∠的度数。

23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为3x a ty t⎧=+⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点 ，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为4cos .ρθ=（1）求圆C 在直角坐标系中的方程；（2）若圆C 在直线l 相切，求实数a 的值。

24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数()||2|1|().f x x a x a R =---∈ （1）当3a =时，求函数()f x 的最大值； （2）解关于x 的不等式()0.f x ≥参考答案一、选择题1—12 CADBA CBDBC CB 二、填空题 13．12-； 14．()3,+∞； 15．3π； 16．43π．三、解答题17．解：（I ）设{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则由5269,14,a a a =+=得1149,2614,a d a d +=⎧⎨+=⎩…………2分解得11,2.a d =⎧⎨=⎩…………4分所以{}n a 的通项公式2 1.n a n =- …………6分（II ）由21n a n =-得21212n n b n -=-+． …………8分[]()13521135(21)2222n n S n -=++++-+++++…10分()22122221222123n n n n +--=+=+-． …………12分 18．解：（Ⅰ）8名男志愿者的平均身高为168176177178183184187191180.5(cm)8+++++++=；…3分12名女志愿者身高的中位数为175．…………6分 （Ⅱ）根据茎叶图，有“高个子”8人，“非高个子”12人， 用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是51204=， 所以选中的“高个子”有1824⨯=人，设这两个人为A,B ； “ 非高个子”有11234⨯=人, 设这三个人C,D,E ．……8分 从这五个人A,B ，C,D,E 中选出两个人共有：（A,B ）,（A,C ）,（A,D ）,（A,E ）,（B,C ）,（B,D ）,（B,E ）,（C,D ）,（C,E ）,（D,E ）十种不同方法； …………10分 其中至少有一人是“高个子”的选法有：（A,B ）,（A,C ）,（A,D ）,（A,E ）,（B,C ）,（B,D ）,（B,E ）七种．因此，至少有一人是“高个子”的概率是107．…………12分19．（Ⅰ）证明:平面SAD ⊥平面ABCD ,平面SAD平面ABCD AD =,SE ⊂平面SAD ，SE AD ⊥，SE ∴⊥平面ABCD ． …………2分BE ⊂平面,ABCD .SE BE ∴⊥AB AD ⊥，//AB CD ，3CD AB ==3, AE =ED30,60.AEB CED ∴∠=∠=所以90BEC ∠=即.BE CE ⊥…………4分 结合SECE E =得BE ⊥平面SEC ,BE ⊂平面SBE ， ∴平面SBE ⊥平面SE C ．…………6分（Ⅱ）如图，作EF ⊥BC 于F ,连结SF ．由BC ⊥SE ,SE 和EF 相交得， BC ⊥平面SEF ,由BC 在平面SBC 内，得平面SEF ⊥平面SB C ． 作EG ⊥SF 于G , 则EG ⊥平面SB C ．即线段EG 的长即为三棱锥E -SBC 的高．…………9分 由SE =1，BE =2，CE=BC =4，EF在Rt SEF ∆中，ES EF EG SF ⋅==, 所以三棱锥E -SBC的高为2．…………12分 20．解：（I ）设C （x,y ）,由0DA DB DC ++=得，动点D 的坐标为,33x y ⎛⎫⎪⎝⎭； 由EA EB =得，动点E 在y 轴上，再结合DE 与AB 共线，得，动点E 的坐标为0,3y ⎛⎫⎪⎝⎭; …………2分 由3EC EA =的，=…………4分整理得，221273y x +=． 因为ABC ∆的三个顶点不共线，所以0y ≠．故ABC ∆顶点C 的轨迹方程为221(0)273y x y +=≠．…………6分 （II ）设直线l 方程为y x m =+，代入椭圆的方程得22102270x mx m ++-=, 设M ()11,x y ，N ()22,x y ，则ESDCB A F G2222122440(27)2440(27),m m m m m m x x -±---±--==, 所以12212,527,10m x x m x x ⎧+=-⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩（*）…………8分 由0OM ON ⋅=，得1212x x y y +=0，即212121212()()2()0x x x m x m x x m x x m +++=+++=,将式子（*）代入上式，得2275m =，即3155m =±．综上，直线l 的方程为31531555y x y x =+=-或．…………12分 21．解：（I ）当p =1时，()ln 1f x xx ，其定义域为()0,+∞．所以1()1f x x'=-． …………2分 由1()10f x x'=->得01x <<， 所以()f x 的单调增区间为()0,1；单调减区间为()1,+∞．………5分 （II ）由函数22()()(21)ln (1)g x xf x p x x x x p x =+--=+-, 得()ln 12,g x x px '=++ …………7分 由（I ）知，当p =1时，()(1)0f x f ≤=，即不等式1ln -≤x x 成立． …………９分 所以当12p ≤-时，()ln 12(1)12(12)0g x x px x px p x '=++≤-++=+≤， 即g （x ）在[)+∞,1上单调递减，从而()(1)0g x g ≤=满足题意． …………12分22．证明：（Ⅰ）由圆I 与边AC 相切于点E ，得IE ⊥AE ; …………２分结合IH ⊥AH ,得90.AEI AHI ∠=∠= 所以，四点A ,I ,H ,E 共圆．…………５分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知四点A ,I ,H ,E 共圆，得，IEH HAI ∠=∠; …………７分 在HIA ∆中,11111()(180)90.22222HIA ABI BAI B A B A C C ∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠=-∠=-∠结合IH ⊥AH ,得1902HAI HIA C ∠=-∠=∠；所以12IEH C ∠=∠．由50C ∠=，得，25.IEH ∠= …………10分 23．解（Ⅰ）由4cos ρθ=得24cos ρρθ=，…………２分结合极坐标与直角坐标的互化公式cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得224x y x +=，即22(2) 4.x y -+=…………５分（Ⅱ）由直线l 的参数方程()x a t y t⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数化为普通方程得，0x a -=． …………７分 结合圆C 与直线l 2=，解得26a =-或． …………10分24．解：（Ⅰ）当a =3时，1,(3)()32135,(13)1,(1)x x f x x x x x x x --≥⎧⎪=---=-+<<⎨⎪+≤⎩…………３分所以，当x =1时，函数f （x ）取得最大值2． …………５分 （Ⅱ）由()0f x >得21x a x -≥-, 两边平方得：()()2241x a x -≥-,即2232(4)40x a x a +-+-≤， …………７分 得()(2)(3(2))0x a x a ---+≤． 所以，①当1a >时，不等式的解集为22,3a a +⎛⎫- ⎪⎝⎭； ②当1a =时，不等式的解集为{}1x x =；③当1a <时，不等式的解集为2,23a a +⎛⎫- ⎪⎝⎭． …………10分。