河南省郑州市2016届高三第一次质量检测数学(文)试卷

2016届高三上学期第一次月考数学（文）试题Word版含答案2016届高三上学期第一次月考数学文试卷考试时间120分钟，满分150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合M ＝{x |x ≥0，x ∈R }，N ＝{x |x 2<1，x ∈R }，则M ∩N 等于( ) A ．[0,1] B ．[0,1) C ．(0,1]D ．(0,1)2．已知集合A ＝{1,2}，B ＝{1，a ，b }，则“a ＝2”是“A ?B ”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知命题p ：所有有理数都是实数；命题q ：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是( ) A ．﹁p 或q B ．p 且q C ．﹁p 且﹁qD ．﹁p 或﹁q4．设函数f (x )＝x 2＋1，x ≤1，2x ，x >1，则f (f (3))等于( )A.15B ．3C.23D.1395．函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2)6．已知函数f (x )为奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 2＋1x ，则f (－1)等于( )A ．－2B ．0C ．1D ．27. 如果函数f (x )＝x 2－ax －3在区间(－∞，4]上单调递减，则实数a 满足的条件是( ) A ．a ≥8 B ．a ≤8 C ．a ≥4D ．a ≥－48. 函数f (x )＝a x －2＋1(a >0且a ≠1)的图像必经过点( ) A ．(0,1) B ．(1,1) C ．(2,0)D ．(2,2)9. 函数f (x )＝lg(|x |－1)的大致图像是( )10. 函数f (x )＝2x ＋3x 的零点所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1)D ．(1,2)11. 设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0的值为( ) A ．e 2B ．eC.ln22D ．ln212. 函数f (x )的定义域是R ，f (0)＝2，对任意x ∈R ，f (x )＋f ′(x )>1，则不等式e x ·f (x )>e x ＋1的解集为( )．A ．{x |x >0}B ．{x |x <0}C ．{x |x <－1或x >1}D ．{x |x <－1或0<1}<="" p="">二、填空题：本大题共4小题，每题5分．13. 已知函数y ＝f (x )及其导函数y ＝f ′(x )的图像如图所示，则曲线y ＝f (x )在点P 处的切线方程是__________．14. 若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2和3，则不等式af (－2x )>0的解集是________． 15. 函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为________．16. 若方程4－x 2＝k (x －2)＋3有两个不等的实根，则k 的取值范围是________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.(10分) 化简：(1)3131421413223b a b a ab b a -(a >0，b >0)；(2)(－278)23-＋(0.002)12-－10(5－2)－1＋(2－3)0.18．(12分)已知函数f (x )＝1a －1(a >0，x >0)，(1)求证(用单调性的定义证明)：f (x )在(0，＋∞)上是增函数； (2)若f (x )在[12，2]上的值域是[12，2]，求a 的值．19．（12分）已知定义在R 上的奇函数f (x )有最小正周期2，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1.(1)求f (1)和f (－1)的值； (2)求f (x )在[－1,1]上的解析式．20．（12分）已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4,6]． (1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数；(3)当a ＝1时，求f (|x |)的单调区间． 21．（12分）已知函数f (x )＝x 3＋x －16. (1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标； 22．（12分）已知函数f (x )＝x 3－3ax －1，a ≠0. (1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在x ＝－1处取得极值，直线y ＝m 与y ＝f (x )的图像有三个不同的交点，求m 的取值范围．2016届高三上学期第一次月考数学答题卡一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，每小题有一个正确答案）13、 14、15、 16、三、解答题17.(10分) 化简：(1)131421413223b a b a ab b a -(a >0，b >0)；(2)(－278)23-＋(0.002)12-－10(5－2)－1＋(2－3)0.18．(10分)已知函数f (x )＝1a －1x(a >0，x >0)，(1)求证(用单调性的定义证明)：f (x )在(0，＋∞)上是增函数； (2)若f (x )在[12，2]上的值域是[12，2]，求a 的值．19．（12分）已知定义在R 上的奇函数f (x )有最小正周期2，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1.(1)求f (1)和f (－1)的值； (2)求f (x )在[－1,1]上的解析式．20．（12分）已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；21．（13分）已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数；(3)当a＝1时，求f(|x|)的单调区间．22．（13分）已知函数f(x)＝x3－3ax－1，a≠0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图像有三个不同的交点，求m的取值范围．2016届高三上学期第一次月考数学文试卷参考答案1．B2.A3.D4.D5.D6.A7.A8.D9.B10.B11.B12.A13. x －y －2＝0 14. {x |－32<1}<="" p="">15. (0,1] 16. (512，34]17. 解 (1)原式＝121311113233211212633311233().a b a b abab ab a b+-++----==(2)原式＝(－278)23-＋(1500)12-－105－2＋1＝(－827)23＋50012－10(5＋2)＋1＝49＋105－105－20＋1＝－1679. 18. (1)证明设x 2>x 1>0，则x 2－x 1>0，x 1x 2>0，∵f (x 2)－f (x 1)＝(1a －1x 2)－(1a －1x 1)＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2>0，∴f (x 2)>f (x 1)，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数． (2)解∵f (x )在[12，2]上的值域是[12，2]，又f (x )在[12，2]上单调递增，∴f (12)＝12，f (2)＝2.易得a ＝25.19. 解(1)∵f (x )是周期为2的奇函数，∴f (1)＝f (1－2)＝f (－1)＝－f (1)，∴f (1)＝0，f (－1)＝0. (2)由题意知，f (0)＝0. 当x ∈(－1,0)时，－x ∈(0,1)．由f (x )是奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－2－x4－x ＋1＝－2x4x ＋1，综上，在[－1, 1]上，f (x )＝2x4x ＋1，x ∈(0，1)，－2x 4x＋1，x ∈(－1，0)，0，x ∈{－1，0，1}.20．解 (1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，∵x ∈[－4,6]，∴f (x )在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增，∴f (x )的最小值是f (2)＝－1，又f (－4)＝35，f (6)＝15，故f (x )的最大值是35. (2)∵函数f (x )的图像开口向上，对称轴是x ＝－a ，∴要使f (x )在[－4,6]上是单调函数，应有－a ≤－4或－a ≥6，即a ≤－6或a ≥4. (3)当a ＝1时，f (x )＝x 2＋2x ＋3，∴f (|x |)＝x 2＋2|x |＋3，此时定义域为x ∈[－6,6]，且f (x )＝?x 2＋2x ＋3，x ∈(0，6]，x 2－2x ＋3，x ∈[－6，0]，∴f (|x |)的单调递增区间是(0, 6]，单调递减区间是[－6,0]．21.解 (1)可判定点(2，－6)在曲线y ＝f (x )上．∵f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1.∴f ′(x )在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13. ∴切线的方程为y ＝13(x －2)＋(－6)，即y ＝13x －32.(2)法一设切点为(x 0，y 0)，则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1，∴直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16，又∵直线l 过点(0,0)，∴0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16，整理得，x 30＝－8，∴x 0＝－2，∴y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k ＝3×(－2)2＋1＝13. ∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26.) 法二设直线l 的方程为y ＝kx ，切点为(x 0，y 0)，则k＝y0－0x0－0＝x30＋x0－16x0又∵k＝f′(x0)＝3x20＋1，∴x30＋x0－16x0＝3x2＋1，解之得x0＝－2，∴y0＝(－2) 3＋(－2)－16＝－26，k＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．22.解(1)f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)，当a<0时，对x∈R，有f′(x)>0，∴当a<0时，f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)．当a>0时，由f′(x)>0，解得x<－a或x>a.由f′(x)<0，解得－a<x<a，< p="">∴当a>0时，f(x)的单调增区间为(－∞，－a)，(a，＋∞)，单调减区间为(－a，a)．(2)∵f(x)在x＝－1处取得极值，∴f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0，∴a＝1.∴f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3，由f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝1.由(1)中f(x)的单调性可知，f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，在x＝1处取得极小值f(1)＝－3.∵直线y＝m与函数y＝f(x)的图像有三个不同的交点，结合如图所示f(x)的图像可知：实数m的取值范围是(－3,1)．</x<a，<>。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作河南省郑州市2016年高三第一次质量预测考试理科数学（时间120分钟 满分150分）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．1．（2016郑州一测）设全集*U {N 4}x x =∈≤，集合{1,4}A =，{2,4}B =，则()U A B =ð（ ）A ．{1,2,3}B ．{1,2,4}C ．{1,3,4}D ．{2,3,4}【答案】A【解析】注意全集U 是小于或等于4的正整数，∵{4}AB =，∴(){1,2,3}U A B =ð． 2．（2016郑州一测） 设1i z =+（i 是虚数单位），则2z=（ ）A ．iB ．2i -C ．1i -D ．0【答案】C【解析】直接代入运算：221i 1iz ==-+． 3．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若sin 3cos b aAB =，则cos B =（ ） A ． 12-B ．12C ． 32- D ．32【答案】B【解析】由正弦定理，得：sin 3cos ba A B =，∴sin sin sin 3cos B A A B =． ∴tan 3B =，0B π<<，∴3B π=，1cos 2B =．4．（2016郑州一测）函数()cos xf x e x =在点(0,(0))f 处的切线斜率为（ ） A ．0B ．1-C ． 1D ．22【答案】C【解析】()cos sin x x f x e x e x '=-， ∴0(0)(cos 0sin 0)1k f e '==-=．5．（2016郑州一测）已知函数1()()cos 2xf x x =-，则()f x 在[0,2]π上的零点的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】画出1()2x y =和cos y x =的图象便知两图象有3个交点，∴()f x 在[0,2]π上有3个零点．6．（2016郑州一测）按如下的程序框图，若输出结果为273，则判断框？处应补充的条件为（ ）A ．7i >B ．7i ≥C ．9i >D ．9i ≥【答案】B【解析】135333273++=．7．（2016郑州一测）设双曲线22221x y a b-=的一条渐近线为2y x =-，且一个焦点与抛物线24y x=的焦点相同，则此双曲线的方程为（ ） A ．225514x y -= B ．225514y x -= C ．225514x y -= D ．225514y x -= 【答案】C【解析】∵抛物线的焦点为(1,0)．∴22212c b ac a b=⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩解得221545a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．8． 正项等比数列{}n a 中的14031,a a 是函数321()4633f x x x x =-+-的极值点，则20166loga =（ ）A ．1B ．2C ．2D ． 1-【答案】A【解析】∵()86f x x x '=-+，∴140318a a ⋅=，∴220166a =， ∵20160a >，∴20166a =，20166log1a =．9．（2016郑州一测） 如图是一个四面体的三视图，这三个视图均是腰长为2的等腰直角三角形，正视图和俯视图的虚线是三角形的中线，则该四面体的体积为（ ） A ．23B ．43C ．83D ．2【答案】A【解析】四面体的直观图如图， ∴112(12)2323V =⨯⨯⨯⨯=．开始结束是否1i =0S =3iS S =+2i i =+?S输出ABDC10．（2016郑州一测）已知函数4()f x x x =+，()2xg x a =+，若11[,3]2x ∀∈，2[2,3]x ∃∈使得12()()f x g x ≥，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1a ≤B ．1a ≥C ．0a ≤D ．0a ≥【答案】C【解析】∵1[,3]2x ∈，4()24f x x x≥⋅=， 当且仅当2x =时，min ()4f x =．[2,3]x ∈时，∴2min ()24g x a a =+=+． 依题意min min ()()f x g x ≥，∴0a ≤．11．（2016郑州一测）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F 、2F ，过点2F 的直线与椭圆交于,A B 两点，若1F AB ∆是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（ ） A ． 22B ． 23-C ．52-D ．63-【答案】D【解析】设1212,F F c AF m ==，若1F AB ∆是以A 为直角顶点的等腰直角三角形， ∴1AB AF m ==，12BFm =．由椭圆的定义可知1F AB ∆的周长为4a ， ∴422a m m =+，2(22)m a =-． ∴22(222)AF a m a =-=-． ∵2221212AF AF F F +=，∴222224(22)4(21)4a a c -+-=，∴2962e =-，63e =-．12．（2016郑州一测）已知函数222,0()2,0x x x f x x x x ⎧-+≥⎪=⎨- <⎪⎩，若关于x 的不等式2[()]()0f x af x +<恰有1个整数解，则实数a 的最大值是（ ）A ．2B ．3C ．5D ．8【答案】D【解析】∵不等式2[()]()0f x af x +<恰有1个整数解， 当()0f x >时，则0a <，不合题意； 当()0f x <时，则2x >．依题意22[(3)](3)0[(4)](4)0f af f af ⎧+<⎪⎨+≥⎪⎩， xy–1–212345678–1–2–31234∴9306480a a -<⎧⎨-≥⎩，∴38a <≤，故选D ．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分． 13．二项式62()x x-的展开式中，2x 的系数是_______． 【答案】60【解析】662166(2)(2)r r r r r r rr T C x x C x ---+=-=-，令622r -=，解得2r =，∴2x 的系数为226(2)60C -=．14．若不等式222x y +≤所表示的平面区域为M ，不等式组0026x y x y y x -≥⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩表示的平面区域为N ，现随机向区域N 内抛一粒豆子，则豆子落在区域M 内的概率为________． 【答案】24π【解析】211(2)42124382OABP S πππ∆⨯===⨯⨯．15．ABC ∆的三个内角为,,A B C ，若3c o s s i n 7t a n ()123sin cos A A A Aπ+=--，则2c o s s i n2B C +的最大值为________． 【答案】32【解析】tantan73143tan()tan()124331tan tan 143πππππππ++-=-+==--， ∴3cos sin 731tan()123sin cos 31A A A A π++=-=--， xyB (2,2)A (6,6)–1123456–11234567O∴sin cos A A =，∴4A π=．332cos sin 22cos sin 2()2cos sin(2)42B C B B B B ππ+=+-=+- 22cos cos 22cos 12cos B B B B =-=+-1332(cos )222B =--+≤．16．已知点(0,1)A -，(3,0)B ，(1,2)C ，平面区域P 是由所有满足AM AB AC λμ=+(2,m λ<≤2)n μ<≤的点M 组成的区域，若区域P 的面积为16，则m n +的最小值为________．【答案】422+【解析】设(,)M x y ，(3,1),(1,3)AB AC ==， ∵AM AB AC λμ=+，∴(,1)(3,1)(1,3)(3,3)x y λμλμλμ+=+=++．∴313x y λμλμ=+⎧⎨+=+⎩，∴318338x y x y λμ--⎧=⎪⎪⎨-++⎪=⎪⎩，∵2,2m n λμ<≤<≤，∴31283328x y m x y n --⎧<≤⎪⎪⎨-++⎪<≤⎪⎩，即1738113383x y m x y n <-≤+⎧⎨<-+≤-⎩∴1738113383x y m x y n <-≤+⎧⎨<-+≤-⎩表示的可行域为平行四边形，如图：由317313x y x y -=⎧⎨-+=⎩，得(8,7)A ，由381313x y m x y -=+⎧⎨-+=⎩，得(32,2)B m m ++，OyxD C BA x +3y =8n 3x +3y =133x y =8m +13x y =17∴22(36)(2)(2)10AB m m m =-+-=-⋅, ∵(8,7)A 到直线383x y n -+=-的距离81610n d -=， ∴816(2)101610n AB d m -⋅=-⋅⋅=， ∴(2)(2)2m n -⋅-=， ∴2222(2)(2)()2m n m n -+-=-⋅-≤，∴2(4)8m n +-≥，422m n +≥+.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明及演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的首项为11a =，前n 项和n S ，且数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为2的等差数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若(1)nn n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【解析】（1）由已知得1(1)221nS n n n=+-⨯=-， ∴22n S n n =-．当2n ≥时，2212[2(1)(1)]43n n n a S S n n n n n -=-=-----=-．11413a S ==⨯-，∴43n a n =-，*n ∈N ．（2）由⑴可得(1)(1)(43)n n n n b a n =-=--． 当n 为偶数时，(15)(913)[(45)(43)]422n nT n n n =-++-++⋅⋅⋅+--+-=⨯=， 当n 为奇数时，1n +为偶数112(1)(41)21n n n T T b n n n ++=-=+-+=-+，综上，2,2,,21,21,.n n n k k T n n k k **⎧ =∈⎪=⎨-+=-∈⎪⎩N N18．（本小题满分12分）某中药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、下周二两天内采摘完毕，基地员工一天可以完成一处种植区的采摘．由于下雨会影响药材品质，基地收益如下表所示： 周一 无雨 无雨 有雨 有雨 周二无雨有雨无雨有雨收益 20万元 15万元 10万元 7.5万元若基地额外聘请工人，可在周一当天完成全部采摘任务．无雨时收益为20万元；有雨时，收益为10万元．额外聘请工人的成本为a 万元．已知下周一和下周二有雨的概率相同，两天是否下雨互不影响，基地收益为20万元的概率为0.36． （1）若不额外聘请工人，写出基地收益X 的分布列及基地的预期收益； （2）该基地是否应该外聘工人，请说明理由． 【解析】（1）设下周一有雨的概率为p ， 由题意，20.36,0.6p p ==，基地收益X 的可能取值为20,15,10,7.5，则(20)0.36P X ==，(15)0.24P X ==， (10)0.24P X ==，(7.5)0.16P X ==∴基地收益X 的分布列为：()200.36150.24100.247.50.1614.4E X =⨯+⨯+⨯+⨯=，∴基地的预期收益为14.4万元．（2）设基地额外聘请工人时的收益为Y 万元，则其预期收益()200.6100.416E Y a a =⨯+⨯-=-（万元），()() 1.6E Y E X a -=-，综上，当额外聘请工人的成本高于1.6万元时，不外聘工人； 成本低于1.6万元时，外聘工人；成本恰为1.6万元时，是否外聘工人均可以．X 20 15 107.5 p0.36 0.24 0.240.1619．（本小题满分12分）如图，矩形CDEF 和梯形A B C D 所在的平面互相垂直，90BAD ADC ∠=∠=，12AB AD CD ==，BE DF ⊥．（1）若M 为EA 中点，求证：AC ∥平面MDF ；（2）求平面EAD 与平面EBC 所成二面角的大小． 【解析】（1）证明：设EC 与DF 交于点N ，连接MN ，在矩形CDEF 中，点N 为EC 中点， ∵M 为EA 中点，∴MN ∥AC ，又∵AC ⊄平面MDF ，MN ⊂平面MDF ， ∴AC ∥平面MDF ． （2）∵平面CDEF ⊥平面ABCD ，平面CDEF平面ABCD CD =，DE ⊂平面CDEF ，DE CD ⊥，∴DE ⊥平面ABCD ．以D 为坐标原点，建立如图空间直角坐标系， 设DA a =，DE b =，(,,0),(0,0,),(0,2,0),(0,2,)B a a E b C a F a b ， (,,),(0,2,),(,,0)BE a a b DF a b BC a a =--==-， ∵BE DF ⊥，∴22(,,)(0,2,)20BE DF a a b a b b a ⋅=--⋅=-=，2b a =．设平面EBC 的法向量(,,)x y z =m ，则00BE BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m ，即200ax ay az ax ay ⎧--+=⎪⎨-+=⎪⎩，取1x =，则(1,1,2)=m ，注意到平面EAD 的法向量(0,1,0)=n ，--10分 而1cos ,||||2⋅<>==⋅m n m n m n ，∴平面EAD 与EBC 所成锐二面角的大小为60．FD MACBE y zxFD M AC B E N20．（本小题满分12分）已知点(1,0)M -，(1,0)N ，曲线E 上任意一点到点M 的距离均是到点N 的距离的3倍． （1）求曲线E 的方程；（2）已知0m ≠，设直线1:10l x my --=交曲线E 于,A C 两点，直线2:0l mx y m +-=交曲线E 于,B D 两点，,C D 两点均在x 轴下方．当CD 的斜率为1-时，求线段AB 的长． 【解析】（1）设曲线E 上任意一点坐标为(,)x y ，由题意，2222(1)3(1)x y x y ++=-+，整理得22410x y x +-+=，即22(2)3x y -+=为所求．（2）由题知12l l ⊥ ，且两条直线均恒过点(1,0)N ， 设曲线E 的圆心为E ，则(2,0)E ，线段CD 的中点为P ，则直线EP ：2y x =-, 设直线CD ：y x t =-+，由2y x y x t =-⎧⎨=-+⎩，得22(,)22t t P +-，由圆的几何性质，221||||||||2NP CD ED EP ==-，而22222||(1)()22t t NP +-=-+，2||3ED =，22|2|||()2t EP -=， 解之得0t =或3t =，又,C D 两点均在x 轴下方，直线CD ：y x =-．由22410,,⎧+-+=⎨=-⎩x y x y x 解得21,2212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 或21,22 1.2⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩x y 不失一般性，设2222(1,1),(1,1)2222C D --+--， 由22410(1)x y x y u x ⎧+-+=⎨=-⎩，得2222(1)2(2)10u x u x u +-+++=，⑴方程⑴的两根之积为1，∴点A 的横坐标22A x =+，∵点22(1,1)22C --在直线1:10l x my --=上，解得21m =+， 直线1:(21)(1)l y x =--，∴(22A +．同理可得，(22,1)B -，∴线段AB 的长为22．21．（2016郑州一测）设函数21()ln 2f x x m x =-，2()(1)g x x m x =-+，0m >． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）当1m ≥时，讨论函数()f x 与()g x 图象的交点个数．【解析】（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞， ()()()x m x m f x x+-'=， 当0x m <<时，()0f x '<，函数()f x 的单调递减， 当x m >时，()0f x '>，函数()f x 的单调递增．综上，函数()f x 的单调增区间是(,)m +∞，减区间是(0,)m ．（2）令21()()()(1)ln ,02F x f x g x x m x m x x =-=-++->， 问题等价于求函数()F x 的零点个数，(1)()()x x m F x x--'=-， 当1m =时，()0F x '≤，函数()F x 为减函数， 注意到3(1)02F =>，(4)ln 40F =-<，∴()F x 有唯一零点． 当1m >时， 01x <<或x m >时，()0F x '<，1x m <<时，()0F x '>，∴函数()F x 在(0,1)和(,)m +∞单调递减，在(1,)m 单调递增，注意到1(1)02F m =+>，(22)ln(22)0F m m m +=-+<， ∴()F x 有唯一零点．综上，函数()F x 有唯一零点，即两函数图象总有一个交点．请考生在22-24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．把答案填在答题卡上．22．（2016郑州一测）如图，BAC ∠的平分线与BC 和ABC ∆的外接圆分别相交于D 和E ，延长AC 交过,,D E C 的三点的圆于点F ．（1）求证：EC EF =；（2）若2ED =，3EF =，求AC AF ⋅的值．【解析】（1）证明：∵ECF CAE CEA CAE CBA ∠=∠+∠=∠+∠，EFC CDA BAE CBA ∠=∠=∠+∠， AE 平分BAC ∠，∴ECF EFC ∠=∠，∴EC EF =．（2）∵ECD BAE EAC ∠=∠=∠，CEA DEC ∠=∠， ∴CEA ∆∽DEC ∆，即2,CE DE EC EA EA CE DE==， 由（1）知，3EC EF ==，∴92EA =， ∴45()4AC AF AD AE AE DE AE ⋅=⋅=-⋅=． 23．（2016郑州一测）已知曲线1C 的参数方程为32212x t y t ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，曲线2C 的极坐标方程为22cos()4πρθ=-．以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系． （1）求曲线2C 的直角坐标方程；（2）求曲线2C 上的动点M 到曲线1C 的距离的最大值．【解析】（1）π22cos()2(cos sin )4ρθθθ=-=+，即()22cos sin ρρθρθ=+，可得22220x y x y +--=， 故2C 的直角坐标方程为()()22112x y -+-=．（2）1C 的直角坐标方程为320x y ++=，由（1）知曲线2C 是以(1,1)为圆心的圆， 且圆心到直线1C 的距离()2213233213d +++==+， ∴动点M 到曲线1C 的距离的最大值为33222++． A BE FC D24．（2016郑州一测）已知函数()21f x x x =--+（1）解不等式()1f x >；（2）当0x >时，函数21()(0)ax x g x a x-+=>的最小值总大于函数()f x ，试求实数a 的取值范围． 【解析】∵211x x --+>，∴131x <-⎧⎨>⎩，或12121x x -≤<⎧⎨->⎩，或231x ≥⎧⎨->⎩， 解得0x <，∴原不等式的解集为(,0)-∞．（2）∵1()121g x ax a x=+-≥-，当且仅当a x a =时“=”成立， ∴min ()21g x a =-，12,02,()3, 2.x x f x x -<≤⎧=⎨- >⎩∴()[3,1)f x ∈-， ∴211a -≥,即1a ≥为所求．。

2016-2017学年河南省郑州一中高三（上）入学数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）已知全集U＝R，集合P＝{x|lnx2≤1}，Q＝{y|y＝sin x+tan x，x∈[0，]}，则P ∪Q为（）A．（﹣，）B．[﹣，]C．（0，]D．（0，] 2．（5分）复数z1，z2在复平面内对应的点关于直线y＝x对称，且z1＝3+2i，则z1•z2＝（）A．12+13i B．13+12i C．﹣13i D．13i3．（5分）已知向量，满足||＝2，||＝1，（+）•＝0，那么向量，的夹角为（）A．30°B．60°C．150°D．120°4．（5分）已知公差不为0的等差数列{a n}满足a1，a3，a4成等比数列，S n为数列{a n}的前n项和，则的值为（）A．2B．3C．﹣2D．﹣35．（5分）中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器﹣﹣商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若π取3，其体积为12.6（立方寸），则图中的x为（）A．1.2B．1.6C．1.8D．2.46．（5分）过椭圆+＝1（a＞b＞0）的左焦点F1，作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．7．（5分）函数与的图象关于直线x＝a对称，则a可能是（）A．B．C．D．8．（5分）见如图程序框图，若输入a＝110011，则输出结果是（）A．51B．49C．47D．459．（5分）已知函数f（x）＝2016x+log2016（+x）﹣2016﹣x+2，则关于x的不等式f （3x+1）+f（x）＞4的解集为（）A．（﹣，+∞）B．（﹣∞，﹣）C．（0，+∞）D．（﹣∞，0）10．（5分）已知实数x，y满足，若目标函数z＝﹣mx+y的最大值为﹣2m+10，最小值为﹣2m﹣2，则实数m的取值范围是（）A．[﹣1，2]B．[﹣2，1]C．[2，3]D．[﹣1，3]11．（5分）过双曲线x2﹣＝1的右支上一点P，分别向圆C1：（x+4）2+y2＝4和圆C2：（x﹣4）2+y2＝1作切线，切点分别为M，N，则|PM|2﹣|PN|2的最小值为（）A．10B．13C．16D．1912．（5分）定义域为R的可导函数y＝f（x）的导函数f′（x），满足f（x）＞f′（x），且f（0）＝2，则不等式f（x）＜2e x的解集为（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，2）C．（0，+∞）D．（2，+∞）二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，b＝3，cos C＝，则sin A＝．14．（5分）F1，F2分别为椭圆＝1的左、右焦点，A为椭圆上一点，且＝（+），＝（+），则||+||．15．（5分）过球O表面上一点A引三条长度相等的弦AB、AC、AD，且两两夹角都为60°，若球半径为R，求弦AB的长度．16．（5分）已知函数f（x）＝，其中m＞0，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）＝b有三个不同的根，则m的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知f（x）＝sin x•cos x+cos2x．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在锐角△ABC的三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且f（C）＝1，求的取值范围．18．（12分）在三棱锥D﹣ABC，AB＝BC＝CD＝DA＝8，∠ADC＝∠ABC＝120°，M、O 分别为棱BC，AC的中点，DM＝4．（1）求证：平面ABC⊥平面MDO；（2）求点M到平面ABD的距离．19．（12分）襄阳市某优质高中为了选拔学生参加“全国中学生英语能力竞赛（NEPCS）”，先在本校进行初赛（满分150分），若该校有100名学生参加初赛，并根据初赛成绩得到如图所示的频率分布直方图．（1）根据频率分布直方图，计算这100名学生参加初赛成绩的中位数；（2）该校推荐初赛成绩在110分以上的学生代表学校参加竞赛，为了了解情况，在该校推荐参加竞赛的学生中随机抽取2人，求选取的两人的初赛成绩在频率分布直方图中处于不同组的概率．20．（12分）已知点C为圆（x+1）2+y2＝8的圆心，P是圆上的动点，点Q在圆的半径CP 上，且有点A（1，0）和AP上的点M，满足•＝0，＝2．（Ⅰ）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程；（Ⅱ）若斜率为k的直线l与圆x2+y2＝1相切，直线l与（Ⅰ）中所求点Q的轨迹交于不同的两点F，H，O是坐标原点，且≤•≤时，求k的取值范围．21．（12分）已知f（x）＝a（x﹣lnx）+，a∈R．（I）讨论f（x）的单调性；（II）当a＝1时，证明f（x）＞f′（x）+对于任意的x∈[1，2]成立．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，已知圆O是△ABC的外接圆，AB＝BC，AD是BC边上的高，AE是圆O的直径．过点C作圆O的切线交BA的延长线于点F．（Ⅰ）求证：AC•BC＝AD•AE；（Ⅱ）若AF＝2，CF＝2，求AE的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ﹣4sinθ．以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）判断直线l与曲线C的位置关系，并说明理由；（Ⅱ）若直线l和曲线C相交于A，B两点，且|AB|＝3，求直线l的斜率．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）＝|x﹣2|，g（x）＝m|x|﹣2，（m∈R）．（1）解关于x的不等式f（x）＞3；（2若不等式f（x）≥g（x）对任意x∈R恒成立，求m的取值范围．2016-2017学年河南省郑州一中高三（上）入学数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．【解答】解：∵lnx2≤1＝lne，∴0＜x2≤e，∴﹣≤x＜0或0＜x≤，∴P＝[﹣，0）∪（0，]，∵y＝sin x+tan x，在[0，]为增函数，∴y∈[0，]，∴Q＝[0，]，∴P∪Q＝[﹣，]，故选：B．2．【解答】解：复数z1在复平面内关于直线y＝x对称的点表示的复数z2＝2+3i，所以z1•z2＝（3+2i）（2+3i）＝13i．故选：D．3．【解答】解：设向量，的夹角为θ，由||＝2，||＝1，（+）•＝0，得，即2×1×cosθ＝﹣1，∴cos．∵θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°．故选：D．4．【解答】解：设等差数列的公差为d，首项为a1，所以a3＝a1+2d，a4＝a1+3d．因为a1、a3、a4成等比数列，所以（a1+2d）2＝a1（a1+3d），解得：a1＝﹣4d．所以＝＝2，故选：A．5．【解答】解：由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成．由题意得：（5.4﹣x）×3×1+π•（）2x＝12.6，解得：x＝1.6．故选：B．6．【解答】解：由题意知点P的坐标为（﹣c，）或（﹣c，﹣），∵∠F1PF2＝60°，∴＝，即2ac＝b2＝（a2﹣c2）．∴e2+2e﹣＝0，∴e＝或e＝﹣（舍去）．故选：D．7．【解答】解：由题意，设两个函数关于x＝a对称，则函数关于x＝a的对称函数为，利用诱导公式将其化为余弦表达式为，令，则．故选：A．8．【解答】解：第一次执行循环体后，t＝1，b＝1，i＝2，不满足退出循环的条件，第二次执行循环体后，t＝1，b＝3，i＝3，不满足退出循环的条件，第三次执行循环体后，t＝0，b＝3，i＝4，不满足退出循环的条件，第四次执行循环体后，t＝0，b＝3，i＝5，不满足退出循环的条件，第五次执行循环体后，t＝1，b＝19，i＝6，不满足退出循环的条件，第六次执行循环体后，t＝1，b＝51，i＝7，满足退出循环的条件，故输出b值为51，故选：A．9．【解答】解：设g（x）＝2016x+log2016（+x）﹣2016﹣x，g（﹣x）＝2016﹣x+log2016（+x）﹣2016x+＝﹣g（x）；g′（x）＝2016x ln2016++2016﹣x ln2016＞0；∴g（x）在R上单调递增；∴由f（3x+1）+f（x）＞4得，g（3x+1）+2+g（x）+2＞4；∴g（3x+1）＞g（﹣x）；∴3x+1＞﹣x；解得x＞﹣；∴原不等式的解集为（﹣，+∞）．故选：A．10．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由目标函数z＝﹣mx+y得y＝mx+z，则直线的截距最大，z最大，直线的截距最小，z最小．∵目标函数z＝﹣mx+y的最大值为﹣2m+10，最小值为﹣2m﹣2，∴当目标函数经过点（2，10）时，取得最大，当经过点（2，﹣2）时，取得最小值，∴目标函数z＝﹣mx+y的目标函数的斜率m满足比x+y＝0的斜率大，比2x﹣y+6＝0的斜率小，即﹣1≤m≤2，故选：A．11．【解答】解：圆C1：（x+4）2+y2＝4的圆心为（﹣4，0），半径为r1＝2；圆C2：（x﹣4）2+y2＝1的圆心为（4，0），半径为r2＝1，设双曲线x2﹣＝1的左右焦点为F1（﹣4，0），F2（4，0），连接PF1，PF2，F1M，F2N，可得|PM|2﹣|PN|2＝（|PF1|2﹣r12）﹣（|PF2|2﹣r22）＝（|PF1|2﹣4）﹣（|PF2|2﹣1）＝|PF1|2﹣|PF2|2﹣3＝（|PF1|﹣|PF2|）（|PF1|+|PF2|）﹣3＝2a（|PF1|+|PF2|﹣3＝2（|PF1|+|PF2|）﹣3≥2•2c﹣3＝2•8﹣3＝13．当且仅当P为右顶点时，取得等号，即最小值13．故选：B．12．【解答】设g（x）＝，则g'（x）＝，∵f（x）＞f′（x），∴g'（x）＜0，即函数g（x）单调递减．∵f（0）＝2，∴g（0）＝f（0）＝2，则不等式等价于g（x）＜g（0），∵函数g（x）单调递减．∴x＞0，∴不等式的解集为（0，+∞），故选：C．二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上）13．【解答】解：由余弦定理可得：c2＝a2+b2﹣2ab cos C＝22+32﹣2×2×3×＝9，解得c＝3．∴△ABC是等腰三角形．∴cos C＝＝sin，cos＝＝．∴sin A＝2sin cos＝，故答案为：．14．【解答】解：椭圆＝1的a＝6，由椭圆的定义可得|AF1|+|AF2|＝2a＝12，＝（+），可得B为AF1的中点，＝（+），可得C为AF2的中点，由中位线定理可得|OB|＝|AF2|，|OC|＝|AF1|，即有||+||＝（|AF1|+|AF2|）＝a＝6，故答案为：6．15．【解答】解：由题意，球心在正四面体中心，设AB＝a，则截面BCD与球心的距离d＝a﹣R，过点B、C、D的截面圆半径r＝a，所以（a）2＝R2﹣（a﹣R）2，得a＝R．故答案为：R．16．【解答】解：当m＞0时，函数f（x）＝的图象如下：∵x＞m时，f（x）＝x2﹣2mx+4m＝（x﹣m）2+4m﹣m2＞4m﹣m2，∴y要使得关于x的方程f（x）＝b有三个不同的根，必须4m﹣m2＜m（m＞0），即m2＞3m（m＞0），解得m＞3，∴m的取值范围是（3，+∞），故答案为：（3，+∞）．三、解答题（本大题共5小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．【解答】解：（I）由三角函数公式化简可得：f（x）＝sin2x+（1+cos2x）＝+sin（2x+），由可得∴函数f（x）的单调递增区间为；（II）∵f（C）＝+sin（2x+）＝1，∴sin（2x+）＝，∴或，k∈Z，∴结合三角形内角的范围可，由余弦定理得c2＝a2+b2﹣ab，∴，∵△ABC为锐角三角形，∴，∴由正弦定理得＝＝＝＝+∈（，2），∴．18．【解答】解：（I）证明：由题意：OM＝OD＝4，∵，∴∠DOM＝90°，即OD⊥OM．又∵在△ACD中，AD＝CD，O为AC的中点，∴OD⊥AC．∵OM∩AC＝O，∴OD⊥平面ABC，又∵OD⊂平面MDO，∴平面ABC⊥平面MDO．…（6分）（Ⅱ）由（I）知OD⊥平面ABC，OD＝4△ABM的面积为．又∵在Rt△BOD中，OB＝OD＝4，得，AB＝AD＝8，∴．∵V M﹣ABD＝V D﹣MAB，即∴，∴点M到平面ABD的距离为．…（12分）19．【解答】（1）设初赛成绩的中位数为x，则：（0.001+0.004+0.009）×20+0.02×（x﹣70）＝0.5…（4分）解得x＝81，所以初赛成绩的中位数为81；…（6分）（2）该校学生的初赛分数在[110，130）有4人，分别记为A，B，C，D，分数在[130，150）有2人，分别记为a，b，在则6人中随机选取2人，总的事件有（A，B），（A，C），（A，D），（A，a），（A，b），（B，C），（B，D），（B，a），（B，b），（C，D），（C，a），（C，b），（D，a），（D，b），（a，b）共15个基本事件，其中符合题设条件的基本事件有8个…（10分）故选取的这两人的初赛成绩在频率分布直方图中处于不同组的概率为P＝…（12分）20．【解答】解：（I）由题意知MQ中线段AP的垂直平分线，∴，∴点Q的轨迹是以点C，A为焦点，焦距为2，长轴为的椭圆，，故点Q的轨迹方程是．（II）设直线l：y＝kx+b，F（x1，y1），H（x2，y2）直线l与圆x2+y2＝1相切联立，（1+2k2）x2+4kbx+2b2﹣2＝0，△＝16k2b2﹣4（1+2k2）2（b2﹣1）＝8（2k2﹣b2+1）＝8k2＞0，可得k≠0，∴，＝＝＝，∴为所求．21．【解答】（Ⅰ）解：由f（x）＝a（x﹣lnx）+，得f′（x）＝a（1﹣）+＝＝（x＞0）．若a≤0，则ax2﹣2＜0恒成立，∴当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；当a＞0，若0＜a＜2，当x∈（0，1）和（，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，当x∈（1，）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；若a＝2，f′（x）≥0恒成立，f（x）在（0，+∞）上为增函数；若a＞2，当x∈（0，）和（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，当x∈（，1）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；（Ⅱ）解：∵a＝1，令F（x）＝f（x）﹣f′（x）＝x﹣lnx﹣1＝x﹣lnx+．令g（x）＝x﹣lnx，h（x）＝．则F（x）＝f（x）﹣f′（x）＝g（x）+h（x），由，可得g（x）≥g（1）＝1，当且仅当x＝1时取等号；又，设φ（x）＝﹣3x2﹣2x+6，则φ（x）在[1，2]上单调递减，且φ（1）＝1，φ（2）＝﹣10，∴在[1，2]上存在x0，使得x∈（1，x0）时φ（x0）＞0，x∈（x0，2）时，φ（x0）＜0，∴函数h（x）在（1，x0）上单调递增；在（x0，2）上单调递减，由于h（1）＝1，h（2）＝，因此h（x）≥h（2）＝，当且仅当x＝2取等号，∴f（x）﹣f′（x）＝g（x）+h（x）＞g（1）+h（2）＝，∴F（x）＞恒成立．即f（x）＞f′（x）+对于任意的x∈[1，2]成立．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]22．【解答】证明：（I）如图所示，连接BE．∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE＝90°．又∠E与∠ACB都是所对的圆周角，∴∠E＝∠ACB．∵AD⊥BC，∠ADC＝90°．∴△ABE∽△ADC，∴AB：AD＝AE：AC，∴AB•AC＝AD•AE．又AB＝BC，∴BC•AC＝AD•AE．解：（II）∵CF是⊙O的切线，∴CF2＝AF•BF，∵AF＝2，CF＝2，∴（2）2＝2BF，解得BF＝4．∴AB＝BF﹣AF＝2．∵∠ACF＝∠FBC，∠CFB＝∠AFC，∴△AFC∽△CFB，∴AF：FC＝AC：BC，∴AC＝＝．∴cos∠ACD＝，∴sin∠ACD＝＝sin∠AEB，∴AE＝＝[选修4-4：坐标系与参数方程]23．【解答】解：（Ⅰ）∵曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ﹣4sinθ，∴ρ2＝2ρcosθ﹣4ρsinθ，∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2＝2x﹣4y，即（x﹣1）2+（y+2）2＝5，∵直线l过点（1，﹣1），且该点到圆心的距离为，∴直线l与曲线C相交．（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，直线l过圆心，|AB|＝2≠3，因此直线l必有斜率，设其方程为y+1＝k（x﹣1），即kx﹣y﹣k﹣1＝0，圆心到直线l的距离＝，解得k＝±1，∴直线l的斜率为±1．[选修4-5：不等式选讲]24．【解答】解：（1）由f（x）＞3，得|x﹣2|＞3，可得x﹣2＞3，或x﹣2＜﹣3．求得x＜﹣1，或x＞5，故原不等式的解集为{x|x＜﹣1，或x＞5}．（2）由f（x）≥g（x），得|x﹣2|≥m|x|﹣2 恒成立．当x＝0时，不等式|x﹣2|≥m|x|﹣2 恒成立；当x≠0时，问题等价于m≤对任意非零实数恒成立．∵≥＝1，∴m≤1，即m的取值范围是（﹣∞，1]．。

2016-2017学年河南省郑州一中高三（上）第一次质检数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合M={x|x2＜1}，N={x|2x＞1}，则M∩N=（）A．∅B．{x|0＜x＜1}C．{x|x＜0}D．{x|x＜1}2．（5分）该试题已被管理员删除3．（5分）已知命题，命题q：∀x∈R，ax2+ax+1＞0，则p成立是q 成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）在△ABC中，||=||，||=||=3，则=（）A．3 B．﹣3 C．D．﹣5．（5分）我们可以用随机模拟的方法估计π的值，如图程序框图表示其基本步骤（函数RAND是产生随机数的函数，它能随机产生（0，1）内的任何一个实数）．若输出的结果为781，则由此可估计π的近似值为（）A．3.119 B．3.124 C．3.132 D．3.1516．（5分）某几何体的三视图如图所示，则其体积为（）A．207 B．C．216﹣36πD．216﹣18π7．（5分）函数y=sin2x+cos2x如何平移可以得到函数y=sin2x﹣cos2x图象（）A．向左平移 B．向右平移 C．向左平移 D．向右平移8．（5分）函数f（x）=（）cosx的图象大致为（）A．B． C．D．9．（5分）如图直三棱柱ABC﹣A'B'C'中，△ABC为边长为2的等边三角形，AA'=4，点E、F、G、H、M分别是边AA'、AB、BB'、A'B'、BC的中点，动点P在四边形EFGH内部运动，并且始终有MP∥平面ACC'A'，则动点P的轨迹长度为（）A．2 B．2πC．D．410．（5分）已知双曲线的焦点到渐进线的距离等于实半轴长，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．11．（5分）已知a，b∈R+，且，则a+b的取值范围是（）A．[1，4]B．[2，+∞）C．（2，4） D．（4，+∞）12．（5分）已知函数f（x）=x+xlnx，若m∈Z，且（m﹣2）（x﹣2）＜f（x）对任意的x＞2恒成立，则m的最大值为（）A．4 B．5 C．6 D．8二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知角α的顶点和点O重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上一点M坐标为，则=．14．（5分）已知实数x，y满足不等式组则z=x+y的最小值为．15．（5分）如果满足∠A=60°，BC=6，AB=k的锐角△ABC有且只有一个，那么实数k的取值范围是．16．（5分）对于函数f（x）与g（x），若存在λ∈{x∈R|f（x）=0}，μ∈{x∈R|g （x）=0}，使得|λ﹣μ|≤1，则称函数f（x）与g（x）互为“零点密切函数”，现已知函数f（x）=e x﹣2+x﹣3与g（x）=x2﹣ax﹣x+4互为“零点密切函数”，则实数a的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n=，n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=+（﹣1）n a n，求数列{b n}的前2n项和．18．（12分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面梯形ABCD中，AD∥BC，平面SAB⊥平面ABCD，△SAB 是等边三角形，已知，M 是SD 上任意一点，，且m＞0．（1）求证：平面SAB⊥平面MAC；（2）试确定m的值，使三棱锥S﹣ABC体积为三棱锥S﹣MAC体积的3倍．19．（12分）近年来郑州空气污染较为严重，现随机抽取一年（365天）内100天的空气中PM2.5指数的监测数据，统计结果如下：记某企业每天由空气污染造成的经济损失为S（单位：元），PM2.5指数为x．当x在区间[0，100]内时对企业没有造成经济损失；当x在区间（100，300]内时对企业造成经济损失成直线模型（当PM2.5指数为150时造成的经济损失为500元，当PM2.5指数为200时，造成的经济损失为700元）；当PM2.5指数大于300时造成的经济损失为2000元．（1）试写出S（x）的表达式；（2）试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于500元且不超过900元的概率；（3）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下面列联表，并判断是否有95%的把握认为郑州市本年度空气重度污染与供暖有关？附：，其中n=a +b +c +d ．20．（12分）已知坐标平面上动点M （x ，y ）与两个定点P （26，1），Q （2，1），且|MP |=5|MQ |．（1）求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；（2）记（1）中轨迹为C ，过点N （﹣2，3）的直线l 被C 所截得的线段长度为8，求直线l 的方程．21．（12分）设函数f （x ）=lnx ． （1）证明：f （x ）≤x ﹣1； （2）若对任意x ＞0，不等式恒成立，求实数a 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为（φ为参数），在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2是圆心为（3，），半径为1的圆．（Ⅰ）求曲线C 1，C 2的直角坐标方程；（Ⅱ）设M 为曲线C 1上的点，N 为曲线C 2上的点，求|MN |的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a ＞0，b ＞0，函数f （x ）=|x +a |+|x ﹣b |的最小值为4． （Ⅰ）求a +b 的值；（Ⅱ）求的最小值．2016-2017学年河南省郑州一中高三（上）第一次质检数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（2016秋•中原区校级月考）已知集合M={x|x2＜1}，N={x|2x＞1}，则M∩N=（）A．∅B．{x|0＜x＜1}C．{x|x＜0}D．{x|x＜1}【解答】解：M={x|x2＜1}={x|﹣1＜x＜1}，N={x|2x＞1}={x|x＞0}，则M∩N={x|0＜x＜1}，故选：B．2．（5分）该试题已被管理员删除3．（5分）（2017春•江西月考）已知命题，命题q：∀x∈R，ax2+ax+1＞0，则p成立是q成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由＞，解得：0＜a＜4，故命题p：0＜a＜4；若∀x∈R，ax2+ax+1＞0，则，解得：0＜a＜4，或a=0时，1＞0恒成立，故q：0≤a＜4；故命题p是命题q的充分不必要条件，故选：A．4．（5分）（2017•泰安一模）在△ABC中，||=||，||=||=3，则=（）A．3 B．﹣3 C．D．﹣【解答】解：由平面向量的平行四边形法则得到，在△ABC中，||=||，||=||=3，如图，设|OC|=x，则|OA|=x，所以|AO|2+|OC|2=|AC|2即3x2+x2=9，解得x=，所以|BC|=3，所以△ABC为等边三角形，所以=3×3×=；故选：C．5．（5分）（2016秋•中原区校级月考）我们可以用随机模拟的方法估计π的值，如图程序框图表示其基本步骤（函数RAND是产生随机数的函数，它能随机产生（0，1）内的任何一个实数）．若输出的结果为781，则由此可估计π的近似值为（）A．3.119 B．3.124 C．3.132 D．3.151【解答】解：x2+y2＜1发生的概率为=，当输出结果为781时，i=1001，m=781，x2+y2＜1发生的概率为P=，∴=，即π=3.124，故选B．6．（5分）（2017春•江西月考）某几何体的三视图如图所示，则其体积为（）A．207 B．C．216﹣36πD．216﹣18π【解答】解：由三视图可得，直观图是棱长为6的正方体，截去个圆锥，圆锥的底面半径为3，高为6，故体积为=216﹣，故选B．7．（5分）（2016秋•中原区校级月考）函数y=sin2x+cos2x如何平移可以得到函数y=sin2x﹣cos2x图象（）A．向左平移 B．向右平移 C．向左平移 D．向右平移【解答】解：y=sin2x+cos2x=sin（2x+），y=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣），y=sin（2x﹣）=sin[2（x﹣）+]，∴函数y=sin2x+cos2x向右平移得到函数y=sin2x﹣cos2x图象，故选D．8．（5分）（2017春•武邑县校级期中）函数f（x）=（）cosx的图象大致为（）A．B． C．D．【解答】解：函数f（x）=（）cosx，当x=时，是函数的一个零点，属于排除A，B，当x∈（0，1）时，cosx＞0，＜0，函数f（x）=（）cosx＜0，函数的图象在x轴下方．排除D．故选：C．9．（5分）（2016秋•中原区校级月考）如图直三棱柱ABC﹣A'B'C'中，△ABC为边长为2的等边三角形，AA'=4，点E、F、G、H、M分别是边AA'、AB、BB'、A'B'、BC的中点，动点P在四边形EFGH内部运动，并且始终有MP∥平面ACC'A'，则动点P的轨迹长度为（）A．2 B．2πC．D．4【解答】解：连结HF，FM，HM，因为直三棱柱ABC﹣A'B'C'中，点E、F、G、H、M分别是边AA'、AB、BB'、A'B'、BC的中点，可知HF∥AA′，FM∥AC，HF∩FM=F，可知平面HFM∥平面ACC'A'，P∈有平面HFM，所以有MP∥平面ACC'A'，可得P的轨迹是线段HF，HF=4．故选：D．10．（5分）（2016秋•中原区校级月考）已知双曲线的焦点到渐进线的距离等于实半轴长，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．【解答】解：设双曲线的焦点坐标（c，0），渐近线方程为：bx+ay=0，由题意可得：，可得a=b，即c=a，则e=．故选：C．11．（5分）（2017春•江西月考）已知a，b∈R+，且，则a+b的取值范围是（）A．[1，4]B．[2，+∞）C．（2，4） D．（4，+∞）【解答】解：∵a，b∈R+，∴≥ab，可得≥．∵，∴（a+b）=5≥（a+b），化为：（a+b）2﹣5（a+b）+4≤0，解得1≤a+b≤4，则a+b的取值范围是[1，4]．故选：A．12．（5分）（2016秋•中原区校级月考）已知函数f（x）=x+xlnx，若m∈Z，且（m ﹣2）（x﹣2）＜f（x）对任意的x＞2恒成立，则m的最大值为（）A．4 B．5 C．6 D．8【解答】解：令g（x）=f（x）﹣（m﹣2）（x﹣2）=x+xlnx﹣（m﹣2）（x﹣2），x ＞2．g（2）=2+2ln2＞0．g′（x）=2+lnx﹣（m﹣2）=4+lnx﹣m，只考虑m＞0，①0＜m≤4+ln2，m∈Z时，g′（x）=4+lnx﹣m＞0，函数g（x）在x＞2时单调递增，g（x）＞g（2）＞0．②m≥4+ln2，即m≥5时，令g′（x）=4+lnx﹣m=0，解得x=e m﹣4．则x=e m﹣4时，函数g（x）取得极小值即最小值，g（e m﹣4）=e m﹣4（1+m﹣4）﹣（m﹣2）（e m﹣4﹣2），则g（e m﹣4）=e m﹣4（1+m﹣4）﹣（m﹣2）（e m﹣4﹣2）＞0，化为：e m﹣4＜2（m ﹣2）．m=5，6时成立，m=7时，e3＞10，即e m﹣4＜2（m﹣2）不成立．因此m的最大值为6．故选：C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）（2016秋•中原区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，已知角α的顶点和点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边上一点M坐标为，则=．【解答】解：∵点P（1，）是角α终边上一点，∴tanα=，∴===．故答案为：．14．（5分）（2016秋•中原区校级月考）已知实数x，y满足不等式组则z=x+y的最小值为﹣14．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域：得到如图的阴影部分，由，解得A（3，2），由解得B（﹣12，﹣2）设z=F（x，y）=x+y，将直线l：z=x+y进行平移，当l经过点B时，目标函数z达到最小值，∴z=F（﹣12，﹣2）=﹣14．最小值故答案为：﹣14．15．（5分）（2016秋•中原区校级月考）如果满足∠A=60°，BC=6，AB=k的锐角△ABC有且只有一个，那么实数k的取值范围是．【解答】解：由题意，30°＜C＜90°，∴＜sinC＜1由正弦定理可得=，∴k=4sinC∴k∈，故答案为．16．（5分）（2016秋•中原区校级月考）对于函数f（x）与g（x），若存在λ∈{x ∈R|f（x）=0}，μ∈{x∈R|g（x）=0}，使得|λ﹣μ|≤1，则称函数f（x）与g（x）互为“零点密切函数”，现已知函数f（x）=e x﹣2+x﹣3与g（x）=x2﹣ax﹣x+4互为“零点密切函数”，则实数a的取值范围是[3，4] ．【解答】解：函数f（x）=e x﹣2+x﹣3的零点为x=2，设函数g（x）=x2﹣ax﹣x+4的零点为β，若函数f（x）=e x﹣2+x﹣3与g（x）=x2﹣ax﹣x+4互为“零点密切函数”，根据零点关联函数，则|2﹣β|≤1，∴1≤β≤3，如图，由于g（x）=x2﹣ax﹣x+4必经过点A（0，4），故要使其零点在区间[1，3]上，则，解得3≤a≤4．故答案为：[3，4]．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）（2014•湖南）已知数列{a n}的前n项和S n=，n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=+（﹣1）n a n，求数列{b n}的前2n项和．【解答】解：（Ⅰ）当n=1时，a1=s1=1，当n≥2时，a n=s n﹣s n﹣1=﹣=n，∴数列{a n}的通项公式是a n=n．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b n=2n+（﹣1）n n，记数列{b n}的前2n项和为T2n，则T2n=（21+22+…+22n）+（﹣1+2﹣3+4﹣…+2n）=+n=22n+1+n﹣2．∴数列{b n}的前2n项和为22n+1+n﹣2．18．（12分）（2017春•江西月考）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面梯形ABCD 中，AD∥BC，平面SAB⊥平面ABCD，△SAB是等边三角形，已知，M是SD上任意一点，，且m＞0．（1）求证：平面SAB⊥平面MAC；（2）试确定m的值，使三棱锥S﹣ABC体积为三棱锥S﹣MAC体积的3倍．【解答】（1）证明：在△ABC中，由于，∴AB2+AC2=BC2，故AB⊥AC，又平面SAB⊥平面ABCD，平面SAB∩平面ABCD=AB，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥平面SAB，又AC⊂平面MAC，故平面SAB⊥平面MAC；（2）解：在△ACD中，∵AD=CD=，AC=4，∴，．又∵，=V M﹣SAC=，∴V S﹣MAC∴=，即m=2．故m的值为2．19．（12分）（2016秋•中原区校级月考）近年来郑州空气污染较为严重，现随机抽取一年（365天）内100天的空气中PM2.5指数的监测数据，统计结果如下：记某企业每天由空气污染造成的经济损失为S （单位：元），PM2.5指数为x ．当x 在区间[0，100]内时对企业没有造成经济损失；当x 在区间（100，300]内时对企业造成经济损失成直线模型（当PM2.5指数为150时造成的经济损失为500元，当PM2.5指数为200时，造成的经济损失为700元）；当PM2.5指数大于300时造成的经济损失为2000元． （1）试写出S （x ）的表达式；（2）试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S 大于500元且不超过900元的概率；（3）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下面列联表，并判断是否有95%的把握认为郑州市本年度空气重度污染与供暖有关？ 附：，其中n=a +b +c +d ．【解答】解：（1）根据在区间[0，100]对企业没有造成经济损失；在区间（100，300]对企业造成经济损失成直线模型（当PM2.5指数为150时造成的经济损失为500元，当PM2.5指数为200时，造成的经济损失为700元）；当PM2.5指数大于300时造成的经济损失为2000元，可得：（2）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于200元且不超过600元”为事件A，由200＜S≤600，得150＜w≤250，频数为39，，（3）根据以上数据得到如下列联表：K2的观测值，所以有95%的把握认为空气重度污染与供暖有关．20．（12分）（2016秋•中原区校级月考）已知坐标平面上动点M（x，y）与两个定点P（26，1），Q（2，1），且|MP|=5|MQ|．（1）求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；（2）记（1）中轨迹为C，过点N（﹣2，3）的直线l被C所截得的线段长度为8，求直线l的方程．【解答】解：（1）由题意，得．即：=5，化简，得：x2+y2﹣2x﹣2y﹣23=0，即（x﹣1）2+（y﹣1）2=25；所以点M的轨迹方程是（x﹣1）2+（y﹣1）2=25．轨迹是以（1，1）为圆心，以5为半径的圆．（2）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=﹣2；此时所截得的线段的长为2=8，所以l：x=﹣2符合题意．当直线l的斜率存在时，设l的方程为y﹣3=k（x+2），即kx﹣y+2k+3=0，圆心到l的距离d=，由题意，得（）2+42=52，解得k=．所以直线l的方程为x﹣y+=0，即5x﹣12y+46=0，综上，直线l的方程为x=﹣2或5x﹣12y+46=0．21．（12分）（2017春•江西月考）设函数f（x）=lnx．（1）证明：f（x）≤x﹣1；（2）若对任意x＞0，不等式恒成立，求实数a的取值范围．【解答】（本小题满分12分）解：（1）证明：令g（x）=f（x）﹣（x﹣1），则．当x=1，g'（x）=0．所以0＜x＜1时，g'（x）＞0，x＞1时，g'（x）＜0，即g（x）在（0，1）递增；在（1，+∞）递减；所以g（x）≤g（1）=0，f（x）≤x﹣1…（4分）（2）记h（x）=ax+﹣lnx，则在（0，+∞）上，h（x）≥1，，…（5分）①若0＜a≤，﹣1+＞1，x∈（0，1）时，h'（x）＞0，h（x）单调递增，h （x）＜h（1）=2a﹣1≤0，这与h（x）≥1上矛盾；…（6分）②若＜a＜1，0＜﹣1+＜1，（1，+∞）上h'（x）＞0，h（x）递增，而h（1）=2a﹣1＜1，这与这与h（x）≥1上矛盾；…（7分）③若a≥1，﹣1+≤0，∴x∈（0，1）时时h'（x）＜0，h（x）单调递减；x∈（1，+∞）时h'（x）＞0，h（x）单调递增∴最小值h（1）=2a﹣1≥1，即h（x）≥1恒成立…（9分）④若a=0，，x∈（0，1）时，h'（x）＞0，h（x）单调递增；x∈（1，+∞）时，h'（x）＜0，h（x）单调递减，∴h（x）≤h（1）=﹣1＜0，这与h（x）≥1矛盾…（10分）⑤若a＜0，，x∈（0，1）时，h'（x）＞0，h（x）单调递增；x∈（1，+∞）时，h'（x）＜0，h（x）单调递减，∴h（x）≤h（1）=2a﹣1＜0，这与h（x）≥1矛盾…（11分）综上，实数a的取值范围是[1，+∞）…（12分）请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）（2016•安徽模拟）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（φ为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2是圆心为（3，），半径为1的圆．（Ⅰ）求曲线C1，C2的直角坐标方程；（Ⅱ）设M为曲线C1上的点，N为曲线C2上的点，求|MN|的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）消去参数φ可得C1的直角坐标方程为+y2=1，∵曲线C2是圆心为（3，），半径为1的圆曲线C2的圆心的直角坐标为（0，3），∴C2的直角坐标方程为x2+（y﹣3）2=1；（Ⅱ）设M（2cosφ，sinφ），则|MC2|====，∴﹣1≤sinφ≤1，∴由二次函数可知2≤|MC2|≤4，由题意结合图象可得|MN|的最小值为2﹣1=1，最大值为4+1=5，∴|MN|的取值范围为[1，5][选修4-5：不等式选讲]23．（2017•江西模拟）已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x+a|+|x﹣b|的最小值为4．（Ⅰ）求a+b的值；（Ⅱ）求的最小值．【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）=|x+a|+|x﹣b|≥|（x+a）﹣（x﹣b）|=a+b，当且仅当﹣a≤x≤b时，等号成立，所以f（x）的最小值为a+b=4．（Ⅱ）由（Ⅰ）知a+b=4，由柯西不等式得．即，当且仅当，即时，等号成立．所以，的最小值为．参与本试卷答题和审题的老师有：刘老师；sxs123；changq；lcb001；qiss；沂蒙松；w3239003；zlzhan；liu老师；danbo7801；洋洋；lincy（排名不分先后）菁优网2017年5月8日。

2016届河南省郑州市一中高三上学期联考数学（文）试题及解析一、选择题1．已知集合{}a M 2log ,3=，{}b a N ,=，若{}0=N M ，则=N M （ ） A ．{}2,1,0 B ．{}3,1,0 C ．{}3,2,0 D ．{}3,2,1 【答案】B【解析】试题分析：因为{}0=N M ，所以0,0M N ∈∈，所以2log 0a =，即1a =，所以0b =，所以{3,0}M =，{1,0}M =，所以{0,1,3}M N ⋃=，故应选B ． 【考点】1、集合间的基本运算．2．设21:<<x p ，12:>x q ，则p 是q 成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】试题分析：因为21x>，所以0x >，所以21:<<x p 能够推出q ，而q 不能推出p ，所以p 是q 成立的充分不必要条件，故应选A ．【考点】1、充分条件；2、必要条件．3．袋中共有5个除颜色外完全相同的小球，其中1个红球，2个白球和2个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于（ ） A ．51 B ．52 C ．53 D ．54 【答案】B【解析】试题分析：根据题意知，袋中共有5个球，从中任取2个，有2510C =种不同的取法；5个球中，有2个白球和2个黑球，则取出的两球为一白一黑的情况有224⨯=种；则由古典概型的计算概率公式可得，两球颜色为一白一黑的概率为42105P ==，故应选B ．【考点】1、古典概型；2、排列与组合．【思路点睛】本题主要考查了古典概型和排列与组合，注意正确使用排列与组合公式，属中档题．其解题的一般思路为：首先由组合数公式计算从袋中的5个球任取2个的情况数目，再由分步计数原理计算取出的两球为一白一黑的情况数目，最后由古典概型的计算概率公式即可得出所求的结果．4．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，9102=a a ，则75a a +=（ ） A ．有最小值6 B ．有最大值6 C ．有最大值9 D ．有最小值3 【答案】A【解析】试题分析：因为在等比数列{}n a 中，2109a a =，所以572109a a a a ==，所以由基本不等式可得，576a a +≥=，当且仅当573a a ==时等号成立，故应选A ．【考点】1、等比数列；2、基本不等式的应用．5．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的外接球的体积为（ ）A ．32π B ．π2 C ．π2 D ．322π 【答案】A【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体是一个组合体，是由两个完全相同的四棱锥底面重合组成．因为该四棱锥的底面是边长是1的正方形，且四棱锥的高是，所以根据几何体和球的对称性可知，该几何体的外接球的直径是四棱锥底面的对角线是343π=⎝⎭，故应选A ．【考点】1、三视图；2、空间几何体的体积．6．已知向量)2,(m =，向量)3,2(-==+，则实数m 的值为（ ） A ．-2 B ．3 C ．1 D ．-3【答案】B【解析】 试题分析：因为a b a b→→→→+=-，所以22a b a b→→→→+=-，即0a b →→⋅=，所以260m -=，所以3m =，故应选B ．【考点】1、平面向量的数量积；2、平面向量的坐标运算． 7．已知2lg 8lg 2lg ,0,0=+>>yx y x ,则yx 311+的最小值是（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 【答案】A【解析】试题分析：因为2lg 8lg 2lg ,0,0=+>>yxy x ，所以lg(28)lg2xy⨯=，即322x y +=，所以31x y +=，所以11113(3)()1124333x y x y x y x y y x +=+⨯+=+++≥+=，故应选A ．【考点】1、对数及其运算；2、基本不等式的应用．8．执行如图所示的程序框图，若输出3-=y ，则输入角=θ（ ）A ．6π B ．-6π C ．3π D ．-3π【答案】D【解析】试题分析：对于选项A ，当6πθ=时，所以1sin sin62y πθ===，则输出12y =，不符合题意；对于选项B ，当6πθ=-时，所以1sin sin()62y πθ==-=-，则输出12y =-，不符合题意；对于选项C ，当3πθ=时，所以tan tan 3y πθ===则输出y =，不符合题意；对于选项D ，当3πθ=-时，所以tan tan()3y πθ==-=y =D ．【考点】1、算法与程序框图． 9．函数)0,0)(6sin()(>>+=ωπωA x A x f 的图象与x 轴的交点的横坐标构成一个公差为2π的等差数列，要得到函数x A x g ωcos )(=的图象，只需将f(x)的图象（ ）． A ．向左平移6π个单位B ．向左平移3π个单位C ．向左平移32π个单位D ．向右平移32π个单位 【答案】A【解析】试题分析：由题意知，函数)0,0)(6sin()(>>+=ωπωA x A x f 的周期为π，所以2ππω=，即2ω=．要得到函数x A x g ωcos )(=sin[2()]66x ππ=++的图像，只需将()f x 的图像向左平移6π个单位即可，故应选A ． 【考点】1、函数()sin()f x A x ωϕ=+的图像及其变换．10．已知函数),(4sin )(3R b R a bx x a x f ∈∈++=，)(x f '为()f x 的导函数，则=-'-'+-+)2015()2015()2014()2014(f f f f （ ）A ．2014B ．2013C ．-2015D ．8 【答案】D【解析】试题分析：因为函数),(4s i n )(3R b R a bx x a x f ∈∈++=，所以'2()cos 3f x a x bx =+，所以33(sin 201420144)(sin(2014)(2014)4)a b a b =+⨯++-+⨯-+ 22(cos201432014)(cos(2014)3(2014))a b a b ++⨯--+⨯-8=，故应选D ．【考点】1、函数的奇偶性；2、计算导数．11．过双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的一个焦点F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线，若垂足恰好在线段OF 的垂直平分线上，则双曲线C 的离心率是（ ） A ．332 B ．3 C ．2 D ．2 【答案】D【解析】试题分析：因为双曲线)0,0(1:2222>>=-b a b y a x C 的一条渐近线为by x a =，且过其焦点(,0)F c 的直线l 与b y x a =垂直，所以直线l 的方程为：()ay x c b =-，所以由()ay x c b b y x a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩可得垂足的横坐标为222222a c a c a x a b c c ===+．因为垂足恰好在线段OF 的垂直平分线2cx =上，所以22a c c =，即222c a =，所以双曲线C的离心率为e =D ．【考点】1、双曲线的简单性质；2、直线与双曲线的综合问题．【思路点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质和直线与双曲线的综合问题，属中档题．其解题的一般思路为：首先求出双曲线的一条渐近线与过焦点的与之垂直的直线的交点，然后由该交点在线段OF 的垂直平分线上，即可得出关于,,a b c 之间的等式关系，最后由双曲线的离心率的计算公式即可得出所求的结果．12．在数列{}n a 中，若对任意的*∈N n 均有21++++n n n a a a 为定值，且3,297==a a ，498=a ，则数列{}n a 的前100项的和=100S （ ）A ．132B ．299C ．68D ．99 【答案】B【解析】试题分析：因为在数列{}n a 中，若对任意的*∈N n 均有21++++n n n a a a 为定值，所以3n n a a +=，即数列各项是以3为周期呈周期变化．又因为3,297==a a ，498=a ，所以1232349a a a ++=++=，所以10012310033()3392299S a a a a =⨯+++=⨯+=，故应选B ．【考点】1、数列的基本概念；2、数列的前n 项和．【思路点睛】本题主要考查数列的基本概念和数列的前n 项和，考查学生综合运用知识的能力与应变能力、创新能力，属中高档题．其解题的一般思路为：首先根据已知条件可得出关系式3n n a a +=，即该数列各项是以3为周期呈周期变化，然后将数列{}n a 的前100项的和转化为要求123100(),a a a a ++，于是根据已知可得123a a a ++以及100a 的值，进而即可得出所求的结果． 二、填空题 13．若复数iia z +=（其中i 为虚数单位）的实部与虚数相等，则实数a =_______． 【答案】1-．【解析】试题分析：因为复数i i a z +=()1a i i ai i i +⋅==-⋅，所以()1a i iai i i+⋅==-⋅，所以1a -=，即1a =-，故应填1-．【考点】1、复数的概念；2、复数的四则运算．14．已知0m >，实数,x y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥,,0,0m y x y x 若2z x y =+的最大值为2，则实数m =______．【答案】1．【解析】试题分析：由已知的约束条件可知，目标函数2z x y =+在点(0,)m 处取得最大值，即max 022z m =+=，所以1m =，故应填1． 【考点】1、简单的线性规划．15．顶点在原点，经过圆0222:22=+-+y x y x C 的圆心且准线与x 轴垂直的抛物线方程为____． 【答案】22yx =．【解析】试题分析：因为圆0222:22=+-+y x y x C的圆心为(1,，抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，且经过点(1,．设抛物线的标准方程为22y px =，因为点(1,的抛物线上，所以2(2p =，所以1p =，所以所求抛物线的方程为22y x =，故应填22y x =． 【考点】1、抛物线的标准方程；2、圆的标准方程．【思路点睛】本题主要考查抛物线的标准方程和圆的标准方程，重点考查抛物线的标准方程的求法，属中档题．其解题的一般思路为：首先设出抛物线的标准方程，然后利用已知条件知其图像过点(1,，代入即可求出抛物线中的参数，最后得出所求的抛物线的标准方程即可．16．函数⎩⎨⎧>≤-=,1,ln ,1,1)(2x x x x x f 若方程21)(-=mx x f 恰有四个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是_____．【答案】1(2e． 【解析】试题分析：将方程21)(-=mx x f 恰有四个不相等的实数根转化为函数⎩⎨⎧>≤-=,1,ln ,1,1)(2x x x x x f 与函数12y m x=-有四个不同的交点．作出函数⎩⎨⎧>≤-=,1,ln ,1,1)(2x x x x x f 与函数12y mx =-的图像如下：由题意知，1(0,),(1,0)2C B -，所以12BC k =，当1x >时，()l n f x x =，所以'1()f x x =．设切点A 的坐标为11(,ln )x x ，则1111ln 120x x x +=-，解之得1x =AC k =．结合图像可知，实数m 的取值范围为1(,)2e．故应填1(2e ．【考点】1、函数与方程；2、函数的图像；3、导数的几何意义．【思路点睛】本题主要考查了函数与方程、函数的图像与导数的几何意义，考查学生的学科内知识的综合应用能力与作图能力、计算能力，属中高档题．其解题的一般思路为：首先将方程21)(-=mx x f 恰有四个不相等的实数根转化为函数⎩⎨⎧>≤-=,1,ln ,1,1)(2x x x x x f 与函数12y mx =-有四个不同的交点，然后分别作出两个函数的图像，最后结合函数的图像即可得出所求的结果． 三、解答题17．在△ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知bac B C A -=-2cos cos 2cos ，且43sin =A ，角C 为锐角． （1）求角C 的大小； （2）若7=c ，且△ABC 的面积为233，求22b a +的值． 【答案】（1）3C π=；（2）2213a b +=．【解析】试题分析：（1）首先运用正弦定理即可将已知等式转化为只函数角的正弦和余弦的形式，然后运用两角和或差的正弦和余弦公式即可得到sin()2sin()A B B C +=+，再结合三角形的内角和为0180即可得出sin 2sin C A =，最后结合已知即可得出角C的大小；（2）由（1）并结合三角形的面积公式1sin 2S ab C =可得出ab 的值，再由余弦定理的计算公式即可得出22b a +的值．试题解析：（1）由正弦定理得cos 2cos 22sin sin cos sin A C c a C A B b B---==， 即sin cos 2sin cos 2sin cos sin cos B A B C C B A B -=-，即有sin()2sin()A B B C +=+，即s i n2s i n C A =,又sin A =，所以sin C =，因为角C 为锐角，所以3C π=．（2）由（1）得3C π=，所以1s i n 2S a b C a =，所以6ab =，又c =2222cos73c a b ab π=+-=，所以2213a b +=．【考点】1、正弦定理的应用；2、余弦定理的应用．【方法点睛】本题以三角形为背景，主要考查三角恒等变形、正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，属中档题．对于第一问的解题的关键是能够熟练运用正弦定理将已知的边角等式关系转化为角角关系或边边关系；对于第二问的解题的关键是应注意三角形的面积公式的正确使用． 18．为了解某地区观众对某大型综艺节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众观看该节目的场数与所对应的人数的表格：将收看该节目场数不低于13场的观众称为“歌迷”，已知“歌迷”中有10名女性． 根据已知条件完成下图的22⨯列联表，并判断我们能否有95%的把握认为“歌迷”与性别有关？将收看该节目所有场数（14场）的观众称为“超级歌迷”，已知“超级歌迷”中有2名女性，若从“超级歌迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率．注：))()((0()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=，【答案】（1）详见解析；（2）7()10P A =．【解析】试题分析：（1）由频率分布直方图可知，抽取的100名观众中，“体育迷”共有(0.020.005)1010025+⨯⨯=名．于是可得出2×2列联表，然后根据列联表中的数据代入计算公式计算可得2K 的观测值，最后由独立性检验基本原理即可判断出结果；（2）由频率分布直方图可知，“超级体育迷”有5名，于是可得出一切可能结果所组成的基本事件的总数，然后设A 表示事件“任意选取的两人中，至少有1名女性观众”，可得事件A 包括的基本事件数，最后利用古典概型计算公式即可得出结果． 试题解析：（1）由统计表可知，在抽取的100人中，“歌迷”有25人，从而完成2×2列联表如下：将2×2列联表中的数据代入公式计算得：22100(30104515)100 3.030 3.8417525455533K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯ ，所以我们没有95%的把握认为“歌迷”与性别有关．（2）由统计表可知，“超级歌迷”有5人，其中2名女性，3名男性，设2名女性分别为12,a a ，3名男性分别为123,,b b b ，从中任取2人所包含的基本事件有：12111213212223121323(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)a a a b a b a b a b a b a b b b b b b b 共10个用A 表示“任意选取的两人中，至少有1名女性观众”这一事件，A 包含的基本事件有：12111213212223(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)a a a b a b a b a b a b a b 共7个，所以7()10P A =． 【考点】1、独立性检验的初步思想；2、古典概型计算概率公式；3、频率分布直方图． 【方法点睛】本题主要考查了频率分布直方图、古典概型计算概率公式和独立性检验的初步思想，考查学生的推理能力与计算能力，属中档题．对于第（1）问，其解题的关键是正确地运用频率分布直方图求概率，并准确运用公式计算2K 的值；对于（2）问，其解题的关键是正确地计算基本事件的总数和事件A 的基本事件数．19．如图，在三棱柱111C B A ABC -中，侧棱⊥1AA 底面ABC ，AB ⊥BC ，D 为AC 的中点，21==AB AA ．（1）求证：∥1AB 平面D BC 1；（2）设BC=3，求四棱锥11C DAA B -的体积． 【答案】（1）证明详见解析；（2）3． 【解析】试题分析：（1）首先连接1B C ，设1B C 与1BC 相交于点O ，连接OD ，然后由已知可得OD 为1AB C ∆的中位线，再根据线面平行的判定定理即可证明；（2）根据面面垂直的判定定理可知，平面ABC ⊥平面11AAC C ，然后作BE AC ⊥，垂足为E ，则BE ⊥平面11AAC C ，再求出四棱锥的棱长并根据四棱锥的体积公式即可得出所求的结果．试题解析：（1）证明：连接1B C ，设1B C 与1BC 相交于点O ，连接OD ．因为四边形11BCC B 是矩形，所以点O 是1B C 的中点，因为D 为AC 的中点，所以OD 为1AB C ∆的中位线，所以1//OD AB ，因为OD ⊂平面1BC D ，1AB ⊄平面1BC D ，所以1//AB 平面1BC D ．（2）因为1AA ⊥平面ABC ，1AA ⊂平面11AAC C ，所以平面ABC ⊥平面11AAC C ，且平面ABC 平面11AAC C =AC ．作B E A C ⊥，垂足为E ，则BE ⊥平面11AAC C ． 因为12,3,A B B BB C ===在Rt ABC ∆中，AC ==，AB BC BE AC ⋅==，所以11111111()23326B AA C D V AC AD AA BE -=⨯+⋅⋅==． 【考点】1、线面平行的判定定理；2、简单空间几何体的体积．20．设椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x M 的离心率与双曲线122=-y x 的离心率互为倒数，且椭圆的长轴长为4．（1）求椭圆M 的方程； （2）若直线m x y +=2交椭圆M 于A ，B 两点，)2,1(P 为椭圆M 上一点，求△PAB面积的最大值．【答案】（1）22142y x+=；（2）max()PABS∆【解析】试题分析：（1即2ca=，然后由椭圆的长轴长为4可得24a=，从而可求出,,a b c，最后得出椭圆的标准方程；（2）首先联立直线AB与椭圆的标准方程并消去y可得到关于x的一元二次方程，然后由韦达定理可得根与系数之间的关系，进而求出其弦长，最后求出三角形△PAB的面积的表达式并由基本不等式即可得出其最大值．试题解析：（1）双曲线的离心率为2cea==，由24a=，ca=，222b a c=-，得2a=，c=b=故椭圆M的方程为22142y x+=．（2）联立方程22,1,24y mx y⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得22440x m++-=，由22)16(4)0m∆=-->，得m-<<12212,4,4x xmx x⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩所以12AB x=-==又P到直线AB的距离为d=，所以12PABS AB d∆===22(8)2m m+-=当且仅当2(m=±∈-时取等号，所以max()PABS∆【考点】1、椭圆的标准方程；2、直线与椭圆的相交的综合问题．21．设函数Rkxkxxf∈+=,ln)(．（1）若曲线()y f x=在点(,())e f e处的切线与直线x-2=0垂直，求()f x的单调递减区间和极小值（其中e 为自然对数的底数）；（2）若对任意021>>x x ，2121)()(x x x f x f -<-恒成立，求k 的取值范围．【答案】（1）()f x 的单调减区间为(0,)e ，极小值为2，无极大值；（2）1[,)4+∞．【解析】试题分析：（1）首先求出函数()f x 的导函数'()f x ，然后利用导数的几何意义求出k 的值，最后利用导数求出该函数的单调区间及其极值；（2）首先构造函数()()ln (0)k g x f x x x x x x =-=+->，然后将已知问题转化为()g x 在(0,)+∞上单调递减，进一步地转化为2k x x ≥-+恒成立，最后计算出函数2x x -+的最大值即可得出所求的结果．试题解析：（1）由()ln ,k f x x x =+知0x >，且21'()(0)k f x x x x=->,因为曲线()y f x =在点(,())e f e 处的切线与直线2x =垂直，所以'()0f e =，所以210k e e-=，得k e =．所以221'()(0)e x e f x x x x x -=-=>，令'()0f x <，得0x e <<，()f x 在(0,)e 上单调递减；令'()0f x >，得x e >，()f x 在(,)e +∞上单调递增，所以当x e =时()f x 有极小值，且极小值为()ln 12f e e =+=．综上，()f x 的单调减区间为(0,)e ，极小值为2，无极大值．（2）因为1212120,()()x x f x f x x x >>-<-恒成立，则有1122()()f x x f x x -<-，对120x x ∀>>恒成立，令()()ln (0)k g x f x x x x x x =-=+->，则()g x 在(0,)+∞上单调递减，所以21'()10k g x x x =--≤在(0,)+∞上恒成立，所以2211()(0)24k x x x x ≥-+=--+>恒成立．令211()()24h x x =--+，则m a x 1[()]4k h x ≥=．所以k 的取值范围是1[,)4+∞． 【考点】1、导数的概念及应用；2、导数在研究函数的单调性与极值中的应用．22．选修4-1：几何证明选讲如图，AB 是圆O 的直径，,C D 是圆O 上两点，AC 与BD 相交于点E ，GC ，GD 是圆O 的切线，点F 在DG 的延长线上，且DG GF =．求证：（1）,,,D E C F 四点共圆；（2）GE AB ⊥．【答案】详见解析．【解析】试题分析：（1）如图，连接,OC OD ，则,OC CG OD DG ⊥⊥，可得四点D ，E ，C ，F 共圆；设1,2,3CAB DBA ACO ∠=∠∠=∠∠=∠，可得21,22COB DOA ∠=∠∠=∠，于是1802(12)DGC DOC ∠=-∠=∠+∠ ，再利用切线长定理即可得到180DEC F ∠+∠= ，进而得出所证的结果；（2）首先延长GE 交AB 于点H ，然后由GD GC GF ==，可得点G 是经过,,,D E C F 四点的圆的圆心，进而得到GE GC =，GCE GEC ∠=∠，再结合已知390,13GCE ∠+∠=∠=∠ 即可得出所求的证明．试题解析：（1）如图，连接,OC OD ，则,O C C G O D D G ⊥⊥，设1,2,3C A B D B A A C O ∠=∠∠=∠∠=∠，则21,22C O B D O A ∠=∠∠=∠．所以1802(12)D G C D O C ∠=-∠=∠+∠ ．因为2DGC F ∠=∠，所以F ∠=12∠+∠．又因为180(12)DEC AEB ∠=∠=-∠+∠ ,所以180DEC F ∠+∠= ，所以,,,D E C F 四点共圆．（2）延长GE 交AB 于点H ．因为GD GC GF ==，所以点G 是经过,,,D E C F 四点的圆的圆心．所以GE GC =，所以GCE GEC ∠=∠．又因为390,13GCE ∠+∠=∠=∠ ，所以190GEC ∠+∠= ，所以190AEH ∠+∠= ，所以90EHA ∠= ，即GE AB ⊥．【考点】1、圆内接四边形的性质与判定；2、圆的切线的性质定理．23．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为40x y -+=，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==,sin ,cos 3ααy x （α为参数）．（1）已知在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，点P 的极坐标为)2,4(π，判断点P 与直线l 的位置关系；（2）设点Q 为曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．【答案】（1）点P 在直线l 上；（2）d【解析】试题分析：（1）直接将椭圆的参数方程右边的系数都化为1，然后直接平方作和即可得出所求的结果；（2）设出与已知直线平行的直线方程，然后与椭圆的方程联立并用判别式等于0解出该直线方程，再由两平行线间的距离公式即可求出曲线上的动点到直线的距离即为所求．试题解析：（1）把点(4,)2P π化为直角坐标，得(0,4)P ．因为点(0,4)P 的直角坐标满足直线l 的方程40x y -+=，所以点P 在直线l 上．（2）因为点Q 在曲线C 上，故可设点Q的坐标为,sin )αα，它到直线l 的距离：)6d πα===++，所以当cos()16πα+=-时，d【考点】1、椭圆的参数方程；2、直线与椭圆的相交问题．24．选修4-5：不等式选讲 已知函数3212)(-++=x x x f ．（1）求不等式6)(≤x f 的解集；（2）若关于x 的不等式2)3(log )(22>--a a x f 恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）{}12x x -≤≤；（2）10a -<<或3 4.a <<【解析】试题分析：（1）首先分三种情况进行讨论：①32x >，②1322x -≤≤，③12x <-，并分别化去绝对值，得到相应的不等式组，最后运用一元二次不等式的解法即可得出所求的结果；（2）首先将已知的恒成立问题转化为22log (3)22123a a x x -+<++-，然后运用三角不等式即可得出2123x x ++-的最小值，进而得出对数不等式，最后解出该对数不等式即可得出所求的结果．试题解析：（1）原不等式等价于：3,2(21)(23)6,x x x ⎧>⎪⎨⎪++-≤⎩或13,22(21)(23)6,x x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪+--≤⎩或1,2(21)(23)6,x x x ⎧<-⎪⎨⎪-+--≤⎩解得322x <≤或1322x -≤≤或112x -≤<-．不等式的解集为{}12x x -≤≤． （2）不等式22()log (3)2f x a a -->等价于22log (3)22123a a x x -+<++-， 因为212321(23)4x x x x ++-≥+--=，所以()f x 的最小值为4，于是22log (3)24,a a -+<即2230,340,a a a a ⎧->⎨--<⎩所以10a -<<或3 4.a << 【考点】1、含绝对值不等式的解法；2、对数不等式．。

2015-2016学年省一中高三（上）调研数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的．1．已知集合P={x|﹣1＜x＜3}，Q={x|﹣2＜x＜1}，则P∩Q=（）A．（﹣2，1）B．（﹣2，3）C．（1，3）D．（﹣1，1）2．复数的共轭复数是（）A．2﹣i B．﹣2﹣i C．2+i D．﹣2+i3．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是（）A．y= B．y=e﹣x C．y=﹣x2+1 D．y=lg|x|4．有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则平行于平面所有直线；已知直线b⊄平面α，直线a⊊平面α，直线b∥平面α，则直线b∥直线a”的结论显然是错误的，这是因为（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误 D．非以上错误5．若幂函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x m在（0，+∞）上为增函数，则实数m=（）A．2 B．﹣1 C．3 D．﹣1或26．如图给出了函数y=a x，y=log a x，y=log（a+1）x，y=（a﹣1）x2的图象，则与函数y=a x，y=log a x，y=log（a+1）x，y=（a﹣1）x2依次对应的图象是（）A．①②③④B．①③②④C．②③①④D．①④③②7．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为（）A．15 B．105 C．245 D．9458．设a=20.3，b=3，c=ln（ln2）则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a9．若z∈C且|z+2﹣2i|=1，则|z﹣1﹣2i|的最小值是（）A．2 B．3 C．4 D．510．已知函数f（x）=ln（﹣3x）+1，则f（lg2）+f（lg）=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．211．设f（x）是奇函数，且在（0，+∞）是增加的，又f（﹣3）=0，则x•f（﹣x）＜0的解集是（）A．{x|x＜﹣3，或0＜x＜3} B．{x|﹣3＜x＜0，或x＞3}C．{x|x＜﹣3，或x＞3} D．{x|﹣3＜x＜0，或0＜x＜3}12．将侧棱相互垂直的三棱锥称为“直角三棱锥”，三棱锥的侧面和底面分别叫直角三棱锥的“直角面和斜面”；过三棱锥顶点及斜面任两边中点的截面均称为斜面的“中面”．已知直角三角形具有性质：“斜边的中线长等于斜边边长的一半”．仿照此性质写出直角三棱锥具有的性质（）A．直角三棱锥中，每个斜面的中面面积等于斜面面积的三分之一B．直角三棱锥中，每个斜面的中面面积等于斜面面积的四分之一C．直角三棱锥中，每个斜面的中面面积等于斜面面积的二分之一D．直角三棱锥中，每个斜面的中面面积与斜面面积的关系不确定二、填空题：本大题共4个小题．每小题5分，共20分．把答案直接填在题中横线上．13．如图为某商场一天营业额的扇形统计图，根据统计图你能得到服装鞋帽和百货日杂共售出元．14．下列是某厂1～4月份用水量（单位：百吨）的一组数据，由其散点图可知，用水量y 与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是=﹣0.7x+，则=．月份x 1 2 3 4用水量y 4.5 4 3 2.515．观察下列等式：（1+1）=2×1（2+1）（2+2）=22×1×3（3+1）（3+2）（3+3）=23×1×3×5…照此规律，第n个等式可为．16．已知函数f（x）=（a是常数且a＞0）．给出下列命题：①函数f（x）的最小值是﹣1；②函数f（x）在R上是单调函数；③函数f（x）在（﹣∞，0）上的零点是x=lg；④若f（x）＞0在[，+∞）上恒成立，则a的取值围是[1，+∞）；⑤对任意的x1，x2＜0且x1≠x2，恒有f（）＜．其中正确命题的序号是．（写出所有正确命题的序号）三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）（2014秋•龙南县校级期末）已知函数f（x）=的定义域为集合A，函数g（x）=（）x，（﹣1≤x≤0）的值域为集合B．（1）求A∩B；（2）若集合C={x|a≤x≤2a﹣1}，且C∩B=C，数a的取值围．18．（12分）（2014春•校级期末）（1）用反证法证明：在一个三角形中，至少有一个角大于或等于60°．（2）已知n≥0，试用分析法证明：．19．（12分）（2012•马二模）现对某市工薪阶层关于“楼市限购政策”的态度进行调查，随机抽查了50人，他们月收入（单位：百元）的频数分布及对“楼市限购政策”赞成人数如下表：月收入（单位百元）[15，25）[25，35）[35，45）[45，55）[55，65）[65，75）频数 5 10 15 10 5 5赞成人数 4 8 12 5 2 1（Ⅰ）根据以上统计数据填写下面2×2列联表，并回答是否有99%的把握认为月收入以5500元为分界点对“楼市限购政策”的态度有差异？月收入不低于55百元的人数月收入低于55百元的人数合计赞成a= b=不赞成c= d=合计（Ⅱ）若从月收入在[55，65）的被调查对象中随机选取两人进行调查，求至少有一人不赞成“楼市限购政策”的概率．（参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d．）参考值表：P（k2≥k0）0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.0050.001k00.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.87910.82820．（12分）（2014春•西华县校级期末）在数列{a n}中，a1=1，a n+1=，n∈N*，猜想这个数列的通项公式是什么？这个猜想正确吗？说明理由．21．（12分）（2014秋•期末）函数f（x）=a x﹣（m﹣2）a﹣x（a＞0且a≠1）是定义域为R 的奇函数．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）若f（1）=，且g（x）=2x[f（x）﹣k]（k∈R）在[0，1]上的最大值为5，求k的值．四.请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（2015•校级四模）如图，已知四边形ABCD接于圆O，且AB是圆O的直径，以点D为切点的圆O的切线与BA的延长线交于点M．（Ⅰ）若MD=6，MB=12，求AB的长；（Ⅱ）若AM=AD，求∠DCB的大小．[选修4-4：坐标系和参数方程]23．（2015•校级四模）在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（3，），求|PA|+|PB|．[选修4-5：不等式选讲]24．（2015•校级四模）设函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|．（1）求不等式f（x）≥3的解集；（2）若关于x的不等式f（x）≥t2﹣3t在[0，1]上无解，数t的取值围．2015-2016学年省一中高三（上）调研数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的．1．已知集合P={x|﹣1＜x＜3}，Q={x|﹣2＜x＜1}，则P∩Q=（）A．（﹣2，1）B．（﹣2，3）C．（1，3）D．（﹣1，1）【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】由P与Q，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵P=（﹣1，3），Q=（﹣2，1），∴P∩Q=（﹣1，1），故选：D．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．复数的共轭复数是（）A．2﹣i B．﹣2﹣i C．2+i D．﹣2+i【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题．【分析】首先要对所给的复数进行整理，分子和分母同乘以分母的共轭复数，化简到最简形式，把得到的复数虚部变为相反数，得到要求的共轭复数．【解答】解：∵复数===﹣2﹣i，∴共轭复数是﹣2+i．故选：D．【点评】复数的加减乘除运算是比较简单的问题，在高考时有时会出现，若出现则是一定要得分的题目．3．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是（）A．y= B．y=e﹣x C．y=﹣x2+1 D．y=lg|x|【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】根据偶函数的定义，可得C，D是偶函数，其中C在区间（0，+∞）上单调递减，D在区间（0，+∞）上单调递增，可得结论．【解答】解：根据偶函数的定义，可得C，D是偶函数，其中C在区间（0，+∞）上单调递减，D在区间（0，+∞）上单调递增，故选：C．【点评】本题考查奇偶性与单调性的综合，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．4．有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则平行于平面所有直线；已知直线b⊄平面α，直线a⊊平面α，直线b∥平面α，则直线b∥直线a”的结论显然是错误的，这是因为（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误 D．非以上错误【考点】演绎推理的基本方法．【专题】推理和证明．【分析】本题考查的知识点是演绎推理的基本方法及空间中线面关系，在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能是逻辑错误，我们分析：“直线平行于平面，则平行于平面所有直线；已知直线b⊄平面α，直线a⊂平面α，直线b∥平面α，则直线b∥直线a”的推理过程，不难得到结论．【解答】解：直线平行于平面，则直线可与平面的直线平行、异面、异面垂直．故大前提错误．故答案为：A【点评】演绎推理的主要形式就是由大前提、小前提推出结论的三段论推理．三段论推理的依据用集合论的观点来讲就是：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性质P．三段论的公式中包含三个判断：第一个判断称为大前提，它提供了一个一般的原理；第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况；这两个判断联合起来，揭示了一般原理和特殊情况的在联系，从而产生了第三个判断结论．演绎推理是一种必然性推理，演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系．因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但错误的前提可能导致错误的结论．5．若幂函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x m在（0，+∞）上为增函数，则实数m=（）A．2 B．﹣1 C．3 D．﹣1或2【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】直接利用幂函数的定义与性质求解即可．【解答】解：幂函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x m在（0，+∞）上为增函数，所以m2﹣m﹣1=1，并且m＞0，解得m=2．故选：A．【点评】本题考查幂函数的断断续续以及幂函数的定义的应用，基本知识的考查．6．如图给出了函数y=a x，y=log a x，y=log（a+1）x，y=（a﹣1）x2的图象，则与函数y=a x，y=log a x，y=log（a+1）x，y=（a﹣1）x2依次对应的图象是（）A．①②③④B．①③②④C．②③①④D．①④③②【考点】对数函数的图像与性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】由二次函数的图象为突破口，根据二次函数的图象开口向下得到a的围，然后由指数函数和对数函数的图象的单调性得答案．【解答】解：由图象可知y=（a﹣1）x2为二次函数，且图中的抛物线开口向下，∴a﹣1＜0，即a＜1．又指数函数和对数函数的底数大于0且不等于1，∴y=a x为减函数，图象为①；y=log a x为减函数，图象为③；y=log（a+1）x为增函数，图象为②．∴与函数y=a x，y=log a x，y=log（a+1）x，y=（a﹣1）x2依次对应的图象是①③②④．故选B．【点评】本题考查了基本初等函数的图象和性质，是基础的概念题．7．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为（）A．15 B．105 C．245 D．945【考点】程序框图．【专题】算法和程序框图．【分析】算法的功能是求S=1×3×5×…×（2i+1）的值，根据条件确定跳出循环的i值，计算输出S的值．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S=1×3×5×…×（2i+1）的值，∵跳出循环的i值为4，∴输出S=1×3×5×7=105．故选：B．【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键．8．设a=20.3，b=3，c=ln（ln2）则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a【考点】对数值大小的比较．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵0＜a=20.3＜2，b=3＞=2，c=ln（ln2）＜0，∴b＞a＞c．故选：C．【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，属于基础题．9．若z∈C且|z+2﹣2i|=1，则|z﹣1﹣2i|的最小值是（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】复数求模．【专题】数系的扩充和复数．【分析】根据两个复数差的几何意义，求得|z﹣1﹣2i|的最小值．【解答】解：∵|z+2﹣2i|=1，∴复数z对应点在以C（﹣2，2）为圆心、以1为半径的圆上．而|z﹣1﹣2i|表示复数z对应点与点A（1，2）间的距离，故|z﹣1﹣2i|的最小值是|AC|﹣1=2，故选：A．【点评】本题主要考查两个复数差的几何意义，求复数的模的最值，属于基础题．10．已知函数f（x）=ln（﹣3x）+1，则f（lg2）+f（lg）=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【考点】函数奇偶性的性质；函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】判断函数y=ln（﹣3x）的奇偶性，然后求解函数值即可．【解答】解：因为函数g（x）=ln（﹣3x）满足g（﹣x）=ln（+3x）=﹣ln（﹣3x）=﹣g（x），函数是奇函数，g（lg2）+g（﹣lg2）=0，所以f（lg2）+f（lg）=f（lg2）+f（﹣lg2）=0+1+1=2．故选：D．【点评】本题考查函数的奇偶性的应用，函数值的求法，考查计算能力．11．设f（x）是奇函数，且在（0，+∞）是增加的，又f（﹣3）=0，则x•f（﹣x）＜0的解集是（）A．{x|x＜﹣3，或0＜x＜3} B．{x|﹣3＜x＜0，或x＞3}C．{x|x＜﹣3，或x＞3} D．{x|﹣3＜x＜0，或0＜x＜3}【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】综合题；函数的性质及应用．【分析】由已知可判断f（x）在（﹣∞，0）的单调性及所过点，作出其草图，根据图象可解不等式．【解答】解：∵f（x）是奇函数，且在（0，+∞）递增，∴f（x）在（﹣∞，0）也递增，又f（﹣3）=0，∴f（3）=﹣f（﹣3）=0，作出f（x）的草图，如图所示：由图象可知，x•f（﹣x）＜0⇔﹣xf（x）＜0⇔xf（x）＞0⇔或⇔x＞3或x＜﹣3，∴x•f（﹣x）＜0的解集是{x|x＜﹣3或x＞3}．故选C．【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性及其综合应用，考查抽象不等式的求解，考查数形结合思想，属中档题．12．将侧棱相互垂直的三棱锥称为“直角三棱锥”，三棱锥的侧面和底面分别叫直角三棱锥的“直角面和斜面”；过三棱锥顶点及斜面任两边中点的截面均称为斜面的“中面”．已知直角三角形具有性质：“斜边的中线长等于斜边边长的一半”．仿照此性质写出直角三棱锥具有的性质（）A．直角三棱锥中，每个斜面的中面面积等于斜面面积的三分之一B．直角三棱锥中，每个斜面的中面面积等于斜面面积的四分之一C．直角三棱锥中，每个斜面的中面面积等于斜面面积的二分之一D．直角三棱锥中，每个斜面的中面面积与斜面面积的关系不确定【考点】棱锥的结构特征．【专题】空间位置关系与距离．【分析】对于“直角三棱锥”，类比直角三角形的性质，可得斜面的中面面积等于斜面面积的四分之一．【解答】解：由于直角三角形具有以下性质：斜边的中线长等于斜边边长的一半，故对于“直角三棱锥”，结合相似三角形的面积比等于相似比的平方可得以下性质：斜面的中面面积等于斜面面积的四分之一．故选：B．【点评】本题主要考查的知识点是类比推理，由平面图形的性质向空间物体的性质进行类比时，常用的思路有：由平面图形中点的性质类比推理出空间里的线的性质，由平面图形中线的性质类比推理出空间中面的性质，属于基础题．二、填空题：本大题共4个小题．每小题5分，共20分．把答案直接填在题中横线上．13．如图为某商场一天营业额的扇形统计图，根据统计图你能得到服装鞋帽和百货日杂共售出29000元．【考点】绘制统筹图的方法．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用统计图，求出副食品的比例，然后求解服装鞋帽和百货日杂共售出的金额．【解答】解：由题意可知：副食品的比例：10%．一天营业额为：5800元．服装鞋帽和百货日杂共售出：5×5800=29000元．故答案为：29000【点评】本题考查统计图的应用，考查计算能力．14．下列是某厂1～4月份用水量（单位：百吨）的一组数据，由其散点图可知，用水量y 与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是=﹣0.7x+，则= 5.25．月份x 1 2 3 4用水量y 4.5 4 3 2.5【考点】线性回归方程．【专题】计算题；应用题．【分析】根据所给的数据，做出x，y的平均数，即得到样本中心点，根据所给的线性回归方程，把样本中心点代入，只有a一个变量，解方程得到结果．【解答】解：∵=3.5∴=﹣=3.5+0.7×2.5=5.25．故答案为：5.25【点评】本题考查线性回归方程，考查样本中心点的性质，考查线性回归方程系数的求法，是一个基础题，本题运算量不大，是这一部分的简单题目．15．观察下列等式：（1+1）=2×1（2+1）（2+2）=22×1×3（3+1）（3+2）（3+3）=23×1×3×5…照此规律，第n个等式可为（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）=2n•1•3•5…•（2n﹣1）．【考点】归纳推理．【专题】压轴题；阅读型．【分析】通过观察给出的前三个等式的项数，开始值和结束值，即可归纳得到第n个等式．【解答】解：题目中给出的前三个等式的特点是第一个等式的左边仅含一项，第二个等式的左边含有两项相乘，第三个等式的左边含有三项相乘，由此归纳第n个等式的左边含有n项相乘，由括号数的特点归纳第n个等式的左边应为：（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n），每个等式的右边都是2的几次幂乘以从1开始几个相邻奇数乘积的形式，且2的指数与奇数的个数等于左边的括号数，由此可知第n个等式的右边为2n•1•3•5…（2n﹣1）．所以第n个等式可为（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）=2n•1•3•5…（2n﹣1）．故答案为（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）=2n•1•3•5…（2n﹣1）．【点评】本题考查了归纳推理，归纳推理是根据已有的事实，通过观察、联想、对比，再进行归纳，类比，然后提出猜想的推理，是基础题．16．已知函数f（x）=（a是常数且a＞0）．给出下列命题：①函数f（x）的最小值是﹣1；②函数f（x）在R上是单调函数；③函数f（x）在（﹣∞，0）上的零点是x=lg；④若f（x）＞0在[，+∞）上恒成立，则a的取值围是[1，+∞）；⑤对任意的x1，x2＜0且x1≠x2，恒有f（）＜．其中正确命题的序号是①③⑤．（写出所有正确命题的序号）【考点】命题的真假判断与应用．【专题】计算题；数形结合；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】画出函数f（x）=（a是常数且a＞0）的图象，①由图只需说明在点x=0处函数f（x）的最小值是﹣1；②只需说明函数f（x）在R上的单调性即可；③函数f（x）在（﹣∞，0）的零点是lg；④只需说明f（x）＞0在[，+∞）上恒成立，则当x=时，函数取得最小值，从而求得a的取值围是a＞1；⑤已知函数f（x）的图象在（﹣∞，0））上是下凹的，所以任取两点连线应在图象的上方．【解答】解：对于①，由图只需说明在点x=0处函数f（x）的最小值是﹣1；故正确；对于②，由图象说明函函数f（x）在R上不是单调函数；故错；对于③，函数f（x）在（﹣∞，0）的零点是lg，故正确；对于④，只需说明f（x）＞0在[，+∞）上恒成立，则当x=时，函数取得最小值，求得a 的取值围是a＞1；故错；对于⑤，已知函数f（x）在（﹣∞，0）上的图象是下凹的，所以任取两点连线应在图象的上方，即f（）＜，故正确．故答案为：①③⑤．【点评】利用函数的图象研究函数的单调区间，以及根据函数的增减性得到函数的最值是常用的方法，解答本题的关键是图象法．三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）（2014秋•龙南县校级期末）已知函数f（x）=的定义域为集合A，函数g（x）=（）x，（﹣1≤x≤0）的值域为集合B．（1）求A∩B；（2）若集合C={x|a≤x≤2a﹣1}，且C∩B=C，数a的取值围．【考点】集合的包含关系判断及应用；交集及其运算．【专题】集合．【分析】（1）要使函数f（x）=有意义，则log2（x﹣1）≥0，利用对数的单调性可得x的围，即可得到其定义域为集合A；对于函数g（x）=（）x，由于﹣1≤x≤0，利用指数函数的单调性可得≤，即可得出其值域为集合B．利用交集运算性质可得A∩B．（2）由于C∩B=C，可得C⊆B．分类讨论：对C=∅与C≠∅，利用集合之间的关系即可得出．【解答】解：（1）要使函数f（x）=有意义，则log2（x﹣1）≥0，解得x≥2，∴其定义域为集合A=[2，+∞）；对于函数g（x）=（）x，∵﹣1≤x≤0，∴≤，化为1≤g（x）≤2，其值域为集合B=[1，2]．∴A∩B={2}．（2）∵C∩B=C，∴C⊆B．当2a﹣1＜a时，即a＜1时，C=∅，满足条件；当2a﹣1≥a时，即a≥1时，要使C⊆B，则，解得．综上可得：a∈．【点评】本题考查了函数的单调性、集合的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）（2014春•校级期末）（1）用反证法证明：在一个三角形中，至少有一个角大于或等于60°．（2）已知n≥0，试用分析法证明：．【考点】反证法与放缩法；综合法与分析法(选修）．【专题】证明题；不等式的解法及应用．【分析】（1）利用反证法．假设在一个三角形中，没有一个角大于或等于60°，可得其反面，从而可得三角和小于180°，与三角形中三角和等于180°矛盾；（2）利用分析法，从而转化为证明1＞0．【解答】证明：（1）假设在一个三角形中，没有一个角大于或等于60°，即均小于60°，（2分）则三角和小于180°，与三角形中三角和等于180°矛盾，故假设不成立．原命题成立．（6分）（2）要证上式成立，需证（8分）需证需证（10分）需证（n+1）2＞n2+2n需证n2+2n+1＞n2+2n，（12分）只需证1＞0因为1＞0显然成立，所以原命题成立．（14分）【点评】本题考查不等式的证明，考查反证法、分析法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19．（12分）（2012•马二模）现对某市工薪阶层关于“楼市限购政策”的态度进行调查，随机抽查了50人，他们月收入（单位：百元）的频数分布及对“楼市限购政策”赞成人数如下表：月收入（单位百元）[15，25）[25，35）[35，45）[45，55）[55，65）[65，75）频数 5 10 15 10 5 5赞成人数 4 8 12 5 2 1（Ⅰ）根据以上统计数据填写下面2×2列联表，并回答是否有99%的把握认为月收入以5500元为分界点对“楼市限购政策”的态度有差异？月收入不低于55百元的人数月收入低于55百元的人数合计赞成a= b=不赞成c= d=合计（Ⅱ）若从月收入在[55，65）的被调查对象中随机选取两人进行调查，求至少有一人不赞成“楼市限购政策”的概率．（参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d．）参考值表：P（k2≥k0）0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.0050.001k00.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.87910.828【考点】独立性检验的应用；古典概型及其概率计算公式．【专题】图表型．【分析】（I）根据提供数据，可填写表格，利用公式，可计算K2的值，根据临界值表，即可得到结论；（II）由题意设此组五人A，B，a，b，c，其A，B表示赞同者a，b，c表示不赞同者，分别写出从中选取两人的所有情形及其中至少一人赞同的情形，利用概率为的公式进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）根据题目得2×2列联表：月收入不低于55百元人数月收入低于55百元人数合计赞成a=3 b=29 32不赞成c=7 d=11 18合计10 40 50…（4分）假设月收入以5500为分界点对“楼市限购政策”的态度没有差异，根据列联表中的数据，得到：K2=≈6.27＜6.635．…（6分）假设不成立．所以没有99%的把握认为月收入以5500元为分界点对“楼市限购政策”的态度有差异…（8分）（Ⅱ）设此组五人A，B，a，b，c，其A，B表示赞同者a，b，c表示不赞同者从中选取两人的所有情形为：AB，Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，ab，ac，bc，其中至少一人赞同的有7种，故所求概率为P=…（12分）【点评】本题考查独立性检验、古典概型，是一道综合题，属于中档题．20．（12分）（2014春•西华县校级期末）在数列{a n}中，a1=1，a n+1=，n∈N*，猜想这个数列的通项公式是什么？这个猜想正确吗？说明理由．【考点】数列递推式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】利用数列递推式，计算前几项，可猜想通项，证明时利用取倒数的方法，可得数列{}是以=1为首项，为公差的等差数列，从而可求数列的通项．【解答】解：在{a n}中，a1=1，a2==，a3===，a4==，…，所以猜想{a n}的通项公式a n=．这个猜想是正确的．证明如下：因为a1=1，a n+1═，所以，即，所以数列{}是以=1为首项，为公差的等差数列，所以=1+（n﹣1）=n+，所以通项公式a n=．【点评】本题考查数列递推式，考查等差数列的判断，考查学生分析解决问题的能力，正确构造等差数列是关键．21．（12分）（2014秋•期末）函数f（x）=a x﹣（m﹣2）a﹣x（a＞0且a≠1）是定义域为R 的奇函数．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）若f（1）=，且g（x）=2x[f（x）﹣k]（k∈R）在[0，1]上的最大值为5，求k的值．【考点】函数奇偶性的性质；函数的最值及其几何意义．【专题】函数的性质及应用．【分析】本题（Ⅰ）利用f（x）是定义域为R的奇函数，得到f（0）=0，求出m=3，再验证，适合题意，得到本题结论；（2）（Ⅱ）由f（1）=，得到a=2，从而求出g（x）的解析式，换元后得到一个二次函数h（t），分类讨论研究二次函数的最大值，得到k=﹣1，得到本题结论．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（0）=0，即1﹣（m﹣2）=0，∴m=3．验证，当m=3时，f（﹣x）=﹣f（x），f（x）是奇函数，适合题意．∴m的值为3．（Ⅱ）∵f（1）=，∴a=2，即f（x）=2x﹣2﹣x．∴g（x）=4x﹣k•2x﹣1．令t=2x，∵x∈[0，1]，∴t∈[1，2]，∴h（t）=t2﹣kt﹣1=，，即k≤3时，h（t）max=h（2）=3﹣2k，即3﹣2k=5，得k=﹣1，，即k＞3时，h（t）max=h（1）=﹣k，即﹣k=5，得k=﹣5（舍）∴k=﹣1．【点评】本题考查了函数的奇偶性、二次函数在区间上的最值，还考查了换元转化的数学思想，本题难度适中，有一定的计算量，属于中档题．四.请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（2015•校级四模）如图，已知四边形ABCD接于圆O，且AB是圆O的直径，以点D为切点的圆O的切线与BA的延长线交于点M．（Ⅰ）若MD=6，MB=12，求AB的长；（Ⅱ）若AM=AD，求∠DCB的大小．【考点】与圆有关的比例线段．【专题】选作题；推理和证明．【分析】（Ⅰ）利用MD为⊙O的切线，由切割线定理以及已知条件，求出AB即可．（Ⅱ）推出∠AMD=∠ADM，连接DB，由弦切角定理知，∠ADM=∠ABD，通过AB是⊙O 的直径，四边形ABCD是圆接四边形，对角和180°，求出∠DCB即可．【解答】解：（Ⅰ）因为MD为⊙O的切线，由切割线定理知，MD2=MA•MB，又MD=6，MB=12，MB=MA+AB，所以MA=3，AB=12﹣3=9．…（5分）（Ⅱ）因为AM=AD，所以∠AMD=∠ADM，连接DB，又MD为圆O的切线，由弦切角定理知，∠ADM=∠ABD，又因为AB是圆O的直径，所以∠ADB为直角，即∠BAD=90°﹣∠ABD．又∠BAD=∠AMD+∠ADM=2∠ABD，于是90°﹣∠ABD=2∠ABD，所以∠ABD=30°，所以∠BAD=60°．又四边形ABCD是圆接四边形，所以∠BAD+∠DCB=180°，所以∠DCB=120°…（10分）【点评】本题考查圆的接多边形，切割线定理的应用，基本知识的考查．[选修4-4：坐标系和参数方程]23．（2015•校级四模）在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（3，），求|PA|+|PB|．【考点】直线的参数方程；简单曲线的极坐标方程．【专题】直线与圆．【分析】（I）由⊙C的方程可得：，利用极坐标化为直角坐标的公式x=ρcosθ，y=ρsinθ即可得出．．（II）把直线l的参数方程（t为参数）代入⊙C的方程得到关于t的一元二次方程，即可得到根与系数的关系，根据参数的意义可得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|即可得出．【解答】解：（I）由⊙C的方程可得：，化为．（II）把直线l的参数方程（t为参数）代入⊙C的方程得=0，化为．∴．（t1t2=4＞0）．根据参数的意义可得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=．【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线参数方程的几何意义、直线与圆的位置关系等基础知识与基本技能方法，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]24．（2015•校级四模）设函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|．（1）求不等式f（x）≥3的解集；（2）若关于x的不等式f（x）≥t2﹣3t在[0，1]上无解，数t的取值围．【考点】绝对值不等式的解法．【专题】计算题；不等式的解法及应用．【分析】（1）通过对x围的分类讨论，去掉绝对值符号，可得f（x）=，再解不等式f（x）≥3即可求得其解集；（2）当x∈[0，1]时，易求f（x）max=﹣1，从而解不等式t2﹣3t＞﹣1即可求得实数t的取值围．【解答】解：（1）∵f（x）=，∴原不等式转化为或或，解得：x≥6或﹣2≤x≤﹣或x＜﹣2，∴原不等式的解集为：（﹣∞，﹣]∪[6，+∞）；（2）只要f（x）max＜t2﹣3t，由（1）知，当x∈[0，1]时，f（x）max=﹣1，∴t2﹣3t＞﹣1，解得：t＞或t＜．∴实数t的取值围为（﹣∞，）∪（，+∞）．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，通过对x围的分类讨论，去掉绝对值符号是关键，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．。

2016年高中毕业年级第一次质量预测文科数学 参考答案一、选择题ACCCC BCBAC DD二、填空题13.{}|0;≥x x 14. ;24π15. 1; 16. 13.2三、解答题（共70分）17.解：⑴由已知条件: 21415,43428,2=+=⎧⎪⎨⨯=+⨯=⎪⎩a a d S a d ………………………2分 11,4.=⎧∴⎨=⎩a d ………………………4分 ()114 3.n a a n d n ∴=+-⨯=-………………………6分⑵由⑴可得()(1)(1)43n n n n b a n =-=--………………………8分()21591317......8344.n T n n n =-+-+-++-=⨯=………………………12分18.解：⑴设“当罚金定为10元时，闯红灯的市民改正行为”为事件A ，……2分则()401.2005p A ==………………………4分 ∴当罚金定为10元时，比不制定处罚，行人闯红灯的概率会降低15.……………6分 ⑵由题可知A 类市民和B 类市民各有40人，故分别从A 类市民和B 类市民各抽出两人，设从A 类市民抽出的两人分别为1A 、2A ，设从B 类市民抽出的两人分别为1B 、2B .设从“A 类与B 类市民按分层抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷”为事件M ，………………………8分则事件M 中首先抽出1A 的事件有：()1212,,,A A B B ，()1221,,,A A B B ，()1122,,,,A B A B()1122,,,A B B A ，()1221,,,A B A B ，()1212,,,A B B A 共6种.同理首先抽出2A 、1B 、2B 的事件也各有6种.故事件M 共有4624⨯=种.………………………10分设从“抽取4人中前两位均为B 类市民”为事件N ，则事件N 有()1212,,,B B A A ，()1221,,,B B A A ，()2112,,,B B A A ，()2121,,,B B A A .()41.246P N ∴==∴抽取4人中前两位均为B 类市民的概率是16.………………………12分19. ⑴证明：设EC 与DF 交于点N ，连结MN ，在矩形CDEF 中，点N 为EC 中点，因为M 为EA 中点，所以MN ∥AC ，又因为AC ⊄平面MDF ，MN ⊂平面MDF ，所以AC ∥平面MDF . ……………………4分⑵解：取CD 中点为G ，连结,BG EG ， 平面CDEF ⊥平面ABCD ，平面CDEF 平面ABCD CD =，AD ⊂平面ABCD ，AD CD ⊥，所以AD ⊥平面CDEF ，同理ED ⊥平面ABCD ，……………………7分所以，ED 的长即为四棱锥E ABCD -的高，……………………8分在梯形ABCD 中1,//2AB CD DG AB DG ==，所以四边形ABGD 是平行四边形，//BG AD ，所以BG ⊥平面CDEF ，又因为DF ⊂平面CDEF ，所以BG DF ⊥，又BE DF ⊥，BE BG B = ， 所以DF ⊥平面BEG ，DF EG ⊥.……………………10分注意到Rt DEG Rt EFD ∆∆ ，所以28DE DG EF =⋅=，22DE =， 所以1423E ABCD ABCD V S ED -=⋅= . ……………………12分20. ⑴解：设曲线E 上任意一点坐标为(,)x y ，由题意，2222(1)3(1)x y x y ++=-+， ……………………2分整理得22410x y x +-+=，即22(2)3x y -+=为所求.……………………4分⑵解：由题知12l l ⊥ ，且两条直线均恒过点(1,0)N ，……………………6分 设曲线E 的圆心为E ，则(2,0)E ，线段CD 的中点为P ，则直线EP ：2y x =-,设直线CD ：y x t =-+，由2,y x y x t =-⎧⎨=-+⎩ ，解得点22(,)22t t P +-， ……………………8分 由圆的几何性质，221||||||||2NP CD ED EP ==-， ……………………9分 而22222||(1)()22t t NP +-=-+，2||3ED =，22|2|||()2t EP -=，解之得0t =，或3t =， ……………………10分所以直线CD 的方程为y x =-，或3y x =-+. ……………………12分21. ⑴解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞，()()()x m x m f x x +-'=，…………2分当0x m <<时，()0f x '<，函数()f x 的单调递减，当x m >时，()0f x '>，函数()f x 的单调递增.综上：函数()f x 的单调增区间是(,)m +∞，减区间是(0,)m .……………………5分 ⑵解：令21()()()(1)ln ,02F x f x g x x m x m x x =-=-++->，问题等价于求函数()F x 的零点个数，……………………6分 (1)()()x x m F x x --'=-，当1m =时，()0F x '≤，函数()F x 为减函数， 注意到3(1)02F =>，(4)ln 40F =-<，所以()F x 有唯一零点；………………8分当1m >时，01x <<或x m >时()0F x '<，1x m <<时()0F x '>， 所以函数()F x 在(0,1)和(,)m +∞单调递减，在(1,)m 单调递增， 注意到1(1)02F m =+>，(22)ln(22)0F m m m +=-+<，所以()F x 有唯一零点； ……………………11分综上，函数()F x 有唯一零点，即两函数图象总有一个交点. ……………12分22. ⑴证明：因为ECF CAE CEA CAE CBA ∠=∠+∠=∠+∠，EFC CDA BAE CBA ∠=∠=∠+∠， AE 平分BAC ∠， 所以ECF EFC ∠=∠，所以EC EF =. ……………………4分⑵解：因为ECD BAE EAC ∠=∠=∠，CEA DEC ∠=∠，所以CEA DEC ∆∆ ， ……………………6分 即2,CE DE EC EA EA CE DE ==， 由⑴知，3EC EF ==，所以92EA =， …………8分 所以45()4AC AF AD AE AE DE AE ⋅=⋅=-⋅=. ……………………10分23.解：（Ⅰ）()π22cos 2cos sin 4ρθθθ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，……………………………2分 即()22cos sin ρρθρθ=+，可得22220x y x y +--=， 故2C 的直角坐标方程为()()22112x y -+-=.…………………………………………5分 （Ⅱ）1C 的直角坐标方程为320x y ++=， 由（Ⅰ）知曲线2C 是以(1,1)为圆心的圆，且圆心到直线1C 的距离()2213233213d +++==+， ………………………8分 所以动点M 到曲线1C 的距离的最大值为33222++.………………………10分24.解：（Ⅰ）①当2x >时，原不等式可化为211x x --->，此时不成立；②当12x -≤≤时，原不等式可化为211x x --->，即10x -≤<，③当1x <-时，原不等式可化为211x x -++>,即1x <-， ……3分 ∴原不等式的解集是{}|0x x <． ………………………5分 （Ⅱ）因为1()121g x ax a x =+-≥-，当且仅当ax a =时“=”成立，所以min ()21g x a =-，-----7分12,02,()3,2x x f x x -<≤⎧=⎨->⎩ ，所以()[3,1)f x ∈-，-----9分∴211a -≥,即1a ≥为所求． -----10分。

河南省中原名校2016届高三上学期第一次联考 数学（文）试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1、已知全集U R =，集合{}021x x A =<<，{}3log0x x B =>，则()UAB =ð（ ）A ．{}1x x > B ．{}0x x > C ．{}01x x << D ．{}0x x <2、下列有关命题的说法错误的是（ ）A ．命题“若210x -=，则1x =”的逆否命题为：“若1x ≠，则210x -≠” B ．“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件 C ．若集合{}2440x kx x A =++=中只有一个元素，则1k =D ．对于命题:p R x ∃∈，使得210x x ++<，则:p ⌝R x ∀∈，均有210x x ++≥ 3、已知函数()221,1,1xx f x x ax x ⎧+<⎪=⎨+≥⎪⎩，若()04f f a =⎡⎤⎣⎦，则实数a 等于（ ） A ．9 B ．2 C ．12 D ．454、已知0.8log 0.9a =， 1.1log 0.9b =，0.91.1c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．c a b << 5、已知数列{}n a 为等比数列，满足472a a +=，298a a ⋅=-，则113a a +的值为（ ）A ．7B ．17C ．172-D ．17或172-6、在C ∆AB 中，若点D 满足D 2DC B =，则D A =（ ）A ．12C 33A +AB B ．52C 33AB -A C ．21C 33A -ABD ．21C 33A +AB7、已知函数()2211x x f x x ++=+，若()23f a =，则()f a -=（ ） A ．23 B ．23- C ．43 D ．43-8、函数()3cos391x xx f x =-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．9、已知3sin 45πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，则()sin 2πα+等于（ ） A ．725-B ．725C ．925D ．162510、已知函数()213ln 22f x x x =-+在其定义域内的一个子区间()1,1a a -+内不是单调函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．35,44⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭11、对任意实数a ，b 定义运算“⊗”：,1,1b a b a b a a b -≥⎧⊗=⎨-<⎩，设()()()214f x x x =-⊗+，若函数()y f x k=+有三个零点，则k 的取值范围是（ ）A ．[)2,1- B ．[]0,1 C ．[)2,0- D ．()2,1-12、设()f x 是定义在R 上的函数，其导函数为()f x '，若()()1f x f x '-<，()02016f =，则不等式()20151x f x e >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为（ ）A ．()(),00,-∞+∞ B ．()0,+∞ C ．()2015,+∞ D ．()(),02015,-∞+∞二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 13、求值：sin17cos13sin 73sin167+= ．14、设函数()f x 在()0,+∞内可导，且()1312xx f e x e =++，则()1f '= ．15、已知点()1,1A -，()1,2B ，()C 2,1--，()D 3,4，则向量AB 在CD 方向上的投影为 ．16、若函数()log ,122,13a x a x f x a x x +>⎧⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩为R 上的增函数，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17、（本小题满分10分）已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且68S π=，723a a =．()I 求数列{}n a 的通项公式；()II 设cos n n b a =，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求2015T 的值．18、（本小题满分12分）设命题:p 函数()21lg 16f x ax x a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的值域为R ；命题:q 不等式39xxa -<对一切R x ∈均成立．()I 如果p 是真命题，求实数a 的取值范围；()II 如果命题“p q ∨”为真命题，且“p q ∧”为假命题，求实数a 的取值范围．19、（本小题满分12分）已知向量3sin ,4a x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()cos ,1b x =-． ()I 当//a b 时，求2cos sin 2x x -的值；()II 设函数()()2f x a b b =+⋅，已知在C ∆AB 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c，若a =2b =，sin B =，求当03x π≤≤时，()()4cos 26g x f x π⎛⎫=+A + ⎪⎝⎭的取值范围．20、（本小题满分12分）已知函数()321132f x x x mx n=+++以()0,a为切点的切线方程是220 x y+-=．()I求实数m，n的值；()II若方程()2f x x b=+在3,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有两个不等实根，求实数b的取值范围．21、（本小题满分12分）已知函数()1lnf x x axx=++．()I若函数()f x在[)1,+∞上是单调函数，求实数a的取值范围；()II已知函数()1g x xx=+，对于任意[]11,x e∈，总存在[]21,x e∈，使得()()12f xg x≤成立，求正实数a的取值范围．22、（本小题满分12分）已知函数()()3221ln2f x a x x a a x=+-+（Ra∈），()223ln2g x x x x x=--．()I 判断()g x 在区间[]2,4上单调性；()II 若2a ≥，函数()f x 在区间[]2,4上的最大值为()G a ，求()G a 的解析式，并判断()G a 是否有最大值和最小值，请说明理由（参考数据：0.69ln 20.7<<）．河南省中原名校2016届高三上学期第一次联考 数学（文）试题参考答案 1．【答案】D 【解析】根据题意可知，{}{}|0,|1A x x B x x =<=>，{}|1U C B x x =≤，所以{}()|0U A C Bx x ⋂=<，故选D ．考点：集合的运算． 2.【答案】C【解析】因为命题“若p ,则q ”的逆否命题为：“若q ⌝,则p ⌝”，所以（A ）对；因为21320x x x =⇒-+=，所以充分性成立，又232012x x x x -+=⇒==或，所以必要性不成立，即“1x = ”是“2320x x -+=”的充分不必要条件，（B ）对；0k =也符合题意，故（C ）错；因为命题R :∈∃x p 使得q 的否定为R :∈∀⌝x p 均有q ⌝，因此（D ）对．考点： 1．四种命题关系；2．充分必要条件3．方程的根． 3. 【答案】B【解析】a a f f f 424)2())0((=+== ∴2=a 考点：分段函数 4. 【答案】C 【解析】18.0log 9.0log 1log 08.08.08.0=<=<=a ，01log 9.0log 1.11.1=<=b ，11.11.109.0=>=c ，所以c a b << 故选C考点：1.指、对函数的性质；2.比较大小 5. 【答案】D 【解析】∵8,29274-=⋅=+a a a a ∴8,27474-=⋅=+a a a a所以⎩⎨⎧=-=4274a a 或⎩⎨⎧-==2474a a当⎩⎨⎧=-=4274a a 时，17131=+a a ；当⎩⎨⎧-==2474a a 时，217131-=+a a ，故选D 。

郑州一中教育集团16届高三第一次联考文科数学试题说明：1. 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，满分 150 分，考试时间 120 分.钟 2. 将第Ⅰ卷的答案代表字母涂在答题卡中.第Ⅰ卷一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60. 分1. 已知集合M={3, log2a}，N={a ,b}，若M N={0}，则M N （ ） A. {0,1, 2} B. {0,1,3} C. {0,2,3} D. {1,2,3}2. 设p:1<x<2，q: 2x >1，则p 是q 成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3. 袋中共有5个除颜色外完全相同的小球，其中1个红球，2个白球和2个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于（ ）A.15 B. 25 C. 35 D. 454. 在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 2a 10=9，则a 5+a 7（ ）A. 有最小值6B. 有最大值6C. 有最大值9D. 有最小值3 5. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的外接 球的体积为（ ）A.B. C. 2π D.36. 已知向量a=(m, 2)，向量b=(2, -3)，若|a+b |=|a-b| ，则实数m 的值为（ ） A. -2 B. 3 C. 1 D. -37. 已知x>0,y>0, lg2x +lg8y =lg 2，则的最小值是（ ）A. 4B. 3C. 2D. 18. 执行如图所示的程序框图，若输出y= -，则输入角= （ ）A ．6π B ．-6π C ．3π D ．-3π9. 函数f(x)=Asin(x+6π)(A>0, >0)的图象与x 轴的交点的横坐标构成一个公差为2的等差数列，要得到函数 g(x)=Acos x 的图象，只需将f(x)的图象（ ） yA. 向左平移6π个单位 B. 向右平移3π个单位 C. 向左平移23π 个单位 D. 向右平移23π个单位10. 已知函数 f(x)=asinx+bx 3+4(a ∈R,b ∈R)， f'(x)为 f(x )的导函数，则f(2014)+f(-2014)+ f'(2015)-f'(-2015)= （ ） A. 2014 B. 2013 C. -2015 D. 811. 过双曲线2222:1x y C a b-=(a>0,b>0)的一个焦点F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线，若垂足恰好在线段OF 的垂直平分线上，则双曲线C 的离心率是（ ）A.3B. C. 2 D. 12. 在数列{a n }中，若对任意的n ∈N*均有a n +a n+1+a n+2为定值，且a 7=2,a 9=3, a 98= 4，则数列{a n }的前100项的和S 100= （ ） A. 132 B. 299 C. 68 D. 99第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分. 第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.若复数z=a ii+（其中i 为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数a _______. 14. 已知 m>0，实数x,y 满足若z=x+2y 的最大值为2，则实数m=_________.15. 顶点在原点，经过圆22:20C x y x +-+=的圆心且准线与x 轴垂直的抛物线方程为_________.16. 函数f (x)=若方程f(x)=mx-12恰有四个不相等的实数根，则实数 m 的取值范围是__________.三、解答题：解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）在ABC 中，内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，已知且sinA=4C 为锐角. （1）求角C 的大小；（2）若c=ABC a 2+b 2 的值.为了解某地区观众对某大型综艺节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名.下面是根据调查结果绘制的观众观看该节目的场数与所对应的人数的表格：将收看该节目场数不低于13场的观众称为“歌迷”，已知“歌迷”中有10名女性.（1）根据已知条件完成右图的2×2列联表，并判断我们能否有95%的把握认为“歌迷”与性别有关？（2）将收看该节目所有场数（14场）的观众称为“超级歌迷”，已知“超级歌迷”中有2名女性，若从“超级歌迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率.注：19.（本小题满分12分）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1底面ABC，AB BC，D为AC的中点，AA1=AB=2（1）求证：AB1 //平面BCD；（2）设BC=3，求四棱锥B-DAA1C1的体积.20.（本小题满分12分）设椭圆M:22221y xa b+=(a>b>0)的离心率与双曲线x2-y2=1的离心率互为倒数，且椭圆的长轴长为4.（1）求椭圆M的方程；（2）若直线交椭圆M于A,B两点，P(1, 为椭圆M上一点，求PAB面积的最大值.21.（本小题满分12分）设函数f(x)=lnx+kx,k∈R.（1）若曲线y= f(x)在点(e,f(e))处的切线与直线x-2=0垂直，求f(x)的单调递减区间和极小值（其中e为自然对数的底数）；（2）若对任意x1>x2>0，f(x1)-f(x2)<x1-x2恒成立，求k的取值范围.请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. 答题时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，AB 是圆O 的直径，C,D 是圆O 上两点，AC 与BD 相交于点E ，GC,GD 是圆的切线，点F 在DG 的延长线上，且DG=GF . 求证： （1）D,E,C,F 四点共圆； （2）GE AB.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x-y+4=0，曲线C 的参数方程为（1）已知在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，点P 的极坐标为 (4, 2) ，判断点P 与直线 的位置关系；（2）设点Q 为曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数f(x)=|2x+1|+|2x-3|.（1）求不等式f(x)≤6的解集；（2）若关于x 的不等式f(x)-log (a 2-3a)>2恒成立，求实数a 的取值范围.郑州一中教育集团16届高三第一次联考文科数学试题答案二、填空题13. ___________________.15. ___________________. 16. ___________________. 三、解答题17.（1）由正弦定理得cos 2cos 22sin sin cos sin A C c a C AB b B---==， 2分即sin cos 2sin cos 2sin cos sin cos B A B C C B A B -=-，即有sin()2sin()A B B C +=+，即sin 2sin C A =, 4分又sin A =，所以sin C =，因为角C 为锐角， 所以3C π=. 6分（2）由（1）得3C π=，所以1sin 2S ab C ===所以6ab =， 9分 又c =2222cos73c a b ab π=+-=，所以2213a b +=. 12分18. （1）由统计表可知，在抽取的100人中，“歌迷”有25人，从而完成2×2列联表如下：将2×2列联表中的数据代入公式计算得：-1 22y x =-1 1(2e高考提分，学霸之路 22100(30104515)100 3.030 3.8417525455533K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯ 5分所以我们没有95%的把握认为“歌迷”与性别有关. 6分（2）由统计表可知，“超级歌迷”有5人，其中2名女性，3名男性， 设2名女性分别为12,a a ，3名男性分别为123,,b b b ，从中任取2人所包含的基本事件有：12111213212223121323(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)a a a b a b a b a b a b a b b b b b b b 共10个9分 用A 表示“任意选取的两人中，至少有1名女性观众”这一事件，A 包含的基本事件有：12111213212223(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)a a a b a b a b a b a b a b 共7个 11分所以7()10P A =. 分 19（1）证明：连接1B C ，设1B C 与1BC 相交于点O ，连接OD . 2分 因为四边形11BCC B 是矩形，所以点O 是1B C 的中点，因为D 为AC 的中点，所以OD 为1AB C ∆的中位线，所以1//OD AB ， 4分因为OD ⊂平面1BC D ，1AB ⊄平面1BC D ， 5分所以1//AB 平面1BC D . 6分 （2）因为1AA ⊥平面ABC ，1AA ⊂平面11AAC C ，所以平面ABC ⊥平面11AAC C ，且平面ABC 平面11AAC C =AC作BE AC ⊥，垂足为E ，则BE ⊥平面11AAC C . 9分 因为12,3,AB BB BC ===A 1AB 1BC 1C DO高三 文科数学 第2页（共5页）在Rt ABC ∆中，AC ===AB BC BE AC ⋅==，所以，11111111()23326B AA C D V AC AD AA BE -=⨯+⋅⋅==. 12分 20.（12c e a ==，由 24a =，c a =，222b ac =-，得2a =，c =b = 3分 故椭圆M 的方程为22142y x += 4分 （2）联立方程22,1,24y m x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得22440x m ++-=，由22)16(4)0m ∆=-->，得m -<且12212,4,4x x m x x ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩ （6分）所以12AB x =-=分 又P 到直线AB的距离为d =， 9分所以12PABS AB d ∆===22(8)2m m+-≤=当且仅当2(m=±∈-时取等号，所以max()PABS∆12分21.（1）由()ln,kf x xx=+知0x>，且21'()(0)kf x xx x=->1分因为曲线()y f x=在点(,())e f e处的切线与直线2x=垂直，所以'()0f e=，所以21ke e-=，得k e=. 3分所以221'()(0)e x ef x xx x x-=-=>，令'()0f x<，得0x e<<，()f x在(0,)e上单调递减；令'()0f x>，得x e>，()f x在(,)e+∞上单调递增，所以当x e=时()f x有极小值，且极小值为()ln12f e e=+=. 5分综上，()f x的单调减区间为(0,)e，极小值为2，无极大值. 6分（2）因为1212120,()()x x f x f x x x>>-<-恒成立，则有1122()()f x x f x x-<-，对12x x∀>>恒成立，7分令()()ln(0)kg x f x x x x xx=-=+->，则()g x在(0,)+∞上单调递减，所以21'()10kg xx x=--≤在(0,)+∞上恒成立，所以2211()(0)24k x x x x≥-+=--+>恒成立. 10分令211()()24h x x=--+，则max1[()]4k h x≥=.所以k的取值范围是1[,)4+∞. 12分22.（选修4-1：几何证明选讲）（1）如图，连接,OC OD ，则,OC CG OD DG ⊥⊥，设1,2,3CAB DBA ACO ∠=∠∠=∠∠=∠，则21,22COB DOA ∠=∠∠=∠.1802(12)DGC DOC ∠=-∠=∠+∠ .因为2DGC F ∠=∠，所以F ∠=12∠+∠. 又因为180(12)DEC AEB ∠=∠=-∠+∠,所以180DEC F ∠+∠=，所以,,,D E C F 四点共圆. 5分 （2）延长GE 交AB 于点H . 因为GD GC GF ==，所以点G 是经过,,,D E C F 四点的圆的圆心. 所以GE GC =，所以GCE GEC ∠=∠.又因为390,13GCE ∠+∠=∠=∠，所以190GEC ∠+∠= ，所以190AEH ∠+∠= ，所以90EHA ∠=，即GE AB ⊥. 10分23.（选修4-4：坐标系与参数方程）（1）把点(4,)2P π化为直角坐标，得(0,4)P .（3分）因为点(0,4)P 的直角坐标满足直线l 的方程40x y -+=，所以点P 在直线l 上.（5分） （2）因为点Q 在曲线C 上，故可设点Q 的坐标为,sin )αα，它到直线l 的距离：)6d πα===++ 8分所以当cos()16πα+=-时，d 10分24.（选修4-5：不等式选讲）（1）原不等式等价于：3,2(21)(23)6,x x x ⎧>⎪⎨⎪++-≤⎩或13,22(21)(23)6,x x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪+--≤⎩或1,2(21)(23)6,x x x ⎧<-⎪⎨⎪-+--≤⎩ 3分 F A解得322x <≤或1322x -≤≤或112x -≤<-.不等式的解集为{}12x x -≤≤. —5分 （2）不等式22()log (3)2f x a a -->等价于22log (3)22123a a x x -+<++-， 因为212321(23)4x x x x ++-≥+--=，所以()f x 的最小值为4，于是 8分22log (3)24,a a -+<即2230,340,a a a a ⎧->⎨--<⎩所以10a -<<或3 4.a << 10分分。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集R U =，集合{}120|<<=x x A ，{}0log |3>=x x B ，则()=B C A U （ ） A ．{}1|>x x B ．{}0|>x x C ．{}10|<<x x D ．{}0|<x x 【答案】D考点：集合的运算.2.下列有关命题的说法错误的是（ ）A ．命题“若012=-x ，则1=x ”的逆否命题为：“若1≠x ，则012≠-x ” B ．“1=x ”是“0232=+-x x ”的充分不必要条件C ．若集合{}044|2=++=x kx x A 中只有一个元素，则1=kD ．对于命题R x p ∈∃:，使得012<++x x ，则R x p ∈∀⌝::p ⌝，均有012≥++x x【答案】C 【解析】试题分析：命题“若012=-x ，则1=x ”的逆否命题为：“若1≠x ，则012≠-x ”，正确；当1=x ，能得到0232=+-x x ，但0232=+-x x ，得到1=x 或2=x ，故正确；当0=k 时，方程0442=++x kx 只有一个根，故错误，对于命题R x p ∈∃:，使得012<++x x ，则R x p ∈∀⌝::p ⌝，均有012≥++x x ，正确，故答案为C.考点：1、四种命题的关系；2、充分条件、必要条件.3.已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧≥+<+=1,1,122x ax x x x f x ，若()[]a f f 40=，则实数a 等于（ ）A ．9B ．2C ．21D ．54【答案】B考点：分段函数的应用.4.已知9.0log 8.0=a ，9.0log 1.1=b ，9.01.1=c ，则c b a ,,的大小关系为（ ） A ．c b a << B ．b c a << C ．c a b << D ．b a c << 【答案】C 【解析】试题分析：8.0log 9.0log 1log 8.08.08.0<<，因此10<<a ，1log 9.0log 1.11.1<，因此0<b ，11.11.109.0=>，1>c ，因此c a b <<，故答案为C.考点：指数函数和对数函数性质.5.已知数列{}n a 为等比数列，满足274=+a a ，892-=⋅a a ，则131a a +的值为（ ） A ．7 B ．17 C ．217- D ．17或217- 【答案】D 【解析】试题分析： 274=+a a ，892-=⋅a a ，∴274=+a a ，874-=⋅a a ， 所以⎩⎨⎧=-=4274a a 或⎩⎨⎧-==2474a a当⎩⎨⎧=-=4274a a 时，17131=+a a ；当⎩⎨⎧-==2474a a ，217131-=+a a ，故答案为D.考点：等比数列的性质.6.在ABC ∆中，若点D 满足2=，则=（ ）A ．AB AC 3231+ B ．AC AB 3235- C ．AB AC 3132- D ．AB AC 3132+ 【答案】D 【解析】试题分析：由2=，得()-=-2，因此+=23，因此3132+=，故答案为D. 考点：平面向量的应用.7.已知函数()1122+++=x x x x f ，若()32=a f ，则()a f -（ ） A ．32 B ．32- C ．34 D ．34- 【答案】C考点：偶函数的应用.8.函数()193cos 3-⋅=x x x x f 的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】D 【解析】试题分析：函数的定义域{}0|≠x x ，由于()193cos 3-⋅=x x xx f ，()()193cos 3--⋅=-∴--x x x x f x x x 913cos 3-=()x f -=，因此函数()193cos 3-⋅=x x xx f 是奇函数，所以排除A ，当x 从大于0的方向接近0时，0>y ，排除B ；当x 无限接近∞+时，y 接近于0，故选D. 考点：1、函数的奇偶性；2、函数的图象. 9.已知534sin =⎪⎭⎫⎝⎛-πα，则()απ2sin +等于（ ） A ．257-B ．257C ．259D ．2516【答案】A考点：1、三角函数的倍角公式；2、三角函数的化简求值. 10.已知函数()23ln 212+-=x x x f 在其定义域内的一个子区间()1,1+-a a 内不是单调函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-23,21 B ．⎪⎭⎫⎝⎛-45,43 C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛23,1 D ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡23,1【答案】D 【解析】试题分析：因为函数()23ln 212+-=x x x f 在区间()1,1+-a a 上不单调，所以 ()xx x x x f 2142122-=-='在区间()1,1+-a a 上有零点，由()0='x f ，得21=x ，则⎪⎩⎪⎨⎧+<<-≥-121101a a a ，得231<≤a ，故答案为D. 考点：函数的单调性与导数的关系.11.对任意实数a ，b 定义运算 “⊗”：⎩⎨⎧<-≥-=⊗1,1,b a a b a b b a ，设()()()x x x f +⊗-=412，若函数()k x f y +=有三个零点，则k 的取值范围是（ ）A ．[)1,2-B ．[]1,0C ．[)0,2-D ．()1,2- 【答案】A 【解析】试题分析：当--12x ()x +41≥时，3≥x 或1≤x ；当--12x ()x +41<时，31<<x ，()⎩⎨⎧<<-≤≥+=∴31,113,42x x x x x x f 或，图象如图所示，若函数()k x f y +=有三个零点可转化为()x f y =与k y -=有三个不同的交点，由图可知12,21k k -<-≤∴-≤<，故答案为A.考点：1、函数的零点；2、函数图象的应用.12.设()x f 是定义在R 上的函数，其导函数为()x f '，若()()1<'-x f x f ，()20160=f ，则不等式()12015+⋅>xe xf （其中e 为自然对数的底数）的解集为（ ）A ．()()+∞∞-,00,B ．()+∞,0C ．()+∞,2015D ．()()+∞∞-,20150, 【答案】B考点：1、构造新函数；2、函数的单调性与导数的关系.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.求值：_____167sin 73sin 13cos 17sin 0000=+ . 【答案】21 【解析】 试题分析：=+0000167sin 73sin 13cos 17sin 000013sin 73sin 13cos 73cos +2160cos 0==. 考点：两角差的余弦公式.14.设函数()x f 在()+∞,0内可导，且()1213++=xxex e f ，则()______1='f .【答案】27考点：求导数值.15.已知点()1,1-A ，()2,1B ，()1,2--C ，()4,3D ，则向量AB 在CD 方向上的投影为_____.【答案】223. 【解析】试题分析：()1,2=AB ，()5,5=CD ，向量AB 在CD 方向上的投影为==⋅θcos2232515=，故答案为223.考点：1、向量的坐标运算；2、投影的求法.16.若函数()⎪⎩⎪⎨⎧≤+⎪⎭⎫⎝⎛->+=1,2321,logxxaxaxxfa为R上的增函数，则实数a的取值范围是____. 【答案】63<≤a.【解析】考点：分段函数的单调性.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）已知nS是等差数列{}n a的前n项和，且π86=S，273aa=．（1）求数列{}n a的通项公式；（2）设nnab cos=，nT是数列{}n b的前n项和，求2015T的值．【答案】（1）63ππ+=nan；（2）2015T23-=.考点：1、等差数列的基本运算；2、数列求和.18.（本小题满分12分）设命题:P 函数()⎪⎭⎫⎝⎛+-=16lg 2a x ax x f 的值域为R ；命题:q 不等式a x x <-93对一切R x ∈均成立．（1）如果p 是真命题，求实数a 的取值范围；（2）如果命题“q p ∨”为真命题，且“q p ∧”为假命题，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）20≤≤a ；（2）410≤≤a 或2>a .②由⎪⎩⎪⎨⎧≥⨯->016410aa a ，得⎩⎨⎧≤≤->220a a ，20≤<∴a 因此所求实数a 的取值范围20≤≤a（2）命题q 是真命题，不等式a x x <-93对一切R x ∈均成立，令x t 3=，2t t y -=，0>t ，当21=t ， 414121max=-=y ，41>∴a若命题“q p ∨”为真命题，且“q p ∧”为假命题，则q p ,一真一假①若p 真q 假，则⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤4120a a ，得410≤≤a ②若p 假q 真，则⎪⎩⎪⎨⎧>><4120a a a 或，得2>a 综上，实数a 的取值范围410≤≤a 或2>a . 考点：1、命题逻辑连结词；2、集合的运算.19、（本小题满分12分）已知向量⎪⎭⎫ ⎝⎛=43,sin x ，()1,cos -=x ．（1）当//时，求x x 2sin cos 2-的值；（2）设函数()()b b a x f ⋅+=2，已知在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若3=a ，2=b ，36sin =B ，求当30π≤≤x 时，()()⎪⎭⎫ ⎝⎛++=62cos 4πA x f x g 的取值范围．【答案】（1）58；（2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡--212,123.（2）()()x f ⋅+=221cos 2cos sin 22++=x x x 2342sin 2+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πx 由正弦定理得362sin sin 3==B b A ，得22sin =A 4π=∴A 或43π=A ，a b > ，4π=∴A 因此()()⎪⎭⎫⎝⎛++=62cos 4πA x f x g 2142sin 2-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πx30π≤≤x ，1211424πππ≤+≤∴x ， 2122142sin 2123-≤-⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤-∴πx 即()∈x g ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--212,123.考点：1、同角三角函数的基本关系；2、三角函数的化简；3、求三角函数的值域. 20.（本小题满分12分）已知函数()n mx x x x f +++=232131以()a ,0为切点的切线方程是022=-+y x ．（1）求实数m ，n 的值； （2）若方程()b x x f +=2在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3,23上有两个不等实根，求实数b 的取值范围． 【答案】（1）2,2=-=n m ；（2）619411<≤b 或2134≤<-b .由方程b x x x =+--22213123在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3,23上有两个不等实根，得619411<≤b 或2134≤<-b故方程b x x x =+--22213123在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3,23上有两个不等实根，实数b 的取值范围619411<≤b 或2134≤<-b . 考点：1、导数的几何意义；2、导数与函数的单调性、极值；3、函数与方程. 21.（本小题满分12分）已知函数()ax xx x f ++=1ln ． （1）若函数()x f 在[)+∞,1上是单调函数，求实数a 的取值范围； （2）已知函数()xx x g 1+=，对于任意[]e x ,11∈，总存在[]e x ,12∈，使得()()21x g x f ≤成立，求正实数a 的取值范围．【答案】（1）0≥a 或41-≤a ；（2）ea 110-≤<.（2）()x f a ≤恒成立()min x f a ≤⇔.试题解析：（1）()a x x x f +-='211221x x ax -+=，[)+∞∈,1x ，由于函数()x f 在[)+∞,1上是单调函数，()0≥'∴x f 或()0≤'x f 对任意[)+∞∈,1x 恒成立， 即012≥-+x ax 或012≤-+x ax 对任意[)+∞∈,1x 恒成立，x x a 112-≥∴或xx a 112-≤对任意[)+∞∈,1x 恒成立 令x t 1=，由于[)+∞∈,1x ，(]1,0∈∴t ，设()t t t h -=241212-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t因此()041≤≤-t h ，所以实数a 的取值范围为0≥a 或41-≤a（2）由（1）知，当0>a 时，函数()x f 在[]e ,1上为增函数， 故()()()e f x f f ≤≤1，即()eae x f a 111++≤≤+ ()222111xx x x g -=-=' ，∴当[]e x ,1∈，()0≥'x g ，所以函数()x g 在[]e ,1上是单调递增函数()()()e g x g g ≤≤∴1，即()ee x g 12+≤≤对任意[]e x ,11∈，总存在[]e x ,12∈，使得()()21x g x f ≤成立， 可知()()max 2max 1x g x f ≤，所以e ae 11++e e 1+≤，即ea 11-≤，故所求正实数a 的取值范围ea 110-≤<.考点：1、函数的导数；2、函数的应用；3、恒成立的问题. 22.（本小题满分12分）已知函数()()x a a x x a x f 22321ln +-+=()R a ∈，()x x x x x g --=222ln 3．（1）判断()x g 在区间[]4,2上单调性；（2）若2≥a ，函数()x f 在区间[]4,2上的最大值为()a G ，求()a G 的解析式，并判断()a G 是否有最大值和最小值，请说明理由（参考数据：7.02ln 69.0<<）．【答案】（1）()x g 在区间[]4,2上单调递增；（2）()⎪⎩⎪⎨⎧>+--≤≤--=)4(8442ln 2)42(21ln 23233a a a a a a a a a a G ；()a G 有最小值，没有最大值.试题解析：（1）证明：()x x x x x g --=222ln 3 ，()1ln 6--='∴x x x x g设()1ln 6--=x x x x h ，则()5ln 6+='x x h ，∴当42<<x 时，()0>'x h ，()x h ∴在区间()4,2上单调递增 ()()012ln 432>-=h ，∴当42<<x 时，()()02>>h x h ， ()x g ∴在区间[]4,2上单调递增（1）()()x a a x x a x f 22321ln +-+= ，()()23a a x xa x f +-+='∴，()+∞∈,0x ，即()()()x a x a x x f --='， 2≥a ，2a a <∴，当x 变化时，函数()()x f x f ',变化情况如下表：因此当42≤≤a 时，42≥a ，()x f 在区间[]4,2上的最大值()2332ln a a a a a f --= 当4>a 时，()x f 在区间[]4,2上的最大值为()8442ln 2423+--=a a a f即()⎪⎩⎪⎨⎧>+--≤≤--=)4(8442ln 2)42(21ln 23233a a a a a a a a a a G考点：1、判断函数的单调性；2、求函数的解析式和最值.。

河南省郑州市2016年高三第一次质量预测文科数学一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分．1．（2016郑州一测）设全集*U {N 4}x x =∈≤，集合{1,4}A =，{2,4}B =，则()UA B =( ）A ．{1,2,3}B ．{1,2,4}C ．{1,3,4}D ．{2,3,4}【答案】A 【解析】∵{4}AB =，∴(){1,2,3}UA B =．2．（2016郑州一测） 设1i z =+（i 是虚数单位），则2z=（ ) A ．iB ．2i -C ．1i -D ．0【答案】C 【解析】221i 1iz ==-+． 3．(2016郑州一测)cos160sin10sin 20cos10-=（ )A ．2-B ．2C ．12-D ．12【答案】C【解析】cos160sin10sin 20cos10-sin10cos 20sin 20cos10=--1sin(1020)2=-+=-．4．（2016郑州一测）函数()cos x f x e x =在点(0,(0))f 处的切线斜率为( ）A ．0B ．1-C ． 1D ．【答案】C【解析】()cos sin xxf x e x e x '=-,∴0(0)(cos0sin0)1k f e '==-=．5．（2016郑州一测）已知函数1()()cos 2xf x x =-，则()f x 在[0,2]π上的零点的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C【解析】画出1()2xy =和cos y x =的图象便知两图象有3个交点,∴()f x 在[0,2]π上有3个零．6．（2016郑州一测）按如下的程序框图，若输出结果为273，则判断框？处应补充的条件为( ）A ．7i >B ．7i ≥C ．9i >D ．9i ≥【答案】B【解析】135333273++=．7．（2016郑州一测)设双曲线22221x y a b-=的一条渐近线为2y x =-,且一个焦点与抛物线24y x =的焦点相同,则此双曲线的方程为（ )A ．225514x y -= B ．225514y x -= C ．225514x y -= D ．225514y x -= 【答案】C【解析】∵抛物线的焦点为(1,0)．∴22212c b ac a b=⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩解得221545a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．8．（2016郑州一测)已知ABC ∆的三个顶点的坐标分别为(1,1),(1,3),(2,2)A B C ,对于ABC ∆ (含边界)内的任意一点(,)x y ,z ax y =+的最小值为2-，则a =（ )A ．2-B ．3-C ．4-D ．5-【答案】A【解析】1,3,22A B C z a z a z a =+=+=+．当12a +=-，3a =-时，224a +=-，不合题意 当222a +=-,2a =-时，11a +=-，符合题意． 9．（2016郑州一测） 如图是一个四面体的三视图，这三个视图均是腰长为2的等腰直角三A ．23B ．43C ．83D ．2【答案】A【解析】四面体的直观图如图, ∴112(12)2323V =⨯⨯⨯⨯=．10．(2016郑州一测)已知函数4()f x x x =+,()2xg x a =+，若11[,3]2x ∀∈，2[2,3]x ∃∈使得12()()f x g x ≥，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1a ≤B ．1a ≥C ．0a ≤D ．0a ≥【答案】C【解析】∵1[,3]2x ∈，()4f x ≥, 当且仅当2x =时，min ()4f x =．[2,3]x ∈时，∴2min ()24g x a a =+=+． 依题意min min ()()f x g x ≥，∴0a ≤．11．(2016郑州一测)已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F 、2F ，过点2F 的直线与椭圆交于,A B 两点，若1F AB ∆是以A 为直角顶点的等腰直角三角形,则椭圆的离心率为（ )A.B 。

2015-2016学年河南省郑州市登封市高三（上）期中数学试卷（文科）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|y=}，且B⊆A，则集合B可能是（）A．{1，2，3}B．{x|﹣1＜x＜1}C．{﹣2，2}D．R2．如图所示，在复平面内，点A对应的复数为z，则z=（）A．1﹣2i B．1+2i C．﹣2﹣i D．﹣2+i3．命题“∀x∈（0，+∞），2x＞1”的否定是（）A．∃x0∉（0，+∞），≤1 B．∃x0∈（0，+∞），≤1C．∀x∉（0，+∞），2x≤1 D．∀x∈（0，+∞），2x＜14．已知函数f（x）在点P（1，m）处的切线方程为y=2x﹣1，函数f（x）的导数为f′（x），则f（1），与f′（1）的大小关系是（）A．f（1）=f′（1）B．f（1）＞f′（1）C．f（1）＜f′（1）D．无法判断5．函数f（x）的导数为题f′（x）若函数在区间f（x）在区间（a，b）内无极值点，则f'（x）在区间（a，b）内无零点．命题P的逆命题，否命题，逆否命题中，正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．36．已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是（）①y=f（|x|）；②y=f（﹣x）；③y=xf（x）；④y=f（x）+x．A．①③B．②③C．①④D．②④7．已知数列{a n}满足a1=2，a2=3，a n+2=|a n+1﹣a n|，则a2015=（）A．1 B．2 C．3 D．08．设a是第三象限角，cosa=﹣，则tan=（）A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．39．设{a n}是公差不为零的等差数列，满足，则该数列的前10项和等于（）A．﹣10 B．﹣5 C．0 D．510．已知非零向量，，则“|﹣|=||+||”是“+2=”成立的是（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件11．设a=log50.5，b=log20.3，c=log0.32则（）A．b＜a＜c B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．a＞b＞c12．已知函数f（x）的定义域为R且f（x）=，f（x+1）=f（x﹣1），则方程f（x）=在区间[﹣3，3]的所有实根之和为（）A．﹣8 B．﹣2 C．0 D．1二.填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．求值：=．14．在△ABC中，已知，则=．15．在等比数列{a n}中，若a5﹣a1=15，a4﹣a2=6，则a3=．16．【理】若函数f（x）=x2+a|x﹣1|在[0，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．设c＞0，命题P：y=log c x是减函数；命题Q：2x﹣1+2c＞0对任意x∈R恒成立．若P或Q为真，P且Q为假，试求c的取值范围．18．已知向量，函数f（x）=．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式，并在给定的坐标系中用“五点法”作出函数f（x）在[0，π]上的图象；（须列表）（Ⅱ）该函数的图象由y=sinx（x∈R）的图象经过怎样的变化得到？19．已知函数f（x）=x3+ax2+c，当x=﹣1时，f（x）的极大值为7；当x=3时，f （x）有极小值．（I）求a，b，c的值；（Ⅱ）求f（x）在[﹣2，4]上的最小值．20．如图，在△ABC中，∠ACB为钝角，AB=2，BC=，A=，D为AC延长线上一点，且CD=．（Ⅰ）求∠BCD的大小；（Ⅱ）求BD，AC的长．21．数列{a n}是等比数列且a n＞0，a1=，前n项和为S n，S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{na n}的前n项和T n．22．已知函数f（x）=ax+1nx（a∈R），g（x）=e x．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）证明：当a=0时，g（x）＞f（x）+2．2015-2016学年河南省郑州市登封市高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|y=}，且B⊆A，则集合B可能是（）A．{1，2，3}B．{x|﹣1＜x＜1}C．{﹣2，2}D．R【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】通过集合A={x|x≥0}，且B⊆A，说明集合B是集合A的子集，对照选项即可求出结果．【解答】解：因为集合A={x|x≥0}，且B⊆A，所以集合B是集合A的子集，当集合B={1，2，3}时，满足题意，当集合B={x|﹣1＜x＜1}时，﹣0.1∉A，不满足题意，当集合B={﹣2，2}时，﹣2∉A，不满足题意，当集合B=R时，﹣1∉A，不满足题意，故选A．2．如图所示，在复平面内，点A对应的复数为z，则z=（）A．1﹣2i B．1+2i C．﹣2﹣i D．﹣2+i【考点】复数的基本概念．【分析】利用复数的几何意义即可得出．【解答】解：由图可知：z=﹣2+i．故选：D．3．命题“∀x∈（0，+∞），2x＞1”的否定是（）A．∃x0∉（0，+∞），≤1 B．∃x0∈（0，+∞），≤1C．∀x∉（0，+∞），2x≤1 D．∀x∈（0，+∞），2x＜1【考点】命题的否定．【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x∈（0，+∞），2x＞1”的否定是：∃x0∈（0，+∞），≤1．故选：B．4．已知函数f（x）在点P（1，m）处的切线方程为y=2x﹣1，函数f（x）的导数为f′（x），则f（1），与f′（1）的大小关系是（）A．f（1）=f′（1）B．f（1）＞f′（1）C．f（1）＜f′（1）D．无法判断【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】利用函数在切点处的导数值是切线的斜率求出f′（1），将切点坐标代入切线方程求出f（1），从而比较出大小即可．【解答】解：∵y=f（x）在点P（1，m）处的切线方程是y=2x﹣1，∴f′（1）=2，f（1）=2﹣1=1，f（1）＜f′（1），故选：C．5．函数f（x）的导数为题f′（x）若函数在区间f（x）在区间（a，b）内无极值点，则f'（x）在区间（a，b）内无零点．命题P的逆命题，否命题，逆否命题中，正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】四种命题．【分析】可先判断出原命题与其逆命题的真假，根据四种命题的等价关系即可判断出真命题的个数．【解答】解：函数f（x）的导数为f′（x）若函数在区间f（x）在区间（a，b）内无极值点，则f'（x）在区间（a，b）内无零点，故原命题为真正确，则逆否命题为真命题，其逆命题为：函数f（x）的导数f′（x），若f'（x）在区间（a，b）内无零点，则函数在区间f（x）在区间（a，b）内无极值点，逆命题也是真命题，由此可知命题的否命题也是真命题，因为原命题的逆命题与否命题是等价命题．综上可知：命题p的逆命题、否命题、逆否命题中正确命题的个数是3．故选：D．6．已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是（）①y=f（|x|）；②y=f（﹣x）；③y=xf（x）；④y=f（x）+x．A．①③B．②③C．①④D．②④【考点】函数奇偶性的判断．【分析】由奇函数的定义：f（﹣x）=﹣f（x）逐个验证即可【解答】解：由奇函数的定义：f（﹣x）=﹣f（x）验证①f（|﹣x|）=f（|x|），故为偶函数②f[﹣（﹣x）]=f（x）=﹣f（﹣x），为奇函数③﹣xf（﹣x）=﹣x•[﹣f（x）]=xf（x），为偶函数④f（﹣x）+（﹣x）=﹣[f（x）+x]，为奇函数可知②④正确故选D7．已知数列{a n}满足a1=2，a2=3，a n+2=|a n+1﹣a n|，则a2015=（）A．1 B．2 C．3 D．0【考点】数列递推式．【分析】通过计算出前几项，得出规律，进而可得结论．【解答】解：由题意，a3=|a2﹣a1|=|3﹣2|=1，a4=|a3﹣a2|=|1﹣3|=2，a5=|a4﹣a3|=|2﹣1|=1，a6=|a5﹣a4|=|1﹣2|=1，a7=|a6﹣a5|=|1﹣1|=0，a8=|a7﹣a6|=|0﹣1|=1，…∴当n≥5时，每三项重复出现1，1，0，÷3=670…1，a2015=1．故选：A．8．设a是第三象限角，cosa=﹣，则tan=（）A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3【考点】半角的三角函数．【分析】由条件利用同角三角跑函数的基本关系求得sina的值，再利用半角公式求得tan的值．【解答】解：∵a是第三象限角，cosa=﹣，∴sina=﹣=﹣，则tan===﹣2，故选：B．9．设{a n}是公差不为零的等差数列，满足，则该数列的前10项和等于（）A．﹣10 B．﹣5 C．0 D．5【考点】等差数列的前n项和．【分析】设出等差数列的首项和公差，把已知等式用首项和公差表示，得到a1+a10=0，则可求得数列的前10项和等于0．【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d（d≠0），由，得，整理得：2a1+9d=0，即a1+a10=0，∴．故选：C．10．已知非零向量，，则“|﹣|=||+||”是“+2=”成立的是（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合向量的数量积的应用，即可得到结论．【解答】解：∵|﹣|=||+||，∴（|﹣|）2=（||+||）2，∴﹣=，即cos＜＞=﹣1，即与反向共线，∵+2=，∴=﹣2，∴即与反向共线∴“|﹣|=||+||”不推出“+2=”，但是“+2=”，能推出“|﹣|=||+||”∴“|﹣|=||+||”是“+2=”成立的是必要不充分条件．故选：B11．设a=log50.5，b=log20.3，c=log0.32则（）A．b＜a＜c B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．a＞b＞c【考点】对数值大小的比较．【分析】化简可得log20.3＜﹣1，log50.5＞﹣1，log0.32＞﹣1；再化简log0.32=，log50.5===，从而比较大小．【解答】解：log50.5＞log50.2=﹣1，log20.3＜log20.5=﹣1，log20.3＞log20.25=﹣2；log0.32＞log0.3=﹣1；log 0.32=，log 50.5===，∵﹣1＜lg0.2＜lg0.3＜0，∴＜；即c ＜a ； 即b ＜c ＜a ； 故选B ．12．已知函数f （x ）的定义域为R 且f （x ）=，f （x +1）=f （x ﹣1），则方程f （x ）=在区间[﹣3，3]的所有实根之和为（ ）A ．﹣8B ．﹣2C ．0D ．1【考点】分段函数的应用；根的存在性及根的个数判断．【分析】由题意作出函数y=f （x ）与函数y=在区间[﹣3，3]上的图象，结合图象求解即可．【解答】解：∵f （x +1）=f （x ﹣1），即有f （x +2）=f （x ）， ∴f （x ）是周期为2的周期函数，又∵f （x ）=，作函数f （x ）与函数y=2+在区间[﹣3，3]上 的图象如右： 结合图象可知，图象共有3个交点，即共有3个实根，其中有两个关于原点对称，第三个为1； 故其实根之和为1； 故选D ．二.填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．求值：=2．【考点】对数的运算性质．【分析】利用对数的运算性质lgM﹣lgN=lg以及lgM n=nlgM进行化简运算即可得到答案．【解答】解：=，∴=2．故答案为：2．14．在△ABC中，已知，则=．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】如图所示，，取AB的中点D，连接CD，则CD⊥AB．在Rt△ACD中，可得cosA==，再利用数量积运算性质即可得出．【解答】解：如图所示，∵，取AB的中点D，连接CD，则CD⊥AB．在Rt△ACD中，cosA==，∴A=30°．∴==．故答案为：．15．在等比数列{a n}中，若a5﹣a1=15，a4﹣a2=6，则a3=4或﹣4．【考点】等比数列的性质．【分析】根据等比数列的通项公式为a n=a1q n﹣1求出a1和q得到通项公式即可求出a3．【解答】解：∵等比数列的通项公式为a n=a1q n﹣1由a5﹣a1=15，a4﹣a2=6得：a1q4﹣a1=15，a1q3﹣a1q=6解得：q=2或q=，a1=1或a1=﹣16．则a3=a1q2=4或﹣4故答案为4或﹣416．【理】若函数f（x）=x2+a|x﹣1|在[0，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是[﹣2，0] ．【考点】二次函数的性质．【分析】去绝对值原函数变成：f（x）=，由已知条件知，函数x2+ax﹣a在[1，+∞）单调递增，x2﹣ax+a在[0，1）单调递增，所以，解该不等式组即得a的取值范围【解答】解：f（x）=x2+a|x﹣1|=；要使f（x）在[0，+∞）上单调递增，则：，得﹣2≤a≤0；∴实数a的取值范围是[﹣2，0]．故答案为：[﹣2，0]三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．设c＞0，命题P：y=log c x是减函数；命题Q：2x﹣1+2c＞0对任意x∈R恒成立．若P或Q为真，P且Q为假，试求c的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】根据函数性质求出命题P，Q成立的等价条件，结合复合命题真假之间的关系进行求解即可．【解答】解：若y=log c x是减函数，则0＜c＜1，即P真：0＜c＜1，若2x﹣1+2c＞0对任意x∈R恒成立，则2c＞1﹣2x，∵2x＞0，∴﹣2x＜0，1﹣2x＜1，即2c＞1，则，即Q真：，若P或Q为真，P且Q为假，则P，Q一真一假，若P真Q假，则，则0＜c≤，若Q真P假，则，则c≥1，综上c的取值范围．18．已知向量，函数f（x）=．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式，并在给定的坐标系中用“五点法”作出函数f（x）在[0，π]上的图象；（须列表）（Ⅱ）该函数的图象由y=sinx（x∈R）的图象经过怎样的变化得到？【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（Ⅰ）利用平面向量数量积的运算及三角函数恒等变换的应用可求函数解析式，列表，描点，连线即可用“五点法”作出函数f（x）在[0，π]上的图象；（Ⅱ）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律即可得解．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）f（x）==3sinxcosx﹣sin2x+cos2x=3sin（2x+）…令X=2x+，则f（x）=3sin（2x+）=2sin X．列表：﹣+）…描点画图：…（2）法一：把y=sin x的图象上所有的点向左平移个单位长度，得到y=sin（x+）的图象；再把y=sin（x+）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到y=sin （2x +）的图象；最后把y=sin （2x +）图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），即可得到y=3sin （2x +）的图象．法二：将y=sin x 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），得到y=sin 2x 的图象；再将y=sin2x 的图象向左平移个单位长度，得到y=sin [2（x +）]=sin （2x +）的图象；再将y=sin （2x +）的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的3倍（横坐标不变），即得到y=3sin （2x +）的图象．…19．已知函数f （x ）=x 3+ax 2+c ，当x=﹣1时，f （x ）的极大值为7；当x=3时，f （x ）有极小值． （I ）求a ，b ，c 的值；（Ⅱ）求f （x ）在[﹣2，4]上的最小值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．【分析】（I ）利用函数的导数，函数的极值，列出方程组，即可求a ，b ，c 的值；（Ⅱ）通过函数的单调性，极值以及端点值，求解函数的最值即可， 【解答】（本小题满分12分）解：（I ）由已知得f′（x ）=3x 2+2ax +b ，∵…（Ⅱ）由（1），f′（x ）=3（x +1）（x ﹣3），当﹣1＜x ＜3时，f′（x ）＜0；当x ＞3或x ＜﹣1时，f′（x ）＞0，故x=3时，f （x ）取得极小值，极小值为f （3）=﹣25又f （﹣2）=0∴f （x ）在[﹣2，4]上的最小值为﹣25．…20．如图，在△ABC 中，∠ACB 为钝角，AB=2，BC=，A=，D 为AC 延长线上一点，且CD=．（Ⅰ）求∠BCD的大小；（Ⅱ）求BD，AC的长．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理求出∠BCD的正弦函数值，然后求出角的大小；（Ⅱ）在△BCD中，由余弦定理可求BD的长，然后求出AC的长．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）在△ABC中，因为AB=2，A=，BC=，由正弦定理可得，即，所以sin．因为∠ACB为钝角，所以∠ACB=．∴∠BCD=．…（Ⅱ）在△BCD中，由余弦定理可知BD2=CB2+2CB．DC．cos∠BCD，即BD2=（）2+（）2﹣2．（）．cos，整理得BD=2．在△ABC中，由余弦定理可知BC2=+AB2+AC2﹣2AB．AC．cosA，即（）2=22+AC2﹣2.2．AC．cos，整理得AC2﹣2AC+2=0．解得AC=．因为∠ACB为钝角，所以AC＜AB=2．所以AC=﹣1．…21．数列{a n}是等比数列且a n＞0，a1=，前n项和为S n，S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{na n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式；等差数列的性质．【分析】（I）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；（II）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：（I）设等比数列{a n}的公比为q（q＞0），由题意知a1＞0，且，又∵S3+a3，s5+a5，S4+a4成等差数列．∴2（S5+a5）=S3+a3+S4+a4，即2（a1+a2+a3+a4+2a5）=2（a1+a2+a3）+a3+2a4，化简得4a5=a3，从而4q2=1，又q＞0，解得q=，∴．（II）由（I）知，，则，①，②①﹣②得：=，∴．22．已知函数f（x）=ax+1nx（a∈R），g（x）=e x．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）证明：当a=0时，g（x）＞f（x）+2．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求出f（x）的定义域是（0，+∞），导函数，通过10当a≥0时；20当a＜0时，求解函数的单调区间．（2）求出函数的定义域，化简令F（X）=e x﹣lnx，求出导函数，通过二次求导，求出函数的最值，判断导数的符号，得到函数的单调性，然后求解函数的最值即可．【解答】（本小题满分12分）解（1）f（x）的定义域是（0，+∞），10当a≥0时，f'（x）＞0，所以在（0，+∞）单调递增；20当a＜0时，由f'（x）=0，解得．则当时．f'（x）＞0，所以f（x）单调递增．当时，f'（x）＜0，所以f（x）单调递减．综上所述：当a≥0时，f（x）增区间是（0，+∞）；当a＜0时，f（x）增区间是，减区间是．…（2）f（x）=lnx，f（x）与g（x）的公共定义域为（0，+∞），令F（X）=e x﹣lnx，，，所以F'（x）单调递增因为，所以存在唯一使得，∴且当x∈（0，x0）时F'（x）＜0，F（x）递减；当x∈（x0，+∞）时F'（x）＞0，F（x）当递增；所以故g（x）＞f（x）+2．…2017年1月15日。