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椭圆专题复习讲义(理附答案) 椭圆专题复考点1：椭圆定义及标准方程题型1：椭圆定义的运用1.已知短轴长为5，离心率e=2的椭圆两焦点为F1，F2，过F1作直线交椭圆于A、B两点，则△ABF2的周长为多少？解析：长半轴a=3，△ABF2的周长为4a=12.2.已知P为椭圆x2/a2+y2/b2=1上的一点，M、N分别为圆(x+3)2+y2=1和圆(x-3)2+y2=4上的点，则PM+PN的最小值为多少？解析：两圆心C、D恰为椭圆的焦点，所以|PC|+|PD|=10，PM+PN的最小值为10-2-1=7.题型2：求椭圆的标准方程3.设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为42-4，求此椭圆方程。
解析：设椭圆的方程为x2/a2+y2/b2=1或x2/b2+y2/a2=1（a>b>0），则a-c=4(2-1)，ab=42，a2=b2+c2.解之得：a=42，b=c=4.则所求的椭圆的方程为16x2/1764+4y2/16=1或x2/16+16y2/1764=1.4.椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是3，求这个椭圆方程。
解析：设椭圆的方程为x2/a2+y2/b2=1或x2/b2+y2/a2=1（a>b>0），则a-c=3，a=b√3.所以所求的椭圆的方程为3x2/27+y2/8=1或x2/8+3y2/27=1.考点2：椭圆的几何性质题型1：求椭圆的离心率（或范围）5.在△ABC中，∠A=30°，|AB|=2，S△ABC=3.若以A、B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e=？解析：S△ABC=1/2|AB||AC|sinA=3，所以|AC|=2/√3，|BC|=2.所以e=|AB|/(|AC|+|BC|)=√3-1.题型2：椭圆的其他几何性质的运用（范围、对称性等）6.已知x2+y2=1，mx+ny=p，其中m、n、p均为常数，且m2+n2≠0，若椭圆(x2+y2)2+(mx+ny)2=k2(x2+y2)的离心率为1/2，则k=？解析：由题意得m2+n2=p2，所以p≠0.又因为椭圆的离心率为1/2，所以k2=5.所以所求的k=√5.2设椭圆C的中心为O，F1、F2为其两个焦点。
高三椭圆的知识点总复习在高中数学的学习过程中，椭圆是一种重要的几何图形，也是高三数学中的知识点之一。
掌握椭圆的相关知识，对于学生来说，既是应试需要，也是对数学思维的培养有着重要的作用。
下面将对高三椭圆的知识点进行总复习。
椭圆是平面上的一个几何图形，它由与一个定点F1和定点F2的距离之和等于常数2a的所有点组成，这个常数2a称为椭圆的长轴。
在长轴上的两个定点F1和F2称为椭圆的焦点。
除此之外，椭圆的中点O称为椭圆的中心，短轴称为椭圆的短轴，焦距等于2ae，其中e称为椭圆的离心率。
椭圆的标准方程为：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1。
其中，a和b分别为椭圆的半长轴和半短轴。
1. 椭圆的基本性质椭圆的基本性质包括：（1）椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于常数2a。
（2）椭圆上任意一点到中心O的距离与椭圆半长轴的比值等于e（离心率）。
（3）椭圆关于x轴、y轴对称。
（4）椭圆的离心率大于0且小于1。
2. 椭圆的方程与参数椭圆的标准方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a和b为半长轴和半短轴的长度。
椭圆的参数方程为x = acosθ、y = bsinθ，其中θ为参数。
3. 椭圆的焦点坐标根据椭圆方程的定义，可以得到椭圆的焦点坐标为（±ae，0），其中e为椭圆的离心率。
4. 椭圆的直径与焦半径椭圆的直径是通过椭圆中心且两端点在椭圆上的线段。
椭圆的焦半径是指从椭圆的焦点到椭圆上一点的线段。
5. 椭圆的参数方程椭圆可以使用参数方程来表达，即x = acosθ、y = bsinθ。
当θ从0到2π变化时，描述了椭圆上的所有点的轨迹。
6. 椭圆的离心率椭圆的离心率是一个描述椭圆偏心程度的量。
公式为e = c/a，其中c为焦距，a为半长轴的长度。
7. 椭圆的方程转换通过平移、缩放、旋转等操作，可以将任意方程的椭圆转换为标准方程。
这种转换有助于研究椭圆的性质和方程的变化规律。
在高三数学的学习中，椭圆还涉及到与其他几何图形的关系，如与直线、与双曲线的相交关系等。
专题22 椭圆（解答题压轴题）目录①椭圆的弦长（焦点弦）问题 (1)②椭圆的中点弦问题 (10)③椭圆中的面积问题 (15)④椭圆中的参数和范围问题 (22)⑤椭圆中的最值问题 (28)⑥椭圆中定点、定值、定直线问题 (35)⑦椭圆中向量问题 (42)⑧椭圆综合问题 (48)所以()2216432224m m ∆=-⨯⨯-=解得33m -<<．设()11,A x y ，()22,B x y ，则1243m x x +=-，212223m x x -=2．（2023春·甘肃白银·高二统考开学考试）已知椭圆C上一点．(1)求C的方程；(2)设M，N是C上两点，若线段MN3．（2023秋·湖北武汉·高二武汉市第十七中学校联考期末）已知椭圆椭圆上一点与两焦点构成的三角形周长为(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l与C交于A，B两点，且线段则2211222211641164x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得(x 所以()()(1212124x x x x y y +-++又因为P 是DE 中点，所以1x +3．（2023秋·安徽亳州·高三校考阶段练习）令21230t k=->，故24k=当且仅当12tt=，即23,t k=故AOBV面积的最大值为3.）由题意得，四边形ABCD为菱形，则菱形ABCD的面积1S AC=⋅令235t n -=，得2716970n n -+=，解得7n =或977n =，从而2t =±或11621t =±.故直线l 的方程为23x y =±-，或116x =±④椭圆中的参数和范围问题1．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）已知动点）显然直线l 的斜率存在，设直线:1l y kx =+，1,1)y ，2(B x ,2)y ，则2(D x λ,2)y λ，四边形OAED 为平行四边形，AE =，12(E x x λ+,12)y y λ+，A ，B ，E 均在椭圆C 上，2114y +=，2222194x y +=，221212()()194x x y y λλ+++=，0，2129180x y y λ++=，依题意，设直线l 的方程为(1)(y k x =-易得12x x <．联立方程组()221,1,4y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 并整理得则2122814k x x k +=+，()21224114k x x k -=+，）得()20A ，，设直线l 的方程为x =2214x my tx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2242m y mty ++()()()222Δ244416mt m t m =-+-=2mt 24t -）C 短轴顶点时，PAB V 的面积取最大值222a b c =+，解得2,a b =的标准方程为2214x y += .）1122(,),(,)P x y Q x y ，若直线PQ 的斜率为零，由对称性知1111022y y x x -==++，222y k x -=-设直线PQ 的方程为x ty n =+由()2224y k x x y ⎧=+⎨+=⎩，得(2k +()()(22121k x k x ⎡⎤++-+⎣⎦解得()22211k x k -=+或x =-）)()0011,,,x y A x y ，()22,B x y ，则可设直线PA 的方程为1x my =-，其中221143x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简得(234m +）为椭圆C 的左顶点，又由（1）可知：(2,0)M -，设直线联立方程可得：222(44x ty mt x y =+⎧⇒+⎨+=⎩()()22224(4)40mt t m =-+->，即设直线:l y kx m =+交该椭圆220x +将y kx m =+代入221205x y +=得()2221484200k x kmx m +++-=设()11,D x y ，()22,E x y ，则21221621k x x k +=+，12x x ∴()1212542x x x x =+-，又()2,0A -，()2,0B ，∴直线AD 的方程为()1122y y x x =++，直线BE 的方程为1．（2023·吉林长春·东北师大附中校考一模）椭圆且垂直于长轴的弦长度为1．(1)求椭圆C的标准方程；2．（2023秋·北京海淀·高三清华附中校考开学考试）已知椭圆长轴长为6．(1)求椭圆E的标准方程；(2)椭圆E的上下顶点分别为,A B，右顶点为C，过点于x轴对称，直线AP交BC于M，直线AQ交BC于点【答案】(1)221 94x y+=(2)证明见解析【详解】（1）根据题意可知26a=，可得3a=；联立直线与椭圆方程221942x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去设(),P P P x y ，易知P x 和0是方程的两根，由韦达定理可得又2P P y kx =+，所以2218894P k y k -=+，即1．（2023秋·辽宁·高二校联考阶段练习）已知椭圆3。
高三椭圆知识点复习椭圆是解析几何中的一个重要概念，它在高中数学中也扮演着重要的角色。
本文将对高三学生需要复习的椭圆知识点进行梳理和总结。
让我们一起来回顾一下椭圆的基本性质和相关公式。
1. 椭圆的定义与图像特点椭圆是平面上到两个给定点（称为焦点）的距离之和等于一定常数（称为大轴长）的点的集合。
椭圆的标准方程是x^2/a^2 +y^2/b^2 = 1，其中a和b分别表示椭圆的半长轴和半短轴。
椭圆的图像呈现出封闭曲线的形状，且沿着x轴和y轴具有对称性。
2. 椭圆的离心率椭圆的离心率是一个重要的指标，它反映了椭圆形状的瘦胖程度。
离心率的计算公式为e = √(1 - b^2/a^2)，其中e表示离心率。
当离心率e为0时，椭圆退化为一个圆；当e在0和1之间时，椭圆是真椭圆；当e大于等于1时，椭圆是一条双曲线。
3. 椭圆的焦点与准线椭圆的焦点是构成椭圆的两个特定点，它们位于长轴上，并且距离椭圆中心的距离等于b√(a^2 - b^2)/a。
椭圆的准线是通过焦点且垂直于x轴和y轴的两条直线，它们与椭圆的交点分别是椭圆上的两个顶点。
4. 椭圆的焦半径与直径椭圆的焦半径是指从椭圆上一个点到焦点的距离。
对于椭圆上的任意一点P(x, y)，它与两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长2a。
椭圆的两条通过圆心且垂直于长轴的直径分别称为主轴和次轴，主轴的长度为2a，次轴的长度为2b。
5. 椭圆的参数方程椭圆的参数方程是一种描述椭圆上各点坐标的方程形式。
设椭圆的参数为θ，椭圆上一点的坐标可以表示为：x = a * cosθy = b * sinθ其中，θ的取值范围为0到2π。
6. 椭圆的性质与应用椭圆有许多重要的性质和应用。
例如，椭圆上的任意两点到两个焦点的距离之和是常数2a；椭圆是一个拋物面与平面的截交曲线；椭圆在工程和科学领域中有广泛的应用，例如天体运动、天线形状设计等等。
7. 椭圆的相关定理关于椭圆的性质还有一些重要的定理。
如椭圆的切线与半径的夹角相等定理、椭圆的切线与法线的夹角是直角等。
椭圆专题复习★知识梳理★1. 椭圆定义：（1）第一定义：平面内与两个定点21F F 、的距离之和为常数|)|2(222F F a a >的动点P 的轨迹叫椭圆,其中两个定点21F F 、叫椭圆的焦点.当21212F F a PF PF >=+时, P 的轨迹为椭圆 ; ; 当21212F F a PF PF <=+时, P 的轨迹不存在;当21212F F a PF PF ==+时, P 的轨迹为 以21F F 、为端点的线段（2）椭圆的第二定义:平面内到定点F 与定直线l (定点F 不在定直线l 上)的距离之比是常数e (10<<e )的点的轨迹为椭圆（利用第二定义,可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化）. 2.椭圆的方程与几何性质:标准方程 )0(12222>>=+b a by a x )0(12222>>=+b a bx a y 性 质参数关系 222c b a +=焦点 )0,(),0,(c c -),0(),,0(c c -焦距 c 2范围 b y a x ≤≤||,|| b x a y ≤≤||,||顶点 ),0(),,0(),0,(),0,(b b a a --)0,(),0,(),,0(),,0(b b a a --对称性 关于x 轴、y 轴和原点对称离心率)1,0(∈=ace 准线ca x 2±=ca y 2±=考点1 椭圆定义及标准方程 题型1:椭圆定义的运用[例1 ] (湖北部分重点中学2009届高三联考)椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A 、B 是它的焦点，长轴长为2a ，焦距为2c ，静放在点A 的小球（小球的半径不计），从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是 A ．4aB ．2(a －c)C ．2(a+c)D ．以上答案均有可能[解析]按小球的运行路径分三种情况: (1)A C A --,此时小球经过的路程为2(a －c);Ox yD PAC(2)A B D B A ----, 此时小球经过的路程为2(a+c); (3)A Q B P A ----此时小球经过的路程为4a,故选D 【名师指引】考虑小球的运行路径要全面 【新题导练】1.短轴长为5，离心率32=e 的椭圆两焦点为F 1，F 2，过F 1作直线交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为 （ ）A.3B.6C.12D.24[解析]C. 长半轴a=3，△ABF 2的周长为4a=122.已知P 为椭圆2212516x y +=上的一点，,M N 分别为圆22(3)1x y ++=和圆22(3)4x y -+=上的点，则PM PN +的最小值为（ ）A ． 5B ． 7C ．13D ． 15[解析]B. 两圆心C 、D 恰为椭圆的焦点，10||||=+∴PD PC ，PM PN +的最小值为10-1-2=7题型2 求椭圆的标准方程[例2 ]设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为24－4，求此椭圆方程. 【解题思路】将题中所给条件用关于参数c b a ,,的式子“描述”出来[解析]设椭圆的方程为12222=+b y a x 或)0(12222>>=+b a ay b x ，则⎪⎩⎪⎨⎧+=-=-=222)12(4c b a c a c b ， 解之得：24=a ，b =c ＝4.则所求的椭圆的方程为1163222=+y x 或1321622=+y x . 【名师指引】准确把握图形特征，正确转化出参数c b a ,,的数量关系．［警示］易漏焦点在y 轴上的情况． 【新题导练】3. 如果方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴的椭圆，那么实数k 的取值范围是____________.[解析](0,1). 椭圆方程化为22x +ky 22=1. 焦点在y 轴上，则k 2>2，即k <1.又k >0，∴0<k <1.4.已知方程),0(,1sin cos 22πθθθ∈=+y x ,讨论方程表示的曲线的形状[解析]当)4,0(πθ∈时，θθcos sin <，方程表示焦点在y 轴上的椭圆，当4πθ=时，θθcos sin =，方程表示圆心在原点的圆，当)2,4(ππθ∈时，θθcos sin >，方程表示焦点在x 轴上的椭圆 5. 椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是3，求这个椭圆方程.[解析] ⇒⎩⎨⎧==-c a c a 23⎪⎩⎪⎨⎧==332c a ，3=∴b ，所求方程为122x +92y =1或92x +122y =1. 考点2 椭圆的几何性质题型1:求椭圆的离心率（或范围）[例3 ] 在ABC △中，3,2||,300===∠∆ABC S AB A ．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e = ．【解题思路】由条件知三角形可解，然后用定义即可求出离心率 [解析] 3sin ||||21=⋅=∆A AC AB S ABC ， 【名师指引】（1）离心率是刻画椭圆“圆扁”程度的量，决定了椭圆的形状；反之，形状确定，离心率也随之确定（2）只要列出c b a 、、的齐次关系式，就能求出离心率（或范围） （3）“焦点三角形”应给予足够关注【新题导练】6.如果一个椭圆的长轴长是短轴长的两倍,那么这个椭圆的离心率为 [解析]选B7.已知m,n,m+n 成等差数列，m ，n ，mn 成等比数列，则椭圆122=+ny m x 的离心率为 [解析]由⇒⎪⎩⎪⎨⎧≠=+=02222mn n m n nm n ⎩⎨⎧==42n m ，椭圆122=+n y m x 的离心率为22 题型2:椭圆的其他几何性质的运用（范围、对称性等）[例4 ] 已知实数y x ,满足12422=+y x ,求x y x -+22的最大值与最小值 【解题思路】 把x y x -+22看作x 的函数[解析] 由12422=+y x 得22212x y -=, 当1=x 时,x y x -+22取得最小值23,当2-=x 时,x y x -+22取得最大值6 【新题导练】9.已知点B A ,是椭圆22221x y m n+=（0m >，0n >）上两点,且BO AO λ=,则λ=[解析] 由BO AO λ=知点B O A ,,共线,因椭圆关于原点对称,1-=∴λ10.如图，把椭圆2212516x y +=的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于1234567,,,,,,P P P P P P P 七个点，F 是椭圆的一个焦点则1234567PF P F P F P F P F P F P F ++++++=________________ ［解析］由椭圆的对称性知：352536271==+=+=+a F P F P F P F P F P F P ．考点3 椭圆的最值问题[例5 ]椭圆191622=+y x 上的点到直线l:09=-+y x 的距离的最小值为___________．【解题思路】把动点到直线的距离表示为某个变量的函数[解析]在椭圆上任取一点P,设P(θθsin 3,cos 4). 那么点P 到直线l 的距离为： 【名师指引】也可以直接设点),(y x P ，用x 表示y 后，把动点到直线的距离表示为x 的函数，关键是要具有“函数思想” 【新题导练】11.椭圆191622=+y x 的内接矩形的面积的最大值为 [解析]设内接矩形的一个顶点为)sin 3,cos 4(θθ， 矩形的面积242sin 24cos sin 48≤==θθθS12. P 是椭圆12222=+by a x 上一点，1F 、2F 是椭圆的两个焦点，求||||21PF PF ⋅的最大值与最小值[解析] ],[||,)|(||)|2(||||||12211121c a c a PF a a PF PF a PF PF PF +-∈+--=-=⋅当a PF =||1时，||||21PF PF ⋅取得最大值2a ， 当c a PF ±=||1时，||||21PF PF ⋅取得最小值2b13.已知点P 是椭圆1422=+y x 上的在第一象限内的点，又)0,2(A 、)1,0(B ， O 是原点，则四边形OAPB 的面积的最大值是_________．[解析] 设)2,0(),sin ,cos 2(πθθθ∈P ，则θθcos 221sin 21⋅+⋅=+=∆∆OB OA S S S OPB OPA OAPB 2cos sin ≤+=θθ考点4 椭圆的综合应用题型：椭圆与向量、解三角形的交汇问题[例6 ] 已知椭圆C 的中心为坐标原点O ,一个长轴端点为()0,1,短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l 与y 轴交于点P （0，m ），与椭圆C 交于相异两点A 、B ，且PB AP 3=． （1）求椭圆方程； （2）求m 的取值范围．【解题思路】通过PB AP 3=，沟通A 、B 两点的坐标关系，再利用判别式和根与系数关系得到一个关于m 的不等式[解析]（1）由题意可知椭圆C 为焦点在y 轴上的椭圆，可设2222:1(0)y x C a b a b+=>>由条件知1a =且b c =，又有222a b c =+，解得 21,2a b c ===故椭圆C 的离心率为22c e a ==，其标准方程为：12122=+x y （2）设l 与椭圆C 交点为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m2x 2＋y 2＝1 得（k 2＋2）x 2＋2kmx ＋（m 2－1）＝0 Δ＝（2km ）2－4（k 2＋2）（m 2－1）＝4（k 2－2m 2＋2）>0 （*） x 1＋x 2＝－2km k 2＋2， x 1x 2＝m 2－1k 2＋2∵AP ＝3PB ∴－x 1＝3x 2 ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2x 2x 1x 2＝－3x 22消去x 2，得3（x 1＋x 2）2＋4x 1x 2＝0，∴3（－2km k 2＋2）2＋4m 2－1k 2＋2＝0整理得4k 2m 2＋2m 2－k 2－2＝0m 2＝14时，上式不成立；m 2≠14时，k 2＝2－2m 24m 2－1， 因λ＝3 ∴k ≠0 ∴k 2＝2－2m 24m 2－1>0，∴－1<m <－12 或 12<m <1容易验证k 2>2m 2－2成立，所以（*）成立 即所求m 的取值范围为（－1，－12）∪（12，1）【名师指引】椭圆与向量、解三角形的交汇问题是高考热点之一，应充分重视向量的功能 【新题导练】14.设过点()y x P ,的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A 、B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若PA BP 2=，且1=⋅AB OQ ，则P 点的轨迹方程是（ ） A.()0,0132322>>=+y x y x B. ()0,0132322>>=-y x y x C. ()0,0123322>>=-y x y x D. ()0,0123322>>=+y x y x[解析]),(),3,23(y x OQ y x AB -=-=132322=+∴y x ，选A. 15. 如图，在Rt △ABC 中，∠CAB=90°，AB=2，AC=22。
