语文版中职数学基础模块上册5.2弧度制

角的概念推广以后，无论用角度制还是用弧度制， 都能在角的集合与实数集R之间建立一种一一对应的关 系：每一个角都有唯一的一个实数（角度数或弧度数） 与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角与 它对应.
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
对圆心角 的弧度数（正值）（图5.8)，即
l 或l r .
①
r
①式中是弧度制下的弧长计算公式.
巩固练习，提升素养 在活初动中3，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
例4 如图5-9所示，⌒所对的圆心角是60°，半径5cm ，
求
⌒
AB
AB
的长l（精确到0.1
180
360
将n°转换为弧度，得 n ,于是 S 1 R2.
180
2
将 l R 代入上式，即得 S 1 lR .
2
课堂小结
5.1.2
/作业布置/
P151，A组1. /2. /3； B组1. /2.
自知则明，自信则强。
感谢观看
我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角称为1弧度
的角.例如，设 ⌒ 的长等于半径 r , ⌒ 所
AB
AB
对的圆心角就是1弧度的角（图5-7)，记
作1rad.
于是长为的弧所对的圆心角（正角）
l rad .
r
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？

a 2 b2 c 2bc cos A b2 a2 c 2ac cosB c2 a2 b 2abcosC
cos A b2 c2 a2 2bc
cosB a2 c2 b2 2ac
cosC a2 b2 c2 2ab
可解决的解三角形题问题 （3）已知两边及它们的夹角； （4）已知三边.
sin 1 sin csc 1 c s c
系
s in
系 cos 1 cos sec 1
sec
公式（一）
sin(2k ) sin cos(2k ) cos tan(2k ) tan cot(2k ) cot

180

零角的弧度数为0；
4.弧长公式：
l r （为弧度制的角）
5.扇形面积公式：
S扇形 =
2
r2

1r2 2

1 2
rl
知识清单 四.三角公式（1） ——————————————————————————
1.同角三角函数基本关系式
平 sin 2 cos2 1
方 1 tan2 sec2
关 系
1 cot2 csc2
2.诱导公式
商 数 关
tan sin sin cos tan cos
倒 数
cot cos cos sin cot 关
tan 1 tan cot 1 cot
公式（二） 公式（三）
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan cot( ) cot
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan cot( ) cot

360
角的大小；
角度制与弧度制的比较
（3）弧度制是十进制，它的表示是用一个实 数表示，而角度制是六十进制； （4）以弧度和度为单位的角，都是一个与 半径无关的定值。
例3 计算：
（1） sin ；（2）tan1.5 ． 4
解：（1）∵ 45 ∴ sin sin 45 2
弧度这个关键．
写出一些特殊角的弧度数
角 度
0 30 45 60 90 120135150180 270 360
弧 度
0
64
3
2
2 3 5 346

3 2
2
角度制与弧度制的比较
(1) 弧度制是以“弧度”为单位的度量角的单 位制，角度制是以“度”为单位来度量角的 单位制；1弧度≠1º； （2）1弧度是弧长等于半径长的圆弧所对的圆 心角的大小，而1度是圆周 1 的所对的圆心
角度制与弧度制的换算
用“弧度”与“度”去度量每一个角时，除了 零角 以外，所得到的量数都是不同的，但它们既然是度 量同一个角的结果，二者就可以相互换算．
若弧是一个整圆，它的圆心角是周角，其弧
度数是 2 ，而在角度制里它是360 ，
因此 360 2 rad ．
角度制与弧度制的换算
① 用角度制和弧度制度量角，零角既是0º 角，又是0 rad角，同一个非零角的度数和 弧度数是不同的. ② 平角、周角的弧度数： 平角= rad、周角=2 rad.
1.1.2弧度制 (1)
问题提出
1.角是由平面内一条射线绕其端点从一个 位置旋转到另一个位置所组成的图形，其中 正角、负角、零角分别是怎样规定的？
2.在直角坐标系内讨论角，象限角是什 么概念？
3.与角α 终边相同的角的一般表达式是 什么？

•
与此相反，如果坐在前面，首先心情就很不同，自己比别人靠前的感觉让你听课时的态度变得更积极。与老师眼神交会的机会增多，感觉就好像是老师在做一对一个人辅导。
•
有的学生恰恰就是因为这一点，讨厌坐在前面。和老师眼神交会非常有负担，稍微做点儿小动作就会被老师发现，非常不方便。而且坐在前面说不定还会被问到一些难以回答的问题。
5．2弧度制
问题 角是如何度量的？角的单位是什么？ 解决 将圆周的圆弧所对的圆心角叫做1度角，记作1°． 1度等于60分（1°=60′），1分等于60秒（1′=60″）． 以度为单位来度量角的单位制叫做角度制．
• 角度制下，计算两个角的加、减运算时，经常会带来单位换算上 的麻烦．能否重新设计角的单位制，使两角的加、减运算像10进 位制数的加、减运算那样简单呢？
概念
• 将等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的 角，记作1弧度或1rad．以弧度为单位来度量 角的单位制叫做弧度制．
• 若 为圆2r的，半那径么为∠A，O圆B心的角大∠小A就O是B所．对2rr 弧的度圆弧2弧长度
• 规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度 数为零．
• 由定义知道，角的弧度数的绝对值等于圆弧长与半径的比，即 （rad）．
• 半径为的圆的周长为，故周角的弧度数为 l
r
2πr (rad) 2π(rad) r
• 由此得到两种单位制之间的换算关系：
360°= 1°=
，即 180°=
．
2π rad
π rad
π (rad) 0.01745rad 180
1rad (180) 57.3 5718 π
• 1．用弧度制表示角的大小时，在不至于产生误解的情况下，通

弧度
0
6
4Leabharlann 323 2 2
弧 度 制
巩固知识 典型例题
例 1 把下列各角度换算为弧度(精确到 0．001)： ⑴ 15°； ⑵ 8°30′； ⑶ －100°．
例 2 把下列各弧度换算为角度（精确到 1′）：
⑴ 3π ； 5
⑵ 2.1；
⑶ -3.5．
1 0.01745 180
1rad 180 57.30 57 18
第5章 三角函数 5.2 弧度制
创设情景 兴趣导入
角是如何度量的？角度的单位是什么？
将圆周的 1 圆弧所对的圆心角叫做 1 度角，记作 1°． 360
1 度等于 60 分（1°=60′），1 分等于 60 秒（1′=60″）． 以度为单位来度量角的单位制叫做角度制．
是否有其它的单位制使得表示更为方便简单？
弧 度 制
归纳小结 自我反思
本次课学习 哪些内容？
你会解决 哪些新问题？
体会到哪些 学习方法？
弧 度 制
布置作业 继续探究
阅读
书面
实践
教材章节5.2
学习与训练5.2
了解弧度制的实际应用
再见
动脑思考 探索新知
用度做单位来度量角的单位制叫做角度制.
弧
以弧度为单位来度量角的单位制叫做弧度制． 把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度
度
的角，记作1rad或1弧度．
若 AB r ,则 AOB 1(rad). l (rad)
制
若 AC 2r ,则 AOC 2(rad).
r
若 AD正负角角2r的的,则弧弧度度A数数O为为D正负数数12 (rad)
利用计算器，验证计算例题1与例题2．

5．2弧度制
问题 角是如何度量的？角的单位是什么？ 解决 将圆周的圆弧所对的圆心角叫做1度角，记作1°． 1度等于60分（1°=60′），1分等于60秒（1′=60″）． 以度为单位来度量角的单位制叫做角度制．
• 角度制下，计算两个角的加、减运算时，经常会带来单位换算上 的麻烦．能否重新设计角的单位制，使两角的加、减运算像10进 位制数的加、减运算那样简单呢？
• 例1 把下列各角度换算为弧度(精确到0．001)： ⑴ 15°； ⑵ 8°30′； ⑶−100°．
π
解
π π 分析 角度制换算为弧度制利用公式1°=
(rad) 0.01745rad 180
15 15 ． 0.262
18 17π 0.148 180 360
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100 100 π 5π 1.745 180 9
例2 把下列各弧度换算为角度（精确到1′）：
⑴
； ⑵ 2.1； ⑶ −3.5．
3π
5
分析 弧度制换算角度制利用公式 1rad (180) 57.3 5718
．
π
解
3π 3π 180 108 ；
同时，大家要开动脑筋，思考老师是怎样提出问题、分析问题、解决问题的，要边听边想。为讲明一个定理，推出一个公式，老师讲解顺序是怎样的， 为什么这么安排？两个例题之间又有什么相同点和不同之处？特别要从中学习理科思维的方法，如观察、比较、分析、综合、归纳、演绎等。 • 作为实验科学的物理、化学和生物，就要特别重视实验和观察，并在获得感性知识的基础上，进一步通过思考来掌握科学的概念和规律，等等。 • 二、听文科课要注重在理解中记忆 • 文科多以记忆为主，比如政治，要注意哪些是观点，哪些是事例，哪些是用观点解释社会现象。听历史课时，首先要弄清楚本节教材的主要观点，然 后，弄清教材为了说明这一观点引用了哪些史实，这些史料涉及的时间、地点、人物、事件。最后，也是关键的一环，看你是否真正弄懂观点与史料间 的关系。最好还能进一步思索：这些史料能不能充分说明观点？是否还可以补充新的史料？有无相反的史料证明原观点不正确。 • 三、听英语课要注重实践 • 英语课老师往往讲得不太多，在大部分的时间里，进行的师生之间、学生之间的大量语言实践练习。因此，要上好英语课，就应积极参加语言实践活 动，珍惜课堂上的每一个练习机会。

3.若角α与β终边相同，则一定有( ) A.α＋β＝180° B.α＋β＝0° C.α－β＝ｋ· 360°，ｋ∈Ｚ D.α ＋β＝ｋ· 360°，ｋ∈Z 4.与1840°终边相同的最小正角 为 ，与－1840°终边相同的最 小正角是 . 5.在直角坐标系中，是第几象限角 (1)360° (2)720° (3)1080° (4)1440°
如果圆的半径为 r， 圆心角所对的弧长为 l， 那么，圆心角 (弧度数)等于多少？
弧长 l
r
1
2r
2
3r
3
r 2r
2
圆心角 (弧度)

l r
弧度制的性质
①半圆所对的圆心角为 r 2 r ②整圆所对的圆心角为 2 . r ③正角的弧度数是一个正数． ④负角的弧度数是一个负数．
0
6
4
3
2

3 2
2
2、用弧度为单位表示角的大小时， “弧度”二字通常省略不写，但用 “度”（°）为单位时不能省。
3、用弧度为单位表示角时，通常写
成“多少π”的形式。
利用弧度制证明扇形面积公式 例 4． 1 S lR, 其中l是扇形弧长, R是圆 2 的半径.
课堂练习
3.已知扇形AOB的周长是 8cm，该扇形的中心角是 2rad。求该扇形的面积。
特殊角的弧度角角度度0o30o45o60o90o120o弧弧度度角角度度135o150o180o270o360o弧弧度度特殊角的弧度角角度度0o30o45o60o90o120o弧弧度度0角角度度135o150o180o270o360o弧弧度度特殊角的弧度角角度度0o30o45o60o90o120o弧弧度度06??角角度度135o150o180o270o360o弧弧度度特殊角的弧度角角度度0o30o45o60o90o120o弧弧度度06??4??角角度度135o150o180o270o360o弧弧度度特殊角的弧度角角度度0o30o45o60o90o120o弧弧度度06??4??3??角角度度135o150o180o270o360o弧弧度度特殊角的弧度角角度度0o30o45o60o90o120o弧弧度度06??4??3??2??角角度度135o150o180o270o360o弧弧度度特殊角的弧度角角度度0o30o45o60o90o120o弧弧度度06??4??3??2??32??角角度度135o150o180o270o360o弧弧度度特殊角的弧度角角度度0o30o45o60o90o120o弧弧度度06??4??3??2??32??角角度度135o150o180o270o360o弧弧度度43??特殊角的弧度角角度度0o30o45o60o90o120o弧弧度度06??4??3??2??32??角角度度135o150o180o270o360o弧弧度度65??43??特殊角的弧度角角度度0o30o45o60o90o120o弧弧度度06??4??3??2??32??角角度度135o150o180o270o360o弧弧度度65????43??特殊角的弧度角角度度0o30o45o60o90o120o弧弧度度06??4??3??2??32??角角度度135o150o180o270o360o弧弧度度65????23??43??特殊角的弧度角角度度0o30o45o60o90o120o弧弧度度06??4??3??2??32??角角度度135o150o180o270o360o弧弧度度65????23????243??弧长公式???????????rlrl弧长等于弧所对应的圆心角的弧度数数的绝对值与半径的积

⑴ 3π ； 5
⑵ 2.1；
⑶ -3.5．
1 0.01745 180
1rad 180 57.30 57 18
计算器
运用知识 强化练习
练习5.2.1
3． 把下列各角从角度化为弧度：
⑴ 75°；⑵ -240°；⑶ 105°；⑷ 67°30′．
4． 把下列各角从弧度化为角度：
动脑思考 探索新知
弧
特殊角角度与弧度的换算
度 制
度 0 30 45 60 90 180 270 360
弧度
0
6
4
3
2
3 2 2
弧 度 制
巩固知识 典型例题
例 1 把下列各角度换算为弧度(精确到 0．001)： ⑴ 15°； ⑵ 8°30′； ⑶ －100°．
例 2 把下列各弧度换算为角度（精确到 1′）：
r
若
正负AD角角的的2r弧弧,则度度数数A为为O正负D数数
1 2
(rad)
零角的弧度数为零
动画演示
动脑思考 探索新知
弧
单位换算 360 2π 180
实数
角
度
1rad 180 57.30 57 18
制
1 0.01745 rad
180
通常“rad”或“弧度”可以省略不写.
同时，大家要开动脑筋，思考老师是怎样提出问题、分析问题、解决问题的，要边听边想。为讲明一个定理，推出一个公式，老师讲解顺序是怎样的， 为什么这么安排？两个例题之间又有什么相同点和不同之处？特别要从中学习理科思维的方法，如观察、比较、分析、综合、归纳、演绎等。 • 作为实验科学的物理、化学和生物，就要特别重视实验和观察，并在获得感性知识的基础上，进一步通过思考来掌握科学的概念和规律，等等。 • 二、听文科课要注重在理解中记忆 • 文科多以记忆为主，比如政治，要注意哪些是观点，哪些是事例，哪些是用观点解释社会现象。听历史课时，首先要弄清楚本节教材的主要观点，然 后，弄清教材为了说明这一观点引用了哪些史实，这些史料涉及的时间、地点、人物、事件。最后，也是关键的一环，看你是否真正弄懂观点与史料间 的关系。最好还能进一步思索：这些史料能不能充分说明观点？是否还可以补充新的史料？有无相反的史料证明原观点不正确。 • 三、听英语课要注重实践 • 英语课老师往往讲得不太多，在大部分的时间里，进行的师生之间、学生之间的大量语言实践练习。因此，要上好英语课，就应积极参加语言实践活 动，珍惜课堂上的每一个练习机会。

遍自己写的笔记，既可以起到复习的作用，又可以检查笔记中的遗漏和错误。遗漏之处要补全，错别字要纠正，过于潦草的字要写清楚。同时，将自己 对讲课内容的理解、自己的收获和感想，用自己的话写在笔记本的空白处。这样，可以使笔记变的更加完整、充实。 • 三、课后“静思2分钟”大有学问 • 我们还要注意课后的及时思考。利用课间休息时间，在心中快速把刚才上课时刚讲过的一些关键思路理一遍，把老师讲解的题目从题意到解答整个过 程详细审视一遍，这样，不仅可以加深知识的理解和记忆，还可以轻而易举地掌握一些关键的解题技巧。所以，2分钟的课后静思等于同一学科知识的 课后复习30分钟。
弧 度 制
动脑思考 探索新知
用度做单位来度量角的单位制叫做角度制. 以弧度为单位来度量角的单位制叫做弧度制． 把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度
的角，记作1rad或1弧度．
若 AB r ,则 AOB 1(rad). l (rad)
若 AC 2r ,则 AOC 2(rad).
r
若
正负AD角角的的2r弧弧,则度度数数A为为O正负D数数
1 2
(rad)
零角的弧度数为零
动画演示
动脑思考 探索新知
弧
单位换算 360 2π 180
实数
角
度
1rad 180 57.30 57 18
制
1 0.01745 rad
180
通常“rad”或“弧度”可以省略不写.
第5章 三角函数 5.2 弧度制
创设情景 兴趣导入
角是如何度量的？角度的单位是什么？
将圆周的 1 圆弧所对的圆心角叫做 1 度角，记作 1°． 360
1 度等于 60 分（1°=60′），1 分等于 60 秒（1′=60″）． 以度为单位来度量角的单位制叫做角度制．

O r B 弧度的单位符号是rad，读作弧度
课件展示
注意 :习惯 ,就 地简记 1.为
第十五页，共24页。
(2)一个角的弧度数与圆半径大小是否有关?
无关.大小不同的同心圆,虽然同一圆心角
所对的弧长与半径都不相等,但他们的比值相同.
2、弧度数公式:若半径为r的圆的圆心角 所对 的弧长为l,则角 的弧度数的绝对值为:
Y
B
Y
B
当角的终边OB落在第一象限 时，称∠AOB是第一象限角
O
Y
O B
X A AX
X 当角的终边OB落在第二象限
O
A
时，称∠AOB是第二象限角
Y
O
AX
B
第七页，共24页。
当角的终边OB落在第三象限
时，称∠AOB是第三象限角
当角的终边OB落在第四象限
时，称∠AOB是第四象限角
三、终边相同的角
设α=30º，在直角坐标系中做α=30º
第十六页，共24页。
A 2r
分析
3r
O rB
A
_2___ra_)d(.
O rB
_3___ra_)d(.
l1 2r
1
l1 r
2r r
2
l2 3r
2
l2 r
3r r
3
2.若圆心角为周角,它时所对的弧l长 2r,则
周角的弧度数:是 ______2____ __.
l3 2r
l 2 r 3 3
r r 第十七页，共24页。
3、弧度制：
用弧度做单位来度量角的制度叫做 弧度制
等于半径长的圆弧所对的圆心角
1弧度的角
正角的弧度数
负角的弧度数

• 一、释疑难 • 对课堂上老师讲到的内容自己想不通卡壳的问题，应该在课堂上标出来，下课时，在老师还未离开教室的时候，要主动请老师讲解清楚。如果老师已
经离开教室，也可以向同学请教，及时消除疑难问题。做到当堂知识，当堂解决。 • 二、补笔记 • 上课时，如果有些东西没有记下来，不要因为惦记着漏了的笔记而影响记下面的内容，可以在笔记本上留下一定的空间。下课后，再从头到尾阅读一
2019/8/28
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2019/8/28
最新中小学教学课件
55 π
2.1 2.1 180 378 12019 ππ
−3.5
3.5 180 630 20032
π
π
编后语
• 常常可见到这样的同学，他们在下课前几分钟就开始看表、收拾课本文具，下课铃一响，就迫不及待地“逃离”教室。实际上，每节课刚下课时的几分 钟是我们对上课内容查漏补缺的好时机。善于学习的同学往往懂得抓好课后的“黄金两分钟”。那么，课后的“黄金时间”可以用来做什么呢？
100 100 π 5π 1.745 180 9
例2 把下列各弧度换算为角度（精确到1′）：
⑴
； ⑵ 2.1； ⑶ −3.5．
3π
5
分析 弧度制换算角度制利用公式 1rad (180) 57.3 5718
． 108 ；
• 半径为的圆的周长为，故周角的弧度数为 l
r
2πr (rad) 2π(rad) r
• 由此得到两种单位制之间的换算关系：
360°= 1°=
，即 180°=
．
2π rad
π rad
π (rad) 0.01745rad 180

360º = 2π 180º = π
1º=
π
180
弧度=0.01745弧度
1弧度 = (
180
π ) º= 57.3º=57º18`
3、弧度制：
用弧度做单位来度量角的制度叫做 弧度制
等于半径长的圆弧所对的圆心角
1弧度的角
正角的弧度数 负角的弧度数 零角的弧度数
正数 负数
零
例1. 把下列各角化成弧度 (1)67°30` , (2)120 ° , (3)75 , (4)135 °
是老师在上课时补充讲解的，如果不听讲很可能就会错过这些重点。
•
所以，上课的时间一定要专注于课堂，决不能打开别的习题集去学习，这样才是高效率的学习，才是提高成绩最快的方法。因此，困难也要先听课，那对你将来的自学一定会很有帮助，哪怕你只是记住了一些经常出现的术语，上课的内容好像马上就忘光
了，但等到你日后自己学习的时候，也能让你回想起很多内容。
•
低着头，心情就放松了，但那种放松对学习一点好处也没有，之所以会放松，就是因为觉得即便是自己开小差，老师也不知道。如果你往前看，不时地和老师眼神交会一下，注意力必然会集中起来。和老师眼神交汇的那种紧张感会让你注意力集中，并充
实地听完整堂课。
•
3、课前预习
•
课前预习新课内容，找出不理解的地方标记下来。预习后尝试做课后练习题，不要怕出错，因为老师还没有讲，出错也是正常的。
2019/8/10
教学资料精选
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பைடு நூலகம்
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教学资料精选
11
正角 零角 负角
正实数
零 负实数
编者语
• 要如何做到上课认真听讲？

(4)1440°
复习引入
初中所学得角度制是怎样规定角 得度量得?
规定把周角得
1 360
作为1度得角,
用度做单位来度量角得制度叫做角度
制、
讲授新课
弧度制定义 我们规定,长度等于半径得弧所
对得圆心角叫做1弧度得角; 用弧度来度量角得单位制叫做弧
度制、 在弧度制下,1弧度记做1rad、 在实际运算中,常将rad单位
中职数学5.2-弧度制
1、下列命题中正确得是( ) A、终边在y轴非负半轴上得角是直角 B、 第二象限角一定是钝角
C、第四象限角一定是负角
D、若β＝α＋ｋ·360°(ｋ∈Ｚ),则α与β终
边相同
2、与120°角终边相同得角是( )
A、－600°＋k·360°,ｋ∈Ｚ B、－120°＋k·360°,ｋ∈Ｚ C、120°＋(2k＋1)·180°,ｋ∈Ｚ D、
省略、
如果圆得半径为 r, 圆心角所对得弧长为 l,
那么,圆心角 (弧度数)等于多少？
弧长 l r
圆心角
(弧度) 1
2r 3r r 2r
2
3
2
l r
弧度制得性质
①半圆所对得圆心角为
r
r
.
②整圆所对得圆心角为 2 r 2 .
r ③正角得弧度数是一个正数、
④负角得弧度数是一个负数、
⑤零角得弧度数是零、
135o
150o
180o
270o
360o
弧 度
特殊角得弧度
角 度
0o
30o
45o
60o
90o 120o
弧 度
0
6
4
3
角 度
135o