关于正方形的判定与性质北师大版课件

[归纳总结] 对角线互相垂直的四边形的中点四边形是矩形．
数学的学习方法是严格、 严肃、严密——苏步青
平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结
5种识 别方法
一个角是直角且一组邻边相等
学习反思
1、本节课我们学习了什么？
正方形的判定
1、定义法 2、矩形菱形法 3、对角线法
数学的学习方法是严格、 严肃、严密——苏步青
探究问题一
正方形的判定
数学的学习方法是严格、 严肃、严密——苏步青
重难互动探究 例1 [教材例2变式题] [2013· 铁岭] 如图1－3－21所 示，△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线， 点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE＝OD， 连接AE，BE. (1)求证：四边形AEBD是矩形； (2)当△ABC满足什么条件时， 矩形AEBD是正方形，并说明理由．
1）一组邻边相等的矩形是正方形
2、矩形菱形法：
2） 有一个角是直角的菱形是正方形
3、对角线法：
两条对角线互相垂直平分 且相等的四边形是正方形。
老师说下列三个图形都是正方形,你相信吗?
数学的学习方法是严格、 严肃、严密——苏步青
5 2 5 2
有一组邻边相等并且有一个 角是直角的平行四边形是正 方形。
矩形、等 腰梯形 菱形
菱形
正方形
中点四边形
矩形
正方形
数学的学习方法是严格、 严肃、严密——苏步青
例2在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB， BF∥CE，CF∥BE，求证：四边形BECF是正方形． 证明：∵BF∥CE，CF∥BE ∴四边形BECF是平行四边形， 又∵在矩形ABCD中，BE平分 ∠ABC，CE平分∠DCB ∴∠EBA=∠ECB=45° ∴∠BEC=90°，BE=CE ∴四边形BECF是正方形．

已知：如图，点 A1，B1，C1，D1 分别是正方形 ABCD 各边的中点. 求证：四边形 A1B1C1D1 为正方形.
已知：如图，点 A1，B1，C1，D1 分别是正方形 ABCD 各边的中点. 求证：四边形 A1B1C1D1 为正方形.
又∵四边形 ABCD 是正方形，∴AC = BD(正方形的对角线相等) AC⊥BD(正方形的对角线互相垂直)，∴A1B1 = A1D1 = B1C1 = C1D1，∠1 = 90°.∴四边形 A1B1C1D1是菱形，∠2 = 90°.∴四边形 A1B1C1D1为正方形.
活动1 准备一张矩形的纸片，按照下图折叠，然后展开，折叠部分得到一个正方形，可量一量验证.
满足怎样条件的矩形是正方形？
活动1 准备一张矩形的纸片，按照下图折叠，然后展开，折叠部分得到一个正方形，可量一量验证.
【猜想1】当矩形的___________时，会变成一个正方形.
一组邻边相等
【猜想2】当矩形的________________时，会变成一个正方形.
3 正方形的性质与判定第2课时
观察下列实物中的正方形，说一说什么是正方形？
一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
正方形具有哪些性质呢？
正方形
观察下列实物中的正方形，说一说什么是正方形？
正方形具有哪些性质呢？
正方形的四个角都是直角，四条边相等.正方形的对角线相等并且互相垂直平分.
在矩形ABCD中，∠ABC=90°，∠DCB=90°.
分析：
由BF∥CE，CF∥BE，可证四边形 BECF 是平行四边形.
又由BE 平分∠ABC，CE 平分∠DCB，可得∠EBC = ∠ECB =45°，所以EB = EC.从而四边形BECF 是菱形.

第一章
特殊平行四边形 3．正方形的性质与判定
第1课时 正方形的性质
第1课时 正方形的性质
1 …知…识…回…顾…. 2 …新…知…导…航…. 3 …轻…松…过…招….
第1课时 正方形的性质
知识回顾
正方是轴对称图形，它有 4 条对称轴，即经 过对边中点的直线或两对角线所在直线：正方形又 是中心对称图形，两对角线交点是它的对称中心 （也是对边中点的直线的交点）。 .
第1课时 正方形的性质
新知导航
变式训练
1.已知正方形ABCD的对角线相交于点O. （1）若周长为8，则对角线长为 2 2 ， 面积为 4 ； （2）图中共有 8 个等腰直角三角形．
第1课时 正方形的性质
新知导航
2.如图，过正方形ABCD的顶点B作直线l，过点A，C 作l的垂线，垂足分别为E，F，若 AE＝1，CF＝3.求AB的长．
第1课时 正方形的性质
轻松过招
3．如图，正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为 BC延长线上一点，且CE＝CF. （1）求证：△BCE≌△DCF；
(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝DC，∠BCE＝∠DCF＝90°
CE＝CF
在△BCE和△DCF中， ∠BCE＝∠DCF ，
∴△BCE≌△DCF.
解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠CBF＋∠FBA＝90°，AB＝BC， ∵CF⊥BE，∴∠CBF＋∠BCF＝90°， ∴∠BCF＝∠ABE， ∵∠AEB＝∠BFC＝90°，AB＝BC， ∴△ABE≌△BCF(AAS)，∴AE＝BF＝1，BE＝CF＝3， ∴AB＝ AE2＋BE2 ＝ 1＋9 ＝ 10 .
第1课ห้องสมุดไป่ตู้ 正方形的性质
轻松过招

对角线垂直
正方形
先判定矩形 菱形条件(二选一)
平行四 边形
一组邻边相等 一内角是直角
正方形
例1：如图,在矩形ABCD中, BE平分∠ABC , CE平分
∠DCB , BF∥CE , CF∥BE.
求证：四边形BECF是正方形.
A
D
E
B 45°
45° C
F
证明: ∵ BF∥CE,CF∥BE，
∴四边形BECF是平行四边形. ∵四边形ABCD是矩形, ∴ ∠ABC = 90°, ∠DCB = 90°, ∵BE平分∠ABC, CE平分∠ DCB, ∴∠EBC = 45°, ∠ECB = 45°, A ∴ ∠ EBC =∠ ECB .
证明：∵四边形ABCD是矩形,
A
B
∴ AO=CO=BO=DO ，∠ADC=90°.
∵AC⊥DB,
O
∴ AD=AB=BC=CD,
D
C
∴四边形ABCD是正方形.
证一证
对角线相等的菱形是正方形. 已知：如图,在菱形ABCD中,AC , DB是它的两条对角线,
AC=DB.
求证：四边形ABCD是正方形. 证明：∵四边形ABCD是菱形, ∴AB=BC=CD=AD,AC⊥DB.
8.如图，正方形ABCD 的对角线相交于点 O，正方形 A' B' C' O 与
正方形 ABCD 的边长相等．在正方形 A' B' C' O 绕点 O 旋转的过程
中，两个正方形重叠部分的面积与正方形 ABCD 的面积有什么关
系？请证明你的结论
教材P25联系拓广
解：重叠部分的面积等于正方形ABCD面积的 1 .证明
探索二：如果四边形ABCD变为特殊的四边形，中点四边形EFGH 会有怎样的变化呢？