1.3.2正方形的判定上课课件(北师大新版)

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我们，还在路上……
∵四边形ABCD是矩形
B
C
∴∠ABC=90°,∠DCB=90°
又∵BE平分∠ABC，CE平分∠DCB F
∴∠EBC=
1 2
∠ABC=45°,∠ECB=
∠12 DCB=45°
∴∠EBC=∠ECB ∴EB=EC ∴四边形BECF是菱形
在△EBC中
∵∠EBC=45°,∠ECB=45° ∴∠BEC=90° ∴四边形BECF是正方形
求证：四边形ABCD是正方形。
证明：∵∴四 四边 边形 形AABBCCDD是是菱平形行四边形，B形ABCD是正方形
新知探究
Ⅳ、求证：对角线相等的菱形是正方形。
已知：如图，菱形ABCD中， AC=BD。A
求证：四边形ABCD是正方形。
证明：∵四边形ABCD是菱形 ∴四边形ABCD是平行四边形，B AB=AD 且AC=BD ∴四边形ABCD是矩形 ∴∠DAB=90° ∴四边形ABCD是正方形
合作交流
ⅰ、满足什么条件的矩形是正方形？ (1)一组邻边相等
一组邻边相等
(2)对角线互相垂直
对角线互相垂直
新知探究
Ⅱ、求证：对角线互相垂直的矩形是正方形。
已知：如图，矩形ABCD中， AC⊥BDA 。求证：四边形ABCD是正方形。
证明：∵四边形ABCD是矩形 ∴四边形ABCD是平行四边形，B ∠DAB=90° 且OB=OD 且AC⊥BD ∴ AB=AD
巩固练习
1、已知：如图，E、F是正方形ABCD的对角线BD上的
两点，且BE=DF.
求证：四边形那个AECF是菱形. D F
C
E
A
B

满足怎样条件的矩形是正方形？
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
合作探究 活动1 准备一张矩形的纸片，按照下图折叠，然后展开，折叠 部分得到一个正方形，可量一量验证.
【猜想1】当矩形的一__组__邻__边__相_等__时， 【猜想2】当矩形的_对__角__线__互__相__垂__直___时，
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD.
又∵ AC=BD，
A
∴OA=OC=OB=OD，∠AOB=∠BOC=
∠COD=∠AOD=90°.
∴△AOB、△AOD、△BOC、△COD都
是等腰直角三角形.
B
∴∠BAD=90°.
∴四边形ABCD是正方形(正方形的定义).
D O
C
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
则∠BEC = 90°，所以四边形 BECF 是正方形.
A
D
E
B
C
F
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
典型例题
例2 已知：如图，在矩形 ABCD 中，BE 平分∠ABC，CE 平分 ∠DCB，BF∥CE，CF∥BE，求证：四边形 BECF 是正方形.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
复习回顾 观察下列实物中的正方形，说一说什么是正方形？
正方形具有 哪些性质呢？
一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
正方形
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
复习回顾 观察下列实物中的正方形，说一说什么是正方形？
正方形具有 哪些性质呢？
➢ 正方形的四个角都是直角，四条边相等. ➢ 正方形的对角线相等并且互相垂直平分.

第一章
特殊平行四边形 3．正方形的性质与判定
第1课时 正方形的性质
第1课时 正方形的性质
1 …知…识…回…顾…. 2 …新…知…导…航…. 3 …轻…松…过…招….
第1课时 正方形的性质
知识回顾
正方是轴对称图形，它有 4 条对称轴，即经 过对边中点的直线或两对角线所在直线：正方形又 是中心对称图形，两对角线交点是它的对称中心 （也是对边中点的直线的交点）。 .
第1课时 正方形的性质
新知导航
变式训练
1.已知正方形ABCD的对角线相交于点O. （1）若周长为8，则对角线长为 2 2 ， 面积为 4 ； （2）图中共有 8 个等腰直角三角形．
第1课时 正方形的性质
新知导航
2.如图，过正方形ABCD的顶点B作直线l，过点A，C 作l的垂线，垂足分别为E，F，若 AE＝1，CF＝3.求AB的长．
第1课时 正方形的性质
轻松过招
3．如图，正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为 BC延长线上一点，且CE＝CF. （1）求证：△BCE≌△DCF；
(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝DC，∠BCE＝∠DCF＝90°
CE＝CF
在△BCE和△DCF中， ∠BCE＝∠DCF ，
∴△BCE≌△DCF.
解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠CBF＋∠FBA＝90°，AB＝BC， ∵CF⊥BE，∴∠CBF＋∠BCF＝90°， ∴∠BCF＝∠ABE， ∵∠AEB＝∠BFC＝90°，AB＝BC， ∴△ABE≌△BCF(AAS)，∴AE＝BF＝1，BE＝CF＝3， ∴AB＝ AE2＋BE2 ＝ 1＋9 ＝ 10 .
第1课ห้องสมุดไป่ตู้ 正方形的性质
轻松过招

怎样判定一个平行四边形是正方形？
既是矩形又是菱形的四边形是正方形．
细心引导 探究新知
怎样判定一个矩形是正方形？怎样判定一个菱形是 正方形？
怎样判定一个平行四边形是正方形？
既是矩形又是菱形的四边形是正方形．
矩形
怎样判定一个矩形是正方形？怎样判定一个菱形是
例2：如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE。
∴∠EBC=2 ∠ABC=45°∠ECB2= ∠DCB=45° F
∴ ∠EBC∠ECB ∴EB=EC
□ BECF是菱形（菱形的定义）
△EBC中∠EBC=45°∠ECB=45°
∴∠BEC=90°
∴菱形BECF是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）
变式探究 在△ABC中,AB=AC,D是BC的中
点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.
选做5、如图，四边形ABCD和DEFG都是正
方形，试说明AE=CG
A
D
解：因为四边形ABCD是正方形，
根据正方形的四边相等，得 AD=CD.
又知四边形DEFG也是正方形，
所以DE=DG. 又因为正方形的每个内角为90°， B
E F
G C
所以∠ADE＋∠EDC＝∠CDG＋∠EDC.
所以∠ADE＝∠CDG.
1)求证：DE=DF
2)只添加一个条件,使四边形EDFA是正方形.
请你至少写出两种不同的添加方法.(不另外
添加辅助线,无需证明)
A
E
F
B
D
C
合作交流
1. 已知:正方形ABCD中，点E、F 、 G 、 H分别在 AB、BC、CD、DA上，且AE=BF=CG=DH，试 判断四边形EFGH是正方形吗?为什么?