椭圆中的“类切割线定理”

定理
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

是圆幂定理的一种。

切割线定理示意图几何语言：∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线∴PT 的平方=PA·PB（切割线定理）推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等几何语言：∵PT是⊙O切线，PBA，PDC 是⊙O的割线∴PD·PC=PA·PB（切割线定理推论）(割线定理）由上可知:PT ∧2（平方）=PA·PB=PC·PD
证明
切割线定理证明: 设ABP是⊙O的一条割线，PT是⊙O的一条切线，切点为T，则PT^2=PA·PB
证明：连接A T, BT ∵∠PTB=∠PAT(弦切角定理) 切割线定理的证明∠P=∠P(公共角) ∴△PBT∽△PTA(两角对应相等,两三角形相似) 则PB：PT=PT：AP 即：PT^2=PB·PA
比较
相交弦定理、切割线定理及割线定理(切割线定理推论)以及他们的推论统称为圆幂定理。

一般用于求直线段长度。

数学高考知识点椭圆切线椭圆是高考中常出现的一个重要的几何形状，掌握相关知识点对于考生来说是非常关键的。

其中一个重要的概念就是椭圆的切线。

在本文中，我将深入解析椭圆切线的相关内容，帮助读者加深理解。

首先，让我们回顾一下椭圆的定义和性质。

椭圆是一个平面上所有距离两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点的集合。

这两个定点被称为焦点，2a则是椭圆的长轴长度。

对称轴是连接两个焦点并且垂直于椭圆长轴的线段，它的长度被称为椭圆的短轴，记作2b。

此外，焦点之间的距离等于两个焦半径之和的两倍，即F1F2=2c。

根据椭圆的定义，我们可以得到一个重要的性质，即椭圆上的任意一点到两个焦点的距离之和等于常数2a。

接下来，我们来讨论椭圆的切线。

切线是曲线与其某一点相切的直线。

对于椭圆而言，每一条切线与曲线相切的点都位于椭圆的外部。

这是因为对于椭圆上的所有点，到焦点的距离之和等于常数2a，所以任意一条线如果不与椭圆有交点，那么它就不满足这个条件。

因此，只有位于椭圆外部的点才有可能与椭圆相切。

要求椭圆的切线，我们可以利用椭圆的几何性质来推导。

首先，我们可以通过将椭圆的切线与椭圆的法线相交于一点，来确定椭圆上一点的切线。

椭圆的法线是与切线垂直的直线，通过椭圆上的点，并且与该点的切线相交于一点。

在椭圆上，法线与切线的相交点将构成一个直角。

这是椭圆的一个重要性质，也是我们求解切线的关键。

我们可以根据这个性质得到一个重要的结论：椭圆的切线和法线的斜率互为相反数。

具体来说，设椭圆的方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1，点P(x0,y0)为椭圆上的一点，点P处的切线的斜率为k，则椭圆的法线的斜率为-1/k。

这个结论可以通过利用椭圆方程求解导数来得到，但是在此不做详细推导。

利用这个结论，我们可以通过已知椭圆上一点的坐标和斜率，求解该点处的切线方程。

例如，假设我们已知椭圆的方程为x^2/4+y^2/9=1，要求椭圆上点P(2,-3)处的切线方程。

切割线定理
切割线定理是指从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

也是圆幂定理之一。

我在《证明——切割线定理》一文中使用勾股定理求证，比较烦琐。

现在我不依靠切割线定理证了弦切角定理（过程在这里），就可以利用弦切角定理证明切割线定理。

如图所示。

已知：CP为圆O切线，AB为圆的割线，CP、AB交于P
求证：AP·BP=CP2
证明
连接AC、BC
由弦切角定理得
∠ACP=∠CBP
又∵∠APC=∠CPB（公共角）
∴△ACP∽△CBP（两角对应相等的两个三角形相似）
∴AP/CP=CP/BP（相似三角形对应边成比例）
∴AP·BP=CP2（比例基本性质）。

椭圆中的“类切割线定理”——2016年高考四川卷理科第20题【原题呈现】(2016年全国高考四川卷理科第20题)已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点，直线l :y =－x +3与椭圆E 有且只有一个公共点T . （I ）求椭圆E 的方程及点T 的坐标；（II ）设O 是坐标原点，直线'l 平行于OT ，与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，且与直线l 交于点P . 证明：存在常数λ，使得2||||||PT PA PB λ=⋅，并求λ的值.【考情综述】在高考中，解析几何综合题的地位是无人可以撼动的，无论是四川卷还是其它省市卷或全国卷，解答题中必有它的身影，并且往往还是以压轴题(倒数第二题)的身份出现．究其原因，是其在中学数学中的地位决定的．解析几何倡导用代数方法研究几何问题，把代数的知识和方法系统地用于研究几何之中，数形结合的思想和方法使代数、几何获得统一．通过解析几何学习，可以使学生对已学知识融会贯通，把数和形的研究紧密地结合起来，提高综合应用数学知识的能力．同时，系统地掌握解析几何的基础知识，也会为今后学习高等数学奠定坚实的基础．就全国高考四川卷中的解析几何综合题而言，近三年的理科试题都位于整卷第20题的位置，统一以直线与椭圆的位置关系为素材，主要考查直线、椭圆、曲线与方程等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合、转化与化归、分类与整合等数学思想方法，并考查数学思维的严谨性、深刻性与灵活性．从考查内容看，试题同样以两问的形式进行设置，第一问一般是“求椭圆的方程”，这一问都是送分题，往往是要求考生熟练掌握椭圆的标准方程和简单几何性质．如2013年“已知椭圆的焦点坐标，椭圆过定点，求椭圆的离心率”；2014年“已知椭圆的焦距，短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形，求椭圆的方程”；2015年“已知椭圆的离心率，过特殊点的特殊直线被椭圆截得的弦长（本质是椭圆过定点），求椭圆的方程”等．由此可见，今年的第一问设置较前几年难度有所增加，其难度在于：第一问中就要动用直线与椭圆联立方程组，使用“判别式”，无形中增加了运算量．试题的第二问才是试题或者整卷中的“亮点”，也是难点，是考生发挥能力的“舞台”．这一问往往以定量或定性的方法研究直线与椭圆间形成的某指定几何元素或结构间的关系，要求考生灵活进行转化与化归、准确进行运算与求解、严密进行推理与论证．如2013年“过定点的动直线与椭圆交于Ｍ，Ｎ两点，求线段MN 上满足222211||||||AQ AM AN =+的Q 点轨迹方程”，要求考生熟练运用韦达定理、弦长公式，正确处理参数关系，从定量运算中探索动点的定性特征；2014年“F 为椭圆左焦点，T 为左准线上动点，过F 作TF 的垂线交椭圆于点P ,Q ，证明OT 平分线段PQ ，求||||TF PQ 最小值”，要求考生熟练运用韦达定理、弦长公式、斜率公式，除作定性分析外，还会用基本不等式对相关数据进行最值求解；2015年“是否存在与定点P 不同的定点Q ，使得||||||||QA PA QB PB =恒成立”，在要求考生熟练运用韦达定理的同时，对考生转化与化归的能力提出较高要求．相比较而言，今年的第二问回到了对“韦达定理、弦长公式”的考查上，特别是动因的减少(定直线上已知斜率的动点)，降低了试题的思维强度．虽然今年是全国高考四川省自主命题的最后一年，解析几何综合题延续了自己的风格，但在今后的全国高考中，解析几何综合题的难度依然不会降低，考查的重点依然会聚焦在定点、定值问题，范围、最值问题等问题上，核心方法依然是“设而不求”，在进行弦长、斜率、距离等几何量的计算过程中巧妙运用韦达定理，只是考查内容有可能从椭圆的“一枝独秀”，发展到与抛物线“争奇斗艳”．【考点解读】在《2016年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（理）考试说明》中，对圆锥曲线的考试要求，特别是“直线与圆锥曲线的位置关系及其简单应用”要求达到Ｃ级（掌握）层次，即要求能够对所列的知识内容进行推导证明，能够利用所学知识对问题进行分析、研究、讨论，并且加以解决．而《2016年普通高等学校招生全国统一考试大纲（课标版）：理科数学》中，则明确表述为：“①掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质；②了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质．”因此，在圆锥曲线学习中，重点应该把握以下几个方面：1、掌握椭圆和抛物线的定义、标准方程、几何性质；2、掌握直线与圆锥曲线相交的解题一般步骤；3、熟记弦长公式、点到线的距离公式；4、熟悉常见的平面几何性质及其等价结论，准确对几何特征进行转化；5、会用坐标、方程等代数知识表示常见的几何性质和几何量，如距离、角、垂直、面积等；6、能熟练准确地进行代数式的化简、变形、计算；7、理解函数、方程和不等式的关系、理解解析思想和方法.首先，直线与圆锥曲线的位置关系．从代数角度讲，就是解方程组⎩⎨⎧Ax ＋By ＋C ＝0f (x ，y )＝0，进一步就是解一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0，因此，韦达定理的使用是最常见的解题手段．只要是有关圆锥曲线弦的问题，都会涉及根与系数的关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法．比如，弦长问题，由|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2，可以避开求交点坐标的繁杂计算，这在近几年的四川考题中都有体现．再者，设元与消元的问题．将几何问题代数化的过程中，要选择合理的变元，设点还是设斜率，合理的设元直接影响着解题的进程．比如，2014年的考题除设点T 坐标外，还可以设直线PQ 的方程(x =my －2)，计算过程各有千秋．最后，转化与化归的问题．用代数方法研究几何问题，几何特征的合理转化也很重要．比如，2015年的“||||||||QA PA QB PB =”，官方的答案是依据平行线性质定理提供的，实际上按三角形内角平分线性质处理，解法更优越．【解题指津】对于2016年四川卷理科第20题，第一问属基础题，由条件“两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点”，可得b ，c 间的等量关系，再由条件“直线l :y =－x +3与椭圆E 有且只有一个公共点T ”，利用判别式等于零，可得a ,b 的等量关系，结合a 2=b 2+c 2，可求得答案．第二问探究“λ的存在性”．一是|PT |,|P A |⋅|PB |如何求？因为T 点坐标已知，只要知道P 点坐标即可求|PT |，而|P A |⋅|PB |的计算显然要通过韦达定理处理．注意到直线l 与l '的斜率(k 1与k 2)都已知，结合弦长公式，则有|PT |2=(1+k 12)(x P －x T )2, |P A |⋅|PB |=(1+k 22)|(x P －x A )(x P －x B )|= (1+k 22)|x P 2－(x A +x B )x P +x A x B |．二是P 点坐标从何来？既可直接设P 点坐标，也可设直线l '方程，求得P 点坐标．解：(I)由题意，12F F C △为直角三角形，所以b c ==. 所以椭圆E 方程为222212x y b b+=. 将直线l :y =－x +3，代入整理得223121820x x b -+-=.因为l 与椭圆E 只有一个公共点，所以22=1243(182)0b ∆-⋅-=，解得2=3b . ∴22:163x y E +=. T 点坐标为()21，． (II)方法一：因为P 点在直线y =－x +3上，设其为(m ,3－m ),所以|PT |2=[1+(－1)2](m －2)2=2(m －2)2． 由12OT k =，'l 平行OT ，得直线l '方程为y =12(x +6－3m ), 代入椭圆E 的方程，得x 2+2(2－m )x +3m 2－12m +8=0,设A ,B 两点横坐标为x A ,x B ，则x A ＋x B ＝2(m －2)，x A x B ＝3m 2－12m +8，所以|P A |⋅|PB |=(1+14)|(m －x A )(m －x B )|=54|m 2－2m (m －2)+ 3m 2－12m +8|=52(m －2)2． 即|PT |2=54|P A |⋅|PB |，故存在λ=54，使得2||||||PT PA PB λ=⋅． 方法二：设直线l '方程为y =12x +n (n ≠0)， 由1,23,y x n y x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩得P 点坐标为(223n -,213n +)， 所以|PT |2=89n 2. 将直线l '方程代入椭圆E 的方程，得3x 2+4nx +4(n 2－3)=0,设A ,B 两点横坐标为x A ,x B ，则x A ＋x B ＝－4n 3，x A x B ＝4(n 2－3)3， 所以|P A |⋅|PB |=(1+14)|(223n -－x A )(223n -－x B )| =54|(223n -)2－(223n -)(x A ＋x B )+ x A x B |=109n 2. 即|PT |2=54|P A |⋅|PB |， 故存在λ=54，使得2||||||PT PA PB λ=⋅． 方法一、二的优劣在于设元的角度，一个是设点，一个是设直线方程，从解题过程看，无太大的差异，相对而言，设点的运算量要少一点．但两种方法的核心内容不在于“设元”，而是“弦长”的计算方式，这是问题的突破口．这里的弦长计算既不是用一般两点间的距离公式AB ，也不能用直线被圆锥曲线截得的弦长公式|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2（是|P A |⋅|PB |，而不是|AB |），需要我们理解两点间距离公式与弦长公式的联系，将“弦长”的两点泛化为“在特定直线上”的两点，即用|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2|简化计算过程，这就是合理运算途径的选择．当然，如果能从线段长度乘积（|P A |⋅|PB |）的运算形式，联系到直线的参数方程，则运算过程会更简捷．方法三：设P 点坐标为(x 0,3－x 0)，直线l '的参数方程为002,3x x t y x t =+⎧⎨=-+⎩ (t 为参数)， 代入椭圆E 的方程，整理得2t 2+4t +x 02－4x 0+4=0，设A ,B 两点对应的参数为t A ,t B ，则t A t B ＝(x 0－2)22． 所以|P A |⋅|PB |＝|5t A |⋅|5t B |=52(x 0－2)2． (以下略)实际上，关于弦长|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2|的运用还是比较广泛的．比如，2013年四川省理科卷第20题中的222211||||||AQ AM AN =+，因为A (0,2)、M 、N 三点共线，所以问题转化为222211M Nx x x =+．再比如，2016年四川省文科卷第20题中的|MA |⋅|MB |=|MC |⋅|MD |，2016年全国II 理科卷第20题中的2|AM |=|AN |等都有相似的处理方法．【学术拓展】从问题结论的形式“2||||||PT PA PB λ=⋅”，我们很容易联想到平面几何中关于圆的几何性质——“切割线定理”，这显然可看成是该定理在椭圆中的拓展．但由于椭圆是由圆进行伸缩变换所得，所以非平行的等长线段在同一伸缩变换作用下所得线段长度是不一定相等的．也就是说圆的切割线定理中的割线任意性，在椭圆中会受到一定条件的限制，这就是椭圆的“类切割线定理”．定理 已知倾斜角为α的直线l 1与椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>相切于点T ，过直线l 上的任意一点P ，作倾斜角为β的直线l 2与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，则222222222sin cos ||||||sin cos a b PT PA PB a b ββαα+=⋅+． 证明：设过点P (m ，n )倾斜角为β的直线参数方程为cos ,sin ,x m t y n t ββ=+⎧⎨=+⎩(t 为参数)， 代入椭圆E 的方程，整理得(a 2sin 2β+b 2cos 2β)t 2+2(a 2n sin β+b 2m cos β)t +a 2n 2+b 2m 2－a 2b 2=0， 所以2222222222sin cos a n b m a b PA PB a b ββ+-⋅+＝． 同理，可得22222222222||sin cos a n b m a b PT a b αα+-+＝， 故222222222sin cos ||||||sin cos a b PT PA PB a b ββαα+=⋅+． 说明：若直线l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，则2222212222221(1)()||||||(1)()k a k b PT PA PB k a k b ++=⋅++． 推论 过点P 作两条直线l 1，l 2分别与椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>交于A ,B 与C ,D 两点，若直线l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，则222212222221(1)()||||||||(1)()k a k b PA PB PC PD k a k b ++⋅=⋅++． 特别地，当k 1+k 2＝0时，有||||||||PA PB PC PD ⋅=⋅．这正是2016年四川文科卷第20题的命题依据．(2016年全国高考四川卷理科第20题)已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点1)2P 在椭圆E 上.(Ⅰ)求椭圆E 的方程；(Ⅱ)设不过原点O 且斜率为12的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为M ，直线OM 与椭圆E 交于C ，D ，证明：MA MB MC MD ⋅=⋅．【同步分拆】基于以上定理、推论及思想方法，我们可以命制如下数学问题，供大家参考． 问题１ 已知直线l :y =x +3与椭圆22:163x y E +=有且只有一个公共点T ，过直线l 上一点P 作斜率为k 的直线l '与椭圆E交于不同的两点A 、B ，若存在无数多个点P ，使得2||||||PT PA PB =⋅，求常数k 的值． 问题2 如图，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (1,0),离心率为22.分别过O,F 的两条弦AB ,CD 相交于点E (异于A ,C 两点),且OE=EF .(1)求椭圆的方程;(2)记直线AC 与BD 的交点为Q ，求证:||||||||QA QC QB QD ⋅=⋅问题3 过点M (0,－2)作抛物线y 2=x 的切线MA ，切点为A （异于原点O )，直线l 过点M 与抛物线交于两点B ,C ，与直线OA 交于点N ．试问:MN MN MB MC+的值是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．【教学建议】解析几何综合题是高考考查的重点内容之一，针对解题中经常出现的问题，在平时教学中，主要应该注意以下几个方面的问题．运算是基础．解析几何综合题往往涉及大量含有字母的复杂代数式运算，准确无误的运算是解决解析几何综合题的基础性问题．课堂教学中要舍得花时间放在运算上，不仅老师要有板演运算的过程，还应要求学生在课堂上进行运算求解．认为运算是学生自己的事，课后的事，都是错误的！因为如此繁杂的代数式运算是初中教学没有要求，更没有进行相关的训练的，这正是很多学生“谈算色变”，患有“运算恐惧症”的主要原因．特别是在运算过程中，要强调选择和设计合理、简捷的运算途径，合理的运算途径直接影响解析几何综合题的解题进程．方法是关键．解析几何用代数方法研究几何问题，既涉及代数方法的运用问题，也涉及几何特征的转化问题．运算是基础，方法要先行！毕竟数学教学的核心内容是思维方法，“多考一点想少考一点算”也是高考中竭力体现的目标．课堂教学中，要帮助学生提炼数学思想方法，设法一题多解，从不同角度认识同一数学问题，拓宽学生的数学视野，在比较中提升数学能力．设法多题一解，加深学生的思维深度，找出不同数学问题间的内在联系，透过现象看本质。

椭圆的切线与椭圆有且仅有一个交点的直线，就叫做椭圆的切线。

二者公共点，叫做切点。

经过切点且与切线垂直的直线，叫做该椭圆的法线。

即直线L与椭圆C切于点P。

即P点为切点。

过切点P且与切线L垂直的直线即是法线。

椭圆（Ellipe）是平面内到定点F1、F2的距离之和等于常数（大于，F1F2，）的动点P的轨迹，F1、F2称为椭圆的两个焦点。

其数学表达式为：，PF1，+，PF2，=2a（2a>，F1F2，）。

椭圆是圆锥曲线的一种，即圆锥与平面的截线。

椭圆的周长等于特定的正弦曲线在一个周期内的长度。

扩展资料：切线法线定理1：设F1、F2为椭圆C的两个焦点，P为C上任意一点。

若直线AB切椭圆C于点P，且A和B在直线上位于P的两侧，则∠APF1=∠BPF2。

（也就是说，椭圆在点P处的切线即为∠F1PF2的外角平分线所在的直线）。

定理2：设F1、F2为椭圆C的两个焦点，P为C上任意一点。

若直线AB为C在P点的法线，则AB平分∠F1PF2。

椭圆的面镜（以椭圆的长轴为轴，把椭圆转动180度形成的立体图形，其内表面全部做成反射面，中空）可以将一些焦点发出的光线全部反射到另一个焦点处；椭圆的透镜（一些截面为椭圆）有汇聚光线的作用（也叫凸透镜），老花眼镜、放大镜和远视眼镜都是这种镜片（这些光学性质可以通过反证法证明）。

例如：有一个圆柱，被截得到一个截面，下面证明它是一个椭圆（用上面的第一定义）：将两个半径与圆柱半径相等的半球从圆柱两端向中间挤压，它们碰到截面的时候停止，那么会得到两个公共点，显然他们是截面与球的切点。

设两点为F1、F2对于截面上任意一点P，过P做圆柱的母线Q1、Q2，与球、圆柱相切的大圆分别交于Q1、Q2则PF1=PQ1、PF2=PQ2，所以PF1+PF2=Q1Q2由定义1知：截面是一个椭圆，且以F1、F2为焦点用同样的方法，也可以证明圆锥的斜截面（不通过底面）为一个椭圆。

切割线定理的证明及其应用
1.切割线定理：
在任意多边形 P 中，选择两个点 A、B，使得其他所有点到线段 AB 距离都相等，则线段 AB 称为多边形 P 的切割线。

2.证明
任一多边形 P，假设其边数为 n ，点 A 与 B 之间的距离为 D，其他点 C 到线段AB 的距离为 d，则有：
n × D = （n -2）× d
由此可知，D 将等于 d，即点 A 到点 B 的距离与其他点到线段 AB 的距离相等。

3.应用
（1）在图形计算中，利用切割线定理可用于在平面上快速定位任意多边形中特定位置的点，迅速检验多边形的贪婪算法和路径搜索算法是否为最优解，以便更好地分析求解图形学问题。

（2）切割线定理可以延伸至空间中，帮助我们快速定位立体图形中的某一点。

也可以利用它来实现空间划分，例如空间三角剖分。

（3）切割线定理更可以用于形状识别，例如通过计算其他点到切割线距离分布，来判断形状是否为平行四边形，正方形等等，具有重要的实际价值。

椭圆切线的几个有趣性质及其证明浙江省海盐县元济高级中学 (314300) 崔宝法《数学通讯》2006年第15期发表唯物辨证法告诉我们:运动是绝对的,静止是相对的。

世上万物，都是动中蕴静，以静制动,动静相依。

经过研究，笔者发现这一规律在椭圆的切线中也有充分的体现。

对于椭圆的切线,在全日制普通高级中学教科书(必修)数学第二册(上)中虽略有涉及,但没有作进一步的讨论与研究。

事实上，椭圆的切线作为和椭圆位置关系最特殊的直线，尽管它可以与椭圆有相对任意的动态位置，但仍有着它自身所独有的一些结论为静态的有趣性质。

下面给出其中几条，并加以证明。

性质一 椭圆的任意一条切线与切点处的两条焦半径所成的角相等。

证明 如图1,设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，且椭圆上任一点为00(,)P x y ，1(,0)F c -、2(,0)F c 为左右焦点，离心率为e ，则10PF a ex =+，20PF a ex =-。

设点P 点处切线为AB ，法线为PT （T 为法线与x 轴的交点），则法线PT 的方程为：22220000()a y x b x y a b x y -=-，令0y =，得202cx x a =，故T 的坐标为202(,0)c x a。

从而2201022()c a cx c FT c x a a +=+=，2202022()c a cx c F T c x a a -=-=， ∴210220FT a cx F T a cx +=-。

又∵21002200PF a ex a cx PF a ex a cx ++==--，∴1122FT PF F T PF =。

图1∴PT 平分12F PF ∠，即12F PT F PT ∠=∠。

又∵90APT BPT ∠=∠= ，∴12APF BPF ∠=∠。

即椭圆的切线与切点处的两条焦半径所成的相等。

性质二 自椭圆外任一点引椭圆的两条切线，则该点与一个焦点的连线平分该焦点与两切点连线段所夹的角。

椭圆中的“类切割线定理”——2016年高考四川卷理科第20题江苏省东海县教师进修学校 徐明【原题呈现】(2016年全国高考四川卷理科第20题)已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点，直线l :y =－x +3与椭圆E 有且只有一个公共点T .（I ）求椭圆E 的方程及点T 的坐标；（II ）设O 是坐标原点，直线'l 平行于OT ，与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，且与直线l 交于点P . 证明：存在常数λ，使得2||||||PT PA PB λ=⋅，并求λ的值.【考情综述】在高考中，解析几何综合题的地位是无人可以撼动的，无论是四川卷还是其它省市卷或全国卷，解答题中必有它的身影，并且往往还是以压轴题(倒数第二题)的身份出现．究其原因，是其在中学数学中的地位决定的．解析几何倡导用代数方法研究几何问题，把代数的知识和方法系统地用于研究几何之中，数形结合的思想和方法使代数、几何获得统一．通过解析几何学习，可以使学生对已学知识融会贯通，把数和形的研究紧密地结合起来，提高综合应用数学知识的能力．同时，系统地掌握解析几何的基础知识，也会为今后学习高等数学奠定坚实的基础．就全国高考四川卷中的解析几何综合题而言，近三年的理科试题都位于整卷第20题的位置，统一以直线与椭圆的位置关系为素材，主要考查直线、椭圆、曲线与方程等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合、转化与化归、分类与整合等数学思想方法，并考查数学思维的严谨性、深刻性与灵活性．从考查内容看，试题同样以两问的形式进行设置，第一问一般是“求椭圆的方程”，这一问都是送分题，往往是要求考生熟练掌握椭圆的标准方程和简单几何性质．如2013年“已知椭圆的焦点坐标，椭圆过定点，求椭圆的离心率”；2014年“已知椭圆的焦距，短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形，求椭圆的方程”；2015年“已知椭圆的离心率，过特殊点的特殊直线被椭圆截得的弦长（本质是椭圆过定点），求椭圆的方程”等．由此可见，今年的第一问设置较前几年难度有所增加，其难度在于：第一问中就要动用直线与椭圆联立方程组，使用“判别式”，无形中增加了运算量．试题的第二问才是试题或者整卷中的“亮点”，也是难点，是考生发挥能力的“舞台”．这一问往往以定量或定性的方法研究直线与椭圆间形成的某指定几何元素或结构间的关系，要求考生灵活进行转化与化归、准确进行运算与求解、严密进行推理与论证．如2013年“过定点的动直线与椭圆交于Ｍ，Ｎ两点，求线段MN 上满足222211||||||AQ AM AN =+的Q 点轨迹方程”，要求考生熟练运用韦达定理、弦长公式，正确处理参数关系，从定量运算中探索动点的定性特征；2014年“F 为椭圆左焦点，T 为左准线上动点，过F 作TF 的垂线交椭圆于点P ,Q ，证明OT 平分线段PQ ，求||||TF PQ 最小值”，要求考生熟练运用韦达定理、弦长公式、斜率公式，除作定性分析外，还会用基本不等式对相关数据进行最值求解；2015年“是否存在与定点P 不同的定点Q ，使得||||||||QA PA QB PB =恒成立”，在要求考生熟练运用韦达定理的同时，对考生转化与化归的能力提出较高要求．相比较而言，今年的第二问回到了对“韦达定理、弦长公式”的考查上，特别是动因的减少(定直线上已知斜率的动点)，降低了试题的思维强度．虽然今年是全国高考四川省自主命题的最后一年，解析几何综合题延续了自己的风格，但在今后的全国高考中，解析几何综合题的难度依然不会降低，考查的重点依然会聚焦在定点、定值问题，范围、最值问题等问题上，核心方法依然是“设而不求”，在进行弦长、斜率、距离等几何量的计算过程中巧妙运用韦达定理，只是考查内容有可能从椭圆的“一枝独秀”，发展到与抛物线“争奇斗艳”．【考点解读】在《2016年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（理）考试说明》中，对圆锥曲线的考试要求，特别是“直线与圆锥曲线的位置关系及其简单应用”要求达到Ｃ级（掌握）层次，即要求能够对所列的知识内容进行推导证明，能够利用所学知识对问题进行分析、研究、讨论，并且加以解决．而《2016年普通高等学校招生全国统一考试大纲（课标版）：理科数学》中，则明确表述为：“①掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质；②了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质．”因此，在圆锥曲线学习中，重点应该把握以下几个方面：1、掌握椭圆和抛物线的定义、标准方程、几何性质；2、掌握直线与圆锥曲线相交的解题一般步骤；3、熟记弦长公式、点到线的距离公式；4、熟悉常见的平面几何性质及其等价结论，准确对几何特征进行转化；5、会用坐标、方程等代数知识表示常见的几何性质和几何量，如距离、角、垂直、面积等；6、能熟练准确地进行代数式的化简、变形、计算；7、理解函数、方程和不等式的关系、理解解析思想和方法.首先，直线与圆锥曲线的位置关系．从代数角度讲，就是解方程组⎩⎨⎧Ax ＋By ＋C ＝0f (x ，y )＝0，进一步就是解一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0，因此，韦达定理的使用是最常见的解题手段．只要是有关圆锥曲线弦的问题，都会涉及根与系数的关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法．比如，弦长问题，由|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2，可以避开求交点坐标的繁杂计算，这在近几年的四川考题中都有体现．再者，设元与消元的问题．将几何问题代数化的过程中，要选择合理的变元，设点还是设斜率，合理的设元直接影响着解题的进程．比如，2014年的考题除设点T 坐标外，还可以设直线PQ 的方程(x =my －2)，计算过程各有千秋．最后，转化与化归的问题．用代数方法研究几何问题，几何特征的合理转化也很重要．比如，2015年的“||||||||QA PA QB PB =”，官方的答案是依据平行线性质定理提供的，实际上按三角形内角平分线性质处理，解法更优越．【解题指津】对于2016年四川卷理科第20题，第一问属基础题，由条件“两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点”，可得b ，c 间的等量关系，再由条件“直线l :y =－x +3与椭圆E 有且只有一个公共点T ”，利用判别式等于零，可得a ,b 的等量关系，结合a 2=b 2+c 2，可求得答案．第二问探究“λ的存在性”．一是|PT |,|P A |⋅|PB |如何求？因为T 点坐标已知，只要知道P 点坐标即可求|PT |，而|P A |⋅|PB |的计算显然要通过韦达定理处理．注意到直线l 与l '的斜率(k 1与k 2)都已知，结合弦长公式，则有|PT |2=(1+k 12)(x P －x T )2, |P A |⋅|PB |=(1+k 22)|(x P －x A )(x P －x B )|= (1+k 22)|x P 2－(x A +x B )x P +x A x B |．二是P 点坐标从何来？既可直接设P 点坐标，也可设直线l '方程，求得P 点坐标．解：(I)由题意，12F F C △为直角三角形，所以b c ==. 所以椭圆E 方程为222212x y b b+=. 将直线l :y =－x +3，代入整理得223121820x x b -+-=.因为l 与椭圆E 只有一个公共点，所以22=1243(182)0b ∆-⋅-=，解得2=3b .∴22:163x y E +=. T 点坐标为()21，． (II)方法一：因为P 点在直线y =－x +3上，设其为(m ,3－m ),所以|PT |2=[1+(－1)2](m －2)2=2(m －2)2． 由12OT k =，'l 平行OT ，得直线l '方程为y =12(x +6－3m ), 代入椭圆E 的方程，得x 2+2(2－m )x +3m 2－12m +8=0,设A ,B 两点横坐标为x A ,x B ，则x A ＋x B ＝2(m －2)，x A x B ＝3m 2－12m +8，所以|P A |⋅|PB |=(1+14)|(m －x A )(m －x B )|=54|m 2－2m (m －2)+ 3m 2－12m +8|=52(m －2)2． 即|PT |2=54|P A |⋅|PB |， 故存在λ=54，使得2||||||PT PA PB λ=⋅． 方法二：设直线l '方程为y =12x +n (n ≠0)， 由1,23,y x n y x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩得P 点坐标为(223n -,213n +)， 所以|PT |2=89n 2. 将直线l '方程代入椭圆E 的方程，得3x 2+4nx +4(n 2－3)=0,设A ,B 两点横坐标为x A ,x B ，则x A ＋x B ＝－4n 3，x A x B ＝4(n 2－3)3， 所以|P A |⋅|PB |=(1+14)|(223n -－x A )(223n -－x B )| =54|(223n -)2－(223n -)(x A ＋x B )+ x A x B |=109n 2. 即|PT |2=54|P A |⋅|PB |， 故存在λ=54，使得2||||||PT PA PB λ=⋅． 方法一、二的优劣在于设元的角度，一个是设点，一个是设直线方程，从解题过程看，无太大的差异，相对而言，设点的运算量要少一点．但两种方法的核心内容不在于“设元”，而是“弦长”的计算方式，这是问题的突破口．这里的弦长计算既不是用一般两点间的距离公式AB ，也不能用直线被圆锥曲线截得的弦长公式|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2（是|P A |⋅|PB |，而不是|AB |），需要我们理解两点间距离公式与弦长公式的联系，将“弦长”的两点泛化为“在特定直线上”的两点，即用|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2|简化计算过程，这就是合理运算途径的选择．当然，如果能从线段长度乘积（|P A |⋅|PB |）的运算形式，联系到直线的参数方程，则运算过程会更简捷．方法三：设P 点坐标为(x 0,3－x 0)，直线l '的参数方程为002,3x x t y x t =+⎧⎨=-+⎩ (t 为参数)， 代入椭圆E 的方程，整理得2t 2+4t +x 02－4x 0+4=0，设A ,B 两点对应的参数为t A ,t B ，则t A t B ＝(x 0－2)22． 所以|P A |⋅|PB |＝|5t A |⋅|5t B |=52(x 0－2)2．(以下略)实际上，关于弦长|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2|的运用还是比较广泛的．比如，2013年四川省理科卷第20题中的222211||||||AQ AM AN =+，因为A (0,2)、M 、N 三点共线，所以问题转化为222211M Nx x x =+．再比如，2016年四川省文科卷第20题中的|MA |⋅|MB |=|MC |⋅|MD |，2016年全国II 理科卷第20题中的2|AM |=|AN |等都有相似的处理方法．【学术拓展】从问题结论的形式“2||||||PT PA PB λ=⋅”，我们很容易联想到平面几何中关于圆的几何性质——“切割线定理”，这显然可看成是该定理在椭圆中的拓展．但由于椭圆是由圆进行伸缩变换所得，所以非平行的等长线段在同一伸缩变换作用下所得线段长度是不一定相等的．也就是说圆的切割线定理中的割线任意性，在椭圆中会受到一定条件的限制，这就是椭圆的“类切割线定理”．定理 已知倾斜角为α的直线l 1与椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>相切于点T ，过直线l 上的任意一点P ，作倾斜角为β的直线l 2与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，则222222222sin cos ||||||sin cos a b PT PA PB a b ββαα+=⋅+． 证明：设过点P (m ，n )倾斜角为β的直线参数方程为cos ,sin ,x m t y n t ββ=+⎧⎨=+⎩(t 为参数)， 代入椭圆E 的方程，整理得(a 2sin 2β+b 2cos 2β)t 2+2(a 2n sin β+b 2m cos β)t +a 2n 2+b 2m 2－a 2b 2=0， 所以2222222222sin cos a n b m a b PA PB a b ββ+-⋅+＝． 同理，可得22222222222||sin cos a n b m a b PT a b αα+-+＝， 故222222222sin cos ||||||sin cos a b PT PA PB a b ββαα+=⋅+． 说明：若直线l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，则2222212222221(1)()||||||(1)()k a k b PT PA PB k a k b ++=⋅++． 推论 过点P 作两条直线l 1，l 2分别与椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>交于A ,B 与C ,D 两点，若直线l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，则222212222221(1)()||||||||(1)()k a k b PA PB PC PD k a k b ++⋅=⋅++． 特别地，当k 1+k 2＝0时，有||||||||PA PB PC PD ⋅=⋅．这正是2016年四川文科卷第20题的命题依据．(2016年全国高考四川卷理科第20题)已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点1)2P 在椭圆E 上. (Ⅰ)求椭圆E 的方程；(Ⅱ)设不过原点O 且斜率为12的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为M ，直线OM 与椭圆E 交于C ，D ，证明：MA MB MC MD ⋅=⋅．【同步分拆】基于以上定理、推论及思想方法，我们可以命制如下数学问题，供大家参考．问题１已知直线l:y=x+3与椭圆22:163x yE+=有且只有一个公共点T，过直线l上一点P作斜率为k的直线l'与椭圆E 交于不同的两点A、B，若存在无数多个点P，使得2||||||PT PA PB=⋅，求常数k的值．问题2如图，椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(1,0),离心率为22.分别过O,F的两条弦AB,CD相交于点E(异于A,C两点),且OE=EF.(1)求椭圆的方程;(2)记直线AC与BD的交点为Q，求证:||||||||QA QC QB QD⋅=⋅问题3过点M(0,－2)作抛物线y2=x的切线MA，切点为A（异于原点O)，直线l过点M与抛物线交于两点B,C，与直线OA交于点N．试问: MN MNMB MC+的值是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．【教学建议】解析几何综合题是高考考查的重点内容之一，针对解题中经常出现的问题，在平时教学中，主要应该注意以下几个方面的问题．运算是基础．解析几何综合题往往涉及大量含有字母的复杂代数式运算，准确无误的运算是解决解析几何综合题的基础性问题．课堂教学中要舍得花时间放在运算上，不仅老师要有板演运算的过程，还应要求学生在课堂上进行运算求解．认为运算是学生自己的事，课后的事，都是错误的！因为如此繁杂的代数式运算是初中教学没有要求，更没有进行相关的训练的，这正是很多学生“谈算色变”，患有“运算恐惧症”的主要原因．特别是在运算过程中，要强调选择和设计合理、简捷的运算途径，合理的运算途径直接影响解析几何综合题的解题进程．方法是关键．解析几何用代数方法研究几何问题，既涉及代数方法的运用问题，也涉及几何特征的转化问题．运算是基础，方法要先行！毕竟数学教学的核心内容是思维方法，“多考一点想少考一点算”也是高考中竭力体现的目标．课堂教学中，要帮助学生提炼数学思想方法，设法一题多解，从不同角度认识同一数学问题，拓宽学生的数学视野，在比较中提升数学能力．设法多题一解，加深学生的思维深度，找出不同数学问题间的内在联系，透过现象看本质。

椭圆切割线定理椭圆切割线定理是二次规划中一个重要的定理，由狄拉克提出。

它宣称，一个解析方程定义的椭圆存在着一系列切割线，将它切割成一系列封闭的阴影区域，其中每个封闭区域含有至多三个桥梁；而这些桥梁的数目决定了是否存在非奇异解。

它的主要应用是用来解决二次规划问题。

椭圆切割线定理的推广椭圆切割线定理的原始定义是仅针对椭圆的，因此有学者通过椭圆切割线定理的概念作为基础，迅速引申出了椭圆切割线定理的推广。

例如，在椭圆切割线定理的推广中，有学者引入参数，把原来的椭圆推广为参数方程，并进行一系列研究。

其中最终得出的结论是，只要参数方程在定义域上是单调的，则存在着一系列切割线，将参数方程切割成一系列封闭的阴影区域，其中每个封闭区域含有至多三个桥梁；而这些桥梁的数目决定了参数方程是否有非奇异解。

在发展的过程中，椭圆切割线定理还被推广到多项式函数、拟合函数和等高线函数等情况，并可以应用到几何空间中。

应用椭圆切割线定理椭圆切割线定理在二次规划问题中是一个重要的定理，而二次规划问题在商业经济中运用十分广泛。

一般来说，二次规划问题具有极小极大的目标函数，且该函数的局部极小值与极大值能够满足系统约束条件，但仍存在最优解的唯一性不确定性。

这时候，应用椭圆切割线定理的结论就会发挥重要作用。

即椭圆切割线定理有助于推断一个系统是否存在一个最优解，也有助于推断最优解的唯一性。

此外，椭圆切割线定理也能有效地解决系统中奇异解的存在问题。

总结椭圆切割线定理是二次规划中一个重要的定理，由狄拉克提出。

它宣称，一个解析方程定义的椭圆存在着一系列切割线，将它切割成一系列封闭的阴影区域，其中每个封闭区域含有至多三个桥梁；而这些桥梁的数目决定了是否存在非奇异解。

椭圆切割线定理的原始定义是仅针对椭圆的，但是随着发展也已经推广到参数方程、多项式函数、拟合函数和等高线函数等等。

它的主要应用是用来解决二次规划问题，有助于推断一个系统是否存在一个最优解，也有助于推断最优解的唯一性，有效地解决系统中奇异解的存在问题。

切割线定理应用举例切割线定理的魔力：解密几何世界的神秘密码在那个充满无数线条与图形交织的世界里，有一种定理犹如一把锋利无比的“剪刀”，悄无声息地裁剪出几何王国的无限奥秘——那就是我们今天要揭秘的主角——切割线定理。

这可是个不得了的小家伙，它的存在让平面几何瞬间变得生动活泼起来，仿佛每个图形都在诉说着自己的故事。

首先，咱们先来一探究竟，何为切割线定理？想象一下，你手握一根魔法棒（也就是直线），轻轻一挥，就将一个圆切出了两个扇形。

这时，切割线定理就如同一位智者低声吟唱：“过圆外一点作圆的两条割线，那么这个点到这两条割线和圆交点的两条线段长度的乘积是相等的。

”换言之，无论你怎么切，这个神秘的比例关系始终如一，是不是有种“一刀未平，一刀又起，但结果始终如初”的奇妙感？现在，咱就用生活中的例子给大伙儿演示一番。

假设你在公园看到一个超大的摩天轮，其半径如同盛夏阳光般炽热且耀眼。

你站在某点A，扔出两颗小石子，分别击中摩天轮形成两条切割线，与摩天轮交于B、C两点。

根据切割线定理，AB×AC恒等于你的站立点A到摩天轮中心的距离与半径的平方差。

这就意味着，即使你改变投掷的角度或者力度，只要石子依然命中摩天轮，这个乘积的结果就像被施了魔法一样保持不变！这种看似平常却深藏玄机的现象，就是切割线定理的魅力所在。

它不仅揭示了图形间隐藏的关系，更是在实际应用中扮演着不可或缺的角色。

比如，在建筑设计、机械制造、甚至是篮球运动员投篮角度的选择等方面，切割线定理都能发挥其独特的效用，成为解决实际问题的一把利器。

所以说啊，这切割线定理可真是个低调的大咖，它默默无闻却又无处不在，像极了生活中那些看似微不足道，实则蕴含强大力量的存在。

正是有了这样的定理，我们的几何世界才更加丰富多彩，充满了探索的乐趣和挑战的激情！这就是切割线定理，一个简单而又深刻的数学定律，让我们一起感叹一声：“哇塞，原来几何还可以这样玩！”。

初中数学切割线定理知识点总结关于初中数学切割线定理知识点总结切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项133推论从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等134如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上135 ①两圆外离d>R+r ②两圆外切d=R+r ③两圆相交 R-rr)④两圆内切 d=R-r(R>r) ⑤两圆内含dr)136定理相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦137定理把圆分成n(n≥3):⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形上面的内容是初中数学知识点总结之切割线定理，同学们都已经掌握要领了吧。

接下来还有更多更全的初中数学知识讯息尽在。

初中数学知识点总结：平面直角坐标系下面是对平面直角坐标系的内容学习，希望同学们很好的掌握下面的内容。

平面直角坐标系平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。

水平的数轴称为x轴或横轴，竖直的.数轴称为y轴或纵轴，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。

平面直角坐标系的要素：①在同一平面②两条数轴③互相垂直④原点重合三个规定：①正方向的规定横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向②单位长度的规定；一般情况，横轴、纵轴单位长度相同；实际有时也可不同，但同一数轴上必须相同。

③象限的规定：右上为第一象限、左上为第二象限、左下为第三象限、右下为第四象限。

相信上面对平面直角坐标系知识的讲解学习，同学们已经能很好的掌握了吧，希望同学们都能考试成功。

初中数学知识点：平面直角坐标系的构成对于平面直角坐标系的构成内容，下面我们一起来学习哦。

平面直角坐标系的构成在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系。

通常，两条数轴分别置于水平位置与铅直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向。