阶乘排列组合公式计算

排列数计算公式排列数计算公式是组合数学中的重要内容之一，用来计算从n个不同元素中取出m个元素进行排列的方法数。

排列数计算公式可以根据具体情况有多种不同的表达方式，下面将介绍几种常用的排列数计算公式及其应用。

1. **排列数计算公式**：排列数计算公式通常用P(n, m)来表示，表示从n个元素中取出m个元素进行排列的方法数。

排列数计算公式可以表示为P(n, m) = n! / (n - m)!，其中n!表示n的阶乘，即n! = n * (n - 1) * (n - 2) * ... * 1。

排列数计算公式的应用范围非常广泛，比如排列组合、概率统计、密码学等领域都会用到排列数计算公式。

2. **排列数计算公式的推导**：排列数计算公式的推导可以从数学定义出发。

当我们从n个元素中取出第一个元素时，有n种选择；取出第二个元素时，有n-1种选择；以此类推，取出第m个元素时，有n-m+1种选择。

根据乘法原理，从n 个元素中取出m个元素进行排列的方法数为n * (n-1) * (n-2) * ... * (n-m+1) = n! / (n-m)!。

3. **排列数计算公式的应用**：排列数计算公式在实际应用中有很多用途。

比如在密码学中，排列数计算公式可以用来计算密码的破解难度；在排列组合中，排列数计算公式可以用来计算不同排列的方法数；在概率统计中，排列数计算公式可以用来计算事件的排列可能性等。

4. **排列数计算公式的例题**：举个例子来说明排列数计算公式的应用。

假设有5个不同的字母，要从中取出3个字母进行排列，那么排列数计算公式可以表示为P(5, 3) = 5! / (5-3)! = 5 * 4 * 3 = 60。

即从5个不同的字母中取出3个字母进行排列的方法数为60种。

5. **排列数计算公式的注意事项**：在使用排列数计算公式时，需要注意元素的个数和排列的个数不能为负数，否则排列数计算公式会失效。

此外，排列数计算公式的计算结果通常为整数，可以用来计算排列的方法数，但不能用来计算排列的具体排列方式，如果要计算排列的具体排列方式，需要进一步进行排列组合的计算。

列组合公式/排列组合计算公式
(2008-10-08 10:14:14)
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前段时间注册岩土工程师考试的时候，考到了排列组合的知识点，偶怎么也组合不出答案来，上网百度了一下，从某位同学的博客里copy以下内容，供大家共同学习，感谢这位同学的奉献！
排列组合公式/排列组合计算公式
公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。

公式C是指组合，从N个元素取R个，不进行排列。

N-元素的总个数
R参与选择的元素个数
！-阶乘，如 9！＝9*8*7*6*5*4*3*2*1
从N倒数r个，表达式应该为n*（n-1)*(n-2)..(n-r+1);
因为从n到（n-r+1)个数为n－（n-r+1)＝r
举例：
Q1:有从1到9共计9个号码球，请问，可以组成多少个三位数？
A1:123和213是两个不同的排列数。

即对排列顺序有要求的，既属于“排列P”计算范畴。

上问题中，任何一个号码只能用一次，显然不会出现988,997之类的组合，我们可以这么看，百位数有9种可能，十位数则应该有9-1种可能，个位数则应该只有9-1-1种可能，最终共有9*8*7个三位数。

计算公式＝P（3，9)＝9*8*7,(从9倒数3个的乘积）
Q2: 有从1到9共计9个号码球，请问，如果三个一组，代表“三国联盟”，可以组合成多少个“三国联盟”？
A2: 213组合和312组合，代表同一个组合，只要有三个号码球在一起即可。

即不要求顺序的，属于“组合C”计算范畴。

上问题中，将所有的包括排列数的个数去除掉属于重复的个数即为最终组合数C(3,9)=9*8*7/3*2*1。

排列组合公式详细讲解好的，以下是为您生成的关于“排列组合公式详细讲解”的文章：在咱们学习数学的这个大“旅程”中，排列组合公式就像是一把神奇的钥匙，能帮咱们打开很多复杂问题的大门。

咱们先来说说啥是排列。

比如说，从 5 个不同的水果里选 3 个排成一排，这就叫排列。

那排列的公式是啥呢？A(n,m) = n! / (n - m)! 这里的“!”表示阶乘，比如 5! 就是 5×4×3×2×1 。

我给您举个例子啊，有一次我去水果店买水果，店里有苹果、香蕉、橙子、草莓和西瓜。

我想选 3 个水果摆在家里好看，这时候就得用到排列啦。

先选第一个水果，有 5 种选择；选完第一个，再选第二个的时候就只有 4 种选择了；选第三个的时候就剩下 3 种选择。

所以总的排列数就是 5×4×3 = 60 种。

说完排列，咱们再聊聊组合。

组合呢，就是从一堆东西里选几个，不考虑顺序。

比如还是从那 5 个水果里选 3 个，不管怎么排，只要选出来的是这 3 个就行，这就是组合。

组合的公式是 C(n,m) = n! / [m!(n - m)!] 。

就像上次我们班级搞活动，老师准备了 10 个小礼物，要分给 4 个同学，每个同学至少得有一个。

这时候就得算组合啦。

先从 10 个礼物里选 4 个，就是 C(10,4) 。

算出来有 210 种选法。

但这只是选出来，还没分呢。

要分给 4 个同学，这又得算排列，A(4,4) ，等于 24 。

所以最终的分法就是 210×24 = 5040 种。

排列组合在生活中的应用可多了去了。

比如说抽奖，从 100 个号码里抽出10 个中奖号码，这就是组合。

要是这10 个号码还有先后顺序，比如一等奖、二等奖一直到十等奖，这就是排列。

还有安排座位，教室里有 30 个座位，要选 5 个给新同学，这也是组合。

但要是考虑新同学坐的顺序，那就是排列。

再比如，从 8 种颜色的彩笔里选 3 种画画，这是组合。

排列组合公式 cn an排列组合（Combinatorics）是数学的一个重要分支，它是研究组合、排列和计数的科学。

它可以被定义为“研究数学中组合和计数方面的规律”。

排列组合把一系列不同元素的可能排列组合方式放在一起，以解决一些实际问题。

排列组合公式cn an 是排列组合的基础。

Cn an 是排列组合的基本公式，可以用来计算从 n 个不同元素中取出 a 个元素的不同排列组合数量。

Cn an 的计算公式为：Cn an=n(n-1)(n-2)...(n-a+1)，其中 n>a 。

如果 n=a，则 Cn an = n!，其中 n! 表示 n 的阶乘。

Cn an 用途非常广泛，可以用来解决很多实际问题。

例如，当有三个不同的物品，要从中选择两个来做一件事情，可以使用 C3 2 来计算可能的组合数量。

根据 C3 2 的计算公式，可以知道有 3×2=6 种可能的组合方式。

另外，Cn an 还可以用来解决组队问题，如果有 n 个人要分成 a 个组，就可以使用 Cn an 来计算有多少种可能的分组方式。

例如，如果有 12 个人要分成 4 个小组，则可以使用 C124 来计算有多少种可能的分组方式，根据 C12 4 的计算公式，有 12×11×10×9 种可能的分组方式。

Cn an 也可以用来计算排列组合的问题，如果有 n 个不同的元素，要从中挑选出 a 个元素，按照不同的顺序排列组合，就可以使用 Cn an 来计算有多少种可能的排列组合方式。

例如，如果有四个不同的元素，要从中挑选出三个元素，按照不同的顺序排列组合，可以使用 C4 3 来计算有多少种可能的排列组合方式，根据 C4 3 的计算公式，有 4×3×2 种可能的排列组合方式。

可以看出，Cn an 是排列组合中非常常用的公式，它可以用来解决很多实际问题，如选择问题、组队问题和排列组合问题。

掌握 Cn an 的使用方法，可以有效解决实际问题，节省时间和精力，提高效率。

排列与组合综合算式的排列组合计算排列与组合是概率与组合数学中常见的计算方式，用于解决排列和组合问题。

在计算排列与组合时，我们可以利用排列组合公式或者数学原理来进行计算，下面将具体介绍排列与组合综合算式的排列组合计算方法。

一、排列与组合的概念1. 排列：从n个元素中选取m个元素并按特定顺序排列，称为排列。

排列的计算公式为：P(n,m) = n! / (n-m)!2. 组合：从n个元素中选取m个元素，并不考虑其顺序，称为组合。

组合的计算公式为：C(n,m) = n! / (m! * (n-m)!)其中，n!表示n的阶乘，即n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 1。

二、排列与组合综合算式的计算方法对于排列与组合综合算式的计算，可以通过一系列具体的例子来说明。

例1：从A、B、C、D、E中取出3个字母，有多少种排列方式？解：根据排列的定义和计算公式，可以得到排列的计算方法为P(5,3) = 5! / (5-3)! = 5! / 2! = 60。

因此，从A、B、C、D、E中取出3个字母的排列方式有60种。

例2：从1、2、3、4、5中取出3个数字，有多少种组合方式？解：根据组合的定义和计算公式，可以得到组合的计算方法为C(5,3) = 5! / (3! * (5-3)!) = 5! / (3! * 2!) = 10。

因此，从1、2、3、4、5中取出3个数字的组合方式有10种。

通过以上两个例子，我们可以看到排列与组合的计算方法可以很方便地解决排列与组合问题。

在实际应用中，排列与组合常常用于解决概率、统计和组合优化等问题，具有广泛的应用领域。

三、排列与组合的应用1. 概率计算：排列与组合可以用于计算事件发生的概率。

例如，从1、2、3、4、5中取出3个数字，其中至少包含一个偶数的概率是多少？通过计算组合的方式，可以得到解答。

2. 组合优化：排列与组合可以用于解决组合优化问题，例如制定车辆调度、货物装箱等问题。

排列组合公式/排列组合计算公式2008-07-08 13:30公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。

公式C是指组合，从N个元素取R个，不进行排列。

N-元素的总个数R 参与选择的元素个数!-阶乘，如9!= 9*8*7*6*5*4*3*2*1从N 倒数r 个，表达式应该为n* ( n-1)*(n-2)..(n-r+1);因为从n到(n-叶1)个数为n—(n-叶1) = r举例：Q1: 有从1 到9 共计9个号码球，请问，可以组成多少个三位数？A1: 123 和213是两个不同的排列数。

即对排列顺序有要求的，既属于“排列P'计算范畴。

上问题中，任何一个号码只能用一次，显然不会出现988,997 之类的组合，我们可以这么看，百位数有9 种可能，十位数则应该有9-1 种可能，个位数则应该只有9-1-1种可能，最终共有9*8*7个三位数。

计算公式=P(3,9) = 9*8*7,(从9 倒数 3 个的乘积)Q2: 有从1 到9 共计9 个号码球，请问，如果三个一组，代表“三国联盟”，可以组合成多少个“三国联盟”？A2: 213 组合和312组合，代表同一个组合，只要有三个号码球在一起即可。

即不要求顺序的，属于“组合C”计算范畴。

上问题中，将所有的包括排列数的个数去除掉属于重复的个数即为最终组合数C(3,9)=9*8*7/3*2*1排列、组合的概念和公式典型例题分析例 1 设有3 名学生和4 个课外小组．( 1)每名学生都只参加一个课外小组；( 2 )每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加．各有多少种不同方法？解( 1)由于每名学生都可以参加 4 个课外小组中的任何一个，而不限制每个课外小组的人数，因此共有种不同方法．(2)由于每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加，因此共有种不同方法．点评由于要让 3 名学生逐个选择课外小组，故两问都用乘法原理进行计算．例 2 排成一行，其中不排第一，不排第二，不排第三，不排第四的不同排法共有多少种？解依题意，符合要求的排法可分为第一个排、、中的某一个，共 3 类，每一类中不同排法可采用画“树图”的方式逐一排出：•••符合题意的不同排法共有9种.点评按照分“类”的思路，本题应用了加法原理．为把握不同排法的规律，“树图”是一种具有直观形象的有效做法，也是解决计数问题的一种数学模型．例3 判断下列问题是排列问题还是组合问题？并计算岀结果.(1)高三年级学生会有11人：①每两人互通一封信，共通了多少封信？②每两人互握了一次手，共握了多少次手？(2)高二年级数学课外小组共10人：①从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法？②从中选2名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法？(3)有2，3，5，7，11，13，17，19八个质数：①从中任取两个数求它们的商可以有多少种不同的商？②从中任取两个求它的积，可以得到多少个不同的积？(4)有8盆花：①从中选岀2盆分别给甲乙两人每人一盆，有多少种不同的选法？②从中选岀2盆放在教室有多少种不同的选法？分析 (1)①由于每人互通一封信，甲给乙的信与乙给甲的信是不同的两封信，所以与顺序有关是排列；②由于每两人互握一次手，甲与乙握手，乙与甲握手是同一次握手，与顺序无关，所以是组合问题．其他类似分析．1) ①是排列问题，共用了封信；②是组合问题，共需握手(次)•2) ①是排列冋题，共有(种)不同的选法；②是组合问题，共有种不同的选法．3) ①是排列冋题，共有种不同的商；②是组合问题，共有种不同的积.4) ①是排列冋题，共有种不同的选法；②是组合问题，共有种不同的选法．证明．证明左式右式.等式成立．点评这是一个排列数等式的证明问题，选用阶乘之商的形式，并利用阶乘的性质，可使变形过程得以简化．例 5 化简．解法一原式解法二原式点评解法一选用了组合数公式的阶乘形式，并利用阶乘的性质；解法二选用了组合数的两个性质，都使变形过程得以简化．例 6 解方程：（1 ）；（2）．解（1）原方程解得．（ 2 ）原方程可变为* 5 5•••原方程可化为•即，解得第六章排列组合、二项式定理一、考纲要求1. 掌握加法原理及乘法原理，并能用这两个原理分析解决一些简单的问题.2. 理解排列、组合的意义，掌握排列数、组合数的计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的问题.3. 掌握二项式定理和二项式系数的性质，并能用它们计算和论证一些简单问题.二、知识结构三、知识点、能力点提示（一）加法原理乘法原理说明加法原理、乘法原理是学习排列组合的基础，掌握此两原理为处理排组合中列、有关问题提供了理论根据.例 1 5 位高中毕业生，准备报考 3 所高等院校，每人报且只报一所，不同的报名方法共有多少种?解： 5 个学生中每人都可以在3所高等院校中任选一所报名，因而每个学生都有3 种不同的报名方法，根据乘法原理，得到不同报名方法总共有3X 3X 3X 3X 3=35（种）（二）排列、排列数公式说明排列、排列数公式及解排列的应用题，在中学代数中较为独特，它研究的对象以及研究问题的方法都和前面掌握的知识不同，内容抽象，解题方法比较灵活，历届高考主要考查排列的应用题，都是选择题或填空题考查.例 2 由数字1、2、3、4、5 组成没有重复数字的五位数，其中小于50 000 的偶数共有（）A.60 个B.48 个C.36 个D.24 个解因为要求是偶数，个位数只能是2或4的排法有P12；小于50 000的五位数，万位只能是1、3或2、4中剩下的一个的排法有P13；在首末两位数排定后，中间3个位数的排法有6,得P13F33P12= 36（个）由此可知此题应选 C.例 3 将数字1、2、3、 4 填入标号为1、2、3、 4 的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不同的填法有多少种?解：将数字 1 填入第2方格，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有3种，即214 3，3142，4123；同样将数字1 填入第3方格，也对应着3种填法；将数字 1 填入第4方格，也对应3种填法，因此共有填法为3P；=9（种）.例四例五可能有问题，等思考三）组合、组合数公式、组合数的两个性质说明历届高考均有这方面的题目出现，主要考查排列组合的应用题，且基本上都是由选择题或填空题考查.例 4 从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任意取出 3 台，其中至少有甲型与乙型电视机各1 台，则不同的取法共有（）A.140 种B.84 种C.70 种D.35 种解：抽出的3台电视机中甲型1台乙型2台的取法有C4・C25种；甲型2台乙型1 台的取法有C •C15种根据加法原理可得总的取法有氏•C25+C24 ・「5=40+30=70(种)可知此题应选C.例5 甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3项，乙公司承包1项, 丙、丁公司各承包2项，问共有多少种承包方式？解：甲公司从8项工程中选出3项工程的方式C；种；乙公司从甲公司挑选后余下的5项工程中选出1项工程的方式有C5种；丙公司从甲乙两公司挑选后余下的4项工程中选出2项工程的方式有C4种；丁公司从甲、乙、丙三个公司挑选后余下的2项工程中选出2项工程的方式有C?2种.根据乘法原理可得承包方式的种数有C3 8XC15XC24XC22= X仁1680(种).(四)二项式定理、二项展开式的性质说明二项式定理揭示了二项式的正整数次幕的展开法则，在数学中它是常用的基础知识，从1985年至1998年历届高考均有这方面的题目出现，主要考查二项展开式中通项公式等，题型主要为选择题或填空题.例6 在(x- )10的展开式中，x6的系数是()A.-27C610B.27C410C.-9C610D.9C：。

阶乘和排列组合：阶乘和排列组合的计算阶乘和排列组合是数学中常见的概念，它们在各个领域的计算问题中起到了重要的作用。

本文将介绍阶乘和排列组合的定义以及它们的计算方法。

一、阶乘的定义及计算方法阶乘是指从1到某个正整数之间所有整数的乘积。

例如，5的阶乘表示为5!，计算方法如下：5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120可以看出，阶乘的计算是一个从给定正整数到1递减的过程。

二、排列组合的定义及计算方法排列是指从一组元素中选取若干个进行有序的排列。

组合是指从一组元素中选取若干个进行无序的组合。

计算排列和组合的方法如下：1. 排列的计算方法：对于n个元素中取r个进行排列，计算方法为：nPr = n! / (n-r)!例如，从5个元素中取3个进行排列，计算方法如下：5P3 = 5! / (5-3)! = 5! / 2! = (5 × 4 × 3 × 2 × 1) / (2 × 1) = 602. 组合的计算方法：对于n个元素中取r个进行组合，计算方法为：nCr = n! / (r! × (n-r)!)例如，从5个元素中取3个进行组合，计算方法如下：5C3 = 5! / (3! × (5-3)!) = 5! / (3! × 2!) = (5 × 4 × 3 × 2 × 1) / ((3 × 2 ×1) × (2 × 1)) = 10三、阶乘和排列组合的应用领域阶乘和排列组合在实际问题的计算中经常被使用，包括以下几个方面：1. 概率计算：排列组合可以用于计算概率，例如计算事件发生的可能性。

2. 统计学：排列组合可以用于计算不同排列和组合的情况，如样本的排列和组合。

3. 数据分析：排列组合可以用于计算数据集合的排列和组合的情况，如特征选择和组合。

排列组合公式/排列组合计算公式公式P就是指排列,从N个元素取R个进行排列。

公式C就是指组合,从N个元素取R个,不进行排列。

N-元素得总个数R参与选择得元素个数！-阶乘 ,如9！＝9*8*7*6*5*4*3*2*1从N倒数r个,表达式应该为n*(n-1)*(n-2)、、(n-r+1);因为从n到(n-r+1)个数为n－(n-r+1)＝r举例:Q1:有从1到9共计9个号码球,请问,可以组成多少个三位数？A1: 123与213就是两个不同得排列数。

即对排列顺序有要求得,既属于“排列P”计算范畴。

上问题中,任何一个号码只能用一次,显然不会出现988,997之类得组合, 我们可以这么瞧,百位数有9种可能,十位数则应该有9-1种可能,个位数则应该只有9-1-1种可能,最终共有9*8*7个三位数。

计算公式＝P(3,9)＝9*8*7,(从9倒数3个得乘积)Q2: 有从1到9共计9个号码球,请问,如果三个一组,代表“三国联盟”,可以组合成多少个“三国联盟”？A2: 213组合与312组合,代表同一个组合,只要有三个号码球在一起即可。

即不要求顺序得,属于“组合C”计算范畴。

上问题中,将所有得包括排列数得个数去除掉属于重复得个数即为最终组合数C(3,9)=9*8*7/3*2*1排列、组合得概念与公式典型例题分析例1设有3名学生与4个课外小组.(1)每名学生都只参加一个课外小组;(2)每名学生都只参加一个课外小组,而且每个小组至多有一名学生参加.各有多少种不同方法？解(1)由于每名学生都可以参加4个课外小组中得任何一个,而不限制每个课外小组得人数,因此共有种不同方法.(2)由于每名学生都只参加一个课外小组,而且每个小组至多有一名学生参加,因此共有种不同方法.点评由于要让3名学生逐个选择课外小组,故两问都用乘法原理进行计算.例2 排成一行,其中不排第一,不排第二,不排第三,不排第四得不同排法共有多少种？解依题意,符合要求得排法可分为第一个排、、中得某一个,共3类,每一类中不同排法可采用画“树图”得方式逐一排出:∴ 符合题意得不同排法共有9种.点评按照分“类”得思路,本题应用了加法原理.为把握不同排法得规律,“树图”就是一种具有直观形象得有效做法,也就是解决计数问题得一种数学模型.例３判断下列问题就是排列问题还就是组合问题？并计算出结果.(1)高三年级学生会有11人:①每两人互通一封信,共通了多少封信？②每两人互握了一次手,共握了多少次手？(2)高二年级数学课外小组共10人:①从中选一名正组长与一名副组长,共有多少种不同得选法？②从中选2名参加省数学竞赛,有多少种不同得选法？(3)有2,3,5,7,11,13,17,19八个质数:①从中任取两个数求它们得商可以有多少种不同得商？②从中任取两个求它得积,可以得到多少个不同得积？(4)有8盆花:①从中选出2盆分别给甲乙两人每人一盆,有多少种不同得选法？②从中选出2盆放在教室有多少种不同得选法？分析(1)①由于每人互通一封信,甲给乙得信与乙给甲得信就是不同得两封信,所以与顺序有关就是排列;②由于每两人互握一次手,甲与乙握手,乙与甲握手就是同一次握手,与顺序无关,所以就是组合问题.其她类似分析.(1)①就是排列问题,共用了封信;②就是组合问题,共需握手(次).(2)①就是排列问题,共有(种)不同得选法;②就是组合问题,共有种不同得选法.(3)①就是排列问题,共有种不同得商;②就是组合问题,共有种不同得积.(4)①就是排列问题,共有种不同得选法;②就是组合问题,共有种不同得选法.例４证明.证明左式右式.∴ 等式成立.点评这就是一个排列数等式得证明问题,选用阶乘之商得形式,并利用阶乘得性质,可使变形过程得以简化.例5 化简.解法一原式解法二原式点评解法一选用了组合数公式得阶乘形式,并利用阶乘得性质;解法二选用了组合数得两个性质,都使变形过程得以简化.例6 解方程:(1);(2).解 (1)原方程解得.(2)原方程可变为∵ ,,∴ 原方程可化为.即 ,解得第六章排列组合、二项式定理一、考纲要求1、掌握加法原理及乘法原理,并能用这两个原理分析解决一些简单得问题、2、理解排列、组合得意义,掌握排列数、组合数得计算公式与组合数得性质,并能用它们解决一些简单得问题、3、掌握二项式定理与二项式系数得性质,并能用它们计算与论证一些简单问题、二、知识结构三、知识点、能力点提示(一)加法原理乘法原理说明加法原理、乘法原理就是学习排列组合得基础,掌握此两原理为处理排列、组合中有关问题提供了理论根据、例15位高中毕业生,准备报考3所高等院校,每人报且只报一所,不同得报名方法共有多少种?解: 5个学生中每人都可以在3所高等院校中任选一所报名,因而每个学生都有3种不同得报名方法,根据乘法原理,得到不同报名方法总共有3×3×3×3×3=35(种)(二)排列、排列数公式说明排列、排列数公式及解排列得应用题,在中学代数中较为独特,它研究得对象以及研究问题得方法都与前面掌握得知识不同,内容抽象,解题方法比较灵活,历届高考主要考查排列得应用题,都就是选择题或填空题考查、例2由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字得五位数,其中小于50 000得偶数共有( )A、60个B、48个C、36个D、24个解因为要求就是偶数,个位数只能就是2或4得排法有P12;小于50 000得五位数,万位只能就是1、3或2、4中剩下得一个得排法有P13;在首末两位数排定后,中间3个位数得排法有P33,得P13P33P12＝36(个)由此可知此题应选C、例3将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4得四个方格里,每格填一个数字,则每个方格得标号与所填得数字均不同得填法有多少种?解: 将数字1填入第2方格,则每个方格得标号与所填得数字均不相同得填法有3种,即214 3,3142,4123;同样将数字1填入第3方格,也对应着3种填法;将数字1填入第4方格,也对应3种填法,因此共有填法为3P13=9(种)、例四例五可能有问题,等思考三)组合、组合数公式、组合数得两个性质说明历届高考均有这方面得题目出现,主要考查排列组合得应用题,且基本上都就是由选择题或填空题考查。

排列组合公式/排列组合计算公式2008-07-08 13:30公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。

公式C是指组合，从N个元素取R个，不进行排列。

N-元素的总个数R参与选择的元素个数！-阶乘，如 9！＝9*8*7*6*5*4*3*2*1从N倒数r个，表达式应该为n*（n-1)*(n-2)..(n-r+1);因为从n到（n-r+1)个数为n－（n-r+1)＝r举例：Q1:有从1到9共计9个号码球，请问，可以组成多少个三位数？A1: 123和213是两个不同的排列数。

即对排列顺序有要求的，既属于“排列P”计算范畴。

上问题中，任何一个号码只能用一次，显然不会出现988,997之类的组合，我们可以这么看，百位数有9种可能，十位数则应该有9-1种可能，个位数则应该只有9-1-1种可能，最终共有9*8*7个三位数。

计算公式＝P（3，9)＝9*8*7,(从9倒数3个的乘积）Q2: 有从1到9共计9个号码球，请问，如果三个一组，代表“三国联盟”，可以组合成多少个“三国联盟”？A2: 213组合和312组合，代表同一个组合，只要有三个号码球在一起即可。

即不要求顺序的，属于“组合C”计算范畴。

上问题中，将所有的包括排列数的个数去除掉属于重复的个数即为最终组合数C(3,9)=9*8*7/3*2*1排列、组合的概念和公式典型例题分析 例1　设有3名学生和4个课外小组．（1）每名学生都只参加一个课外小组；（2）每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加．各有多少种不同方法？解（1）由于每名学生都可以参加4个课外小组中的任何一个，而不限制每个课外小组的人数，因此共有种不同方法．　（2）由于每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加，因此共有种不同方法． 点评由于要让3名学生逐个选择课外小组，故两问都用乘法原理进行计算．例2 排成一行，其中不排第一，不排第二，不排第三，不排第四的不同排法共有多少种？ 解依题意，符合要求的排法可分为第一个排、、中的某一个，共3类，每一类中不同排法可采用画“树图”的方式逐一排出： ∴符合题意的不同排法共有9种． 点评按照分“类”的思路，本题应用了加法原理．为把握不同排法的规律，“树图”是一种具有直观形象的有效做法，也是解决计数问题的一种数学模型． 例３　判断下列问题是排列问题还是组合问题？并计算出结果． （1）高三年级学生会有11人：①每两人互通一封信，共通了多少封信？②每两人互握了一次手，共握了多少次手？ （2）高二年级数学课外小组共10人：①从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法？②从中选2名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法？ （3）有2，3，5，7，11，13，17，19八个质数：①从中任取两个数求它们的商可以有多少种不同的商？②从中任取两个求它的积，可以得到多少个不同的积？ （4）有8盆花：①从中选出2盆分别给甲乙两人每人一盆，有多少种不同的选法？②从中选出2盆放在教室有多少种不同的选法？ 分析　（1）①由于每人互通一封信，甲给乙的信与乙给甲的信是不同的两封信，所以与顺序有关是排列；②由于每两人互握一次手，甲与乙握手，乙与甲握手是同一次握手，与顺序无关，所以是组合问题．其他类似分析． （1）①是排列问题，共用了封信；②是组合问题，共需握手（次）． （2）①是排列问题，共有（种）不同的选法；②是组合问题，共有种不同的选法． （3）①是排列问题，共有种不同的商；②是组合问题，共有种不同的积． （4）①是排列问题，共有种不同的选法；②是组合问题，共有种不同的选法． 例４　证明． 证明　左式右式． ∴等式成立． 点评　这是一个排列数等式的证明问题，选用阶乘之商的形式，并利用阶乘的性质，可使变形过程得以简化． 例5　化简． 解法一　原式 解法二　原式 点评解法一选用了组合数公式的阶乘形式，并利用阶乘的性质；解法二选用了组合数的两个性质，都使变形过程得以简化． 例6　解方程：（1）；（2）． 解（1）原方程解得． （2）原方程可变为 ∵，， ∴原方程可化为． 即，解得第六章排列组合、二项式定理一、考纲要求1.掌握加法原理及乘法原理，并能用这两个原理分析解决一些简单的问题.2.理解排列、组合的意义，掌握排列数、组合数的计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的问题.3.掌握二项式定理和二项式系数的性质，并能用它们计算和论证一些简单问题.二、知识结构三、知识点、能力点提示(一)加法原理乘法原理说明加法原理、乘法原理是学习排列组合的基础，掌握此两原理为处理排列、组合中有关问题提供了理论根据.例1 5位高中毕业生，准备报考3所高等院校，每人报且只报一所，不同的报名方法共有多少种?解： 5个学生中每人都可以在3所高等院校中任选一所报名，因而每个学生都有3种不同的报名方法，根据乘法原理，得到不同报名方法总共有3×3×3×3×3=35(种)(二)排列、排列数公式说明排列、排列数公式及解排列的应用题，在中学代数中较为独特，它研究的对象以及研究问题的方法都和前面掌握的知识不同，内容抽象，解题方法比较灵活，历届高考主要考查排列的应用题，都是选择题或填空题考查.例2由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50 000的偶数共有( )A.60个B.48个C.36个D.24个解因为要求是偶数，个位数只能是2或4的排法有P12；小于50 000的五位数，万位只能是1、3或2、4中剩下的一个的排法有P13;在首末两位数排定后，中间3个位数的排法有P33，得P13P33P12＝36(个)由此可知此题应选C.例3将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不同的填法有多少种?解：将数字1填入第2方格，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有3种，即214 3，3142，4123；同样将数字1填入第3方格，也对应着3种填法；将数字1填入第4方格，也对应3种填法，因此共有填法为3P13=9(种).例四　例五可能有问题，等思考三)组合、组合数公式、组合数的两个性质说明历届高考均有这方面的题目出现，主要考查排列组合的应用题，且基本上都是由选择题或填空题考查.例4从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有( )A.140种B.84种C.70种D.35种解：抽出的3台电视机中甲型1台乙型2台的取法有C14·C25种；甲型2台乙型1台的取法有C24·C15种根据加法原理可得总的取法有C24·C25+C24·C15=40+30=70(种 )可知此题应选C.例5甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3项，乙公司承包1 项，丙、丁公司各承包2项，问共有多少种承包方式?解：甲公司从8项工程中选出3项工程的方式 C38种；乙公司从甲公司挑选后余下的5项工程中选出1项工程的方式有C15种；丙公司从甲乙两公司挑选后余下的4项工程中选出2项工程的方式有C24种；丁公司从甲、乙、丙三个公司挑选后余下的2项工程中选出2项工程的方式有C22种.根据乘法原理可得承包方式的种数有C3 8×C15×C24×C22=×1=1680(种).(四)二项式定理、二项展开式的性质说明二项式定理揭示了二项式的正整数次幂的展开法则，在数学中它是常用的基础知识，从1985年至1998年历届高考均有这方面的题目出现，主要考查二项展开式中通项公式等，题型主要为选择题或填空题.例6在(x-)10的展开式中，x6的系数是( )A.-27C610B.27C410C.-9C610D.9C410解设(x-)10的展开式中第γ+1项含x6，因Tγ+1=Cγ10x10-γ(-)γ，10-γ=6,γ=4于是展开式中第5项含x 6，第5项系数是C410(-)4=9C410故此题应选D.例7 (x-1)-(x-1)2＋(x-1)3-(x-1)+(x-1)５的展开式中的x２的系数等于解：此题可视为首项为x-1，公比为-(x-1)的等比数列的前5项的和，则其和为在(x-1)6中含x3的项是C36x3(-1)3=-20x3，因此展开式中x2的系数是-2 0.(五)综合例题赏析例8若(2x+)4=a0+a1x+a2x 2+a3x3+a4x4，则(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2的值为( ) A.1 B.-1 C.0 D.2解：A.例9 2名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检，每校分配1名医生和2 名护士，不同的分配方法共有( )A.6种B.12种C.18种D.24种解分医生的方法有P22＝2种，分护士方法有C24=6种，所以共有6×2＝12种不同的分配方法。