含参数的一元二次不等式

含参数的一元二次不等式例题

例题 1

解不等式：x^2 2x + a > 0，其中a为参数。

解析：

对于一元二次方程x^2 2x + a = 0，其判别式\Delta = 4 4a。

当\Delta 0，即4 4a 0，a > 1时，不等式的解集为R。

当\Delta = 0，即4 4a = 0，a = 1时，不等式化为(x 1)^2 >

0，解集为x ≠ 1。

当\Delta > 0，即4 4a > 0，a 1时，方程x^2 2x + a = 0的两根为x_1 = 1 \sqrt{1 a}，x_2 = 1 + \sqrt{1 a}，不等式的解集为x 1 \sqrt{1 a}或x > 1 + \sqrt{1 a}。

例题 2

解不等式：ax^2 + 2x + 1 > 0，其中a为参数。

解析：

当a = 0时，不等式化为2x + 1 > 0，解得x > \frac{1}{2}。

当a ≠ 0时，对于一元二次方程ax^2 + 2x + 1 = 0，其判别式\Delta = 4 4a。

若\Delta 0，即4 4a 0，a > 1，不等式的解集为R。

若\Delta = 0，即4 4a = 0，a = 1，不等式化为(x + 1)^2 >

0，解集为x ≠ 1。

若\Delta > 0，即4 4a > 0，a 1且a ≠ 0，方程ax^2 + 2x

+ 1 = 0的两根为x_1 = \frac{1 + \sqrt{1 a}}{a}，x_2 =

\frac{1 \sqrt{1 a}}{a}。 当0 a 1时，不等式的解集为x \frac{1 \sqrt{1 a}}{a}或x > \frac{1 + \sqrt{1 a}}{a}。

当a 0时，不等式的解集为\frac{1 + \sqrt{1 a}}{a} x

\frac{1 \sqrt{1 a}}{a}。

二次函数与一元二次方程和一元二次不等式

二次函数2 (0)yaxbxca是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础．在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量x取任意实数时的最值情况(当0a时，函数在2bxa处取得最小值244acba，无最大值；当0a时，函数在2bxa处取得最大值244acba，无最小值．

方程与函数不仅是初中数学中的重要内容，也是高中数学学习的重要内容，方程与函数之间存在着密切的联系，二次函数的图象与x轴交点的横坐标即为相应的二次方程的解，课程标准要求我们能利用二次函数的图象求二次方程的近似解。

本节我们将进一步研究一元二次方程与函数问题，研究当自变量x在某个范围内取值时，函数的最值问题．同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用．

【例1】已知二次函数22yxxm的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程220xxm的解为 ．

分析：因为二次方程220xxm的根为二次函数22yxxm的图象与x轴交点横坐标。根据已知条件22yxxm ，可知抛物线的对称轴为直线1x；根据图象可知抛物线与x轴的一个交点的横坐标为3x，所以利用抛物线的对称性知抛物线与x轴的另一个交点横坐标为―1，因此，方程220xxm的解为3和－1。本题利用抛物线的轴对称性求抛物线与轴的交点坐标，从而求出相应的一元二次方程的根。

【例2】 二次函数2(0yaxbxcaabc，，，是常数)中，自变量x与函数y的对应值如下表：

x 1 12 0 12 1 32 2 52 3 y

2

14

1

74 2 74 1 14 2

（1）判断二次函数图象的开口方向，并写出它的顶点坐标．

（2）一元二次方程20(0axbxcaabc，，，是常数)的两个根12xx，的取值范围是下列选项中的哪一个 ．

含参数的一元二次不等式的解法

含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：

一、按$x$项的系数$a$的符号分类，即$a>0$，$a=0$，$a<0$。

例1：解不等式$ax+(a+2)x+1>2$

分析：本题二次项系数含有参数，$\Delta=(a+2)^2-4a=a+4>0$，故只需对二次项系数进行分类讨论。

解：

当$a>0$时，解得方程$ax+(a+2)x+1=0$的两根$x_1=-\frac{a+2+\sqrt{a+4}}{2a}$，$x_2=-\frac{a+2-\sqrt{a+4}}{2a}$，因为$a>0$，所以$x_1x_2$或$x

当$a=0$时，不等式为$2x+1>2$，解得$x>\frac{1}{2}$，即解集为$x>\frac{1}{2}$。

当$a<0$时，解得方程$ax+(a+2)x+1=0$的两根$x_1=-\frac{a+2-\sqrt{a+4}}{2a}$，$x_2=-\frac{a+2+\sqrt{a+4}}{2a}$，因为$a<0$，所以$x_1

例2：解不等式$ax-5ax+6a>(a\neq0)^2$

分析：因为$a\neq0$，$\Delta>0$，所以我们只需讨论二次项系数的正负。

解：

当$a>0$时，解得方程$ax-5ax+6a=0$的两根$x_1=2$，$x_2=3$，因为$a>0$，所以$x_13$，即$x\in\left(-\infty,2\right)\cup\left(3,+\infty\right)$。

当$a<0$时，解得方程$ax-5ax+6a=0$的两根$x_1=2$，$x_2=3$，因为$a<0$，所以$x_1

二、按判别式$\Delta$的符号分类，即$\Delta>0$，$\Delta=0$，$\Delta<0$。

例3：解不等式$x+ax+4>\sqrt{a}$

分析：本题中由于$x$的系数大于0，故只需考虑$\Delta$与根的情况。

1．若16－x2≥0，则( )

A．0≤x≤4 B．－4≤x≤0

C．－4≤x≤4 D．x≤－4或x≥4

2．不等式(x－2)(2x＋1)＞0的解集是( )

A．(－12，2) B．(－2，12)

C．(－∞，－2)∪(12，＋∞) D．(－∞，－12)∪(2，＋∞)

3．二次函数y＝x2－4x＋3在y＜0时x的取值范围是__________．

4．解不等式0≤x2－x－2≤4.

．

一、选择题

1．下面所给关于x的几个不等式：①3x＋4＜0；②x2＋mx－1＞0；③ax2＋4x－7＞0；④x2＜0.其中一定为一元二次不等式的有( )

A．1个 B．2个

C．3个 D．4个

2．不等式x(2－x)＞3的解集是( )

A．{x|－1＜x＜3} B．{x|－3＜x＜1}

C．{x|x＜－3或x＞1} D．∅

3．若集合A＝{x|(2x＋1)(x－3)＜0}，B＝{x|x∈N*，x≤5}，则A∩B是( )

A．{1,2,3} B．{1,2}

C．{4,5} D．{1,2,3,4,5}

4．不等式组 x2－1<0x2－3x<0的解集是( )

A．{x|－1

C．{x|0

5．二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为－2,3，a＜0，那么ax2＋bx＋c＞0的解集为( )

A．{x|x＞3或x＜－2} B．{x|x＞2或x＜－3}

C．{x|－2＜x＜3} D．{x|－3＜ x＜2}

6．若0＜t＜1，则不等式(x－t)(x－1t)＜0的解集为( )

A．{x|1t＜x＜t} B．{x|x＞1t或x＜t}

C．{x|x＜1t或x＞t} D．{x|t＜x＜1t}

二、填空题

7．函数y＝x2－2x－8的定义域为__________．

8．当a＜0时，关于x的不等式(x－5a)(x＋a)＞0的解集是________．