含参数的一元二次不等式的解法

含参数的一元二次不等式的解法

解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？对含参一元

二次不等式常用的分类方法有三种：

一、按2x项的系数a的符号分类，即0,0,0aaa;

例1 解不等式：0122xaax

分析：本题二次项系数含有参数，044222aaa，故只需对二次项

系数进行分类讨论。

解：∵044222aaa

解得方程 0122xaax两根,24221aaaxaaax24222

∴当0a时,解集为aaaxaaaxx242242|22或

当0a时，不等式为012x,解集为21|xx

当0a时, 解集为aaaxaaax242242|22

例2 解不等式00652aaaxax

分析 因为0a，0，所以我们只要讨论二次项系数的正负。

解 032)65(2xxaxxa

当0a时，解集为32|xxx或；当0a时，解集为32|xx

二、按判别式的符号分类，即0,0,0；

例3 解不等式042axx

分析 本题中由于2x的系数大于0,故只需考虑与根的情况。 解：∵162a

∴当4,4a即0时，解集为R；

当4a即Δ＝0时，解集为2axRxx且；

当4a或4a即0,此时两根分别为21621aax，21622aax，显然21xx,

∴不等式的解集为21621622aaxaaxx〈或

例4 解不等式Rmxxm014122

解 因,012m2223414)4(mm

1 一元二次不等式及其解法⑴

【考点及要求】

会从实际情境中抽象出一元二次不等式的模型，通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数，一元二次方程的联系；会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．

【基础知识】

一元二次不等式的解集情况如下表：

判别式acb42 0 0 0

二次函数

)0(2acbxaxy

的图象

一元二次方程)0(02acbxax的根

)0(02acbxax的解集

)0(02acbxax的解集

【基本训练】

1．不等式(x+2)(1-x)>0的解集是 ．

2．若关于x的不等式01xax的解集为),4()1,(，则实数a= ．

3．已知不等式022cxax的解集为2131x，则ca ．

4．若关于x的方程09222kxkx两实根有一个大于2，而另一个根小于2，则实数k的取值范围是 ．

【典型例题讲练】

例1 ． 解下列不等式：

⑴ 01832xx (2) 18342xx

(3) 1212xx (4) 0)4()1)(2)(3(2xxxx

2 例2．已知不等式02cbxax的解集为,，且0，求不等式02abxcx的解集．

练习：已知不等式02qpxx的解集为2131|xx，求不等式012pxqx的解集．

【课堂小结】

1．解一元二次不等式的一般步骤 ；

1 3.2 一元二次不等式及其解法练习

（一）、一元二次不等式的解法

1、求解下列不等式

（1）、23710xx （2）、2250xx （3）、2440xx （4）205xx

2、求下列函数的定义域

（1）、249yxx （2）221218yxx

3、已知集合22|160,|430AxxBxxx，求AB

（二）、检测题

一、选择题

1、不等式11023xx的解集为 （ ）

A、11|32xx B、1|2xx C、1|3xx D、11|32xxx或

2、在下列不等式中，解集为的是 （ ）

A、22320xx B、2440xx C、2440xx D、22320xx

3、函数2223log3yxxx的定义域为 （ ）

A、,13, B、3,1 C、,13, D、3,13,

4、若2230xx，则函数21fxxx （ ）

A、有最小值34，无最大值 B、有最小值34，最大值1

C、有最小值1，最大值194 D、无最小值，也无最大值 2 5、若不等式210xmx的解集为R，则m的取值范围是（ ）

A．R B．2,2 C．,22, D．2,2

6、不等式221200xaxaa的解集是（ ）

A．3,4aa B．4,3aa C．3,4 D．2,6aa

解含参数的一元二次不等式的路线图

解含参数一元二次不等式是解一元二次不等式问题中的难点.而要想解好含参数一元二次不等式首先要对解一元二次不等式有个清晰的思路.下面我们就从解一元二次不等式的思路谈起,最后落实如何解好含参数一元二次不等式.

一、一元二次不等式的解题思路：

⑴任何一个一元二次不等式都可同解变形为02cbxax或)a(cbxax002的形式.

⑵若相应一元二次方程的判别式0，则求两根或分解因式，使用“大于在两边，小于夹中间”写出解；若0或0，这是特殊情形，利用相应一元二次函数的图象写出不等式的解.

⑶一元二次不等式02cbxax恒成立的充要条件是：0a且0；02cbxax恒成立的充要条件是：0a且0.

⑷一元二次不等式02cbxax恒无解的充要条件是：0a且0；02cbxax恒无解的充要条件是：0a且0.

⑸当含有参数时，分类讨论是必需的. 分类是由不确定和不统一而引起的；分类标准是根据需要而设定的，这种“需要”可能是：是什么不等式(一次？二次？)；开口方向如何；根的判别式的正负；根的大小.

二、解含参数一元二次不等式典型例题分析

例1：解关于x的不等式：0322mx)mm(x.

解：原不等式化为：02)mx)(mx(.

①当mm2，即0m或1m时，原不等式解为2mx或mx；

②当mm2，即0m或1m时，原不等式的解为0x或1x；

③当mm2，即01m时，原不等式解为mx或2mx.

综上(略).

例2：解关于x的不等式：022kxkx.

解：⑴若0k，则不等式为02x，解为0x.

⑵若0k：

①当0，即10k时，解为kkxkk221111；

②当0，即1k时，无解； ③当0，即1k时，无解.

⑶若0k，此时不等式变为022kxkx：