因式分解讲解因式分解

格式：docx
大小：37.24 KB
文档页数：3

一、因式分解的概念

因式分解是将一个多项式表示为几个多项式的乘积的过程。具体来说，如果有一个多项式P(x)，它可以表示为两个或多个多项式的乘积，即P(x) = A(x) B(x)，其中A(x)和B(x)是P(x)的因式。

二、因式分解的方法

1. 提公因式法

提公因式法是最基本的因式分解方法，适用于所有多项式。其基本思路是找出所有项的公因式，然后提取出来。例如，对多项式6x^2 - 9x + 3进行因式分解：

（1）观察各项系数，发现6、9和3都能被3整除，因此3是公因式。

（2）将3提取出来，得到3(2x^2 - 3x + 1)。

（3）观察括号内的多项式，发现2x^2 - 3x + 1不能再分解，因此分解完成。

2. 公式法

公式法是利用一些常见的代数公式进行因式分解，适用于一些特定形式的多项式。常见的公式有：

（1）差平方公式：a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)。

（2）完全平方公式：a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2，a^2 - 2ab + b^2 = (a -

b)^2。

（3）立方差公式：a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)。

（4）立方和公式：a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)。

例如，对多项式x^2 - 4进行因式分解：

（1）观察多项式，发现它是差平方形式。

（2）根据差平方公式，得到x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)。

3. 分组分解法

分组分解法是将多项式按照一定规律进行分组，然后分别对每组进行因式分解。适用于多项式中的项数较多，且存在相同因式的情况。例如，对多项式x^3 - x^2 - 4x + 4进行因式分解：

（1）将多项式分组：(x^3 - x^2) - (4x - 4)。

（2）分别对每组进行因式分解：x^2(x - 1) - 4(x - 1)。

（3）观察两组的括号，发现它们相同，因此可以提取公因式(x - 1)。

（4）得到最终结果：(x - 1)(x^2 - 4)。

4. 完全平方公式法

完全平方公式法是利用完全平方公式进行因式分解，适用于多项式为完全平方形式的情况。

例如，对多项式x^2 + 6x + 9进行因式分解：

（1）观察多项式，发现它是完全平方形式。

（2）根据完全平方公式，得到x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2。

三、因式分解的应用

1. 解决代数方程

因式分解可以帮助我们解决一些代数方程。例如，解方程x^2 - 4x + 3 = 0：

（1）对多项式x^2 - 4x + 3进行因式分解，得到(x - 1)(x - 3) = 0。

（2）根据零因子定理，得到x - 1 = 0 或 x - 3 = 0。

（3）解得x = 1 或 x = 3。

2. 简化表达式

因式分解可以简化一些复杂的表达式。例如，将表达式4x^2 - 12x + 9进行因式分解，得到4(x - 1)^2。这样，我们可以将表达式简化为4(x - 1)^2，方便后续计算。

3. 求解不等式

因式分解可以求解一些不等式。例如，解不等式x^2 - 4x + 3 > 0：

（1）对多项式x^2 - 4x + 3进行因式分解，得到(x - 1)(x - 3) > 0。（2）根据不等式的性质，得到x < 1 或 x > 3。

四、总结

因式分解是代数中的一项基本技能，它可以帮助我们解决代数方程、简化表达式、求解不等式等问题。掌握因式分解的方法和技巧，对于提高代数水平具有重要意义。在实际应用中，我们需要根据具体问题选择合适的方法进行因式分解。

因式分解讲义

办学理念:把您的孩子当成我们的孩子！龙文教育－中小学生个性化教育集团

龙文教育学科教师辅导讲义

学生: 教师: 日期:

课题

因式分解

教学目标 1、了解因式分解的意义。

2、熟练运用适当的方法进行因式分解。

重点、难点重点：因式分解的概念以及运用提取公因式法和公式法分解因式。

难点：运用因式分解进行多项式的除法以及解简单的一元二次方程。

教学内容

一、概述

定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。

意义：它是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具。因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。学习它，既可以复习的整式四则运算，又为学习分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、注意、运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力。

分解因式与整式乘法互为逆变形。

二、因式分解的方法

因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。而在竞赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式轮换对称多项式法，余数定理法，求根公式法，换元法，长除法，除法等。

注意三原则

1 分解要彻底

2 最后结果只有小括号

3 最后结果中多项式首项系数为正（例如：-32x +x=-x(3x-1)）

基本方法

1】提取公因式

这种方法比较常规、简单，必须掌握。有时提公因式后再用公式法。常用的公式有：完全平方公式、平方差公式等

完整word版,初二数学因式分解超级经典专题讲解

因式分解专题 1

因式分解的方法

因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。而在竞赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，余数定理法，求根公式法，换元法等。

注意三原则

1 分解要彻底

2 最后结果只有小括号

3 最后结果中多项式首项系数为正（例如：-3x2+x=-x(3x-1)）

1 基本方法

1.1提公因式法☆☆☆

各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。

如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。

如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时，多项式的各项都要变号。

口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶。

例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)；

a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。

注意：把2a2+1/2变成2(a2+1/4)不叫提公因式

1.2 公式法☆☆☆

如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。

平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)；

完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b) 2；因式分解专题 2

注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。

补充公式:

立方和公式：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；

立方差公式：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)；

因式分解的常用方法(目前最牛最全的教案)[1] 2

1 因式分解的常用方法

第一部分：方法介绍

多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．

一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)

二、运用公式法.

在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：

（1）(a+b)(a-b) = a2-b2 ---------a2-b2=(a+b)(a-b)；

(2) (a±b)2 = a2±2ab+b2 ——— a2±2ab+b2=(a±b)2；

(3) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3------ a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；

(4) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 ------a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．

下面再补充两个常用的公式：

(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；

(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；

例.已知abc，，是ABC的三边，且222abcabbcca，

则ABC的形状是（）

A.直角三角形 B等腰三角形 C 等边三角形 D等腰直角三角形

解：222222222222abcabbccaabcabbcca

222()()()0abbccaabc

三、分组分解法.

（一）分组后能直接提公因式

例1、分解因式：bnbmanam

因式分解(超全方法)