因式分解讲解

1 因式分解讲解

一、辅导内容

提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法四种基本方法的掌握。

二、学习指导

因式分解是代数的重要内容，它是整式乘法的逆变形，在通分、约分、解方程以及三角函数式恒等变形中有直接应用。重点是掌握提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法四种基本方法。难点是根据题目的形式和特征恰当选择方法进行分解，以提高综合解题能力。

三、考点阐述

考点1 提公因式法和公式法

常用公式：

（1）))((22bababa

（2）222)(2bababa

（3）))((2233babababa

（4）))((2233babababa

补充公式：

（1）2222)(222cbacabcabcba

（2）))((3222333cabcabcbacbaabccba

例1 （1）33xyyx； （2）xxx2718323

（3）112xx （4）3224xyyx

分析：①因式分解时，无论有几项，首先考虑提取公因式。提公因式时，不仅注意数，也要注意字母，字母可能是单项式也可能是多项式，一次提尽。

②当某项完全提出后，该项应为“1”

③注意nnabba22，1212nnabba

④分解结果（1）不带中括号；（2）数字因数在前，字母因数在后；单项式在前，多项式在后；（3）相同因式写成幂的形式；（4）分解结果应在指定范围内不能再分解为止；若无指定范围，一般在有理数范围内分解。

答案：（1）yxyxxy； （2）233xx；

（3）21xx； （4）yxyx222

考点2 十字相乘法

例2 （1） 893xx （2）32231222xyyxyx；

（3）222164xx （4）22103yxyx

2 分析：对于二次三项齐次式，将其中一个字母看作“末知数”，另一个字母视为“常数”。首先考虑提公因式后，由余下因式的项数为3项，可考虑完全平方式或十字相乘法继续分解；如果项数为2，可考虑平方差、立方差、立方和公式。（3）题无公因式，项数为2项，可考虑平方差公式先分解开，再由项数考虑选择方法继续分解。

答案：（1）yxyx52；（2）yxyxxy232；（3）2222xx

考点3 四项和四项以上多项式分解

例3 （1）22244zyxyx； （2）babaa2322

（3）322222yxyxyx

分析：对于四项或四项以上的多项式的因式分解，一般采用分组分解法，。四项式一般采用“二、二”或“三、一”分组，五项式一般采用“三、二”分组，分组后再试用提公因式法、公式法或十字相乘法继续分解。

答案：（1）zyxzyx22（三、一分组后再用平方差）

（2）112aaba（三、二分组后再提取公因式）

（3）13yxyx（三、二、一分组后再用十字相乘法）

例4 已知a、b、c是△ABC的三边，且满足acbcabcba222，求证：△ABC为等边三角形。

分析：此题给出的是三边之间的关系，而要证等边三角形，则须考虑证cba，从已知给出的等式结构看出，应构造出三个完全平方式0222accbba，即可得证，将原式两边同乘以2即可。

略证：0222acbcabcba

0222222222acbcabcba

0222accbba

∴cba

即△ABC为等边三角形。

考点4 拆项、添项

例6 893xx

解法一：将常数项8拆成-1+9．

原式9193xx

3

)8)(1()1(9)1)(1(99)1(223xxxxxxxxx

解法二：将一次项-9x拆成-x-8x．

原式883xxx

)8)(1()1(8)1)(1()88()(23xxxxxxxxxx

解法三：将三次项x3拆成3389xx

原式898933xxx

)8)(1()1)(1(8)1)(1(9)88()99(2233xxxxxxxxxxxx

解法四：添加两项22xx

原式89223xxxx

)8)(1()1)(8()1(22xxxxxxx

考点5 换元法

例7 12)2)(1(22xxxx

设yxx2

原式12)2)(1(yy

)5)(2)(1()5)(2()5)(2(1032222xxxxxxxxyyyy

四、典型例题分析

例1 在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形()ab，再沿虚线剪开，如图（1），然后拼成一个梯形，如图（2）.根据这两个图形的面积关系，表明下列式子成立的是（ ）

4

Ａ．22()()ababab

Ｂ．222()2abaabb

Ｃ．222()2abaabb

Ｄ．222()abab

答案：A

例2 如图，有三种卡片，其中边长为a的正方形卡片1张，边长分别为a，b的矩形卡片6张，边长为b的正方形卡片9张．用这16张卡片拼成一个正方形，则这个正方形的边长为__________．

答案：3ab

例3 20062005(8)(8)能被下列数整除的是（ ）

A．3 B．5 C．7 D．9

答案：C

例4 从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙）．那么通过计算阴影部分的面积可以验证公式______________．

例5 因式分解abcbccbaccaabba2222222

解析：这是一个轮换对称多项式，不妨以a为主元进行整理

abcbccbaccaabba2222222

=)()2()(222cbbccbcbacba

=)()()(22cbbccbacba

=))((])()[(22bcacabacbbccbaacb a b

a b

甲 乙

5 =))()(()]()()[(cbcababacbaacb

例6 已知a=x201+20，b=x201+19，c=x201+21，那么代数式acbcabcba222的值是

（ ）

A.4 B.3 C.2 D.1

【分析】因本题所求代数式中含有a、b、c的平方项与二次乘积项与完全平方展开式所含的项基本相同，所以应想办法，如何造型利用公式法分解因式进行化简.

解：原式=22221cacbba

当a=x201+20，b=x201+19，c=x201+21时，有：a－b=1，b－c=－2，a－c=－1，

∴原式=31412112121222.故应选B.

例7 设cba、、是三角形的三边长,求证:02222bccba.

【分析】本题是证明一个不等问题,想办法利用三角形三边的关系以及因式分解来证明.

证明:∵22222)(2cbabccba=))((cbacba,

又∵cba、、是三角形的三边长,

∴0cba,cba，

即0))((cbacba，

∴02222bccba.

【方法指导】本题借助因式分解，将左边的多项式分解成一次因式的积，再根据三角形的三边的关系进行判断因式的符号.

例8 已知32,01232xxxx求的值.

【研析】本题要充分利用“012xx”这个条件,经过变式来求值.这里可将22x拆成两项,变为)(22xx,再添加()xx.

解:∵012xx，

∴)3()(3222323xxxxxxx)41()1(22xxxxx=4.

【品思感悟】将多项式变形或拆项，整体运用已知条件，体现“整体”与“分解”思想的有机统一.

例9 已知1248可以被在60到70之间的两个数整除,则它们是 （ ）

A．61、63 B．61、65 C．63、65 D．63、67

【分析】由1248联想到运用平方差公式进行因式分解，从而做出判断.

6 因为1248=)12)(12)(12()12)(12(1212242424=)12)(12)(12)(12(661224

=)12)(12)(12)(12)(12(3361224, 而 65)12(6,)12)(12(33=9×7=63,所以选择C.

【品思感悟】利用因式分解判断数的整除性，大大的简化运算量.从而体现公式方便快捷.

例10 如图所示,把321,,RRR三个电阻串联起来,线路AB上的电流为I,电压为V,则,321IRIRIRV当1R=34.9,2R=20.8,3R=32.3,I=2.5时,求V的值.

【分析】将因式分解的知识运用到物理学的运算当中,可减少运算量,使运算简化.

解：当1R=34.9,2R=20.8,3R=32.3,I=2.5时,

321IRIRIRV=)(321RRRI=2.5(34.9+20.8+32.3)=220.

【梳理总结】根据物理学的知识，串联线路电压等于各部分电压之和，构造数学模型，

运用因式分解中的提取公因式，使运算得以简化.

例11 （第十届希望杯全国数学邀请赛）计算.

【分析】仔细观察算式发现：最后两项10922可分解因式，提公因式2后得92，再依次和前一项进行类似计算.

解：

=)22(222222229108765432

=)12(22222222298765432

=98765432222222222

＝„„=6.

【技巧点拨】本题逆向思考，从最高的两项进行因式分解，逐次提取公因式，达到消项的目的.

整式的乘除与因式分解巩固练习

一、 选择题

1、化简(-x)3·(-x)2的结果正确的是( )