高中数学竞赛专题精讲28高斯函数(含答案)

高中数学竞赛校本教材目录§1数学方法选讲（1） (1)§2数学方法选讲（2） (11)§3集合 (22)§4函数的性质 (30)§5二次函数(1) (41)§6二次函数(2) (55)§7指、对数函数,幂函数 (63)§8函数方程 (73)§9三角恒等式与三角不等式 (76)§10向量与向量方法 (85)§11数列 (95)§12递推数列 (102)§13数学归纳法 (105)§14不等式的证明 (111)§15不等式的应用 (122)§16排列，组合 (130)§17二项式定理与多项式 (134)§18直线和圆，圆锥曲线 (143)§19立体图形，空间向量 (161)§20平面几何证明 (173)§21平面几何名定理 (180)§22几何变换 (186)§23抽屉原理 (194)§24容斥原理 (205)§25奇数偶数 (214)§26整除 (222)§27同余 (230)§28高斯函数 (238)§29覆盖 (245)§29涂色问题 (256)§30组合数学选讲 (265)§1数学方法选讲（1）同学们在阅读课外读物的时候，或在听老师讲课的时候，书上的例题或老师讲解的例题他都能听懂，但一遇到没有见过面的问题就不知从何处入手。

看来，要提高解决问题的能力，要能在竞赛中有所作为，首先得提高分析问题的能力，这就需要学习一些重要的数学思想方法。

例题讲解一、从简单情况考虑华罗庚先生曾经指出：善于“退”，足够的“退”，退到最原始而又不失去重要性的地方，是学好数学的一个诀窍。

从简单情况考虑，就是一种以退为进的一种解题策略。

高斯函数一、基本知识定义：设R x ∈,用[]x 表示不超过x 的最大整数,则[]x y =称为高斯函数.函数的定义域为R ,值域为Z .任一实数都能写成整数部分与非负纯小数之和,即[]α+=x x ()10<≤α,因此. [][]1+<≤x x x 。

我们称[]x 为x 的整数部分，称{}[]x x x -=为x 的小数部分。

函数{}x y =的定义域为R ，值域为[)1,0。

二、性质1. 函数[]x y =是不减函数,即当21x x ≤时,有[][]21x x ≤；2. [][]11+<≤<-x x x x ；3. [][]n x n x Z n +=+⇔∈；4. [][][]y x y x +≤+，{}{}{}y x y x +≥+； 推广：（1）[][][][]n n x x x x x x +++≤+++ 2121 （2）[][]nx x n ≤ ()N n ∈5. 若0,0≥≥y x ，则[][][]y x xy ≥；6. 若0,1>≥y x ，则[][]x y x y ≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡；7. []⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡n x n x （其中*N n ∈） 8. （1）若121≥-x x ，则存在整数k ，使[][]12121x k x x k x ≤≤+⇒≤<；（2）[][][][]110212121+==⇒<-≤x x x x x x 或； （3）[][]12121<-⇒=x x x x9. [][]()[]()⎩⎨⎧∉--∈-=-Z x x Z x x x 110. [][]1,,-+=+⇒∈+∉y x y x Z y x Z y x ；11. 若整数b a ,满足r bq a += ()b r r q b <≤>0,,,0是整数，则q b a =⎥⎦⎤⎢⎣⎡；12. [][]x x x 221=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++；13. 设1>x ，m 为正整数，则从1到x 的整数中，m 的倍数有⎥⎦⎤⎢⎣⎡m x 个；14. 设为p 任一质数，在!n 中含p 的最高乘方次数记为()!n p ，则()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=m p n p n p n n p 2! ()1+<≤m m p n p例1．求!30的标准分解式。

高中数学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。

全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：1.平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。

三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。

几何不等式。

几何极值问题。

几何中的变换：对称、平移、旋转。

圆的幂和根轴。

面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。

2.代数周期函数，带绝对值的函数。

三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。

递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。

第二数学归纳法。

平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。

复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。

多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。

n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。

函数迭代，简单的函数方程*3. 初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。

4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。

组合计数，组合几何。

抽屉原理。

容斥原理。

极端原理。

图论问题。

集合的划分。

覆盖。

平面凸集、凸包及应用*。

注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。

二、初中数学竞赛大纲1、数整数及进位制表示法，整除性及其判定；素数和合数，最大公约数与最小公倍数；奇数和偶数，奇偶性分析；带余除法和利用余数分类；完全平方数；因数分解的表示法，约数个数的计算；有理数的概念及表示法，无理数，实数，有理数和实数四则运算的封闭性。

高斯函数ｘ[]性质及其应用文贵双(甘肃省天水市一中㊀７４１０００)摘㊀要:高斯函数是一个有名的特殊的函数.教材以及各类考试中经常出现有关高斯函数的试题.文章列举了高斯函数的性质ꎬ举例说明高斯函数在考试中的各种应用.关键词:高斯函数ꎻ高考试题ꎻ教材中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２１)０４－００５１－０３收稿日期:２０２０－１１－０５作者简介:文贵双(１９６４.１１－)ꎬ男ꎬ甘肃省天水人ꎬ中学高级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀高考试题根植于教材ꎬ但又不断创新ꎬ将教材内容与高等数学巧妙结合ꎬ成为高考㊁竞赛的热点.高斯函数就是一个好的结合点ꎬ高斯函数出现在教材的习题中ꎬ各类考试中都有高斯函数的 倩影 ꎬ此类问题新颖灵活ꎬ能更好考查学生的思维品质和数学素养.高斯函数也叫取整函数.取整函数ｘ[]表示不大于ｘ的最大整数ꎬ且由于对于任意的实数ｘꎬ对应的函数值ｘ[]都是整数ꎬ故称函数ｙ＝ｘ[]为取整函数.ｘ[]满足下面几条简单性质(１)ｘ[]是整数.(２)ｘ[]ɤｘ<ｘ[]＋１.(３)取整函数是一个不减函数ꎬ即对任意ｘ１ꎬｘ２ɪＲꎬ若ｘ１<ｘ２ꎬ则ｘ１[]ɤｘ２[](４)若ｘꎬｙɪＲꎬ则ｘ[]＋ｙ[]ɤｘ＋ｙ[]ɤｘ[]＋ｙ[]＋１(５)若ｎ是正整数ꎬｘɪＲꎬ则ｎｘ[]ȡｎｘ[](６)若ｍ是整数ꎬ则ｘ＋ｍ[]＝ｘ[]＋ｍꎬｙ＝ｘ[]的图象如图１所示.其图象是一组阶高为１的平行与ｘ轴的线段ꎬ不包括右端点ꎬ这组平行线段成阶梯状ꎬ故取整函数亦称阶梯函数.而函数ｆ(ｘ)＝ｘ－ｘ[]称为ｘ的非负纯小数部分ꎬ并用 ｘ{} 表示.任意一个实数都能写成整数与非负纯小数之和ꎬ即:ｘ＝ｘ[]＋ｘ{}ꎬ其中ｘ{}ɪ[０ꎬ１)称为小数部分函数.ｆ(ｘ)＝ｘ－ｘ[]图象如图２所示ꎬ是一个周期函数.高斯函数ｘ[]是一个非常有趣的数论函数ꎬ在许多数学分支中都有广泛的应用ꎬ在高中数学竞赛和高考试题中也经常出现与高斯函数有关的试题.由于高斯函数ｘ[]性质不如初等函数(利如二次函数ꎬ指数函数㊁对数函数㊁三角函数)多ꎬ使用起来不方便.所以涉及取整函数ｘ[]的题目ꎬ有其特殊的技巧ꎬ下面举例说明其解法.㊀㊀一㊁有关高斯函数求值题例１㊀Ｓｎ为等差数列{ａｎ}的前ｎ项和ꎬ且ａ１＝１ꎬＳ７＝２８.记ｂｎ＝[ｌｇａｎ]ꎬ其中[ｘ]表示不超过ｘ的最大整数ꎬ如[０.９]＝０ꎬ[ｌｇ９９]＝１.(１)求ｂ１ꎬｂ１１ꎬｂ１０１ꎻ(２)求数列{ｂｎ}的前１０００项和.解㊀(１)设ａｎ{}的公差为ｄꎬＳ７＝７ａ４＝２８ꎬ由ａ４＝４ꎬ得ｄ＝ａ４－ａ１３＝１ꎬａｎ＝ａ１＋(ｎ－１)ｄ＝ｎ.故ｂ１＝ｌｇａ１[]＝ｌｇ１[]＝０ꎬｂ１１＝ｌｇａ１１[]＝ｌｇ１１[]＝１ꎬｂ１０１＝ｌｇａ１０１[]＝ｌｇ１０１[]＝２.(２)记ｂｎ{}的前ｎ项和为Ｔｎꎬ则Ｔ１０００＝ｂ１＋ｂ２＋ ＋ｂ１０００＝ｌｇａ１[]＋ｌｇａ２[]＋ ＋ｌｇａ１０００[].当０ɤｌｇａｎ<１时ꎬｎ＝１ꎬ２ꎬ ꎬ９ꎻ当１ɤｌｇａｎ<２时ꎬｎ＝１０ꎬ１１ꎬ ꎬ９９ꎻ当２ɤｌｇａｎ<３时ꎬｎ＝１００ꎬ１０１ꎬ ꎬ９９９ꎻ当ｌｇａｎ＝３时ꎬｎ＝１０００.故Ｔ１０００＝０ˑ９＋１ˑ９０＋２ˑ９００＋３ˑ１＝１８９３例２㊀求ｌｏｇ２１[]＋ｌｏｇ２２[]＋ｌｏｇ２３[]＋ ＋ｌｏｇ２２０１２[]的值.解㊀ｌｏｇ２１[]＝０ꎬｌｏｇ２２[]＝１ꎬｌｏｇ２３[]＝１ꎬｌｏｇ２４[]＝ｌｏｇ２５[]＝ｌｏｇ２６[]＝ｌｏｇ２７[]＝２ꎬ当２ｋɤｎ<２ｋ＋１时ꎬｌｏｇ２ｎ[]＝ｋꎬｋꎬｎ是自然数ꎬ故有:１５原式＝０＋１ˑ(２２－２)＋２ˑ(２３－２２)＋ ＋９ˑ(２１０－２９)＋１０ˑ(２０１２－１０２３)＝１ˑ２＋２ˑ２２＋３ˑ２３＋ ９ˑ２９＋９８９０＝８１９４＋９８９０＝１８０８４评注例１ꎬ例２不需要什么技巧ꎬ只要理解取整函数的概念即可解决问题.㊀㊀二㊁有关高斯函数图象题例３㊀已知ｘɪＲꎬ若函数ｆ(ｘ)＝ｘ[]ｘ－ａꎬ(ｘʂ０)有且有３个零点ꎬ则ａ的取值范围是(㊀㊀).Ａ.３４ꎬ４５æèç]ɣ４３ꎬ３２[öø÷㊀㊀Ｂ.３４ꎬ４５[]ɣ４３ꎬ３２[]Ｃ.１２ꎬ２３æèç]ɣ５４ꎬ３２[öø÷Ｄ.１２ꎬ２３[]ɣ５４ꎬ３２[]图３解㊀ｆ(ｘ)＝ｘ[]ｘ－ａ的零点ꎬ就是方程ｘ[]＝ａｘꎬ(ｘʂ０)的根ꎬ即为函数ｙ＝ｘ[]ꎬｙ＝ａｘꎬ(ｘʂ０)交点的横坐标.作出两函数图象可知选Ａ.例４㊀已知ｘɪＲꎬ符号ｘ[]表示不超过ｘ的最大整数.若函数ｆ(ｘ)＝ｘ－ｍ[]ｘ－ｍꎬ其中ｍɪＮ∗ꎬ则给出以下四个结论其中正确的是(㊀㊀).Ａ.函数ｆ(ｘ)在ｍ＋１ꎬ＋¥()上的值域为１２ꎬ１æèç]Ｂ.函数ｆ(ｘ)图象关于直线ｘ＝ｍ对称Ｃ.函数ｆ(ｘ)在ｍꎬ＋¥()是减函数Ｄ.函数ｆ(ｘ)在ｍ＋１ꎬ＋¥()上的最小值为１２.图４解㊀函数ｆ(ｘ)＝ｘ[]ｘ中ꎬ当０<ｘ<１时ꎬｆ(ｘ)＝０ꎻ当１ɤｘ<２时ꎬｆ(ｘ)＝１ｘꎻ当２ɤｘ<３时ꎬｆ(ｘ)＝２ｘꎻ 函数ｆ(ｘ)＝ｘ[]ｘ在(０ꎬ＋¥)值域是１２ꎬ１æèç]ꎬ将函数ｆ(ｘ)＝ｘ[]ｘ的图象向右平移ｍ个单位得到ｆ(ｘ)＝ｘ－ｍ[]ｘ－ｍ的图像ꎬ故选Ａ.评注㊀熟练地掌握函数ｙ＝ｘ[]ꎬｆ(ｘ)＝ｘ－ｘ[]ꎬｆ(ｘ)＝ｘ[]ｘ的图像ꎬ由图定夺.㊀㊀三㊁有关高斯函数方程题例５㊀解方程５＋６ｘ８[]＝１５ｘ－７５解㊀令１５ｘ－７５＝ｎ(ｎɪＺ)ꎬ则ｘ＝５ｎ＋７１５ꎬ代入原方程得:１０ｎ＋３９４０[]＝ｎꎬ由取整函数的定义有０ɤ１０ｎ＋３９４０－ｎ<１ꎬ解得:－１３０<ｎɤ１３１０ꎬ则ｎ＝０ꎬ１.当ｎ＝０时ꎬ则ｘ＝７１５ꎻ当ｎ＝１时ꎬ则ｘ＝４５.例６㊀解方程１＋ｘ２[]＋３－２ｘ[]＝２解㊀设１＋ｘ２[]＝ｎꎬ３－２ｘ[]＝ｍꎬ则原方程ｎ＋ｍ＝２ꎬ且有ｎɤ１＋ｘ２<ｎ＋１ꎬｍɤ３－２ｘ<ｍ＋１ꎬ即２ｎ－１ɤｘ<２ｎ＋１ꎬ１－ｍ２<ｘɤ３－ｍ２ꎬ结合这两个不等关系ꎬ得１－ｍ２<２ｎ＋１２ｎ－１ɤ３－ｍ２ìîíïïïïꎬ即－ｍ<４ｎ４ｎ<５－ｍ{ꎬ又ｍ＝２－ｎꎬ解得ｎ＝０ꎬｎ＝１ꎬ进而可得ｎ＝０ｍ＝２{ꎬｎ＝１ｍ＝１{ꎬ得到方程的解为０<ｘɤ１２与ｘ＝１.评注㊀型如ａｘ＋ｂ[]＝ｃｘ＋ｄ或ａｘ＋ｂ[]＋ｃｘ＋ｄ[]＝ｅ的方程通常利用取整函数的定义与性质ꎬ结合换元法求解.㊀㊀㊀四㊁有关高斯函数的数列题例７㊀记[ｘ]为不超过实数ｘ的最大整数ꎬ例如ꎬ[２]＝２ꎬ[１.５]＝１ꎬ[－０.３]＝－１.设ａ为正整数ꎬ数列ｘｎ{}满足ｘ１＝ａꎬｘｎ＋１＝[ｘｎ＋[ａｘｎ]２](ｎɪＮ∗)ꎬ现有下列命题:①当ａ＝５时ꎬ数列ｘｎ{}的前３项依次为５ꎬ３ꎬ２ꎻ②对数列ｘｎ{}都存在正整数ｋꎬ当ｎȡｋ时总有ｘｎ＝ｘｋꎻ③当ｎȡ１时ꎬｘｎ>ａ－１ꎻ④对某个正整数ｋꎬ若ｘｋ＋１ȡｘｋꎬ则ｘｎ＝[ａ].其中的真命题有.(写出所有真命题的编号)解㊀当ａ＝５时ꎬｘ１＝ａ＝５ｘ２＝５＋５５２＝３ꎬｘ３＝２５[３＋[５３]２]＝２ꎬ故①正确ꎻ当ａ＝１时ꎬｘ１＝１ꎬｘ２＝ｘ３＝ ＝ｘｎ＝１ꎬ但当ａ＝３时ꎬｘ１＝３ꎬｘ２＝２ꎬｘ３＝１ꎬｘ４＝２ꎬｘ５＝１ꎬｘ６＝２ꎬｘ７＝１ꎬ ꎬ此时可以看出数列ｘｎ{}ꎬ从第二项起是以２为周期重复出现ꎬ不存在正整数ｋꎬ使得当ｎȡｋ时总有ｘｎ＝ｘｋꎬ故②不正确.对于③ꎬｘ１＝ａ>ａ－１成立ꎬ因ｘｎ是整数ꎬ故若ｘｎ＋ａｘｎ[]是正奇数ꎬ则ｘｎ＋１＝ｘｎ＋ａｘｎ[]－１２>ｘｎ＋ａｘｎ－２２ȡ２ａ－１２>ａ－１ꎬ若ｘｎ＋ａｘｎ[]是正偶数ꎬｘｎ＋１＝ｘｎ＋ａｘｎ[]２>ｘｎ＋ａｘｎ－１２ȡ２ａ－１２>ａ－１.综上知③正确.对于④ꎬ由ｘｋ＋１ȡｘｋ得ａｘｋ[]－ｘｋȡ０ꎬａｘｋ－ｘｋȡａｘｋ[]－ｘｋȡ０ꎬｘｋɤａꎻ结合③有ａ－１<ｘｋɤａꎬ因此有ｘｋ＝ａ[]ꎬ④正确.综上知真命题是①③④.评注㊀本题借用取整函数ꎬ构造一个新数列ꎬ主要考查数列知识的灵活应用和推理论证能力.本题是取整函数(高斯函数)与数列二者交汇而成ꎬ设计新颖ꎬ构思精妙ꎬ难度较大.解此类题的关键是理解函数ｘ[]的意义.㊀㊀参考文献:[１]蒋孝国.数学竞赛中的高斯函数[Ｊ].数学通讯ꎬ２０１５(１９):４５－４８.[责任编辑:李㊀璟]点差法的基本原理及其在高考数学中的简单应用武增明(云南省玉溪第一中学㊀６５３１００)摘㊀要:本文给出点差法的基本原理和点差法的简单应用ꎬ与同仁及同学们共飨.关键词:点差法ꎻ圆锥曲线ꎻ解题研究中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２１)０４－００５３－０３收稿日期:２０２０－１１－０５作者简介:武增明(１９６５.５－)ꎬ男ꎬ云南省玉溪市易门人ꎬ本科ꎬ中学高级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀一㊁点差法的基本原理在研究直线被圆锥曲线截得中点弦问题时ꎬ设出弦端点坐标ꎬ并分别代入圆锥曲线方程得两式ꎬ将其两式相减ꎬ可得弦的斜率与弦的中点坐标之间的关系式ꎬ这种解题方法叫做点差法.如ꎬ圆锥曲线ｍｘ２＋ｎｙ２＝１(ｍꎬｎɪＲꎬ且ｍʂ０ꎬｎʂ０ꎬ)上两点ＰꎬＱꎬ设Ｐ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＱ(ｘ２ꎬｙ２)ꎬ弦ＰＱ的中点Ｍ(ｘ０ꎬｙ０)ꎬ弦ＰＱ的斜率为ｋꎬ则ｍｘ２１＋ｎｙ２１＝１ꎬ①ｍｘ２２＋ｎｙ２２＝１ꎬ②{由①－②ꎬ得ｍ(ｘ１＋ｘ２)(ｘ１－ｘ２)＋ｎ(ｙ１＋ｙ２)(ｙ１－ｙ２)＝０ꎬ又ｘ１＋ｘ２＝２ｘ０ꎬｙ１＋ｙ２＝２ｙ０ꎬｙ１－ｙ２ｘ１－ｘ２＝ｋ(ｘ１ʂｘ２)ꎬ于是ｍｘ０＋ｎｋｙ０＝０ꎬ这一等式建立了圆锥曲线弦的斜率与弦的中点坐标之间的关系式.㊀㊀二㊁点差法的简单应用与弦中点相关的问题有三种ꎬ一是平行弦的中点轨迹ꎻ二是过定点的弦的中点轨迹ꎻ三是过定点且被定点平分的弦所在直线方程.其他问题都是由这三类问题衍生出来的.１.已知弦中点坐标简求弦所在直线方程此类问题是点差法的最基本的简单应用.例１㊀(２００２年高考江苏卷 文理２０)设ＡꎬＢ是双曲线ｘ２－ｙ２２＝１上的两点ꎬ点Ｎ(１ꎬ２)是线段ＡＢ的中点.３５。

高中数学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。

全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：1.平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。

三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。

几何不等式。

几何极值问题。

几何中的变换：对称、平移、旋转。

圆的幂和根轴。

面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。

2.代数周期函数，带绝对值的函数。

三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。

递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。

第二数学归纳法。

平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。

复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。

多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。

n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。

函数迭代，简单的函数方程*3.初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。

4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。

组合计数，组合几何。

抽屉原理。

容斥原理。

极端原理。

图论问题。

集合的划分。

覆盖。

平面凸集、凸包及应用*。

注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。

二、初中数学竞赛大纲1、数整数及进位制表示法，整除性及其判定；素数和合数，最大公约数与最小公倍数；奇数和偶数，奇偶性分析；带余除法和利用余数分类；完全平方数；因数分解的表示法，约数个数的计算；有理数的概念及表示法，无理数，实数，有理数和实数四则运算的封闭性。

竞赛中的数论问题的思考方法一. 条件的增设对于一道数论命题，我们往往要首先排除字母取零值或字母取相等值等“平凡”的情况，这样，利用字母的对称性等条件，往往可以就字母间的大小顺序、整除性、互素性等增置新的条件，从而便于运用各种数论特有手段。

1. 大小顺序条件与实数范围不同，若整数x ，y 有大小顺序x <y ，则必有y ≥x +1，也可以写成y =x +t ，其中整数t ≥1。

例1. （IMO-22）设m ，n 是不大于1981的自然数，1)(222=--m nm n ，试求22n m +的最大值。

解：易知当m =n 时,222=+n m 不是最大值。

于是不访设n >m ,而令n =m +u 1，n >u 1≥1，得-2(m -1mu 1)22112=--u mu 。

同理，又可令m = u 1+ u 2，m >u 2≥1。

如此继续下去将得u k+1= u k =1，而11+-+=i i i u u u ，i ≤k 。

故n m u u u u k k ,,,,,,121 +是不大于1981的裴波那契数，故m =987，n =1597。

例2. （匈牙利—1965）怎样的整数a ，b ，c 满足不等式?233222c b ab c b a ++<+++解：若直接移项配方，得01)1()12(3)2(222<--+-+-c b b a 。

因为所求的都是整数，所以原不等式可以改写为：c b ab c b a 234222++≤+++，变形为：0)1()12(3)2(222≤-+-+-c b ba ，从而只有a =1，b =2，c =1。

2. 整除性条件对于整数x ，y 而言，我们可以讨论其整除关系：若x |y ，则可令y =tx ；若x ∤y ，则可令y =tx +r ，0<r ≤|x |-1。

这里字母t ，r 都是整数。

进一步，若a q |，b q |且a b >，则q a b +≥。

§28高斯函数数论函数][x y =，称为高斯函数，又称取整函数. 它是数学竞赛热点之一.定义一：对任意实数][,x x 是不超过x 的最大整数，称][x 为x 的整数部分.与它相伴随的是小数部分函数].[}{},{x x x x y -==由][x 、}{x 的定义不难得到如下性质：（1）][x y =的定义域为R ，值域为Z ；}{x y =的定义域为R ，值域为)1,0[ （2）对任意实数x ，都有1}{0},{][<≤+=x x x x 且. （3）对任意实数x ，都有x x x x x x ≤<-+<≤][1,1][][.（4）][x y =是不减函数，即若21x x ≤则][][21x x ≤，其图像如图I －4－5－1；}{x y =是以1为周期的周期函数，如图I －4－5－2.图Ⅰ—4—5—1 图Ⅰ—4—5—2（5）}{}{];[][x n x x n n x =++=+.其中*∈∈N n R x ,. （6）∑∑==∈≥+≥++≥+ni iin i iR xx x y x y x x y x y x 11],[][};{}{}{{];[][][；特别地，].[][ba nb na ≥ （7）][][][y x xy ⋅≥，其中+∈R y x ,；一般有∑∏=+=∈≥ni iin i iR xx x 11],[][；特别地，*∈+∈≤N n R x x x n n ,],[][.（8）]][[][nx n x=，其中*∈+∈N n R x ,.例题讲解1．求证：,2!211--=⇔k n n n 其中k 为某一自然数.2．对任意的∑∞=+*+=∈01].22[,K k kn S N n 计算和4．设M 为一正整数，问方程222}{][x x x =-，在[1，M]中有多少个解？5．求方程.051][4042的实数解=+-x x6．.][3]3[2]2[1][][:,,nnx x x x nx N n R x ++++≥∈+∈*证明7．对自然数n 及一切自然数x ，求证：].[]1[]2[]1[][nx nn x n x n x x =-+++++++ .8．求出]31010[10020000+的个位数字例题答案：1．证明：2为质数，n!中含2的方次数为∑∞==1].2[)!(2t t n n 若∑∑∞=-=--------=-=++++====1111221111122221]2[]2[)!(2,2t k t k k t k t k k n n n 则故!.|21n n -反之，若n 不等于2的某个非负整数次幕，可设n=2s p ，其中p >1为奇数，这时总可以找出整数t ，使+++=<<--+ ]2[]2[)!(22!,222211p p n n p s s t s t 的方次数为中所含于是 ≤++- 0]2[p t s ].2[]22[])12(2[])222[(21p n p p p p t s t s s t t s t s s s -------+=-=-=+++由于12,2)!(22!,2]2[,221----≤-=-<<n t s t s n n n p 则的方次数中含故则n !.这与已知矛盾，故必要性得证. 2．解：因]212[]22[11+=+++k k n n 对一切k =0,1,…成立，因此， ].2[]22[]212[111+++-⋅=+k k k n n n又因为n 为固定数，当k 适当大时,.)]2[]2([,0]2[,1201n nn S n n K k k k k ==-==<∑∞=+ 故从而3．解：显然有：若.,,1][][][,1}{}{R y x y x y x y x ∈++=+=+则503是一个质数，因此，对n=1,2,…,502, 503305n 都不会是整数，但503305n +,305503)503(305=-n可见此式左端的两数的小数部分之和等于1，于是，[503305n ]+.304]503)503(305[=-n 故 ∑∑===⨯=-+==25115021.76304251304]),503)503(305[]503305([]503305[n n n n n S4．解：显然x =M 是一个解,下面考察在[1，M]中有少个解.设x 是方程的解.将222}{}{}{2][x x x x x +⋅+=代入原方程，化简得=}]{[2x x,1}{0].}{}]{[2[2<≤+x x x x 由于所以上式成立的充要条件是2[x ]{x }为一个整数..1)1(],1[,.)1())1(21(2),1[,11.2)1,[),12,,1,0(2}{,][个解中有原方程在因此个解中方程有可知在又由于个解中方程有即在则必有设+--⋅=-+++-≤≤+-==∈=M M M M M M M M m m m m m k mkx N m x5．解：.0][,1][][不是解又因<+<≤x x x x⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≥>⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≥<⎩⎨⎧≤-->--⎪⎩⎪⎨⎧≤+->+-+∴.217][,23][,211][;217][,23][,25][.07][2)(3][2(.0)11][2)(5][2(.051][4][4,051][40)1]([422x x x x x x x x x x x x x x 或 .2269,02694;2229,02294;2189,01894;229,0294:,876][2][2222==-==-==-==-==x x x x x x x x x x 分别代入方程得或或或解得经检验知，这四个值都是原方程的解.6．这道题的原解答要极为复杂，现用数学归纳法证明如下. 【证明】.,2,1,][2]2[][ =+++=k kkx x x A k 令 由于.,1],[1命题成立时则==n x A.,,,],[][][][][][][])[])1([(]))2[(]2([])1[(]([][]2[])2[(])1[(][])1[(]2[][][])1[(]2[][][])1[(]2[][)(:].[],2[22,],)1[()1()1(],[,][,][,].)1[(,],2[],[,1122112111221111121证毕均成立故原不等式对一切命题成立时即故相加得所以成立对一切即因为即有时命题成立设*---------∈=≤∴=+++≤++-++-++-+=+++-+-++-+++≤++++++-+++=+-+++=+++-==--=---=-=-=--≤≤≤-≤N n k n kx A kx k kx kx kx kx kx x x k x k x x k x x x x k x k kx x k x x A A A A kx x k x x kA kx x k x x A A A kA x A x A A x k A k A k kx kA kA k kx kA kA kkx A A x k A x A x A k n k k k k k k k k k k k k k k k7．解：M ＝|f(x)|max ＝max{|f ⑴|，|f(－1)|，|f(－2a )|} ⑴若|－2a|≥1 (对称轴不在定义域内部) 则M ＝max{|f ⑴|，|f(－1)|} 而f ⑴＝1＋a ＋b f(－1)＝1－a ＋b|f ⑴|＋|f(－1)|≥|f ⑴＋f(－1)|＝2|a|≥4 则|f ⑴|和|f(－1)|中至少有一个不小于2 ∴ M≥2＞21 ⑵|－2a|＜1 M ＝max{|f ⑴|，|f(－1)|，|f(－2a )|} ＝max{|1＋a ＋b|，|1－a ＋b|，|－4a 2＋b|}＝max{|1＋a ＋b|，|1－a ＋b|，|－4a 2＋b|，|－4a 2＋b|}≥41(|1＋a ＋b|＋|1－a ＋b|＋|－4a 2＋b|＋|－4a 2＋b|) ≥41[(1＋a ＋b)＋(1－a ＋b)－(－4a 2＋b)－(－4a 2＋b)] ＝)2a 2(412+≥21 综上所述，原命题正确.8．先找出3101010020000+的整数部分与分数部分.。

高中数学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。

全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：1.平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。

三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。

几何不等式。

几何极值问题。

几何中的变换：对称、平移、旋转。

圆的幂和根轴。

面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。

2.代数周期函数，带绝对值的函数。

三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。

递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。

第二数学归纳法。

平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。

复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。

多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。

n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。

函数迭代，简单的函数方程*3. 初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。

4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。

组合计数，组合几何。

抽屉原理。

容斥原理。

极端原理。

图论问题。

集合的划分。

覆盖。

平面凸集、凸包及应用*。

注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。

二、初中数学竞赛大纲1、数整数及进位制表示法，整除性及其判定；素数和合数，最大公约数与最小公倍数；奇数和偶数，奇偶性分析；带余除法和利用余数分类；完全平方数；因数分解的表示法，约数个数的计算；有理数的概念及表示法，无理数，实数，有理数和实数四则运算的封闭性。